Լագրանժի մեթոդը ծայրահեղությունների լուծման համար. Պայմանական օպտիմալացում

Լագրանժի բազմապատկման մեթոդմաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների (մասնավորապես՝ ուռուցիկ ծրագրավորման) լուծման դասական մեթոդ է։ Ցավոք, մեթոդի գործնական կիրառումը կարող է զգալի հաշվողական դժվարությունների հանդիպել՝ նեղացնելով դրա կիրառման շրջանակը։ Մենք այստեղ դիտարկում ենք Լագրանժի մեթոդը հիմնականում այն ​​պատճառով, որ այն ապարատ է, որն ակտիվորեն օգտագործվում է գործնականում լայնորեն կիրառվող տարբեր ժամանակակից թվային մեթոդների հիմնավորման համար։ Ինչ վերաբերում է Lagrange ֆունկցիային և Lagrange-ի բազմապատկիչներին, նրանք խաղում են անկախ և բացառապես կարևոր դերոչ միայն մաթեմատիկական ծրագրավորման տեսության և կիրառման մեջ։

Դիտարկենք դասական օպտիմալացման խնդիրը

առավելագույնը (min) z=f(x) (7.20)

Այս խնդիրը (7.18), (7.19) խնդիրներից առանձնանում է նրանով, որ սահմանափակումների մեջ (7.21) չկան անհավասարություններ, չկան փոփոխականների ոչ բացասական լինելու պայմաններ, դրանց դիսկրետությունը, իսկ f(x) ֆունկցիաները՝ շարունակական և ունեն առնվազն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ:

Խնդիրը լուծելու դասական մոտեցումը (7.20), (7.21) տալիս է հավասարումների համակարգ ( անհրաժեշտ պայմաններ), որը պետք է բավարարվի x* կետով, որը f(x) ֆունկցիային տրամադրում է լոկալ ծայրահեղություն սահմանափակումները բավարարող կետերի բազմության վրա (7.21) (ուռուցիկ ծրագրավորման խնդրի համար՝ գտնված x* կետը, համաձայն. Թեորեմ 7.6-ը միաժամանակ կլինի գլոբալ ծայրահեղության կետը):

Ենթադրենք, որ x* կետում ֆունկցիան (7.20) ունի լոկալ պայմանական ծայրահեղություն և մատրիցայի աստիճանը հավասար է: Այնուհետև անհրաժեշտ պայմանները կգրվեն հետևյալ կերպ.

(7.22)

կա Lagrange ֆունկցիա; - Լագրանժի բազմապատկիչներ.

Կան նաև բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումների համակարգի լուծումը (7.22) որոշում է f(x) ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը։ Այս հարցը լուծվում է Լագրանժի ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալ նշանի ուսումնասիրության հիման վրա։ Սակայն բավարար պայմանները հիմնականում տեսական հետաքրքրություն են ներկայացնում։

Լագրանժի բազմապատկիչ մեթոդի միջոցով կարող եք նշել (7.20), (7.21) խնդիրը լուծելու հետևյալ ընթացակարգը.

1) կազմել Lagrange ֆունկցիան (7.23);

2) գտնել Լագրանժի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները բոլոր փոփոխականների նկատմամբ և դրանք հավասար են զրոյի: Սա կհանգեցնի համակարգի (7.22), որը բաղկացած է հավասարումներից: Լուծեք ստացված համակարգը (եթե դա հնարավոր է) և այդպիսով գտեք Լագրանժի ֆունկցիայի բոլոր անշարժ կետերը.

3) առանց կոորդինատների վերցված անշարժ կետերից ընտրել այն կետերը, որոնցում f(x) ֆունկցիան ունի պայմանական տեղային ծայրահեղություններ սահմանափակումների առկայության դեպքում (7.21): Այս ընտրությունը կատարվում է, օրինակ, օգտագործելով բավարար պայմաններ տեղական ծայրահեղություն. Հաճախ ուսումնասիրությունը պարզեցվում է, եթե օգտագործվում են խնդրի կոնկրետ պայմաններ:

Օրինակ 7.3. Գտեք սահմանափակ ռեսուրսի օպտիմալ բաշխումը միավորներում: n սպառողների միջև, եթե j-րդ սպառողին x j միավոր ռեսուրսի հատկացումից ստացված շահույթը հաշվարկվում է բանաձևով:

Լուծում.Խնդրի մաթեմատիկական մոդելն ունի հետևյալ ձևը.

Մենք կազմում ենք Lagrange ֆունկցիան.

.

Մենք գտնում ենք Լագրանժի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները և հավասարեցնել դրանք զրոյի.

Լուծելով այս հավասարումների համակարգը՝ մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, եթե j-րդ սպառողին հատկացվեն միավորներ. ռեսուրսը, ապա ընդհանուր շահույթը կհասնի իր առավելագույն արժեքին և կկազմի դեն: միավորներ

Մենք ուսումնասիրեցինք Լագրանժի մեթոդը, որը կիրառվում է դասական օպտիմալացման խնդրի համար: Այս մեթոդը կարող է ընդհանրացվել այն դեպքում, երբ փոփոխականները ոչ բացասական են, և որոշ սահմանափակումներ տրված են անհավասարությունների տեսքով: Այնուամենայնիվ, այս ընդհանրացումը հիմնականում տեսական է և չի հանգեցնում կոնկրետ հաշվողական ալգորիթմների:

Եզրափակելով, եկեք Լագրանժի բազմապատկիչներին տանք տնտեսական մեկնաբանություն: Դա անելու համար եկեք դիմենք ամենապարզ դասական օպտիմալացման խնդրին

առավելագույնը (min) զ=զ(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=բ. (7.25)

Ենթադրենք, որ պայմանական էքստրեմումը ձեռք է բերվել կետում: Ֆունկցիայի համապատասխան ծայրահեղ արժեքը զ(x)

Ենթադրենք, որ սահմանափակումներում (7.25) քանակը բկարող է փոխվել, այնուհետև ծայրահեղ կետի կոորդինատները և հետևաբար ծայրահեղ արժեքը զ*գործառույթները զ(x) կդառնա քանակներ՝ կախված բ, այսինքն. ,, և հետևաբար ֆունկցիայի ածանցյալը (7.24)

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը.
(1) .
Այս հավասարումը լուծելու երեք եղանակ կա.

• հաստատունի փոփոխության մեթոդ (Լագրանժ):

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը Լագրանժի մեթոդով։

հաստատունի փոփոխության մեթոդ (Լագրանժ)

Մշտական ​​մեթոդի տատանումների դեպքում մենք հավասարումը լուծում ենք երկու քայլով. Առաջին փուլում մենք պարզեցնում ենք բնօրինակ հավասարումըև լուծել միատարր հավասարումը: Երկրորդ փուլում լուծման առաջին փուլում ստացված ինտեգրման հաստատունը փոխարինում ենք ֆունկցիայով. Հետո մենք փնտրում ենք ընդհանուր լուծումբնօրինակ հավասարումը.

Դիտարկենք հավասարումը.
(1)

Քայլ 1 Միատարր հավասարման լուծում

Մենք փնտրում ենք միատարր հավասարման լուծում.

Սա բաժանելի հավասարում է

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները՝ բազմապատկել dx-ով, բաժանել y-ով.

Եկեք ինտեգրենք.

Ինտեգրալ ավելի քան y - աղյուսակ.

Հետո

Հզորացնենք.

Փոխարինենք e C հաստատունը C-ով և հանենք մոդուլի նշանը, որը բազմապատկվում է հաստատունով։ ±1, որը մենք կներառենք C-ում:

Քայլ 2 Փոխարինեք C հաստատունը ֆունկցիայով

Այժմ C հաստատունը փոխարինենք x-ի ֆունկցիայով.
C → u (x)
Այսինքն՝ մենք կփնտրենք սկզբնական հավասարման լուծումը (1) ձևով.
(2)
Գտնելով ածանցյալը.

Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի.
.
Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ (1) :
(1) ;

.
Երկու անդամ կրճատվում է.
;
.
Եկեք ինտեգրենք.
.
Փոխարինել ներս (2) :
.
Արդյունքում մենք ստանում ենք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.
.

Լագրանժի մեթոդով առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման օրինակ

Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում

Մենք լուծում ենք միատարր հավասարումը.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները.

Բազմապատկել՝

Եկեք ինտեգրենք.

Աղյուսակային ինտեգրալներ.

Հզորացնենք.

Փոխարինենք e C հաստատունը C-ով և հանենք մոդուլի նշանները.

Այստեղից.

C հաստատունը փոխարինենք x-ի ֆունկցիայով.
C → u (x)

Գտնել ածանցյալը.
.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ.
;
;
Կամ՝
;
.
Եկեք ինտեգրենք.
;
Հավասարման լուծում.
.

Պարամետրի անվանումը	Իմաստը
Հոդվածի թեման.	Լագրանժի մեթոդ.
Ռուբրիկա (թեմատիկ կատեգորիա)	Մաթեմատիկա

Բազմանդամի գտնելը նշանակում է նրա գործակիցի արժեքների որոշում . Դա անելու համար, օգտագործելով ինտերպոլացիայի պայմանը, կարող եք ձևավորել գծային համակարգ հանրահաշվական հավասարումներ(SLAU):

Այս SLAE-ի որոշիչը սովորաբար կոչվում է Vandermonde որոշիչ: Vandermonde որոշիչը հավասար չէ զրոյի համար, այսինքն՝ այն դեպքում, երբ որոնման աղյուսակում չկան համապատասխան հանգույցներ։ Այնուամենայնիվ, կարելի է պնդել, որ SLAE-ն լուծում ունի, և այս լուծումը եզակի է: Լուծելով SLAE-ը և որոշելով անհայտ գործակիցները դուք կարող եք կառուցել ինտերպոլացիոն բազմանդամ:

Բազմանդամը, որը բավարարում է ինտերպոլացիայի պայմանները, երբ ինտերպոլացվում է Լագրանժի մեթոդով, կառուցվում է n-րդ աստիճանի բազմանդամների գծային համակցության տեսքով.

Բազմանդամները սովորաբար կոչվում են հիմնականբազմանդամներ. Որպեսզի Լագրանժի բազմանդամբավարարում է ինտերպոլացիայի պայմանները, չափազանց կարևոր է, որ դրա հիմքի բազմանդամները բավարարեն հետևյալ պայմանները:

Համար .

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա ցանկացածի համար մենք ունենք.

Ավելին, հիմնական բազմանդամների համար սահմանված պայմանների կատարումը նշանակում է, որ բավարարված են նաև ինտերպոլացիայի պայմանները։

Եկեք որոշենք հիմքի բազմանդամների տեսակը՝ ելնելով դրանց վրա դրված սահմանափակումներից։

1-ին պայման.ժամը .

2-րդ պայման. .

Վերջապես, հիմքի բազմանդամի համար կարող ենք գրել.

Այնուհետև, ստացված արտահայտությունը հիմքի բազմանդամների համար փոխարինելով սկզբնական բազմանդամով, ստանում ենք Լագրանժի բազմանդամի վերջնական ձևը.

At-ի Լագրանժի բազմանդամի որոշակի ձևը սովորաբար կոչվում է գծային ինտերպոլացիայի բանաձև.

.

Լագրանժի բազմանդամը սովորաբար կոչվում է քառակուսային ինտերպոլացիայի բանաձև.

Լագրանժի մեթոդ. - հայեցակարգ և տեսակներ: «Լագրանժի մեթոդ» կատեգորիայի դասակարգումը և առանձնահատկությունները. 2017թ., 2018թ.

- Լագրանժի մեթոդ (կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդ):

Գծային հեռակառավարման վահանակներ.

Սահմանում. DU տեսակը, այսինքն. գծային անհայտ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի նկատմամբ կոչվում է գծային:

Այս տիպի լուծման համար մենք կքննարկենք Լագրանժի մեթոդը և Բեռնուլիի մեթոդը Դիտարկենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը: - Գծային կառավարման համակարգեր՝ միատարր և տարասեռ: Ընդհանուր որոշման հայեցակարգը. Արտադրության հաստատունների տատանումների Լագրանժի մեթոդ.Սահմանում. Կառավարման համակարգը կոչվում է միատարր, եթե ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես իր արգումենտների միջև եղած հարաբերություն:

F-Ես կանչված եմ

միատարր ֆթ չափումներ, եթե Օրինակներ. 1) - միատարրության 1-ին կարգ: 2) - համասեռության 2-րդ կարգ.

3) - միատարրության զրոյական կարգ (պարզապես միատարր... .

- Դասախոսություն 8. Մասնակի ածանցյալների կիրառում. էքստրեմի խնդիրներ. Լագրանժի մեթոդ.

Ծայրահեղ խնդիրներ ունեն

մեծ արժեք

տնտեսական հաշվարկներում։ Սա, օրինակ, առավելագույն եկամտի, շահույթի, նվազագույն ծախսերի հաշվարկն է՝ կախված մի քանի փոփոխականներից՝ ռեսուրսներ, արտադրական ակտիվներ և այլն։ Ֆունկցիաների ծայրահեղությունների հայտնաբերման տեսությունը... . 1 - T.2.3. Բարձրագույն շքանշանների DE. Հավասարում ընդհանուր դիֆերենցիալներում. T.2.4. Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով. Լագրանժի մեթոդ.. 3. 2. 1. DE բաժանելի փոփոխականներով S.R. 3. Բնական գիտությունների, տեխնիկայի և տնտեսագիտության մեջ հաճախ պետք է գործ ունենալ էմպիրիկ բանաձևերի հետ, այսինքն. վիճակագրական տվյալների մշակման հիման վրա կազմված բանաձևեր կամ...ԼԱԳՐԱՆԺԻ ՄԵԹՈԴ

օգտագործելով փոփոխականների ոչ այլասերված գծային փոխակերպում: L. m-ը բաղկացած է հետևյալից. Կարելի է ենթադրել, որ (1) ձևի ոչ բոլոր գործակիցներն են հավասար զրոյի։

Հետևաբար, հնարավոր է երկու դեպք. 1) Ոմանց համարգ,

անկյունագծային Այնուհետեւ որտեղ f 1 (x) ձևը փոփոխական չի պարունակում x գ . 2) Եթե ամեն ինչ Բայց

Դա որտեղ f 2 (x) ձևը չի պարունակում երկու փոփոխական x գ Եվ x ժ .

(4) քառակուսի նշանների տակ գտնվող ձևերը գծային անկախ են: Կիրառելով (3) և (4) ձևի փոխակերպումները, վերջավոր թվով քայլերից հետո (1) ձևը կրճատվում է մինչև գծային անկախ գծային ձևերի քառակուսիների գումարը: Օգտագործելով մասնակի ածանցյալներ, (3) և (4) բանաձևերը կարելի է գրել ձևովԼայթ. ՝ G a n t m a k h e r F.Ռ., Մատրիցների տեսություն, 2-րդ հրատ., Մ., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Ալեքսանդրով Պ.Ս., Դասախոսություններ անալիտիկ երկրաչափության մասին..., Մ., 1968։

I. V. Proskuryakov.Մաթեմատիկական հանրագիտարան. - Մ.: Խորհրդային հանրագիտարան

.

Ի.Մ.Վինոգրադով. 1977-1985 թթ. Տեսեք, թե ինչ է «ԼԱԳՐԱՆԺԻ ՄԵԹՈԴ»-ը այլ բառարաններում.

Ի.Մ.Վինոգրադով.Լագրանժի մեթոդ