Եթե ​​տատանումների շարքն ունի ձև. Վարիացիա և վարիացիոն շարք, տատանումների միջակայք

Աղյուսակ 1. Դիսկրետ տատանումների հաճախականության շարքի ընդհանուր տեսք

Աղյուսակ 2. Հաճախականությունների միջակայքային տատանումների շարքի ընդհանուր տեսք

Աղյուսակ 3. Վարիացիոն շարքի գրաֆիկական պատկերներ

Շարք	Բազմանկյուն կամ հիստոգրամ		Էմպիրիկ բաշխման գործառույթ
Դիսկրետ
Ինտերվալ

Աղյուսակում Ներկայացված է 2.3 (Ռուսաստանի բնակչության խմբավորումը մեկ շնչի հաշվով միջին եկամուտով 1994թ. ապրիլին) ինտերվալային տատանումների շարք.
Հարմար է բաշխման շարքերը վերլուծել՝ օգտագործելով գրաֆիկական պատկեր, որը թույլ է տալիս դատել բաշխման ձևը: Տրվում է տատանումների շարքի հաճախականությունների փոփոխությունների բնույթի տեսողական ներկայացում բազմանկյուն և հիստոգրամ.
Բազմանկյունն օգտագործվում է դիսկրետ տատանումների շարքերը պատկերելիս.
Եկեք, օրինակ, գրաֆիկորեն պատկերենք բնակարանային ֆոնդի բաշխումն ըստ բնակարանի տեսակի (Աղյուսակ 2.10):
Աղյուսակ 2.10 - Քաղաքային տարածքի բնակֆոնդի բաշխումն ըստ բնակարանի տեսակի (պայմանական թվեր):

Բրինձ. Բնակարանային բաշխման տարածք

Բրինձ. 2.2. Ընտանիքների բաշխման հիստոգրամ՝ ըստ մեկ անձի բնակելի տարածքի չափի

Բրինձ. 2.3. Ընտանիքների կուտակային բաշխումն ըստ բնակելի տարածքի չափի

Կարող է օգտագործվել նաև տատանումների շարքերը գրաֆիկորեն ներկայացնելու համար կուտակային կոր. Օգտագործելով կուտակային (գումարային կոր)՝ պատկերված է կուտակված հաճախականությունների շարք։ Կուտակային հաճախականությունները որոշվում են խմբերի միջև հաճախականությունների հաջորդական գումարմամբ և ցույց են տալիս, թե պոպուլյացիայի քանի միավոր ունի հատկանիշի արժեքներ ոչ ավելի, քան դիտարկվող արժեքը:

Բրինձ. 2.4. Ընտանիքների բաշխումն ըստ մեկ անձի բնակելի տարածքի չափի

Ինտերվալային տատանումների շարքի կուտակումները կառուցելիս շարքի տարբերակները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ կուտակված հաճախականությունները՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Վիճակագրական վերլուծության մեջ առանձնահատուկ տեղ է զբաղեցնում ուսումնասիրվող հատկանիշի կամ երևույթի միջին մակարդակի որոշումը։ Հատկանիշի միջին մակարդակը չափվում է միջին արժեքներով։

Միջին արժեքը բնութագրում է ուսումնասիրվող հատկանիշի ընդհանուր քանակական մակարդակը և հանդիսանում է վիճակագրական բնակչության խմբային հատկություն։ Այն հարթեցնում է, թուլացնում անհատական ​​դիտարկումների պատահական շեղումները այս կամ այն ​​ուղղությամբ և ընդգծում է ուսումնասիրվող հատկանիշի հիմնական, բնորոշ հատկությունը:

Միջինները լայնորեն օգտագործվում են.

1. Գնահատել բնակչության առողջական վիճակը՝ ֆիզիկական զարգացման բնութագրերը (հասակ, քաշ, կրծքավանդակի շրջագիծ և այլն), տարբեր հիվանդությունների տարածվածության և տևողության բացահայտում, ժողովրդագրական ցուցանիշների վերլուծություն (բնակչության կենսական տեղաշարժ, կյանքի միջին տևողությունը, բնակչության վերարտադրություն, միջին բնակչություն և այլն):

2. Ուսումնասիրել բուժհաստատությունների, բուժանձնակազմի գործունեությունը և գնահատել նրանց աշխատանքի որակը, պլանավորել և որոշել բնակչության կարիքները տարբեր տեսակի բժշկական օգնության համար (տարեկան մեկ բնակչի համար հարցումների կամ այցելությունների միջին թիվը, մեկ բնակչի միջին տեւողությունը. հիվանդը հիվանդանոցում, հիվանդի հետազոտության միջին տևողությունը, բժիշկների, մահճակալների և այլնի միջին հասանելիությունը):

3. Բնութագրել սանիտարահամաճարակային վիճակը (արտադրամասում օդի փոշու միջին պարունակությունը, միջին մակերեսը մեկ անձի համար, սպիտակուցների, ճարպերի և ածխաջրերի միջին սպառումը և այլն):

4. Որոշել բժշկական և ֆիզիոլոգիական ցուցանիշները նորմալ և պաթոլոգիական պայմաններում, լաբորատոր տվյալների մշակման ժամանակ, հաստատել ընտրանքային ուսումնասիրության արդյունքների հավաստիությունը սոցիալական, հիգիենիկ, կլինիկական և փորձարարական հետազոտություններում:

Միջին արժեքների հաշվարկը կատարվում է տատանումների շարքի հիման վրա: Վարիացիոն շարքորակապես միատարր վիճակագրական բազմություն է, որի առանձին միավորները բնութագրում են ուսումնասիրվող հատկանիշի կամ երեւույթի քանակական տարբերությունները։

Քանակական տատանումները կարող են լինել երկու տեսակի՝ ընդհատվող (դիսկրետ) և շարունակական։

Անընդհատ (դիսկրետ) հատկանիշն արտահայտվում է միայն որպես ամբողջ թիվ և չի կարող ունենալ որևէ միջանկյալ արժեք (օրինակ՝ այցելությունների քանակը, կայքի բնակչությունը, ընտանիքում երեխաների թիվը, հիվանդության ծանրությունը միավորներով։ և այլն):

Շարունակական նշանը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք որոշակի սահմաններում, ներառյալ կոտորակայինները, և արտահայտվում է միայն մոտավորապես (օրինակ, քաշը - մեծահասակների համար այն կարող է սահմանափակվել կիլոգրամով, իսկ նորածինների համար ՝ գրամով; հասակ, արյան ճնշում, ժամանակ ծախսել է հիվանդին տեսնելու և այլն):

Վարիացիոն շարքում ընդգրկված յուրաքանչյուր առանձին հատկանիշի կամ երևույթի թվային արժեքը կոչվում է տարբերակ և նշանակվում է տառով. Վ . Մաթեմատիկական գրականության մեջ հանդիպում են նաև այլ նշումներ, օրինակ x կամ y.

Վարիացիոն շարքը, որտեղ յուրաքանչյուր տարբերակ նշվում է մեկ անգամ, կոչվում է պարզ:Նման շարքերը օգտագործվում են համակարգչային տվյալների մշակման դեպքում վիճակագրական խնդիրների մեծ մասում։

Դիտարկումների քանակի ավելացմանը հակված են կրկնվող տարբերակների արժեքները: Այս դեպքում այն ​​ստեղծվում է խմբավորված տատանումների շարք, որտեղ նշված է կրկնությունների քանակը (հաճախականությունը, որը նշվում է տառով « Ռ »).

Վարկանիշային տատանումների շարքբաղկացած է աճման կամ նվազման կարգով դասավորված տարբերակներից: Ինչպես պարզ, այնպես էլ խմբավորված շարքերը կարող են կազմվել վարկանիշով:

Ինտերվալ տատանումների շարքկազմվել է առանց համակարգչի օգտագործման հետագա հաշվարկները պարզեցնելու համար՝ դիտորդական շատ մեծ թվով (ավելի քան 1000) հաշվարկներով։

Շարունակական տատանումների շարքներառում է օպցիոնի արժեքներ, որոնք կարող են լինել ցանկացած արժեք:

Եթե ​​տատանումների շարքում բնութագրիչի (տարբերակների) արժեքները տրվում են առանձին կոնկրետ թվերի տեսքով, ապա այդպիսի շարքը կոչվում է. դիսկրետ.

Տատանումների շարքում արտացոլված բնութագրիչի արժեքների ընդհանուր բնութագրերը միջին արժեքներն են: Դրանցից ամենաշատ օգտագործվողներն են՝ թվաբանական միջինը Մ,նորաձեւություն Մոև միջին Ես.Այս հատկանիշներից յուրաքանչյուրը եզակի է: Նրանք չեն կարող փոխարինել միմյանց և միայն միասին են ներկայացնում վարիացիոն շարքի առանձնահատկությունները բավականին լիարժեք և խտացված։

Նորաձևություն (Mo) անվանեք ամենահաճախ հանդիպող տարբերակների արժեքը:

Միջին (ես) – սա այն տարբերակի արժեքն է, որը բաժանում է դասակարգված տատանումների շարքը կիսով չափ (միջինի յուրաքանչյուր կողմում կա տարբերակի կեսը): Հազվագյուտ դեպքերում, երբ առկա է սիմետրիկ տատանումների շարք, եղանակը և մեդիանը հավասար են միմյանց և համընկնում են միջին թվաբանական արժեքի հետ։

Օպցիոնների արժեքների առավել բնորոշ բնութագիրը թվաբանական միջինարժեքը ( Մ ) Մաթեմատիկական գրականության մեջ նշվում է .

Թվաբանական միջին (Մ, ) ուսումնասիրվող երևույթների որոշակի բնութագրի ընդհանուր քանակական բնութագիր է, որը կազմում է որակապես միատարր վիճակագրական բնակչություն։ Կան պարզ և կշռված թվաբանական միջիններ: Պարզ թվաբանական միջինը հաշվարկվում է պարզ տատանումների շարքի համար՝ գումարելով բոլոր տարբերակները և բաժանելով այս գումարը այս տատանումների շարքում ներառված տարբերակների ընդհանուր թվի վրա: Հաշվարկներն իրականացվում են բանաձևի համաձայն.

,

Որտեղ: Մ - պարզ թվաբանական միջին;

Σ Վ - գումարի տարբերակ;

n- դիտարկումների քանակը.

Խմբավորված տատանումների շարքում որոշվում է կշռված թվաբանական միջինը։ Այն հաշվարկելու բանաձևը.

,

Որտեղ: Մ - թվաբանական կշռված միջին;

Σ Vp - տարբերակի արտադրյալների գումարն իրենց հաճախականությամբ.

n- դիտարկումների քանակը.

Մեծ թվով դիտարկումների դեպքում ձեռքով հաշվարկների դեպքում կարելի է կիրառել մոմենտների մեթոդը։

Միջին թվաբանականն ունի հետևյալ հատկությունները.

· Միջինից շեղումների գումարը ( Σ դ ) հավասար է զրոյի (տես Աղյուսակ 15);

· բոլոր տարբերակները միևնույն գործակցով (բաժանարարով) բազմապատկելիս (բաժանելիս), միջին թվաբանականը բազմապատկվում (բաժանվում է) նույն գործակցով (բաժանարար);

· եթե բոլոր տարբերակներին ավելացնեք (հանեք) նույն թիվը, միջին թվաբանականը մեծանում (նվազում է) նույն թվով։

Թվաբանական միջինները, ինքնուրույն վերցված, առանց հաշվի առնելու այն շարքի փոփոխականությունը, որից դրանք հաշվարկվում են, կարող են ամբողջությամբ չարտացոլել տատանումների շարքի հատկությունները, հատկապես, երբ անհրաժեշտ է համեմատել այլ միջինների հետ: Միջինները, որոնք մոտ են արժեքով, կարելի է ձեռք բերել ցրման տարբեր աստիճաններով շարքերից: Որքան առանձին տարբերակները միմյանց մոտ լինեն քանակական բնութագրերով, այնքան քիչ դիսպերսիա (տատանում, փոփոխականություն)շարքը, այնքան ավելի բնորոշ է նրա միջինը:

Հիմնական պարամետրերը, որոնք թույլ են տալիս մեզ գնահատել հատկանիշի փոփոխականությունը, հետևյալն են.

· Շրջանակ;

· Ամպլիտուդություն;

· Ստանդարտ շեղում;

· Տատանումների գործակիցը.

Հատկանիշի փոփոխականությունը կարելի է մոտավորապես դատել տատանումների շարքի տիրույթով և ամպլիտուդով: Շրջանակը ցույց է տալիս շարքի առավելագույն (V max) և նվազագույն (V min) տարբերակները: Ամպլիտուդը (A m) այս տարբերակների միջև եղած տարբերությունն է՝ A m = V max - V min:

Վարիացիոն շարքի փոփոխականության հիմնական, ընդհանուր առմամբ ընդունված չափումն է ցրվածություն (Դ ) Բայց ամենից հաճախ օգտագործվում է ավելի հարմար պարամետր, որը հաշվարկվում է ցրման հիման վրա՝ ստանդարտ շեղում ( σ ) Այն հաշվի է առնում շեղման մեծությունը ( դ ) յուրաքանչյուր տատանումների շարքի իր թվաբանական միջինից ( d=V - Մ ).

Քանի որ միջինից շեղումները կարող են լինել դրական և բացասական, գումարելիս տալիս են «0» արժեքը (Ս d=0) Դրանից խուսափելու համար շեղման արժեքները ( դ) բարձրացվում են երկրորդ հզորության և միջինացվում են: Այսպիսով, տատանումների շարքի դիսպերսիան տարբերակի շեղումների միջին քառակուսին է թվաբանական միջինից և հաշվարկվում է բանաձևով.

.

Այն փոփոխականության ամենակարևոր բնութագրիչն է և օգտագործվում է բազմաթիվ վիճակագրական չափանիշների հաշվարկման համար:

Քանի որ դիսպերսիան արտահայտվում է որպես շեղումների քառակուսի, դրա արժեքը չի կարող օգտագործվել միջին թվաբանականի համեմատությամբ։ Այդ նպատակների համար այն օգտագործվում է ստանդարտ շեղում, որը նշված է «Սիգմա» նշանով ( σ ) Այն բնութագրում է տատանումների շարքի բոլոր տարբերակների միջին շեղումը միջին թվաբանական արժեքից նույն միավորներով, ինչ միջին արժեքը, այնպես որ դրանք կարող են օգտագործվել միասին:

Ստանդարտ շեղումը որոշվում է բանաձևով.

Նշված բանաձևը կիրառվում է, երբ դիտումների քանակը ( n ) ավելի քան 30. ավելի փոքր թվով n ստանդարտ շեղման արժեքը կունենա մաթեմատիկական հաշվանցման հետ կապված սխալ ( n - 1). Այս առումով ավելի ճշգրիտ արդյունք կարելի է ստանալ՝ հաշվի առնելով նման կողմնակալությունը ստանդարտ շեղումը հաշվարկելու բանաձևում.

ստանդարտ շեղում (ս ) պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղման գնահատումն է Xհամեմատ իր մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ՝ հիմնված դրա շեղումների անաչառ գնահատման վրա:

Արժեքներով n > 30 ստանդարտ շեղում ( σ ) և ստանդարտ շեղում ( ս ) նույնը կլինի ( σ =s ). Հետևաբար, գործնական ձեռնարկների մեծ մասում այս չափանիշները համարվում են տարբեր իմաստներ:Ծրագրում Excel-ի հաշվարկՍտանդարտ շեղումը կարող է իրականացվել =STDEV(միջակայք) ֆունկցիայի միջոցով: Իսկ ստանդարտ շեղումը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ստեղծել համապատասխան բանաձեւ.

Միջին քառակուսի կամ ստանդարտ շեղումը թույլ է տալիս որոշել, թե բնութագրի արժեքները որքանով կարող են տարբերվել միջին արժեքից: Ենթադրենք ամռանը կան երկու քաղաքներ, որոնց միջին օրական ջերմաստիճանը ամռանն է։ Այս քաղաքներից մեկը գտնվում է ափին, իսկ մյուսը՝ մայրցամաքում։ Հայտնի է, որ ափին գտնվող քաղաքներում ցերեկային ջերմաստիճանի տարբերություններն ավելի փոքր են, քան ցամաքում գտնվող քաղաքներում։ Հետևաբար, առափնյա քաղաքի համար ցերեկային ջերմաստիճանի ստանդարտ շեղումը կլինի ավելի քիչ, քան երկրորդ քաղաքի համար: Գործնականում դա նշանակում է, որ յուրաքանչյուրի օդի միջին ջերմաստիճանը կոնկրետ օրմայրցամաքում գտնվող քաղաքում ավելի շատ կտարբերվի միջինից, քան ափամերձ քաղաքում: Բացի այդ, ստանդարտ շեղումը թույլ է տալիս գնահատել հնարավոր ջերմաստիճանի շեղումները միջինից՝ հավանականության պահանջվող մակարդակով:

Ըստ հավանականության տեսության՝ այն երևույթներում, որոնք ենթարկվում են նորմալ բաշխման օրենքին, կա խիստ հարաբերություն միջին թվաբանական արժեքների, ստանդարտ շեղման և տարբերակների միջև ( երեք սիգմայի կանոն) Օրինակ՝ տարբեր բնութագրերի արժեքների 68,3%-ը գտնվում է M ± 1-ի սահմաններում σ , 95.5% - M ± 2-ի սահմաններում σ իսկ 99,7% - M ± 3-ի սահմաններում σ .

Ստանդարտ շեղման արժեքը մեզ թույլ է տալիս դատել տատանումների շարքի և ուսումնասիրության խմբի միատարրության բնույթը: Եթե ​​ստանդարտ շեղման արժեքը փոքր է, ապա դա վկայում է ուսումնասիրվող երևույթի բավականին բարձր միատարրության մասին: Միջին թվաբանականն այս դեպքում պետք է համարել բավականին բնորոշ տվյալ տատանումների շարքի համար։ Այնուամենայնիվ, չափազանց փոքր սիգմա արժեքը ստիպում է մտածել դիտարկումների արհեստական ​​ընտրության մասին: Շատ մեծ սիգմայի դեպքում միջին թվաբանականը բնութագրում է տատանումների շարքը ավելի փոքր չափով, ինչը ցույց է տալիս ուսումնասիրվող հատկանիշի կամ երևույթի զգալի փոփոխականությունը կամ ուսումնասիրվող խմբի տարասեռությունը: Այնուամենայնիվ, ստանդարտ շեղման արժեքի համեմատությունը հնարավոր է միայն նույն հարթության հատկանիշների համար: Իրոք, եթե համեմատենք նորածին երեխաների և մեծահասակների կշիռների բազմազանությունը, մեծահասակների մոտ միշտ ավելի բարձր սիգմա արժեքներ կստանանք:

Տարբեր չափերի հատկանիշների փոփոխականության համեմատությունը կարող է իրականացվել օգտագործելով տատանումների գործակից. Այն արտահայտում է բազմազանությունը որպես միջինի տոկոս՝ թույլ տալով համեմատել տարբեր նշաններ. Բժշկական գրականության մեջ տատանումների գործակիցը նշվում է նշանով. ՀԵՏ «և մաթեմատիկայում» v«և հաշվարկվում է բանաձևով.

.

10% -ից պակաս տատանումների գործակիցի արժեքները ցույց են տալիս փոքր ցրվածություն, 10-ից 20% - մոտ միջին, ավելի քան 20% - թվաբանական միջինի շուրջ ուժեղ ցրման մասին:

Թվաբանական միջինը սովորաբար հաշվարկվում է տվյալների հիման վրա ընտրանքային բնակչություն. Կրկնվող ուսումնասիրությունների դեպքում պատահական երևույթների ազդեցությամբ միջին թվաբանականը կարող է փոխվել։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ, որպես կանոն, ուսումնասիրվում է դիտարկման հնարավոր միավորների միայն մի մասը, այսինքն՝ ընտրանքային բնակչությունը։ Ուսումնասիրվող երևույթը ներկայացնող բոլոր հնարավոր միավորների մասին տեղեկատվություն կարելի է ստանալ՝ ուսումնասիրելով ամբողջ բնակչությանը, ինչը միշտ չէ, որ հնարավոր է: Միևնույն ժամանակ, փորձարարական տվյալների ընդհանրացման նպատակով հետաքրքրություն է ներկայացնում ընդհանուր բնակչության միջինի արժեքը։ Ուստի ուսումնասիրվող երեւույթի վերաբերյալ ընդհանուր եզրակացություն ձեւակերպելու համար ընտրանքային բնակչության հիման վրա ստացված արդյունքները պետք է վիճակագրական մեթոդների կիրառմամբ փոխանցվեն ընդհանուր բնակչությանը:

Ընտրանքային հետազոտության և ընդհանուր բնակչության միջև համաձայնության աստիճանը որոշելու համար անհրաժեշտ է գնահատել այն սխալի մեծությունը, որն անխուսափելիորեն առաջանում է ընտրանքային դիտարկման ժամանակ: Այս սխալը կոչվում է « Ներկայացուցչականության սխալ«կամ «Թվաբանական միջինի միջին սխալ»: Դա իրականում նմուշից ստացված միջինների տարբերությունն է վիճակագրական դիտարկումև նմանատիպ արժեքներ, որոնք ձեռք կբերվեն նույն օբյեկտի շարունակական ուսումնասիրության ընթացքում, այսինքն. ընդհանուր բնակչության ուսումնասիրության ժամանակ. Քանի որ ընտրանքի միջինը պատահական փոփոխական է, նման կանխատեսումը կատարվում է հետազոտողի համար ընդունելի հավանականության մակարդակով: IN բժշկական հետազոտությունդա առնվազն 95% է:

Ներկայացուցչական սխալը չի ​​կարելի շփոթել գրանցման սխալների կամ ուշադրության սխալների հետ (սայթաքումներ, սխալ հաշվարկներ, տառասխալներ և այլն), որոնք պետք է նվազագույնի հասցվեն փորձի ընթացքում օգտագործվող համապատասխան մեթոդների և գործիքների միջոցով:

Ներկայացուցչական սխալի մեծությունը կախված է ինչպես ընտրանքի չափից, այնպես էլ հատկանիշի փոփոխականությունից: Ինչպես ավելի մեծ թիվդիտարկումները, որքան ընտրանքը մոտ է բնակչությանը և այնքան փոքր է սխալը: Որքան փոփոխական է նշանը, այնքան մեծ է վիճակագրական սխալը:

Գործնականում, տատանումների շարքում ներկայացուցչականության սխալը որոշելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

,

Որտեղ: մ - ներկայացուցչական սխալ;

σ - ստանդարտ շեղում;

n- նմուշի դիտարկումների քանակը:

Բանաձևից պարզ է դառնում, որ չափը միջին սխալուղիղ համեմատական ​​է ստանդարտ շեղմանը, այսինքն՝ ուսումնասիրվող հատկանիշի փոփոխականությանը, և հակադարձ համեմատական ​​է դիտարկումների քանակի քառակուսի արմատին։

Հարաբերական արժեքների հաշվարկման վրա հիմնված վիճակագրական վերլուծություն կատարելիս անհրաժեշտ չէ տատանումների շարք կառուցել: Այս դեպքում հարաբերական ցուցանիշների միջին սխալի որոշումը կարող է իրականացվել պարզեցված բանաձևի միջոցով.

,

Որտեղ: Ռ– հարաբերական ցուցանիշի արժեքը՝ արտահայտված որպես տոկոս, ppm և այլն.

ք– P-ի փոխադարձությունը և արտահայտված որպես (1-P), (100-P), (1000-P) և այլն՝ կախված այն բանից, թե ինչ հիմքով է հաշվարկվում ցուցանիշը.

n– Դիտարկումների քանակը ընտրանքային պոպուլյացիայի մեջ:

Այնուամենայնիվ, հարաբերական արժեքների համար ներկայացուցչական սխալի հաշվարկման նշված բանաձևը կարող է կիրառվել միայն այն դեպքում, երբ ցուցիչի արժեքը փոքր է իր հիմքից: Ինտենսիվ ցուցանիշների հաշվարկման մի շարք դեպքերում այս պայմանը չի պահպանվում, և ցուցանիշը կարող է արտահայտվել ավելի քան 100% կամ 1000% թվով: Նման իրավիճակում կառուցվում է տատանումների շարք, և ներկայացուցչականության սխալը հաշվարկվում է՝ օգտագործելով ստանդարտ շեղման հիման վրա միջին արժեքների բանաձևը:

Բնակչության մեջ միջին թվաբանական արժեքի կանխատեսումն իրականացվում է՝ նշելով երկու արժեք՝ նվազագույնը և առավելագույնը: Այս ծայրահեղ արժեքները հնարավոր շեղումներ, որի շրջանակներում կարող է տատանվել բնակչության ցանկալի միջին արժեքը կոչվում են « Վստահության սահմանները».

Հավանականության տեսության պոստուլատներն ապացուցել են, որ 99,7% հավանականությամբ բնութագրի նորմալ բաշխման դեպքում միջինի շեղումների ծայրահեղ արժեքները չեն լինի ավելի մեծ, քան եռակի ներկայացուցչական սխալի արժեքը ( Մ ± 3 մ ); 95,5%-ում – միջին արժեքի միջին սխալի երկու անգամից ոչ ավել ( Մ ± 2 մ ); 68,3%-ում – ոչ ավելի, քան մեկ միջին սխալ ( Մ ± 1 մ ) (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Հավանականության խտություն նորմալ բաշխում.

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված պնդումը ճշմարիտ է միայն մի հատկանիշի համար, որը ենթարկվում է նորմալ Գաուսի բաշխման օրենքին:

Փորձարարական հետազոտությունների մեծ մասը, ներառյալ բժշկության ոլորտում, կապված են չափումների հետ, որոնց արդյունքները կարող են վերցնել գրեթե ցանկացած արժեք տվյալ միջակայքում, հետևաբար, որպես կանոն, դրանք նկարագրվում են շարունակական պատահական փոփոխականների մոդելով: Այս առումով, վիճակագրական մեթոդների մեծ մասը դիտարկում է շարունակական բաշխումները: Այս բաշխումներից մեկը, որը հիմնարար դեր ունի մաթեմատիկական վիճակագրություն, է նորմալ կամ գաուսյան բաշխում.

Դա պայմանավորված է մի շարք պատճառներով.

1. Նախ, շատ փորձարարական դիտարկումներ կարելի է հաջողությամբ նկարագրել՝ օգտագործելով նորմալ բաշխումը: Անմիջապես պետք է նշել, որ չկան էմպիրիկ տվյալների բաշխումներ, որոնք լիովին նորմալ կլինեն, քանի որ նորմալ բաշխված պատահական արժեքգտնվում է մինչև տիրույթում, ինչը գործնականում երբեք չի լինում: Այնուամենայնիվ, նորմալ բաշխումը շատ հաճախ լավ է աշխատում որպես մոտավորություն:

Անկախ նրանից, թե մարդու մարմնի քաշի, հասակի և այլ ֆիզիոլոգիական պարամետրերի չափումներ են կատարվում, ամենուր արդյունքների վրա ազդում են շատ մեծ թվով պատահական գործոններ ( բնական պատճառներև չափման սխալներ): Ընդ որում, որպես կանոն, այս գործոններից յուրաքանչյուրի ազդեցությունն աննշան է։ Փորձը ցույց է տալիս, որ նման դեպքերում արդյունքները մոտավորապես նորմալ կբաշխվեն։

2. Պատահական նմուշառման հետ կապված շատ բաշխումներ դառնում են նորմալ, քանի որ վերջինիս ծավալը մեծանում է:

3. Նորմալ բաշխումը լավ է համապատասխանում որպես այլ շարունակական բաշխումների մոտավոր (օրինակ՝ շեղված):

4. Նորմալ բաշխումն ունի մի շարք բարենպաստ մաթեմատիկական հատկություններ, որը մեծապես ապահովել է այն լայն կիրառությունվիճակագրության մեջ։

Միևնույն ժամանակ, հարկ է նշել, որ բժշկական տվյալների մեջ կան բազմաթիվ փորձարարական բաշխումներ, որոնք հնարավոր չէ նկարագրել նորմալ բաշխման մոդելով։ Այդ նպատակով վիճակագրությունը մշակել է մեթոդներ, որոնք սովորաբար կոչվում են «ոչ պարամետրիկ»:

Վիճակագրական մեթոդի ընտրությունը, որը հարմար է որոշակի փորձի տվյալների մշակման համար, պետք է կատարվի՝ կախված նրանից, թե արդյոք ստացված տվյալները պատկանում են բաշխման նորմալ օրենքին: Նշանի նորմալ բաշխման օրենքին ենթակայության վարկածի փորձարկումն իրականացվում է հաճախականության բաշխման հիստոգրամի (գրաֆիկի), ինչպես նաև մի շարք վիճակագրական չափանիշների միջոցով: Նրանց մեջ:

Ասիմետրիկության չափանիշ ( բ );

Կորտոզի փորձարկման չափանիշ ( է );

Shapiro-Wilks թեստ ( Վ ) .

Յուրաքանչյուր պարամետրի համար կատարվում է տվյալների բաշխման բնույթի վերլուծություն (նաև կոչվում է բաշխման նորմալության թեստ): Վստահորեն դատելու համար, թե արդյոք պարամետրի բաշխումը համապատասխանում է նորմալ օրենքին, պահանջվում է բավականաչափ մեծ թվով դիտարկման միավորներ (առնվազն 30 արժեք):

Նորմալ բաշխման համար թեքության և կարկոզի չափանիշները վերցնում են 0 արժեքը: Եթե բաշխումը տեղափոխվում է աջ բ > 0 (դրական ասիմետրիա), հետ բ < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона է =0. ժամը է > 0 բաշխման կորը ավելի սուր է, եթե է < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Shapiro-Wilks թեստի միջոցով նորմալությունը ստուգելու համար դուք պետք է գտնեք այս չափանիշի արժեքը՝ օգտագործելով վիճակագրական աղյուսակները. պահանջվող մակարդակնշանակությունը և կախված դիտորդական միավորների քանակից (ազատության աստիճաններ)։ Հավելված 1. Նորմալության վարկածը մերժվում է այս չափանիշի փոքր արժեքներով, որպես կանոն, w <0,8.

Խմբավորման մեթոդը թույլ է տալիս նաև չափել տատանումներ(փոփոխականություն, տատանում) նշանների. Երբ բնակչության միավորների թիվը համեմատաբար փոքր է, տատանումները չափվում են՝ հիմնվելով բնակչությունը կազմող միավորների դասակարգված քանակի վրա: Շարքը կոչվում է դասակարգված,եթե միավորները դասավորված են բնութագրի աճման (նվազման) կարգով.

Այնուամենայնիվ, դասակարգված շարքերը բավականին ցուցիչ են, երբ անհրաժեշտ է տատանումների համեմատական ​​բնութագիր: Բացի այդ, շատ դեպքերում մենք գործ ունենք մեծ թվով միավորներից բաղկացած վիճակագրական պոպուլյացիաների հետ, որոնք գործնականում դժվար է ներկայացնել կոնկրետ շարքի տեսքով: Այս առումով, վիճակագրական տվյալների հետ նախնական ընդհանուր ծանոթության և հատկապես բնութագրերի տատանումների ուսումնասիրությունը հեշտացնելու համար, ուսումնասիրվող երևույթներն ու գործընթացները սովորաբար միավորվում են խմբերի, իսկ խմբավորման արդյունքները ներկայացվում են խմբային աղյուսակների տեսքով:

Եթե ​​խմբային աղյուսակն ունի միայն երկու սյունակ՝ խմբեր ըստ ընտրված բնութագրի (ընտրանքների) և խմբերի քանակի (հաճախականության կամ հաճախականության), այն կոչվում է. բաշխման մոտ:

Բաշխման տիրույթ -կառուցվածքային խմբավորման ամենապարզ տեսակը՝ հիմնված մեկ բնութագրիչի վրա, որը ցուցադրվում է խմբային աղյուսակում՝ երկու սյունակներով, որոնք պարունակում են բնութագրի տարբերակներ և հաճախականություններ։ Շատ դեպքերում, նման կառուցվածքային խմբավորմամբ, այսինքն. Բաշխման շարքերի կազմումով սկսվում է նախնական վիճակագրական նյութի ուսումնասիրությունը։

Բաշխման շարքի տեսքով կառուցվածքային խմբավորումը կարող է վերածվել իրական կառուցվածքային խմբավորման, եթե ընտրված խմբերը բնութագրվում են ոչ միայն հաճախականությամբ, այլև այլ վիճակագրական ցուցանիշներով: Բաշխման շարքերի հիմնական նպատակն է ուսումնասիրել բնութագրերի տատանումները: Բաշխման շարքերի տեսությունը մանրամասնորեն մշակված է մաթեմատիկական վիճակագրության միջոցով։

Բաշխման շարքերը բաժանված են վերագրվող(խմբավորումն ըստ վերագրվող հատկանիշների, օրինակ՝ բնակչության բաժանումն ըստ սեռի, ազգության, ամուսնական կարգավիճակի և այլն) և փոփոխական(խմբավորում ըստ քանակական բնութագրերի).

Վարիացիոն շարքխմբային աղյուսակ է, որը պարունակում է երկու սյունակ՝ միավորների խմբավորում ըստ մեկ քանակական բնութագրի և յուրաքանչյուր խմբի միավորների քանակի։ Վարիացիոն շարքի միջակայքերը սովորաբար ձևավորվում են հավասար և փակ: Վարիացիոն շարքը Ռուսաստանի բնակչության հետևյալ խմբավորումն է մեկ շնչի հաշվով միջին դրամական եկամուտով (Աղյուսակ 3.10):

Աղյուսակ 3.10

Ռուսաստանի բնակչության բաշխումը մեկ շնչի հաշվով միջին եկամուտով 2004-2009 թթ.

Վարիացիոն շարքերն իրենց հերթին բաժանվում են դիսկրետների և միջակայքի: Դիսկրետտատանումների շարքերը միավորում են դիսկրետ բնութագրերի տարբերակները, որոնք տարբերվում են նեղ սահմաններում: Դիսկրետ տատանումների շարքի օրինակ է ռուս ընտանիքների բաշխումն ըստ նրանց երեխաների թվի:

Ինտերվալտատանումների շարքերը միավորում են կամ շարունակական բնութագրերի կամ դիսկրետ բնութագրերի տարբերակները, որոնք տարբերվում են լայն տիրույթում: Ինտերվալը Ռուսաստանի բնակչության բաշխման տատանումների շարքն է մեկ շնչի հաշվով միջին դրամական եկամուտով:

Դիսկրետ տատանումների շարքերը գործնականում այնքան էլ հաճախ չեն օգտագործվում: Մինչդեռ դրանք կազմելը դժվար չէ, քանի որ խմբերի կազմը որոշվում է այն կոնկրետ տարբերակներով, որոնք իրականում ունեն ուսումնասիրված խմբավորման բնութագրերը։

Առավել տարածված են ինտերվալների տատանումների շարքերը։ Դրանք կազմելիս բարդ հարց է առաջանում խմբերի քանակի, ինչպես նաև այն ինտերվալների չափի մասին, որոնք պետք է սահմանվեն։

Այս խնդրի լուծման սկզբունքները շարադրված են վիճակագրական խմբավորումների կառուցման մեթոդաբանության գլխում (տես պարագրաֆ 3.3):

Վարիացիոն շարքերը տարբեր տեղեկությունները կոմպակտ ձևի մեջ փլուզելու կամ սեղմելու միջոց են, որոնցից կարելի է բավականին հստակ դատողություն անել տատանումների բնույթի մասին և ուսումնասիրել ուսումնասիրվող հավաքածուում ներառված երևույթների բնութագրերի տարբերությունները: Բայց տատանումների շարքերի ամենակարևոր նշանակությունն այն է, որ դրանց հիման վրա հաշվարկվում են տատանումների հատուկ ընդհանրացնող բնութագրերը (տե՛ս Գլուխ 7):