Տրված է շարունակական պատահական x փոփոխական: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

9. Շարունակական պատահական արժեք, նրա թվային բնութագրերը

Շարունակական պատահական փոփոխականը կարող է սահմանվել երկու ֆունկցիայի միջոցով: X պատահական փոփոխականի ինտեգրալ հավանականության բաշխման ֆունկցիակոչվում է հավասարությամբ սահմանված ֆունկցիա
.

Ինտեգրալ ֆունկցիան տալիս է ընդհանուր մեթոդինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական պատահական փոփոխականների նշանակումներ: Շարունակական պատահական փոփոխականի դեպքում. Բոլոր իրադարձությունները. ունեն նույն հավանականությունը, որը հավասար է այս միջակայքում ինտեգրալ ֆունկցիայի ավելացմանը, այսինքն. Օրինակ, օրինակ 26-ում նշված դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար մենք ունենք.

Այսպիսով, դիտարկվող ֆունկցիայի ինտեգրալ ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքին զուգահեռ երկու ճառագայթների և երեք հատվածների միություն է։

Օրինակ 27. Շարունակական պատահական X փոփոխականը որոշվում է ինտեգրալ հավանականության բաշխման ֆունկցիայով

.

Կառուցեք ինտեգրալ ֆունկցիայի գրաֆիկը և գտեք հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում X պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի (0,5;1,5) միջակայքում։

Լուծում. Ընդմիջման վրա
գրաֆիկը ուղիղ գիծ է y = 0: 0-ից 2-ի միջակայքում կա պարաբոլա, որը տրված է հավասարմամբ.
. Ընդմիջման վրա
Գրաֆիկը ուղիղ գիծ է y = 1:

Հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը թեստի արդյունքում արժեք կընդունի (0,5;1,5) միջակայքում, հայտնաբերվում է բանաձևով:

Այսպիսով, .

Հավանականության ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները.

Հարմար է նշել շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ օգտագործելով մեկ այլ ֆունկցիա, այն է՝ հավանականության խտության ֆունկցիա
.

Հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականի կողմից ընդունված արժեքը ընկնում է միջակայքում
, որոշվում է հավասարությամբ
.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է բաշխման կորը. Երկրաչափորեն, X պատահական փոփոխականի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի տարածքին, որը սահմանափակվում է բաշխման կորով, Ox առանցքով և ուղիղ գծերով:
.

Հավանականության խտության ֆունկցիայի հատկությունները.

9.1. Շարունակական պատահական փոփոխականների թվային բնութագրերը

Ակնկալվող արժեքըՇարունակական պատահական X փոփոխականի (միջին արժեքը) որոշվում է հավասարությամբ
.

M(X)-ը նշանակվում է Ա. Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նման է դիսկրետ քանակություն, հատկություններ:

Տարբերությունկոչվում է դիսկրետ պատահական X փոփոխական ակնկալվող արժեքըպատահական փոփոխականի շեղման քառակուսին իր մաթեմատիկական ակնկալիքից, այսինքն. . Շարունակական պատահական փոփոխականի համար շեղումը տրվում է բանաձևով
.

Դիսպերսիան ունի հետևյալ հատկությունները.

Վերջին հատկությունը շատ հարմար է շարունակական պատահական փոփոխականի շեղումը գտնելու համար։

Նմանապես ներկայացվում է ստանդարտ շեղման հայեցակարգը: Շարունակականի ստանդարտ շեղումը X պատահական փոփոխականը կոչվում է դիսպերսիայի քառակուսի արմատ, այսինքն.
.

Օրինակ 28. Շարունակական պատահական X փոփոխականը որոշվում է հավանականության խտության ֆունկցիայով
միջակայքում (10;12), այս միջակայքից դուրս ֆունկցիայի արժեքը 0 է։ Գտե՛ք 1) պարամետրի արժեքը։ Ա, 2) մաթեմատիկական ակնկալիք M(X), շեղում
, ստանդարտ շեղում, 3) ինտեգրալ ֆունկցիա
և կառուցել ինտեգրալ և դիֆերենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկներ:

1). Պարամետր գտնելու համար Աօգտագործել բանաձեւը
. Մենք կստանանք այն: Այսպիսով,
.

2). Մաթեմատիկական ակնկալիքը գտնելու համար օգտագործում ենք բանաձևը՝ , որից բխում է
.

Տարբերությունը կգտնենք բանաձևով.
, այսինքն. .

Գտնենք ստանդարտ շեղումը` օգտագործելով բանաձևը, որից ստանում ենք դա
.

3). Ինտեգրալ ֆունկցիան արտահայտվում է հավանականության խտության ֆունկցիայի միջոցով հետևյալ կերպ.
. Հետևաբար,
ժամը
, = 0 ժամը
u = 1 ժամը
.

Այս ֆունկցիաների գրաֆիկները ներկայացված են Նկ. 4. և նկ. 5.

Նկ.4 Նկ.5.

9.2. Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության միասնական բաշխում

Շարունակական պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխում հավասարաչափինտերվալի վրա, եթե դրա հավանականության խտությունը հաստատուն է այս միջակայքում և հավասար է զրոյի այս միջակայքից դուրս, այսինքն. . Հեշտ է դա ցույց տալ այս դեպքում
.

Եթե ​​միջակայքը
պարունակվում է միջակայքում, ապա
.

Օրինակ 29.Ակնթարթային ազդանշանային իրադարձություն պետք է տեղի ունենա ժամը մեկից մինչև ժամը հինգը: Ազդանշանի սպասման ժամանակը X պատահական փոփոխական է: Գտեք հավանականությունը, որ ազդանշանը կհայտնաբերվի կեսօրից հետո ժամը երկուսից մինչև երեքը:

Լուծում. Պատահական X փոփոխականն ունի միատեսակ բաշխում, և օգտագործելով բանաձևը մենք գտնում ենք, որ հավանականությունը, որ ազդանշանը կլինի ցերեկվա ժամը 2-ից 3-ը, հավասար է.
.

Ուսումնական և այլ գրականության մեջ այն հաճախ նշվում է գրականության միջոցով
.

9.3. Շարունակական պատահական փոփոխականի նորմալ հավանականության բաշխում

Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը կոչվում է նորմալ, եթե դրա հավանականության բաշխման օրենքը որոշվում է հավանականության խտությամբ:
. Նման քանակությամբ Ա- ակնկալվող արժեքը,
- ստանդարտ շեղում.

Թեորեմ. Սովորաբար բաշխված շարունակական պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը
որոշվում է բանաձևով
, Որտեղ
- Լապլասի ֆունկցիան.

Այս թեորեմի հետևանքն է երեքի կանոնսիգմա, այսինքն. Գրեթե վստահ է, որ նորմալ բաշխված, շարունակական պատահական X փոփոխականն իր արժեքները վերցնում է միջակայքում
. Այս կանոնը կարելի է բխել բանաձևից
, որը ձևակերպված թեորեմի հատուկ դեպք է։

Օրինակ 30.Հեռուստացույցի գործառնական կյանքը պատահական X փոփոխական է, որը ենթակա է բաշխման նորմալ օրենքին, հետ երաշխիքային ժամկետ 15 տարի և 3 տարի ստանդարտ շեղում: Գտեք հավանականությունը, որ հեռուստացույցը կծառայի 10-ից 20 տարի:

Լուծում. Ըստ խնդրի պայմանների՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը Ա= 15, ստանդարտ շեղում:

Եկեք գտնենք . Այսպիսով, հեռուստացույցի 10-ից 20 տարի աշխատելու հավանականությունը 0,9-ից ավելի է։

9.4 Չեբիշևի անհավասարությունը

Առաջանում է Չեբիշևի լեմման. Եթե ​​պատահական X փոփոխականը վերցնում է միայն ոչ բացասական արժեքներ և ունի մաթեմատիկական ակնկալիք, ապա ցանկացած դրական Վ
.

Հաշվի առնելով, որ որպես հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումար, մենք ստանում ենք այն
.

Չեբիշևի թեորեմը. Եթե ​​X պատահական փոփոխականն ունի վերջավոր շեղում
և մաթեմատիկական ակնկալիք M(X), ապա ցանկացած դրականի համար անհավասարությունը ճիշտ է
.

Այստեղից հետևում է, որ
.

Օրինակ 31.Արտադրվել է մասերի խմբաքանակ։ Մասերի միջին երկարությունը 100 սմ է, իսկ ստանդարտ շեղումը 0,4 սմ։ Ստորև հաշվարկեք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն վերցված մասի երկարությունը կլինի առնվազն 99 սմ: և ոչ ավելի, քան 101 սմ:

Լուծում. Տարբերություն. Մաթեմատիկական ակնկալիքը 100 է: Հետևաբար, ստորև գնահատել տվյալ իրադարձության հավանականությունը.
կիրառենք Չեբիշևի անհավասարությունը, որում
, Հետո
.

10. Մաթեմատիկական վիճակագրության տարրեր

Վիճակագրական ագրեգատանվանել միատարր առարկաների կամ երևույթների մի շարք. Թիվ ՊԱյս հավաքածուի տարրերը կոչվում են հավաքածուի ծավալ: Դիտարկված արժեքներ X հատկանիշը կոչվում է տարբերակները. Եթե ​​տարբերակները դասավորված են աճող հաջորդականությամբ, ապա մենք ստանում ենք դիսկրետ տատանումների շարք. Խմբավորման դեպքում տարբերակն ըստ ինտերվալների ստացվում է ինտերվալային տատանումների շարք. Տակ հաճախականությունը tբնորոշ արժեքները հասկանում են տվյալ տարբերակով բնակչության անդամների թիվը:

Վիճակագրական բնակչության հաճախականության և ծավալի հարաբերակցությունը կոչվում է հարաբերական հաճախականություննշան:
.

Ընտրանքների միջև փոխհարաբերությունները տատանումների շարքև դրանց հաճախականությունները կոչվում են նմուշի վիճակագրական բաշխումը. Վիճակագրական բաշխման գրաֆիկական ներկայացումը կարող է լինել բազմանկյունհաճախականությունը

Օրինակ 32.Առաջին կուրսի 25 ուսանողների հարցումների արդյունքում ստացվել են նրանց տարիքի վերաբերյալ հետևյալ տվյալները.
. Կազմել վիճակագրական բաշխումսովորողներն ըստ տարիքի, գտնել տատանումների տիրույթը, կառուցել հաճախականության բազմանկյուն և կազմել հարաբերական հաճախությունների բաշխումների շարք:

Լուծում. Օգտագործելով հարցումից ստացված տվյալները՝ մենք կստեղծենք ընտրանքի վիճակագրական բաշխում

Տարբերակման նմուշի միջակայքը 23 – 17 = 6 է: Հաճախականության բազմանկյուն կառուցելու համար կառուցեք կետեր կոորդինատներով:
և միացրեք դրանք շարքով:

Հարաբերական հաճախականության բաշխման շարքը ունի ձև.

10.1. Վարիացիոն շարքի թվային բնութագրերը

Թող նմուշը տրվի X հատկանիշի հաճախականությունների բաշխումների շարքով.

Բոլոր հաճախականությունների գումարը հավասար է Պ.

Նմուշի միջին թվաբանականըանվանեք քանակը
.

Տարբերությունկամ X բնութագրիչի արժեքների ցրման չափը նրա թվաբանական միջինի նկատմամբ կոչվում է արժեք.
. Ստանդարտ շեղումը շեղման քառակուսի արմատն է, այսինքն. .

Ստանդարտ շեղման հարաբերակցությունը նմուշի միջին թվաբանականին, արտահայտված որպես տոկոս, կոչվում է. տատանումների գործակից:
.

Էմպիրիկ հարաբերական հաճախականության բաշխման ֆունկցիականչել ֆունկցիա, որը յուրաքանչյուր արժեքի համար որոշում է իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը
, այսինքն.
, Որտեղ - տարբերակների քանակը, ավելի փոքր X, Ա Պ- նմուշի չափը.

Օրինակ 33.Օրինակ 32-ի պայմաններում գտե՛ք թվային բնութագրերը
.

Լուծում. Եկեք գտնենք նմուշի միջին թվաբանականը՝ օգտագործելով բանաձևը, ապա .

X հատկանիշի շեղումը հայտնաբերվում է բանաձևով՝ , այսինքն. Նմուշի ստանդարտ շեղումն է
. Տատանումների գործակիցն է
.

10.2. Հավանականության գնահատում հարաբերական հաճախականությամբ: Վստահության միջակայք

Թող դա իրականացվի Պանկախ փորձարկումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում Ա իրադարձության առաջացման հավանականությունը հաստատուն է և հավասար Ռ. Այս դեպքում, հավանականությունը, որ հարաբերական հաճախականությունը կտարբերվի A-ի իրադարձության առաջացման հավանականությունից յուրաքանչյուր փորձարկումում բացարձակ արժեքով, ոչ ավելի, քան , մոտավորապես հավասար է Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի կրկնակի արժեքին.
.

Ինտերվալների գնահատումզանգահարել այնպիսի գնահատական, որը որոշվում է երկու թվերով, որոնք հանդիսանում են վիճակագրական բնակչության գնահատված պարամետրը ծածկող միջակայքի վերջերը:

Վստահության միջակայքկոչվում է ինտերվալ, որը տրվածի հետ վստահության հավանականությունը ընդգրկում է վիճակագրական բնակչության գնահատված պարամետրը: Հաշվի առնելով բանաձեւը, որով փոխարինում ենք անհայտ մեծությունը Ռիր մոտավոր արժեքին Ընտրանքային տվյալների հիման վրա մենք ստանում ենք.
. Այս բանաձևը օգտագործվում է հավանականությունը հարաբերական հաճախականությամբ գնահատելու համար: Թվեր
Եվ
կոչվում է ստորին և, համապատասխանաբար, վերին վստահության սահմանները, - առավելագույն սխալը տվյալ վստահության հավանականության համար
.

Օրինակ 34. Գործարանի արտադրամասը լամպեր է արտադրում։ 625 լամպերի ստուգման ժամանակ հայտնաբերվել է 40-ի անսարքություն։ Գտեք 0,95 վստահության հավանականությամբ այն սահմանները, որոնցում գտնվում է գործարանի արտադրամասի կողմից արտադրված թերի լամպերի տոկոսը:

Լուծում. Ըստ առաջադրանքի պայմանների. Մենք օգտագործում ենք բանաձևը
. Օգտագործելով հավելվածի Աղյուսակ 2-ը, մենք գտնում ենք այն փաստարկի արժեքը, որում Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի արժեքը հավասար է 0,475-ի: Մենք դա հասկանում ենք
. Այսպիսով, . Ուստի 0,95 հավանականությամբ կարող ենք ասել, որ արտադրամասի կողմից արտադրված արատների տեսակարար կշիռը մեծ է, այն է՝ տատանվում է 6,2%-ից մինչև 6,6%։

10.3. Պարամետրերի գնահատումը վիճակագրության մեջ

Թող ուսումնասիրվող ամբողջ բնակչության քանակական բնութագիրը X ( բնակչությունը) Այն ունի նորմալ բաշխում.

Եթե ​​ստանդարտ շեղումը հայտնի է, ապա վստահության միջակայքը, ծածկելով մաթեմատիկական ակնկալիքը Ա

, Որտեղ Պ- նմուշի չափը, - միջին թվաբանական նմուշ, տԼապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի արգումենտն է, որում
. Այս դեպքում համարը
կոչվում է գնահատման ճշգրտություն:

Եթե ​​ստանդարտ շեղումը անհայտ է, ապա ընտրանքի տվյալներից կարելի է կառուցել պատահական փոփոխական, որն ունի Ուսանողի բաշխում. Պ– 1 աստիճան ազատություն, որը որոշվում է միայն մեկ պարամետրով Պև կախված չէ անհայտներից ԱԵվ . Ուսանողի t-բաշխում նույնիսկ փոքր նմուշների համար
տալիս է բավականին գոհացուցիչ գնահատականներ։ Այնուհետև մաթեմատիկական ակնկալիքը ծածկող վստահության միջակայքը Ատվյալ հատկանիշի վստահության հավանականությունը հայտնաբերվում է պայմանից

, որտեղ S-ն ուղղված արմատի միջին քառակուսին է, - Ուսանողի գործակիցը` հայտնաբերված տվյալներից
հավելվածի 3-րդ աղյուսակից։

Վստահության ինտերվալը, որը ծածկում է այս հատկանիշի ստանդարտ շեղումը վստահության հավանականությամբ, գտնվում է բանաձևերի միջոցով՝ և, որտեղ
հայտնաբերված արժեքների աղյուսակից ք համաձայն .

10.4. Պատահական փոփոխականների միջև կախվածության ուսումնասիրության վիճակագրական մեթոդներ

Y-ի հարաբերական կախվածությունը X-ից պայմանական միջինի ֆունկցիոնալ կախվածությունն է -ից X.Հավասարումը
ներկայացնում է Y-ի ռեգրեսիոն հավասարումը X-ի վրա, և
- X-ի ռեգրեսիոն հավասարումը Y-ի վրա:

Հարաբերակցության կախվածությունը կարող է լինել գծային կամ կորագիծ: Գծային հարաբերակցության կախվածության դեպքում ուղիղ ռեգրեսիոն գծի հավասարումն ունի ձև.
, որտեղ լանջը Ա X-ի վրա Y ռեգրեսիայի ուղիղ գիծը կոչվում է օրինակելի ռեգրեսիայի գործակից Y X-ի վրա և նշվում է
.

Փոքր նմուշների համար տվյալները խմբավորված չեն, պարամետրերը
հայտնաբերվում են ըստ մեթոդի նվազագույն քառակուսիներընորմալ հավասարումների համակարգից.

, Որտեղ Պ- փոխկապակցված մեծությունների զույգերի արժեքների դիտարկումների քանակը:

Ընտրովի գծային գործակիցհարաբերակցություններ ցույց է տալիս Y-ի և X-ի միջև սերտ կապը: Հարաբերակցության գործակիցը հայտնաբերվում է բանաձևով
, և
, այսինքն:

X-ի վրա Y ուղիղ ռեգրեսիոն գծի օրինակելի հավասարումը ունի ձև.

.

X և Y բնութագրերի մեծ թվով դիտարկումներով կազմվում է երկու մուտքով հարաբերակցության աղյուսակ՝ նույն արժեքով. Xնկատել անգամ, նույն իմաստով ժամընկատել անգամ, նույն զույգը
նկատել մեկ անգամ.

Օրինակ 35.Տրված է X և Y նշանների դիտարկումների աղյուսակ:

Գտե՛ք X-ի վրա Y ուղիղ ռեգրեսիոն գծի օրինակելի հավասարումը:

Լուծում. Ուսումնասիրված բնութագրերի միջև կապը կարող է արտահայտվել X-ի վրա Y-ի ռեգրեսիայի ուղիղ գծի հավասարմամբ. Հավասարման գործակիցները հաշվարկելու համար մենք կստեղծենք հաշվարկային աղյուսակ.

Դիտարկում թիվ.

Գլուխ 6. Շարունակական պատահական փոփոխականներ.

§ 1. Շարունակական պատահական փոփոխականի խտության և բաշխման ֆունկցիա:

Շարունակական պատահական փոփոխականի արժեքների բազմությունը անհաշվելի է և սովորաբար ներկայացնում է որոշակի վերջավոր կամ անսահման միջակայք:

Հավանականության տարածությունում (W, S, P) սահմանված x(w) պատահական փոփոխականը կոչվում է շարունակական(բացարձակապես շարունակական) W, եթե կա այնպիսի ոչ բացասական ֆունկցիա, որ ցանկացած x-ի համար Fx(x) բաշխման ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես ինտեգրալ

Ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա հավանականության բաշխման խտությունները.

Սահմանումը ենթադրում է բաշխման խտության ֆունկցիայի հատկությունները.

1..gif" width="97" height="51">

3. Շարունակության կետերում բաշխման խտությունը հավասար է բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալին.

4. Բաշխման խտությունը որոշում է պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, քանի որ այն որոշում է պատահական փոփոխականի՝ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը.

5. Հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը որոշակի արժեք կընդունի, զրո է. Հետևաբար, վավեր են հետևյալ հավասարումները.

Բաշխման խտության ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է բաշխման կորը, և բաշխման կորով և x առանցքով սահմանափակված տարածքը հավասար է միասնության։ Այնուհետև, երկրաչափորեն, Fx(x) բաշխման ֆունկցիայի արժեքը x0 կետում այն ​​տարածքն է, որը սահմանափակված է բաշխման կորով և x առանցքով և ընկած է x0 կետից ձախ:

Առաջադրանք 1.Շարունակական պատահական փոփոխականի խտության ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը.

Որոշե՛ք C հաստատունը, կառուցե՛ք Fx(x) բաշխման ֆունկցիան և հաշվարկե՛ք հավանականությունը։

Լուծում. C հաստատունը գտնում ենք այն պայմանից, որ ունենք.

որտեղից C=3/8.

Fx(x) բաշխման ֆունկցիան կառուցելու համար նշեք, որ միջակայքը x արգումենտի արժեքների միջակայքը (թվային առանցք) բաժանում է երեք մասի. https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

քանի որ x խտությունը կիսաառանցքի վրա զրո է։ Երկրորդ դեպքում

Վերջապես, վերջին դեպքում, երբ x>2,

Քանի որ խտությունը անհետանում է կիսաառանցքի վրա: Այսպիսով, ստացվում է բաշխման ֆունկցիան

Հավանականություն Եկեք հաշվարկենք բանաձևով. Այսպիսով,

§ 2. Շարունակական պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը

Ակնկալվող արժեքըշարունակաբար բաշխված պատահական փոփոխականների համար որոշվում է https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> բանաձեւով,

եթե աջ կողմի ինտեգրալը բացարձակապես համընկնում է:

Ցրվածություն x-ը կարելի է հաշվարկել բանաձևով , և նաև, ինչպես դիսկրետ դեպքում, ըստ https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> բանաձևի:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար տրված 5-րդ գլխում տրված մաթեմատիկական ակնկալիքների և դիսպերսիայի բոլոր հատկությունները վավեր են նաև շարունակական պատահական փոփոխականների համար:

Խնդիր 2. Խնդիր 1-ից x պատահական փոփոխականի համար հաշվարկեք մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը .

Լուծում.

Իսկ դա նշանակում է

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Խտության գրաֆիկ միասնական բաշխումտես նկ. .

Նկ.6.2. Բաշխման ֆունկցիա և բաշխման խտություն: միասնական օրենք

Միատեսակ բաշխված պատահական փոփոխականի Fx(x) բաշխման ֆունկցիան հավասար է

Fx(x)=

Ակնկալիքներ և շեղումներ; .

Էքսպոնենցիալ (էքսպոնենցիալ) բաշխում.Շարունակական պատահական փոփոխական x, որը վերցնում է ոչ բացասական արժեքներ, ունի էքսպոնենցիալ բաշխում l>0 պարամետրով, եթե պատահական փոփոխականի հավանականության խտության բաշխումը հավասար է.

рx(x)=

Բրինձ. 6.3. Էքսպոնենցիալ օրենքի բաշխման ֆունկցիա և բաշխման խտություն:

Էքսպոնենցիալ բաշխման բաշխման ֆունկցիան ունի ձև

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> և եթե դրա բաշխման խտությունը հավասար է

.

Through-ը նշանակում է բոլոր պատահական փոփոխականների բազմությունը, որոնք բաշխված են սովորական օրենքի համաձայն՝ պարամետրերի պարամետրերով և .

Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան հավասար է

.

Բրինձ. 6.4. Բաշխման ֆունկցիա և նորմալ բաշխման խտություն

Նորմալ բաշխման պարամետրերը մաթեմատիկական ակնկալիքներն են https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Այն հատուկ դեպքում, երբ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> նորմալ բաշխումը կոչվում է. ստանդարտ, և նման բաշխումների դասը նշվում է https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

և բաշխման ֆունկցիան

Նման ինտեգրալը չի ​​կարող վերլուծական հաշվարկվել (այն չի վերցվում «քառակուսիներով»), ուստի ֆունկցիայի համար կազմվել են աղյուսակներ։ Ֆունկցիան կապված է 4-րդ գլխում ներկայացված Լապլասի ֆունկցիայի հետ

,

հետևյալ առնչությամբ . Պարամետրերի կամայական արժեքների դեպքում https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան կապված է Laplace ֆունկցիայի հետ՝ օգտագործելով հարաբերությունը.

.

Հետևաբար, նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարող է հաշվարկվել բանաձևով.

.

Ոչ բացասական պատահական x փոփոխականը կոչվում է լոգնորմալ բաշխված, եթե նրա h=lnx լոգարիթմը ենթարկվում է նորմալ օրենքին։ Լոգնորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի ակնկալվող արժեքը և շեղումը Mx= և Dx= են:

Առաջադրանք 3.Թող տրվի պատահական փոփոխական https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">:

Լուծում.Այստեղ https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Լապլասի բաշխումտրված է fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> ֆունկցիայով, իսկ կարճությունը gx=3 է։

Նկ.6.5. Լապլասի բաշխման խտության ֆունկցիա:

Պատահական x փոփոխականը բաշխված է Վեյբուլի օրենքը, եթե այն ունի բաշխման խտության ֆունկցիա, որը հավասար է https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibull բաշխումը կարգավորում է բազմաթիվ տեխնիկական սարքերի առանց խափանումների շահագործման ժամկետները: Այս պրոֆիլի առաջադրանքներում կարևոր հատկանիշ t տարիքի ուսումնասիրված տարրերի ձախողման գործակիցը (մահացության գործակիցը) l(t) է, որը որոշվում է l(t)= հարաբերակցությամբ: Եթե ​​a=1, ապա Վեյբուլի բաշխումը վերածվում է էքսպոնենցիալ բաշխման, իսկ եթե a=2՝ այսպես կոչված բաշխման. Ռեյլի.

Վեյբուլի բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը. գործառույթը.

IN տարբեր առաջադրանքներԿիրառական վիճակագրության մեջ հաճախ հանդիպում են այսպես կոչված «կտրված» բաշխումներ: Օրինակ, հարկային մարմինները շահագրգռված են այն ֆիզիկական անձանց եկամուտների բաշխմամբ, որոնց տարեկան եկամուտը գերազանցում է հարկային օրենսդրությամբ սահմանված c0 շեմը: Պարզվում է, որ այս բաշխումները մոտավորապես համընկնում են Պարետոյի բաշխման հետ։ Պարետոյի բաշխումտրված է ֆունկցիաներով

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> պատահական x փոփոխականի և միապաղաղ դիֆերենցիալ ֆունկցիայի ..gif" width="200" height="51">

Այստեղ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">:

Առաջադրանք 4.Պատահական փոփոխականը միատեսակ բաշխված է հատվածի վրա: Գտեք պատահական փոփոխականի խտությունը:

Լուծում.Խնդրի պայմաններից հետեւում է, որ

Հաջորդը, գործառույթը ինտերվալի վրա միատոն և տարբերվող ֆունկցիա է և ունի հակադարձ ֆունկցիա , որի ածանցյալը հավասար է հետևաբար,

§ 5. Շարունակական պատահական փոփոխականների զույգ

Թող տրվեն երկու շարունակական պատահական փոփոխականներ x և h: Այնուհետև զույգը (x, h) հարթության վրա սահմանում է «պատահական» կետ: Զույգը (x, h) կոչվում է պատահական վեկտորկամ երկչափ պատահական փոփոխական:

Համատեղ բաշխման գործառույթպատահական x և h փոփոխականները և ֆունկցիան կոչվում է F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">: համատեղ խտությունը x և h պատահական փոփոխականների հավանականության բաշխումը կոչվում է այնպիսի ֆունկցիա, որ .

Համատեղ բաշխման խտության այս սահմանման իմաստը հետևյալն է. Հավանականությունը, որ «պատահական կետը» (x, h) կհայտնվի հարթության վրա գտնվող տարածքի մեջ, հաշվարկվում է որպես եռաչափ պատկերի ծավալ՝ մակերեսով սահմանափակված «կորագիծ» գլան https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

Երկու պատահական փոփոխականների համատեղ բաշխման ամենապարզ օրինակը երկչափն է միատեսակ բաշխում հավաքածուի վրաԱ. Թող սահմանափակված M բազմությունը տրվի մակերեսով: Այն սահմանվում է որպես զույգի բաշխում (x, h), որը սահմանվում է հետևյալ համատեղ խտությամբ.

Առաջադրանք 5.Թող երկչափ պատահական վեկտորը (x, h) հավասարաչափ բաշխված լինի եռանկյան ներսում: Հաշվի՛ր x>h անհավասարության հավանականությունը:

Լուծում.Նշված եռանկյունու մակերեսը հավասար է (տե՛ս նկ. No.): Երկչափ միատեսակ բաշխման սահմանման ուժով x, h պատահական փոփոխականների համատեղ խտությունը հավասար է.

Իրադարձությունը համապատասխանում է մի շարքի ինքնաթիռում, այսինքն՝ կիսաինքնաթիռ: Հետո հավանականությունը

B կիսահավասարության վրա հոդերի խտությունը բազմությունից դուրս զրո է https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">: Այսպիսով, կիսահավասարությունը B բաժանվում է երկու բազմության և https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> և , իսկ երկրորդ ինտեգրալը հավասար է. զրո, քանի որ հոդի խտությունը հավասար է զրոյի։ Ահա թե ինչու

Եթե ​​տրված է (x, h) զույգի համատեղ բաշխման խտությունը, ապա x և h բաղադրիչների խտությունները կոչվում են. մասնավոր խտություններև հաշվարկվում են բանաձևերով.

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

рx(х), рh(у) խտություններով անընդհատ բաշխված պատահական փոփոխականների համար անկախությունը նշանակում է, որ

Առաջադրանք 6.Նախորդ խնդրի պայմաններում որոշե՛ք, արդյոք պատահական վեկտորի x և h բաղադրիչներն անկախ են:

Լուծում. Եկեք հաշվարկենք մասնակի խտությունները և . Մենք ունենք:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Ակնհայտ է, որ մեր դեպքում https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x և h մեծությունների համատեղ խտությունն է, իսկ j( x, y) երկու արգումենտների ֆունկցիա է, ապա

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Առաջադրանք 7.Նախորդ խնդրի պայմաններում հաշվարկեք .

Լուծում.Վերոնշյալ բանաձևի համաձայն մենք ունենք.

.

Եռանկյունը ներկայացնելով որպես

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Երկու շարունակական պատահական փոփոխականների գումարի խտություն

Թող x-ը և h-ը լինեն խտություններով անկախ պատահական փոփոխականներ https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">: Պատահական փոփոխականի խտությունը x + h-ը հաշվարկվում է բանաձևով կոնվուլյացիա

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src="> Հաշվե՛ք գումարի խտությունը։

Լուծում.Քանի որ x-ը և h-ը բաշխված են ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի պարամետրով, նրանց խտությունները հավասար են

Հետևաբար,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Եթե ​​x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">բացասական է, հետևաբար . Հետևաբար, եթե https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Այսպիսով ստացանք պատասխանը.

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> սովորաբար բաշխվում է 0 և 1 պարամետրերով: Պատահական x1 և x2 փոփոխականները անկախ են և ունեն նորմալ բաշխումներ համապատասխանաբար a1 և a2 պարամետրերով Ապացուցեք, որ x1 + x2 ունի նորմալ բաշխում.

.

Գտեք բաշխման ֆունկցիան և արժեքների բաշխման խտությունը.

ա) h1 = min (x1, x2, ...xn); բ) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Պատահական x1, x2, ... xn փոփոխականները անկախ են և հավասարաչափ բաշխված են [a, b] միջակայքում: Գտեք մեծությունների բաշխման ֆունկցիաները և խտության ֆունկցիաները

x(1) = min (x1,x2, ... xn) և x(2)= max(x1, x2, ...xn):

Ապացուցեք, որ Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Պատահական փոփոխականը բաշխվում է Կոշիի օրենքի համաձայն Գտեք. ա) գործակից a; բ) բաշխման ֆունկցիա; գ) (-1, 1) միջակայքում ընկնելու հավանականությունը. Ցույց տվեք, որ x-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը գոյություն չունի: Պատահական փոփոխականը ենթարկվում է Լապլասի օրենքին l պարամետրով (l>0). Գտե՛ք a գործակիցը; կառուցել բաշխման խտության և բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկներ. գտնել Mx և Dx; գտնել իրադարձությունների հավանականությունները (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Գրի՛ր բաշխման խտության բանաձև, գտիր Mx և Dx:

Հաշվողական առաջադրանքներ.

Պատահական A կետն ունի միատեսակ բաշխում R շառավղով շրջանագծի մեջ: Գտե՛ք շրջանագծի կենտրոնից կետի r հեռավորության մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը: Ցույց տվեք, որ r2 արժեքը հավասարաչափ բաշխված է հատվածի վրա:

Պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

Հաշվե՛ք C հաստատունը, F(x) բաշխման ֆունկցիան և հավանականությունը Պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

Հաշվե՛ք C հաստատունը, F(x) բաշխման ֆունկցիան և հավանականությունը Պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.
Հաշվե՛ք C հաստատունը, բաշխման ֆունկցիան F(x), , շեղում և հավանականություն Պատահական փոփոխականն ունի բաշխման ֆունկցիա

Հաշվեք պատահական փոփոխականի խտությունը, մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և հավանականությունը Ստուգեք, որ ֆունկցիան =
կարող է լինել պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա: Գտե՛ք այս մեծության թվային բնութագրերը՝ Mx և Dx: Պատահական փոփոխականը միատեսակ բաշխված է հատվածի վրա: Գրեք բաշխման խտությունը: Գտեք բաշխման գործառույթը: Գտե՛ք պատահական փոփոխականի՝ հատվածի և հատվածի վրա ընկնելու հավանականությունը: X բաշխման խտությունը հավասար է

.

Գտե՛ք c հաստատունը, բաշխման խտությունը h = և հավանականությունը

P (0.25

Համակարգչի առանց խափանումների շահագործման ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի՝ l = 0,05 պարամետրով (ժամում խափանումներ), այսինքն՝ այն ունի խտության ֆունկցիա։

p(x) = .

Որոշակի խնդրի լուծումը պահանջում է մեքենայի անխափան աշխատանքը 15 րոպե: Եթե ​​խնդիրը լուծելիս ձախողում է տեղի ունենում, սխալը հայտնաբերվում է միայն լուծումն ավարտելուց հետո, և խնդիրը կրկին լուծվում է: Գտեք՝ ա) հավանականությունը, որ խնդրի լուծման ընթացքում ոչ մի ձախողում չի առաջանա. բ) միջին ժամանակը, որի ընթացքում խնդիրը կլուծվի:

24 սմ երկարությամբ ձողը բաժանված է երկու մասի. Մենք կենթադրենք, որ ճեղքման կետը հավասարաչափ բաշխված է ձողի ողջ երկարությամբ։ Որքա՞ն է ձողի մեծ մասի միջին երկարությունը: 12 սմ երկարությամբ կտորը պատահականորեն կտրվում է երկու մասի։ Կտրման կետը հավասարաչափ բաշխված է հատվածի ողջ երկարությամբ: Որքա՞ն է հատվածի փոքր մասի միջին երկարությունը: Պատահական փոփոխականը միատեսակ բաշխված է հատվածի վրա: Գտե՛ք պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ա) h1 = 2x + 1; բ) h2 =-ln (1-x); գ) h3 = .

Ցույց տվեք, որ եթե x-ն ունի շարունակական բաշխման ֆունկցիա

F(x) = P(x

Գտե՛ք երկու անկախ մեծությունների գումարի խտության ֆունկցիան և բաշխման ֆունկցիան՝ համապատասխանաբար հատվածների և, համապատասխանաբար, բաշխման օրենքներով: Պատահական x և h փոփոխականները անկախ են և միատեսակ բաշխված են հատվածների վրա և, համապատասխանաբար,: Հաշվի՛ր x+h գումարի խտությունը։ Պատահական x և h փոփոխականները անկախ են և միատեսակ բաշխված են հատվածների վրա և, համապատասխանաբար,: Հաշվի՛ր x+h գումարի խտությունը։ Պատահական x և h փոփոխականները անկախ են և միատեսակ բաշխված են հատվածների վրա և, համապատասխանաբար,: Հաշվի՛ր x+h գումարի խտությունը։ Պատահական փոփոխականները անկախ են և ունեն խտությամբ էքսպոնենցիալ բաշխում . Գտե՛ք դրանց գումարի բաշխման խտությունը: Գտե՛ք x և h անկախ պատահական փոփոխականների գումարի բաշխումը, որտեղ x-ն ունի միատեսակ բաշխում միջակայքի վրա, իսկ h-ն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում l պարամետրով: Գտեք Պ , եթե x-ն ունի՝ ա) նորմալ բաշխում a և s2 պարամետրերով; բ) էքսպոնենցիալ բաշխում l պարամետրով. գ) միատեսակ բաշխում [-1;1] հատվածի վրա: x, h-ի համատեղ բաշխումը քառակուսի միատեսակ է
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Գտեք հավանականությունը . Արդյո՞ք x-ը և h-ն անկախ են: X և h պատահական փոփոխականների զույգը հավասարաչափ բաշխված են K= եռանկյան ներսում: Հաշվի՛ր x և h խտությունները։ Արդյո՞ք այս պատահական փոփոխականները անկախ են: Գտեք հավանականությունը. Պատահական x և h փոփոխականները անկախ են և հավասարաչափ բաշխված են հատվածների վրա և [-1,1]: Գտեք հավանականությունը. Երկչափ պատահական փոփոխականը (x, h) հավասարաչափ բաշխված է (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) գագաթներով քառակուսու վրա։ Գտե՛ք համատեղ բաշխման ֆունկցիայի արժեքը (1, -1) կետում։ Պատահական վեկտորը (x, h) հավասարաչափ բաշխված է սկզբնակետում կենտրոնացած 3 շառավղով շրջանագծի ներսում: Գրեք արտահայտություն համատեղ բաշխման խտության համար: Որոշեք, թե արդյոք այս պատահական փոփոխականները կախված են: Հաշվարկել հավանականությունը. Պատահական x և h փոփոխականների զույգը հավասարաչափ բաշխված է տրապեզիի ներսում՝ գագաթներով (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) կետերում: Գտեք այս զույգ պատահական փոփոխականների համատեղ բաշխման խտությունը և բաղադրիչների խտությունը: Արդյո՞ք x-ը և h-ը կախված են: Պատահական զույգը (x, h) հավասարաչափ բաշխված է կիսաշրջանի ներսում: Գտե՛ք x և h խտությունները, ուսումնասիրե՛ք դրանց կախվածության հարցը։ Երկու պատահական փոփոխականների համատեղ խտությունը x և h հավասար է .
Գտե՛ք x, h խտությունները: Քննեք x-ի և h-ի կախվածության հարցը: Պատահական զույգը (x, h) հավասարաչափ բաշխված է հավաքածուի վրա: Գտե՛ք x և h խտությունները, ուսումնասիրե՛ք դրանց կախվածության հարցը։ Գտեք M(xh): Պատահական x և h փոփոխականները անկախ են և բաշխված են ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի՝ Գտնել պարամետրով

Բաշխման գործառույթպատահական փոփոխական Xկոչվում է ֆունկցիա Ֆ(X), արտահայտելով յուրաքանչյուրի համար Xհավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը Xկընդունի ավելի քիչ արժեք, քան X:.

Գործառույթ Ֆ(X) երբեմն կոչվում է ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիա,կամ բաշխման ամբողջական օրենքը.

Պատահական արժեք Xկանչեց շարունակական, եթե դրա բաշխման ֆունկցիան ցանկացած կետում շարունակական է և ամենուր տարբերվող, բացառությամբ, հնարավոր է, առանձին կետերի։

Օրինակներշարունակական պատահական փոփոխականներ՝ այն մասի տրամագիծը, որը պտտիչը մանրացնում է որոշակի չափի, մարդու բարձրությունը, արկի թռիչքի միջակայքը և այլն:

Թեորեմ.Շարունակական պատահական փոփոխականի ցանկացած անհատական ​​արժեքի հավանականությունը զրո է

.

Հետևանք.Եթե Xշարունակական պատահական փոփոխական է, ապա պատահական փոփոխականի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը
կախված չէ այս միջակայքը բաց կամ փակ լինելուց, այսինքն.

Եթե ​​շարունակական պատահական փոփոխական է Xկարող է միայն արժեքներ վերցնել միջև Անախքան բ(Որտեղ ԱԵվ բ- որոշ հաստատուններ), ապա դրա բաշխման ֆունկցիան հավասար է զրոյի բոլոր արժեքների համար
և միավոր արժեքների համար
.

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար

Դիսկրետ պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաների բոլոր հատկությունները բավարարված են նաև շարունակական պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաների համար:

Բաշխման ֆունկցիայի միջոցով շարունակական պատահական փոփոխական նշելը միակ ճանապարհը չէ:

Հավանականության խտությունը (բաշխման խտությունըկամ խտությունը) Ռ(X) շարունակական պատահական փոփոխական Xկոչվում է դրա բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալ

.

Հավանականության խտություն Ռ(X), ինչպես նաև բաշխման ֆունկցիան Ֆ(X), բաշխման օրենքի ձևերից մեկն է, բայց ի տարբերություն բաշխման ֆունկցիայի, այն գոյություն ունի միայն համար շարունակականպատահական փոփոխականներ.

Հավանականության խտությունը երբեմն կոչվում է դիֆերենցիալ ֆունկցիա կամ դիֆերենցիալ բաշխման օրենք.

Հավանականության խտության գրաֆիկը կոչվում է բաշխման կոր։

ՀատկություններՇարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը.

Բրինձ. 8.1

Բրինձ. 8.2

4.
.

Երկրաչափորեն հավանականության խտության հատկությունները նշանակում են, որ դրա գրաֆիկը` բաշխման կորը, գտնվում է աբսցիսայի առանցքից ցածր, իսկ բաշխման կորով և աբսցիսայի առանցքով սահմանափակված գործչի ընդհանուր մակերեսը հավասար է մեկին:

Օրինակ 8.1.Էլեկտրական ժամացույցի րոպեի սլաքը ամեն րոպե շարժվում է թռիչքներով և սահմաններով: Դու նայեցիր ժամացույցիդ։ Նրանք ցույց են տալիս Արոպե. Այնուհետև ձեզ համար տվյալ պահին իրական ժամանակը կլինի պատահական փոփոխական: Գտեք դրա բաշխման գործառույթը:

Լուծում.Ակնհայտ է, որ իրական ժամանակի բաշխման ֆունկցիան հավասար է 0-ի բոլորի համար
և միավորի համար
. Ժամանակը հոսում է հավասարաչափ. Հետեւաբար, հավանականությունը, որ իրական ժամանակն ավելի քիչ է Ա+ 0,5 րոպե, հավասար է 0,5-ի, քանի որ նույնքան հավանական է, թե արդյոք այն անցել է հետո Ակես րոպեից պակաս կամ ավելի: Հավանականությունը, որ իրական ժամանակը քիչ է Ա+ 0,25 րոպե, հավասար է 0,25-ի (այս ժամանակի հավանականությունը երեք անգամ փոքր է իրական ժամանակի ավելի մեծ լինելու հավանականությունից Ա+ 0,25 րոպե, և դրանց գումարը հավասար է մեկի՝ որպես հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումար): Նմանապես պատճառաբանելով՝ մենք գտնում ենք, որ իրական ժամանակի հավանականությունն ավելի քիչ է Ա+ 0,6 րոպե, հավասար է 0,6-ի: Ընդհանուր առմամբ, հավանականությունը, որ իրական ժամանակն ավելի քիչ է Ա + + α ր
, հավասար է α . Հետևաբար, իրական ժամանակի բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ արտահայտությունը.

ՄԱՍԻՆ on-ը շարունակական է ամենուր, և դրա ածանցյալը շարունակական է բոլոր կետերում, բացառությամբ երկուսի. x = aԵվ x = a+ 1. Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է (նկ. 8.3).

Բրինձ. 8.3

Օրինակ 8.2.Արդյո՞ք որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ֆունկցիան է

Լուծում.

Այս ֆունկցիայի բոլոր արժեքները պատկանում են հատվածին
, այսինքն.
. Գործառույթ Ֆ(X) չնվազող է՝ միջակայքում
այն հաստատուն է, հավասար է զրոյի, միջակայքում
ավելանում է արանքում
նույնպես հաստատուն է՝ հավասար միասնության (տե՛ս նկ. 8.4): Ֆունկցիան շարունակական է յուրաքանչյուր կետում XՆրա սահմանման 0 տարածքը `ինտերվալ
, հետևաբար ձախ կողմում շարունակական է, այսինքն. հավասարությունը պահպանվում է

,
.

Հավասարությունները նաև գործում են.

,
.

Հետևաբար, գործառույթը
բավարարում է բաշխման ֆունկցիային բնորոշ բոլոր հատկությունները։ Այսպիսով, այս գործառույթը
որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան է X.

Օրինակ 8.3.Արդյո՞ք որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ֆունկցիան է

Լուծում.Այս ֆունկցիան պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա չէ, քանի որ միջև
այն նվազում է և շարունակական չէ։ Ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 8.5.

Բրինձ. 8.5

Օրինակ 8.4.Պատահական արժեք Xտրված է բաշխման ֆունկցիայի միջոցով

Գտեք գործակիցը Աև պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը X. Որոշեք անհավասարության հավանականությունը
.

Լուծում.Բաշխման խտությունը հավասար է բաշխման ֆունկցիայի առաջին ածանցյալին

Գործակից Աորոշվում է հավասարության միջոցով

,

.

Նույն արդյունքը կարելի էր ստանալ՝ օգտագործելով ֆունկցիայի շարունակականությունը
կետում

,
.

Հետևաբար,
.

Հետևաբար հավանականության խտությունը ձև ունի

Հավանականություն
պատահական փոփոխականի հարվածներ Xտվյալ ժամանակահատվածում հաշվարկվում է բանաձևով

Օրինակ 8.5.Պատահական արժեք Xունի հավանականության խտություն (Կոշիի օրենք)

.

Գտեք գործակիցը Աև հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը Xորոշակի արժեք կվերցնի միջակայքից
. Գտեք այս պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան:

Լուծում.Գտնենք գործակիցը Ահավասարությունից

,

Հետևաբար,
.

Այսպիսով,
.

Պատահական փոփոխականի հավանականությունը Xորոշակի արժեք կվերցնի միջակայքից
, հավասար է

Գտնենք այս պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան

Պ Օրինակ 8.6.Պատահական փոփոխականի հավանականության խտության գծապատկեր Xցույց է տրված Նկ. 8.6 (Սիմփսոնի օրենք). Գրեք արտահայտություն այս պատահական փոփոխականի հավանականության խտության և բաշխման ֆունկցիայի համար:

Բրինձ. 8.6

Լուծում.Օգտագործելով գրաֆիկը՝ մենք գրում ենք տվյալ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման խտության վերլուծական արտահայտությունը

Գտնենք բաշխման ֆունկցիան։

Եթե
, Դա
.

Եթե
, Դա .

Եթե
, Դա

Եթե
, Դա

Հետևաբար բաշխման ֆունկցիան ունի ձև

Գլուխ 1. Դիսկրետ պատահական փոփոխական

§ 1. Պատահական փոփոխականի հասկացությունները:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը:

Սահմանում Պատահականությունը մեծություն է, որը փորձարկման արդյունքում իր արժեքների հնարավոր հավաքածուից վերցնում է միայն մեկ արժեք՝ նախապես անհայտ և կախված պատահական պատճառներից:

Կան երկու տեսակի պատահական փոփոխականներ՝ դիսկրետ և շարունակական:

Սահմանում Պատահական X փոփոխականը կոչվում է դիսկրետ (անջատված), եթե նրա արժեքների բազմությունը վերջավոր է կամ անսահման, բայց հաշվելի:

Այլ կերպ ասած, հնարավոր արժեքներԴիսկրետ պատահական փոփոխականը կարող է վերահամարակալվել:

Պատահական փոփոխականը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով դրա բաշխման օրենքը:

Սահմանում : Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը անվանել համապատասխանությունը պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև:

Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել աղյուսակի տեսքով, որի առաջին շարքում նշված են պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները աճման կարգով, իսկ երկրորդ շարքում` դրանց համապատասխան հավանականությունները: արժեքներ, այսինքն.

որտեղ р1+ р2+…+ рn=1

Նման աղյուսակը կոչվում է դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման շարք:

Եթե ​​պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների բազմությունը անվերջ է, ապա p1+ p2+…+ pn+… շարքը համընկնում է, և դրա գումարը հավասար է 1-ի:

Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենքը կարելի է պատկերել գրաֆիկորեն, որի համար ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կառուցված է կոտրված գիծ՝ հաջորդաբար կետերը միացնելով կոորդինատներով (xi; pi), i=1,2,…n: Ստացված տողը կոչվում է բաշխման բազմանկյուն (նկ. 1):

Օրգանական քիմիա" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">օրգանական քիմիան համապատասխանաբար 0,7 և 0,8 են: Պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենք կազմեք՝ ուսանողը հանձնելու է քննությունների թիվը:

Լուծում. Քննության արդյունքում դիտարկվող X պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել հետևյալ արժեքներից մեկը՝ x1=0, x2=1, x3=2։

Գտնենք այս արժեքների հավանականությունը.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Այսպիսով, X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը տրված է աղյուսակով.

Վերահսկողություն՝ 0,6+0,38+0,56=1։

§ 2. Բաշխման ֆունկցիա

Պատահական փոփոխականի ամբողջական նկարագրությունը տրվում է նաև բաշխման ֆունկցիայի միջոցով։

Սահմանում: X դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա կոչվում է F(x) ֆունկցիա, որը յուրաքանչյուր x արժեքի համար որոշում է հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը x-ից փոքր արժեք կընդունի.

F(x)=P(X<х)

Երկրաչափորեն բաշխման ֆունկցիան մեկնաբանվում է որպես հավանականություն, որ X պատահական փոփոխականը կընդունի այն արժեքը, որը ներկայացված է թվային տողի վրա x կետից ձախ ընկած կետով:

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)-ը չնվազող ֆունկցիա է (-∞;+∞);

3) F(x) - ձախից շարունակական x= xi (i=1,2,...n) կետերում և շարունակական բոլոր մյուս կետերում;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Եթե ​​X դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը տրված է աղյուսակի տեսքով.

ապա բաշխման ֆունկցիան F(x) որոշվում է բանաձևով.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 x≤ x1-ի համար,

р1 x1-ում< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 x2-ում< х≤ х3

1 x>xn-ի համար:

Դրա գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 2-ում:

§ 3. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը:

Կարևոր թվային բնութագրերից է մաթեմատիկական ակնկալիքը։

Սահմանում: Մաթեմատիկական ակնկալիք M(X) Դիսկրետ պատահական X փոփոխականը իր բոլոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների գումարն է.

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Մաթեմատիկական ակնկալիքը ծառայում է որպես պատահական փոփոխականի միջին արժեքի հատկանիշ։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

1)M(C)=C, որտեղ C-ն հաստատուն արժեք է;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), որտեղ X, Y անկախ պատահական փոփոխականներ են;

5)M(X±C)=M(X)±C, որտեղ C-ն հաստատուն արժեք է;

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցրվածության աստիճանը միջին արժեքի շուրջ բնութագրելու համար օգտագործվում է դիսպերսիա:

Սահմանում: Տարբերություն Դ ( X ) Պատահական X փոփոխականը պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից.

Դիսպերսիոն հատկություններ.

1)D(C)=0, որտեղ C-ն հաստատուն արժեք է;

2)D(X)>0, որտեղ X-ը պատահական փոփոխական է.

3)D(C X)=C2 D(X), որտեղ C-ն հաստատուն արժեք է;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), որտեղ X, Y-ը անկախ պատահական փոփոխականներ են;

Տարբերությունը հաշվարկելու համար հաճախ հարմար է օգտագործել բանաձևը.

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

որտեղ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) շեղումը ունի քառակուսի պատահական փոփոխականի չափ, որը միշտ չէ, որ հարմար է: Հետևաբար, √D(X) արժեքը նույնպես օգտագործվում է որպես պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների ցրվածության ցուցիչ:

Սահմանում: Ստանդարտ շեղում σ(X) X պատահական փոփոխականը կոչվում է դիսպերսիայի քառակուսի արմատ.

Առաջադրանք թիվ 2.Դիսկրետ պատահական X փոփոխականը նշված է բաշխման օրենքով.

Գտե՛ք P2, F(x) բաշխման ֆունկցիան և գծե՛ք դրա գրաֆիկը, ինչպես նաև M(X), D(X), σ(X):

Լուծում: Քանի որ X պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի, ապա

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Գտնենք բաշխման ֆունկցիան F(x)=P(X

Երկրաչափական առումով այս հավասարությունը կարելի է մեկնաբանել հետևյալ կերպ. F(x)-ն այն հավանականությունն է, որ պատահական փոփոխականը կընդունի այն արժեքը, որը ներկայացված է թվային առանցքի վրա x կետից ձախ ընկած կետով:

Եթե ​​x≤-1, ապա F(x)=0, քանի որ (-∞;x)-ում այս պատահական փոփոխականի մեկ արժեք չկա.

Եթե ​​-1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Եթե ​​0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) կա երկու արժեք՝ x1=-1 և x2=0;

Եթե ​​1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Եթե ​​2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Եթե ​​x>3, ապա F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, քանի որ չորս արժեքներ x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ընկնում են (-∞;x) և x5=3 միջակայքում:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 x≤-1,

0,1 -1<х≤0,

0,2 0-ին<х≤1,

F(x)= 0,5 1-ում<х≤2,

0.7 ժամը 2<х≤3,

1 ժամը x>3

Ներկայացնենք F(x) ֆունկցիան գրաֆիկորեն (նկ. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Երկանդամ բաշխման օրենք

դիսկրետ պատահական փոփոխական, Պուասոնի օրենքը.

Սահմանում: Երկանդամ կոչվում է դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենք՝ A-ի դեպքերի թիվը n անկախ կրկնվող փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում A իրադարձությունը կարող է տեղի ունենալ p հավանականությամբ կամ տեղի չունենալ q = 1-p հավանականությամբ: Այնուհետև P(X=m) - A իրադարձության առաջացման հավանականությունը ճիշտ m անգամ n փորձարկումներում հաշվարկվում է Բեռնուլիի բանաձևով.

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Երկուական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական X փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը, համապատասխանաբար, գտնվել են՝ օգտագործելով բանաձևերը.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Իրադարձության Ա-ի հավանականությունը՝ «հնգակի դուրս գալը» յուրաքանչյուր փորձարկումում նույնն է և հավասար է 1/6-ի։ , այսինքն՝ P(A)=p=1/6, ապա P(A)=1-p=q=5/6, որտեղ

- «հինգից ընկնելը»:

X պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել հետևյալ արժեքները՝ 0;1;2;3:

Մենք գտնում ենք X-ի հնարավոր արժեքներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը՝ օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը.

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Դա. X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Վերահսկողություն՝ 125/216+75/216+15/216+1/216=1։

Եկեք գտնենք X պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը.

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Առաջադրանք թիվ 4.Ավտոմատ մեքենան դրոշմում է մասերը: Արտադրված մասի թերի լինելու հավանականությունը 0,002 է։ Գտեք հավանականությունը, որ ընտրված 1000 մասերի մեջ կլինեն.

ա) 5 թերի;

բ) առնվազն մեկը թերի է:

Լուծում: n=1000 թիվը մեծ է, թերի մաս ստեղծելու հավանականությունը p=0.002 փոքր է, իսկ դիտարկվող իրադարձությունները (մասը թերի է ստացվում) անկախ են, հետևաբար գործում է Պուասոնի բանաձևը.

Рn(m)= ե- λ λm

Գտնենք λ=np=1000 0,002=2։

ա) Գտեք հավանականությունը, որ կլինեն 5 թերի մասեր (m=5).

Р1000(5)= ե-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

բ) Գտեք հավանականությունը, որ կլինի առնվազն մեկ թերություն:

Իրադարձություն A - «ընտրված մասերից առնվազն մեկը թերի է»: հակառակ իրադարձություն- «Բոլոր ընտրված մասերը թերի չեն, հետևաբար, P(A) = 1-P(): Այսպիսով, ցանկալի հավանականությունը հավասար է՝ P(A)=1-P1000(0)=1- ե-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865:

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ.

1.1

1.2. Ցրված պատահական X փոփոխականը նշված է բաշխման օրենքով.

Գտե՛ք p4, F(X) բաշխման ֆունկցիան և գծե՛ք դրա գրաֆիկը, ինչպես նաև M(X), D(X), σ(X):

1.3. Տուփում կա 9 մարկեր, որոնցից 2-ն այլեւս գրված չեն։ Պատահականորեն վերցրեք 3 մարկեր: Պատահական X փոփոխականը վերցվածների մեջ գրավոր մարկերների թիվն է: Կազմի՛ր պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը:

1.4. Գրադարանի դարակում պատահականորեն դասավորված է 6 դասագիրք, որոնցից 4-ը փակցված են։ Գրադարանավարը պատահականության սկզբունքով վերցնում է 4 դասագիրք։ Պատահական X փոփոխականը վերցվածների մեջ կապակցված դասագրքերի թիվն է: Կազմի՛ր պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը:

1.5. Տոմսի վրա երկու առաջադրանք կա. Առաջին խնդիրը ճիշտ լուծելու հավանականությունը 0,9 է, երկրորդը՝ 0,7։ Պատահական X փոփոխականը տոմսում ճիշտ լուծված խնդիրների թիվն է: Կազմեք բաշխման օրենք, հաշվարկեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը, ինչպես նաև գտեք F(x) բաշխման ֆունկցիան և կառուցեք դրա գրաֆիկը։

1.6. Երեք հրաձիգներ կրակում են թիրախի վրա. Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը առաջին կրակողի համար 0,5 է, երկրորդի դեպքում՝ 0,8, երրորդում՝ 0,7։ Պատահական X փոփոխականը թիրախին հարվածների քանակն է, եթե հրաձիգները միանգամից մեկ կրակոց են արձակում: Գտե՛ք բաշխման օրենքը՝ M(X),D(X):

1.7. Բասկետբոլիստը գնդակը նետում է զամբյուղի մեջ՝ յուրաքանչյուր հարվածի 0,8 հավանականությամբ: Յուրաքանչյուր հարվածի համար նա ստանում է 10 միավոր, իսկ բաց թողնելու դեպքում նրան միավորներ չեն շնորհվում։ Կազմե՛ք X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենք՝ բասկետբոլիստի ստացած միավորների քանակը 3 հարվածում: Գտե՛ք M(X),D(X), ինչպես նաև հավանականությունը, որ նա հավաքում է 10 միավորից ավելի:

1.8. Քարտերի վրա գրված են տառեր, ընդհանուր առմամբ 5 ձայնավոր և 3 բաղաձայն։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվում է 3 քարտ, և ամեն անգամ վերցված քարտը հետ է վերադարձվում: Պատահական X փոփոխականը վերցված ձայնավորների թիվն է: Կազմե՛ք բաշխման օրենքը և գտե՛ք M(X),D(X),σ(X):

1.9. Միջին հաշվով պայմանագրերի 60%-ը Ապահովագրական ընկերությունվճարում է ապահովագրական գումարներ՝ կապված ապահովագրական դեպքի առաջացման հետ: Կազմեք բաշխման օրենք X պատահական փոփոխականի համար՝ պայմանագրերի քանակը, որոնց համար ապահովագրական գումարը վճարվել է պատահականության սկզբունքով ընտրված չորս պայմանագրերից: Գտե՛ք այս մեծության թվային բնութագրերը:

1.10. Ռադիոկայանն ուղարկում է զանգերի ազդանշաններ (չորսից ոչ ավելի) որոշակի պարբերականությամբ, մինչև երկկողմանի կապ հաստատվի: Զանգի նշանի պատասխան ստանալու հավանականությունը 0,3 է: Պատահական X փոփոխականը ուղարկված կանչերի քանակն է: Կազմե՛ք բաշխման օրենքը և գտե՛ք F(x):

1.11. Առկա է 3 բանալի, որոնցից միայն մեկն է տեղավորվում կողպեքին։ Կազմեք օրենք կողպեքը բացելու պատահական փոփոխականի X թվի բաշխման համար, եթե փորձված բանալին չի մասնակցում հետագա փորձերին: Գտեք M(X),D(X):

1.12. Հուսալիության համար իրականացվում են երեք սարքերի հաջորդական անկախ փորձարկումներ: Յուրաքանչյուր հաջորդ սարքը փորձարկվում է միայն այն դեպքում, եթե նախորդը հուսալի է: Յուրաքանչյուր սարքի համար թեստը հանձնելու հավանականությունը 0,9 է։ Կազմեք բաշխման օրենք փորձարկված սարքերի X թվի պատահական փոփոխականի համար:

1.13 Դիսկրետ պատահական X փոփոխականն ունի երեք հնարավոր արժեք՝ x1=1, x2, x3 և x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Էլեկտրոնային սարքի բլոկը պարունակում է 100 նույնական տարրեր: T ժամանակի ընթացքում յուրաքանչյուր տարրի ձախողման հավանականությունը 0,002 է: Տարրերը աշխատում են ինքնուրույն: Գտե՛ք հավանականությունը, որ T ժամանակի ընթացքում երկու տարրից ավելին չի խափանվի։

1.15. Դասագիրքը լույս է տեսել 50000 օրինակ տպաքանակով։ Հավանականությունը, որ դասագիրքը սխալ է ամրացված, 0,0002 է։ Գտեք հավանականությունը, որ շրջանառությունը պարունակում է.

ա) չորս թերի գիրք.

բ) երկուից պակաս թերի գիրք.

1 .16. Ամեն րոպե PBX ժամանող զանգերի թիվը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն λ=1,5 պարամետրով։ Գտեք հավանականությունը, որ մեկ րոպեից կգա հետևյալը.

ա) երկու զանգ.

բ) առնվազն մեկ զանգ.

1.17.

Գտե՛ք M(Z),D(Z), եթե Z=3X+Y:

1.18. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքները բերված են.

Գտեք M(Z),D(Z), եթե Z=X+2Y:

Պատասխանները:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 x≤-2,

0,3 -2<х≤0,

F(x)= 0,5 0-ում<х≤2,

0.9 ժամը 2<х≤5,

1 x>5-ում

1.2. p4=0.1; 0 x≤-1,

0.3 -1<х≤0,

0,4 0-ին<х≤1,

F(x)= 0.6 1-ում<х≤2,

0.7 ժամը 2<х≤3,

1 ժամը x>3

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 x≤0-ում,

0,03 ժամը 0<х≤1,

F(x)= 0,37 1-ում<х≤2,

1 x>2-ի համար

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. ա) 0,0189; բ) 0,00049

1.16. ա) 0,0702; բ)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Գլուխ 2. Շարունակական պատահական փոփոխական

Սահմանում: Շարունակական Նրանք անվանում են մի մեծություն, որի բոլոր հնարավոր արժեքները լիովին լրացնում են թվային տողի վերջավոր կամ անսահման միջակայքը:

Ակնհայտ է, որ շարունակական պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների թիվը անսահման է:

Շարունակական պատահական փոփոխականը կարող է սահմանվել բաշխման ֆունկցիայի միջոցով:

Սահմանում:Ֆ բաշխման գործառույթ Շարունակական պատահական X փոփոխականը կոչվում է F(x) ֆունկցիա, որը որոշում է յուրաքանչյուր արժեքի համար xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> Ռ

Բաշխման ֆունկցիան երբեմն անվանում են կուտակային բաշխման ֆունկցիա։

Բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները.

1)1≤ F(x) ≤1

2) Շարունակական պատահական փոփոխականի համար բաշխման ֆունկցիան շարունակական է ցանկացած կետում և տարբերվող ամենուր, բացառությամբ, հնարավոր է, առանձին կետերի:

3) X պատահական փոփոխականի (a;b), [a;b], [a;b] միջակայքներից մեկի մեջ ընկնելու հավանականությունը հավասար է F(x) ֆունկցիայի արժեքների տարբերությանը: a և b կետերում, այսինքն. R(a)<Х

4) Հավանականությունը, որ շարունակական պատահական X փոփոխականը մեկ առանձին արժեք կընդունի, 0 է:

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Բաշխման ֆունկցիայի միջոցով շարունակական պատահական փոփոխական նշելը միակ ճանապարհը չէ: Ներկայացնենք հավանականության բաշխման խտության (բաշխման խտության) հայեցակարգը։

Սահմանում : Հավանականության բաշխման խտությունը զ ( x ) Շարունակական պատահական փոփոխականի X-ը նրա բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալն է, այսինքն.

Հավանականության խտության ֆունկցիան երբեմն անվանում են դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիա կամ դիֆերենցիալ բաշխման օրենք։

Հավանականության խտության բաշխման գրաֆիկը կոչվում է f(x): հավանականության բաշխման կորը .

Հավանականության խտության բաշխման հատկությունները.

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" բարձրություն ="62 src="> 0 x≤2-ում,

f(x)= c(x-2) ժամը 2-ում<х≤6,

0 x>6-ի համար:

Գտե՛ք՝ ա) c-ի արժեքը; բ) բաշխման ֆունկցիան F(x) և գծագրել այն. գ) P(3≤x<5)

Լուծում:

+ ∞

ա) Նորմալացման պայմանից գտնում ենք c-ի արժեքը՝ ∫ f(x)dx=1.

Հետեւաբար, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

եթե 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 ժամը 2<х≤6,

1 x>6-ի համար:

F(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 3-ում

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 x≤0-ում,

F(x)= (3 արկտան x)/π 0-ում<х≤√3,

1 x>√3-ի համար:

Գտեք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան

Լուծում: Քանի որ f(x)= F’(x), ուրեմն

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Մաթեմատիկական սպասման և դիսպերսիայի բոլոր հատկությունները, որոնք ավելի վաղ քննարկվել էին ցրված պատահական փոփոխականների համար, վավեր են նաև շարունակականների համար:

Առաջադրանք թիվ 3.Պատահական X փոփոխականը սահմանվում է f(x) դիֆերենցիալ ֆունկցիայով.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P (1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Խնդիրներ անկախ լուծման համար.

2.1. Շարունակական պատահական X փոփոխականը նշվում է բաշխման ֆունկցիայով.

0 x≤0-ում,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6-ի համար,

F(x)= - cos 3x π/6-ում<х≤ π/3,

1 x> π/3-ի համար:

Գտե՛ք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան և նաև

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 x≤2-ում,

f(x)= c x 2-ում<х≤4,

0 x>4-ի համար:

2.4. Շարունակական պատահական X փոփոխականը նշվում է բաշխման խտությամբ.

0 x≤0-ում,

f(x)= c √x 0-ում<х≤1,

0 x>1-ի համար:

Գտեք՝ ա) թիվը c; բ) M(X), D(X):

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x-ում,

0 x-ում:

Գտե՛ք՝ ա) F(x) և կառուցե՛ք դրա գրաֆիկը. բ) M(X),D(X), σ(X); գ) հավանականությունը, որ չորսում անկախ թեստեր X արժեքը կվերցնի ուղիղ 2 անգամ ավելի քան (1;4) միջակայքին պատկանող արժեքը:

2.6. Շարունակական պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունը տրված է.

f(x)= 2(x-2) x-ում,

0 x-ում:

Գտե՛ք՝ ա) F(x) և կառուցե՛ք դրա գրաֆիկը. բ) M (X), D (X), σ (X); գ) հավանականությունը, որ երեք անկախ փորձարկումներում X-ի արժեքը կկազմի հատվածին պատկանող արժեքի ուղիղ 2 անգամ:

2.7. f(x) ֆունկցիան տրված է հետևյալ կերպ.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]:

2.8. f(x) ֆունկցիան տրված է հետևյալ կերպ.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π. /4 ; π /4]:

Գտեք՝ ա) c հաստատունի արժեքը, որի դեպքում ֆունկցիան կլինի X որոշ պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը. բ) բաշխման ֆունկցիա F(x).

2.9. X պատահական փոփոխականը, որը կենտրոնացած է (3;7) միջակայքում, նշվում է F(x)= բաշխման ֆունկցիայով: Գտեք դրա հավանականությունը

X պատահական փոփոխականը կընդունի արժեքը՝ ա) 5-ից պակաս, բ) 7-ից ոչ պակաս:

2.10. Պատահական փոփոխական X՝ կենտրոնացած միջակայքի վրա (-1;4),

տրված է F(x)= բաշխման ֆունկցիայով: Գտեք դրա հավանականությունը

պատահական X փոփոխականը կընդունի արժեքը՝ ա) 2-ից պակաս, բ) 4-ից ոչ պակաս:

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">:

Գտե՛ք՝ ա) թիվը c; բ) M(X); գ) հավանականություն P(X> M(X)):

2.12. Պատահական փոփոխականը սահմանվում է դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայով.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Գտեք՝ ա) M(X); բ) հավանականություն P(X≤M(X))

2.13. Rem բաշխումը տրվում է հավանականության խտությամբ.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0-ի համար:

Ապացուցեք, որ f(x)-ն իսկապես հավանականության խտության ֆունկցիա է:

2.14. Շարունակական պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունը տրված է.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(նկ. 4) (նկ.5)

2.16. Պատահական X փոփոխականը բաշխվում է օրենքի համաձայն. ուղղանկյուն եռանկյուն«(0;4) միջակայքում (նկ. 5): Գտեք վերլուծական արտահայտություն f(x) հավանականության խտության համար ամբողջ թվային տողի վրա:

Պատասխանները

0 x≤0-ում,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6-ի համար,

F(x)= 3sin 3x π/6-ում<х≤ π/3,

0 x> π/3-ի համար: Շարունակական պատահական X փոփոխականն ունի միասնական օրենքբաշխումը որոշակի միջակայքի վրա (a;b), որը պարունակում է X-ի բոլոր հնարավոր արժեքները, եթե հավանականության բաշխման խտությունը f(x) այս միջակայքում հաստատուն է և հավասար է 0-ի դրանից դուրս, այսինքն.

0 x≤a-ի համար,

f(x)= a-ի համար<х

0 x≥b-ի համար:

f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a-ի համար,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Առաջադրանք թիվ 1.Պատահական X փոփոխականը միատեսակ բաշխված է հատվածի վրա: Գտնել.

ա) հավանականության բաշխման խտությունը f(x) և գծագրել այն.

բ) բաշխման ֆունկցիան F(x) և գծագրել այն.

գ) M(X),D(X), σ(X):

Լուծում: Օգտագործելով վերը քննարկված բանաձևերը, a=3, b=7, մենք գտնում ենք.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7,

0 x>7-ի համար

Եկեք կառուցենք դրա գրաֆիկը (նկ. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">նկ. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ժամը x<0,

f(x)= λε-λх x≥0-ի համար:

X պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան, որը բաշխված է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի, տրված է բանաձևով.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Այսպիսով, մաթեմատիկական ակնկալիքը և էքսպոնենցիալ բաշխման ստանդարտ շեղումը հավասար են միմյանց:

X-ի (a;b) միջակայքում ընկնելու հավանականությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

P(a<Х

Առաջադրանք թիվ 2.Սարքի առանց խափանումների աշխատանքի միջին ժամանակը 100 ժամ է, ենթադրելով, որ սարքի առանց խափանումների գործարկման ժամանակը ունի էքսպոնենցիալ բաշխման օրենք, գտե՛ք.

ա) հավանականության բաշխման խտությունը.

բ) բաշխման ֆունկցիա;

գ) հավանականությունը, որ սարքի առանց խափանումների շահագործման ժամանակը կգերազանցի 120 ժամը:

Լուծում: Ըստ պայմանի՝ մաթեմատիկական բաշխումը M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 x-ում.<0,

ա) f(x)= 0.01e -0.01x x≥0-ի համար:

բ) F(x)= 0 x-ում<0,

1-e -0.01x x≥0-ում:

գ) Մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը՝ օգտագործելով բաշխման ֆունկցիան.

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3. Նորմալ բաշխման օրենք

Սահմանում: Շարունակական պատահական X փոփոխականն ունի նորմալ բաշխման օրենք (Գաուսի օրենք), եթե դրա բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

,

որտեղ m=M(X), σ2=D(X), σ>0:

Նորմալ բաշխման կորը կոչվում է նորմալ կամ Գաուսի կոր (նկ.7)

Նորմալ կորը սիմետրիկ է x=m ուղիղ գծի նկատմամբ, ունի առավելագույնը x=a-ում, հավասար է .

X պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան, որը բաշխված է նորմալ օրենքի համաձայն, արտահայտվում է Լապլասի Ֆ (x) ֆունկցիայի միջոցով՝ ըստ բանաձևի.

,

որտեղ է Լապլասի ֆունկցիան:

Մեկնաբանություն: Ф(x) ֆունկցիան կենտ է (Ф(-х)=-Ф(х)), բացի այդ, x>5-ի համար կարող ենք ենթադրել Ф(х) ≈1/2։

F(x) բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Հավանականությունը, որ բացարձակ արժեքԴ դրական թվից փոքր շեղումները հաշվարկվում են բանաձևով.

Մասնավորապես, m=0-ի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

«Երեք սիգմայի կանոն»

Եթե ​​X պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխման օրենք m և σ պարամետրերով, ապա գրեթե վստահ է, որ դրա արժեքը գտնվում է միջակայքում (a-3σ; a+3σ), քանի որ.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

բ) Եկեք օգտագործենք բանաձևը.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Ֆ(х) ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակից մենք գտնում ենք Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413։

Այսպիսով, ցանկալի հավանականությունը.

P (28

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

3.1. X պատահական փոփոխականը հավասարաչափ բաշխված է (-3;5) միջակայքում: Գտնել.

բ) բաշխման ֆունկցիա F(x);

գ) թվային բնութագրերը.

դ) հավանականություն P(4<х<6).

3.2. Պատահական X փոփոխականը միատեսակ բաշխված է հատվածի վրա: Գտնել.

ա) բաշխման խտությունը f(x);

բ) բաշխման ֆունկցիա F(x);

գ) թվային բնութագրերը.

դ) հավանականություն P (3≤x≤6).

3.3. Մայրուղու վրա կա ավտոմատ լուսացույց, որի վրա կանաչ լույսը վառվում է 2 րոպե, դեղինը՝ 3 վայրկյան, կարմիրը՝ 30 վայրկյան և այլն։ Ավտոմեքենան շրջում է մայրուղով պատահական պահին։ Գտեք հավանականությունը, որ մեքենան առանց կանգ առնելու կանցնի լուսացույցի վրայով։

3.4. Մետրոյի գնացքները կանոնավոր աշխատում են 2 րոպե ընդմիջումներով: Ուղևորը պատահական ժամանակ է մտնում հարթակ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ուղևորը ստիպված կլինի սպասել ավելի քան 50 վայրկյան գնացքի համար: Գտեք X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ գնացքի սպասման ժամանակը:

3.5. Գտե՛ք բաշխման ֆունկցիայի կողմից տրված էքսպոնենցիալ բաշխման շեղումը և ստանդարտ շեղումը.

F(x)= 0 x-ում<0,

1-8x x≥0-ի համար:

3.6. Շարունակական պատահական X փոփոխականը որոշվում է հավանականության բաշխման խտությամբ.

f(x)= 0 x-ում<0,

0.7 e-0.7x x≥0-ում:

ա) Անվանեք դիտարկվող պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

բ) Գտե՛ք F(X) բաշխման ֆունկցիան և X պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը։

3.7. Պատահական X փոփոխականը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի, որը նշված է հավանականության բաշխման խտությամբ.

f(x)= 0 x-ում<0,

0,4 e-0,4 x x≥0-ում:

Գտե՛ք հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում X-ը արժեք կվերցնի (2.5;5) միջակայքից։

3.8. Շարունակական պատահական X փոփոխականը բաշխվում է բաշխման ֆունկցիայի կողմից սահմանված էքսպոնենցիալ օրենքի համաձայն.

F(x)= 0 x-ում<0,

1-ին-0.6x x≥0-ում

Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում X-ը արժեք կվերցնի հատվածից։

3.9. Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի ակնկալվող արժեքը և ստանդարտ շեղումը համապատասխանաբար 8 և 2 են Գտեք.

ա) բաշխման խտությունը f(x);

բ) հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում X-ը արժեք կվերցնի (10;14) միջակայքից:

3.10. Պատահական X փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է 3,5 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 0,04 շեղումով: Գտնել.

ա) բաշխման խտությունը f(x);

բ) հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում X-ը արժեք կվերցնի հատվածից:

3.11. X պատահական փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է M(X)=0 և D(X)=1: Իրադարձություններից ո՞րն է՝ |X|≤0.6 կամ |X|≥0.6 ավելի հավանական:

3.12. Պատահական X փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է M(X)=0 և D(X)=1 Ո՞ր միջակայքից է (-0.5;-0.1) կամ (1;2) ավելի հավանական է, որ արժեք ստանա մեկ թեստի ընթացքում:

3.13. Մեկ բաժնետոմսի ընթացիկ գինը կարելի է մոդելավորել՝ օգտագործելով նորմալ բաշխման օրենքը M(X)=10 den-ով: միավորներ եւ σ (X)=0,3 դեն. միավորներ Գտնել.

ա) հավանականությունը, որ բաժնետոմսի ընթացիկ գինը կլինի 9,8 դեն-ից: միավորներ մինչև 10,4 օր միավորներ;

բ) օգտագործելով «երեք սիգմա կանոնը», գտեք այն սահմանները, որոնցում կգտնվի բաժնետոմսի ընթացիկ գինը:

3.14. Նյութը կշռվում է առանց համակարգված սխալների: Կշռման պատահական սխալները ենթարկվում են նորմալ օրենքի՝ σ=5գ միջին քառակուսի հարաբերակցությամբ: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ չորս անկախ փորձերի ժամանակ երեք կշռման ժամանակ սխալ տեղի չի ունենա 3r բացարձակ արժեքով:

3.15. X պատահական փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է M(X)=12.6-ով: Պատահական փոփոխականի (11.4;13.8) միջակայքում ընկնելու հավանականությունը 0.6826 է։ Գտե՛ք ստանդարտ շեղումը σ.

3.16. Պատահական X փոփոխականը բաշխվում է նորմալ M(X)=12-ով և D(X)=36-ով Գտեք այն միջակայքը, որի մեջ 0,9973 հավանականությամբ կհայտնվի X պատահական փոփոխականը:

3.17. Ավտոմատ մեքենայի կողմից արտադրված հատվածը համարվում է թերի, եթե դրա վերահսկվող պարամետրի X շեղումը անվանական արժեքից գերազանցում է չափման մոդուլը 2 միավորը: Ենթադրվում է, որ X պատահական փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է M(X)=0 և σ(X)=0.7: Մեքենան արտադրում է թերի մասերի քանի՞ տոկոս:

3.18. Մասի X պարամետրը բաշխվում է նորմալ՝ անվանական արժեքին հավասար 2 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 0,014 ստանդարտ շեղումով։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ X-ի շեղումը անվանական արժեքից չի գերազանցի անվանական արժեքի 1%-ը։

Պատասխանները

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

բ) 0 x≤-3-ի համար,

F(x)= ձախ">

3.10. ա) f(x)=,

բ) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. ա) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Ակնկալվող արժեքը

Ցրվածությունշարունակական պատահական X փոփոխականը, որի հնարավոր արժեքները պատկանում են ամբողջ Ox առանցքին, որոշվում է հավասարությամբ.

Ծառայության նպատակը. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է լուծելու այն խնդիրները, որոնցում կամ բաշխման խտությունը f(x) կամ բաշխման ֆունկցիա F(x) (տես օրինակ): Սովորաբար նման առաջադրանքներում պետք է գտնել մաթեմատիկական ակնկալիք, ստանդարտ շեղում, f(x) և F(x) ֆունկցիաների սյուժետային գրաֆիկներ.

Հրահանգներ. Ընտրեք աղբյուրի տվյալների տեսակը՝ բաշխման խտություն f(x) կամ բաշխման ֆունկցիա F(x):

Բաշխման խտությունը f(x) տրված է Բաշխման ֆունկցիան F(x) տրված

Բաշխման խտությունը f(x) տրված է.

F(x) բաշխման ֆունկցիան տրված է.

Շարունակական պատահական փոփոխականը որոշվում է հավանականության խտությամբ
(Ռեյլի բաշխման օրենքը - օգտագործվում է ռադիոտեխնիկայում): Գտեք M(x), D(x):

Պատահական X փոփոխականը կոչվում է շարունակական , եթե դրա բաշխման ֆունկցիան F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան օգտագործվում է տվյալ ինտերվալի մեջ պատահական փոփոխականի ընկնելու հավանականությունը հաշվարկելու համար.
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ավելին, շարունակական պատահական փոփոխականի համար կարևոր չէ, թե արդյոք դրա սահմանները ներառված են այս միջակայքում, թե ոչ.
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Բաշխման խտությունը շարունակական պատահական փոփոխականը կոչվում է ֆունկցիա
f(x)=F’(x) , բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալ։

Բաշխման խտության հատկությունները

1. Պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը ոչ բացասական է (f(x) ≥ 0) x-ի բոլոր արժեքների համար:
2. Նորմալացման պայման.

Նորմալացման պայմանի երկրաչափական նշանակությունը՝ բաշխման խտության կորի տակ գտնվող տարածքը հավասար է միասնության։
3. X պատահական փոփոխականի՝ α-ից β միջակայքում ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Երկրաչափորեն, շարունակական պատահական X փոփոխականի (α, β) ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հավասար է կորագիծ trapezoid-ի մակերեսին բաշխման խտության կորի տակ՝ հիմնված այս ընդմիջման վրա:
4. Բաշխման ֆունկցիան խտությամբ արտահայտվում է հետեւյալ կերպ.

Բաշխման խտության արժեքը x կետում հավասար չէ այս արժեքի ընդունման հավանականությանը շարունակական պատահական փոփոխականի համար, մենք կարող ենք խոսել միայն տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականության մասին. Թող)