Պատվերի 2 օրինակ կա. Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Դիտարկենք գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներ:
(1) .
Դրա լուծումը կարելի է ստանալ՝ հետևելով ընդհանուր մեթոդպատվերի կրճատում.

Այնուամենայնիվ, ավելի հեշտ է անմիջապես ստանալ հիմնարար համակարգը nգծային անկախ լուծումներ և դրա հիման վրա ստեղծում ընդհանուր լուծում. Այս դեպքում լուծման ամբողջ ընթացակարգը կրճատվում է մինչև Հաջորդ քայլերը.

Մենք փնտրում ենք (1) հավասարման լուծումը ձևով: Մենք ստանում ենք բնորոշ հավասարում :
(2) .
Այն ունի n արմատ: Լուծում ենք (2) հավասարումը և գտնում դրա արմատները։ Այնուհետև բնորոշ հավասարումը (2) կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.
(3) .
Յուրաքանչյուր արմատ համապատասխանում է (1) հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգի գծային անկախ լուծումներից մեկին: Հետո ընդհանուր լուծում բնօրինակ հավասարումը(1) ունի ձև.
(4) .

Իրական արմատներ

Դիտարկենք իրական արմատները. Թող արմատը միայնակ լինի: Այսինքն, գործոնը միայն մեկ անգամ է մտնում բնորոշ (3) հավասարման մեջ։ Այնուհետեւ այս արմատը համապատասխանում է լուծմանը
.

Թող լինի բազմակի արմատ p. Այն է
. Այս դեպքում բազմապատկիչն է p անգամ՝
.
Այս բազմակի (հավասար) արմատները համապատասխանում են սկզբնական (1) հավասարման p գծային անկախ լուծումներին.
; ; ; ...; .

Բարդ արմատներ

Հաշվի առեք բարդ արմատները. Բարդ արմատը արտահայտենք իրական և երևակայական մասերով.
.
Քանի որ բնօրինակի գործակիցները իրական են, ուրեմն արմատից բացի կա բարդ զուգակցված արմատ
.

Թող բարդ արմատը բազմապատիկ լինի: Այնուհետև արմատների զույգը համապատասխանում է երկու գծային անկախ լուծումների.
; .

Թող լինի բազմակի բարդ արմատ p. Այնուհետև կոմպլեքս զուգակցված արժեքը նաև p բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատն է, և բազմապատկիչը մտնում է p անգամ.
.
Սա 2pարմատները համապատասխանում են 2pգծային անկախ լուծումներ.
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Գծային անկախ լուծումների հիմնարար համակարգը գտնելուց հետո մենք ստանում ենք ընդհանուր լուծումը:

Խնդրի լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը.
.

Լուծում

.
Եկեք փոխակերպենք այն.
;
;
.

Եկեք նայենք այս հավասարման արմատներին: Մենք ստացանք 2-ի բազմակիության չորս բարդ արմատներ.
; .
Դրանք համապատասխանում են սկզբնական հավասարման չորս գծային անկախ լուծումներին.
; ; ; .

Մենք նաև ունենք բազմակի 3-ի երեք իրական արմատներ.
.
Դրանք համապատասխանում են երեք գծային անկախ լուծումների.
; ; .

Ընդհանուր որոշումսկզբնական հավասարումն ունի ձև.
.

Պատասխանել

Օրինակ 2

Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում

Մենք լուծում ենք փնտրում ձևով։ Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարումը.
.
Քառակուսային հավասարման լուծում.
.

Մենք ստացել ենք երկու բարդ արմատներ.
.
Դրանք համապատասխանում են երկու գծային անկախ լուծումների.
.
Հավասարման ընդհանուր լուծում.
.

Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում հնարավոր չէ ուղիղ կապ հաստատել գործընթացը նկարագրող մեծությունների միջև։ Բայց հնարավոր է ստանալ ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ածանցյալները պարունակող հավասարություն։ Ահա թե ինչպես են դրանք առաջանում դիֆերենցիալ հավասարումներև անհայտ ֆունկցիան գտնելու համար դրանք լուծելու անհրաժեշտությունը:

Այս հոդվածը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր բախվում են դիֆերենցիալ հավասարման լուծման խնդրին, որտեղ անհայտ ֆունկցիան մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է։ Տեսությունը կառուցված է այնպես, որ դիֆերենցիալ հավասարումների զրոյական իմացությամբ դուք կարող եք հաղթահարել ձեր խնդիրը:

Դիֆերենցիալ հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակ կապված է լուծման մեթոդի հետ՝ մանրամասն բացատրություններով և բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումներով: Ձեզ մնում է միայն որոշել ձեր խնդրի դիֆերենցիալ հավասարման տեսակը, գտնել նմանատիպ վերլուծված օրինակ և կատարել նմանատիպ գործողություններ:

Դիֆերենցիալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի նաև հակաածանցյալների հավաքածուներ գտնելու ունակություն ( անորոշ ինտեգրալներ) տարբեր գործառույթներ. Անհրաժեշտության դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անդրադառնալ բաժնին:

Նախ, մենք կդիտարկենք առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, որոնք կարող են լուծվել ածանցյալի նկատմամբ, այնուհետև կանցնենք երկրորդ կարգի ODE-ներին, այնուհետև կանդրադառնանք ավելի բարձր կարգի հավասարումների և կավարտենք համակարգերով. դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Հիշենք, որ եթե y-ն x արգումենտի ֆունկցիա է:

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ձևի ամենապարզ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները.

Եկեք գրենք նման հեռակառավարման մի քանի օրինակ .

Դիֆերենցիալ հավասարումներ կարելի է լուծել ածանցյալի նկատմամբ՝ հավասարության երկու կողմերը բաժանելով f(x)-ի: Այս դեպքում մենք հասնում ենք մի հավասարման, որը համարժեք կլինի սկզբնականին f(x) ≠ 0-ի համար։ Նման ODE-ների օրինակներ են.

Եթե ​​կան x փաստարկի արժեքներ, որոնց դեպքում f(x) և g(x) ֆունկցիաները միաժամանակ անհետանում են, ապա հայտնվում են լրացուցիչ լուծումներ: Հավասարման լրացուցիչ լուծումներ տրված x-ը այս արգումենտի արժեքների համար սահմանված ցանկացած ֆունկցիա է: Նման դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակները ներառում են.

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

Մշտական ​​գործակիցներով LDE-ն դիֆերենցիալ հավասարումների շատ տարածված տեսակ է: Դրանց լուծումն առանձնապես դժվար չէ։ Նախ՝ հայտնաբերվում են բնորոշ հավասարման արմատները . Տարբեր p-ի և q-ի համար հնարավոր է երեք դեպք. բնորոշ հավասարման արմատները կարող են լինել իրական և տարբեր, իրական և համընկնող: կամ բարդ կոնյուգատներ: Կախված բնութագրիչ հավասարման արմատների արժեքներից, դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է հետևյալ կերպ. , կամ , կամ համապատասխանաբար։

Օրինակ, դիտարկենք գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով: Նրա բնորոշ հավասարման արմատներն են k 1 = -3 և k 2 = 0: Արմատները իրական են և տարբեր, հետևաբար հաստատուն գործակիցներով LODE-ի ընդհանուր լուծումն ունի ձև


Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

y հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է համապատասխան LDDE-ի ընդհանուր լուծման գումարի տեսքով. իսկ բնօրինակի կոնկրետ լուծում չկա միատարր հավասարում, այն է, . Նախորդ պարբերությունը նվիրված է հաստատուն գործակիցներով համասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելուն: Իսկ կոնկրետ լուծումը որոշվում է կա՛մ սկզբնական հավասարման աջ կողմում գտնվող f(x) ֆունկցիայի որոշակի ձևի համար անորոշ գործակիցների մեթոդով, կա՛մ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդով։

Որպես հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDDE-ների օրինակներ՝ մենք տալիս ենք


Տեսությունը հասկանալու և օրինակների մանրամասն լուծումներին ծանոթանալու համար էջում առաջարկում ենք գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով։

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ (LODE) և երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ (LNDEs):

Այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների հատուկ դեպք են LODE և LDDE հաստատուն գործակիցներով:

LODE-ի ընդհանուր լուծումը որոշակի հատվածի վրա ներկայացված է այս հավասարման y 1 և y 2 գծային անկախ մասնակի լուծումների գծային համադրությամբ, այսինքն. .

Հիմնական դժվարությունը հենց այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ մասնակի լուծումներ գտնելն է: Որպես կանոն, որոշակի լուծումներ ընտրվում են գծային կարգով հետևյալ համակարգերից անկախ գործառույթներ:


Այնուամենայնիվ, կոնկրետ լուծումները միշտ չէ, որ ներկայացված են այս ձևով:

LOD-ի օրինակ է .

LDDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է ձևով, որտեղ գտնվում է համապատասխան LDDE-ի ընդհանուր լուծումը և հանդիսանում է սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում: Մենք պարզապես խոսեցինք այն գտնելու մասին, բայց այն կարելի է որոշել՝ օգտագործելով կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

LNDU-ի օրինակ կարելի է բերել .

Բարձրագույն կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք թույլ են տալիս կրճատել հերթականությամբ:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը , որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները մինչև k-1 կարգը, կարող է կրճատվել մինչև n-k՝ փոխարինելով .

Այս դեպքում սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը կկրճատվի մինչև . Նրա p(x) լուծումը գտնելուց հետո մնում է վերադառնալ փոխարինողին և որոշել y անհայտ ֆունկցիան։

Օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարումը փոխարինումից հետո այն կդառնա բաժանելի փոփոխականներով հավասարում, և դրա կարգը կնվազի երրորդից առաջինը:

Այս պարբերությունը կքննարկվի հատուկ դեպք գծային հավասարումներերկրորդ կարգ, երբ հավասարման գործակիցները հաստատուն են, այսինքն՝ թվեր են։ Նման հավասարումները կոչվում են հաստատուն գործակիցներով հավասարումներ։ Այս տեսակի հավասարումները հատկապես լայն կիրառություն են գտնում։

1. Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ

երկրորդ կարգ՝ հաստատուն գործակիցներով

Դիտարկենք հավասարումը

որոնցում գործակիցները հաստատուն են. Ենթադրենք, որ հավասարման բոլոր անդամները բաժանելով և նշանակելով

Այս հավասարումը գրենք ձևով

Ինչպես հայտնի է, գծային միատարր երկրորդ կարգի հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու համար բավական է իմանալ դրա մասնակի լուծումների հիմնարար համակարգը։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է գտնել մասնակի լուծումների հիմնարար համակարգ հաստատուն գործակիցներով համասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար: Մենք կփնտրենք այս հավասարման որոշակի լուծում ձևով

Այս ֆունկցիան երկու անգամ տարբերակելով և արտահայտությունները (59) հավասարման մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք

Քանի որ, ուրեմն, փոքրացնելով մենք ստանում ենք հավասարումը

Այս հավասարումից որոշվում են k-ի այն արժեքները, որոնց համար ֆունկցիան կլինի (59) հավասարման լուծումը:

k գործակիցը որոշելու հանրահաշվական հավասարումը (61) կոչվում է այս դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարում (59)։

Բնութագրական հավասարումը երկրորդ աստիճանի հավասարում է և հետևաբար ունի երկու արմատ: Այս արմատները կարող են լինել կամ իրական հստակ, իրական և հավասար, կամ բարդ խոնարհված:

Եկեք դիտարկենք, թե այս դեպքերից յուրաքանչյուրում ինչ ձև ունի կոնկրետ լուծումների հիմնարար համակարգը:

1. Բնութագրական հավասարման արմատները իրական են և տարբեր՝ . Այս դեպքում, օգտագործելով բանաձևը (60) մենք գտնում ենք երկու մասնակի լուծում.

Այս երկու կոնկրետ լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ Վրոնսկու որոշիչը ոչ մի տեղ չի անհետանում.

Հետևաբար, հավասարման ընդհանուր լուծումն ըստ (48) բանաձևի ունի ձև

2. Բնութագրական հավասարման արմատները հավասար են՝ . Այս դեպքում երկու արմատներն էլ իրական կլինեն։ Օգտագործելով բանաձևը (60) մենք ստանում ենք միայն մեկ կոնկրետ լուծում

Եկեք ցույց տանք, որ երկրորդ կոնկրետ լուծումը, որը առաջինի հետ միասին կազմում է հիմնարար համակարգ, ունի ձևը

Նախ ստուգենք, որ ֆունկցիան (59) հավասարման լուծում է։ Իսկապես,

Բայց քանի որ կա բնորոշ հավասարման (61) արմատ. Բացի այդ, Վիետայի թեորեմի համաձայն, հետևաբար. Հետևաբար, , այսինքն՝ ֆունկցիան իսկապես լուծում է (59) հավասարմանը։

Այժմ ցույց տանք, որ գտնված մասնակի լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ։ Իսկապես,

Այսպիսով, այս դեպքում միատարր գծային հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

3. Բնութագրական հավասարման արմատները բարդ են: Ինչպես հայտնի է, իրական գործակիցներով քառակուսի հավասարման բարդ արմատները խոնարհված են. բարդ թվեր, այսինքն՝ նրանք նման են. Այս դեպքում (59) հավասարման մասնակի լուծումները, ըստ (60) բանաձևի, կունենան ձև.

Օգտագործելով Էյլերի բանաձևերը (տե՛ս Գլուխ XI, § 5, պարբերություն 3), համար արտահայտությունները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.

Այս լուծումները համապարփակ են: Վավեր լուծումներ ստանալու համար հաշվի առեք նոր գործառույթները

Դրանք լուծումների գծային համակցություններ են և, հետևաբար, իրենք (59) հավասարման լուծումներ են (տե՛ս § 3, կետ 2, Թեորեմ 1):

Հեշտ է ցույց տալ, որ այս լուծումների համար Վրոնսկու որոշիչը զրոյական չէ, և, հետևաբար, լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ:

Այսպիսով, միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը բնորոշ հավասարման բարդ արմատների դեպքում ունի ձև.

Եզրափակելով՝ ներկայացնում ենք (59) հավասարման ընդհանուր լուծման բանաձևերի աղյուսակը՝ կախված բնորոշ հավասարման արմատների տեսակից:

Գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների (LNDE-2) լուծման հիմունքները հաստատուն գործակիցներով (PC)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): Այնուհետև LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավոր և ընդհանուր լուծումների գումարին, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե ​​2-րդ կարգի LMDE-ի աջ կողմը ֆունկցիաների գումար է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x): \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$-ները, որոնք համապատասխանում են $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ձևով:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն ​​PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

Աջ մաս LNDU-2-ն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է $ աստիճանի բազմանդամ. n$. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որոնք հավասար են զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ են հայտնի թվեր. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• փոխարինեք PD $U$-ով գրված ընդհանուր տեսարան, Վ ձախ կողմ LNDU-2;
• LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
• Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
• լուծել ստացված գծային հավասարումների համակարգը անհայտ գործակիցների համար.

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$-ի փոխարեն $y""$, $y"$ և $y$ ֆունկցիաները տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x)$ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարելի է բաց թողնել: Ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD որոնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.

Այստեղ մենք կկիրառենք Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդը՝ գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները լուծելու համար։ Մանրամասն նկարագրությունկամայական կարգի հավասարումների լուծման այս մեթոդը նկարագրված է էջում
Բարձրագույն կարգերի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում Լագրանժի մեթոդով >>>.

Օրինակ 1

Լուծեք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով՝ օգտագործելով Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդը.
(1)

Լուծում

Նախ լուծում ենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը.
(2)

Սա երկրորդ կարգի հավասարում է:

Քառակուսային հավասարման լուծում.
.
Բազմաթիվ արմատներ. Հիմնարար համակարգ(2) հավասարման լուծումներն ունեն ձև.
(3) .
Այստեղից մենք ստանում ենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը (2).
(4) .

C հաստատունների փոփոխում 1 և Ք 2 . Այսինքն, մենք (4)-ի հաստատունները փոխարինում ենք ֆունկցիաներով.
.
Մենք փնտրում ենք սկզբնական (1) հավասարման լուծումը հետևյալ ձևով.
(5) .

Գտնելով ածանցյալը.
.
Միացնենք ֆունկցիաները և հավասարումը.
(6) .
Հետո
.

Մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.
.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ (1).
(1) ;



.
Քանի որ և բավարարում ենք միատարր հավասարումը (2), վերջին երեք տողերի յուրաքանչյուր սյունակի տերմինների գումարը տալիս է զրո, իսկ նախորդ հավասարումը ստանում է ձևը.
(7) .
Այստեղ .

(6) հավասարման հետ միասին մենք ստանում ենք ֆունկցիաների որոշման հավասարումների համակարգ և.
(6) :
(7) .

Հավասարումների համակարգի լուծում

Լուծում ենք (6-7) հավասարումների համակարգը։ Եկեք գրենք ֆունկցիաների արտահայտությունները և.
.
Մենք գտնում ենք դրանց ածանցյալները.
;
.

Քրամերի մեթոդով լուծում ենք հավասարումների համակարգը (6-7): Մենք հաշվարկում ենք համակարգի մատրիցայի որոշիչը.

.
Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.
;
.

Այսպիսով, մենք գտանք գործառույթների ածանցյալները.
;
.
Եկեք ինտեգրվենք (տես Արմատների ինտեգրման մեթոդներ): Փոխարինում կատարելը
; ; ; .

.
.

;
.

Պատասխանել

Օրինակ 2

Դիֆերենցիալ հավասարումը լուծեք Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդով.
(8)

Լուծում

Քայլ 1. Միատարր հավասարման լուծում

Մենք լուծում ենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը.

(9)
Մենք լուծում ենք փնտրում ձևով։ Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարումը.

Այս հավասարումն ունի բարդ արմատներ.
.
Այս արմատներին համապատասխան լուծումների հիմնարար համակարգը ունի ձև.
(10) .
Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում (9):
(11) .

Քայլ 2. հաստատունների փոփոխություն - հաստատունների փոխարինում ֆունկցիաներով

Այժմ մենք փոփոխում ենք C հաստատունները 1 և Ք 2 . Այսինքն՝ (11)-ի հաստատունները փոխարինում ենք ֆունկցիաներով.
.
Մենք փնտրում ենք սկզբնական (8) հավասարման լուծումը հետևյալ ձևով.
(12) .

Ավելին, լուծման առաջընթացը նույնն է, ինչ օրինակ 1-ում: Մենք հասնում ենք հաջորդ համակարգըֆունկցիաների որոշման հավասարումներ և.
(13) :
(14) .
Այստեղ .

Հավասարումների համակարգի լուծում

Եկեք լուծենք այս համակարգը: Եկեք գրենք ֆունկցիաների արտահայտությունները և.
.
Ածանցյալների աղյուսակից մենք գտնում ենք.
;
.

Քրամերի մեթոդով լուծում ենք հավասարումների համակարգը (13-14): Համակարգի մատրիցայի որոշիչ.

.
Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.
;
.

.
Քանի որ , մոդուլի նշանը լոգարիթմի նշանի տակ կարող է բաց թողնել: Բազմապատկեք համարիչը և հայտարարը հետևյալով.
.
Հետո
.

Բնօրինակ հավասարման ընդհանուր լուծում.


.