Որոնք արդեն բավականին ձանձրալի են: Եվ ես զգում եմ, որ եկել է պահը, երբ ժամանակն է նոր պահածոներ հանել տեսության ռազմավարական պաշարներից։ Հնարավո՞ր է այլ կերպ ընդլայնել ֆունկցիան շարքի: Օրինակ, ուղիղ գծի հատվածն արտահայտե՛ք սինուսներով և կոսինուսներով: Դա անհավանական է թվում, բայց նման թվացող հեռավոր գործառույթները կարող են լինել
«վերամիավորում». Բացի տեսական և պրակտիկայում ծանոթ աստիճաններից, կան գործառույթների շարքի ընդլայնման այլ մոտեցումներ:

Այս դասում մենք կծանոթանանք եռանկյունաչափական շարքՖուրիեի, մենք կանդրադառնանք դրա մերձեցման և գումարման խնդրին և, իհարկե, կվերլուծենք ֆունկցիաների ընդլայնման բազմաթիվ օրինակներ Ֆուրիեի շարքում։ Ես անկեղծորեն ուզում էի հոդվածը անվանել «Ֆուրիեի շարք դեբիլների համար», բայց դա անազնիվ կլիներ, քանի որ խնդիրների լուծումը կպահանջի մաթեմատիկական վերլուծության այլ ճյուղերի իմացություն և որոշակի գործնական փորձ: Հետևաբար, նախաբանը նմանվելու է տիեզերագնացների վերապատրաստմանը =)

Նախ, դուք պետք է մոտենաք էջի նյութերի ուսումնասիրությանը գերազանց ձևով: Քնկոտ, հանգստացած և սթափ։ Առանց ուժեղ հույզերի կոտրված համստերի թաթի մասին և մոլուցքային մտքերկյանքի դժվարությունների մասին ակվարիումի ձուկ. Այնուամենայնիվ, Ֆուրիեի շարքը դժվար չէ հասկանալ գործնական առաջադրանքներդրանք պարզապես պահանջում են ուշադրության կենտրոնացում. իդեալական տարբերակում դուք պետք է ամբողջությամբ անջատվեք արտաքին գրգռիչներից: Իրավիճակը սրվում է նրանով, որ լուծումն ու պատասխանը ստուգելու հեշտ ճանապարհ չկա։ Այսպիսով, եթե ձեր առողջությունը միջինից ցածր է, ապա ավելի լավ է ավելի պարզ բան անել։ Արդյոք դա ճիշտ է.

Երկրորդ, տիեզերք թռչելուց առաջ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել գործիքների վահանակը տիեզերանավ. Սկսենք այն գործառույթների արժեքներից, որոնք պետք է սեղմվեն մեքենայի վրա.

Ցանկացած բնական արժեքի համար.

1) . Իրոք, սինուսոիդը «կարում» է x առանցքը յուրաքանչյուր «pi»-ի միջով.
. Փաստարկի բացասական արժեքների դեպքում արդյունքը, իհարկե, կլինի նույնը.

2) . Բայց ոչ բոլորը գիտեին սա: «pi» կոսինուսը «թարթիչի» համարժեք է.

Բացասական փաստարկը չի փոխում հարցը. .

Երևի բավական է։

Եվ երրորդ, հարգելի տիեզերագնաց կորպուս, դուք պետք է կարողանաք... ինտեգրվել.
Մասնավորապես, վստահորեն ֆունկցիան ներառել դիֆերենցիալ նշանի տակ, ինտեգրվել մաս-մասև հաշտ եղիր հետ Նյուտոն-Լայբնից բանաձև. Սկսենք կարևոր նախաթռիչքային վարժությունները: Ես կտրականապես խորհուրդ չեմ տալիս բաց թողնել այն, որպեսզի հետագայում չսիրվես անկշռության մեջ.

Օրինակ 1

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալներ

որտեղ տանում են բնական արժեքները:

Լուծումինտեգրումն իրականացվում է «x» փոփոխականի վրա և այս փուլում «en» դիսկրետ փոփոխականը համարվում է հաստատուն: Բոլոր ինտեգրալներում ֆունկցիան դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Լուծման կարճ տարբերակը, որը լավ կլինի թիրախավորել, ունի հետևյալ տեսքը.

Եկեք վարժվենք դրան.

Մնացած չորս միավորները ինքնուրույն են: Փորձեք բարեխղճորեն մոտենալ առաջադրանքին և կարճ գրել ինտեգրալները։ Դասի վերջում լուծումների նմուշներ.

ՈՐԱԿ վարժությունները կատարելուց հետո հագնում ենք սկաֆանդրներ
և պատրաստվում է սկսել:

Գործառույթի ընդլայնում Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում

Դիտարկենք մի գործառույթ, որը որոշվածառնվազն որոշակի ժամանակահատվածի համար (և հնարավոր է ավելի երկար ժամանակով): Եթե ​​այս ֆունկցիան ինտեգրելի է միջակայքում, ապա այն կարող է ընդլայնվել եռանկյունաչափականի Ֆուրիեի շարք:
, որտեղ են այսպես կոչված Ֆուրիեի գործակիցները.

Այս դեպքում համարը կոչվում է տարրալուծման ժամանակաշրջան, իսկ թիվն է տարրալուծման կես կյանքը.

Ակնհայտ է, որ ընդհանուր դեպքում Ֆուրիեի շարքը բաղկացած է սինուսներից և կոսինուսներից.

Իսկապես, եկեք մանրամասն գրենք.

Շարքի զրոյական տերմինը սովորաբար գրվում է ձևով.

Ֆուրիեի գործակիցները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

Ես հիանալի հասկանում եմ, որ նրանք, ովքեր սկսում են ուսումնասիրել թեման, դեռ պարզ չեն նոր տերմինների մասին. տարրալուծման ժամանակաշրջան, կես ցիկլ, Ֆուրիեի գործակիցներըև այլն: Խուճապի մի մատնվեք, սա համեմատելի չէ արտաքին տարածություն մեկնելուց առաջ հուզմունքի հետ: Եկեք ամեն ինչ հասկանանք հետևյալ օրինակում, որը կատարելուց առաջ տրամաբանական է տալ հրատապ գործնական հարցեր.

Ի՞նչ պետք է անեք հետևյալ առաջադրանքներում.

Ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ: Բացի այդ, հաճախ անհրաժեշտ է պատկերել ֆունկցիայի գրաֆիկ, շարքի գումարի գրաֆիկ, մասնակի գումար, իսկ բարդ պրոֆեսորական ֆանտազիաների դեպքում՝ այլ բան անել:

Ինչպե՞ս ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի:

Ըստ էության, դուք պետք է գտնեք Ֆուրիեի գործակիցները, այսինքն՝ կազմել և հաշվարկել երեք որոշակի ինտեգրալ.

Խնդրում ենք պատճենել Ֆուրիեի շարքի ընդհանուր ձևը և երեք աշխատանքային բանաձևերը ձեր նոթատետրում: Ես շատ ուրախ եմ, որ կայքի որոշ այցելուներ իմ աչքի առաջ իրականացնում են տիեզերագնաց դառնալու իրենց մանկության երազանքը =)

Օրինակ 2

Ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում: Կառուցեք գրաֆիկ, շարքի գումարի և մասնակի գումարի գրաֆիկ:

ԼուծումԱռաջադրանքի առաջին մասը ֆունկցիան ընդլայնելն է Ֆուրիեի շարքի:

Սկիզբը ստանդարտ է, անպայման գրեք, որ.

Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման ժամկետը կիսամյակային է։

Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում.

Օգտագործելով համապատասխան բանաձեւերը՝ գտնում ենք Ֆուրիեի գործակիցները. Այժմ մենք պետք է կազմենք և հաշվարկենք երեքը որոշակի ինտեգրալ. Հարմարության համար թվարկեմ կետերը.

1) Առաջին ինտեգրալը ամենապարզն է, սակայն այն նաև պահանջում է ակնագնդեր.

2) Օգտագործեք երկրորդ բանաձևը.

Այս ինտեգրալը հայտնի է և նա այն վերցնում է մաս առ մաս:

Օգտագործվում է, երբ գտնվել է ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելու մեթոդ.

Քննարկվող առաջադրանքում ավելի հարմար է անմիջապես օգտագործել Որոշակի ինտեգրալում մասերի ինտեգրման բանաձևը :

Մի քանի տեխնիկական նշում. Նախ, բանաձևը կիրառելուց հետո ամբողջ արտահայտությունը պետք է փակվի մեծ փակագծերում, քանի որ սկզբնական ինտեգրալից առաջ հաստատուն կա։ Եկեք չկորցնենք նրան! Փակագծերը կարող են ընդլայնվել ցանկացած հետագա քայլի դեպքում, ես դա արեցի որպես վերջին միջոց: Առաջին «կտորում» Մենք ծայրահեղ զգուշություն ենք ցուցաբերում փոխարինման մեջ, ինչպես տեսնում եք, հաստատունը չի օգտագործվում, և ինտեգրման սահմանները փոխարինվում են արտադրանքի մեջ: Այս գործողությունը ընդգծված է քառակուսի փակագծերում: Դե, դուք ծանոթ եք ուսուցման առաջադրանքից բանաձևի երկրորդ «կտորի» ինտեգրալին;-)

Եվ ամենակարևորը` ծայրահեղ կենտրոնացում:

3) Մենք փնտրում ենք երրորդ Ֆուրիեի գործակիցը.

Ստացվում է նախորդ ինտեգրալի հարաբերականը, որը նույնպես ինտեգրվում է մաս-մաս:

Այս օրինակը մի փոքր ավելի բարդ է, ես քայլ առ քայլ կմեկնաբանեմ հետագա քայլերը.

(1) Արտահայտությունն ամբողջությամբ փակված է մեծ փակագծերում. Ես չէի ուզում ձանձրալի թվալ, նրանք շատ հաճախ են կորցնում մշտականը:

(2) Վ այս դեպքումԵս անմիջապես բացեցի այդ մեծ փակագծերը։ Հատուկ ուշադրություն Մենք նվիրվում ենք առաջին «կտորին». մշտականը ծխում է կողքից և չի մասնակցում արտադրանքի մեջ ինտեգրման (և) սահմանների փոխարինմանը: Հաշվի առնելով ձայնագրության խառնաշփոթը, կրկին խորհուրդ է տրվում ընդգծել այս գործողությունը քառակուսի փակագծերով: Երկրորդ «կտորով» ամեն ինչ ավելի պարզ է՝ այստեղ կոտորակը հայտնվել է մեծ փակագծեր բացելուց հետո, իսկ հաստատունը՝ ծանոթ ինտեգրալի ինտեգրման արդյունքում;-)

(3) Քառակուսի փակագծերում մենք կատարում ենք փոխակերպումներ, իսկ աջ ինտեգրալում՝ ինտեգրման սահմանների փոխարինում։

(4) Քառակուսի փակագծերից հանում ենք «թարթող լույսը»՝ , այնուհետև բացում ենք ներքին փակագծերը՝ .

(5) Փակագծերում ջնջում ենք 1-ը և –1-ը և կատարում վերջնական պարզեցումներ:

Վերջապես, բոլոր երեք Ֆուրիեի գործակիցները գտնված են.

Եկեք դրանք փոխարինենք բանաձևով :

Միեւնույն ժամանակ, մի մոռացեք կիսել կիսով չափ: Վերջին քայլում հաստատունը («մինուս երկու»), որը կախված չէ «en»-ից, վերցվում է գումարից դուրս:

Այսպիսով, մենք ստացել ենք ֆունկցիայի ընդլայնումը Ֆուրիեի շարքի միջակայքում.

Եկեք ուսումնասիրենք Ֆուրիեի շարքերի սերտաճման հարցը։ Ես կբացատրեմ տեսությունը, մասնավորապես Դիրիխլեի թեորեմ, բառացիորեն «մատների վրա», այնպես որ, եթե խիստ ձևակերպումների կարիք ունեք, խնդրում ենք դիմել դասագրքին մաթեմատիկական վերլուծություն (օրինակ՝ Բոհանի 2-րդ հատորը, կամ Ֆիխտենհոլցի 3-րդ հատորը, բայց դա ավելի դժվար է).

Խնդրի երկրորդ մասը պահանջում է նկարել գրաֆիկ, շարքի գումարի գրաֆիկ և մասնակի գումարի գրաֆիկ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորական է ուղիղ գիծ հարթության վրա, որը գծված է սև կետավոր գծով.

Եկեք պարզենք շարքի գումարը: Ինչպես գիտեք, ֆունկցիաների շարքերը համընկնում են ֆունկցիաների: Մեր դեպքում՝ կառուցված Ֆուրիեի շարքը «x» ցանկացած արժեքի համարկմիանա ֆունկցիային, որը ցույց է տրված կարմիրով: Այս գործառույթըդիմանում է 1-ին տեսակի պատռվածքներկետերում, բայց նաև սահմանվում է դրանց վրա (կարմիր կետերը գծագրում)

Այսպիսով. . Հեշտ է նկատել, որ այն նկատելիորեն տարբերվում է սկզբնական ֆունկցիայից, ինչի պատճառով էլ մուտքի մեջ Օգտագործվում է tilde, քան հավասարի նշան:

Եկեք ուսումնասիրենք ալգորիթմ, որը հարմար է շարքի գումարը կառուցելու համար։

Կենտրոնական միջակայքում Ֆուրիեի շարքը համընկնում է բուն ֆունկցիայի հետ (կենտրոնական կարմիր հատվածը համընկնում է գծային ֆունկցիայի սև կետավոր գծի հետ):

Այժմ եկեք մի փոքր խոսենք դիտարկվող եռանկյունաչափական ընդլայնման բնույթի մասին։ Ֆուրիեի շարք ներառում է միայն պարբերական ֆունկցիաներ (հաստատուն, սինուսներ և կոսինուսներ), ուստի շարքի գումարը նաև պարբերական ֆունկցիա է.

Ի՞նչ է սա նշանակում մեր կոնկրետ օրինակում: Իսկ սա նշանակում է, որ շարքի գումարը –անշուշտ պարբերականիսկ միջակայքի կարմիր հատվածը պետք է անվերջ կրկնվի աջ ու ձախ կողմում։

Կարծում եմ, վերջապես պարզ է դարձել «քայքայման շրջան» արտահայտության իմաստը։ Պարզ ասած՝ ամեն անգամ իրավիճակը կրկնվում է նորից ու նորից։

Գործնականում սովորաբար բավական է պատկերել տարրալուծման երեք շրջան, ինչպես արվում է գծագրում: Դե, և նաև հարևան ժամանակաշրջանների «կոճղերը», որպեսզի պարզ լինի, որ գրաֆիկը շարունակվում է:

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում 1-ին տեսակի անջատման կետեր. Նման կետերում Ֆուրիեի շարքը զուգակցվում է մեկուսացված արժեքների, որոնք գտնվում են հենց դադարի «ցատկի» մեջտեղում (գծագրում կարմիր կետեր): Ինչպե՞ս պարզել այս կետերի շարքը: Նախ, եկեք գտնենք «վերին հարկի» օրդինատը. դա անելու համար մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը ընդլայնման կենտրոնական ժամանակաշրջանի ամենաաջ կետում. «Ներքևի հարկի» օրդինատը հաշվարկելու համար ամենահեշտ ձևը ծայրահեղությունն է ձախ արժեքընույն ժամանակաշրջանի: . Միջին արժեքի օրդինատը «վերևի և ներքևի» գումարի միջին թվաբանականն է. Հաճելի փաստ է, որ գծանկար կառուցելիս անմիջապես կտեսնեք՝ միջինը ճիշտ է հաշվարկված, թե սխալ։

Եկեք կառուցենք շարքի մասնակի գումարը և միևնույն ժամանակ կրկնենք «կոնվերգենցիա» տերմինի իմաստը։ Մոտիվը հայտնի է նաև դասից թվերի շարքի գումար. Եկեք մանրամասն նկարագրենք մեր հարստությունը.

Մասնակի գումար կազմելու համար անհրաժեշտ է գրել շարքի զրո + ևս երկու անդամ: Այն է,

Գծանկարը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկը կանաչ, և, ինչպես տեսնում եք, այն բավականին ամուր «փաթաթում է» ամբողջ գումարը։ Եթե ​​դիտարկենք շարքի հինգ անդամների մասնակի գումարը, ապա այս ֆունկցիայի գրաֆիկն ավելի ճշգրիտ կմոտենա կարմիր գծերին, եթե կան հարյուր անդամ, ապա «կանաչ օձը» իրականում ամբողջությամբ կմիավորվի կարմիր հատվածների հետ, և այլն: Այսպիսով, Ֆուրիեի շարքը համընկնում է իր գումարին:

Հետաքրքիր է նշել, որ ցանկացած մասնակի գումար է շարունակական գործառույթ, սակայն, շարքի ընդհանուր գումարը դեռևս ընդհատված է։

Գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ մասնակի գումարային գրաֆիկ կառուցելը: Ինչպե՞ս դա անել: Մեր դեպքում անհրաժեշտ է դիտարկել գործառույթը հատվածի վրա, հաշվարկել դրա արժեքները հատվածի ծայրերում և միջանկյալ կետերում (որքան շատ կետեր դիտարկեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի գրաֆիկը): Այնուհետև դուք պետք է նշեք այս կետերը գծագրի վրա և զգուշորեն գծեք գծապատկերը կետի վրա, այնուհետև «կրկնօրինակեք» այն հարակից ընդմիջումներով: Էլ ինչպե՞ս։ Ի վերջո, մոտարկումը նաև պարբերական ֆունկցիա է... ...որոշ առումներով նրա գրաֆիկն ինձ հիշեցնում է բժշկական սարքի էկրանին սրտի հավասարաչափ ռիթմը:

Շինարարությունն իրականացնելը, իհարկե, այնքան էլ հարմար չէ, քանի որ պետք է չափազանց զգույշ լինել՝ պահպանելով ոչ պակաս, քան կես միլիմետր ճշգրտություն։ Այնուամենայնիվ, ես կուրախացնեմ ընթերցողներին, ովքեր հարմար չեն նկարելու համար. «իրական» խնդրի դեպքում միշտ չէ, որ անհրաժեշտ է նկարել, մոտ 50% դեպքերում անհրաժեշտ է ընդլայնել գործառույթը Ֆուրիեի շարքի մեջ և վերջ: .

Նկարչությունն ավարտելուց հետո մենք կատարում ենք առաջադրանքը.

Պատասխանել:

Շատ առաջադրանքներում ֆունկցիան տուժում է 1-ին տեսակի պատռվածքհենց տարրալուծման ժամանակաշրջանում.

Օրինակ 3

Ընդարձակեք ինտերվալի վրա տրված ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի: Գծե՛ք ֆունկցիայի և շարքի ընդհանուր գումարի գրաֆիկը:

Առաջարկվող գործառույթը նշված է հատվածաբար (և, նշեք, միայն հատվածում)և դիմանում է 1-ին տեսակի պատռվածքկետում. Հնարավո՞ր է արդյոք հաշվարկել Ֆուրիեի գործակիցները: Ոչ մի խնդիր. Ֆունկցիայի և ձախ և աջ կողմերը ինտեգրելի են իրենց միջակայքում, հետևաբար երեք բանաձևերից յուրաքանչյուրի ինտեգրալները պետք է ներկայացվեն որպես երկու ինտեգրալների գումար: Տեսնենք, օրինակ, թե ինչպես է դա արվում զրոյական գործակցի համար.

Երկրորդ ինտեգրալը պարզվեց, որ հավասար է զրոյի, ինչը նվազեցրեց աշխատանքը, բայց դա միշտ չէ, որ այդպես է։

Մյուս երկու Ֆուրիեի գործակիցները նկարագրված են նույն կերպ:

Ինչպե՞ս ցույց տալ շարքի գումարը: Ձախ միջակայքում մենք ուղիղ գծի հատված ենք գծում, իսկ միջակայքի վրա՝ ուղիղ հատված (առանցքի հատվածը կարևորում ենք թավ և թավերով): Այսինքն, ընդարձակման միջակայքում շարքի գումարը համընկնում է ֆունկցիայի հետ ամենուր, բացառությամբ երեք «վատ» կետերի: Ֆունկցիայի անջատման կետում Ֆուրիեի շարքը կմիանա մեկուսացված արժեքի, որը գտնվում է հենց դադարի «ցատկի» մեջտեղում։ Դժվար չէ բանավոր տեսնել՝ ձախակողմյան սահման՝ , աջակողմ սահման. և, ակնհայտորեն, միջնակետի օրդինատը 0,5 է։

Գումարի պարբերականությունից ելնելով` նկարը պետք է «բազմապատկել» հարակից ժամանակաշրջանների, մասնավորապես, նույն բանը պետք է պատկերվի միջակայքերի վրա և . Միևնույն ժամանակ, կետերում Ֆուրիեի շարքը կմիանա միջին արժեքներին:

Փաստորեն, այստեղ ոչ մի նոր բան չկա։

Փորձեք ինքներդ հաղթահարել այս խնդիրը: Վերջնական դիզայնի մոտավոր նմուշ և դասի վերջում նկար:

Ֆունկցիայի ընդլայնումը Ֆուրիեի շարքի մեջ կամայական ժամանակահատվածում

Ընդլայնման կամայական ժամանակաշրջանի համար, որտեղ «el»-ը ցանկացած դրական թիվ է, Ֆուրիեի շարքի և Ֆուրիեի գործակիցների բանաձևերը տարբերվում են սինուսի և կոսինուսի մի փոքր ավելի բարդ փաստարկով.

Եթե ​​, ապա մենք ստանում ենք ինտերվալային բանաձևերը, որոնցով սկսել ենք:

Խնդրի լուծման ալգորիթմը և սկզբունքները ամբողջությամբ պահպանված են, բայց հաշվարկների տեխնիկական բարդությունը մեծանում է.

Օրինակ 4

Ընդարձակեք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ և գծեք գումարը:

Լուծումիրականում թիվ 3 օրինակի անալոգը 1-ին տեսակի պատռվածքկետում. Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման ժամկետը կիսամյակային է։ Ֆունկցիան սահմանվում է միայն կիսամյակային միջակայքում, բայց դա չի փոխում հարցը. կարևոր է, որ ֆունկցիայի երկու մասերն էլ ինտեգրելի լինեն:

Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ.

Քանի որ ֆունկցիան սկզբնաղբյուրում ընդհատվող է, Ֆուրիեի յուրաքանչյուր գործակից ակնհայտորեն պետք է գրվի որպես երկու ինտեգրալների գումար.

1) Ես հնարավորինս մանրամասն կգրեմ առաջին ինտեգրալը.

2) Մենք ուշադիր նայում ենք Լուսնի մակերեսին.

Երկրորդ ինտեգրալ վերցրեք այն մաս առ մաս:

Լուծման շարունակությունը աստղանիշով բացելուց հետո ինչի՞ վրա պետք է մեծ ուշադրություն դարձնենք։

Նախ, մենք չենք կորցնում առաջին ինտեգրալը , որտեղ մենք անմիջապես կատարում ենք բաժանորդագրվելով դիֆերենցիալ նշանին. Երկրորդ, մի մոռացեք չարաբաստիկ հաստատունը մեծ փակագծերից առաջ և մի շփոթվեք նշաններովբանաձև օգտագործելիս . Մեծ փակագծերը դեռ ավելի հարմար են հաջորդ քայլում անմիջապես բացելու համար:

Մնացածը տեխնիկայի հարց է, դժվարություններ կարող են առաջանալ միայն ինտեգրալների լուծման անբավարար փորձի պատճառով։

Այո, իզուր չէր, որ ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆուրիեի նշանավոր գործընկերները վրդովվեցին. ինչպե՞ս նա համարձակվեց ֆունկցիաները դասավորել եռանկյունաչափական շարքերի։ =) Ի դեպ, ամենայն հավանականությամբ բոլորին հետաքրքրում է խնդրո առարկա առաջադրանքի գործնական իմաստը։ Ինքը՝ Ֆուրիեն, աշխատել է մաթեմատիկական մոդելջերմային հաղորդունակությունը, և հետագայում նրա անվան շարքը սկսեց օգտագործվել բազմաթիվ պարբերական գործընթացների ուսումնասիրության համար, որոնք տեսանելի և անտեսանելի են շրջապատող աշխարհում: Հիմա, ի դեպ, ինքս ինձ բռնեցի մտածելով, որ պատահական չէր, որ երկրորդ օրինակի գրաֆիկը համեմատեցի սրտի պարբերական ռիթմի հետ։ Ցանկացողները կարող են ծանոթանալ գործնական կիրառմանը Ֆուրիեի փոխակերպումերրորդ կողմի աղբյուրներում: ...Չնայած ավելի լավ է չանել, այն կհիշվի որպես Առաջին սեր =)

3) Հաշվի առնելով բազմիցս նշված թույլ օղակները՝ նայենք երրորդ գործակցին.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Գտնված Ֆուրիեի գործակիցները փոխարինենք բանաձևով , չմոռանալով կիսել զրոյական գործակիցը.

Եկեք գծենք շարքի գումարը: Եկեք համառոտ կրկնենք ընթացակարգը. մենք կառուցում ենք ուղիղ գիծ ինտերվալի վրա, իսկ ուղիղ գիծը ընդմիջման վրա: Եթե ​​«x» արժեքը զրո է, ապա մենք կետ ենք դնում բացվածքի «ցատկի» մեջտեղում և «կրկնօրինակում» գրաֆիկը հարևան ժամանակաշրջանների համար.


Ժամանակահատվածների «հանգույցներում» գումարը նույնպես հավասար կլինի բացվածքի «ցատկի» միջնակետերին:

Պատրաստ. Հիշեցնեմ, որ ֆունկցիան ինքնին պայմանականորեն սահմանված է միայն կես ինտերվալի վրա և, ակնհայտորեն, համընկնում է միջակայքերի շարքի գումարի հետ։

Պատասխանել:

Երբեմն տրված մասնակի ֆունկցիան շարունակական է ընդլայնման ժամանակահատվածում: Ամենապարզ օրինակը. . Լուծում (տես Բոհանի հատոր 2)նույնը, ինչ նախորդ երկու օրինակներում. չնայած գործառույթի շարունակականությունկետում Ֆուրիեի յուրաքանչյուր գործակից արտահայտվում է որպես երկու ինտեգրալների գումար:

Քայքայման միջակայքի վրա 1-ին տեսակի անջատման կետերև/կամ կարող են լինել գրաֆիկի ավելի շատ «հանգույց» կետեր (երկու, երեք և ընդհանրապես ցանկացած եզրափակիչքանակ): Եթե ​​ֆունկցիան ինտեգրելի է յուրաքանչյուր մասի վրա, ապա այն կարող է ընդլայնվել նաև Ֆուրիեի շարքում: Բայց գործնական փորձից ես նման դաժան բան չեմ հիշում։ Այնուամենայնիվ, կան ավելի բարդ առաջադրանքներ, քան նոր մտածվածները, և հոդվածի վերջում կան հղումներ դեպի Ֆուրիեի ավելացված բարդության շարքը բոլորի համար:

Միևնույն ժամանակ, եկեք հանգստանանք, հենվենք մեր աթոռներին և մտածենք աստղերի անսահման տարածությունների մասին.

Օրինակ 5

Ընդարձակեք ֆունկցիան ֆուրիեի շարքի մեջ և գծեք շարքի գումարը:

Այս հարցում ֆունկցիան շարունակականընդլայնման կես-ինտերվալի վրա, որը հեշտացնում է լուծումը: Ամեն ինչ շատ նման է թիվ 2 օրինակին։ Տիեզերանավից փախուստ չկա, դուք պետք է որոշեք =) Դասի վերջում մոտավոր դիզայնի նմուշ, կցվում է ժամանակացույց:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարքի ընդլայնում

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներով խնդրի լուծման գործընթացը նկատելիորեն պարզեցված է։ Եվ ահա թե ինչու։ Եկեք վերադառնանք ֆունկցիայի ընդլայնմանը Ֆուրիեի շարքում «երկու pi» կետով: Եվ կամայական ժամկետ«երկու էլ» .

Ենթադրենք, որ մեր ֆունկցիան հավասար է։ Շարքի ընդհանուր տերմինը, ինչպես տեսնում եք, պարունակում է զույգ կոսինուսներ և կենտ սինուսներ։ Եվ եթե մենք ընդլայնում ենք EVEN ֆունկցիան, ապա ինչի՞ն են մեզ պետք կենտ սինուսներ։ Վերականգնենք ավելորդ գործակիցը՝ .

Այսպիսով, զույգ ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքում միայն կոսինուսներում:

Քանի որ զույգ ֆունկցիաների ինտեգրալներինտեգրացիոն հատվածի երկայնքով, որը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ, կարող է կրկնապատկվել, ապա մնացած Ֆուրիեի գործակիցները պարզեցված են:

Բացքի համար.

Կամայական ընդմիջման համար.

Դասագրքերի օրինակները, որոնք կարելի է գտնել մաթեմատիկական վերլուծության գրեթե ցանկացած դասագրքում, ներառում են զույգ ֆունկցիաների ընդլայնումներ . Բացի այդ, դրանք մի քանի անգամ հանդիպել են իմ անձնական պրակտիկայում.

Օրինակ 6

Ֆունկցիան տրված է. Պահանջվում է:

1) ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ կետով, որտեղ կա կամայական դրական թիվ.

2) գրի՛ր ընդարձակումը միջակայքի վրա, կառուցի՛ր ֆունկցիա և գծի՛ր շարքի ընդհանուր գումարը:

ԼուծումԱռաջին պարբերությունում առաջարկվում է խնդիրը լուծել մ ընդհանուր տեսարան, և դա շատ հարմար է։ Եթե ​​անհրաժեշտություն առաջանա, պարզապես փոխարինեք ձեր արժեքը:

1) Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման ժամկետը կիսամյակային է: ընթացքում հետագա գործողությունները, մասնավորապես ինտեգրման ժամանակ «էլ»-ը համարվում է հաստատուն

Ֆունկցիան զույգ է, ինչը նշանակում է, որ այն կարող է ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի միայն կոսինուսներում. .

Մենք փնտրում ենք Ֆուրիեի գործակիցները՝ օգտագործելով բանաձևերը . Ուշադրություն դարձրեք նրանց անվերապահ առավելություններին. Նախ, ինտեգրումն իրականացվում է ընդլայնման դրական հատվածի վրա, ինչը նշանակում է, որ մենք ապահով կերպով ազատվում ենք մոդուլից , հաշվի առնելով երկու կտորների միայն «X»-ը։ Եվ, երկրորդ, ինտեգրումը նկատելիորեն պարզեցված է։

Երկու.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Այսպիսով.
, մինչդեռ հաստատունը, որը կախված չէ «en»-ից, վերցվում է գումարից դուրս։

Պատասխանել:

2) Եկեք գրենք ընդարձակումը միջակայքի վրա, այս նպատակով ընդհանուր բանաձեւփոխարինող ցանկալի արժեքկես ցիկլ.

2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարք:

Ֆուրիեի շարքը թույլ է տալիս ուսումնասիրել պարբերական ֆունկցիաները՝ դրանք տարրալուծելով բաղադրիչների։ Բնորոշ են փոփոխական հոսանքները և լարումները, տեղաշարժերը, կռունկի մեխանիզմների և ձայնային ալիքների արագությունն ու արագացումը. գործնական օրինակներպարբերական ֆունկցիաների կիրառումը ինժեներական հաշվարկներում։

Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ գործնական նշանակության բոլոր ֆունկցիաները -π ≤x≤ π միջակայքում կարող են արտահայտվել կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (շարքը համարվում է կոնվերգենտ, եթե մասնակի գումարների հաջորդականությունը կազմված է իր անդամներից. համընկնում է):

Ստանդարտ (=սովորական) նշում sinx-ի և cosx-ի գումարի միջոցով

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

որտեղ a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. իրական հաստատուններ են, այսինքն.

Այնտեղ, որտեղ -π-ից մինչև π միջակայքի համար Ֆուրիեի շարքի գործակիցները հաշվարկվում են բանաձևերով.

Կոչվում են a o, a n և b n գործակիցները Ֆուրիեի գործակիցները, և եթե դրանք կարելի է գտնել, ապա կոչվում է շարք (1): Ֆուրիեի կողքին, F(x) ֆունկցիային համապատասխան: (1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) տերմինը կոչվում է առաջին կամ հիմնարար ներդաշնակություն,

Շարք գրելու մեկ այլ եղանակ է օգտագործել acosx+bsinx=csin(x+α) հարաբերությունը:

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Այնտեղ, որտեղ a o-ն հաստատուն է, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2-ը տարբեր բաղադրիչների ամպլիտուդներն են և հավասար է a n =arctg a n-ի: /b n.

(1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) կամ c 1 sin(x+α 1) տերմինը կոչվում է առաջին կամ. հիմնարար ներդաշնակություն,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) կամ c 2 sin(2x+α 2) կոչվում է. երկրորդ հարմոնիկեւ այլն։

Բարդ ազդանշանը ճշգրիտ ներկայացնելու համար սովորաբար պահանջվում է անսահման թվով տերմիններ: Այնուամենայնիվ, շատ գործնական խնդիրներում բավական է դիտարկել միայն առաջին մի քանի տերմինները:

2π պարբերությամբ ոչ պարբերական ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարք:

Ոչ պարբերական ֆունկցիաների ընդլայնում։

Եթե ​​f(x) ֆունկցիան ոչ պարբերական է, նշանակում է, որ այն չի կարող ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի մեջ x-ի բոլոր արժեքների համար: Այնուամենայնիվ, հնարավոր է սահմանել Ֆուրիեի շարք, որը ներկայացնում է ֆունկցիա 2π լայնության ցանկացած տիրույթում:

Հաշվի առնելով ոչ պարբերական ֆունկցիան, նոր ֆունկցիա կարող է կառուցվել՝ ընտրելով f(x) արժեքները որոշակի միջակայքում և կրկնելով դրանք այդ միջակայքից դուրս՝ 2π ընդմիջումներով: Քանի որ նոր ֆունկցիան պարբերական է 2π պարբերությամբ, այն կարող է ընդլայնվել դեպի Ֆուրիեի շարք՝ x-ի բոլոր արժեքների համար: Օրինակ՝ f(x)=x ֆունկցիան պարբերական չէ։ Այնուամենայնիվ, եթե անհրաժեշտ է այն ընդլայնել Ֆուրիեի շարքի մեջ o-ից 2π միջակայքում, ապա այս միջակայքից դուրս կառուցվում է 2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա (ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում):

Ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար, ինչպիսիք են f(x)=x-ը, Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է f(x) արժեքին տվյալ տիրույթի բոլոր կետերում, բայց այն հավասար չէ f(x)-ի կետերի համար: շրջանակից դուրս: 2π միջակայքում ոչ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար օգտագործվում է Ֆուրիեի գործակիցների նույն բանաձևը։

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:

Ասում են y=f(x) ֆունկցիան նույնիսկ, եթե f(-x)=f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Զույգ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են y առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ հայելային պատկերներ են)։ Զույգ ֆունկցիաների երկու օրինակ՝ y=x2 և y=cosx:

Ասում են, որ y=f(x) ֆունկցիան տարօրինակ,եթե f(-x)=-f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Կենտ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են ծագման վերաբերյալ:

Շատ ֆունկցիաներ ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:

Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը կոսինուսներում.

2π պարբերությամբ զույգ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուս անդամներ (այսինքն՝ առանց սինուսի անդամներ) և կարող է ներառել հաստատուն անդամ։ Հետևաբար,

որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,

2π պարբերություն ունեցող f(x) կենտ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն սինուսներով անդամներ (այսինքն, այն չի պարունակում կոսինուսներով անդամներ)։

Հետևաբար,

որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,

Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.

Եթե ​​ֆունկցիան սահմանվում է տիրույթի համար, ասենք 0-ից մինչև π, և ոչ միայն 0-ից մինչև 2π, այն կարող է ընդլայնվել շարքով միայն սինուսներում կամ միայն կոսինուսներում: Ստացված Ֆուրիեի շարքը կոչվում է Ֆուրիեի մոտ կես ցիկլով:

Եթե ​​ցանկանում եք ստանալ տարրալուծումը Կիսաշրջանային Ֆուրիեն ըստ կոսինուսների f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել զույգ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ նույնիսկ գործառույթսիմետրիկ f(x) առանցքի նկատմամբ, գծեք AB ուղիղ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. ստորև. Եթե ​​ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացված եռանկյունաձև ձևպարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկը նման է, ցույց տալ. Նկ. ստորև. Քանի որ մենք պետք է ստանանք Ֆուրիեի ընդլայնումը կոսինուսներում, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցները a o և a n.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ստանալ Ֆուրիեի կես ցիկլային սինուսի ընդլայնում f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել կենտ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ տարօրինակ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, մենք կառուցում ենք CD տողը, ինչպես ցույց է տրված Նկ. Եթե ​​ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացվող սղոցային ազդանշանը պարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի Նկ. Քանի որ մենք պետք է ստանանք կիսաշրջանի Ֆուրիեի ընդլայնումը սինուսներով, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցը: բ

Ֆուրիեի շարք կամայական ինտերվալի համար:

Պարբերական ֆունկցիայի ընդարձակում L պարբերությամբ։

F(x) պարբերական ֆունկցիան կրկնվում է, երբ x-ն ավելանում է L-ով, այսինքն. f(x+L)=f(x): Նախկինում դիտարկված 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներից անցումը L-ի պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներին բավականին պարզ է, քանի որ այն կարող է կատարվել փոփոխականի փոփոխության միջոցով։

F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար -L/2≤x≤L/2 միջակայքում, ներմուծում ենք նոր փոփոխական u, որպեսզի f(x) ֆունկցիան u-ի նկատմամբ ունենա 2π պարբերություն: Եթե ​​u=2πx/L, ապա x=-L/2 u=-π-ի համար և x=L/2 u=π-ի համար: Թողեք նաև f(x)=f(Lu/2π)=F(u): Ֆուրյեի F(u) շարքն ունի ձև

(Ինտեգրման սահմանները կարող են փոխարինվել L երկարության ցանկացած միջակայքով, օրինակ՝ 0-ից L)

L≠2π միջակայքում նշված ֆունկցիաների համար կես ցիկլի վրա Ֆուրիեի շարքը:

u=πх/L փոխարինման համար x=0-ից x=L միջակայքը համապատասխանում է u=0-ից u=π միջակայքին։ Հետևաբար, ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել շարքի միայն կոսինուսներում կամ միայն սինուսներում, այսինքն. Վ Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.

Կոսինուսի ընդլայնումը 0-ից L միջակայքում ունի ձև

2p պարբերությամբ զույգ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուսներով անդամներ (այսինքն՝ չի պարունակում սինուսներով անդամներ) և կարող է ներառել հաստատուն անդամ։ Հետևաբար,

որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,

Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը սինուսներում

2p պարբերություն ունեցող f (x) կենտ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն սինուսներով անդամներ (այսինքն, այն չի պարունակում կոսինուսներով անդամներ)։

Հետևաբար,

որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,

Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով

Եթե ​​ֆունկցիան սահմանվում է տիրույթի համար, ասենք 0-ից մինչև p, և ոչ միայն 0-ից մինչև 2p, այն կարող է ընդլայնվել շարքի միայն սինուսներով կամ միայն կոսինուսներով: Ստացված Ֆուրիեի շարքը կոչվում է մոտ Ֆուրիե վրա կես ցիկլ

Եթե ​​ցանկանում եք ստանալ տարրալուծումը Ֆուրիե վրա կես ցիկլ Ըստ կոսինուսներ f (x) ֆունկցիաները 0-ից p միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել զույգ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f (x) = x ֆունկցիան, որը կառուցված է x = 0-ից x = p միջակայքի վրա: Քանի որ զույգ ֆունկցիան սիմետրիկ է f (x) առանցքի նկատմամբ, մենք գծում ենք AB ուղիղ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. ստորև. Եթե ​​ենթադրենք, որ դիտարկված միջակայքից դուրս ստացված եռանկյունաձև ձևը պարբերական է 2p պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը. Նկ. ստորև. Քանի որ մենք պետք է ստանանք Ֆուրիեի ընդլայնումը կոսինուսներում, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցները a o և a n.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ստանալ տարրալուծում Ֆուրիե վրա կես ցիկլ Ըստ սինուսներ f (x) ֆունկցիաները 0-ից p միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել կենտ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f (x) =x ֆունկցիան, որը կառուցված է x=0-ից մինչև x=p միջակայքի վրա: Քանի որ տարօրինակ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, մենք կառուցում ենք CD տողը, ինչպես ցույց է տրված Նկ.

Եթե ​​ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացվող սղոցային ազդանշանը պարբերական է 2p պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի Նկ. Քանի որ մենք պետք է ստանանք կիսաշրջանի Ֆուրիեի ընդլայնումը սինուսներով, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցը: բ

Ֆուրիեի շարքերը որոշակի ժամանակահատվածով կամայական ֆունկցիայի ներկայացում են շարքի տեսքով: Ընդհանուր առմամբ, այս լուծումը կոչվում է տարրի տարրալուծում ուղղանկյուն հիմքի երկայնքով: Գործառույթների ընդլայնումը Ֆուրիեի շարքերում բավականին հզոր գործիք է տարբեր խնդիրներ լուծելու համար՝ ինտեգրման, տարբերակման ընթացքում այս փոխակերպման հատկությունների, ինչպես նաև արգումենտների և կոնվուլյացիայի միջոցով արտահայտությունների տեղափոխման շնորհիվ:

Բարձրագույն մաթեմատիկայից, ինչպես նաև ֆրանսիացի գիտնական Ֆուրիեի աշխատանքներին ծանոթ մարդը, ամենայն հավանականությամբ, չի հասկանա, թե ինչ են այդ «շարքերը» և ինչի համար են դրանք անհրաժեշտ։ Մինչդեռ այս փոխակերպումը բավականին ինտեգրվել է մեր կյանքին։ Այն օգտագործում են ոչ միայն մաթեմատիկոսները, այլև ֆիզիկոսները, քիմիկոսները, բժիշկները, աստղագետները, սեյսմոլոգները, օվկիանոսագետները և շատ ուրիշներ։ Եկեք մանրամասն նայենք նաև ֆրանսիացի մեծ գիտնականի աշխատանքներին, ով հայտնագործություն արեց, որն իր ժամանակից առաջ էր։

Մարդը և Ֆուրիեն փոխակերպվում են

Ֆուրիեի շարքերը մեթոդներից մեկն են (վերլուծության հետ մեկտեղ և այլն):Այս գործընթացը տեղի է ունենում ամեն անգամ, երբ մարդը ձայն է լսում: Մեր ականջը ավտոմատ կերպով կատարում է փոխակերպումը տարրական մասնիկներառաձգական միջավայրում դրված են տողերով (սպեկտրի երկայնքով) բարձրության մակարդակի հաջորդական արժեքները տարբեր բարձրությունների տոնների համար: Այնուհետև ուղեղն այս տվյալները վերածում է մեզ ծանոթ հնչյունների: Այս ամենը տեղի է ունենում առանց մեր ցանկության կամ գիտակցության, ինքնուրույն, բայց այս գործընթացները հասկանալու համար մի քանի տարի կպահանջվի բարձրագույն մաթեմատիկա ուսումնասիրելու համար։

Ավելին Ֆուրիեի փոխակերպման մասին

Ֆուրիեի փոխակերպումը կարող է իրականացվել վերլուծական, թվային և այլ մեթոդներով: Ֆուրիեի շարքերը վերաբերում են ցանկացած տատանողական գործընթացների քայքայման թվային մեթոդին` օվկիանոսի մակընթացություններից և լուսային ալիքներից մինչև արևի (և աստղագիտական ​​այլ օբյեկտների) գործունեության ցիկլեր: Օգտագործելով այս մաթեմատիկական տեխնիկան՝ դուք կարող եք վերլուծել ֆունկցիաները՝ ներկայացնելով ցանկացած տատանողական պրոցեսներ որպես սինուսոիդային բաղադրիչների շարք, որոնք շարժվում են նվազագույնից մինչև առավելագույն և հետ։ Ֆուրիեի փոխակերպումը ֆունկցիա է, որը նկարագրում է որոշակի հաճախականության համապատասխան սինուսոիդների փուլն ու ամպլիտուդը։ Այս գործընթացը կարող է օգտագործվել շատ բարդ հավասարումներ լուծելու համար, որոնք նկարագրում են ջերմային, լույսի կամ էլեկտրական էներգիայի ազդեցության տակ առաջացող դինամիկ գործընթացները: Նաև Ֆուրիեի շարքերը հնարավորություն են տալիս մեկուսացնել հաստատուն բաղադրիչները բարդ տատանողական ազդանշանների մեջ՝ հնարավորություն տալով ճիշտ մեկնաբանել բժշկության, քիմիայի և աստղագիտության մեջ ստացված փորձարարական դիտարկումները:

Պատմական անդրադարձ

Այս տեսության հիմնադիր հայրը ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Բատիստ Ժոզեֆ Ֆուրիեն է։ Այս կերպարանափոխությունը հետագայում կոչվեց նրա անունով։ Սկզբում գիտնականն իր մեթոդով ուսումնասիրել և բացատրել է ջերմահաղորդականության մեխանիզմները՝ ջերմության տարածումը պինդ նյութեր. Ֆուրիեն առաջարկեց, որ սկզբնական անկանոն բաշխումը կարող է քայքայվել պարզ սինուսոիդների, որոնցից յուրաքանչյուրը կունենա իր ջերմաստիճանի նվազագույնը և առավելագույնը, ինչպես նաև իր փուլը: Այս դեպքում յուրաքանչյուր նման բաղադրիչ կչափվի նվազագույնից մինչև առավելագույն և ետ: Մաթեմատիկական ֆունկցիան, որը նկարագրում է կորի վերին և ստորին գագաթները, ինչպես նաև ներդաշնակություններից յուրաքանչյուրի փուլը, կոչվում է ջերմաստիճանի բաշխման արտահայտության Ֆուրիեի փոխակերպում։ Տեսության հեղինակը ի մի է բերել ընդհանուր գործառույթբաշխումը, որը դժվար է մաթեմատիկորեն նկարագրել, կոսինուսների և սինուսների շատ հարմար շարքին, որոնք միասին տալիս են սկզբնական բաշխումը։

Փոխակերպման սկզբունքը և ժամանակակիցների հայացքները

Գիտնականի ժամանակակիցները՝ XIX դարի սկզբի առաջատար մաթեմատիկոսները, չէին ընդունում այս տեսությունը: Հիմնական առարկությունը Ֆուրիեի պնդումն էր, որ ընդհատվող ֆունկցիան, որը նկարագրում է ուղիղ կամ ընդհատվող կորը, կարող է ներկայացվել որպես սինուսոիդային արտահայտությունների գումար, որոնք շարունակական են։ Որպես օրինակ, դիտարկենք Heaviside քայլը. դրա արժեքը զրո է ընդհատման ձախ կողմում և մեկ դեպի աջ: Այս ֆունկցիան նկարագրում է էլեկտրական հոսանքի կախվածությունը ժամանակավոր փոփոխականից, երբ միացումը փակ է: Տեսության ժամանակակիցներն այն ժամանակ երբեք չէին հանդիպել նմանատիպ իրավիճակի, երբ ընդհատվող արտահայտությունը նկարագրվեր շարունակական, սովորական ֆունկցիաների համակցությամբ, ինչպիսիք են էքսպոնենցիալը, սինուսը, գծայինը կամ քառակուսայինը:

Ի՞նչը շփոթեցրեց ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներին Ֆուրիեի տեսության մեջ:

Ի վերջո, եթե մաթեմատիկոսը ճիշտ էր իր պնդումներում, ապա գումարելով անվերջ եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը, կարելի է ստանալ քայլային արտահայտության ճշգրիտ ներկայացում, նույնիսկ եթե այն ունի բազմաթիվ նմանատիպ քայլեր: Տասնիններորդ դարի սկզբին նման հայտարարությունն անհեթեթ էր թվում։ Բայց չնայած բոլոր կասկածներին, շատ մաթեմատիկոսներ ընդլայնեցին այս երեւույթի ուսումնասիրության շրջանակը՝ այն դուրս բերելով ջերմային հաղորդակցության ուսումնասիրությունից: Այնուամենայնիվ, գիտնականների մեծամասնությանը շարունակում էր տանջել այն հարցը. «Կարո՞ղ է սինուսոիդային շարքի գումարը համընկնել. ճշգրիտ արժեքընդհատվող ֆունկցիա՞

Ֆուրիեի շարքերի կոնվերգենցիան. օրինակ

Կոնվերգենցիայի հարցը ծագում է, երբ անհրաժեշտ է գումարել թվերի անվերջ շարք: Այս երեւույթը հասկանալու համար դիտարկենք դասական օրինակ. Կկարողանա՞ք երբևէ հասնել պատին, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ քայլը նախորդի չափի կեսն է: Ենթադրենք, դուք գտնվում եք ձեր թիրախից երկու մետր հեռավորության վրա, առաջին քայլը ձեզ տանում է ճանապարհի կեսին, հաջորդ քայլը ձեզ տանում է երեք քառորդին, իսկ հինգերորդից հետո դուք կանցնեք ճանապարհի գրեթե 97 տոկոսը: Այնուամենայնիվ, ինչքան էլ քայլ անեք, մաթեմատիկական խիստ իմաստով չեք հասնի ձեր նպատակին։ Օգտագործելով թվային հաշվարկները, կարելի է ապացուցել, որ ի վերջո հնարավոր է մոտենալ տվյալ հեռավորությանը: Այս ապացույցը համարժեք է ցույց տալու, որ կեսի, մեկ չորրորդի և այլնի գումարը հակված է միասնության:

Կոնվերգենցիայի հարցը. Երկրորդ գալուստը կամ լորդ Քելվինի գործիքը

Այս հարցը կրկին բարձրացվեց տասնիններորդ դարի վերջին, երբ նրանք փորձեցին օգտագործել Ֆուրիեի շարքերը՝ կանխատեսելու մակընթացությունների ինտենսիվությունը։ Այդ ժամանակ լորդ Քելվինը հայտնագործեց մի սարք, որը անալոգային էր հաշվողական սարք, որը թույլ է տվել ռազմական և առևտրային ծովային նավաստիներին հետևել այս բնական երևույթին։ Այս մեխանիզմը որոշում է փուլերի և ամպլիտուդների մի շարք մակընթացությունների բարձրությունների աղյուսակից և համապատասխան ժամանակային կետերից, որոնք ուշադիր չափվում են տվյալ նավահանգստում ամբողջ տարվա ընթացքում: Յուրաքանչյուր պարամետր մակընթացության բարձրության արտահայտման սինուսոիդային բաղադրիչ էր և կանոնավոր բաղադրիչներից մեկն էր: Չափումները սնվում էին լորդ Քելվինի հաշվողական գործիքի մեջ, որը սինթեզեց մի կոր, որը կանխատեսում էր ջրի բարձրությունը՝ կախված հաջորդ տարվա ժամանակից: Շատ շուտով նմանատիպ կորեր գծվեցին աշխարհի բոլոր նավահանգիստների համար։

Իսկ եթե գործընթացը խաթարվի ընդհատվող ֆունկցիայի պատճառով:

Այն ժամանակ ակնհայտ էր թվում, որ մակընթացային ալիքների կանխատեսումը մեծ թվով հաշվիչ տարրերով կարող է հաշվարկել մեծ թվով փուլեր և ամպլիտուդներ և այդպիսով ապահովել ավելի ճշգրիտ կանխատեսումներ։ Սակայն պարզվեց, որ այս օրինաչափությունը չի նկատվում այն ​​դեպքերում, երբ մակընթացային արտահայտությունը, որը պետք է սինթեզվի, պարունակում է կտրուկ թռիչք, այսինքն՝ այն եղել է ընդհատվող։ Եթե ​​ժամանակային պահերի աղյուսակի տվյալները մուտքագրվում են սարքում, ապա այն հաշվարկում է մի քանի Ֆուրիեի գործակից: Նախնական գործառույթը վերականգնվում է սինուսոիդային բաղադրիչների շնորհիվ (գտնված գործակիցներին համապատասխան): Բնօրինակի և վերակառուցված արտահայտության միջև անհամապատասխանությունը կարող է չափվել ցանկացած կետում: Կրկնվող հաշվարկներ և համեմատություններ կատարելիս պարզ է դառնում, որ ամենամեծ սխալի արժեքը չի նվազում։ Այնուամենայնիվ, դրանք տեղայնացված են ընդհատման կետին համապատասխան տարածաշրջանում, իսկ ցանկացած այլ կետում հակված են զրոյի: 1899 թվականին այս արդյունքը տեսականորեն հաստատեց Յեյլի համալսարանի Ջոշուա Ուիլարդ Գիբսը։

Ֆուրիեի շարքերի սերտաճումը և ընդհանրապես մաթեմատիկայի զարգացումը

Ֆուրիեի վերլուծությունը կիրառելի չէ որոշակի ընդմիջումով անսահման թվով հասկ պարունակող արտահայտությունների համար: Ընդհանուր առմամբ, Ֆուրիեի շարքը, եթե սկզբնական ֆունկցիան ներկայացված է իրականի արդյունքով ֆիզիկական հարթություն, միշտ համընկնում են։ Գործառույթների հատուկ դասերի համար այս գործընթացի սերտաճման վերաբերյալ հարցերը հանգեցրին մաթեմատիկայի նոր ճյուղերի առաջացմանը, օրինակ՝ ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունը։ Նրան կապում են այնպիսի անունների հետ, ինչպիսիք են Լ. Շվարցը, Ջ. Միկուսինսկին և Ջ. Թեմփլը: Այս տեսության շրջանակներում հստակ և ճշգրիտ տեսական հիմքայնպիսի արտահայտությունների ներքո, ինչպիսիք են Դիրակի դելտայի ֆունկցիան (այն նկարագրում է մեկ տարածքի շրջան, որը կենտրոնացած է կետի անվերջ փոքր հարևանությամբ) և Հևիսայդի «քայլը»: Այս աշխատանքի շնորհիվ Ֆուրիեի շարքը կիրառելի դարձավ հավասարումների և խնդիրների լուծման համար, որոնք ներառում են ինտուիտիվ հասկացություններ՝ կետային լիցք, կետային զանգված, մագնիսական դիպոլներ և ճառագայթի վրա կենտրոնացված բեռ:

Ֆուրիեի մեթոդ

Ֆուրիեի շարքերը, համաձայն միջամտության սկզբունքների, սկսվում են բարդ ձևերի տարրալուծմամբ ավելի պարզների: Օրինակ, ջերմային հոսքի փոփոխությունը բացատրվում է դրա անցումով անկանոն ձևի ջերմամեկուսիչ նյութից պատրաստված տարբեր խոչընդոտների միջով կամ երկրի մակերեսի փոփոխությամբ՝ երկրաշարժ, ուղեծրի փոփոխություն։ երկնային մարմին- մոլորակների ազդեցությունը. Որպես կանոն, պարզ դասական համակարգեր նկարագրող նման հավասարումները հեշտությամբ կարող են լուծվել յուրաքանչյուր առանձին ալիքի համար։ Ֆուրյեն դա ցույց տվեց պարզ լուծումներկարելի է նաև ամփոփել ավելի բարդ խնդիրների լուծումներ ստանալու համար: Մաթեմատիկական առումով, Ֆուրիեի շարքերը արտահայտությունը որպես ներդաշնակությունների գումար՝ կոսինուս և սինուս ներկայացնելու տեխնիկա է: Ահա թե ինչու այս վերլուծությունըհայտնի է նաև որպես ներդաշնակ վերլուծություն։

Ֆուրիեի սերիա - իդեալական տեխնիկա մինչև «համակարգչային դարաշրջանը»

Ստեղծվելուց առաջ համակարգչային տեխնիկաՖուրիեի տեխնիկան լավագույն զենքն էր գիտնականների զինանոցում մեր աշխարհի ալիքային բնույթի հետ աշխատելիս: Ֆուրիեի շարք բարդ ձևթույլ է տալիս որոշել ոչ միայն պարզ առաջադրանքներ, որոնք ենթակա են մեխանիկայի Նյուտոնի օրենքների ուղղակի կիրառմանը, բայց նաև հիմնարար հավասարումների։ XIX դարում Նյուտոնի գիտության հայտնագործությունների մեծ մասը հնարավոր դարձավ միայն Ֆուրիեի տեխնիկայի շնորհիվ:

Ֆուրիեի շարքն այսօր

Համակարգիչների զարգացման հետ մեկտեղ Ֆուրիեի փոխակերպումները բարձրացել են որակապես նոր մակարդակի։ Այս տեխնիկան ամուր հաստատված է գիտության և տեխնիկայի գրեթե բոլոր ոլորտներում: Օրինակ՝ թվային աուդիո և վիդեո: Դրա իրագործումը հնարավոր դարձավ միայն XIX դարի սկզբին ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի մշակած տեսության շնորհիվ։ Այսպիսով, բարդ ձևով Ֆուրիեի շարքը հնարավորություն տվեց բեկում մտցնել արտաքին տարածության ուսումնասիրության մեջ։ Բացի այդ, այն ազդել է կիսահաղորդչային նյութերի և պլազմայի ֆիզիկայի, միկրոալիքային ակուստիկայի, օվկիանոսագրության, ռադարի և սեյսմոլոգիայի ուսումնասիրության վրա։

Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք

Մաթեմատիկայի մեջ Ֆուրիեի շարքը կամայական ներկայացնելու միջոց է բարդ գործառույթներավելի պարզների գումարը. IN ընդհանուր դեպքերնման արտահայտությունների թիվը կարող է անսահման լինել։ Ընդ որում, որքան դրանց թիվը հաշվի է առնվում հաշվարկում, այնքան ավելի ճշգրիտ է ստացվում վերջնական արդյունքը։ Ամենից հաճախ կոսինուսի կամ սինուսի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես ամենապարզ: Այս դեպքում Ֆուրիեի շարքերը կոչվում են եռանկյունաչափական, իսկ նման արտահայտությունների լուծումը՝ ներդաշնակ ընդլայնում։ Այս մեթոդը խաղում է կարևոր դերմաթեմատիկայի մեջ։ Նախ և առաջ, եռանկյունաչափական շարքը հնարավորություն է տալիս պատկերել, ինչպես նաև ուսումնասիրել ֆունկցիաները, այն տեսության հիմնական ապարատն է։ Բացի այդ, այն թույլ է տալիս լուծել մաթեմատիկական ֆիզիկայի մի շարք խնդիրներ։ Վերջապես, այս տեսությունը նպաստեց մաթեմատիկական գիտության մի շարք շատ կարևոր ճյուղերի (ինտեգրալների տեսություն, պարբերական ֆունկցիաների տեսություն) զարգացմանը։ Բացի այդ, այն ծառայեց որպես իրական փոփոխականի հետևյալ գործառույթների զարգացման մեկնարկային կետ, ինչպես նաև հիմք դրեց հարմոնիկ վերլուծության համար.