Պատահական փոփոխականի բաշխումը բնութագրելու համար առանձնահատուկ նշանակություն ունեն թվային բնութագրերը, որոնք կոչվում են սկզբնական և կենտրոնական պահեր:
Մեկնարկային պահը կ-րդ կարգը α k(X) պատահական փոփոխական X կ- այս մեծության երրորդ հզորությունը, այսինքն.
α k(X) = Մ(X k) (6.8)
Բանաձև (6.8)՝ պայմանավորված տարբեր մաթեմատիկական ակնկալիքների սահմանմամբ պատահական փոփոխականներունի իր ձևը, այն է՝ դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար՝ վերջավոր արժեքների հավաքածուով
շարունակական պատահական փոփոխականի համար
, (6.10)
Որտեղ զ(x) - պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը X.
Անպատշաճ ինտեգրալբանաձևում (6.10) վերածվում է որոշակի ինտեգրալվերջավոր միջակայքում, եթե շարունակական պատահական փոփոխականի արժեքները գոյություն ունեն միայն այս միջակայքում:
Նախկինում ներկայացված թվային բնութագրերից է ակնկալվող արժեքը- ոչ այլ ինչ է, քան առաջին կարգի սկզբնական պահը, կամ, ինչպես ասում են, առաջին սկզբնական պահը.
Մ(X) = α 1 (X).
Նախորդ պարբերությունում ներկայացվեց կենտրոնացված պատահական փոփոխականի հասկացությունը Հ.Մ(X) Եթե այս մեծությունը համարվում է հիմնական, ապա դրա համար կարելի է գտնել նաև սկզբնական պահերը։ Ինքնին մեծության համար Xայս պահերը կկոչվեն կենտրոնական:
Կենտրոնական պահ կ-րդ կարգը μk(X) պատահական փոփոխական Xկոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք կԿենտրոնացված պատահական փոփոխականի -րդ հզորությունը, այսինքն.
μk(X) = Մ[(Հ.Մ(X))կ] (6.11)
Այսինքն՝ կենտրոնական կետը կ-րդ կարգը մաթեմատիկական ակնկալիքն է կշեղման աստիճանը.
Կենտրոնական պահ կԱրժեքների վերջավոր շարքով դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար հայտնաբերվում է բանաձևով.
, (6.12)
շարունակական պատահական փոփոխականի համար՝ օգտագործելով բանաձևը.
(6.13)
Հետագայում, երբ պարզ դառնա, թե ինչ պատահական փոփոխականի մասին է խոսքը, այն չենք գրի սկզբնական և կենտրոնական պահերի նշումով, այսինքն. փոխարեն α k(X) Եվ μk(X) ուղղակի կգրենք α kԵվ μk .
Ակնհայտ է, որ առաջին կարգի կենտրոնական պահը հավասար է զրոյի, քանի որ սա ոչ այլ ինչ է, քան շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը, որը հավասար է զրոյի՝ ըստ նախկինում ապացուցվածի, այսինքն. .
Դժվար չէ հասկանալ, որ պատահական փոփոխականի երկրորդ կարգի կենտրոնական պահը Xհամընկնում է նույն պատահական փոփոխականի շեղման հետ, այսինքն.
Բացի այդ, կան նախնական և կենտրոնական պահերը կապող հետևյալ բանաձևերը.
Այսպիսով, առաջին և երկրորդ կարգի պահերը (մաթեմատիկական ակնկալիք և ցրվածություն) բնութագրում են առավելագույնը. կարևոր հատկանիշներբաշխում` դրա դիրքը և արժեքների ցրվածության աստիճանը: Ավելին մանրամասն նկարագրությունբաշխումները ավելի բարձր կարգի պահեր են: Եկեք ցույց տանք:
Ենթադրենք, որ պատահական փոփոխականի բաշխումը սիմետրիկ է նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ: Այդ դեպքում բոլոր կենտ կարգի կենտրոնական պահերը, եթե դրանք կան, հավասար են զրոյի: Դա բացատրվում է նրանով, որ բաշխման համաչափության պատճառով քանակի յուրաքանչյուր դրական արժեքի համար X − Մ(X) կա դրան հավասար մեծությամբ բացասական արժեք, և այդ արժեքների հավանականությունը հավասար է: Հետևաբար, (6.12) բանաձևի գումարը բաղկացած է մի քանի զույգ տերմիններից, որոնք հավասար են մեծությամբ, բայց տարբեր նշաններով, որոնք գումարման ժամանակ ջնջում են միմյանց: Այսպիսով, ամբողջ գումարը, այսինքն. Ցանկացած կենտ կարգի դիսկրետ պատահական փոփոխականի կենտրոնական պահը զրո է: Նմանապես, շարունակական պատահական փոփոխականի ցանկացած կենտ կարգի կենտրոնական պահը հավասար է զրոյի, ինչպես և կենտ ֆունկցիայի սիմետրիկ սահմաններում ինտեգրալը:
Բնական է ենթադրել, որ եթե կենտ կարգի կենտրոնական մոմենտը տարբերվում է զրոյից, ապա բաշխումն ինքնին սիմետրիկ չի լինի իր մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ։ Ընդ որում, որքան կենտրոնական մոմենտը տարբերվում է զրոյից, այնքան մեծ է բաշխման անհամաչափությունը։ Որպես ասիմետրիայի հատկանիշ ընդունենք ամենափոքր տարօրինակ կարգի կենտրոնական պահը: Քանի որ առաջին կարգի կենտրոնական պահը զրոյական է ցանկացած բաշխում ունեցող պատահական փոփոխականների համար, ավելի լավ է այդ նպատակով օգտագործել երրորդ կարգի կենտրոնական պահը: Այնուամենայնիվ, այս պահն ունի պատահական փոփոխականի խորանարդի չափ: Այս թերությունից ազատվելու և անչափ պատահական փոփոխականի անցնելու համար կենտրոնական պահի արժեքը բաժանեք ստանդարտ շեղման խորանարդի վրա:
Ասիմետրիայի գործակիցը Ա ս կամ պարզապես ասիմետրիակոչվում է երրորդ կարգի կենտրոնական պահի հարաբերակցություն ստանդարտ շեղման խորանարդին, այսինքն.
Երբեմն ասիմետրիան կոչվում է «թեքություն» և նշանակվում է Ս կինչից է բխում Անգլերեն բառթեք - «թեք»:
Եթե ասիմետրիայի գործակիցը բացասական է, ապա դրա արժեքի վրա մեծ ազդեցություն ունեն բացասական տերմինները (շեղումները), և բաշխումը կունենա ձախ ասիմետրիա, իսկ բաշխման գրաֆիկը (կորը) ավելի հարթ է մաթեմատիկական ակնկալիքից ձախ: Եթե գործակիցը դրական է, ապա ասիմետրիա ճիշտ, իսկ կորը ավելի հարթ է մաթեմատիկական ակնկալիքից աջ (նկ. 6.1):
 |
Ինչպես ցույց է տրվել, պատահական փոփոխականի արժեքների տարածումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ բնութագրելու համար օգտագործվում է երկրորդ կենտրոնական պահը, այսինքն. ցրվածություն. Եթե այս պահը մեծ նշանակություն ունի թվային արժեք, ապա այս պատահական փոփոխականն ունի արժեքների մեծ տարածում, և բաշխման համապատասխան կորը ավելի հարթ ձև ունի, քան կորը, որի համար երկրորդ կենտրոնական պահն ավելի փոքր արժեք ունի: Հետևաբար, երկրորդ կենտրոնական պահը որոշ չափով բնութագրում է «հարթ գագաթով» կամ «սուր վերևով» բաշխման կորը: Այնուամենայնիվ, այս բնութագիրը այնքան էլ հարմար չէ: Երկրորդ կարգի կենտրոնական պահն ունի հարթություն քառակուսու հավասարպատահական փոփոխականի չափերը. Եթե մենք փորձենք ստանալ անչափ մեծություն՝ մոմենտի արժեքը բաժանելով ստանդարտ շեղման քառակուսու վրա, ապա ցանկացած պատահական փոփոխականի համար մենք ստանում ենք. 
. Այսպիսով, այս գործակիցը չի կարող լինել պատահական փոփոխականի բաշխման որևէ հատկանիշ: Նույնն է բոլոր բաշխումների համար։ Այս դեպքում կարող է օգտագործվել չորրորդ կարգի կենտրոնական պահը:
Ավելորդություն Եկ բանաձևով որոշված քանակն է
(6.15)
Կուրտոզը հիմնականում օգտագործվում է շարունակական պատահական փոփոխականների համար և ծառայում է բնութագրելու բաշխման կորի այսպես կոչված «կտրուկությունը», կամ այլ կերպ, ինչպես արդեն նշվեց, բնութագրում է «հարթ վերևով» կամ «սուր վերևով» բաշխման կորը: Հղման բաշխման կորը համարվում է կորը նորմալ բաշխում(սա մանրամասն կքննարկվի հաջորդ գլխում): Նորմալ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի համար հավասարությունը պահպանվում է: Հետևաբար, (6.15) բանաձևով տրված կուրտոզը ծառայում է այս բաշխումը նորմալի հետ համեմատելու համար, որի դեպքում կուրտոզը հավասար է զրոյի։
Եթե ինչ-որ պատահական փոփոխականի համար ստացվում է դրական կուրտոզ, ապա այս արժեքի բաշխման կորը ավելի բարձր է, քան նորմալ բաշխման կորը: Եթե կուրտոզը բացասական է, ապա կորը ավելի հարթ է, համեմատած նորմալ բաշխման կորի հետ (նկ. 6.2):
 |
Այժմ անցնենք դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքների հատուկ տեսակներին:
Ի լրումն դիրքի բնութագրիչների - պատահական փոփոխականի միջին, բնորոշ արժեքներ, օգտագործվում են մի շարք բնութագրեր, որոնցից յուրաքանչյուրը նկարագրում է բաշխման այս կամ այն հատկությունը: Որպես այդպիսի բնութագրիչներ ամենից հաճախ օգտագործվում են այսպես կոչված պահերը։
Մոմենտ հասկացությունը լայնորեն կիրառվում է մեխանիկայի մեջ՝ նկարագրելու զանգվածների բաշխումը (ստատիկ մոմենտներ, իներցիայի պահեր և այլն)։ Ճիշտ նույն տեխնիկան օգտագործվում է հավանականության տեսության մեջ՝ պատահական փոփոխականի բաշխման հիմնական հատկությունները նկարագրելու համար։ Ամենից հաճախ գործնականում օգտագործվում են երկու տեսակի պահեր՝ սկզբնական և կենտրոնական:
Անընդհատ պատահական փոփոխականի րդ կարգի սկզբնական պահը ձևի գումարն է.
. (5.7.1)
Ակնհայտ է, որ այս սահմանումը համընկնում է մեխանիկայի s կարգի սկզբնական պահի սահմանմանը, եթե զանգվածները կենտրոնացված են աբսցիսային առանցքի վրա կետերում։
Շարունակական պատահական X փոփոխականի համար առաջին կարգի պահը կոչվում է ինտեգրալ
. (5.7.2)
Հեշտ է տեսնել, որ նախորդ n°-ում ներկայացված դիրքի հիմնական բնութագիրը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը, ոչ այլ ինչ է, քան պատահական փոփոխականի առաջին սկզբնական պահը։
Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանը, կարող եք միավորել երկու բանաձևեր (5.7.1) և (5.7.2) մեկի մեջ: Իրոք, (5.7.1) և (5.7.2) բանաձևերը կառուցվածքով ամբողջովին նման են (5.6.1) և (5.6.2) բանաձևերին, այն տարբերությամբ, որ և-ի փոխարեն համապատասխանաբար կան և . Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել րդ կարգի սկզբնական պահի ընդհանուր սահմանումը, որը վավեր է և՛ ընդհատվող, և՛ շարունակական քանակություններ:
, (5.7.3)
դրանք. Պատահական փոփոխականի րդ կարգի սկզբնական պահը այս պատահական փոփոխականի րդ աստիճանի մաթեմատիկական ակնկալիքն է։
Նախքան կենտրոնական պահը սահմանելը, մենք ներկայացնում ենք «կենտրոնացված պատահական փոփոխականի» նոր հայեցակարգ:
Թող լինի պատահական փոփոխական մաթեմատիկական ակնկալիքով: Արժեքին համապատասխան կենտրոնացված պատահական փոփոխականը պատահական փոփոխականի շեղումն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից.
Ապագայում մենք կհամաձայնվենք ամենուր նշենք տվյալ պատահական փոփոխականին համապատասխանող կենտրոնացված պատահական փոփոխականը նույն տառով, որի վերևում գտնվող նշանն է:
Հեշտ է ստուգել, որ կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է զրոյի: Իսկապես, ընդհատվող քանակի համար
նմանապես շարունակական քանակի համար:
Պատահական փոփոխականի կենտրոնացումը ակնհայտորեն համարժեք է կոորդինատների սկզբնաղբյուրը միջին, «կենտրոնական» կետ տեղափոխելուն, որի աբսցիսան հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին:
Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մոմենտները կոչվում են կենտրոնական պահեր։ Դրանք նման են մեխանիկայի ծանրության կենտրոնի պահերին:
Այսպիսով, պատահական փոփոխականի s կարգի կենտրոնական պահը համապատասխան կենտրոնացված պատահական փոփոխականի երորդ հզորության մաթեմատիկական ակնկալիքն է.
, (5.7.6)
իսկ շարունակականի համար՝ ինտեգրալով
. (5.7.8)
Հետևյալ դեպքերում, երբ կասկած չկա, թե որ պատահական փոփոխականին է պատկանում տվյալ պահը, հակիրճության համար մենք կգրենք պարզապես և փոխարենը և .
Ակնհայտ է, որ ցանկացած պատահական փոփոխականի համար առաջին կարգի կենտրոնական պահը հավասար է զրոյի.
, (5.7.9)
քանի որ կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը միշտ հավասար է զրոյի:
Բերենք հարաբերություններ, որոնք կապում են տարբեր կարգերի կենտրոնական և սկզբնական պահերը։ Եզրակացությունը կիրականացնենք միայն ընդհատվող քանակների համար. Հեշտ է ստուգել, որ ճիշտ նույն հարաբերությունները վավեր են շարունակական մեծությունների համար, եթե վերջավոր գումարները փոխարինենք ինտեգրալներով, իսկ հավանականությունները՝ հավանականության տարրերով:
Դիտարկենք երկրորդ կենտրոնական կետը.
Նմանապես երրորդ կենտրոնական պահի համար մենք ստանում ենք.
Արտահայտություններ և այլն: կարելի է ձեռք բերել նմանատիպ եղանակով:
Այսպիսով, ցանկացած պատահական փոփոխականի կենտրոնական պահերի համար բանաձևերը վավեր են.
(5.7.10)
Ընդհանուր առմամբ, պահերը կարելի է համարել ոչ միայն ծագման (սկզբնական պահեր) կամ մաթեմատիկական ակնկալիքների (կենտրոնական պահեր), այլ նաև կամայական կետի հարաբերական.
. (5.7.11)
Այնուամենայնիվ, կենտրոնական պահերը առավելություն ունեն բոլոր մյուսների նկատմամբ. առաջին կենտրոնական պահը, ինչպես տեսանք, միշտ հավասար է զրոյի, իսկ հաջորդը, երկրորդ կենտրոնական պահը, այս հղման համակարգով ունի նվազագույն արժեք: Եկեք ապացուցենք դա։ At-ում անդադար պատահական փոփոխականի համար (5.7.11) բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.
. (5.7.12)
Փոխակերպենք այս արտահայտությունը.
Ակնհայտ է, որ այս արժեքը հասնում է իր նվազագույնին, երբ, այսինքն. երբ պահը վերցված է կետի համեմատ:
Բոլոր պահերից առաջին սկզբնական պահը (մաթեմատիկական ակնկալիք) և երկրորդ կենտրոնական պահը առավել հաճախ օգտագործվում են որպես պատահական փոփոխականի բնութագրիչներ:
Երկրորդ կենտրոնական պահը կոչվում է պատահական փոփոխականի շեղում: Հաշվի առնելով այս հատկանիշի ծայրահեղ կարևորությունը, ի թիվս այլ կետերի, մենք ներկայացնում ենք դրա հատուկ նշում.
Կենտրոնական պահի սահմանման համաձայն
դրանք. X պատահական փոփոխականի շեղումը համապատասխան կենտրոնացված փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքն է:
(5.7.13) արտահայտության մեջ մեծությունը փոխարինելով իր արտահայտությամբ՝ ունենք նաև.
. (5.7.14)
Տարբերությունը ուղղակիորեն հաշվարկելու համար օգտագործեք հետևյալ բանաձևերը.
, (5.7.15)
(5.7.16)
Համապատասխանաբար ընդհատվող և շարունակական մեծությունների համար:
Պատահական փոփոխականի ցրվածությունը դիսպերսիայի հատկանիշ է, պատահական փոփոխականի արժեքների ցրումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ։ «Ցրվածություն» բառն ինքնին նշանակում է «ցրում»:
Եթե դիմենք բաշխման մեխանիկական մեկնաբանությանը, ապա դիսպերսիան ոչ այլ ինչ է, քան տվյալ զանգվածի բաշխման իներցիայի պահը ծանրության կենտրոնի նկատմամբ (մաթեմատիկական ակնկալիք):
Պատահական փոփոխականի շեղումը ունի պատահական փոփոխականի քառակուսու չափը. Դիսպերսիան տեսողականորեն բնութագրելու համար ավելի հարմար է օգտագործել մի մեծություն, որի չափը համընկնում է պատահական փոփոխականի չափի հետ։ Դա անելու համար վերցրեք շեղման քառակուսի արմատը: Ստացված արժեքը կոչվում է պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղում (այլապես «ստանդարտ»): Ստանդարտ շեղումը կնշենք.
, (5.7.17)
Նշումները պարզեցնելու համար մենք հաճախ կօգտագործենք ստանդարտ շեղման և ցրման հապավումները. և . Այն դեպքում, երբ կասկած չկա, թե պատահական որ փոփոխականին են վերաբերում այս բնութագրերը, մենք երբեմն բաց կթողնենք x y նշանը և գրենք պարզապես և ։ «Ստանդարտ շեղում» բառերը երբեմն կրճատվում են, որպեսզի փոխարինվեն r.s.o տառերով:
Գործնականում հաճախ օգտագործվում է բանաձև, որն արտահայտում է պատահական փոփոխականի ցրվածությունը նրա երկրորդ սկզբնական պահի միջոցով (բանաձևերի երկրորդը (5.7.10)): Նոր նշումով այն կունենա հետևյալ տեսքը.
Սպասումը և շեղումը (կամ ստանդարտ շեղումը) պատահական փոփոխականի առավել հաճախ օգտագործվող բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են բաշխման ամենակարևոր առանձնահատկությունները՝ նրա դիրքը և ցրվածության աստիճանը։ Բաշխման ավելի մանրամասն նկարագրության համար օգտագործվում են ավելի բարձր պատվերների պահեր:
Երրորդ կենտրոնական կետը ծառայում է բաշխման անհամաչափությունը (կամ «թեքությունը») բնութագրելու համար: Եթե բաշխումը սիմետրիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ (կամ, մեխանիկական մեկնաբանությամբ, զանգվածը սիմետրիկ է բաշխվում ծանրության կենտրոնի նկատմամբ), ապա բոլոր կենտ կարգի պահերը (եթե դրանք կան) հավասար են զրոյի։ Իսկապես, ընդհանուր առմամբ
երբ բաշխման օրենքը օրենքի նկատմամբ սիմետրիկ է և կենտ, յուրաքանչյուր դրական անդամ համապատասխանում է հավասարին. բացարձակ արժեքբացասական անդամ, ուստի ամբողջ գումարը զրո է: Նույնն ակնհայտորեն ճիշտ է ինտեգրալի դեպքում
,
որը հավասար է զրոյի որպես ինտեգրալ կենտ ֆունկցիայի սիմետրիկ սահմաններում։
Բնական է, հետևաբար, որպես բաշխման անհամաչափության հատկանիշ ընտրել տարօրինակ պահերից մեկը։ Դրանցից ամենապարզը երրորդ կենտրոնական պահն է: Այն ունի պատահական փոփոխականի խորանարդի չափս. անչափ բնութագիր ստանալու համար երրորդ մոմենտը բաժանվում է ստանդարտ շեղման խորանարդի վրա։ Ստացված արժեքը կոչվում է «անհամաչափության գործակից» կամ պարզապես «ասիմետրիա». մենք դա կնշենք.
Նկ. 5.7.1-ը ցույց է տալիս երկու ասիմետրիկ բաշխում. դրանցից մեկը (կոր I) ունի դրական ասիմետրիա (); մյուսը (կորը II) բացասական է ():
Չորրորդ կենտրոնական կետը ծառայում է այսպես կոչված «սառը» բնութագրմանը, այսինքն. գագաթնակետային կամ հարթ գագաթներով բաշխում: Բաշխման այս հատկությունները նկարագրված են՝ օգտագործելով այսպես կոչված kurtosis: Պատահական փոփոխականի կարճությունը մեծությունն է
3 թիվը հանվում է հարաբերակցությունից, քանի որ բնական բաշխման շատ կարևոր և բնության մեջ տարածված օրենքի համար (որին մենք ավելի ուշ մանրամասն կծանոթանանք): Այսպիսով, նորմալ բաշխման դեպքում կուրտոզը զրո է. կորերը, որոնք ավելի բարձր են, համեմատած նորմալ կորի հետ, ունեն դրական կուրտոզ; Կորերը, որոնք ավելի հարթ գագաթներով են, ունեն բացասական կորտոզ:
Նկ. 5.7.2-ը ցույց է տալիս՝ նորմալ բաշխում (կոր I), բաշխում դրական կուրտոզով (կոր II) և բաշխում բացասական կուրտոզով (կոր III):
Բացի վերը քննարկված սկզբնական և կենտրոնական պահերից, գործնականում երբեմն օգտագործվում են այսպես կոչված բացարձակ պահերը (սկզբնական և կենտրոնական), որոնք որոշվում են բանաձևերով.
Ակնհայտ է, որ նույնիսկ պատվերների բացարձակ պահերը համընկնում են սովորական պահերի հետ։
Բացարձակ պահերից առավել հաճախ օգտագործվում է առաջին բացարձակ կենտրոնական պահը։
, (5.7.21)
կոչվում է միջին թվաբանական շեղում: Դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հետ մեկտեղ, միջին թվաբանական շեղումը երբեմն օգտագործվում է որպես դիսպերսիայի հատկանիշ։
Սպասումը, եղանակը, մեդիանը, սկզբնական և կենտրոնական պահերը և, մասնավորապես, ցրվածությունը, ստանդարտ շեղումը, թեքությունը և կուրտոզը պատահական փոփոխականների ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Շատ պրակտիկ խնդիրներում ամբողջական բնութագրերըպատահական փոփոխականը` բաշխման օրենքը, կամ պետք չէ, կամ հնարավոր չէ ստանալ: Այս դեպքերում մարդը սահմանափակվում է պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով օգնությունը: Թվային բնութագրեր, որոնցից յուրաքանչյուրն արտահայտում է բաշխման որոշ բնորոշ հատկություն։
Շատ հաճախ թվային բնութագրերն օգտագործվում են մեկ բաշխումը մյուսով մոտավորապես փոխարինելու համար, և սովորաբար նրանք փորձում են այդ փոխարինումը կատարել այնպես, որ մի քանի կարևոր կետեր մնան անփոփոխ:
Օրինակ 1. Կատարվում է մեկ փորձ, որի արդյունքում կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել մի իրադարձություն, որի հավանականությունը հավասար է . Համարվում է պատահական փոփոխական՝ իրադարձության (իրադարձության բնորոշ պատահական փոփոխական) առաջացման թիվը։ Որոշեք դրա բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա, ստանդարտ շեղում:
Լուծում. Արժեքների բաշխման շարքն ունի հետևյալ ձևը.
որտեղ է հավանականությունը, որ դեպքը տեղի չունենա:
Օգտագործելով բանաձևը (5.6.1) մենք գտնում ենք արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը.
Արժեքի դիսպերսիան որոշվում է բանաձևով (5.7.15).
(Ընթերցողին առաջարկում ենք նույն արդյունքը ստանալ՝ ցրվածությունն արտահայտելով երկրորդ սկզբնական պահով):
Օրինակ 2. Երեք անկախ կրակոց է արձակվում թիրախի ուղղությամբ; Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը 0,4 է։ պատահական փոփոխական – հարվածների քանակը: Որոշեք մեծության բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, ցրվածություն, ռ.ս.դ., անհամաչափություն։
Լուծում. Արժեքների բաշխման շարքն ունի հետևյալ ձևը.
Մենք հաշվարկում ենք քանակի թվային բնութագրերը։
Մեկնարկային պահը կ րդ պատվեր պատահական փոփոխականX X կ :
Մասնավորապես,
Կենտրոնական պահ կ րդ պատվեր պատահական փոփոխականXկոչվում է մեծության մաթեմատիկական ակնկալիք կ :
.
(5.11)
Մասնավորապես,
Օգտագործելով մաթեմատիկական սպասման և դիսպերսիայի սահմանումները և հատկությունները, մենք կարող ենք ստանալ դա
,
,
Ավելի բարձր կարգի պահերը հազվադեպ են օգտագործվում:
Ենթադրենք, որ պատահական փոփոխականի բաշխումը սիմետրիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ։ Այդ դեպքում բոլոր կենտ կարգի կենտրոնականները հավասար են զրոյի: Սա կարելի է բացատրել նրանով, որ X–M[X] շեղման յուրաքանչյուր դրական արժեքի համար կա (բաշխման համաչափության պատճառով) բացարձակ արժեքով հավասար բացասական արժեք, և դրանց հավանականությունները նույնը կլինեն։ Եթե կենտրոնական մոմենտը կենտ կարգի է և հավասար չէ զրոյի, ապա դա ցույց է տալիս բաշխման անհամաչափությունը և որքան մեծ է պահը, այնքան մեծ է անհամաչափությունը: Հետևաբար, առավել խելամիտ է որպես բաշխման անհամաչափության հատկանիշ ընդունել որոշ տարօրինակ կենտրոնական պահ: Քանի որ 1-ին կարգի կենտրոնական պահը միշտ հավասար է զրոյի, այդ նպատակով նպատակահարմար է օգտագործել 3-րդ կարգի կենտրոնական պահը։ Այնուամենայնիվ, անհարմար է ընդունել այս կետը անհամաչափությունը գնահատելու համար, քանի որ դրա արժեքը կախված է այն միավորներից, որոնցում չափվում է պատահական փոփոխականը: Այս թերությունը վերացնելու համար 3-ը բաժանվում է 3-ի և այդպիսով ստացվում է բնութագիր:
Ասիմետրիայի գործակիցը Ա կոչվում է քանակ
.
(5.12)
Բրինձ.
5.1Եթե ասիմետրիայի գործակիցը բացասական է, ապա դա ցույց է տալիս մեծ ազդեցություն 3 բացասական շեղումների արժեքի վրա: Այս դեպքում բաշխման կորերը ավելի հարթ են M[X]-ից ձախ: Եթե A գործակիցը դրական է, ապա աջ կողմում կորը ավելի հարթ է: xԻնչպես հայտնի է, դիսպերսիան (2-րդ կենտրոնական պահը) ծառայում է մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ պատահական փոփոխականի արժեքների ցրվածությունը բնութագրելու համար։ Որքան մեծ է դիսպերսիան, այնքան ավելի հարթ է բաշխման համապատասխան կորը: Այնուամենայնիվ, 2-րդ կարգի նորմալացված պահը 2 / 2 չի կարող ծառայել որպես «հարթ վերևով» կամ «սուր վերևով» բաշխման հատկանիշ, քանի որ ցանկացած բաշխման համար D[
]/ 2 =1. Այս դեպքում օգտագործվում է 4-րդ կարգի կենտրոնական պահը։ Ավելորդություն կոչվում է քանակ
.
(5.13)
Ե
Հ
5.2Այստեղ ընտրվել է 3 համարը, քանի որ նորմալ բաշխման ամենատարածված օրենքի համար 4 / 4 =3: Հետևաբար, kurtosis-ը ծառայում է գոյություն ունեցող բաշխումները նորմալի հետ համեմատելու համար, որի կարճությունը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ եթե բաշխումն ունի դրական կուրտոզ, ապա համապատասխան բաշխման կորը ավելի «գագաթնակետ» է՝ համեմատած նորմալ բաշխման կորի հետ։ Եթե բաշխումն ունի բացասական կորտոզ, ապա համապատասխան կորը ավելի «հարթ վերև է»:
Օրինակ 5.6.
DSV X-ը տրվում է հետևյալ բաշխման օրենքով.
Հիմա եկեք հաշվարկենք կենտրոնական պահերը.
Գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը X 2 :
Մ(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Մենք դա տեսնում ենք Մ(X 2) շատ ավելին Մ(X). Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսուց հետո հնարավոր իմաստըքանակները X 2 արժեքին համապատասխան x= 100 բալ X,դարձավ 10000-ի, այսինքն՝ զգալիորեն ավելացավ. այս արժեքի հավանականությունը ցածր է (0,01):
Այսպիսով, անցումը Մ(X) Դեպի Մ(X 2) հնարավորություն է տվել ավելի լավ հաշվի առնել այդ հնարավոր արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքի վրա ազդեցությունը, որը մեծ է և ունի ցածր հավանականություն։ Իհարկե, եթե արժեքը Xուներ մի քանի մեծ և անհավանական արժեքներ, հետո անցում դեպի արժեք X 2, և նույնիսկ ավելին՝ քանակներին X 3 , X 4-ը և այլն, թույլ կտա մեզ էլ ավելի «ամրապնդել դերը» այս մեծ, բայց անհավանական հնարավոր արժեքների համար: Այդ իսկ պատճառով նպատակահարմար է նկատի ունենալ պատահական փոփոխականի (ոչ միայն դիսկրետ, այլև շարունակական) դրական հզորության մաթեմատիկական ակնկալիքը։
Հրամանի սկզբնական պահը կպատահական փոփոխական Xկոչվում է մեծության մաթեմատիկական ակնկալիք Xk:
v k = Մ(X).
Մասնավորապես,
v 1 = Մ(X), v 2 = Մ(X 2).
Օգտագործելով այս կետերը, շեղումը հաշվարկելու բանաձևը Դ(X)= Մ(X 2)- [Մ(X)] 2-ը կարելի է գրել այսպես.
Դ(X)=v 2 – . (*)
Ի հավելումն պատահական փոփոխականի պահերին Xնպատակահարմար է դիտարկել շեղման պահերը X-M(X).
X պատահական փոփոխականի k կարգի կենտրոնական պահը մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքն է(Հ.Մ(X))k:
Մասնավորապես,
Սկզբնական և կենտրոնական պահերը կապող հարաբերությունները հեշտությամբ ստացվում են: Օրինակ, համեմատելով (*) և (***), մենք ստանում ենք
m 2= v 2 – .
Դժվար չէ, հիմնվելով կենտրոնական պահի սահմանման վրա և օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները, ստանալ բանաձևերը.
m 3= v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m 4= v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
Ավելի բարձր կարգի պահերը հազվադեպ են օգտագործվում:
Մեկնաբանություն. Այստեղ քննարկված կետերը կոչվում են տեսական։Ի տարբերություն տեսական պահերի, այն պահերը, որոնք հաշվարկվում են դիտողական տվյալների հիման վրա, կոչվում են էմպիրիկ.Ստորև տրված են էմպիրիկ պահերի սահմանումները (տե՛ս Գլուխ XVII, § 2):
Առաջադրանքներ
1. Հայտնի են երկու անկախ պատահական փոփոխականների շեղումները. Դ(X) = 4, Դ(Յ)=3. Գտեք այս մեծությունների գումարի շեղումը:
Rep. 7.
2. Պատահական փոփոխականի շեղում Xհավասար է 5-ի։ Գտե՛ք հետևյալ մեծությունների շեղումը. ա) X-1; բ) -2 X; V) Ժ + 6.
Rep.ա) 5; բ) 20; գ) 45.
3. Պատահական արժեք Xվերցնում է ընդամենը երկու արժեք՝ +C և -C, յուրաքանչյուրը 0,5 հավանականությամբ: Գտեք այս մեծության շեղումը:
Rep. ՀԵՏ 2 .
4. , իմանալով դրա բաշխման օրենքը
| X | 0, 1 | |||
| Պ | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Rep. 67,6404.
5. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել երկու հնարավոր արժեք. X 1 0,3 հավանականությամբ և x 2 0,7 հավանականությամբ, և X 2 > x 1 . Գտեք x 1 և x 2, իմանալով, որ Մ(X) = 2, 7i Դ(X) =0,21.
Rep. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Գտեք պատահական փոփոխականի շեղումը X- իրադարձությունների դեպքերի քանակը Աերկուսով անկախ թեստեր, Եթե Մ(X) = 0, 8.
Նշում։ Գրե՛ք իրադարձության դեպքերի թվի հավանականության բաշխման երկանդամ օրենքը Աերկու անկախ դատավարություններում:
Rep. 0, 48.
7. Փորձարկվում է չորս ինքնուրույն գործող սարքերից բաղկացած սարքը։ Սարքի խափանման հավանականությունը հետևյալն է. Ռ 1 = 0,3; Ռ 2 = 0,4; էջ 3 = 0,5; Ռ 4 = 0,6: Գտեք ձախողված սարքերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
Rep. 1,8; 0,94.
8. Գտեք պատահական փոփոխականի շեղումը X- իրադարձության դեպքերի թիվը 100 անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը 0,7 է:
Rep. 21.
9. Պատահական փոփոխականի շեղում Դ(X) = 6,25։ Գտեք ստանդարտ շեղումը s( X).
Rep. 2, 5.
10. Պատահական փոփոխականը նշված է բաշխման օրենքով
| X | |||
| Պ | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Գտեք այս արժեքի ստանդարտ շեղումը:
Rep. 2, 2.
11. Նույնականորեն բաշխված 9 փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականներից յուրաքանչյուրի շեղումը հավասար է 36-ի: Գտեք այս փոփոխականների միջին թվաբանականի շեղումը:
Rep. 4.
12. Նույնականորեն բաշխված 16 փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականներից յուրաքանչյուրի ստանդարտ շեղումը 10 է: Գտեք այս փոփոխականների միջին թվաբանականի ստանդարտ շեղումը:
Rep. 2,5.
Գլուխ իններորդ
ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ
Նախնական դիտողություններ
Ինչպես արդեն հայտնի է, անհնար է նախօրոք վստահորեն կանխատեսել, թե թեստի արդյունքում պատահական փոփոխականներից որն է վերցնելու հնարավոր արժեքները. դա շատերից է կախված պատահական պատճառներ, որը հնարավոր չէ հաշվի առնել։ Թվում է, թե քանի որ այս առումով մենք ունենք շատ համեստ տեղեկատվություն յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի մասին, դժվար թե հնարավոր լինի հաստատել վարքագծի օրինաչափություններ և բավականաչափ մեծ թվով պատահական փոփոխականների գումար: Իրականում դա ճիշտ չէ։ Պարզվում է, որ ոմանց համար համեմատաբար լայն պայմաններԲավականաչափ մեծ թվով պատահական փոփոխականների ընդհանուր վարքագիծը գրեթե կորցնում է իր պատահական բնույթը և դառնում բնական:
Պրակտիկայի համար շատ կարևոր է իմանալ այն պայմանները, որոնցում բազմաթիվ պատահական պատճառների համակցված գործողությունը հանգեցնում է մի արդյունքի, որը գրեթե անկախ է պատահականությունից, քանի որ այն թույլ է տալիս կանխատեսել երևույթների ընթացքը: Այս պայմանները նշված են թեորեմներում ընդհանուր անունօրենք մեծ թվեր. Դրանք ներառում են Չեբիշևի և Բեռնուլիի թեորեմները (կան այլ թեորեմներ, որոնք այստեղ չեն քննարկվում)։ Չեբիշևի թեորեմը մեծ թվերի ամենաընդհանուր օրենքն է, Բեռնուլիի թեորեմը ամենապարզն է։ Այս թեորեմներն ապացուցելու համար կօգտագործենք Չեբիշևի անհավասարությունը։
Չեբիշևի անհավասարությունը
Չեբիշևի անհավասարությունը վավեր է դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների համար։ Պարզության համար մենք սահմանափակվում ենք այս անհավասարությունն ապացուցելով դիսկրետ մեծությունների համար:
Դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխական X,բաշխման աղյուսակում նշված.
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| էջ | էջ 1 | Պ 2 | … | p n |
Եկեք մեզ խնդիր դնենք գնահատելու հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականի շեղումը իր մաթեմատիկական ակնկալիքից չի գերազանցում e դրական թվի բացարձակ արժեքը։ Եթե e-ն բավականաչափ փոքր է, ապա մենք կգնահատենք դրա հավանականությունը Xկընդունի իր մաթեմատիկական ակնկալիքներին բավականին մոտ արժեքներ: Պ.Լ. Չեբիշևը ապացուցեց անհավասարություն, որը թույլ է տալիս մեզ տալ մեզ հետաքրքրող գնահատականը:
Չեբիշևի անհավասարությունը. Հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականի շեղումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից բացարձակ արժեքով փոքր է դրական e թվից, ոչ պակաս, քան 1-Դ(X)/ե 2 :
Ռ(|X -M(X)|< e ) 1-Դ(X)/ե 2 .
Ապացույց. Քանի որ անհավասարությունների իրականացումից բաղկացած իրադարձությունները |X-M(X)|
Ռ(|X -M(X)|< e )+ Ռ(|X -M(X)| ե)= 1.
Այստեղից էլ մեզ հետաքրքրում է հավանականությունը
Ռ(|X -M(X)|< e )= 1- Ռ(|X -M(X)| ե). (*)
Այսպիսով, խնդիրը հանգում է հավանականության հաշվարկին Ռ(| Հ.Մ(X)| ե).
Գրենք պատահական փոփոխականի շեղման արտահայտությունը X:
Դ(X)= [x 1 -Մ(X)] 2 էջ 1 + [x 2 -Մ(X)] 2 էջ 2 +…+ [x n -M(X)]2pn.
Ակնհայտ է, որ այս գումարի բոլոր պայմանները ոչ բացասական են:
Եկեք մերժենք այն պայմանները, որոնց | x i-Մ(X)|<ե(մնացած ժամկետների համար | x j-Մ(X)| ե), Արդյունքում գումարը կարող է միայն նվազել։ Եկեք համաձայնենք ենթադրել, որ որոշակիորեն կառաջին տերմինները (առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ բաշխման աղյուսակում հնարավոր արժեքները համարակալված են հենց այս կարգով): Այսպիսով,
Դ(X) [x k + 1 -Մ(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -Մ(X)] 2 p k + z + ... +[x n -M(X)] 2 pn.
Նշենք, որ անհավասարության երկու կողմերը | x j - Մ(X)| ե (ժ = կ+1, կ+ 2, ..., Պ) դրական են, հետևաբար, քառակուսիացնելով դրանք, ստանում ենք համարժեք անհավասարություն | x j - Մ(X)| 2 ե 2Եկեք օգտագործենք այս դիտողությունը և յուրաքանչյուր գործոն փոխարինելով մնացած գումարում | x j - Մ(X)| 2 թվով ե 2(այս դեպքում անհավասարությունը կարող է միայն աճել), ստանում ենք
Դ(X) ե 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)
Ըստ գումարման թեորեմի՝ հավանականությունների գումարը r k+ 1 + p k + 2 + … + р nհավանականություն կա, որ Xկվերցնի արժեքներից մեկը, անկախ նրանից, թե որն է x k + 1 , x k+ 2 ,....x p,և դրանցից որևէ մեկի համար շեղումը բավարարում է անհավասարությունը | x j - Մ(X)| եԴրանից բխում է, որ գումարը r k+ 1 + p k + 2 + … + р nարտահայտում է հավանականությունը
Պ(|X - Մ(X)| ե).
Այս նկատառումը մեզ թույլ է տալիս վերաշարադրել անհավասարությունը (**) հետևյալ կերպ.
Դ(X) e 2 P(|X - Մ(X)| ե),
Պ(|X - Մ(X)| ե)Դ(X) /ե 2 (***)
Փոխարինելով (***) (*)-ով, մենք վերջապես ստանում ենք
Պ(|X - Մ(X)| <ե) 1- Դ(X) /ե 2 ,
Ք.Ե.Դ.
Մեկնաբանություն. Չեբիշևի անհավասարությունը սահմանափակ գործնական նշանակություն ունի, քանի որ այն հաճախ տալիս է կոպիտ և երբեմն տրիվիալ (անհետաքրքիր) գնահատական: Օրինակ, եթե Դ(X)>է 2 և հետևաբար Դ(X)/ե 2 > 1 ապա 1 - Դ(X)/ե 2 < 0; Այսպիսով, այս դեպքում Չեբիշևի անհավասարությունը միայն ցույց է տալիս, որ շեղման հավանականությունը ոչ բացասական է, և դա արդեն ակնհայտ է, քանի որ ցանկացած հավանականություն արտահայտվում է ոչ բացասական թվով:
Չեբիշևի անհավասարության տեսական նշանակությունը շատ մեծ է։ Ստորև մենք կօգտագործենք այս անհավասարությունը Չեբիշևի թեորեմը հանելու համար։
Չեբիշևի թեորեմը
Չեբիշևի թեորեմը. Եթե X 1 , X 2 ,…, X n, ...-զույգերով անկախ պատահական փոփոխականներ, և դրանց շեղումները միատեսակ սահմանափակված են(չգերազանցել հաստատուն C թիվը), ապա որքան էլ փոքր է դրական e թիվը, անհավասարության հավանականությունը
Այսինքն՝ թեորեմի պայմաններում
Այսպիսով, Չեբիշևի թեորեմում ասվում է, որ եթե դիտարկվում են բավականաչափ մեծ թվով անկախ պատահական փոփոխականներ սահմանափակ շեղումներով, ապա իրադարձությունը կարելի է համարել գրեթե հուսալի, որը բաղկացած է նրանից, որ պատահական փոփոխականների միջին թվաբանականի շեղումը նրանց միջին թվաբանականից։ մաթեմատիկական ակնկալիքները կամայականորեն մեծ կլինեն բացարձակ արժեքով փոքր
Ապացույց. Եկեք հաշվի առնենք նոր պատահական փոփոխական՝ պատահական փոփոխականների միջին թվաբանականը
=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.
Գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը . Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները (հաստատուն գործոնը կարելի է հանել մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից, գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին), ստանում ենք.
Մ 
=
. (*)
Չեբիշևի անհավասարությունը մեծության վրա կիրառելով՝ մենք ունենք
Աջ կողմը (***) փոխարինելով անհավասարությամբ (**) (այդ իսկ պատճառով վերջինս կարող է միայն ամրապնդվել), մենք ունենք.
Այստեղից, անցնելով սահմանին ժամը , մենք ստանում ենք
Վերջապես, հաշվի առնելով, որ հավանականությունը չի կարող գերազանցել մեկից, վերջապես կարող ենք գրել
Թեորեմն ապացուցված է.
Վերևում Չեբիշևի թեորեմը ձևակերպելիս մենք ենթադրեցինք, որ պատահական փոփոխականները տարբեր մաթեմատիկական ակնկալիքներ ունեն: Գործնականում հաճախ է պատահում, որ պատահական փոփոխականներն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները։ Ակնհայտ է, որ եթե մենք կրկին ենթադրենք, որ այդ քանակների ցրվածությունը սահմանափակ է, ապա Չեբիշևի թեորեմը կիրառելի կլինի նրանց համար:
Նշենք պատահական փոփոխականներից յուրաքանչյուրի մաթեմատիկական ակնկալիքը Ա;դիտարկվող դեպքում մաթեմատիկական ակնկալիքների միջին թվաբանականը, ինչպես հեշտ է նկատել, նույնպես հավասար է. Ա.Մենք կարող ենք ձևակերպել Չեբիշևի թեորեմը կոնկրետ քննարկվող դեպքի համար։
Եթե X 1 , X 2 , ..., Հպ...-զույգերով անկախ պատահական փոփոխականներ, որոնք ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքը a, և եթե այդ փոփոխականների շեղումները միատեսակ սահմանափակ են, ապա որքան էլ փոքր լինի e թիվը.> Օ, անհավասարության հավանականությունը
այնքան մոտ կլինի միասնությանը, որքան ցանկալի է, եթե պատահական փոփոխականների թիվը բավականաչափ մեծ է:
Այսինքն՝ թեորեմի պայմաններում հավասարություն կլինի
Չեբիշևի թեորեմի էությունը
Ապացուցված թեորեմի էությունը հետևյալն է. չնայած առանձին անկախ պատահական փոփոխականները կարող են արժեքներ վերցնել իրենց մաթեմատիկական ակնկալիքներից հեռու, մեծ հավանականությամբ բավական մեծ թվով պատահական փոփոխականների թվաբանական միջինը վերցնում է որոշակի հաստատունին մոտ արժեքներ։ համարը, այն է համարը ( Մ(X 1)+ Մ(X 2)+...+Մ(X p))/Պ(կամ համարին Ահատուկ դեպքում): Այլ կերպ ասած, առանձին պատահական փոփոխականները կարող են զգալի տարածում ունենալ, և դրանց միջին թվաբանականը ցրված փոքր է:
Այսպիսով, չի կարելի վստահորեն կանխատեսել, թե պատահական փոփոխականներից յուրաքանչյուրը ինչ հնարավոր արժեք կընդունի, բայց կարելի է կանխատեսել, թե ինչ արժեք կընդունի դրանց միջին թվաբանականը:
Այսպիսով, բավականաչափ մեծ թվով անկախ պատահական փոփոխականների թվաբանական միջին(որի շեղումները միատեսակ սահմանափակված են) կորցնում է պատահական փոփոխականի բնույթը:Դա բացատրվում է նրանով, որ մեծություններից յուրաքանչյուրի շեղումները մաթեմատիկական ակնկալիքներից կարող են լինել և՛ դրական, և՛ բացասական, իսկ թվաբանական միջինում դրանք ջնջում են միմյանց։
Չեբիշևի թեորեմը վավեր է ոչ միայն դիսկրետ, այլև շարունակական պատահական փոփոխականների համար. նա պատահում է վառ օրինակ, հաստատելով պատահականության և անհրաժեշտության կապի մասին դիալեկտիկական մատերիալիզմի ուսմունքի վավերականությունը։
Ակնկալվող արժեքը. Մաթեմատիկական ակնկալիքդիսկրետ պատահական փոփոխական X, վերցնելով վերջավոր թվով արժեքներ Xեսհավանականությունների հետ Ռես, գումարը կոչվում է.
Մաթեմատիկական ակնկալիքշարունակական պատահական փոփոխական Xկոչվում է նրա արժեքների արտադրյալի ինտեգրալ Xհավանականության բաշխման խտության վրա զ(x):
(6բ)
Սխալ ինտեգրալ (6 բ) ենթադրվում է բացարձակ կոնվերգենտ (հակառակ դեպքում ասում են, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը Մ(X) գոյություն չունի)։ Մաթեմատիկական ակնկալիքը բնութագրում է միջին արժեքըպատահական փոփոխական X. Դրա չափը համընկնում է պատահական փոփոխականի չափի հետ։
Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.
Ցրվածություն. Տարբերությունպատահական փոփոխական Xհամարը կոչվում է.
Տարբերությունն է ցրման հատկանիշպատահական փոփոխական արժեքներ Xհամեմատ իր միջին արժեքի հետ Մ(X) Տարբերության չափը հավասար է պատահական փոփոխականի քառակուսու չափին: Ելնելով դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար դիսկրետ (8) և մաթեմատիկական ակնկալիքից (5) և շարունակական պատահական փոփոխականի համար (6) սահմանումներից, մենք ստանում ենք նման արտահայտություններ դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար.
(9)
Այստեղ մ = Մ(X).
Դիսպերսիոն հատկություններ.
Ստանդարտ շեղում.
(11)
Քանի որ չափման միջին քառակուսի շեղումնույնը, ինչ պատահական փոփոխականը, այն ավելի հաճախ օգտագործվում է որպես դիսպերսիայի չափ, քան դիսպերսիա:
Բաշխման պահերը. Մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսպերսիա հասկացությունները ավելի շատ հատուկ դեպքեր են ընդհանուր հայեցակարգպատահական փոփոխականների թվային բնութագրերի համար – բաշխման պահերը. Պատահական փոփոխականի բաշխման պահերը ներկայացվում են որպես պատահական փոփոխականի որոշ պարզ ֆունկցիաների մաթեմատիկական ակնկալիքներ։ Այսպիսով, պատվերի պահը կկետի համեմատ X 0-ը կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք Մ(X–X 0 )կ. Պահեր ծագման մասին X= 0 կոչվում են սկզբնական պահերըև նշանակված են.
(12)
Առաջին կարգի սկզբնական պահը դիտարկվող պատահական փոփոխականի բաշխման կենտրոնն է.
(13)
Պահեր բաշխման կենտրոնի մասին X= մկոչվում են կենտրոնական կետերև նշանակված են.
(14)
(7)-ից հետևում է, որ առաջին կարգի կենտրոնական պահը միշտ հավասար է զրոյի.
Կենտրոնական պահերը կախված չեն պատահական փոփոխականի արժեքների ծագումից, քանի որ այն տեղափոխվում է հաստատուն արժեքով. ՀԵՏդրա բաշխման կենտրոնը տեղաշարժվում է նույն արժեքով ՀԵՏ, իսկ կենտրոնից շեղումը չի փոխվում. X – մ = (X – ՀԵՏ) – (մ – ՀԵՏ).
Հիմա դա ակնհայտ է ցրվածություն- Սա երկրորդ կարգի կենտրոնական պահ:
Ասիմետրիա. Երրորդ կարգի կենտրոնական պահ.
(17)
ծառայում է գնահատման բաշխման ասիմետրիա. Եթե բաշխումը սիմետրիկ է կետի նկատմամբ X= մ, ապա երրորդ կարգի կենտրոնական պահը հավասար կլինի զրոյի (ինչպես կենտ կարգերի բոլոր կենտրոնական պահերը)։ Հետևաբար, եթե երրորդ կարգի կենտրոնական պահը տարբերվում է զրոյից, ապա բաշխումը չի կարող սիմետրիկ լինել։ Ասիմետրիայի մեծությունը գնահատվում է առանց հարթության անհամաչափության գործակիցը:
(18)
Ասիմետրիայի գործակցի նշանը (18) ցույց է տալիս աջ կամ ձախակողմյան ասիմետրիա (նկ. 2):
Բրինձ. 2. Բաշխման անհամաչափության տեսակները.
Ավելորդություն. Չորրորդ կարգի կենտրոնական պահ.
(19)
ծառայում է գնահատելու այսպես կոչված ավելցուկ, որը որոշում է բաշխման կորի կտրուկության (գագաթնակետի) աստիճանը բաշխման կենտրոնի մոտ նորմալ բաշխման կորի նկատմամբ։ Քանի որ նորմալ բաշխման համար որպես կուրտոզ ընդունված արժեքը հետևյալն է.
(20)
Նկ. Գծապատկեր 3-ը ցույց է տալիս բաշխման կորերի օրինակներ՝ տարբեր կուրտոզի արժեքներով: Նորմալ բաշխման համար Ե= 0. Կորերը, որոնք ավելի սրածայր են, քան նորմալ են, ունեն դրական կուրտոզ, նրանք, որոնք ավելի հարթ են՝ բացասական:
Բրինձ. 3. Բաշխման կորեր հետ տարբեր աստիճաններսառնություն (ավելորդ):
Ավելի բարձր կարգի պահեր ինժեներական կիրառություններում մաթեմատիկական վիճակագրությունսովորաբար չի օգտագործվում:
Նորաձևություն
դիսկրետպատահական փոփոխականը նրա ամենահավանական արժեքն է: Նորաձևություն շարունակականպատահական փոփոխականը նրա արժեքն է, որի դեպքում հավանականության խտությունը առավելագույնն է (նկ. 2): Եթե բաշխման կորը ունի մեկ առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է միամոդալ. Եթե բաշխման կորը ունի մեկից ավելի առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է մուլտիմոդալ. Երբեմն լինում են բաշխումներ, որոնց կորերն ունեն նվազագույնը, քան առավելագույնը: Նման բաշխումները կոչվում են հակամոդալ. IN ընդհանուր դեպքպատահական փոփոխականի ռեժիմը և մաթեմատիկական ակնկալիքը չեն համընկնում: Հատուկ դեպքում՝ համար մոդալ, այսինքն. ունենալով ռեժիմ, սիմետրիկ բաշխում և պայմանով, որ կա մաթեմատիկական ակնկալիք, վերջինս համընկնում է բաշխման համաչափության ռեժիմի և կենտրոնի հետ։
Միջին պատահական փոփոխական X- սա է դրա իմաստը Մեհ, որի համար գործում է հավասարություն, այսինքն. հավասարապես հավանական է, որ պատահական փոփոխականը Xկլինի քիչ կամ շատ Մեհ. Երկրաչափական առումով միջինայն կետի աբսցիսա է, որտեղ բաշխման կորի տակ գտնվող տարածքը կիսով չափ կիսվում է (նկ. 2): Սիմետրիկ մոդալ բաշխման դեպքում մեդիանը, եղանակը և մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն են:
