Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների առանձին տեսակներ. Երկրորդ կարգի և ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Գծային անհամասեռ լուծման հիմունքներ դիֆերենցիալ հավասարումներերկրորդ կարգի (LNDU-2) հետ հաստատուն գործակիցներ(Համակարգիչ)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): Այնուհետև LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավոր և ընդհանուր լուծումների գումարին, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե աջ մաս 2-րդ կարգի LPDE-ն ֆունկցիաների գումարն է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ PD-ները, որոնք համապատասխանում են $f_ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին: (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը: ձևը $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն ​​PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է a. $n$ աստիճանի բազմանդամ: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$ նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է բնորոշ հավասարումհամապատասխան LOD-2, հավասար է զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ են հայտնի թվեր. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• փոխարինեք PD $U$-ով գրված ընդհանուր տեսարան, Վ ձախ կողմ LNDU-2;
• LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
• Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
• լուծել ստացված գծային հավասարումների համակարգը անհայտ գործակիցների համար.

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$-ի փոխարեն $y""$, $y"$ և $y$ ֆունկցիաները տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x)$ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարելի է բաց թողնել: Ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD որոնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.

Այստեղ մենք կկիրառենք Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդը՝ գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները լուծելու համար։ Մանրամասն նկարագրությունկամայական կարգի հավասարումների լուծման այս մեթոդը նկարագրված է էջում
Բարձրագույն կարգերի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում Լագրանժի մեթոդով >>>.

Օրինակ 1

Լուծեք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով՝ օգտագործելով Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդը.
(1)

Լուծում

Նախ լուծում ենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը.
(2)

Սա երկրորդ կարգի հավասարում է:

Քառակուսային հավասարման լուծում.
.
Բազմաթիվ արմատներ. (2) հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը ունի ձև.
(3) .
Այստեղից մենք ստանում ենք ընդհանուր լուծումը միատարր հավասարում (2):
(4) .

C հաստատունների փոփոխում 1 և Ք 2 . Այսինքն, մենք (4)-ի հաստատունները փոխարինում ենք ֆունկցիաներով.
.
Փնտրում է լուծում բնօրինակ հավասարումը(1) որպես:
(5) .

Գտնելով ածանցյալը.
.
Միացնենք ֆունկցիաները և հավասարումը.
(6) .
Հետո
.

Մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.
.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ (1).
(1) ;



.
Քանի որ և բավարարում ենք միատարր հավասարումը (2), վերջին երեք տողերի յուրաքանչյուր սյունակի տերմինների գումարը տալիս է զրո, իսկ նախորդ հավասարումը ստանում է ձևը.
(7) .
Այստեղ .

(6) հավասարման հետ միասին մենք ստանում ենք ֆունկցիաների որոշման հավասարումների համակարգ և.
(6) :
(7) .

Հավասարումների համակարգի լուծում

Լուծում ենք (6-7) հավասարումների համակարգը։ Եկեք գրենք ֆունկցիաների արտահայտությունները և.
.
Մենք գտնում ենք դրանց ածանցյալները.
;
.

Քրամերի մեթոդով լուծում ենք հավասարումների համակարգը (6-7): Մենք հաշվարկում ենք համակարգի մատրիցայի որոշիչը.

.
Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.
;
.

Այսպիսով, մենք գտանք գործառույթների ածանցյալները.
;
.
Եկեք ինտեգրվենք (տես Արմատների ինտեգրման մեթոդներ): Փոխարինում կատարելը
; ; ; .

.
.

;
.

Պատասխանել

Օրինակ 2

Դիֆերենցիալ հավասարումը լուծեք Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդով.
(8)

Լուծում

Քայլ 1. Միատարր հավասարման լուծում

Մենք լուծում ենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը.

(9)
Մենք լուծում ենք փնտրում ձևով։ Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարումը.

Այս հավասարումն ունի բարդ արմատներ.
.
Այս արմատներին համապատասխան լուծումների հիմնարար համակարգը ունի ձև.
(10) .
Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում (9):
(11) .

Քայլ 2. հաստատունների փոփոխություն - հաստատունների փոխարինում ֆունկցիաներով

Այժմ մենք փոփոխում ենք C հաստատունները 1 և Ք 2 . Այսինքն՝ (11)-ի հաստատունները փոխարինում ենք ֆունկցիաներով.
.
Մենք փնտրում ենք սկզբնական (8) հավասարման լուծումը հետևյալ ձևով.
(12) .

Ավելին, լուծման առաջընթացը նույնն է, ինչ օրինակ 1-ում: Մենք հասնում ենք հաջորդ համակարգըֆունկցիաների որոշման հավասարումներ և.
(13) :
(14) .
Այստեղ .

Հավասարումների համակարգի լուծում

Եկեք լուծենք այս համակարգը: Եկեք գրենք ֆունկցիաների արտահայտությունները և.
.
Ածանցյալների աղյուսակից մենք գտնում ենք.
;
.

Քրամերի մեթոդով լուծում ենք հավասարումների համակարգը (13-14): Համակարգի մատրիցայի որոշիչ.

.
Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.
;
.

.
Քանի որ , մոդուլի նշանը լոգարիթմի նշանի տակ կարող է բաց թողնել: Բազմապատկեք համարիչը և հայտարարը հետևյալով.
.
Հետո
.

Բնօրինակ հավասարման ընդհանուր լուծում.


.

Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում կոչվում է ձևի հավասարում

y"" + էջ(x)y" + ք(x)y = զ(x) ,

Որտեղ yայն գործառույթն է, որը պետք է գտնել, և էջ(x) , ք(x) Եվ զ(x) - շարունակական գործառույթներ որոշակի ընդմիջումով ( ա, բ) .

Եթե ​​հավասարման աջ կողմը զրո է ( զ(x) = 0), ապա կանչվում է հավասարումը գծային միատարր հավասարում . Այս դասի գործնական մասը հիմնականում նվիրված է լինելու նման հավասարումներին։ Եթե ​​հավասարման աջ կողմը հավասար չէ զրոյի ( զ(x) ≠ 0), ապա հավասարումը կոչվում է .

Խնդիրներում մեզանից պահանջվում է լուծել հավասարումը y"" :

y"" = −էջ(x)y" − ք(x)y + զ(x) .

Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումները ունեն յուրահատուկ լուծում Կոշի խնդիրներ .

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը և դրա լուծումը

Դիտարկենք երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը.

y"" + էջ(x)y" + ք(x)y = 0 .

Եթե y1 (x) Եվ y2 (x) այս հավասարման որոշակի լուծումներ են, ապա ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

1) y1 (x) + y 2 (x) - նույնպես այս հավասարման լուծումն է.

2) Cy1 (x) , Որտեղ Գ- կամայական հաստատուն (հաստատուն), նույնպես այս հավասարման լուծումն է:

Այս երկու պնդումներից հետևում է, որ ֆունկցիան

Գ1 y 1 (x) + Գ 2 y 2 (x)

նույնպես այս հավասարման լուծումն է։

Արդար հարց է ծագում՝ սա՞ լուծում է երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում , այսինքն՝ այնպիսի լուծում, որում տարբեր արժեքների համար Գ1 Եվ Գ2 Հնարավո՞ր է արդյոք ստանալ հավասարման բոլոր հնարավոր լուծումները:

Այս հարցի պատասխանն է՝ գուցե, բայց որոշակի պայմաններում։ Սա պայման, թե ինչ հատկություններ պետք է ունենան կոնկրետ լուծումները y1 (x) Եվ y2 (x) .

Եվ այս պայմանը կոչվում է պայման գծային անկախությունմասնավոր լուծումներ.

Թեորեմ. Գործառույթ Գ1 y 1 (x) + Գ 2 y 2 (x) գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է, եթե ֆունկցիաները y1 (x) Եվ y2 (x) գծային անկախ.

Սահմանում. Գործառույթներ y1 (x) Եվ y2 (x) կոչվում են գծային անկախ, եթե նրանց հարաբերակցությունը հաստատուն է՝ ոչ զրոյական.

y1 (x)/y 2 (x) = կ ; կ = հաստատ ; կ ≠ 0 .

