Ծառայության նպատակը. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է SLAE-ի ոչ աննշան և հիմնարար լուծում գտնելու համար: Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում (տես լուծման օրինակ):
Հրահանգներ. Ընտրեք մատրիցայի չափը.
Գծային միատարր հավասարումների համակարգերի հատկությունները
Որպեսզի համակարգը ունենա ոչ տրիվիալ լուծումներ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա մատրիցայի աստիճանը փոքր լինի անհայտների թվից։Թեորեմ. m=n դեպքում համակարգը ունի ոչ տրիվիալ լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի:
Թեորեմ. Համակարգի լուծումների ցանկացած գծային համակցություն նույնպես այդ համակարգի լուծումն է:
Սահմանում. Գծային միատարր հավասարումների համակարգի լուծումների բազմությունը կոչվում է լուծումների հիմնարար համակարգ, եթե այս բազմությունը բաղկացած է գծային անկախ լուծումներից, և համակարգի ցանկացած լուծում այս լուծումների գծային համակցությունն է։
Թեորեմ. Եթե համակարգի մատրիցայի r աստիճանը փոքր է անհայտների n թվից, ապա գոյություն ունի լուծումների հիմնարար համակարգ, որը բաղկացած է (n-r) լուծումներից:
Գծային միատարր հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ
- Գտնելով մատրիցայի աստիճանը:
- Մենք ընտրում ենք հիմնական անչափահասը: Տարբերում ենք կախյալ (հիմնական) և ազատ անհայտները։
- Մենք խաչում ենք համակարգի այն հավասարումները, որոնց գործակիցները ներառված չեն բազիս-մինորում, քանի որ դրանք մյուսների հետևանքներն են (ըստ հիմնարար մինորի թեորեմի):
- Մենք փոխանցում ենք ազատ անհայտներ պարունակող հավասարումների պայմանները աջ կողմ. Արդյունքում ստանում ենք r անհայտներով r հավասարումների համակարգ, որը համարժեք է տվյալին, որի որոշիչը զրոյական չէ։
- Ստացված համակարգը լուծում ենք անհայտները վերացնելով։ Մենք գտնում ենք կախված փոփոխականներ արտահայտող հարաբերություններ ազատների միջոցով:
- Եթե մատրիցայի աստիճանը հավասար չէ փոփոխականների թվին, ապա մենք գտնում ենք համակարգի հիմնարար լուծումը:
- Rang = n դեպքում մենք ունենք չնչին լուծում:
Օրինակ. Գտե՛ք վեկտորների համակարգի հիմքը (a 1, a 2,...,a m), դասավորե՛ք և արտահայտե՛ք վեկտորները հիմքի վրա: Եթե a 1 =(0,0,1,-1), և 2 =(1,1,2,0), և 3 =(1,1,1,1), և 4 =(3,2,1) ,4), և 5 =(2,1,0,3):
Եկեք գրենք համակարգի հիմնական մատրիցը.
3-րդ տողը բազմապատկեք (-3-ով): 3-րդին ավելացնենք 4-րդ տողը.
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4-րդ տողը բազմապատկեք (-2-ով): 5-րդ տողը բազմապատկենք (3-ով): 4-րդին ավելացնենք 5-րդ տողը.
Ավելացնենք 2-րդ տողը 1-ին.
Եկեք գտնենք մատրիցայի աստիճանը:
Այս մատրիցայի գործակիցներով համակարգը համարժեք է սկզբնական համակարգին և ունի ձև.
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Օգտագործելով անհայտները վերացնելու մեթոդը, մենք գտնում ենք ոչ տրիվիալ լուծում.
x 1 , x 2 , x 3 կախյալ փոփոխականներն արտահայտող հարաբերություններ ստացանք x 4 ազատների միջոցով, այսինքն՝ գտանք. ընդհանուր որոշում:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Գաուսի մեթոդն ունի մի շարք թերություններ. անհնար է իմանալ՝ համակարգը հետևողական է, թե ոչ, քանի դեռ չեն կատարվել Գաուսի մեթոդում անհրաժեշտ բոլոր փոխակերպումները. Գաուսի մեթոդը հարմար չէ տառային գործակից ունեցող համակարգերի համար։
Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման այլ մեթոդներ։ Այս մեթոդները օգտագործում են մատրիցային աստիճանի հայեցակարգը և ցանկացած հետևողական համակարգի լուծումը նվազեցնում են այն համակարգի լուծմանը, որի վրա կիրառվում է Քրամերի կանոնը։
Օրինակ 1.Գտեք ընդհանուր լուծում հաջորդ համակարգըգծային հավասարումներ՝ օգտագործելով կրճատված միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ և անհամասեռ համակարգի որոշակի լուծում։
1. Մատրիցայի պատրաստում Աև ընդլայնված համակարգի մատրիցա (1)
2. Ուսումնասիրեք համակարգը (1) միասնության համար. Դա անելու համար մենք գտնում ենք մատրիցների շարքերը Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">):Եթե պարզվի, որ , ապա համակարգը (1) անհամատեղելի. Եթե մենք դա ստանանք , ուրեմն այս համակարգը հետևողական է, և մենք այն կլուծենք։ (Համատեղելիության ուսումնասիրությունը հիմնված է Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմի վրա):
ա. Մենք գտնում ենք ՌԱ.
Գտնել ՌԱ, մենք կդիտարկենք մատրիցայի առաջին, երկրորդ և այլն կարգերի հաջորդականորեն ոչ զրոյական փոքրեր Աև նրանց շրջապատող անչափահասները։
M1=1≠0 (մենք վերցնում ենք 1-ը մատրիցայի վերին ձախ անկյունից Ա).
Մենք սահմանակից ենք M1այս մատրիցայի երկրորդ շարքը և երկրորդ սյունակը: 
. Մենք շարունակում ենք սահմանը M1երկրորդ տողը և երրորդ սյունակը..gif" width="37" height="20 src=">: Այժմ սահմանում ենք ոչ զրոյական փոքրը M2′երկրորդ կարգ.
Մենք ունենք: 
(քանի որ առաջին երկու սյունակները նույնն են)
(քանի որ երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են)։
Մենք դա տեսնում ենք rA=2, a-ն մատրիցայի հիմնական մինորն է Ա.
բ. Մենք գտնում ենք.
Բավականին հիմնական անչափահաս M2′մատրիցներ Աեզրագիծը ազատ տերմինների սյունակով և բոլոր տողերով (մենք ունենք միայն վերջին տողը):
. Դրանից բխում է, որ M3′′մնում է մատրիցայի հիմնական մինորը https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Որովհետեւ M2′- մատրիցայի հիմնական մինորը Ահամակարգեր (2) , ապա այս համակարգը համարժեք է համակարգին (3) , որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (2) (համար M2′գտնվում է A մատրիցի առաջին երկու շարքերում):
(3)
Հիմնական անչափահասից սկսած https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Այս համակարգում կան երկու ազատ անհայտներ ( x2 Եվ x4 ) Ահա թե ինչու FSR համակարգեր (4) բաղկացած է երկու լուծումից. Դրանք գտնելու համար մենք ազատ անհայտներ ենք տալիս (4) արժեքները նախ x2=1 , x4=0 , եւ հետո - x2=0 , x4=1 .
ժամը x2=1 , x4=0 մենք ստանում ենք.
.
Այս համակարգն արդեն ունի միակ բանը լուծում (այն կարելի է գտնել՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը կամ որևէ այլ մեթոդ): Առաջինը հանելով երկրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք.
Նրա լուծումը կլինի x1= -1 , x3=0 . Հաշվի առնելով արժեքները x2 Եվ x4 , որը մենք ավելացրեցինք, ստանում ենք համակարգի առաջին հիմնարար լուծումը (2) : .
Հիմա մենք հավատում ենք (4) x2=0 , x4=1 . Մենք ստանում ենք.
.
Մենք լուծում ենք այս համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի թեորեմը.
.
Մենք ստանում ենք համակարգի երկրորդ հիմնարար լուծումը (2) : .
Լուծումներ β1 , β2 և դիմահարդարվել FSR համակարգեր (2) . Հետո դրա ընդհանուր լուծումը կլինի
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Այստեղ C1 , C2 - կամայական հաստատուններ.
4. Եկեք գտնենք մեկը մասնավոր լուծում տարասեռ համակարգ(1) . Ինչպես պարբերությունում 3 , համակարգի փոխարեն (1) Դիտարկենք համարժեք համակարգ (5) , որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (1) .
(5)
Եկեք տեղափոխենք ազատ անհայտները դեպի աջ կողմեր x2Եվ x4.
(6)
Եկեք անվճար անհայտներ տանք x2 Եվ x4 կամայական արժեքներ, օրինակ, x2=2 , x4=1 և դրեք դրանք (6) . Եկեք ձեռք բերենք համակարգը
Այս համակարգն ունի եզակի լուծում (քանի որ իր որոշիչ M2′0) Լուծելով այն (օգտագործելով Քրամերի թեորեմը կամ Գաուսի մեթոդը), մենք ստանում ենք x1=3 , x3=3 . Հաշվի առնելով անվճար անհայտների արժեքները x2 Եվ x4 , ստանում ենք անհամասեռ համակարգի հատուկ լուծում(1)α1=(3,2,3,1).
5. Այժմ մնում է միայն գրել այն Անհամասեռ համակարգի α ընդհանուր լուծում(1) : այն հավասար է գումարին մասնավոր լուծումայս համակարգը և նրա կրճատված միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2):
Սա նշանակում է: 
(7)
6. Փորձաքննություն.Ստուգելու համար, արդյոք դուք ճիշտ եք լուծել համակարգը (1) , մեզ ընդհանուր լուծում է պետք (7) փոխարինել մեջ (1) . Եթե յուրաքանչյուր հավասարում վերածվում է նույնության ( C1 Եվ C2 պետք է ոչնչացվի), ապա լուծումը ճիշտ է գտնվել։
Մենք կփոխարինենք (7) օրինակ՝ համակարգի միայն վերջին հավասարումը (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Ստանում ենք՝ (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Որտեղ –1=–1. Մենք ինքնություն ստացանք։ Մենք դա անում ենք համակարգի մնացած բոլոր հավասարումներով (1) .
Մեկնաբանություն.Ստուգումը սովորաբար բավականին ծանր է: Կարելի է առաջարկել հետևյալ «մասնակի ստուգումը»՝ համակարգի ընդհանուր լուծման մեջ (1) որոշ արժեքներ վերագրեք կամայական հաստատուններին և ստացված մասնակի լուծումը փոխարինեք միայն մերժված հավասարումների մեջ (այսինքն՝ այդ հավասարումների մեջ. (1) , որոնք ներառված չեն եղել (5) ) Եթե դուք ինքնություն եք ստանում, ապա ավելի հավանական է, համակարգային լուծում (1) ճիշտ է գտնվել (բայց նման ստուգումը ճիշտության ամբողջական երաշխիք չի տալիս): Օրինակ, եթե ներս (7) դնել C2=- 1 , C1=1, ապա ստանում ենք՝ x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0: Փոխարինելով համակարգի վերջին հավասարմանը (1)՝ ունենք. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , այսինքն՝ –1=–1։ Մենք ինքնություն ստացանք։
Օրինակ 2.Գտեք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը (1) , հիմնական անհայտներն արտահայտելով ազատների տեսքով։
Լուծում.Ինչպես մեջ օրինակ 1, կազմել մատրիցներ Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> այս մատրիցներից: Այժմ թողնում ենք համակարգի միայն այդ հավասարումները. (1) , որի գործակիցները ներառված են այս հիմնական մինորում (այսինքն՝ մենք ունենք առաջին երկու հավասարումները) և դիտարկենք դրանցից բաղկացած համակարգ՝ համարժեք (1) համակարգին։
Եկեք տեղափոխենք ազատ անհայտները այս հավասարումների աջ կողմերում:
համակարգ (9) Լուծում ենք Գաուսի մեթոդով՝ աջ կողմերը համարելով ազատ եզրույթներ։
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Տարբերակ 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Տարբերակ 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Տարբերակ 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Տարբերակ 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Դաշտի վրա գծային հավասարումների համասեռ համակարգ
ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Հավասարումների համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ (1) իր լուծումների ոչ դատարկ գծային անկախ համակարգն է, որի գծային միջակայքը համընկնում է (1) համակարգի բոլոր լուծումների բազմության հետ:
Նկատի ունեցեք, որ գծային հավասարումների միատարր համակարգը, որն ունի միայն զրոյական լուծում, չունի լուծումների հիմնարար համակարգ:
ԱՌԱՋԱՐԿ 3.11. Գծային հավասարումների միատարր համակարգի լուծումների ցանկացած երկու հիմնարար համակարգեր բաղկացած են նույն թվով լուծումներից:
Ապացույց. Փաստորեն, (1) հավասարումների միատարր համակարգի լուծումների ցանկացած երկու հիմնարար համակարգեր համարժեք են և գծային անկախ: Հետևաբար, 1.12 առաջարկով նրանց շարքերը հավասար են։ Հետևաբար, մեկ հիմնարար համակարգում ընդգրկված լուծումների թիվը հավասար է լուծումների ցանկացած այլ հիմնարար համակարգում ներառված լուծումների քանակին:
Եթե (1) հավասարումների միատարր համակարգի հիմնական մատրիցը A-ն զրոյական է, ապա ցանկացած վեկտոր (1) համակարգի լուծումն է. այս դեպքում ցանկացած հավաքածու գծային է անկախ վեկտորներ-ը լուծումների հիմնարար համակարգ է: Եթե A մատրիցի սյունակի աստիճանը հավասար է, ապա (1) համակարգը ունի միայն մեկ լուծում՝ զրո; հետևաբար, այս դեպքում հավասարումների համակարգը (1) չունի լուծումների հիմնարար համակարգ։
ԹԵՈՐԵՄ 3.12. Եթե գծային հավասարումների միատարր համակարգի (1) հիմնական մատրիցայի աստիճանը փոքր է փոփոխականների թվից, ապա (1) համակարգը ունի հիմնարար լուծման համակարգ, որը բաղկացած է լուծումներից:
Ապացույց. Եթե համասեռ համակարգի (1) հիմնական մատրիցայի A աստիճանը հավասար է զրոյի կամ , ապա վերևում ցույց տրվեց, որ թեորեմը ճշմարիտ է։ Հետևաբար, ստորև ենթադրվում է, որ ենթադրելով , մենք կենթադրենք, որ A մատրիցայի առաջին սյունակները գծային անկախ են: Այս դեպքում A մատրիցը տողով համարժեք է կրճատված աստիճանական մատրիցին, իսկ համակարգը (1) համարժեք է հետևյալ կրճատված հավասարումների աստիճանական համակարգին.
Հեշտ է ստուգել, որ ցանկացած ազատ արժեքների համակարգ համակարգի փոփոխականներ(2) համապատասխանում է (2) համակարգի և, հետևաբար, (1) համակարգի մեկ և միայն մեկ լուծմանը: Մասնավորապես, միայն (2) և (1) համակարգի զրոյական լուծումն է համապատասխանում զրոյական արժեքների համակարգին։
Համակարգում (2) մենք կնշանակենք անվճարներից մեկը փոփոխականների արժեքը, հավասար է 1-ի, իսկ մնացած փոփոխականներն ունեն զրո արժեք։ Արդյունքում ստանում ենք (2) հավասարումների համակարգի լուծումները, որոնք գրում ենք հետևյալ C մատրիցի տողերի տեսքով.
Այս մատրիցայի շարքային համակարգը գծային անկախ է: Իրոք, հավասարությունից ցանկացած սկալերի համար
հետևում է հավասարությունը
և, հետևաբար, հավասարություն
Ապացուցենք, որ C մատրիցի տողերի համակարգի գծային միջակայքը համընկնում է (1) համակարգի բոլոր լուծումների բազմության հետ։
Համակարգի կամայական լուծում (1). Հետո վեկտորը
նույնպես լուծում է համակարգի (1), և
Թող Մ 0 – գծային հավասարումների համասեռ համակարգի (4) լուծումների բազմություն:
Սահմանում 6.12.Վեկտորներ Հետ 1 ,Հետ 2 , …, հետ p, որոնք գծային հավասարումների համասեռ համակարգի լուծումներ են կոչվում լուծումների հիմնարար հավաքածու(կրճատ FNR), եթե
1) վեկտորներ Հետ 1 ,Հետ 2 , …, հետ pգծային անկախ (այսինքն, դրանցից ոչ մեկը չի կարող արտահայտվել մյուսների առումով);
2) Գծային հավասարումների միատարր համակարգի ցանկացած այլ լուծում կարող է արտահայտվել լուծումներով Հետ 1 ,Հետ 2 , …, հետ p.
Նշենք, որ եթե Հետ 1 ,Հետ 2 , …, հետ p– ցանկացած f.n.r., ապա արտահայտությունը կ 1× Հետ 1 + կ 2× Հետ 2 + … + k p× հետ pկարող եք նկարագրել ամբողջ հավաքածուն Մ(4) համակարգի 0 լուծում, ուստի այն կոչվում է համակարգի լուծման ընդհանուր տեսակետը (4).
Թեորեմ 6.6.Գծային հավասարումների ցանկացած անորոշ համասեռ համակարգ ունի լուծումների հիմնարար հավաքածու:
Լուծումների հիմնարար փաթեթը գտնելու ճանապարհը հետևյալն է.
Գտեք գծային հավասարումների միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը.
Կառուցել ( n – r) այս համակարգի մասնակի լուծումները, մինչդեռ ազատ անհայտների արժեքները պետք է կազմեն ինքնության մատրիցա.
Դուրս գրել ընդհանուր ձևլուծումներ, որոնք ներառված են Մ 0 .
Օրինակ 6.5.Գտեք լուծումների հիմնարար հավաքածու հետևյալ համակարգի համար.
Լուծում. Եկեք ընդհանուր լուծում գտնենք այս համակարգի համար:
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Այս համակարգում կան հինգ անհայտներ ( n= 5), որոնցից կան երկու հիմնական անհայտներ ( r= 2), կան երեք անվճար անհայտներ ( n – r), այսինքն՝ հիմնարար լուծումների բազմությունը պարունակում է լուծման երեք վեկտոր։ Եկեք կառուցենք դրանք: Մենք ունենք x 1 և x 3 - հիմնական անհայտները, x 2 , x 4 , x 5 – անվճար անհայտներ
Ազատ անհայտների արժեքները x 2 , x 4 , x 5 ձևավորեք ինքնության մատրիցը Եերրորդ կարգ. Ստացա այդ վեկտորները Հետ 1 ,Հետ 2 , Հետ 3 ձև f.n.r. այս համակարգի. Այնուհետեւ այս միատարր համակարգի լուծումների հավաքածուն կլինի Մ 0 = {կ 1× Հետ 1 + կ 2× Հետ 2 + կ 3× Հետ 3 , կ 1 , կ 2 , կ 3 О R).
Այժմ պարզենք գծային հավասարումների միատարր համակարգի ոչ զրոյական լուծումների գոյության պայմանները, այլ կերպ ասած՝ լուծումների հիմնարար բազմության գոյության պայմանները։
Գծային հավասարումների համասեռ համակարգը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, այսինքն՝ անորոշ է, թե
1) համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը փոքր է անհայտների թվից.
2) գծային հավասարումների միատարր համակարգում հավասարումների թիվը փոքր է անհայտների թվից.
3) եթե գծային հավասարումների միատարր համակարգում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, իսկ հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի (այսինքն | Ա| = 0).
Օրինակ 6.6. Պարամետրի ինչ արժեքով ագծային հավասարումների միատարր համակարգ 
ունի ոչ զրոյական լուծումներ.
Լուծում. Կազմենք այս համակարգի հիմնական մատրիցը և գտնենք դրա որոշիչը՝ = = 1×(–1) 1+1 × = – Ա– 4. Այս մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի ա = –4.
Պատասխանել: –4.
7. Թվաբանություն n- ծավալային վեկտորային տարածություն
Հիմնական հասկացություններ
Նախորդ բաժիններում մենք արդեն հանդիպել ենք որոշակի հերթականությամբ դասավորված իրական թվերի բազմության հասկացությանը: Սա տողերի մատրից է (կամ սյունակային մատրիցա) և գծային հավասարումների համակարգի լուծում nանհայտ. Այս տեղեկատվությունը կարելի է ամփոփել.
Սահմանում 7.1. n-ծավալային թվաբանական վեկտորկոչվում է պատվիրված հավաքածու nիրական թվեր.
Միջոցներ Ա= (a 1, a 2, ..., a n), որտեղ ա եսО R, ես = 1, 2, …, n- վեկտորի ընդհանուր տեսքը: Թիվ nկանչեց հարթությունվեկտորներ և թվեր ա եսկոչվում են նրա կոորդինատները.
Օրինակ: Ա= (1, –8, 7, 4, ) – հնգչափ վեկտոր։
Ամբողջը պատրաստ է n-չափային վեկտորները սովորաբար նշվում են որպես Rn.
Սահմանում 7.2.Երկու վեկտոր Ա= (a 1, a 2, ..., a n) Եվ բ= (բ 1, բ 2, …, բ n) նույն չափի հավասարեթե և միայն, եթե դրանց համապատասխան կոորդինատները հավասար են, այսինքն՝ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= բ n.
Սահմանում 7.3.Գումարըերկու n- ծավալային վեկտորներ Ա= (a 1, a 2, ..., a n) Եվ բ= (բ 1, բ 2, …, բ n) կոչվում է վեկտոր ա + բ= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ բ n).
Սահմանում 7.4. Աշխատանքըիրական թիվ կդեպի վեկտոր Ա= (a 1, a 2, ..., a n) կոչվում է վեկտոր կ× Ա = (կ× a 1, կ×a 2, …, կ×ա n)
Սահմանում 7.5.Վեկտոր Օ= (0, 0, …, 0) կոչվում է զրո(կամ զրոյական վեկտոր).
Հեշտ է ստուգել, որ վեկտորների գումարման և իրական թվով բազմապատկելու գործողությունները (գործողությունները) ունեն հետևյալ հատկությունները. ա, բ, գ Î Rn, " կ, լО R:
1) ա + բ = բ + ա;
2) ա + (բ+ գ) = (ա + բ) + գ;
3) ա + Օ = ա;
4) ա+ (–ա) = Օ;
5) 1× ա = ա, 1 О R;
6) կ×( լ× ա) = լ×( կ× ա) = (լ× կ)× ա;
7) (կ + լ)× ա = կ× ա + լ× ա;
8) կ×( ա + բ) = կ× ա + կ× բ.
Սահմանում 7.6.Մի փունջ Rnվեկտորների գումարման և դրա վրա տրված իրական թվով բազմապատկելու գործողություններով կոչվում է թվաբանական n-չափ վեկտորային տարածություն.
