Ի՞նչ է լոգարիթմը:
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)
Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար, լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և վախկոտ: Հատկապես լոգարիթմներով հավասարումներ։
Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ: Այժմ, ընդամենը 10-20 րոպեում դուք.
1. Կհասկանաք ինչ է լոգարիթմը.
2. Սովորեք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումների մի ամբողջ դաս: Նույնիսկ եթե դուք ոչինչ չեք լսել նրանց մասին:
3. Սովորեք հաշվարկել պարզ լոգարիթմներ:
Ընդ որում, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը և ինչպես կարելի է թիվը հասցնել ուժի...
Ինձ թվում է, որ դուք կասկածներ ունեք... Դե, լավ, նշեք ժամը։ Գնա՛
Նախ, ձեր գլխում լուծեք այս հավասարումը.
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
առնչությամբ
կարող է դրվել մյուս երկու թվերից որևէ մեկը գտնելու առաջադրանք: Եթե տրված են a-ն և ապա N-ը, ապա դրանք հայտնաբերվում են ըստ աստիճանի: Եթե N-ը և ապա a-ն տրված են՝ վերցնելով x աստիճանի արմատը (կամ բարձրացնելով այն հզորության): Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված a-ին և N-ին, մենք պետք է գտնենք x-ը:
Թող N թիվը լինի դրական՝ a թիվը լինի դրական և ոչ հավասար մեկին.
Սահմանում. N թվի լոգարիթմը a հիմքի նկատմամբ այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a-ը՝ N թիվը ստանալու համար; լոգարիթմը նշվում է
Այսպիսով, հավասարության մեջ (26.1) ցուցիչը գտնվում է որպես N-ի լոգարիթմ՝ a հիմքի նկատմամբ: Գրառումներ
ունեն նույն իմաստը. Հավասարությունը (26.1) երբեմն կոչվում է լոգարիթմների տեսության հիմնական նույնականացում. իրականում այն արտահայտում է լոգարիթմ հասկացության սահմանումը։ Ըստ այս սահմանումը a լոգարիթմի հիմքը միշտ դրական է և տարբերվում է միասնությունից. N լոգարիթմական թիվը դրական է: Բացասական թվերն ու զրոն լոգարիթմ չունեն։ Կարելի է ապացուցել, որ տրված հիմքով ցանկացած թիվ ունի հստակ սահմանված լոգարիթմ։ Հետևաբար, հավասարությունը ենթադրում է: Նկատի ունեցեք, որ պայմանն այստեղ էական է, հակառակ դեպքում եզրակացությունը արդարացված չէր լինի, քանի որ հավասարությունը ճշմարիտ է x և y-ի ցանկացած արժեքի համար:
Օրինակ 1. Գտեք
Լուծում. Թիվ ստանալու համար դուք պետք է 2-րդ հիմքը բարձրացնեք ուժի, հետևաբար:
Նման օրինակները լուծելիս կարող եք նշումներ կատարել հետևյալ ձևով.
Օրինակ 2. Գտեք .
Լուծում. Մենք ունենք
Օրինակներ 1-ում և 2-ում մենք հեշտությամբ գտանք ցանկալի լոգարիթմը` ներկայացնելով լոգարիթմի թիվը որպես ռացիոնալ ցուցիչով բազայի հզորություն: IN ընդհանուր դեպք, օրինակ, համար և այլն, դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լոգարիթմն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ուշադրություն դարձնենք այս հայտարարության հետ կապված մեկ խնդրի. 12-րդ պարբերությունում մենք տվել ենք տվյալ դրական թվի ցանկացած իրական հզորության որոշման հնարավորության հայեցակարգը։ Սա անհրաժեշտ էր լոգարիթմների ներդրման համար, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարող են լինել իռացիոնալ թվեր։
Դիտարկենք լոգարիթմների որոշ հատկություններ:
Հատկություն 1. Եթե թիվը և հիմքը հավասար են, ապա լոգարիթմը հավասար է մեկի, և հակառակը, եթե լոգարիթմը հավասար է մեկին, ապա թիվը և հիմքը հավասար են։
Ապացույց. Թող Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ունենք և որտեղից
Եվ հակառակը, թող Հետո ըստ սահմանման
Հատկություն 2. Մեկից ցանկացած հիմքի լոգարիթմը հավասար է զրոյի:
Ապացույց. Լոգարիթմի սահմանմամբ (ցանկացած դրական հիմքի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի, տես (10.1)): Այստեղից
Ք.Ե.Դ.
Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե , ապա N = 1: Իսկապես, մենք ունենք .
Նախքան լոգարիթմների հաջորդ հատկությունը ձևակերպելը, եկեք համաձայնենք ասել, որ երկու a և b թվեր գտնվում են երրորդ c թվի նույն կողմում, եթե երկուսն էլ մեծ են c-ից կամ փոքր են c-ից: Եթե այս թվերից մեկը մեծ է c-ից, իսկ մյուսը փոքր է c-ից, ապա մենք կասենք, որ դրանք գտնվում են c-ի հակառակ կողմերում:
Հատկություն 3. Եթե թիվն ու հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում, ապա լոգարիթմը դրական է. Եթե թիվը և հիմքը գտնվում են մեկի հակառակ կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է:
3-ի հատկության ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ a-ի հզորությունը մեկից մեծ է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը դրական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ աստիճանը բացասական է։ Հզորությունը մեկից փոքր է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը բացասական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ ցուցանիշը դրական է:
Կան չորս դեպքեր, որոնք պետք է դիտարկել.
Կսահմանափակվենք դրանցից առաջինը վերլուծելով, մնացածը ընթերցողն ինքնուրույն կքննարկի։
Թող հավասարության մեջ ցուցիչը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ հավասար զրոյի, հետևաբար, այն դրական է, այսինքն՝ ինչպես պահանջվում է ապացուցել:
Օրինակ 3. Պարզի՛ր, թե ստորև բերված լոգարիթմներից որոնք են դրական, որոնք՝ բացասական.
Լուծում, ա) քանի որ 15 թիվը և 12 հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում.
բ) քանի որ 1000-ը և 2-ը գտնվում են միավորի մի կողմում. այս դեպքում կարևոր չէ, որ հիմքը մեծ լինի լոգարիթմական թվից.
գ) քանի որ 3.1-ը և 0.8-ը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում.
G) ; Ինչո՞ւ։
դ) ; Ինչո՞ւ։
Հետևյալ 4-6 հատկությունները հաճախ կոչվում են լոգարիթմավորման կանոններ. դրանք թույլ են տալիս իմանալով որոշ թվերի լոգարիթմները, գտնել դրանց արտադրյալի լոգարիթմները, դրանցից յուրաքանչյուրի քանորդը և աստիճանը։
Հատկություն 4 (արտադրանքի լոգարիթմի կանոն): Մի քանի դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմ ըստ այս հիմքը գումարին հավասարայս թվերի լոգարիթմները նույն հիմքի վրա:
Ապացույց. Թող տրված թվերը դրական լինեն։
Նրանց արտադրյալի լոգարիթմի համար մենք գրում ենք հավասարությունը (26.1), որը սահմանում է լոգարիթմը.
Այստեղից մենք կգտնենք
Համեմատելով առաջին և վերջին արտահայտությունների ցուցիչները՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարությունը.
Նշենք, որ պայմանը էական է. երկուսի արտադրյալի լոգարիթմ բացասական թվերիմաստ ունի, բայց այս դեպքում մենք ստանում ենք
Ընդհանուր առմամբ, եթե մի քանի գործոնների արտադրյալը դրական է, ապա դրա լոգարիթմը հավասար է այդ գործոնների բացարձակ արժեքների լոգարիթմների գումարին:
Հատկություն 5 (քանորդների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն). Դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը, վերցված նույն հիմքին: Ապացույց. Մենք հետևողականորեն գտնում ենք
Ք.Ե.Դ.
Հատկություն 6 (հզորության լոգարիթմի կանոն): Ցանկացած դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այդ թվի լոգարիթմին՝ բազմապատկելով ցուցիչով։
Ապացույց. Եկեք նորից գրենք համարի հիմնական ինքնությունը (26.1).
Ք.Ե.Դ.
Հետևանք. Դրական թվի արմատի լոգարիթմը հավասար է արմատականի լոգարիթմին, որը բաժանվում է արմատի ցուցիչի վրա.
Այս եզրակացության վավերականությունը կարելի է ապացուցել՝ պատկերացնելով, թե ինչպես և օգտագործելով հատկությունը 6:
Օրինակ 4. Վերցրեք լոգարիթմը a-ի հիմքում.
ա) (ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները b, c, d, e դրական են);
բ) (ենթադրվում է, որ):
Լուծում, ա) Այս արտահայտության մեջ հարմար է գնալ կոտորակային հզորությունների.
Ելնելով (26.5)-(26.7) հավասարություններից՝ այժմ կարող ենք գրել.
Նկատում ենք, որ թվերի լոգարիթմների վրա կատարվում են ավելի պարզ գործողություններ, քան բուն թվերը՝ թվերը բազմապատկելիս գումարվում են դրանց լոգարիթմները, բաժանելիս՝ հանվում և այլն։
Այդ իսկ պատճառով լոգարիթմներն օգտագործվում են հաշվողական պրակտիկայում (տես պարագրաֆ 29):
Լոգարիթմի հակադարձ գործողությունը կոչվում է հզորացում, այն է՝ հզորացումն այն գործողությունն է, որով թիվն ինքնին հայտնաբերվում է տվյալ թվի լոգարիթմից։ Ըստ էության, հզորացումն այդպես չէ հատուկ գործողությունԴա հանգում է նրան, որ հիմքը բարձրացվի մինչև հզորություն (հավասար է թվի լոգարիթմին): «Պոտենցիացիա» տերմինը կարելի է համարել «արտահայտում» տերմինի հոմանիշը։
Հզորացնելիս պետք է օգտագործել լոգարիթմացման կանոններին հակադարձ կանոնները. լոգարիթմների գումարը փոխարինել արտադրյալի լոգարիթմով, լոգարիթմների տարբերությունը գործակիցի լոգարիթմով և այլն։ Մասնավորապես, եթե առջևում կա գործակից։ լոգարիթմի նշանի, ապա հզորացման ժամանակ այն պետք է տեղափոխվի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող ցուցիչ աստիճանների։
Օրինակ 5. Գտե՛ք N, եթե հայտնի է, որ
Լուծում. Հզորացման նոր ձևակերպված կանոնի հետ կապված՝ մենք այս հավասարության աջ կողմում գտնվող լոգարիթմների նշանների դիմաց կանգնած 2/3 և 1/3 գործակիցները կտեղափոխենք այս լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող ցուցիչներ. մենք ստանում ենք
Այժմ լոգարիթմների տարբերությունը փոխարինում ենք քանորդի լոգարիթմով.
Այս հավասարումների շղթայում վերջին կոտորակը ստանալու համար մենք ազատեցինք նախորդ կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից (կետ 25):
Հատկություն 7. Եթե հիմքը մեկից մեծ է, ապա ավելի մեծ թիվունի ավելի մեծ լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվն ունի ավելի փոքր), եթե հիմքը մեկից փոքր է, ապա ավելի մեծ թիվը ունի ավելի փոքր լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվը՝ ավելի մեծ)։
Այս հատկությունը նույնպես ձևակերպված է որպես անհավասարությունների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն, որոնց երկու կողմերը դրական են.
Մեկից մեծ հիմքի վրա անհավասարությունների լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ մեկից փոքր հիմքի վրա լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը փոխվում է հակառակի (տես նաև պարբերություն 80):
Ապացույցը հիմնված է 5-րդ և 3-րդ հատկությունների վրա: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ Եթե , ապա և, հաշվի առնելով լոգարիթմները, մենք ստանում ենք.
(a-ն և N/M-ը գտնվում են միասնության նույն կողմում): Այստեղից
Հետևյալ դեպքում ընթերցողն ինքնուրույն կհասկանա:
Քանի որ հասարակությունը զարգանում էր, և արտադրությունը դառնում էր ավելի բարդ, մաթեմատիկան նույնպես զարգանում էր: Շարժում պարզից բարդ: Սովորական հաշվառումից՝ օգտագործելով գումարման և հանման մեթոդը, դրանց կրկնվող կրկնությամբ մենք հասանք բազմապատկման և բաժանման հայեցակարգին։ Բազմապատկման կրկնվող գործողության կրճատումը դարձավ աստիճանի հասկացություն: Հիմքից թվերի կախվածության և հզորության թվի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռևս 8-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենայի կողմից։ Դրանցից կարելի է հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը։
Պատմական ուրվագիծ
16-րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը։ Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ. Հնագույն սեղանները մեծ ծառայություն էին մատուցում։ Նրանք հնարավորություն տվեցին բարդ գործողությունները փոխարինել ավելի պարզներով՝ գումարում և հանում։ Մեծ քայլ առաջ էր մաթեմատիկոս Միքայել Շտիֆելի աշխատանքը, որը հրատարակվել է 1544 թվականին, որտեղ նա իրագործեց բազմաթիվ մաթեմատիկոսների գաղափարը։ Սա հնարավորություն տվեց օգտագործել աղյուսակները ոչ միայն պարզ թվերի տեսքով հզորությունների, այլև կամայական ռացիոնալների համար։
1614 թվականին շոտլանդացի Ջոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը։ Նոր բարդ սեղաններսինուսների և կոսինուսների լոգարիթմների, ինչպես նաև շոշափողների հաշվման համար։ Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:
Սկսեցին հայտնվել նոր աղյուսակներ, որոնք հաջողությամբ օգտագործվեցին գիտնականների կողմից երեք դար շարունակ։ Առաջ շատ ժամանակ անցավ նոր գործողությունհանրահաշիվում այն ստացավ իր ամբողջական ձևը։ Տրվեց լոգարիթմի սահմանումը և ուսումնասիրվեցին նրա հատկությունները։
Միայն 20-րդ դարում, երբ հայտնվեցին հաշվիչը և համակարգիչը, մարդկությունը հրաժարվեց հնագույն աղյուսակներից, որոնք հաջողությամբ աշխատել էին 13-րդ դարում:
Այսօր մենք անվանում ենք b-ի լոգարիթմ՝ a-ի հիմքում x թիվը, որը a-ի հզորությունն է՝ b դարձնելու համար: Սա գրված է որպես բանաձև՝ x = log a(b):
Օրինակ, log 3(9)-ը հավասար կլինի 2-ի: Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե 3-ը հասցնենք 2-ի, ապա կստանանք 9:
Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը սահմանում է միայն մեկ սահմանափակում՝ a և b թվերը պետք է իրական լինեն։
Լոգարիթմների տեսակները
Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում a x = b հավասարման լուծումն է: a = 1 տարբերակը սահմանային է և չի հետաքրքրում: Ուշադրություն՝ 1-ը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:
Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, երբ հիմքը և արգումենտը մեծ են 0-ից, և հիմքը չպետք է հավասար լինի 1-ի:
Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կանվանվեն՝ կախված դրանց հիմքի չափից.
Կանոններ և սահմանափակումներ
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է՝ արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին։ log abp = log a(b) + log a(p):
Որպես այս հայտարարության տարբերակ կլինի՝ log c(b/p) = log c(b) - log c(p), քանորդ ֆունկցիան հավասար է ֆունկցիաների տարբերությանը։
Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ log a(b p) = p * log a(b):
Այլ հատկությունները ներառում են.
Մեկնաբանություն. Պետք չէ սովորական սխալ թույլ տալ՝ գումարի լոգարիթմը հավասար չէ լոգարիթմների գումարին։
Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմ գտնելու գործողությունը բավականին ժամանակատար խնդիր էր։ Օգտագործել են մաթեմատիկոսները հայտնի բանաձեւԲազմանդամների ընդլայնման լոգարիթմական տեսություն.
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), որտեղ n - բնական թիվ 1-ից մեծ, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը:
Այլ հիմքերով լոգարիթմները հաշվարկվել են՝ օգտագործելով մի հիմքից մյուսին անցնելու թեորեմը և արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը։
Քանի որ այս մեթոդը շատ աշխատատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, մենք օգտագործել ենք նախապես կազմված լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք զգալիորեն արագացրել են ամբողջ աշխատանքը։
Որոշ դեպքերում օգտագործվել են հատուկ նախագծված լոգարիթմային գրաֆիկներ, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են որոնումը։ ցանկալի արժեք. y = log a(x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս օգտագործել կանոնավոր քանոն՝ ցանկացած այլ կետում ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար։ Ինժեներներ երկար ժամանակԱյդ նպատակների համար օգտագործվել է այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթ։
17-րդ դարում ի հայտ եկան առաջին օժանդակ անալոգային հաշվողական պայմանները, որոնք 19 - րդ դարձեռք բերեց ավարտուն տեսք: Ամենահաջող սարքը կոչվում էր սլայդի կանոն: Չնայած սարքի պարզությանը, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրեց բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են ծանոթ այս սարքին։
Հաշվիչների և համակարգիչների հայտնվելը անիմաստ դարձրեց ցանկացած այլ սարքի օգտագործումը:
Հավասարումներ և անհավասարություններ
Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.
- Տեղափոխվելով մի բազայից մյուսը՝ log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Նախորդ տարբերակի արդյունքում՝ log a(b) = 1 / log b(a):
Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.
- Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե հիմքը և արգումենտը մեկից մեծ կամ փոքր են. եթե առնվազն մեկ պայման խախտվի, ապա լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
- Եթե լոգարիթմի ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերի վրա, իսկ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում այն փոխվում է:
Նմուշի խնդիրներ
Դիտարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.
Դիտարկենք լոգարիթմը հզորության մեջ դնելու տարբերակը.
- Խնդիր 3. Հաշվե՛ք 25^log 5(3): Լուծում. խնդրի պայմաններում մուտքը նման է հետևյալին (5^2)^log5(3) կամ 5^(2 * log 5(3)): Գրենք այլ կերպ՝ 5^log 5(3*2), կամ թվի քառակուսին որպես ֆունկցիայի արգումենտ կարելի է գրել որպես բուն ֆունկցիայի քառակուսի (5^log 5(3))^2։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները՝ այս արտահայտությունը հավասար է 3^2։ Պատասխան՝ հաշվարկի արդյունքում ստանում ենք 9։
Գործնական օգտագործում
Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք՝ այն հեռու է թվում իրական կյանքոր լոգարիթմը հանկարծ ձեռք բերեց մեծ նշանակություննկարագրել իրական աշխարհի օբյեկտները. Դժվար է գտնել գիտություն, որտեղ այն չի օգտագործվում։ Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն բնական, այլեւ հումանիտար գիտելիքի ոլորտներին։
Լոգարիթմական կախվածություններ
Բերենք մի քանի օրինակ թվային կախվածություններ:
Մեխանիկա և ֆիզիկա
Պատմականորեն մեխանիկա և ֆիզիկան միշտ զարգացել են օգտագործելով մաթեմատիկական մեթոդներհետազոտություններ և միևնույն ժամանակ խթան հանդիսացավ մաթեմատիկայի, այդ թվում՝ լոգարիթմների զարգացման համար։ Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով։ Բերենք նկարագրության ընդամենը երկու օրինակ ֆիզիկական օրենքներօգտագործելով լոգարիթմ.
Հրթիռի արագության նման բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը կարելի է լուծել Ցիոլկովսկու բանաձևի միջոցով, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտության տեսությանը.
V = I * ln (M1 / M2), որտեղ
- V-ն օդանավի վերջնական արագությունն է։
- I - շարժիչի հատուկ իմպուլս:
- M 1 - հրթիռի սկզբնական զանգված:
- M 2 - վերջնական զանգված:
Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա օգտագործվում է մեկ այլ մեծ գիտնական Մաքս Պլանկի բանաձևում, որը ծառայում է թերմոդինամիկայի հավասարակշռության վիճակը գնահատելու համար:
S = k * ln (Ω), որտեղ
- S - թերմոդինամիկական հատկություն:
- k – Բոլցմանի հաստատուն.
- Ω-ն տարբեր վիճակների վիճակագրական կշիռն է:
Քիմիա
Ավելի քիչ ակնհայտ է լոգարիթմների հարաբերակցությունը պարունակող բանաձևերի օգտագործումը քիմիայում: Բերենք ընդամենը երկու օրինակ.
- Nernst հավասարում, միջավայրի ռեդոքսային ներուժի պայմանը նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի նկատմամբ։
- Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսիք են ավտոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես չի կարող կատարվել առանց մեր ֆունկցիայի։
Հոգեբանություն և կենսաբանություն
Եվ ամենևին էլ պարզ չէ, թե ինչ կապ ունի դրա հետ հոգեբանությունը: Պարզվում է, որ սենսացիայի ուժգնությունը լավ նկարագրվում է այս ֆունկցիայով որպես գրգռիչի ինտենսիվության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ավելի ցածր ինտենսիվության արժեքին:
Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլեւս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է կենսաբանության մեջ։ Ամբողջ հատորները կարելի էր գրել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխան կենսաբանական ձևերի մասին։
Այլ ոլորտներ
Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այդ ֆունկցիայի հետ կապի, և այն կառավարում է բոլոր օրենքները։ Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական առաջընթաց. Արժե դիմել MatProfi կայքին, և կան բազմաթիվ նման օրինակներ գործունեության հետևյալ ոլորտներում.
Ցուցակը կարող է անվերջ լինել։ Այս ֆունկցիայի հիմնական սկզբունքներին տիրապետելով՝ կարող եք սուզվել անսահման իմաստության աշխարհ:
Այսօր մենք կխոսենք լոգարիթմական բանաձևերև մենք կտանք ցուցիչ լուծման օրինակներ.
Նրանք իրենք են ենթադրում լուծման ձևեր՝ ըստ լոգարիթմների հիմնական հատկությունների։ Նախքան լուծելու համար լոգարիթմի բանաձևեր կիրառելը, եկեք հիշեցնենք ձեզ բոլոր հատկությունների մասին.
Այժմ, հիմնվելով այս բանաձեւերի (հատկությունների) վրա, մենք ցույց կտանք լոգարիթմների լուծման օրինակներ.
Բանաձևերի հիման վրա լոգարիթմների լուծման օրինակներ.
Լոգարիթմ a-ի հիմքի վրա դրական b թիվը (նշվում է log a b-ով) այն ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացվի a-ն, որպեսզի ստացվի b՝ b > 0, a > 0 և 1:
Ըստ սահմանման՝ log a b = x, որը համարժեք է a x = b-ին, հետևաբար log a a x = x:
Լոգարիթմներ, օրինակներ:
log 2 8 = 3, քանի որ 2 3 = 8
log 7 49 = 2, քանի որ 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, քանի որ 5 -1 = 1/5
Տասնորդական լոգարիթմ- սա սովորական լոգարիթմ է, որի հիմքը 10 է: Այն նշվում է որպես lg:
log 10 100 = 2, քանի որ 10 2 = 100
Բնական լոգարիթմ- նաև սովորական լոգարիթմ, լոգարիթմ, բայց e հիմքով (e = 2,71828... - իռացիոնալ թիվ): Նշվում է որպես ln.
Ցանկալի է անգիր անել լոգարիթմների բանաձևերը կամ հատկությունները, քանի որ դրանք մեզ ավելի ուշ պետք կգան լոգարիթմներ, լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։ Եկեք կրկին աշխատենք յուրաքանչյուր բանաձևի միջոցով օրինակներով:
- Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների գումարին
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Լոգարիթմական թվի և լոգարիթմի հիմքի հզորության հատկությունները
Լոգարիթմի ցուցիչ գրանցամատյանների համարները a b m = mlog a b
Լոգարիթմի հիմքի ցուցիչ log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
եթե m = n, մենք ստանում ենք log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Անցում դեպի նոր հիմք
log a b = log c b/log c a,եթե c = b, մենք ստանում ենք log b b = 1
ապա log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմների բանաձևերը այնքան էլ բարդ չեն, որքան թվում է: Այժմ, նայելով լոգարիթմների լուծման օրինակներին, մենք կարող ենք անցնել լոգարիթմական հավասարումների: Մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք լոգարիթմական հավասարումների լուծման օրինակներին՝ «»: Բաց մի թող:
Եթե դեռ հարցեր ունեք լուծման վերաբերյալ, գրեք դրանք հոդվածի մեկնաբանություններում:
Նշում. մենք որոշեցինք ստանալ այլ դասի կրթություն և սովորել արտերկրում որպես տարբերակ:
b դրական թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա (a>0, a հավասար չէ 1-ի) այնպիսի c թիվ է, որ a c = b. log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b. > 0)
Նկատի ունեցեք, որ ոչ դրական թվի լոգարիթմը որոշված չէ: Բացի այդ, լոգարիթմի հիմքը պետք է լինի դրական թիվ, որը հավասար չէ 1-ի: Օրինակ, եթե քառակուսի ենք կազմում -2, ապա ստանում ենք 4 թիվը, բայց դա չի նշանակում, որ լոգարիթմը 4-ի -2 հիմքի վրա է: հավասար է 2-ի։
Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Կարևոր է, որ այս բանաձևի աջ և ձախ կողմերի սահմանման շրջանակը տարբեր լինի: Ձախ կողմսահմանված է միայն b>0, a>0 և a ≠ 1-ի համար: Աջ մասսահմանվում է ցանկացած b-ի համար, բայց ընդհանրապես կախված չէ a-ից: Այսպիսով, հիմնական լոգարիթմական «ինքնության» կիրառումը հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս կարող է հանգեցնել OD-ի փոփոխության:
Լոգարիթմի սահմանման երկու ակնհայտ հետևանք
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Իսկապես, a թիվը առաջին աստիճանին հասցնելիս ստանում ենք նույն թիվը, իսկ զրոյական հզորության հասցնելիս՝ մեկ։
Արտադրյալի լոգարիթմը և գործակիցի լոգարիթմը
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Ուզում եմ զգուշացնել դպրոցականներին լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս չմտածված օգտագործել այս բանաձևերը։ Դրանք «ձախից աջ» օգտագործելիս ODZ-ը նեղանում է, իսկ լոգարիթմների գումարից կամ տարբերությունից դեպի արտադրյալի կամ գործակիցի լոգարիթմ անցնելիս ODZ-ն ընդլայնվում է:
Իրոք, log a (f (x) g (x)) արտահայտությունը սահմանվում է երկու դեպքում՝ երբ երկու ֆունկցիաներն էլ խիստ դրական են, կամ երբ f(x) և g(x) երկուսն էլ զրոյից փոքր են։
Այս արտահայտությունը փոխակերպելով գումարի log a f (x) + log a g (x)՝ մենք ստիպված ենք սահմանափակվել միայն այն դեպքով, երբ f(x)>0 և g(x)>0: Ընդունելի արժեքների շրջանակի նեղացում կա, և դա կտրականապես անընդունելի է, քանի որ դա կարող է հանգեցնել լուծումների կորստի։ Նման խնդիր կա (6) բանաձևի դեպքում.
Աստիճանը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Եվ կրկին կուզենայի ճշտության կոչ անել։ Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.
Գրանցամատյան a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Հավասարության ձախ կողմն ակնհայտորեն սահմանված է f(x)-ի բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ զրոյի: Աջ կողմը միայն f(x)>0-ի համար է: Դուրս հանելով աստիճանը լոգարիթմից՝ մենք կրկին նեղացնում ենք ODZ-ը։ Հակառակ ընթացակարգը հանգեցնում է ընդունելի արժեքների շրջանակի ընդլայնմանը: Այս բոլոր դիտողությունները վերաբերում են ոչ միայն 2-րդ իշխանությանը, այլև ցանկացած նույնիսկ իշխանությանը։
Նոր հիմնադրամ տեղափոխվելու բանաձև
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Այն հազվագյուտ դեպքը, երբ ODZ-ը չի փոխվում վերափոխման ժամանակ։ Եթե դուք խելամիտ եք ընտրել c հիմքը (դրական և ոչ հավասար 1-ի), ապա նոր բազա տեղափոխվելու բանաձևը լիովին անվտանգ է։
Եթե որպես նոր c հիմք ընտրենք b թիվը, ապա կստանանք կարևոր հատուկ դեպքբանաձևեր (8):
Գրանցամատյան a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Մի քանի պարզ օրինակ լոգարիթմներով
Օրինակ 1. Հաշվեք՝ log2 + log50:
Լուծում. log2 + log50 = log100 = 2. Մենք օգտագործել ենք լոգարիթմների գումարի բանաձևը (5) և տասնորդական լոգարիթմի սահմանումը:
Օրինակ 2. Հաշվեք՝ lg125/lg5:
Լուծում. log125/log5 = log 5 125 = 3. Մենք օգտագործեցինք նոր հիմք տեղափոխելու բանաձևը (8):
Լոգարիթմների հետ կապված բանաձևերի աղյուսակ
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| գրանցում a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