Այնուամենայնիվ, ըստ սահմանման որոշելը, թե արդյոք այդ գործառույթները գծային անկախ են, հաճախ շատ աշխատատար է: Գծային անկախություն հաստատելու միջոց կա՝ օգտագործելով Վրոնսկու որոշիչը Վ(x) :

Եթե ​​Վրոնսկու որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա լուծումները գծային անկախ են . Եթե ​​Վրոնսկու որոշիչը զրո է, ապա լուծումները գծային կախված են:

Օրինակ 1.Գտե՛ք գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Մենք ինտեգրվում ենք երկու անգամ և, ինչպես հեշտ է տեսնել, որպեսզի ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի և ֆունկցիայի միջև տարբերությունը հավասար լինի զրոյի, լուծումները պետք է կապված լինեն էքսպոնենցիալի հետ, որի ածանցյալը հավասար է իրեն։ Այսինքն մասնակի լուծումներն են և .

Քանի որ Wronski որոշիչ

հավասար չէ զրոյի, ապա այս լուծումները գծային անկախ են: Հետևաբար, այս հավասարման ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել այսպես

.

Գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով՝ տեսություն և պրակտիկա

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով կոչվում է ձևի հավասարում

y"" + py" + քյ = 0 ,

Որտեղ էջԵվ ք- հաստատուն արժեքներ.

Այն, որ սա երկրորդ կարգի հավասարում է, նշվում է ցանկալի ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի առկայությամբ, իսկ դրա միատարրությունը՝ աջ կողմում զրոյով: Արդեն վերը նշված արժեքները կոչվում են հաստատուն գործակիցներ:

Դեպի լուծել գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով , նախ պետք է լուծել ձևի այսպես կոչված բնորոշ հավասարումը

կ² + pq + ք = 0 ,

որը, ինչպես երևում է, սովորական քառակուսի հավասարում է։

Կախված բնութագրիչ հավասարման լուծումից, հնարավոր է երեք տարբեր տարբերակ հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներ , որը մենք հիմա կվերլուծենք։ Լրիվ որոշակիության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր կոնկրետ լուծումները փորձարկվել են Վրոնսկու որոշիչով և այն բոլոր դեպքերում հավասար չէ զրոյի: Կասկածողները, սակայն, կարող են դա ստուգել իրենք:

Բնութագրական հավասարման արմատները իրական են և հստակ

Այլ կերպ ասած, . Այս դեպքում հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն ունի ձև.

.

Օրինակ 2. Լուծել գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում

.

Օրինակ 3. Լուծել գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում

.

Լուծում. Բնութագրական հավասարումն ունի ձևը, իր արմատները և իրական են և հստակ: Հավասարման համապատասխան մասնակի լուծումներն են՝ և . Այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

.

Բնութագրական հավասարման արմատները իրական են և հավասար

Այն է, . Այս դեպքում հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն ունի ձև.

.

Օրինակ 4. Լուծել գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում

.

Լուծում. Բնութագրական հավասարում ունի հավասար արմատներ. Հավասարման համապատասխան մասնակի լուծումներն են՝ և . Այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Օրինակ 5. Լուծել գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում

.

Լուծում. Բնութագրական հավասարումն ունի հավասար արմատներ։ Հավասարման համապատասխան մասնակի լուծումներն են՝ և . Այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական պետություն

գյուղատնտեսական ակադեմիա»

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

Ուղեցույցներ

ուսումնասիրել «Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ» թեման հեռակա կրթության հաշվապահական հաշվառման ֆակուլտետի ուսանողների կողմից (NISPO)

Գորկի, 2013 թ

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

երկրորդ կարգը հաստատուններովգործակիցները

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ

Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով կոչվում է ձևի հավասարում

դրանք. հավասարում, որը պարունակում է ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները միայն առաջին աստիճանի և չի պարունակում դրանց արտադրյալները։ Այս հավասարման մեջ Եվ
- որոշ թվեր և գործառույթ
տրված է որոշակի ընդմիջումով
.

Եթե
ընդմիջման վրա
, ապա (1) հավասարումը կձևավորվի

, (2)

և կոչվում է գծային միատարր . Հակառակ դեպքում կոչվում է (1) հավասարումը գծային անհամասեռ .

Դիտարկենք բարդ ֆունկցիան

, (3)

Որտեղ
Եվ
- իրական գործառույթներ. Եթե ​​(3) ֆունկցիան (2) հավասարման բարդ լուծումն է, ապա իրական մասը
, և երևակայական մասը
լուծումներ
առանձին-առանձին միատարր հավասարման լուծումներ են: Այսպիսով, ամեն ինչ համապարփակ լուծումհավասարումը (2) առաջացնում է այս հավասարման երկու իրական լուծում:

Միատարր լուծումներ գծային հավասարումունեն հատկություններ.

Եթե (2) հավասարման լուծումն է, ապա ֆունկցիան
, Որտեղ ՀԵՏ- կամայական հաստատունը նույնպես կլինի (2) հավասարման լուծումը.

Եթե Եվ կան (2) հավասարման լուծումները, ապա ֆունկցիան
կլինի նաև (2) հավասարման լուծումը.

Եթե Եվ կան (2) հավասարման լուծումներ, ապա դրանց գծային համակցությունը
կլինի նաև (2) հավասարման լուծումը, որտեղ Եվ
- կամայական հաստատուններ.

Գործառույթներ
Եվ
կոչվում են գծային կախված ընդմիջման վրա
, եթե այդպիսի թվեր կան Եվ
, միաժամանակ հավասար չէ զրոյի, որ այս միջակայքում հավասարությունը

Եթե ​​հավասարությունը (4) տեղի է ունենում միայն այն ժամանակ, երբ
Եվ
, ապա ֆունկցիաները
Եվ
կոչվում են գծային անկախ ընդմիջման վրա
.

Օրինակ 1 . Գործառույթներ
Եվ
գծային կախված են, քանի որ
ամբողջ թվային տողի վրա: Այս օրինակում
.

Օրինակ 2 . Գործառույթներ
Եվ
գծային անկախ են ցանկացած միջակայքում, քանի որ հավասարությունը
հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ
, Եվ
.

Շինարարություն ընդհանուր լուծումգծային միատարր

հավասարումներ

(2) հավասարման ընդհանուր լուծումը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա գծային անկախ լուծումներից երկուսը Եվ . Այս լուծումների գծային համադրություն
, Որտեղ Եվ
կամայական հաստատուններ են և ընդհանուր լուծում կտան գծային միատարր հավասարմանը:

Մենք կփնտրենք (2) հավասարման գծային անկախ լուծումներ ձևով

, (5)

Որտեղ - որոշակի թիվ. Հետո
,
. Այս արտահայտությունները փոխարինենք (2) հավասարմամբ.

կամ
.

Որովհետեւ
, Դա
. Այսպիսով, գործառույթը
կլինի (2) հավասարման լուծումը, եթե կբավարարի հավասարումը

. (6)

Կանչվում է հավասարումը (6): բնորոշ հավասարում (2) հավասարման համար։ Այս հավասարումը հանրահաշվական քառակուսի հավասարում է։

Թող Եվ կան այս հավասարման արմատները: Նրանք կարող են լինել կամ իրական և տարբեր, կամ բարդ, կամ իրական և հավասար: Դիտարկենք այս դեպքերը։

Թող արմատները Եվ բնորոշ հավասարումները իրական են և հստակ: Այնուհետև (2) հավասարման լուծումները կլինեն ֆունկցիաները
Եվ
. Այս լուծումները գծային անկախ են, քանի որ հավասարությունը
կարող է իրականացվել միայն այն ժամանակ, երբ
, Եվ
. Հետևաբար, (2) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

,

Որտեղ Եվ
- կամայական հաստատուններ.

Օրինակ 3
.

Լուծում . Այս դիֆերենցիալի բնորոշ հավասարումը կլինի
. Այս քառակուսային հավասարումը լուծելով՝ մենք գտնում ենք դրա արմատները
Եվ
. Գործառույթներ
Եվ
դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներ են։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է
.

Համալիր համարը կոչվում է ձևի արտահայտություն
, Որտեղ Եվ իրական թվեր են, և
կոչվում է երևակայական միավոր: Եթե
, ապա համարը
կոչվում է զուտ երևակայական: Եթե
, ապա համարը
նույնացվում է իրական թվով .

Թիվ կոչվում է բարդ թվի իրական մասը և - երևակայական մաս. Եթե ​​երկու բարդ թվեր միմյանցից տարբերվում են միայն երևակայական մասի նշանով, ապա դրանք կոչվում են խոնարհված.
,
.

Օրինակ 4 . Լուծել քառակուսի հավասարումը
.

Լուծում . Խտրական հավասարում
. Հետո. Նմանապես,
. Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումն ունի խոնարհված բարդ արմատներ:

Թող բնութագրիչ հավասարման արմատները բարդ լինեն, այսինքն.
,
, Որտեղ
. (2) հավասարման լուծումները կարելի է գրել ձևով
,
կամ
,
. Էյլերի բանաձեւերի համաձայն

,
.

Հետո,. Ինչպես հայտնի է, եթե բարդ ֆունկցիան գծային միատարր հավասարման լուծումն է, ապա այս հավասարման լուծումներն այս ֆունկցիայի և իրական և երևակայական մասերն են։ Այսպիսով, (2) հավասարման լուծումները կլինեն ֆունկցիաները
Եվ
. Քանի որ հավասարությունը

կարող է իրականացվել միայն այն դեպքում, եթե
Եվ
, ապա այս լուծումները գծային անկախ են։ Հետևաբար, (2) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Որտեղ Եվ
- կամայական հաստատուններ.

Օրինակ 5 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Հավասարումը
բնորոշ է տվյալ դիֆերենցիալին։ Եկեք լուծենք այն և բարդ արմատներ ստանանք
,
. Գործառույթներ
Եվ
դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ լուծումներ են։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Թող բնորոշ հավասարման արմատները լինեն իրական և հավասար, այսինքն.
. Այնուհետև (2) հավասարման լուծումները ֆունկցիաներն են
Եվ
. Այս լուծումները գծային անկախ են, քանի որ արտահայտությունը կարող է նույնականորեն հավասար լինել զրոյի միայն այն դեպքում, երբ
Եվ
. Հետևաբար, (2) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև
.

Օրինակ 6 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Բնութագրական հավասարում
ունի հավասար արմատներ
. Այս դեպքում դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ լուծումները ֆունկցիաներն են
Եվ
. Ընդհանուր լուծումն ունի ձև
.

Երկրորդ կարգի անհամասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

և հատուկ աջ կողմը

Գծային անհամասեռ հավասարման (1) ընդհանուր լուծումը հավասար է ընդհանուր լուծման գումարին.
համապատասխան միատարր հավասարումը և ցանկացած կոնկրետ լուծում
անհամասեռ հավասարում:
.

Որոշ դեպքերում անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում կարելի է գտնել աջ կողմի ձևով.
հավասարումը (1). Եկեք նայենք այն դեպքերին, երբ դա հնարավոր է:

դրանք. անհամասեռ հավասարման աջ կողմը աստիճանի բազմանդամ է մ. Եթե
բնութագրական հավասարման արմատ չէ, ապա անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում պետք է փնտրել աստիճանի բազմանդամի տեսքով մ, այսինքն.

Հնարավորություններ
որոշվում են որոշակի լուծում գտնելու գործընթացում:

Եթե
բնորոշ հավասարման արմատն է, ապա անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում պետք է փնտրել ձևով.

Օրինակ 7 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Այս հավասարման համապատասխան միատարր հավասարումն է
. Նրա բնորոշ հավասարումը
արմատներ ունի
Եվ
. Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև
.

Որովհետեւ
բնորոշ հավասարման արմատ չէ, այնուհետև մենք ֆունկցիայի տեսքով կփնտրենք անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում.
. Գտնենք այս ֆունկցիայի ածանցյալները
,
և փոխարինիր դրանք այս հավասարման մեջ.

կամ . Եկեք հավասարեցնենք գործակիցները և անվճար անդամներ.
Որոշելով այս համակարգը, ստանում ենք
,
. Այնուհետև անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում ունի ձևը
, իսկ տրված անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը կլինի համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման և անհամասեռի առանձին լուծման գումարը.
.

Թող անհամասեռ հավասարումը ունենա ձև

Եթե
բնորոշ հավասարման արմատ չէ, ապա անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում պետք է փնտրել ձևի մեջ: Եթե
բնորոշ բազմակի հավասարման արմատն է կ (կ=1 կամ կ=2), ապա այս դեպքում անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծումը կունենա .

Օրինակ 8 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Համապատասխան միատարր հավասարման բնորոշ հավասարումն ունի ձևը
. Նրա արմատները
,
. Այս դեպքում համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է ձևով
.

Քանի որ թիվ 3-ը բնորոշ հավասարման արմատ չէ, անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում պետք է փնտրել ձևով.
. Գտնենք առաջին և երկրորդ կարգերի ածանցյալները.

Դիֆերենցիալ հավասարման մեջ փոխարինենք.
+ +,
+,.

Եկեք հավասարեցնենք գործակիցները և անվճար անդամներ.

Այստեղից
,
. Այնուհետև այս հավասարման որոշակի լուծում ունի ձևը
, և ընդհանուր լուծումը

.

Կամայական հաստատունների փոփոխման Լագրանժի մեթոդը

Կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը կարող է կիրառվել հաստատուն գործակիցներով ցանկացած անհամասեռ գծային հավասարման վրա՝ անկախ աջ կողմի տեսակից: Այս մեթոդը թույլ է տալիս միշտ գտնել անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը, եթե հայտնի է համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Թող
Եվ
(2) հավասարման գծային անկախ լուծումներ են։ Այնուհետև այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է
, Որտեղ Եվ
- կամայական հաստատուններ. Կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդի էությունն այն է, որ (1) հավասարման ընդհանուր լուծումը որոնվում է ձևով.

Որտեղ
Եվ
- նոր անհայտ գործառույթներ, որոնք պետք է գտնել: Քանի որ կան երկու անհայտ ֆունկցիաներ, դրանք գտնելու համար անհրաժեշտ է այդ ֆունկցիաները պարունակող երկու հավասարումներ։ Այս երկու հավասարումները կազմում են համակարգը

որը հավասարումների գծային հանրահաշվական համակարգ է նկատմամբ
Եվ
. Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք
Եվ
. Ինտեգրելով ստացված հավասարումների երկու կողմերը՝ գտնում ենք

Եվ
.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (9-ով)՝ մենք ստանում ենք անհամասեռ գծային հավասարման ընդհանուր լուծումը (1):

Օրինակ 9 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում. Տվյալ դիֆերենցիալ հավասարմանը համապատասխան միատարր հավասարման բնորոշ հավասարումն է
. Նրա արմատները բարդ են
,
. Որովհետեւ
Եվ
, Դա
,
, իսկ միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև. Այնուհետև մենք կփնտրենք այս անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը այն ձևով, որտեղ
Եվ
- անհայտ գործառույթներ:

Այս անհայտ գործառույթները գտնելու համար հավասարումների համակարգը ունի ձևը

Այս համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք
,
. Հետո

,
. Ստացված արտահայտությունները փոխարինենք ընդհանուր լուծման բանաձևով.

Սա այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է, որը ստացվել է Լագրանժի մեթոդով:

Գիտելիքների ինքնատիրապետման հարցեր

Ո՞ր դիֆերենցիալ հավասարումն է կոչվում հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում:

Ո՞ր գծային դիֆերենցիալ հավասարումն է կոչվում միատարր, իսկ ո՞րը՝ անհամասեռ:

Ի՞նչ հատկություններ ունի գծային միատարր հավասարումը:

Ո՞ր հավասարումն է կոչվում գծային դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ և ինչպե՞ս է այն ստացվում:

Ի՞նչ ձևով է գրվում հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը բնորոշ հավասարման տարբեր արմատների դեպքում.

Ի՞նչ ձևով է գրվում հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը բնութագրական հավասարման հավասար արմատների դեպքում.

Ի՞նչ ձևով է գրվում հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը բնութագրական հավասարման բարդ արմատների դեպքում.

Ինչպե՞ս է գրվում գծային անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Ինչ ձևով է փնտրվում գծային անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում, եթե բնորոշ հավասարման արմատները տարբեր են և հավասար չեն զրոյի, իսկ հավասարման աջ կողմը աստիճանի բազմանդամ է։ մ?

Ինչ ձևով է փնտրվում գծային անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում, եթե բնորոշ հավասարման արմատների միջև կա մեկ զրո, իսկ հավասարման աջ կողմը աստիճանի բազմանդամ է: մ?

Ո՞րն է Լագրանժի մեթոդի էությունը:

Այս պարբերությունը կքննարկվի հատուկ դեպքերկրորդ կարգի գծային հավասարումներ, երբ հավասարման գործակիցները հաստատուն են, այսինքն՝ թվեր են։ Նման հավասարումները կոչվում են հաստատուն գործակիցներով հավասարումներ։ Այս տեսակի հավասարումները հատկապես լայն կիրառություն են գտնում։

1. Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ

երկրորդ կարգ՝ հաստատուն գործակիցներով

Դիտարկենք հավասարումը

որոնցում գործակիցները հաստատուն են. Ենթադրենք, որ հավասարման բոլոր անդամները բաժանելով և նշանակելով

Այս հավասարումը գրենք ձևով

Ինչպես հայտնի է, գծային միատարր երկրորդ կարգի հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու համար բավական է իմանալ այն. հիմնարար համակարգմասնավոր լուծումներ. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել մասնակի լուծումների հիմնարար համակարգ հաստատուն գործակիցներով համասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար: Մենք կփնտրենք այս հավասարման որոշակի լուծում ձևով

Այս ֆունկցիան երկու անգամ տարբերակելով և արտահայտությունները (59) հավասարման մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք

Քանի որ, ուրեմն, փոքրացնելով մենք ստանում ենք հավասարումը

Այս հավասարումից որոշվում են k-ի այն արժեքները, որոնց համար ֆունկցիան կլինի (59) հավասարման լուծումը:

k գործակիցը որոշելու հանրահաշվական հավասարումը (61) կոչվում է այս դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարում (59)։

Բնութագրական հավասարումը երկրորդ աստիճանի հավասարում է և հետևաբար ունի երկու արմատ: Այս արմատները կարող են լինել կամ իրական հստակ, իրական և հավասար, կամ բարդ խոնարհված:

Եկեք դիտարկենք, թե այս դեպքերից յուրաքանչյուրում ինչ ձև ունի կոնկրետ լուծումների հիմնարար համակարգը:

1. Բնութագրական հավասարման արմատները իրական են և տարբեր՝ . Այս դեպքում, օգտագործելով բանաձևը (60) մենք գտնում ենք երկու մասնակի լուծում.

Այս երկու կոնկրետ լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ Վրոնսկու որոշիչը ոչ մի տեղ չի անհետանում.

Հետևաբար, հավասարման ընդհանուր լուծումն ըստ (48) բանաձևի ունի ձև

2. Բնութագրական հավասարման արմատները հավասար են՝ . Այս դեպքում երկու արմատներն էլ իրական կլինեն։ Օգտագործելով բանաձևը (60) մենք ստանում ենք միայն մեկ կոնկրետ լուծում

Եկեք ցույց տանք, որ երկրորդ կոնկրետ լուծումը, որը առաջինի հետ միասին կազմում է հիմնարար համակարգ, ունի ձևը

Նախ ստուգենք, որ ֆունկցիան (59) հավասարման լուծում է։ Իսկապես,

Բայց քանի որ կա բնորոշ հավասարման (61) արմատ. Բացի այդ, Վիետայի թեորեմի համաձայն, հետևաբար. Հետևաբար, , այսինքն՝ ֆունկցիան իսկապես լուծում է (59) հավասարմանը։

Այժմ ցույց տանք, որ գտնված մասնակի լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ։ Իսկապես,

Այսպիսով, այս դեպքում միատարր գծային հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

3. Բնութագրական հավասարման արմատները բարդ են: Ինչպես հայտնի է, բարդ արմատներ քառակուսի հավասարումիրական գործակիցներով խոնարհվում են բարդ թվեր, այսինքն՝ նրանք նման են. Այս դեպքում (59) հավասարման մասնակի լուծումները, ըստ (60) բանաձևի, կունենան ձև.

Օգտագործելով Էյլերի բանաձևերը (տե՛ս Գլուխ XI, § 5, պարբերություն 3), համար արտահայտությունները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.

Այս լուծումները համապարփակ են: Վավեր լուծումներ ստանալու համար հաշվի առեք նոր գործառույթները

Դրանք լուծումների գծային համակցություններ են և, հետևաբար, իրենք (59) հավասարման լուծումներ են (տե՛ս § 3, կետ 2, Թեորեմ 1):

Հեշտ է ցույց տալ, որ այս լուծումների համար Վրոնսկու որոշիչը զրոյական չէ, և, հետևաբար, լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ:

Այսպիսով, միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը բնորոշ հավասարման բարդ արմատների դեպքում ունի ձև.

Եզրափակելով՝ ներկայացնում ենք (59) հավասարման ընդհանուր լուծման բանաձևերի աղյուսակը՝ կախված բնորոշ հավասարման արմատների տեսակից: