Թվաբանական գործողություններ ռացիոնալ թվերով. Ռացիոնալ թվերով գործողությունների հիմնական հատկությունները (մեթոդական մշակում)

Այնուհետեւ a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Զրո գումարելով թիվը չի փոխվում, բայց հակառակ թվերի գումարը զրո է:

Սա նշանակում է, որ ցանկացած ռացիոնալ թվի համար մենք ունենք՝ a + 0 = a, a + (- a) = 0:

Ռացիոնալ թվերի բազմապատկումն ունի նաև կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հատկություններ։ Այլ կերպ ասած, եթե a, b և c ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, ապա ab - ba, a(bc) - (ab)c:

1-ով բազմապատկելը ռացիոնալ թիվը չի փոխում, բայց թվի և դրա հակադարձ արտադրյալը հավասար է 1-ի:

Սա նշանակում է, որ ցանկացած ռացիոնալ թվի համար մենք ունենք.

ա) x + 8 - x - 22; գ) ա-մ + 7-8+մ;
բ) -x-a + 12+a -12; դ) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.

1190. Ընտրելով հաշվարկման հարմար ընթացակարգ՝ գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

1191. Բառերով ձևակերպիր ab = ba բազմապատկման փոխատեղելի հատկությունը և ստուգիր այն, երբ.

1192. Բառերով ձևակերպիր a(bc)=(ab)c բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունը և ստուգիր այն, երբ.

1193. Ընտրելով հարմար հաշվարկային կարգ՝ գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

1194. Ի՞նչ թիվ կստանաք (դրական թե բացասական), եթե բազմապատկեք.

ա) մեկ բացասական թիվ և երկու դրական թիվ.
բ) երկու բացասական և մեկ դրական թիվ.
գ) 7 բացասական և մի քանի դրական թիվ.
դ) 20 բացասական և մի քանի դրական: Եզրակացություն արեք.

1195. Որոշի՛ր արտադրանքի նշանը.

ա) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
բ) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90:

ա) Բ մարզասրահՀավաքվեցին Վիտյան, Կոլյան, Պետյան, Սերյոժան և Մաքսիմը (նկ. 91, ա): Պարզվեց, որ տղաներից յուրաքանչյուրը ճանաչում էր միայն երկուսին։ Ո՞վ գիտի, թե ում. (Գծապատկերի եզրը նշանակում է «մենք ճանաչում ենք միմյանց»:)

բ) Բակում զբոսնում են մեկ ընտանիքի եղբայրներն ու քույրերը. Այս երեխաներից որո՞նք են տղա, որո՞նք են աղջիկներ (նկ. 91, բ): (Գծապատկերի կետավոր եզրերը նշանակում են «Ես քույր եմ», իսկ պինդ եզրերը նշանակում են «Ես եղբայր եմ»):

1205. Հաշվի՛ր.

1206. Համեմատել.

ա) 2 3 և 3 2; բ) (-2) 3 և (-3) 2; գ) 1 3 և 1 2; դ) (-1) 3 և (-1) 2:

1207. Կլոր 5,2853 հազարերորդական; նախքան հարյուրերորդական; մինչև տասներորդական; մինչև միավորներ:

1208. Լուծե՛ք խնդիրը.

1) Մոտոցիկլավարը հասնում է հեծանվորդի հետ: Այժմ նրանց միջեւ կա 23,4 կմ։ Մոտոցիկլավարի արագությունը 3,6 անգամ գերազանցում է հեծանվորդի արագությունը։ Գտե՛ք հեծանվորդի և մոտոցիկլավարի արագությունները, եթե հայտնի է, որ մոտոցիկլավարը մեկ ժամից կհասնի հեծանվորդի հետ:
2) մեքենան հասնում է ավտոբուսին: Այժմ նրանց միջեւ կա 18 կմ։ Ավտոբուսի արագությունը նույնն է, ինչ մարդատար մեքենայի արագությունը։ Գտե՛ք ավտոբուսի և մեքենայի արագությունները, եթե հայտնի է, որ մեքենան մեկ ժամից կհասնի ավտոբուսին։

1209. Գտի՛ր արտահայտության իմաստը.

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Ստուգեք ձեր հաշվարկները միկրո հաշվիչ.
1210. Ընտրելով հարմար հաշվարկային կարգ՝ գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

1211. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

1212. Գտի՛ր արտահայտության իմաստը.

1213. Հետևեք հետևյալ քայլերին.

1214. Աշակերտներին առաջադրանք է տրվել հավաքել 2,5 տոննա մետաղի ջարդոն։ Նրանք հավաքել են 3,2 տոննա մետաղի ջարդոն։ Քանի՞ տոկոսով են աշակերտները կատարել առաջադրանքը և քանի՞ տոկոսով են գերազանցել առաջադրանքը:

1215. Մեքենան անցել է 240 կմ. Դրանցից 180 կմ-ը նա անցել է գյուղական ճանապարհով, իսկ մնացած ճանապարհը՝ մայրուղով: Գյուղատնտեսական ճանապարհի յուրաքանչյուր 10 կմ-ի համար բենզինի սպառումը կազմել է 1,6 լիտր, իսկ մայրուղու վրա՝ 25 տոկոսով պակաս։ Միջին հաշվով քանի՞ լիտր բենզին է սպառվել յուրաքանչյուր 10 կմ ճանապարհորդության համար։

1216. Գյուղից դուրս գալով՝ հեծանվորդը կամրջի վրա նկատեց նույն ուղղությամբ քայլող հետիոտնին և 12 րոպե անց հասավ նրան։ Գտե՛ք հետիոտնի արագությունը, եթե հեծանվորդի արագությունը 15 կմ/ժ է, իսկ գյուղից մինչև կամուրջ հեռավորությունը 1 կմ 800 մ է։

1217. Հետևեք հետևյալ քայլերին.

ա) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
բ) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
գ) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5):

Մարդիկ, ինչպես գիտեք, աստիճանաբար ծանոթացան ռացիոնալ թվերին։ Սկզբում առարկաները հաշվելիս առաջանում էին բնական թվեր։ Սկզբում դրանք քիչ էին։ Այսպիսով, մինչև վերջերս Տորես նեղուցի (Նոր Գվինեան Ավստրալիայից բաժանող) կղզիների բնիկները իրենց լեզվում ունեին միայն երկու թվերի անուններ՝ «ուրապուն» (մեկ) և «ոկազ» (երկու): Կղզու բնակիչները հաշվում էին այսպես՝ «Օկազա-ուրապուն» (երեք), «Օկազա-Օկազա» (չորս) և այլն։ Բնիկները բոլոր թվերը՝ սկսած յոթից, անվանում էին «շատ» բառով։

Գիտնականները կարծում են, որ հարյուրավոր բառը հայտնվել է ավելի քան 7000 տարի առաջ, հազարների համար՝ 6000 տարի առաջ, իսկ 5000 տարի առաջ՝ Հին Եգիպտոսև մեջ Հին Բաբելոնանունները հայտնվում են հսկայական թվերի համար՝ մինչև մեկ միլիոն: Բայց երկար ժամանակ թվերի բնական շարքը համարվում էր վերջավոր՝ մարդիկ կարծում էին, որ կա ամենամեծ թիվը։

Հին հույն մեծագույն մաթեմատիկոս և ֆիզիկոս Արքիմեդը (մ.թ.ա. 287-212 թթ.) գտել է հսկայական թվեր նկարագրելու միջոց: Ամենամեծ թիվը, որ Արքիմեդը կարող էր անվանել, այնքան մեծ էր, որ նրա համար թվային ձայնագրությունկպահանջվի երկու հազար անգամ ավելի երկար ժապավեն, քան Երկրից Արեգակ հեռավորությունը:

Բայց նրանք դեռ չէին կարողացել գրել նման հսկայական թվեր։ Դա հնարավոր դարձավ միայն հնդիկ մաթեմատիկոսներից հետո 6-րդ դարում։ Զրո թիվը հորինվեց և սկսեց նշանակել թվի տասնորդական վայրերում միավորների բացակայությունը:

Թալերը բաժանելիս և ավելի ուշ արժեքները չափելիս, և նմանատիպ այլ դեպքերում մարդիկ հանդիպել են «կոտրված թվեր» ներմուծելու անհրաժեշտությանը. ընդհանուր կոտորակներ. Ամենաշատը համարվում էին միջնադարում ֆրակցիաների վրա կատարված գործողությունները համալիր տարածքՄաթեմատիկա. Գերմանացիները մինչ օրս դժվարին իրավիճակում հայտնված մարդու մասին ասում են, որ նա «կոտորակների մեջ է ընկել»։

Կոտորակների հետ աշխատելը հեշտացնելու համար հորինվել են տասնորդականներ կոտորակները. Եվրոպայում դրանք X585-ում ներմուծվել են հոլանդացի մաթեմատիկոս և ինժեներ Սայմոն Ստևինի կողմից։

Բացասական թվերն ավելի ուշ են հայտնվել, քան կոտորակները: Երկար ժամանակովնման թվերը համարվել են «գոյություն չունեցող», «կեղծ» առաջին հերթին այն պատճառով, որ ընդունված մեկնաբանությունը դրական և. բացասական թվեր«Գույք - պարտքը» շփոթության հանգեցրեց. կարող եք ավելացնել կամ հանել «գույք» կամ «պարտքեր», բայց ինչպե՞ս հասկանալ «գույքի» և «պարտքի» արտադրանքը կամ գործակիցը:

Սակայն, չնայած նման կասկածներին ու տարակուսանքներին, 3-րդ դարում առաջարկվեցին դրական և բացասական թվերի բազմապատկման և բաժանման կանոններ։ հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտոսը (ձևով. «Ինչ հանվում է, բազմապատկվում է ավելացվածով, տալիս է ենթահամակարգը, այն, ինչ հանվում է ենթագծով, տալիս է ավելացվածը» և այլն), իսկ ավելի ուշ՝ հնդիկ մաթեմատիկոս Բհասկարը (XII դ.) նույն կանոններն է արտահայտել «գույք», «պարտք» հասկացություններում («Երկու գույքի կամ երկու պարտքի արտադրյալը սեփականություն է, գույքի և պարտքի արտադրանքը պարտք է»: Նույն կանոնը վերաբերում է բաժանմանը):

Պարզվել է, որ բացասական թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկությունները նույնն են, ինչ դրական թվերի վրա (օրինակ՝ գումարումն ու բազմապատկումն ունեն փոխադարձ հատկություն)։ Եվ վերջապես, անցյալ դարասկզբից բացասական թվերը հավասարվել են դրական թվերին։

Հետագայում մաթեմատիկայում հայտնվեցին նոր թվեր՝ իռացիոնալ, բարդ և այլն։ Նրանց մասին սովորում ես ավագ դպրոցում:

Ն.Յա.Վիլենկին, Ա.Ս. Չեսնոկով, Ս.Ի. Շվարցբուրդ, Վ.Ի. Ժոխով, Մաթեմատիկա 6-րդ դասարանի համար, Դասագիրք ավագ դպրոցի համար

Գրքեր և դասագրքեր ըստ օրացուցային պլանի 6-րդ դասարանի մաթեմատիկայի ներբեռնում, օգնություն դպրոցականներին առցանց

Դասի բովանդակությունը դասի նշումներաջակցող շրջանակային դասի ներկայացման արագացման մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաստուգման սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, քվեստներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ, գրաֆիկա, աղյուսակներ, դիագրամներ, հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածների հնարքներ հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և տերմինների լրացուցիչ բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի հատվածի թարմացում, դասում նորարարության տարրեր, հնացած գիտելիքների փոխարինում նորերով. Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր

Թվեր հասկացությունը վերաբերում է աբստրակցիաներին, որոնք բնութագրում են առարկան քանակական տեսանկյունից։ Նույնիսկ պարզունակ հասարակության մեջ մարդիկ առարկաներ հաշվելու կարիք ունեին, ուստի թվային նշումներ էին հայտնվում։ Հետագայում դրանք դարձան մաթեմատիկայի՝ որպես գիտության հիմքը։

Մաթեմատիկական հասկացություններով գործելու համար անհրաժեշտ է, առաջին հերթին, պատկերացնել, թե ինչպիսի թվեր կան։ Կան թվերի մի քանի հիմնական տեսակներ. Սա.

1. Բնական - նրանք, որոնք մենք ստանում ենք օբյեկտները համարակալելիս (դրանց բնական հաշվումը): Նրանց բազմությունը նշվում է Ն.

2. Ամբողջ թվեր (դրանց բազմությունը նշվում է Z տառով): Սա ներառում է բնական թվեր, դրանց հակադրությունները, բացասական ամբողջ թվերը և զրո:

3. Ռացիոնալ թվեր (Ք տառ): Սրանք այն են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես կոտորակ, որի համարիչը հավասար է ամբողջ թվի, իսկ հայտարարը հավասար է բնական թվի։ Բոլորը ամբողջական են և դասակարգվում են որպես ռացիոնալ:

4. Իրական (նրանք նշանակվում են R տառով): Դրանք ներառում են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր: Ռացիոնալ թվերից ստացված թվեր ըստ տարբեր գործողություններ(լոգարիթմի հաշվարկ, արմատի արդյունահանում), որոնք իրենք ռացիոնալ չեն:

Այսպիսով, թվարկված հավաքածուներից որևէ մեկը հետևյալի ենթաբազմություն է. Այս թեզը պատկերված է դիագրամով այսպես կոչված ձևով. Էյլերի շրջանակները. Դիզայնը բաղկացած է մի քանի համակենտրոն օվալներից, որոնցից յուրաքանչյուրը գտնվում է մյուսի ներսում: Ներքին, ամենափոքր օվալը (տարածքը) նշանակում է հավաքածու բնական թվեր. Այն ամբողջությամբ ընդգրկված է և ներառում է ամբողջ թվերի բազմությունը խորհրդանշող շրջան, որն իր հերթին պարունակվում է ռացիոնալ թվերի տարածաշրջանում: Արտաքին, ամենամեծ օվալը, որը ներառում է բոլոր մյուսները, նշանակում է զանգված

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք ռացիոնալ թվերի շարքին, դրանց հատկություններին և առանձնահատկություններին: Ինչպես արդեն նշվեց, բոլոր առկա թվերը (դրական, ինչպես նաև բացասական և զրո) պատկանում են նրանց: Ռացիոնալ թվերը կազմում են անվերջ շարք հետևյալ հատկություններով.

Այս հավաքածուն պատվիրված է, այսինքն՝ վերցնելով այս շարքից ցանկացած զույգ թվեր, միշտ կարող ենք պարզել, թե որն է ավելի մեծ;

Նման թվերի ցանկացած զույգ վերցնելով՝ մենք միշտ կարող ենք նրանց միջև տեղադրել ևս մեկը, և, հետևաբար, դրանց մի ամբողջ շարք. հետևաբար, ռացիոնալ թվերը ներկայացնում են անվերջ շարք.

Նման թվերի վրա բոլոր չորս թվաբանական գործողությունները հնարավոր են, դրանց արդյունքը միշտ որոշակի թիվ է (նաև ռացիոնալ); բացառությունը 0-ի բաժանումն է (զրո) - դա անհնար է.

Ցանկացած ռացիոնալ թվեր կարող են ներկայացվել որպես տասնորդական կոտորակներ: Այս կոտորակները կարող են լինել կամ վերջավոր կամ անվերջ պարբերական։

Ռացիոնալ բազմությանը պատկանող երկու թվերը համեմատելու համար պետք է հիշել.

Զրոյից մեծ ցանկացած դրական թիվ;

Ցանկացած բացասական թիվ միշտ փոքր է զրոյից;

Երկու բացասական ռացիոնալ թվերը համեմատելիս ավելի մեծ է այն, որի բացարձակ արժեքը (մոդուլը) փոքր է։

Ինչպե՞ս են կատարվում ռացիոնալ թվերի հետ կապված գործողությունները:

Նման երկու թվեր ավելացնելու համար, որոնք ունեն նույն նշանը, պետք է գումարել դրանց բացարձակ արժեքները և դնել գումարի դիմաց: ընդհանուր նշան. հետ թվեր ավելացնելու համար տարբեր նշաններՄեծ արժեքից պետք է հանել փոքրը և դնել նրա նշանը, ում բացարձակ արժեքը մեծ է։

Մի ռացիոնալ թիվը մյուսից հանելու համար բավական է առաջին թվին ավելացնել երկրորդի հակառակը։ Երկու թվեր բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց արժեքները բացարձակ արժեքներ. Ստացված արդյունքը կլինի դրական, եթե գործոնները ունեն նույն նշանը, և բացասական, եթե դրանք տարբեր են։

Բաժանումն իրականացվում է նույն ձևով, այսինքն՝ հայտնաբերվում է բացարձակ արժեքների գործակիցը, և արդյունքին նախորդում է «+» նշանը, եթե դիվիդենտի և բաժանարարի նշանները համընկնում են, և «-» նշանը, եթե. դրանք չեն համընկնում։

Ռացիոնալ թվերի հզորությունները նման են մի քանի գործոնների արտադրյալների, որոնք հավասար են միմյանց:

Այս հոդվածը տալիս է ակնարկ ռացիոնալ թվերով գործողությունների հատկությունները. Նախ, հայտարարվում են հիմնական հատկությունները, որոնց վրա հիմնված են բոլոր մյուս հատկությունները: Դրանից հետո տրված են ռացիոնալ թվերով գործողությունների մի քանի այլ հաճախակի կիրառվող հատկություններ։

Էջի նավարկություն.

Թվարկենք Ռացիոնալ թվերով գործողությունների հիմնական հատկությունները(a, b և c կամայական ռացիոնալ թվեր են).

• a+b=b+a գումարման կոմուտատիվ հատկություն.
• Հավելման համակցված հատկություն (a+b)+c=a+(b+c) .
• գումարումով չեզոք տարրի առկայությունը՝ զրո, որի գումարումը որևէ թվի հետ չի փոխում այս թիվը, այսինքն՝ a+0=a։
• Յուրաքանչյուր ռացիոնալ a թվի համար կա −a հակադիր թիվ, որ a+(−a)=0:
• a·b=b·a ռացիոնալ թվերի բազմապատկման փոխադարձ հատկություն.
• Բազմապատկման համակցված հատկություն (a·b)·c=a·(b·c) .
• Բազմապատկման համար չեզոք տարրի առկայությունը միավոր է, բազմապատկում, որով ցանկացած թիվ չի փոխում այս թիվը, այսինքն՝ a·1=a։
• Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական ռացիոնալ թվի համար կա a −1 հակադարձ թիվ, որ a·a −1 =1:
• Ի վերջո, ռացիոնալ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը կապված են գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ հատկությամբ՝ a·(b+c)=a·b+a·c:

Ռացիոնալ թվերով գործողությունների թվարկված հատկությունները հիմնական են, քանի որ դրանցից կարելի է ստանալ մնացած բոլոր հատկությունները:

Այլ կարևոր հատկություններ

Ի հավելումն ռացիոնալ թվերով գործողությունների թվարկված ինը հիմնական հատկությունների, կան մի շարք շատ լայնորեն կիրառվող հատկություններ: Եկեք նրանց տանք կարճ ակնարկ.

Սկսենք սեփականությունից, որը գրվում է տառերով որպես a·(−b)=−(a·b)կամ բազմապատկման կոմուտատիվ հատկության ուժով որպես (−a) b=−(a b). Այս հատկությունից ուղղակիորեն բխում է ռացիոնալ թվերը տարբեր նշաններով բազմապատկելու կանոնը, որի ապացույցը տրված է նաև այս հոդվածում։ Այս հատկությունը բացատրում է «գումարած մինուսով բազմապատկվածը մինուս է, իսկ մինուսը բազմապատկած գումարածով մինուս» կանոնը։

Ահա հետևյալ գույքը. (−a)·(−b)=a·b. Սա ենթադրում է բացասական ռացիոնալ թվերի բազմապատկման կանոն, այս հոդվածում դուք կգտնեք նաև վերը նշված հավասարության ապացույցը։ Այս հատկությունը համապատասխանում է «մինուս անգամ մինուս գումարած» բազմապատկման կանոնին:

Անկասկած, արժե կենտրոնանալ կամայական ռացիոնալ a թիվը զրոյով բազմապատկելու վրա. a·0=0կամ 0 a=0. Եկեք ապացուցենք այս հատկությունը: Մենք գիտենք, որ 0=d+(−d) ցանկացած ռացիոնալ d-ի համար, ապա a·0=a·(d+(−d)) . Բաշխման հատկությունը թույլ է տալիս ստացված արտահայտությունը վերագրել որպես a·d+a·(−d) , և քանի որ a·(−d)=−(a·d) , ապա a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Այսպիսով, եկանք երկու հակադիր թվերի գումարին, որոնք հավասար են a·d և −(a·d), նրանց գումարը տալիս է զրո, որն ապացուցում է a·0=0 հավասարությունը:

Հեշտ է նկատել, որ վերևում թվարկեցինք միայն գումարման և բազմապատկման հատկությունները, մինչդեռ հանման և բաժանման հատկությունների մասին ոչ մի բառ չասվեց։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ ռացիոնալ թվերի բազմության վրա հանման և բաժանման գործողությունները նշված են համապատասխանաբար որպես գումարման և բազմապատկման հակադարձ: Այսինքն՝ a−b տարբերությունը a+(−b) գումարն է, իսկ a:b գործակիցը՝ a·b−1 (b≠0) արտադրյալը։

Հաշվի առնելով հանման և բաժանման այս սահմանումները, ինչպես նաև գումարման և բազմապատկման հիմնական հատկությունները, դուք կարող եք ապացուցել ռացիոնալ թվերով գործողությունների ցանկացած հատկություններ:

Որպես օրինակ՝ ապացուցենք հանման նկատմամբ բազմապատկման բաշխման հատկությունը՝ a·(b−c)=a·b−a·c: Գործում է հետևյալ հավասարումների շղթան՝ a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, որն էլ ապացույցն է։

Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: www.site-ի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերը և արտաքին դիզայն, չի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:

Այս դասը ներառում է ռացիոնալ թվերի գումարում և հանում: Թեման դասակարգվում է որպես բարդ: Այստեղ անհրաժեշտ է օգտագործել նախկինում ձեռք բերված գիտելիքների ողջ զինանոցը։

Ամբողջ թվերի գումարման և հանման կանոնները վերաբերում են նաև ռացիոնալ թվերին։ Հիշեցնենք, որ ռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ ա –սա կոտորակի համարիչն է, բկոտորակի հայտարարն է. Որտեղ, բչպետք է զրո լինի:

Այս դասում մենք ավելի ու ավելի շատ կկոչենք կոտորակները և խառը թվերը մեկ ընդհանուր արտահայտությամբ. ռացիոնալ թվեր.

Դասի նավարկություն.

Օրինակ 1.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ արտահայտության մեջ տրված գումարածը գործողության նշան է և չի տարածվում կոտորակի վրա։ Այս կոտորակը ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար հարկավոր է ավելի փոքր մոդուլը հանել ավելի մեծ մոդուլից, և մինչ ստացված պատասխանը դնել այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է: Եվ որպեսզի հասկանաք, թե որ մոդուլն է ավելի մեծ և որն է ավելի փոքր, դուք պետք է կարողանաք համեմատել այս կոտորակների մոդուլները՝ նախքան դրանք հաշվարկելը.

Ռացիոնալ թվի մոդուլն ավելի մեծ է, քան ռացիոնալ թվի մոդուլը: Հետևաբար, մենք հանեցինք. Պատասխան ստացանք. Այնուհետև այս կոտորակը 2-ով փոքրացնելով ստացանք վերջնական պատասխանը.

Որոշ պարզունակ գործողություններ, ինչպիսիք են թվերը փակագծերում դնելը և մոդուլներ ավելացնելը, կարելի է բաց թողնել: Այս օրինակը կարելի է հակիրճ գրել.

Օրինակ 2.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ ռացիոնալ թվերի միջև եղած մինուսը գործողության նշան է և չի տարածվում կոտորակի վրա։ Այս կոտորակը ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

Փոխարինենք հանումը գումարումով։ Հիշեցնենք, որ դա անելու համար անհրաժեշտ է մինուենդին ավելացնել ենթակետին հակառակ թիվը.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Բացասական ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնել մինուս.

Նշում.Պետք չէ ամեն ռացիոնալ թիվ փակցնել փակագծերում։ Սա արվում է հարմարության համար, որպեսզի հստակ տեսնենք, թե ռացիոնալ թվերն ինչ նշաններ ունեն։

Օրինակ 3.Գտեք արտահայտության իմաստը.

Այս արտահայտության մեջ կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ։ Մեր առաջադրանքը հեշտացնելու համար եկեք այս կոտորակները կրճատենք ընդհանուր հայտարարի: Մենք չենք մանրամասնի, թե ինչպես դա անել: Եթե ​​դժվարություններ եք ունենում, անպայման կրկնեք դասը։

Կոտորակները ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ավելի փոքր մոդուլը հանում ենք մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

Օրինակ 4.Գտեք արտահայտության արժեքը

Հաշվարկենք այս արտահայտությունը հետևյալ կերպ՝ գումարենք ռացիոնալ թվերը և ստացված արդյունքից հանենք ռացիոնալ թիվը։

Առաջին գործողություն.

Երկրորդ գործողություն.

Օրինակ 5. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Ներկայացնենք −1 ամբողջ թիվը որպես կոտորակ, իսկ խառը թիվը վերածենք ոչ պատշաճ կոտորակի.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Ավելի փոքր մոդուլը հանում ենք մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Պատասխան ստացանք.

Կա երկրորդ լուծում. Այն բաղկացած է ամբողջ մասերը առանձին-առանձին միացնելուց։

Այսպիսով, վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Յուրաքանչյուր թիվ փակցնենք փակագծերում։ Դա անելու համար խառը թիվը ժամանակավոր է.

Հաշվենք ամբողջ թվային մասերը.

(−1) + (+2) = 1

Հիմնական արտահայտության մեջ (−1) + (+2) փոխարեն ստացված միավորը գրում ենք.

Ստացված արտահայտությունն է. Դա անելու համար գրեք միավորը և կոտորակը միասին.

Եկեք լուծումը գրենք այսպես ավելի կարճ ձևով.

Օրինակ 6.Գտեք արտահայտության արժեքը

Խառը թիվը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակի։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոխելու.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

Օրինակ 7.Գտեք արտահայտության արժեքը

Ներկայացնենք −5 ամբողջ թիվը որպես կոտորակ, իսկ խառը թիվը վերածենք ոչ պատշաճ կոտորակի.

Այս կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի. Ընդհանուր հայտարարի վերածվելուց հետո դրանք կստանան հետևյալ ձևը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքը .

Այս օրինակը լուծենք երկրորդ ճանապարհով. Վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Խառը թիվը գրենք ընդլայնված տեսքով։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոփոխությունների.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնում ենք իր նշանների հետ միասին.

Հաշվենք ամբողջ թվային մասերը.

Հիմնական արտահայտության մեջ ստացված −7 թիվը գրելու փոխարեն

Արտահայտությունը խառը թիվ գրելու ընդլայնված ձև է։ −7 թիվը և կոտորակը միասին գրում ենք վերջնական պատասխանը կազմելու համար.

Համառոտ գրենք այս լուծումը.

Օրինակ 8.Գտեք արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնում ենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքն է

Այս օրինակը կարելի է լուծել երկրորդ ճանապարհով. Այն բաղկացած է ամբողջական և կոտորակային մասերի առանձին ավելացումից։ Վերադառնանք սկզբնական արտահայտությանը.

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Ավելացնենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս։ Բայց այս անգամ կավելացնենք ամբողջ մասերը (−1 և −2), և՛ կոտորակային, և՛

Համառոտ գրենք այս լուծումը.

Օրինակ 9.Գտեք արտահայտչական արտահայտություններ

Եկեք խառը թվերը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակների.

Փակագծերում փակցնենք ռացիոնալ թիվ իր նշանի հետ միասին։ Փակագծերում ռացիոնալ թիվ դնելու կարիք չկա, քանի որ այն արդեն փակագծերում է.

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք գումարենք այս թվերի մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

Այսպիսով, արտահայտության արժեքն է

Այժմ փորձենք լուծել այս նույն օրինակը երկրորդ եղանակով, այն է՝ ամբողջ թվեր ավելացնելով և կոտորակային մասերառանձին-առանձին։

Այս անգամ կարճ լուծում ստանալու համար փորձենք շրջանցել որոշ քայլեր, օրինակ՝ խառը թիվ գրել ընդլայնված ձևով և հանումը փոխարինել գումարումով.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կոտորակային մասերը կրճատվել են ընդհանուր հայտարարի:

Օրինակ 10.Գտեք արտահայտության արժեքը

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Ստացված արտահայտությունը չի պարունակում բացասական թվեր, որոնք սխալների հիմնական պատճառն են։ Եվ քանի որ բացասական թվեր չկան, մենք կարող ենք հանել ենթագծի դիմացի գումարածը և նաև հեռացնել փակագծերը.

Արդյունքը պարզ արտահայտություն է, որը հեշտ է հաշվարկել: Եկեք հաշվարկենք այն մեզ հարմար ձևով.

Օրինակ 11.Գտեք արտահայտության արժեքը

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Եկեք հանենք ավելի փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Օրինակ 12.Գտեք արտահայտության արժեքը

Արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի ռացիոնալ թվերից։ Ըստ՝ նախ և առաջ պետք է քայլերը կատարել փակագծերում։

Նախ հաշվում ենք արտահայտությունը, ապա ավելացնում ստացված արդյունքները։

Առաջին գործողություն.

Երկրորդ գործողություն.

Երրորդ գործողություն.

Պատասխան.արտահայտման արժեքը հավասար է

Օրինակ 13.Գտեք արտահայտության արժեքը

Եկեք խառը թվերը փոխարկենք ոչ պատշաճ կոտորակների.

Փակագծերում ռացիոնալ թիվը դնենք իր նշանի հետ միասին։ Ռացիոնալ թիվը փակագծերում դնելու կարիք չկա, քանի որ այն արդեն փակագծերում է.

Այս կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի. Ընդհանուր հայտարարի վերածվելուց հետո դրանք կստանան հետևյալ ձևը.

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Եկեք հանենք ավելի փոքր մոդուլը ավելի մեծ մոդուլից և ստացված պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

Այսպիսով, արտահայտության իմաստը հավասար է

Եկեք նայենք տասնորդականների գումարում-հանումին, որոնք նույնպես ռացիոնալ թվեր են և կարող են լինել կամ դրական կամ բացասական:

Օրինակ 14.Գտե՛ք −3,2 + 4,3 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ արտահայտության մեջ տրված գումարածը գործողության նշան է և չի տարածվում 4.3 տասնորդական կոտորակի վրա։ Այս տասնորդական կոտորակն ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է այն պատճառով, որ գրված չէ։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

(−3,2) + (+4,3)

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար հարկավոր է ավելի փոքր մոդուլը հանել ավելի մեծ մոդուլից, և մինչ ստացված պատասխանը դնել այն ռացիոնալ թիվը, որի մոդուլն ավելի մեծ է: Եվ որպեսզի հասկանաք, թե որ մոդուլն է ավելի մեծ և որն է ավելի փոքր, դուք պետք է կարողանաք համեմատել այս տասնորդական կոտորակների մոդուլները՝ նախքան դրանք հաշվարկելը.

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

4.3 թվի մոդուլը մեծ է −3.2 թվի մոդուլից, ուստի 4.3-ից հանեցինք 3.2։ Ստացանք 1.1 պատասխանը. Պատասխանը դրական է, քանի որ պատասխանին պետք է նախորդի այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է։ Իսկ 4.3 թվի մոդուլը մեծ է −3.2 թվի մոդուլից։

Այսպիսով, −3,2 + (+4,3) արտահայտության արժեքը 1,1 է

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Օրինակ 15.Գտե՛ք 3,5 + (−8,3) արտահայտության արժեքը։

Սա տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք ավելի մեծ մոդուլից հանում ենք փոքրը և պատասխանից առաջ դնում ենք այն ռացիոնալ թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Այսպիսով, 3,5 + (−8,3) արտահայտության արժեքը −4,8 է

Այս օրինակը կարելի է հակիրճ գրել.

3,5 + (−8,3) = −4,8

Օրինակ 16.Գտե՛ք −7,2 + (−3,11) արտահայտության արժեքը։

Սա բացասական ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Բացասական ռացիոնալ թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնել մինուս:

Դուք կարող եք բաց թողնել մուտքը մոդուլներով, որպեսզի չխառնվի արտահայտությունը.

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Այսպիսով, −7,2 + (−3,11) արտահայտության արժեքը −10,31 է։

Այս օրինակը կարելի է հակիրճ գրել.

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Օրինակ 17.Գտե՛ք −0,48 + (−2,7) արտահայտության արժեքը։

Սա բացասական ռացիոնալ թվերի գումարումն է։ Ավելացնենք նրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս։ Դուք կարող եք բաց թողնել մուտքը մոդուլներով, որպեսզի չխառնվի արտահայտությունը.

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Օրինակ 18.Գտե՛ք −4,9 − 5,9 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին։ Հաշվի ենք առնում, որ մինուսը, որը գտնվում է −4,9 և 5,9 ռացիոնալ թվերի միջև, գործողության նշան է և չի պատկանում 5,9 թվին։ Այս ռացիոնալ թիվն ունի իր գումարած նշանը, որն անտեսանելի է՝ գրառված չլինելու պատճառով։ Բայց պարզության համար մենք կգրենք.

(−4,9) − (+5,9)

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

(−4,9) + (−5,9)

Մենք ստացանք բացասական ռացիոնալ թվերի գումարում: Եկեք ավելացնենք դրանց մոդուլները և ստացված պատասխանի դիմաց դնենք մինուս.

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Այսպիսով, −4,9 − 5,9 արտահայտության արժեքը −10,8 է

−4,9 − 5,9 = −10,8

Օրինակ 19.Գտե՛ք 7 − 9.3 արտահայտության արժեքը

Յուրաքանչյուր թիվ դնենք փակագծերում՝ իր նշանների հետ միասին։

(+7) − (+9,3)

Փոխարինենք հանումը գումարումով

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Այսպիսով, 7 − 9.3 արտահայտության արժեքը −2.3 է

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

7 − 9,3 = −2,3

Օրինակ 20.Գտե՛ք −0,25 − (−1,2) արտահայտության արժեքը։

Փոխարինենք հանումը գումարումով.

−0,25 + (+1,2)

Ստացանք տարբեր նշաններով ռացիոնալ թվերի գումարում։ Եկեք ավելի փոքր մոդուլը հանենք ավելի մեծ մոդուլից և պատասխանից առաջ դնում ենք այն թվի նշանը, որի մոդուլն ավելի մեծ է.

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Եկեք կարճ գրենք այս օրինակի լուծումը.

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Օրինակ 21.Գտե՛ք −3,5 + (4,1 − 7,1) արտահայտության արժեքը։

Կատարենք փակագծերում տրված գործողությունները, ապա ստացված պատասխանը գումարենք −3.5 թվով

Առաջին գործողություն.

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Երկրորդ գործողություն.

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Պատասխան.−3,5 + (4,1 − 7,1) արտահայտության արժեքը −6,5 է։

Օրինակ 22.Գտե՛ք (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) արտահայտության արժեքը։

Եկեք կատարենք փակագծերում տրված քայլերը: Այնուհետև առաջին փակագծերի կատարման արդյունքում ստացված թվից հանել երկրորդ փակագծերի կատարման արդյունքում ստացված թիվը.

Առաջին գործողություն.

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Երկրորդ գործողություն.

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Երրորդ գործողություն

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Պատասխան.(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) արտահայտության արժեքը 6 է։

Օրինակ 23.Գտեք արտահայտության արժեքը −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ փակագծերում փակցնենք իր նշանների հետ միասին

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Հնարավորության դեպքում հանումը փոխարինենք գումարումով.

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի տերմիններից. Համաձայն գումարման համակցված օրենքի, եթե արտահայտությունը բաղկացած է մի քանի անդամից, ապա գումարը կախված չի լինի գործողությունների հերթականությունից։ Սա նշանակում է, որ պայմանները կարող են ավելացվել ցանկացած հերթականությամբ:

Եկեք չհորինենք անիվը, այլ ավելացնենք բոլոր տերմինները ձախից աջ՝ իրենց տեսքի հերթականությամբ.

Առաջին գործողություն.

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Երկրորդ գործողություն.

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Երրորդ գործողություն.

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Պատասխան.−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 արտահայտության արժեքը 1 է։

Օրինակ 24.Գտեք արտահայտության արժեքը

Եկեք թարգմանենք տասնորդական−1,8 խառը թվով։ Մնացածը վերաշարադրենք առանց փոխելու.