Ծառայության նպատակը. Օգտագործելով այս ծառայությունը, դուք կարող եք որոշել.
- վստահության միջակայքը ընդհանուր միջինի համար, վստահության միջակայքը շեղումների համար.
- վստահության միջակայքը ստանդարտ շեղման համար, վստահության միջակայքը ընդհանուր բաժնետոմսի համար.
Օրինակ թիվ 1. Կոլտնտեսությունում 1000 ոչխարների ընդհանուր հոտից ընտրովի հսկողական խուզում է անցել 100 ոչխար: Արդյունքում սահմանվել է միջինը 4,2 կգ բրդի մեկ ոչխարի կտրատում: 0,99 հավանականությամբ որոշեք նմուշի միջին քառակուսի սխալը մեկ ոչխարի բրդի միջին խուզումը որոշելիս և այն սահմանները, որոնցում պարունակվում է կտրման արժեքը, եթե շեղումը 2,5 է: Նմուշը չկրկնվող է։
Օրինակ թիվ 2. Մոսկվայի հյուսիսային մաքսակետում ներկրված ապրանքների խմբաքանակից պատահական կրկնվող նմուշառմամբ վերցվել է «Ա» ապրանքի 20 նմուշ։ Փորձարկման արդյունքում պարզվել է նմուշում «Ա» արտադրանքի միջին խոնավության պարունակությունը, որը պարզվել է, որ հավասար է 6%-ի՝ 1% ստանդարտ շեղումով:
0,683 հավանականությամբ որոշել ապրանքի միջին խոնավության սահմանները ներմուծվող ապրանքների ողջ խմբաքանակում։
Օրինակ թիվ 3. 36 աշակերտների շրջանում անցկացված հարցումը ցույց է տվել, որ տարեկան միջին թվով դասագրքեր են նրանք կարդում ուսումնական տարին, պարզվել է, որ հավասար է 6-ի: Ենթադրենք, որ ուսանողի կողմից կարդացած դասագրքերի թիվը մեկ կիսամյակում ունի նորմալ բաշխման օրենք՝ 6-ի հավասար ստանդարտ շեղումով, գտե՛ք. սրա ակնկալիքը պատահական փոփոխական; Բ) ի՞նչ հավանականությամբ կարող ենք ասել, որ տվյալ նմուշից հաշվարկված ուսանողի կողմից մեկ կիսամյակի ընթացքում կարդացած դասագրքերի միջին քանակը շեղվելու է մաթեմատիկական ակնկալիքից՝ ըստ. բացարձակ արժեքոչ ավելի, քան 2.
Վստահության միջակայքերի դասակարգում
Ըստ գնահատվող պարամետրի տեսակի.
Ըստ նմուշի տեսակի.
- Վստահության միջակայքը անսահման նմուշի համար;
- Վերջնական նմուշի վստահության միջակայքը;
Պատահական ընտրանքի միջին ընտրանքային սխալի հաշվարկը
Ընտրանքից ստացված ցուցանիշների արժեքների և ընդհանուր բնակչության համապատասխան պարամետրերի միջև անհամապատասխանությունը կոչվում է. ներկայացուցչական սխալ.Ընդհանուր և ընտրանքային պոպուլյացիաների հիմնական պարամետրերի նշանակումները:
| Միջին նմուշառման սխալի բանաձևեր | |||
| վերընտրություն | չկրկնվող ընտրություն | ||
| միջինի համար | բաժնեմասի համար | միջինի համար | բաժնեմասի համար |
 |
|||
Ընտրանքի չափը հաշվարկելու բանաձևեր՝ օգտագործելով զուտ պատահական ընտրանքի մեթոդը
Նախորդ ենթաբաժիններում մենք դիտարկել ենք անհայտ պարամետրի գնահատման հարցը Ամեկ թիվ. Սա կոչվում է «կետ» գնահատում: Մի շարք առաջադրանքներում ոչ միայն անհրաժեշտ է գտնել պարամետրը Ահարմար թվային արժեք, այլև գնահատել դրա ճշգրտությունն ու հուսալիությունը: Դուք պետք է իմանաք, թե ինչ սխալների կարող է հանգեցնել պարամետրը փոխարինելը Ադրա միավորային գնահատականը Աև վստահության ի՞նչ աստիճանով կարող ենք ակնկալել, որ այդ սխալները չեն գերազանցի հայտնի սահմանները:
Այս կարգի խնդիրները հատկապես արդիական են փոքր թվով դիտարկումների դեպքում, երբ կետային գնահատականը և մեջհիմնականում պատահական է և a-ի մոտավոր փոխարինումը a-ով կարող է հանգեցնել լուրջ սխալների:
Գնահատման ճշգրտության և հուսալիության մասին պատկերացում կազմելու համար Ա,
Վ մաթեմատիկական վիճակագրությունՆրանք օգտագործում են այսպես կոչված վստահության միջակայքերը և վստահության հավանականությունները:
Թող պարամետրը Ափորձից ստացված անաչառ գնահատական Ա.Մենք ցանկանում ենք գնահատել այս դեպքում հնարավոր սխալը։ Եկեք նշանակենք բավականին մեծ p հավանականություն (օրինակ՝ p = 0,9, 0,95 կամ 0,99), որպեսզի p հավանականությամբ իրադարձությունը գործնականում վստահելի համարվի և գտնենք s արժեքը, որի համար
Այնուհետեւ շրջանակը գործնականում է հնարավոր արժեքներսխալ, որը տեղի է ունենում փոխարինելիս Ավրա Ա, կլինի ± s; Բացարձակ արժեքի մեծ սխալները կհայտնվեն միայն ցածր հավանականությամբ a = 1 - p. Վերաշարադրենք (14.3.1) այսպես.
Հավասարություն (14.3.2) նշանակում է, որ p հավանականությամբ պարամետրի անհայտ արժեքը Աընկնում է միջակայքում
Հարկ է նշել մեկ հանգամանք. Նախկինում մենք բազմիցս դիտարկել ենք պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ոչ պատահական ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը։ Այստեղ իրավիճակն այլ է՝ մագնիտուդը Ապատահական չէ, բայց / p միջակայքը պատահական է: Նրա դիրքը x առանցքի վրա պատահական է, որը որոշվում է կենտրոնով Ա; Ընդհանուր առմամբ, 2s միջակայքի երկարությունը նույնպես պատահական է, քանի որ s-ի արժեքը, որպես կանոն, հաշվարկվում է փորձարարական տվյալներից։ Հետևաբար ներս այս դեպքումԱվելի լավ կլինի p արժեքը մեկնաբանել ոչ թե որպես կետ «հարվածելու» հավանականություն Ամիջակայքում / p, և որպես հավանականություն, որ պատահական ինտերվալը / p կծածկի կետը Ա(նկ. 14.3.1):
Բրինձ. 14.3.1
p հավանականությունը սովորաբար կոչվում է վստահության հավանականությունը, և ընդմիջում / p - վստահության միջակայքը.Ինտերվալների սահմանները Եթե. a x = a-ս և a 2 = a +և կոչվում են վստահության սահմանները.
Եկեք մեկ այլ մեկնաբանություն տանք վստահության միջակայքի հայեցակարգին. այն կարելի է դիտարկել որպես պարամետրերի արժեքների միջակայք. Ա,համատեղելի է փորձարարական տվյալների հետ և չի հակասում դրանց: Իրոք, եթե համաձայնվենք a = 1-p հավանականությամբ իրադարձությունը համարել գործնականում անհնարին, ապա a պարամետրի այն արժեքները, որոնց համար ա - ա> ները պետք է ճանաչվեն որպես հակասական փորձարարական տվյալներ, և նրանք, որոնց համար |a - Աա տ նա 2.
Թող պարամետրը Ակա անաչառ գնահատական Ա.Եթե իմանայինք քանակի բաշխման օրենքը Ա, վստահության միջակայքը գտնելու խնդիրը շատ պարզ կլիներ. բավական կլիներ գտնել մի արժեք, որի համար
Դժվարությունն այն է, որ գնահատումների բաշխման օրենքը Ակախված է քանակի բաշխման օրենքից Xև, հետևաբար, նրա անհայտ պարամետրերի վրա (մասնավորապես, հենց պարամետրի վրա Ա).
Այս դժվարությունը շրջանցելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ մոտավորապես մոտավոր տեխնիկան. s-ի արտահայտության անհայտ պարամետրերը փոխարինել իրենց կետային գնահատականներով: Համեմատաբար մեծ թվով փորձերի հետ Պ(մոտ 20...30) այս տեխնիկան սովորաբար տալիս է արդյունքներ, որոնք գոհացուցիչ են ճշգրտության առումով։
Որպես օրինակ, դիտարկեք մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքի խնդիրը:
Թող արտադրվի Պ X,որոնց առանձնահատկություններն են ակնկալվող արժեքը Տև շեղում Դ- անհայտ: Այս պարամետրերի համար ստացվել են հետևյալ գնահատականները.
Մաթեմատիկական ակնկալիքի համար պահանջվում է կառուցել վստահության միջակայք / p, որը համապատասխանում է վստահության հավանականությանը p Տքանակները X.
Այս խնդիրը լուծելիս մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ քանակը Տներկայացնում է գումարը Պանկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականներ X ժև ըստ կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝ բավական մեծի համար Պդրա բաշխման օրենքը մոտ է նորմալին: Գործնականում, նույնիսկ համեմատաբար փոքր թվով տերմինների դեպքում (մոտ 10...20), գումարի բաշխման օրենքը մոտավորապես կարելի է նորմալ համարել։ Մենք կենթադրենք, որ արժեքը Տբաշխված է սովորական օրենքի համաձայն: Այս օրենքի բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, համապատասխանաբար հավասար են ՏԵվ
(տես գլուխ 13 ենթաբաժին 13.3): Ենթադրենք, որ արժեքը Դմենք գիտենք և կգտնենք Ep արժեք, որի համար
Օգտագործելով 6-րդ գլխի (6.3.5) բանաձևը, մենք արտահայտում ենք հավանականությունը (14.3.5) ձախ կողմում նորմալ բաշխման ֆունկցիայի միջոցով:
որտեղ է գնահատման ստանդարտ շեղումը Տ.
Սկսած հավասար.
գտնել Sp-ի արժեքը. 
որտեղ arg Ф* (х) Ф*-ի հակադարձ ֆունկցիան է (X),դրանք. փաստարկի արժեքը, որի վրա նորմալ գործառույթբաշխումը հավասար է X.
Ցրվածություն Դ,որի միջոցով արտահայտվում է քանակությունը Ա 1P, մենք հստակ չգիտենք; որպես դրա մոտավոր արժեք, կարող եք օգտագործել գնահատումը Դ(14.3.4) և դնել մոտավորապես.
Այսպիսով, մոտավորապես լուծվել է վստահության միջակայքի կառուցման խնդիրը, որը հավասար է.
որտեղ gp-ն որոշվում է բանաձևով (14.3.7):
s p-ն հաշվարկելիս Ф* (l) ֆունկցիայի աղյուսակներում հակադարձ ինտերպոլացիաներից խուսափելու համար հարմար է կազմել հատուկ աղյուսակ (Աղյուսակ 14.3.1), որը տալիս է քանակի արժեքները։
կախված ռ. Արժեքը (p-ը նորմալ օրենքի համար որոշում է ստանդարտ շեղումների քանակը, որոնք պետք է գծագրվեն ցրման կենտրոնից դեպի աջ և ձախ, որպեսզի ստացված տարածք մտնելու հավանականությունը հավասար լինի p-ին:
7 p արժեքի միջոցով վստահության միջակայքը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
Աղյուսակ 14.3.1
Օրինակ 1. Քանակի վրա կատարվել է 20 փորձ X;արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: 14.3.2.
Աղյուսակ 14.3.2
Պահանջվում է գնահատում գտնել քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքից Xև կառուցել վստահության ինտերվալ, որը համապատասխանում է վստահության հավանականությանը p = 0,8:
Լուծում.Մենք ունենք:
Ընտրելով l: = 10 որպես հղման կետ, օգտագործելով երրորդ բանաձևը (14.2.14) մենք գտնում ենք անաչառ գնահատականը Դ :
Ըստ աղյուսակի 14.3.1 մենք գտնում ենք 
Վստահության սահմաններ.
Վստահության միջակայք.
Պարամետրերի արժեքները Տ,Այս միջակայքում ընկածները համատեղելի են աղյուսակում տրված փորձարարական տվյալների հետ: 14.3.2.
Նմանատիպ ձևով կարելի է կառուցել վստահության ինտերվալ շեղումների համար:
Թող արտադրվի Պանկախ փորձեր պատահական փոփոխականի վրա Xինչպես A-ի, այնպես էլ դիսպերսիայի համար անհայտ պարամետրերով Դստացվել է անաչառ գնահատական.
Պահանջվում է մոտավորապես կառուցել վստահության միջակայք շեղման համար:
Բանաձևից (14.3.11) պարզ է դառնում, որ քանակը Դներկայացնում է
գումարը Պձևի պատահական փոփոխականներ. Այս արժեքները չեն
անկախ, քանի որ դրանցից որևէ մեկը ներառում է քանակությունը Տ,կախված բոլորից. Այնուամենայնիվ, կարելի է ցույց տալ, որ աճով Պդրանց գումարի բաշխման օրենքը նույնպես նորմալ է մոտենում։ Գրեթե ժամը Պ= 20...30 դա արդեն նորմալ կարելի է համարել։
Ենթադրենք, որ դա այդպես է, և եկեք գտնենք այս օրենքի բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսպերսիա։ Գնահատումից ի վեր Դ- ուրեմն անաչառ M[D] = D.
Տարբերության հաշվարկ Դ Դկապված է համեմատաբար բարդ հաշվարկների հետ, ուստի մենք ներկայացնում ենք դրա արտահայտությունն առանց ածանցման.
որտեղ q 4-ը չորրորդն է կենտրոնական կետքանակները X.
Այս արտահայտությունն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել արժեքները \u003d 4 և Դ(առնվազն մտերիմները): Փոխարեն Դկարող եք օգտվել նրա գնահատականից Դ.Սկզբունքորեն, չորրորդ կենտրոնական պահը կարող է փոխարինվել նաև գնահատմամբ, օրինակ՝ ձևի արժեքով.
բայց նման փոխարինումը կտա չափազանց ցածր ճշգրտություն, քանի որ ընդհանուր առմամբ, սահմանափակ թվով փորձերի դեպքում, պահերը. բարձր կարգորոշվում է մեծ սխալներ. Այնուամենայնիվ, գործնականում հաճախ է պատահում, որ քանակի բաշխման օրենքի տեսակը Xնախապես հայտնի. միայն դրա պարամետրերն են անհայտ: Այնուհետև կարող եք փորձել արտահայտել μ 4-ի միջոցով Դ.
Վերցնենք ամենատարածված դեպքը, երբ արժեքը Xբաշխված է սովորական օրենքի համաձայն: Այնուհետև նրա չորրորդ կենտրոնական պահն արտահայտվում է ցրվածության առումով (տե՛ս Գլուխ 6, ենթաբաժին 6.2);
և (14.3.12) բանաձևը տալիս է 
կամ
Անհայտի փոխարինում (14.3.14) Դնրա գնահատականը Դ, ստանում ենք՝ որտեղից 
Մ 4 պահը կարող է արտահայտվել միջոցով Դնաև որոշ այլ դեպքերում, երբ արժեքի բաշխումը Xնորմալ չէ, բայց նրա տեսքը հայտնի է։ Օրինակ՝ օրենքի համար միասնական խտություն(տես գլուխ 5) մենք ունենք. 
որտեղ (a, P) այն միջակայքն է, որի վրա նշված է օրենքը:
Հետևաբար,
Օգտագործելով բանաձևը (14.3.12) մենք ստանում ենք. 
որտեղ ենք գտնում մոտավորապես
Այն դեպքերում, երբ 26 քանակի բաշխման օրենքի տեսակը անհայտ է, արժեքը մոտավոր գնահատելիս a/, այնուամենայնիվ, խորհուրդ է տրվում օգտագործել բանաձևը (14.3.16), եթե չկան հատուկ հիմքեր ենթադրելու, որ այս օրենքը. շատ է տարբերվում սովորականից (ունի նկատելի դրական կամ բացասական կուրտոզ):
Եթե մոտավոր a/ արժեքը ստացվում է այս կամ այն կերպ, ապա մենք կարող ենք վստահության միջակայք կառուցել շեղումների համար այնպես, ինչպես այն կառուցել ենք մաթեմատիկական ակնկալիքի համար.
որտեղ ըստ աղյուսակի գտնվում է տվյալ p հավանականությունից կախված արժեքը։ 14.3.1.
Օրինակ 2. Գտեք մոտավորապես 80% վստահության միջակայքը պատահական փոփոխականի շեղման համար Xօրինակ 1-ի պայմաններում, եթե հայտնի է, որ արժեքը Xբաշխված է նորմալին մոտ օրենքի համաձայն։
Լուծում.Արժեքը մնում է նույնը, ինչ աղյուսակում: 14.3.1:
Ըստ բանաձևի (14.3.16)
Օգտագործելով բանաձևը (14.3.18) մենք գտնում ենք վստահության միջակայքը.
Միջին արժեքների համապատասխան միջակայքը քառակուսի շեղում: (0,21; 0,29).
14.4. Ճշգրիտ կառուցման մեթոդներ վստահության միջակայքերըսովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի պարամետրերի համար
Նախորդ ենթաբաժնում մենք ուսումնասիրեցինք մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների համար վստահության միջակայքների կառուցման մոտավորապես մոտավոր մեթոդներ: Այստեղ մենք պատկերացում կտանք նույն խնդրի լուծման ճշգրիտ մեթոդների մասին: Մենք շեշտում ենք, որ վստահության միջակայքերը ճշգրիտ գտնելու համար բացարձակապես անհրաժեշտ է նախապես իմանալ քանակի բաշխման օրենքի ձևը. X,մինչդեռ մոտավոր մեթոդների կիրառման համար դա անհրաժեշտ չէ։
Գաղափար ճշգրիտ մեթոդներվստահության միջակայքների կառուցումը հանգում է հետևյալին. Ցանկացած վստահության միջակայք հայտնաբերվում է պայմանից, որն արտահայտում է որոշակի անհավասարությունների կատարման հավանականությունը, որոնք ներառում են մեզ հետաքրքրող գնահատականը: Ա.Գնահատման բաշխման օրենքը ԱՎ ընդհանուր դեպքկախված է անհայտ քանակի պարամետրերից X.Այնուամենայնիվ, երբեմն հնարավոր է պատահական փոփոխականից անհավասարություններ անցնել ԱԴիտարկվող արժեքների որոշ այլ ֆունկցիաների նկատմամբ X p X 2, ..., X p.որի բաշխման օրենքը կախված չէ անհայտ պարամետրերից, այլ կախված է միայն փորձերի քանակից և քանակի բաշխման օրենքի տեսակից. X.Այս տեսակի պատահական փոփոխականները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ. դրանք առավել մանրամասն ուսումնասիրվել են քանակի նորմալ բաշխման դեպքում X.
Օրինակ, ապացուցվել է, որ արժեքի նորմալ բաշխմամբ Xպատահական արժեք
ենթարկվում է այսպես կոչվածին Ուսանողների բաշխման օրենքըՀետ Պ- 1 աստիճան ազատություն; այս օրենքի խտությունն ունի ձևը
որտեղ G(x)-ը հայտնի գամմա ֆունկցիան է.
Ապացուցված է նաև, որ պատահական փոփոխականը
ունի «%2 բաշխում» հետ Պ- Ազատության 1 աստիճան (տե՛ս Գլուխ 7), որի խտությունն արտահայտվում է բանաձևով.
Չանդրադառնալով բաշխումների (14.4.2) և (14.4.4) ածանցյալներին, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարող են դրանք կիրառվել պարամետրերի համար վստահության միջակայքեր կառուցելիս: ty Դ.
Թող արտադրվի Պանկախ փորձեր պատահական փոփոխականի վրա X,սովորաբար բաշխված անհայտ պարամետրերով T&O.Այս պարամետրերի համար ստացվել են գնահատականներ
Պահանջվում է վստահության ինտերվալներ կառուցել երկու պարամետրերի համար, որոնք համապատասխանում են վստահության հավանականությանը p.
Եկեք նախ կառուցենք մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը: Բնական է այս ինտերվալը սիմետրիկ ընդունելն առնչությամբ Տ; թող s p-ը նշանակի միջակայքի երկարության կեսը: s p արժեքը պետք է ընտրվի այնպես, որ պայմանը բավարարվի
Փորձենք պատահական փոփոխականից շարժվել հավասարության ձախ կողմում (14.4.5). Տպատահական փոփոխականին Տ,բաշխվում է ուսանողական օրենքի համաձայն: Դա անելու համար բազմապատկեք անհավասարության երկու կողմերը |m-w?|
դրական արժեքով. 
կամ, օգտագործելով նշումը (14.4.1),
Գտնենք այնպիսի թիվ / p, որ պայմանից գտնվի արժեքը / p
Բանաձևից (14.4.2) պարզ է դառնում, որ (1) - նույնիսկ գործառույթ, ուրեմն (14.4.8) տալիս է 
Հավասարությունը (14.4.9) որոշում է / p արժեքը կախված p-ից: Եթե ձեր տրամադրության տակ ունեք ինտեգրալ արժեքների աղյուսակ
ապա /p-ի արժեքը կարելի է գտնել աղյուսակում հակադարձ ինտերպոլացիայի միջոցով: Այնուամենայնիվ, ավելի հարմար է նախապես կազմել /p արժեքների աղյուսակը: Նման աղյուսակը տրված է Հավելվածում (Աղյուսակ 5): Այս աղյուսակը ցույց է տալիս արժեքները՝ կախված p վստահության մակարդակից և ազատության աստիճանների քանակից Պ- 1. Սեղանից որոշելով / p. 5 և ենթադրելով 
մենք կգտնենք վստահության միջակայքի / p լայնության կեսը և ինքնին միջակայքը
Օրինակ 1. 5 անկախ փորձեր են կատարվել պատահական փոփոխականի վրա X,սովորաբար բաշխված անհայտ պարամետրերով Տև մոտ. Փորձերի արդյունքները տրված են աղյուսակում: 14.4.1.
Աղյուսակ 14.4.1
Գտեք վարկանիշը Տմաթեմատիկական ակնկալիքի համար և դրա համար կառուցել 90% վստահության միջակայք / p (այսինքն՝ վստահության հավանականությանը համապատասխանող միջակայքը p = 0,9):
Լուծում.Մենք ունենք:
Համաձայն դիմումի 5-րդ աղյուսակի Պ - 1 = 4 և p = 0.9 մենք գտնում ենք 
որտեղ 
Վստահության միջակայքը կլինի
Օրինակ 2. 14.3 ենթաբաժնի 1-ին օրինակի պայմանների համար՝ ընդունելով արժեքը. Xնորմալ բաշխված, գտեք վստահության ճշգրիտ միջակայքը:
Լուծում.Համաձայն հավելվածի 5-րդ աղյուսակի, մենք գտնում ենք Պ - 1 = 19ir =
0,8 / p = 1,328; այստեղից 
Համեմատելով 14.3 ենթաբաժնի 1-ին օրինակի լուծման հետ (e p = 0.072), մենք համոզված ենք, որ անհամապատասխանությունը շատ աննշան է: Եթե մենք պահպանում ենք ճշտությունը մինչև երկրորդ տասնորդական տեղը, ապա ճշգրիտ և մոտավոր մեթոդներով հայտնաբերված վստահության միջակայքերը համընկնում են.
Եկեք անցնենք շեղումների համար վստահության միջակայքի կառուցմանը: Դիտարկենք անաչառ շեղումների գնահատիչը
և արտահայտել պատահական փոփոխականը Դմեծության միջոցով Վ(14.4.3), ունենալով բաշխում x 2 (14.4.4):
Իմանալով քանակի բաշխման օրենքը V,կարող եք գտնել /(1) միջակայքը, որում այն ընկնում է տրված հավանականությամբ p.
Բաշխման օրենքը kn_x(v) I 7 մեծությունն ունի Նկարում ներկայացված ձևը: 14.4.1.
Բրինձ. 14.4.1
Հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ընտրել միջակայքը / p: Եթե մեծության բաշխման օրենքը Վսիմետրիկ էր (ինչպես նորմալ օրենքը կամ ուսանողական բաշխումը), բնական կլիներ մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ վերցնել /p միջակայքը: Այս դեպքում օրենքը k p_x (v)ասիմետրիկ. Եկեք համաձայնենք ընտրել /p միջակայքը այնպես, որ արժեքի հավանականությունը լինի Վաջ և ձախ ինտերվալից այն կողմ (Նկար 14.4.1-ում ստվերված հատվածները) նույնն էին և հավասար.
Այս հատկությամբ /p ինտերվալ կառուցելու համար մենք օգտագործում ենք աղյուսակը: 4 հավելված՝ պարունակում է թվեր y)այնպիսին է, որ
արժեքի համար V,ունենալով x 2 - բաշխում r ազատության աստիճաններով: Մեր դեպքում r = n- 1. Եկեք ուղղենք r = n- 1 և գտնել աղյուսակի համապատասխան տողում: 4 երկու իմաստ x 2 -մեկը համապատասխանում է հավանականությանը, մյուսը՝ հավանականություն Նշենք դրանք
արժեքներ ժամը 2-ինԵվ xl?Ընդմիջումն ունի y 2,քո ձախով, և y~աջ վերջ.
Հիմա եկեք / p միջակայքից գտնենք ցանկալի վստահության միջակայքը /|, D սահմաններով ցրվածության համար, և D2,որն ընդգրկում է կետը Դ p հավանականությամբ: 
Եկեք կառուցենք / (, = (?> ь А) միջակայքը, որը ծածկում է կետը Դեթե և միայն այն դեպքում, եթե արժեքը Վընկնում է /r միջակայքում: Եկեք ցույց տանք, որ միջակայքը
բավարարում է այս պայմանը. Իրոք, անհավասարությունները 
համարժեք են անհավասարություններին
և այս անհավասարությունները բավարարվում են p հավանականությամբ։ Այսպիսով, դիսպերսիայի համար վստահության միջակայքը գտնվել է և արտահայտվում է բանաձևով (14.4.13):
Օրինակ 3. 14.3 ենթաբաժնի 2-րդ օրինակի պայմաններում գտե՛ք շեղումների վստահության միջակայքը, եթե հայտնի է, որ արժեքը. Xսովորաբար բաշխված.
Լուծում.Մենք ունենք 
. Համաձայն հավելվածի 4-րդ աղյուսակի
մենք գտնում ենք r = n - 1 = 19
Օգտագործելով բանաձևը (14.4.13) մենք գտնում ենք դիսպերսիայի վստահության միջակայքը 
Ստանդարտ շեղման համապատասխան միջակայքը (0.21; 0.32): Այս միջակայքը միայն փոքր-ինչ գերազանցում է 14.3 ենթաբաժնի 2-րդ օրինակում ստացված միջակայքը (0.21; 0.29)՝ մոտավոր մեթոդով:
- Նկար 14.3.1-ում ներկայացված է վստահության միջակայքը սիմետրիկ ա-ի նկատմամբ: Ընդհանուր առմամբ, ինչպես հետագայում կտեսնենք, դա անհրաժեշտ չէ։
Վստահության միջակայքերի գնահատում
Ուսուցման նպատակները
Վիճակագրությունը համարում է հետևյալը երկու հիմնական խնդիր:
Մենք ունենք որոշ գնահատականներ՝ հիմնված ընտրանքային տվյալների վրա, և մենք ցանկանում ենք որոշակի հավանական հայտարարություն անել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գնահատված պարամետրի իրական արժեքը:
Մենք ունենք կոնկրետ վարկած, որը պետք է փորձարկվի՝ օգտագործելով ընտրանքային տվյալները:
Այս թեմայում մենք դիտարկում ենք առաջին խնդիրը. Ներկայացնենք նաև վստահության միջակայքի սահմանումը։
Վստահության միջակայքը ինտերվալ է, որը կառուցված է պարամետրի գնահատված արժեքի շուրջ և ցույց է տալիս, թե որտեղ է գտնվում գնահատված պարամետրի իրական արժեքը՝ a priori սահմանված հավանականությամբ:
Այս թեմայի վերաբերյալ նյութն ուսումնասիրելուց հետո դուք.
սովորել, թե ինչ է վստահության միջակայքը;
սովորել դասակարգել վիճակագրական խնդիրները;
տիրապետել վստահության միջակայքների կառուցման տեխնիկային, ինչպես վիճակագրական բանաձևերի, այնպես էլ ծրագրային գործիքների օգտագործմամբ.
սովորել որոշել նմուշի պահանջվող չափերը՝ վիճակագրական գնահատումների ճշգրտության որոշակի պարամետրերի հասնելու համար:
Նմուշի բնութագրերի բաշխում
T-բաշխում
Ինչպես նշվեց վերևում, պատահական փոփոխականի բաշխումը մոտ է ստանդարտացվածին նորմալ բաշխում 0 և 1 պարամետրերով: Քանի որ մենք չգիտենք σ-ի արժեքը, այն փոխարինում ենք s-ի որոշ գնահատականով: Քանակն արդեն ունի այլ բաշխում, այն է՝ կամ Ուսանողների բաշխում, որը որոշվում է n -1 պարամետրով (ազատության աստիճանների թիվը)։ Այս բաշխումը մոտ է նորմալ բաշխմանը (որքան մեծ է n-ը, այնքան ավելի մոտ են բաշխումները):
Նկ. 95 
Ներկայացված է 30 աստիճան ազատության ուսանողական բաշխումը: Ինչպես տեսնում եք, այն շատ մոտ է նորմալ բաշխմանը։
Նորմալ բաշխման NORMIDIST-ի և NORMINV-ի հետ աշխատելու գործառույթների նման, կան t-բաշխման հետ աշխատելու գործառույթներ՝ STUDIST (TDIST) և STUDRASOBR (TINV). Այս ֆունկցիաների օգտագործման օրինակը կարելի է տեսնել STUDRASP.XLS ֆայլում (կաղապար և լուծում) և Նկ. 96 
.
Այլ բնութագրերի բաշխում
Ինչպես արդեն գիտենք, մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատման ճշգրտությունը որոշելու համար մեզ անհրաժեշտ է t-բաշխում։ Այլ պարամետրերը գնահատելու համար, ինչպիսիք են շեղումները, տարբեր բաշխումներ են պահանջվում: Դրանցից երկուսն են F-բաշխումը և x 2 - բաշխում.
Վստահության միջակայքը միջինի համար
Վստահության միջակայք- սա ինտերվալ է, որը կառուցված է պարամետրի գնահատված արժեքի շուրջ և ցույց է տալիս, թե որտեղ է գտնվում գնահատված պարամետրի իրական արժեքը՝ a priori նշված հավանականությամբ:
Միջին արժեքի համար վստահության միջակայքի կառուցումը տեղի է ունենում հետեւյալ կերպ:
Օրինակ
Արագ սննդի ռեստորանը նախատեսում է ընդլայնել իր տեսականին նոր տեսակի սենդվիչով։ Դրա պահանջարկը գնահատելու համար մենեջերը նախատեսում է պատահականության սկզբունքով ընտրել 40 այցելու նրանցից, ովքեր արդեն փորձել են այն և խնդրել նրանց գնահատել իրենց վերաբերմունքը նոր ապրանքի նկատմամբ 1-ից 10 սանդղակով: Կառավարիչը ցանկանում է գնահատել ակնկալվողը: միավորների քանակը, որոնք կստանա նոր արտադրանքը և կկառուցի 95% վստահության միջակայք այս գնահատման համար: Ինչպե՞ս դա անել: (տես SANDWICH1.XLS ֆայլը (կաղապար և լուծում):
Լուծում
Այս խնդիրը լուծելու համար կարող եք օգտագործել. Արդյունքները ներկայացված են Նկ. 97 
.
Վստահության միջակայքը ընդհանուր արժեքի համար
Երբեմն, օգտագործելով ընտրանքային տվյալները, անհրաժեշտ է գնահատել ոչ թե մաթեմատիկական ակնկալիքը, այլ ընդհանուր գումարըարժեքներ։ Օրինակ, աուդիտորի հետ կապված իրավիճակում հետաքրքրությունը կարող է լինել ոչ թե միջին հաշվի չափը, այլ բոլոր հաշիվների հանրագումարը գնահատելը:
Թող N - ընդհանուրտարրերը, n-ը ընտրանքի չափն է, T 3-ը նմուշի արժեքների գումարն է, T»-ն ամբողջ բնակչության գումարի գնահատումն է, ապա 
, և վստահության միջակայքը հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ s-ը նմուշի ստանդարտ շեղման գնահատումն է և նմուշի միջինի գնահատումն է։
Օրինակ
Ասենք մի քանիսը հարկային ծառայությունցանկանում է հաշվարկել 10000 հարկատուների ընդհանուր հարկերի վերադարձի գումարը։ Հարկ վճարողը կա՛մ հետ է ստանում, կա՛մ լրացուցիչ հարկեր է վճարում։ Գտեք վերադարձի գումարի 95% վստահության միջակայքը՝ ենթադրելով 500 հոգու նմուշի չափ (տե՛ս AMOUNT OF REFUND.XLS ֆայլը (կաղապար և լուծում):
Լուծում
StatPro-ն այս դեպքի համար հատուկ ընթացակարգ չունի, այնուամենայնիվ, կարելի է նշել, որ սահմանները կարելի է ստանալ միջինի սահմաններից՝ հիմնվելով վերը նշված բանաձևերի վրա (նկ. 98): 
).
Համամասնության համար վստահության միջակայք
Թող p-ն լինի հաճախորդների մասնաբաժնի մաթեմատիկական ակնկալիքը, իսկ p b-ն լինի n չափի նմուշից ստացված այս մասնաբաժնի գնահատումը: Կարելի է ցույց տալ, որ բավականաչափ մեծ 
գնահատման բաշխումը մոտ կլինի նորմալին մաթեմատիկական ակնկալիքով p և ստանդարտ շեղումով 
. Գնահատման ստանդարտ սխալն այս դեպքում արտահայտվում է այսպես 
, իսկ վստահության միջակայքը նույնն է 
.
Օրինակ
Արագ սննդի ռեստորանը նախատեսում է ընդլայնել իր տեսականին նոր տեսակի սենդվիչով։ Դրա պահանջարկը գնահատելու համար մենեջերը պատահականորեն ընտրեց 40 այցելու նրանցից, ովքեր արդեն փորձել էին այն և խնդրեց նրանց գնահատել իրենց վերաբերմունքը նոր արտադրանքի նկատմամբ 1-ից 10 սանդղակով: Կառավարիչը ցանկանում է գնահատել ակնկալվող համամասնությունը: հաճախորդներ, ովքեր գնահատում են նոր ապրանքը առնվազն 6 միավորով (նա ակնկալում է, որ այդ հաճախորդները կլինեն նոր ապրանքի սպառողները):
Լուծում
Սկզբում մենք ստեղծում ենք նոր սյունակ՝ հիմնված հատկանիշ 1-ի վրա, եթե հաճախորդի վարկանիշը 6 միավորից ավելի է, իսկ հակառակ դեպքում՝ 0 (տես SANDWICH2.XLS ֆայլը (ձևանմուշ և լուծում):
Մեթոդ 1
Հաշվելով 1 թիվը՝ մենք գնահատում ենք մասնաբաժինը, այնուհետև օգտագործում ենք բանաձևերը։
Zcr արժեքը վերցված է հատուկ նորմալ բաշխման աղյուսակներից (օրինակ՝ 1.96 95% վստահության միջակայքի համար):
Օգտագործելով այս մոտեցումը և կոնկրետ տվյալները՝ 95% ինտերվալ կառուցելու համար, մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքները (նկ. 99): 
). Կրիտիկական արժեք z cr պարամետրը հավասար է 1,96-ի: Գնահատման ստանդարտ սխալը 0,077 է: Վստահության միջակայքի ստորին սահմանը 0,475 է: Վստահության միջակայքի վերին սահմանը 0,775 է: Այսպիսով, մենեջերը իրավունք ունի 95% վստահությամբ հավատալ, որ հաճախորդների տոկոսը, ովքեր գնահատում են նոր ապրանքը 6 կամ ավելի միավոր, կլինի 47,5-ից 77,5-ի միջև:
Մեթոդ 2
Այս խնդիրը կարող է լուծվել StatPro ստանդարտ գործիքների միջոցով: Դա անելու համար բավական է նշել, որ մասնաբաժինը տվյալ դեպքում համընկնում է Type սյունակի միջին արժեքի հետ։ Հաջորդը մենք դիմում ենք StatPro/Վիճակագրական եզրակացություն/Մեկ նմուշի վերլուծությունՏիպ սյունակի համար միջինի (մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում) վստահության միջակայք կառուցելու համար: Այս դեպքում ստացված արդյունքները շատ մոտ կլինեն 1-ին մեթոդի արդյունքներին (նկ. 99):
Վստահության միջակայքը ստանդարտ շեղման համար
s-ն օգտագործվում է որպես ստանդարտ շեղման գնահատում (բանաձևը տրված է 1-ին բաժնում): Գնահատման s-ի խտության ֆունկցիան chi-square ֆունկցիան է, որը, ինչպես t-բաշխումը, ունի ազատության n-1 աստիճան։ Այս բաշխման CHIDIST-ի և CHIINV-ի հետ աշխատելու համար կան հատուկ գործառույթներ:
Վստահության միջակայքն այս դեպքում այլեւս սիմետրիկ չի լինի: Պայմանական սահմանային դիագրամը ներկայացված է Նկ. 100 .
Օրինակ
Մեքենան պետք է արտադրի 10 սմ տրամագծով մասեր, սակայն տարբեր հանգամանքների պատճառով սխալներ են տեղի ունենում: Որակի վերահսկիչին մտահոգում է երկու հանգամանք. նախ միջին արժեքը պետք է լինի 10 սմ. երկրորդ, նույնիսկ այս դեպքում, եթե շեղումները մեծ են, ապա շատ մասեր կմերժվեն։ Ամեն օր նա պատրաստում է 50 մասից բաղկացած նմուշ (տե՛ս ֆայլը QUALITY CONTROL.XLS (կաղապար և լուծում): Ի՞նչ եզրակացություններ կարող է տալ նման նմուշը:
Լուծում
Եկեք կառուցենք 95% վստահության միջակայքեր միջին և ստանդարտ շեղումների համար՝ օգտագործելով StatPro/Վիճակագրական եզրակացություն/Մեկ նմուշի վերլուծություն(Նկար 101 
).
Հաջորդը, օգտագործելով տրամագծերի նորմալ բաշխման ենթադրությունը, մենք հաշվարկում ենք թերի արտադրանքի համամասնությունը՝ սահմանելով առավելագույն շեղում 0,065: Օգտագործելով փոխարինման աղյուսակի հնարավորությունները (երկու պարամետրի դեպք), մենք գծագրում ենք արատների համամասնության կախվածությունը միջին արժեքից և ստանդարտ շեղումից (նկ. 102): 
).
Վստահության միջակայքը երկու միջոցների տարբերության համար
Սա ամենաշատերից մեկն է կարևոր հավելվածներվիճակագրական մեթոդներ. Իրավիճակների օրինակներ.
Հագուստի խանութի մենեջերը կցանկանար իմանալ, թե միջին կին հաճախորդը որքան շատ կամ պակաս է ծախսում խանութում, քան միջին տղամարդ հաճախորդը:
Երկու ավիաընկերությունները թռչում են նմանատիպ երթուղիներով: Սպառողների կազմակերպությունը ցանկանում է համեմատել երկու ավիաընկերությունների թռիչքների միջին սպասվող հետաձգման ժամանակների տարբերությունը:
Ընկերությունը կտրոններ է ուղարկում առանձին տեսակներապրանքը մի քաղաքում և չի ուղարկվում մյուսը: Մենեջերները ցանկանում են համեմատել այս ապրանքների գնման միջին ծավալները առաջիկա երկու ամիսների ընթացքում։
Մեքենաների դիլերը հաճախ հանդիպում է ամուսնացած զույգերի հետ շնորհանդեսների ժամանակ: Ներկայացման վերաբերյալ նրանց անձնական արձագանքները հասկանալու համար զույգերին հաճախ առանձին հարցազրույց են տալիս: Մենեջերը ցանկանում է գնահատել տղամարդկանց և կանանց տված վարկանիշների տարբերությունը։
Անկախ նմուշների դեպք
Միջոցների միջև տարբերությունը կունենա t-բաշխում n 1 + n 2 - 2 աստիճան ազատության հետ: μ 1 - μ 2-ի վստահության միջակայքը արտահայտվում է հարաբերությամբ.
Այս խնդիրը կարող է լուծվել ոչ միայն վերը նշված բանաձևերի միջոցով, այլ նաև StatPro ստանդարտ գործիքների միջոցով: Դա անելու համար բավական է օգտագործել
Համամասնությունների տարբերության վստահության միջակայքը
Թող լինի բաժնետոմսերի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Թող լինեն դրանց ընտրանքային գնահատումները, որոնք կառուցվել են համապատասխանաբար n 1 և n 2 չափերի նմուշներից: Այնուհետև գնահատվում է տարբերությունը: Հետևաբար, այս տարբերության վստահության միջակայքը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
Այստեղ z cr-ն արժեք է, որը ստացվում է նորմալ բաշխումից՝ օգտագործելով հատուկ աղյուսակներ (օրինակ՝ 1.96 95% վստահության միջակայքի համար):
Գնահատման ստանդարտ սխալն այս դեպքում արտահայտվում է հարաբերությամբ.
.
Օրինակ
Խանութը, պատրաստվելով մեծ վաճառքի, ձեռնարկեց հետևյալ քայլերը. շուկայավարման հետազոտություն. Ընտրվել է 300-ը լավագույն գնորդները, որոնք իրենց հերթին պատահականության սկզբունքով բաժանվեցին երկու խմբի՝ յուրաքանչյուրը 150 հոգանոց։ Բոլոր ընտրված գնորդներին ուղարկվել են վաճառքին մասնակցելու հրավերներ, սակայն միայն առաջին խմբի անդամներն են ստացել 5% զեղչի իրավունքով կտրոն: Վաճառքի ընթացքում արձանագրվել են ընտրված բոլոր 300 գնորդների գնումները։ Ինչպե՞ս կարող է ղեկավարը մեկնաբանել արդյունքները և դատողություններ անել կտրոնների արդյունավետության մասին: (տես ֆայլ COUPONS.XLS (կաղապար և լուծում)):
Լուծում
Կոնկրետ մեր դեպքի համար զեղչի կտրոն ստացած 150 հաճախորդներից 55-ը գնում է կատարել վաճառքից, իսկ 150 չստացածներից ընդամենը 35-ը (նկ. 103): 
). Այնուհետև նմուշի համամասնությունների արժեքներն են՝ համապատասխանաբար 0,3667 և 0,2333: Իսկ դրանց միջև ընտրանքային տարբերությունը համապատասխանաբար հավասար է 0,1333-ի։ Ենթադրելով 95% վստահության միջակայք, մենք նորմալ բաշխման աղյուսակից գտնում ենք z cr = 1.96: Ընտրանքային տարբերության ստանդարտ սխալի հաշվարկը 0,0524 է: Վերջապես մենք գտնում ենք, որ 95% վստահության միջակայքի ստորին սահմանը 0,0307 է, և վերին սահմանը 0,2359 համապատասխանաբար: Ստացված արդյունքները կարելի է մեկնաբանել այնպես, որ զեղչի կտրոն ստացած յուրաքանչյուր 100 հաճախորդի համար կարող ենք ակնկալել 3-ից 23 նոր հաճախորդ։ Այնուամենայնիվ, պետք է նկատի ունենալ, որ այս եզրակացությունն ինքնին չի նշանակում կտրոնների օգտագործման արդյունավետություն (քանի որ զեղչ տրամադրելով՝ մենք կորցնում ենք շահույթը)։ Սա ցույց տանք կոնկրետ տվյալներով։ Եկեք այդպես ձևացնենք միջին չափըգնումը հավասար է 400 ռուբլու, որից 50 ռուբլի: խանութի համար շահույթ կա. Այնուհետև կտրոն չստացած 100 հաճախորդների ակնկալվող շահույթը կազմում է.
50 0,2333 100 = 1166,50 ռուբ.
Կտրոն ստացած 100 հաճախորդի համար նմանատիպ հաշվարկները տալիս են.
30 0,3667 100 = 1100,10 ռուբ.
Միջին շահույթի նվազումը մինչև 30 բացատրվում է նրանով, որ զեղչից օգտվելով, կտրոն ստացած հաճախորդները միջինը գնումներ կկատարեն 380 ռուբլով:
Այսպիսով, վերջնական եզրակացությունը վկայում է տվյալ իրավիճակում նման կտրոնների օգտագործման անարդյունավետության մասին:
Մեկնաբանություն. Այս խնդիրը կարող է լուծվել ստանդարտ StatPro գործիքների միջոցով: Դա անելու համար բավական է նվազեցնել այս առաջադրանքըմեթոդով երկու միջինների տարբերությունը գնահատելու խնդրին, այնուհետև կիրառել StatPro/Վիճակագրական եզրակացություն/Երկու նմուշի վերլուծությունկառուցել վստահության միջակայք երկու միջին արժեքների տարբերության համար:
Վստահության միջակայքի երկարության վերահսկում
Վստահության միջակայքի երկարությունը կախված է հետեւյալ պայմանները :
ուղղակիորեն տվյալներ (ստանդարտ շեղում);
նշանակության մակարդակ;
նմուշի չափը.
Նմուշի չափը միջինը գնահատելու համար
Նախ դիտարկենք խնդիրը ընդհանուր դեպքում։ Եկեք նշանակենք մեզ տրված վստահության միջակայքի երկարության կեսի արժեքը որպես B (նկ. 104): 
). Մենք գիտենք, որ որոշ պատահական X փոփոխականի միջին արժեքի վստահության միջակայքը արտահայտվում է այսպես 
, Որտեղ 
. Հավատալով.
և n արտահայտելով՝ ստանում ենք .
Ցավոք սրտի, ճշգրիտ արժեքՄենք չգիտենք X պատահական փոփոխականի շեղումը: Բացի այդ, մենք չգիտենք tcr-ի արժեքը, քանի որ այն կախված է n-ից ազատության աստիճանների քանակի միջոցով: Այս իրավիճակում մենք կարող ենք անել հետևյալը. Տարբերակ s-ի փոխարեն մենք օգտագործում ենք դիսպերսիայի որոշ գնահատական՝ հիմնված ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի ցանկացած հասանելի ներդրման վրա: tcr արժեքի փոխարեն մենք օգտագործում ենք zcr արժեքը նորմալ բաշխման համար։ Սա միանգամայն ընդունելի է, քանի որ նորմալ և t-բաշխումների բաշխման խտության ֆունկցիաները շատ մոտ են (բացառությամբ փոքր n-ի դեպքի): Այսպիսով, պահանջվող բանաձևը ստանում է ձև.
.
Քանի որ բանաձևը տալիս է, ընդհանուր առմամբ, ոչ ամբողջ թվային արդյունքներ, արդյունքի ավելցուկով կլորացումը վերցվում է որպես ցանկալի նմուշի չափ:
Օրինակ
Արագ սննդի ռեստորանը նախատեսում է ընդլայնել իր տեսականին նոր տեսակի սենդվիչով։ Դրա պահանջարկը գնահատելու համար մենեջերը նախատեսում է պատահականորեն ընտրել մի շարք այցելուներ նրանցից, ովքեր արդեն փորձել են այն և խնդրել նրանց գնահատել իրենց վերաբերմունքը նոր ապրանքի նկատմամբ 1-ից 10 սանդղակով: Կառավարիչը ցանկանում է գնահատել ակնկալվող միավորների քանակը, որ նոր ապրանքը կստանա արտադրանքը և կկառուցի 95% վստահության միջակայք այս գնահատման համար: Միաժամանակ նա ցանկանում է, որ վստահության միջակայքի կես լայնությունը չգերազանցի 0,3-ը։ Քանի՞ այցելուի կարիք ունի նա հարցազրույցի համար:
Ինչպես նշված է հետեւյալում:
Այստեղ ր ոց p համամասնության գնահատականն է, իսկ B-ն վստահության միջակայքի երկարության տրված կեսն է: n-ի գերագնահատում կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով արժեքը ր ոց= 0,5. Այս դեպքում վստահության միջակայքի երկարությունը չի գերազանցի նշված B արժեքը p-ի իրական արժեքի համար:
Օրինակ
Թող նախորդ օրինակի ղեկավարը պլանավորի գնահատել նոր տեսակի ապրանք նախընտրած հաճախորդների մասնաբաժինը: Նա ցանկանում է կառուցել 90% վստահության միջակայք, որի կես երկարությունը չի գերազանցում 0,05-ը: Քանի՞ հաճախորդ պետք է ներառվի պատահական ընտրանքում:
Լուծում
Մեր դեպքում z cr-ի արժեքը = 1,645: Հետևաբար, պահանջվող քանակությունը հաշվարկվում է որպես 
.
Եթե ղեկավարը հիմքեր ունենար ենթադրելու, որ ցանկալի p-արժեքը, օրինակ, մոտավորապես 0.3 է, ապա այս արժեքը վերը նշված բանաձևով փոխարինելով, մենք կստանանք ավելի փոքր պատահական նմուշի արժեք, այն է՝ 228:
Որոշելու բանաձև պատահական ընտրանքի չափը երկու միջոցների միջև տարբերության դեպքումգրված է որպես:
.
Օրինակ
Որոշ համակարգչային ընկերություններ ունի հաճախորդների սպասարկման կենտրոն: IN ՎերջերսԾառայության վատ որակի վերաբերյալ հաճախորդների բողոքների թիվն աճել է։ IN Սպասարկման կենտրոնԱշխատակիցները հիմնականում երկու տեսակ են՝ նրանք, ովքեր մեծ փորձ չունեն, բայց անցել են հատուկ նախապատրաստական դասընթացներ, և ովքեր ունեն մեծ պրակտիկ փորձ, բայց հատուկ դասընթացներ չեն անցել։ Ընկերությունը ցանկանում է վերլուծել հաճախորդների բողոքները վերջին վեց ամիսների ընթացքում և համեմատել բողոքների միջին թիվը աշխատողների երկու խմբերից յուրաքանչյուրի համար: Ենթադրվում է, որ երկու խմբերի համար էլ նմուշների թվերը նույնն են լինելու։ Քանի՞ աշխատող պետք է ներառվի ընտրանքում, որպեսզի ստացվի 95% ինտերվալ, որի երկարությունը 2-ից ոչ ավելի է:
Լուծում
Այստեղ σ ots-ը երկու պատահական փոփոխականների ստանդարտ շեղման գնահատումն է՝ ենթադրելով, որ դրանք մոտ են: Այսպիսով, մեր հարցում մենք պետք է ինչ-որ կերպ ստանանք այս գնահատականը: Դա կարելի է անել, օրինակ, հետևյալ կերպ. Անցած վեց ամսվա ընթացքում հաճախորդների բողոքների վերաբերյալ տվյալները դիտարկելով՝ մենեջերը կարող է նկատել, որ յուրաքանչյուր աշխատակից սովորաբար ստանում է 6-ից 36 բողոք: Իմանալով, որ նորմալ բաշխման համար գրեթե բոլոր արժեքները երեք անգամից ոչ ավելի են հանվում միջինից ստանդարտ շեղումներ, նա կարող է ողջամտորեն հավատալ, որ.
, որտեղից σ ots = 5.
Փոխարինելով այս արժեքը բանաձևի մեջ, մենք ստանում ենք 
.
Որոշելու բանաձև պատահական ընտրանքի չափը՝ համամասնությունների տարբերությունը գնահատելու դեպքումունի ձև.
Օրինակ
Որոշ ընկերություններ ունեն նմանատիպ ապրանքներ արտադրող երկու գործարան։ Ընկերության ղեկավարը ցանկանում է համեմատել երկու գործարանների թերի արտադրանքի տոկոսը: Ըստ առկա տեղեկատվության՝ երկու գործարաններում էլ թերության մակարդակը տատանվում է 3-ից 5 տոկոսի սահմաններում։ Նախատեսված է կառուցել 99% վստահության միջակայք, որի երկարությունը 0,005-ից (կամ 0,5%-ից) չէ: Քանի՞ ապրանք պետք է ընտրվի յուրաքանչյուր գործարանից:
Լուծում
Այստեղ p 1ots-ը և p 2ots-ը 1-ին և 2-րդ գործարանի թերությունների երկու անհայտ մասնաբաժինների գնահատականներն են: Եթե դնենք p 1ots = p 2ots = 0,5, ապա մենք ստանում ենք գերագնահատված արժեք n-ի համար: Բայց քանի որ մեր դեպքում մենք ունենք որոշ a priori տեղեկատվություն այդ բաժնետոմսերի մասին, մենք վերցնում ենք այդ բաժնետոմսերի վերին գնահատականը, այն է՝ 0,05: Մենք ստանում ենք
Ընտրանքային տվյալներից պոպուլյացիայի որոշ պարամետրեր գնահատելիս օգտակար է տալ ոչ միայն միավորի գնահատումպարամետրը, բայց նաև նշեք վստահության միջակայքը, որը ցույց է տալիս, թե որտեղ կարող է լինել գնահատված պարամետրի ճշգրիտ արժեքը:
Այս գլխում մենք նաև ծանոթացանք քանակական հարաբերությունների հետ, որոնք թույլ են տալիս մեզ կառուցել նման ինտերվալներ տարբեր պարամետրերի համար. սովորել են վստահության միջակայքի երկարությունը վերահսկելու եղանակներ:
Նկատի ունեցեք նաև, որ նմուշի չափերի գնահատման խնդիրը (փորձի պլանավորման խնդիրը) կարող է լուծվել StatPro ստանդարտ գործիքների միջոցով, մասնավորապես. StatPro/Վիճակագրական եզրակացություն/Նմուշի չափի ընտրություն.
«Katren-Style»-ը շարունակում է Կոնստանտին Կրավչիկի ցիկլի հրապարակումը բժշկական վիճակագրություն. Նախորդ երկու հոդվածներում հեղինակը զբաղվել է այնպիսի հասկացությունների բացատրությամբ, ինչպիսիք են և.
Կոնստանտին Կրավչիկ
Մաթեմատիկոս-վերլուծաբան. Ոլորտի մասնագետ վիճակագրական հետազոտությունբժշկության և հումանիտար գիտությունների մեջ
Մոսկվա քաղաք
Շատ հաճախ հոդվածներում կլինիկական հետազոտությունդուք կարող եք հանդիպել առեղծվածային արտահայտության՝ «վստահության միջակայք» (95 % CI կամ 95 % CI - վստահության միջակայք): Օրինակ, հոդվածը կարող է գրել. «Տարբերությունների նշանակությունը գնահատելու համար մենք օգտագործեցինք Ուսանողի t-test 95 % վստահության միջակայքի հաշվարկով»:
Ո՞րն է «95 % վստահության միջակայքի» արժեքը և ինչո՞ւ հաշվարկել այն:
Ի՞նչ է վստահության միջակայքը: -Սա այն միջակայքն է, որի սահմաններում իրական բնակչությունը նշանակում է սուտ: Կա՞ն «ճիշտ» միջին ցուցանիշներ։ Ինչ-որ իմաստով, այո, նրանք անում են: Մենք բացատրեցինք, որ անհնար է չափել հետաքրքրության պարամետրը ողջ բնակչության համար, ուստի հետազոտողները բավարարվում են սահմանափակ ընտրանքով: Այս ընտրանքում (օրինակ՝ մարմնի քաշի հիման վրա) կա մեկ միջին արժեք (որոշակի քաշ), որով մենք դատում ենք միջին արժեքը ողջ պոպուլյացիայի մեջ։ Այնուամենայնիվ, քիչ հավանական է, որ նմուշի միջին քաշը (հատկապես փոքր) համընկնի ընդհանուր բնակչության միջին քաշի հետ: Հետևաբար, ավելի ճիշտ է հաշվարկել և օգտագործել բնակչության միջին արժեքների միջակայքը:
Օրինակ, պատկերացրեք, որ հեմոգլոբինի 95% վստահության միջակայքը (95% CI) 110-ից 122 գ/լ է: Սա նշանակում է, որ կա 95% հավանականություն, որ հեմոգլոբինի իրական միջին արժեքը բնակչության մեջ կլինի 110-ից 122 գ/լ: Այսինքն՝ մենք չգիտենք միջինհեմոգլոբինը ընդհանուր պոպուլյացիայի մեջ, սակայն մենք կարող ենք նշել այս հատկանիշի մի շարք արժեքներ 95 % հավանականությամբ:
Վստահության միջակայքերը հատկապես կարևոր են խմբերի միջև եղած միջոցների տարբերությունների կամ էֆեկտների չափերի, ինչպես դրանք կոչվում են:
Ենթադրենք, համեմատել ենք երկաթի երկու պատրաստուկների արդյունավետությունը՝ շուկայում վաղուց առկա և նոր գրանցված: Թերապիայի ընթացքից հետո մենք գնահատեցինք հեմոգլոբինի կոնցենտրացիան հիվանդների ուսումնասիրված խմբերում, և վիճակագրական ծրագիրը հաշվարկեց, որ երկու խմբերի միջին արժեքների միջև տարբերությունը 95 % հավանականությամբ 1,72-ից մինչև 14.36 գ/լ (Աղյուսակ 1):
Աղյուսակ 1. Փորձարկում անկախ նմուշների համար
(խմբերը համեմատվում են ըստ հեմոգլոբինի մակարդակի)
Սա պետք է մեկնաբանվի հետևյալ կերպ. ընդհանուր բնակչության հիվանդների մի մասում, ովքեր ընդունում են նոր դեղամիջոց, հեմոգլոբինը միջինում ավելի բարձր կլինի 1,72–14,36 գ/լ-ով, քան նրանց մոտ, ովքեր արդեն հայտնի դեղամիջոց են ընդունել։
Այլ կերպ ասած, ընդհանուր բնակչության մեջ խմբերի միջև հեմոգլոբինի միջին արժեքների տարբերությունը 95% հավանականությամբ այս սահմաններում է: Հետազոտողը պետք է դատի` սա շատ է, թե քիչ: Այս ամենի իմաստն այն է, որ մենք աշխատում ենք ոչ թե մեկ միջին արժեքով, այլ մի շարք արժեքներով, հետևաբար մենք ավելի հուսալիորեն գնահատում ենք խմբերի միջև պարամետրի տարբերությունը։
Վիճակագրական փաթեթներում, հետազոտողի հայեցողությամբ, դուք կարող եք ինքնուրույն նեղացնել կամ ընդլայնել վստահության միջակայքի սահմանները: Նվազեցնելով վստահության միջակայքի հավանականությունները՝ մենք նեղացնում ենք միջոցների շրջանակը։ Օրինակ, 90 % CI-ի դեպքում միջինների միջակայքը (կամ միջինների տարբերությունը) ավելի նեղ կլինի, քան 95 %:
Ընդհակառակը, հավանականությունը մինչև 99 % մեծացնելը մեծացնում է արժեքների շրջանակը: Խմբերը համեմատելիս CI-ի ստորին սահմանը կարող է հատել զրոյական նշագիծը: Օրինակ, եթե մենք ընդլայնում ենք վստահության միջակայքի սահմանները մինչև 99 %, ապա միջակայքի սահմանները տատանվում են –1-ից մինչև 16 գ/լ: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր բնակչության մեջ կան խմբեր, որոնց միջինների տարբերությունը հետազոտվող հատկանիշի համար հավասար է 0-ի (M = 0):
Օգտագործելով վստահության միջակայքը, կարող եք ստուգել վիճակագրական վարկածներ. Եթե վստահության միջակայքը հատում է զրոյական արժեքը, ապա զրոյական վարկածը, որը ենթադրում է, որ խմբերը չեն տարբերվում ուսումնասիրվող պարամետրից, ճիշտ է: Օրինակը նկարագրված է վերևում, որտեղ մենք ընդլայնել ենք սահմանները մինչև 99 %: Ինչ-որ տեղ ընդհանուր բնակչության մեջ մենք գտանք խմբեր, որոնք ոչ մի կերպ չէին տարբերվում:
Հեմոգլոբինի տարբերության 95% վստահության միջակայք, (գ/լ)
Նկարը ցույց է տալիս 95% վստահության միջակայքը երկու խմբերի միջև հեմոգլոբինի միջին արժեքների տարբերության համար: Գիծն անցնում է զրոյական նիշով, հետևաբար զրոյի միջինների միջև կա տարբերություն, որը հաստատում է խմբերի չտարբերվելու զրոյական վարկածը։ Խմբերի միջև տարբերությունը կազմում է –2-ից մինչև 5 գ/լ: Սա նշանակում է, որ հեմոգլոբինը կարող է կամ նվազել 2 գ/լ-ով կամ աճել 5 գ/լ-ով:
Վստահության միջակայքը շատ է կարևոր ցուցանիշ. Դրա շնորհիվ դուք կարող եք տեսնել, թե խմբերի տարբերությունները իսկապես պայմանավորված էին միջինների տարբերությամբ, թե՞ մեծ ընտրանքով, քանի որ մեծ նմուշի դեպքում տարբերություններ գտնելու հնարավորություններն ավելի մեծ են, քան փոքրի դեպքում:
Գործնականում այն կարող է այսպիսի տեսք ունենալ. Մենք վերցրեցինք 1000 հոգուց բաղկացած նմուշ, չափեցինք հեմոգլոբինի մակարդակը և պարզեցինք, որ միջինների տարբերության վստահության միջակայքը տատանվում է 1,2-ից մինչև 1,5 գ/լ: Վիճակագրական նշանակության մակարդակն այս դեպքում պ
Մենք տեսնում ենք, որ հեմոգլոբինի կոնցենտրացիան աճել է, բայց գրեթե աննկատ, հետևաբար. վիճակագրական նշանակությունհայտնվել է հենց ընտրանքի չափի շնորհիվ:
Վստահության միջակայքերը կարող են հաշվարկվել ոչ միայն միջոցների, այլ նաև համամասնությունների (և ռիսկի գործակիցների) համար: Օրինակ, մեզ հետաքրքրում է այն հիվանդների համամասնությունների վստահության միջակայքը, ովքեր զարգացած դեղամիջոց ընդունելիս հասել են թողության: Ենթադրենք, որ համամասնությունների 95 % CI-ն, այսինքն՝ նման հիվանդների համամասնության համար, գտնվում է 0,60–0,80 միջակայքում: Այսպիսով, կարելի է ասել, որ մեր բժշկությունն ունի թերապևտիկ ազդեցությունդեպքերի 60-ից մինչև 80%-ը:
Ենթադրենք, մենք ունենք մեծ թվով իրեր՝ որոշ բնութագրերի նորմալ բաշխմամբ (օրինակ՝ նույն տեսակի բանջարեղենի ամբողջական պահեստ, որի չափերն ու քաշը տարբեր են)։ Դուք ցանկանում եք իմանալ ապրանքների ողջ խմբաքանակի միջին բնութագրերը, բայց ոչ ժամանակ ունեք, ոչ ցանկություն չափելու և կշռելու յուրաքանչյուր բանջարեղեն: Դուք հասկանում եք, որ դա անհրաժեշտ չէ։ Բայց քանի՞ կտոր պետք է վերցնել տեղում ստուգման համար:
Նախքան այս իրավիճակի համար օգտակար մի քանի բանաձևեր տալը, հիշենք որոշ նշում:
Նախ, եթե մենք չափեինք բանջարեղենի ամբողջ պահեստը (տարրերի այս հավաքածուն կոչվում է ընդհանուր պոպուլյացիա), ապա մենք կիմանայինք մեզ հասանելի ողջ ճշգրտությամբ ամբողջ խմբաքանակի միջին քաշը: Սա անվանենք միջին X միջին .g en . - ընդհանուր միջին. Մենք արդեն գիտենք, թե ինչն է ամբողջությամբ որոշված, եթե հայտնի են դրա միջին արժեքը և շեղումը . Ճիշտ է, մինչդեռ մենք ոչ X միջին սերունդ ենք, ոչ էլս Մենք չգիտենք ընդհանուր բնակչությանը. Մենք կարող ենք վերցնել միայն որոշակի նմուշ, չափել մեզ անհրաժեշտ արժեքները և այս նմուշի համար հաշվարկել ինչպես միջին արժեքը, այնպես էլ S-ի ստանդարտ շեղումը:
Հայտնի է, որ եթե մեր նմուշի ստուգումը պարունակում է մեծ թվով տարրեր (սովորաբար n-ը 30-ից մեծ է), և դրանք վերցվում են. իսկապես պատահական, ապա ս ընդհանուր բնակչությունը հազիվ թե տարբերվի S ընտրությունից..
Բացի այդ, նորմալ բաշխման դեպքում մենք կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևերը.
95% հավանականությամբ
99% հավանականությամբ
IN ընդհանուր տեսարան P (t) հավանականությամբ
T արժեքի և P (t) հավանականության արժեքի միջև կապը, որով մենք ցանկանում ենք իմանալ վստահության միջակայքը, կարելի է վերցնել հետևյալ աղյուսակից.
Այսպիսով, մենք որոշել ենք, թե որ միջակայքում է գտնվում բնակչության միջին արժեքը (տվյալ հավանականությամբ):
Քանի դեռ բավականաչափ մեծ նմուշ չունենք, չենք կարող դա ասել բնակչությունըունի s = S ընտրել Բացի այդ, այս դեպքում խնդրահարույց է նմուշի մոտ լինելը նորմալ բաշխմանը: Այս դեպքում փոխարենը մենք օգտագործում ենք նաև S select s բանաձևում.
բայց t-ի արժեքը հաստատուն P(t) հավանականության համար կախված կլինի n նմուշի տարրերի քանակից: Որքան մեծ լինի n-ը, այնքան ավելի մոտ կլինի ստացված վստահության միջակայքը (1) բանաձևով տրված արժեքին: T արժեքներն այս դեպքում վերցված են մեկ այլ աղյուսակից (Student’s t-test), որը ներկայացնում ենք ստորև.
Ուսանողի t-թեստի արժեքները 0,95 և 0,99 հավանականության համար
Օրինակ 3.Ընկերության աշխատակիցներից պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 30 մարդ։ Ըստ ընտրանքի՝ պարզվել է, որ միջին աշխատավարձը (ամսական) կազմում է 30 հազար ռուբլի՝ 5 հազար ռուբլի ստանդարտ շեղմամբ։ Որոշեք միջին աշխատավարձը ընկերությունում 0,99 հավանականությամբ։
Լուծում:Ըստ պայմանի ունենք n = 30, X միջին: =30000, S=5000, P = 0,99: Վստահության միջակայքը գտնելու համար մենք կօգտագործենք Student's t թեստին համապատասխանող բանաձևը։ Համաձայն n = 30 և P = 0,99 աղյուսակի, մենք գտնում ենք t = 2,756, հետևաբար.
դրանք. փնտրված հոգաբարձուընդմիջում 27484< Х ср.ген
< 32516.
Այսպիսով, 0,99 հավանականությամբ կարելի է ասել, որ միջակայքը (27484; 32516) իր մեջ պարունակում է ընկերությունում միջին աշխատավարձը։
Հուսով ենք, որ դուք կօգտագործեք այս մեթոդը, և պարտադիր չէ, որ ամեն անգամ ձեզ հետ սեղան ունենաք։ Հաշվարկները կարող են իրականացվել ինքնաբերաբար Excel-ում: Excel ֆայլում գտնվելու ժամանակ սեղմեք վերևի ընտրացանկում գտնվող fx կոճակը: Այնուհետև գործառույթներից ընտրեք «վիճակագրական» տեսակը, իսկ պատուհանում առաջարկվող ցանկից՝ STUDAR DISCOVER: Այնուհետև, հուշման ժամանակ, կուրսորը դնելով «հավանականություն» դաշտում, մուտքագրեք հակադարձ հավանականության արժեքը (այսինքն, մեր դեպքում, 0,95 հավանականության փոխարեն, պետք է մուտքագրեք 0,05 հավանականությունը): Ըստ երեւույթին աղյուսակկազմված է այնպես, որ արդյունքը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչ հավանականությամբ կարող ենք սխալվել։ Նմանապես, «Ազատության աստիճան» դաշտում մուտքագրեք արժեքը (n-1) ձեր նմուշի համար:
