Լուծումիրականացվում է հաշվիչի միջոցով:
Գտնել խմբի միջինները.
| Ն | Պ 1 | Պ 2 |
| 1 | 12 | 17 |
| 2 | 18 | 19 |
| 3 | 23 | 25 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 17 |
| x միջին | 15.6 | 17 |
Նշանակենք p - գործոնի մակարդակների թիվը (p=2): Չափերի թիվը յուրաքանչյուր մակարդակում նույնն է և հավասար է q=5:
Վերջին տողը պարունակում է խմբային միջոցներ յուրաքանչյուր գործոնի մակարդակի համար:
Ընդհանուր միջինը կարելի է ստանալ որպես խմբի միջինների թվաբանական միջին.
(1)
Ընդհանուր միջինի նկատմամբ ձախողման տոկոսի խմբային միջինների տարածման վրա ազդում են ինչպես դիտարկվող գործոնի մակարդակի փոփոխությունները, այնպես էլ պատահական գործոնները:
Այս գործոնի ազդեցությունը հաշվի առնելու համար ընտրանքի ընդհանուր շեղումը բաժանվում է երկու մասի, որոնցից առաջինը կոչվում է S 2 f գործոն, իսկ երկրորդը կոչվում է մնացորդային S 2 հանգիստ։
Այս բաղադրիչները հաշվի առնելու համար նախ հաշվարկում ենք ընդհանուր գումարըքառակուսի շեղումների տարբերակ ընդհանուր միջինից.
և խմբի միջինների քառակուսի շեղումների գործակցային գումարը ընդհանուր միջինից, որը բնութագրում է այս գործոնի ազդեցությունը.
Վերջին արտահայտությունը ստացվում է R արտահայտության յուրաքանչյուր տարբերակ փոխարինելով տվյալ գործակցի ընդհանուր խմբի միջինով:
Քառակուսի շեղումների մնացորդային գումարը ստացվում է որպես տարբերություն.
R հանգիստ = R ընդհանուր - R f
Ընդհանուր նմուշի շեղումը որոշելու համար անհրաժեշտ է R ընդհանուրը բաժանել pq չափումների քանակով.
և անաչառ ընդհանուր նմուշի շեղումը ստանալու համար այս արտահայտությունը պետք է բազմապատկվի pq/(pq-1):
Համապատասխանաբար, անաչառ գործոնի ընտրանքի շեղման համար.
որտեղ p-1-ը անկողմնակալ գործոնի ընտրանքի շեղումների ազատության աստիճանների թիվն է:
Գործոնի ազդեցությունը դիտարկվող պարամետրի փոփոխությունների վրա գնահատելու համար արժեքը հաշվարկվում է.
Քանի որ S 2 f և S 2 հանգստի երկու ընտրանքային շեղումների հարաբերակցությունը բաշխված է Ֆիշեր-Սնեդեկոր օրենքի համաձայն, f obs-ի ստացված արժեքը համեմատվում է բաշխման ֆունկցիայի արժեքի հետ։
f c կրիտիկական կետում, որը համապատասխանում է ընտրված նշանակության մակարդակին a.
Եթե f obs >f cr, ապա գործոնը էական ազդեցություն ունի և պետք է հաշվի առնել, հակառակ դեպքում այն ունի աննշան ազդեցություն, որը կարելի է անտեսել:
Rob-ը և Rf-ը հաշվարկելու համար կարող են օգտագործվել նաև հետևյալ բանաձևերը.
(4)
(5)
Մենք գտնում ենք ընդհանուր միջինը, օգտագործելով բանաձևը (1).
Rtot-ը (4) բանաձևով հաշվարկելու համար մենք կազմում ենք 2 քառակուսի աղյուսակ.
| Ն | P 2 1 | P 2 2 |
| 1 | 144 | 289 |
| 2 | 324 | 361 |
| 3 | 529 | 625 |
| 4 | 100 | 49 |
| 5 | 225 | 289 |
| ∑ | 1322 | 1613 |
Ընդհանուր միջինը հաշվարկվում է բանաձևով (1).
Ռտոտ = 1322 + 1613 - 5 2 16.3 2 = 278.1
Մենք գտնում ենք R f բանաձևը (5):
R f = 5 (15.6 2 + 17 2) - 2 16.3 2 = 4.9
Մենք ստանում ենք R հանգիստ՝ R հանգիստ = R ընդհանուր - R f = 278.1 - 4.9 = 273.2
Մենք որոշում ենք գործոնը և մնացորդային շեղումները.
Եթե միջին արժեքները պատահական փոփոխականԱռանձին նմուշներից հաշվարկված նույնն են, ապա գործակցի և մնացորդային շեղումների գնահատումները անաչառ գնահատականներ են ընդհանուր շեղումև աննշանորեն տարբերվում են:
Այնուհետև Ֆիշերի չափանիշի օգտագործմամբ այս շեղումների գնահատականների համեմատությունը պետք է ցույց տա, որ պատճառ չկա մերժելու գործոնի և մնացորդային շեղումների հավասարության մասին զրոյական վարկածը:
Գործոնների ցրման գնահատումը փոքր է մնացորդային դիսպերսիայի գնահատականից, այնպես որ մենք կարող ենք անմիջապես հաստատել զրոյական վարկածի վավերականությունը մաթեմատիկական ակնկալիքների հավասարության վերաբերյալ նմուշի շերտերում:
Այսինքն՝ այս օրինակում Ф գործոնը էական ազդեցություն չի թողնում պատահական փոփոխականի վրա։
Եկեք ստուգենք զրոյական վարկածը H 0. x-ի միջին արժեքների հավասարություն:
Գտեք f obs.
Նշանակալիության α=0,05 մակարդակի համար, ազատության աստիճաններ 1 և 8, մենք գտնում ենք fcr Fisher-Snedecor բաշխման աղյուսակից:
f cr (0.05; 1; 8) = 5.32
Պայմանավորված է նրանով, որ զ< f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Այլ կերպ ասած, ուսանողների խոսքային և ոչ խոսքային նախասիրությունների բաշխվածությունը տարբերվում է:
Զորավարժություններ. Գործարանն ունի երեսպատման սալիկների արտադրության չորս գիծ։ Յուրաքանչյուր տողից հերթափոխի ընթացքում պատահականորեն ընտրվել է 10 սալիկ և չափվել դրանց հաստությունը (մմ): Անվանական չափից շեղումները բերված են աղյուսակում: Պահանջվում է a = 0,05 նշանակության մակարդակով հաստատել, որ կա բարձրորակ սալիկների արտադրության կախվածություն արտադրական գծից (գործոն A):
Զորավարժություններ. a = 0,05 նշանակության մակարդակով ուսումնասիրեք ներկի գույնի ազդեցությունը ծածկույթի ծառայության ժամկետի վրա:
Օրինակ թիվ 1. Կատարվել է 13 թեստ, որից 4-ը՝ առաջին գործոնի մակարդակով, 4-ը՝ երկրորդ, 3-ը՝ երրորդ և 2-ը՝ չորրորդ։ Օգտագործելով 0,05 նշանակալիության մակարդակի շեղումների վերլուծության մեթոդը, փորձարկեք խմբային միջինների հավասարության մասին զրոյական վարկածը: Ենթադրվում է, որ նմուշները վերցված են նորմալ պոպուլյացիաներից՝ հավասար տարբերություններով: Թեստի արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում:
Լուծում:
Գտնել խմբի միջինները.
| Ն | Պ 1 | Պ 2 | Պ 3 | Պ 4 |
| 1 | 1.38 | 1.41 | 1.32 | 1.31 |
| 2 | 1.38 | 1.42 | 1.33 | 1.33 |
| 3 | 1.42 | 1.44 | 1.34 | - |
| 4 | 1.42 | 1.45 | - | - |
| ∑ | 5.6 | 5.72 | 3.99 | 2.64 |
| x միջին | 1.4 | 1.43 | 1.33 | 1.32 |
Նշանակենք p - գործոնի մակարդակների թիվը (p=4): Չափերի քանակը յուրաքանչյուր մակարդակում է՝ 4,4,3,2
Վերջին տողը պարունակում է խմբային միջոցներ յուրաքանչյուր գործոնի մակարդակի համար:
Ընդհանուր միջինը հաշվարկվում է բանաձևով.
Ստոտալը (4) բանաձևով հաշվարկելու համար մենք կազմում ենք 2 քառակուսի աղյուսակ.
| Ն | P 2 1 | P 2 2 | P 2 3 | P 2 4 |
| 1 | 1.9 | 1.99 | 1.74 | 1.72 |
| 2 | 1.9 | 2.02 | 1.77 | 1.77 |
| 3 | 2.02 | 2.07 | 1.8 | - |
| 4 | 2.02 | 2.1 | - | - |
| ∑ | 7.84 | 8.18 | 5.31 | 3.49 |
Քառակուսի շեղումների ընդհանուր գումարը հայտնաբերվում է բանաձևով.
Մենք գտնում ենք S f բանաձևով.
Ստանում ենք S հանգիստ՝ S rest = S total - S f = 0,0293 - 0,0263 = 0,003
Մենք որոշում ենք գործոնի դիսպերսիան.
և մնացորդային շեղում.
Եթե առանձին նմուշների համար հաշվարկված պատահական փոփոխականի միջին արժեքները նույնն են, ապա գործոնի և մնացորդային շեղումների գնահատումները ընդհանուր շեղումների անաչառ գնահատականներն են և էականորեն չեն տարբերվում:
Այնուհետև Ֆիշերի չափանիշի օգտագործմամբ այս շեղումների գնահատականների համեմատությունը պետք է ցույց տա, որ պատճառ չկա մերժելու գործոնի և մնացորդային շեղումների հավասարության մասին զրոյական վարկածը:
Գործոնի դիսպերսիայի գնահատումը ավելի մեծ է, քան մնացորդային դիսպերսիայի գնահատականը, ուստի մենք կարող ենք անմիջապես պնդել, որ մաթեմատիկական ակնկալիքների հավասարության մասին զրոյական վարկածը ընտրանքի շերտերում ճիշտ չէ:
Այլ կերպ ասած, այս օրինակում Ֆ գործոնը էական ազդեցություն ունի պատահական փոփոխականի վրա։
Եկեք ստուգենք զրոյական վարկածը H 0. x-ի միջին արժեքների հավասարություն:
Գտեք f obs.
α=0.05 նշանակության մակարդակի համար, ազատության աստիճաններ 3 և 12 համարները, մենք գտնում ենք fcr Fisher-Snedecor բաշխման աղյուսակից:
f cr (0.05; 3; 12) = 3.49
Ելնելով նրանից, որ f դիտարկել է > f cr, մենք ընդունում ենք փորձերի արդյունքների վրա գործոնի նշանակալի ազդեցության մասին զրոյական վարկածը (մենք մերժում ենք խմբային միջինների հավասարության մասին զրոյական վարկածը)։ Այլ կերպ ասած, խմբային միջոցներն ընդհանուր առմամբ զգալիորեն տարբերվում են:
Օրինակ թիվ 2. Դպրոցն ունի 5 վեցերորդ դասարան։ Հոգեբանին հանձնարարված է որոշել, թե արդյոք իրավիճակային անհանգստության միջին մակարդակը նույնն է դասարաններում: Այդ նպատակով դրանք տրված են աղյուսակում: Ստուգեք α=0.05 նշանակության մակարդակը, այն ենթադրությունը, որ դասերի միջին իրավիճակային անհանգստությունը չի տարբերվում:
Օրինակ թիվ 3. X-ի արժեքը ուսումնասիրելու համար F գործոնի հինգ մակարդակներից յուրաքանչյուրում իրականացվել է 4 թեստ: Փորձարկման արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: Պարզեք, թե արդյոք F գործոնի ազդեցությունը X-ի արժեքի վրա էական է, Վերցրեք α = 0,05: Ենթադրվում է, որ նմուշները վերցված են նորմալ պոպուլյացիաներից՝ հավասար տարբերություններով:
Օրինակ թիվ 4. Ենթադրենք մանկավարժական փորձին մասնակցել է 10-ական աշակերտից բաղկացած երեք խումբ։ Կիրառվում է խմբերով տարբեր մեթոդներուսուցում. առաջինում՝ ավանդական (F 1), երկրորդում՝ համակարգչային տեխնոլոգիայի վրա հիմնված (F 2), երրորդում՝ մեթոդ, որը լայնորեն օգտագործում է առաջադրանքներ ինքնուրույն աշխատանք(F 3). Գիտելիքը գնահատվել է տասը բալանոց համակարգով:
Պահանջվում է մշակել ստացված քննական տվյալները և եզրակացություն անել դասավանդման մեթոդի ազդեցությունը նշանակալի լինելու վերաբերյալ՝ որպես նշանակության մակարդակ վերցնելով α = 0,05:
Քննության արդյունքները բերված են աղյուսակում, F j-ն x ij գործոնի մակարդակն է՝ i-րդ ուսանողի գնահատականը F j մեթոդով:
|
Գործոնի մակարդակը |
|||||||||||
Օրինակ թիվ 5. Ցուցադրված են մշակաբույսերի մրցակցային սորտերի փորձարկման արդյունքները (բերքատվությունը հեկտարից սանտիմետրերով): Յուրաքանչյուր սորտի փորձարկվել է չորս հողամասերում: Օգտագործելով շեղումների վերլուծություն, ուսումնասիրեք սորտի ազդեցությունը բերքատվության վրա: Սահմանել գործոնի ազդեցության նշանակությունը (միջխմբային տատանումների մասնաբաժինը ընդհանուր տատանումների մեջ) և փորձարարական արդյունքների նշանակությունը նշանակալիության մակարդակում 0,05:
Արտադրողականություն սորտերի փորձարկման հողամասերում
| Բազմազանություն | Արտադրողականությունը կրկնօրինակներով գ. հա-ից | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 2 3 |
42,4 52,5 52,3 |
37,4 50,1 53,0 |
40,7 53,8 51,4 |
38,2 50,7 53,6 |
Այս գրառման մեջ վիճակագրության օգտագործումը կներկայացվի խաչաձև օրինակով: Ենթադրենք, դուք Perfect Parachute-ի արտադրության մենեջերն եք: Պարաշյուտները պատրաստված են սինթետիկ մանրաթելերից, որոնք մատակարարվում են չորս տարբեր մատակարարների կողմից: Պարաշյուտի հիմնական հատկանիշներից մեկը նրա ուժն է։ Դուք պետք է ապահովեք, որ մատակարարված բոլոր մանրաթելերը նույն ամրության են: Այս հարցին պատասխանելու համար պետք է նախագծել փորձնական դիզայն՝ սինթետիկ մանրաթելից հյուսված պարաշյուտների ուժը չափելու համար: տարբեր մատակարարներ. Այս փորձից ստացված տեղեկատվությունը կորոշի, թե որ մատակարարն է ապահովում առավել դիմացկուն պարաշյուտները:
Շատ ծրագրեր ներառում են փորձեր, որոնք հաշվի են առնում մեկ գործոնի մի քանի խմբեր կամ մակարդակներ: Որոշ գործոններ, ինչպիսիք են կերամիկական կրակման ջերմաստիճանը, կարող են ունենալ բազմաթիվ թվային մակարդակներ (այսինքն՝ 300°, 350°, 400° և 450°): Այլ գործոններ, ինչպիսիք են ապրանքների գտնվելու վայրը սուպերմարկետում, կարող են ունենալ կատեգորիկ մակարդակներ (օրինակ՝ առաջին մատակարար, երկրորդ մատակարար, երրորդ մատակարար, չորրորդ մատակարար): Մեկ գործոնով փորձերը, որոնցում փորձարարական միավորները պատահականորեն վերագրվում են խմբերին կամ գործոնային մակարդակներին, կոչվում են ամբողջովին պատահական:
ՕգտագործումըՖ- մի քանի մաթեմատիկական ակնկալիքների միջև եղած տարբերությունները գնահատելու չափանիշներ
Եթե խմբերում գործոնի թվային չափումները շարունակական են և որոշ լրացուցիչ պայմաններ, մի քանի խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքները համեմատելու համար օգտագործվում է շեղումների վերլուծություն(ԱՆՈՎԱ - Անվերլուծություն oզ Վառիանս): Տարբերակումների վերլուծությունը, օգտագործելով ամբողջովին պատահական ձևավորումները, կոչվում է միակողմանի ANOVA ընթացակարգ: Որոշ առումներով, շեղումների վերլուծություն տերմինը սխալ անվանում է, քանի որ այն համեմատում է տարբերությունները խմբերի ակնկալվող արժեքների, այլ ոչ թե շեղումների միջև: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկական ակնկալիքների համեմատությունն իրականացվում է հենց տվյալների տատանումների վերլուծության հիման վրա: ANOVA ընթացակարգում չափումների արդյունքների ընդհանուր տատանումները բաժանվում են խմբերի և միջխմբերի (նկ. 1): Խմբի ներսում տատանումները բացատրվում են փորձարարական սխալներով, իսկ խմբերի միջև՝ փորձարարական պայմանների ազդեցությամբ: Խորհրդանիշ Հետնշանակում է խմբերի քանակը.
Բրինձ. 1. Բաժանման տատանումներ լրիվ պատահականացված փորձի մեջ
Ներբեռնեք գրառումը կամ ձևաչափով, օրինակները ձևաչափով
Եկեք այդպես ձևացնենք Հետխմբերը արդյունահանվում են անկախ պոպուլյացիաներից, որոնք ունեն նորմալ բաշխում և հավասար շեղումներ: Զուր վարկածն այն է մաթեմատիկական ակնկալիքներբնակչությունը նույնն է. H 0: μ 1 = μ 2 = ... = μ s. Այլընտրանքային վարկածը նշում է, որ ոչ բոլոր մաթեմատիկական ակնկալիքներն են նույնը. Հ 1ոչ բոլոր մ j են նույնը ժ= 1, 2, ..., s).
Նկ. Գծապատկեր 2-ը ներկայացնում է իրական զրոյական վարկածը համեմատվող հինգ խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքների վերաբերյալ, պայմանով, որ պոպուլյացիաներն ունենան նորմալ բաշխվածություն և նույն շեղումը: Հինգ ընդհանուր պոպուլյացիաների հետ կապված տարբեր մակարդակներումգործոնները նույնական են. Հետևաբար, դրանք դրվում են միմյանց վրա՝ ունենալով նույն մաթեմատիկական ակնկալիքը, տատանումները և ձևը։
Բրինձ. 2. Հինգ ընդհանուր բնակչություն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները. μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5
Մյուս կողմից, ենթադրենք, որ իրականում զրոյական վարկածը կեղծ է, որտեղ չորրորդ մակարդակն ունի ամենաբարձր ակնկալվող արժեքը, առաջին մակարդակը՝ մի փոքր ավելի ցածր ակնկալվող արժեք, իսկ մնացած մակարդակները ունեն նույն և նույնիսկ ավելի ցածր ակնկալվող արժեքներ ( Նկար 3): Նկատի ունեցեք, որ, բացառությամբ ակնկալվող արժեքների, բոլոր հինգ պոպուլյացիաները նույնական են (այսինքն ունեն նույն փոփոխականությունն ու ձևը):
Բրինձ. 3. Փորձարարական պայմանների ազդեցությունը նկատվում է. μ 4 > μ 1 > μ 2 = μ 3 = μ 5
Մի քանի ընդհանուր պոպուլյացիաների մաթեմատիկական ակնկալիքների հավասարության մասին վարկածը ստուգելիս ընդհանուր տատանումները բաժանվում են երկու մասի՝ միջխմբային տատանումներ՝ խմբերի միջև տարբերությունների պատճառով, և ներխմբային տատանումներ՝ նույն խմբին պատկանող տարրերի տարբերությունների պատճառով: Ընդհանուր տատանումն արտահայտվում է քառակուսիների ընդհանուր գումարով (SST – ընդհանուր քառակուսիների գումար): Քանի որ զրոյական վարկածն այն է, որ բոլորի մաթեմատիկական ակնկալիքները Հետխմբերը հավասար են միմյանց, ընդհանուր տատանումները հավասար են առանձին դիտարկումների քառակուսի տարբերությունների և ընդհանուր միջինի (միջինների միջին) գումարին, որը հաշվարկվում է բոլոր նմուշների համար: Ամբողջական տատանումներ.
Որտեղ 
- ընդհանուր միջին, X ij - ես-ե դիտարկումը մեջ ժ- խումբ կամ մակարդակ, n ժ- Դիտարկումների քանակը ժ-րդ խումբ, n - ընդհանուրդիտարկումներ բոլոր խմբերում (այսինքն. n = n 1
+ n 2 + … + n գ), Հետ- ուսումնասիրված խմբերի կամ մակարդակների քանակը:
Խմբերի միջև տատանումներ, որը սովորաբար կոչվում է քառակուսիների միջխմբային գումար (SSA - խմբերի միջև քառակուսիների գումար), հավասար է յուրաքանչյուր խմբի ընտրանքային միջինի միջև եղած տարբերությունների քառակուսիների գումարին: ժև ընդհանուր միջինը , բազմապատկված համապատասխան խմբի ծավալով n ժ:
Որտեղ Հետ- ուսումնասիրված խմբերի կամ մակարդակների քանակը, n ժ- Դիտարկումների քանակը ժ-րդ խումբ, ժ- միջին արժեքը ժ-րդ խումբ, - ընդհանուր միջին.
Խմբի ներսում տատանումներ, որը սովորաբար կոչվում է քառակուսիների ներխմբային գումար (SSW - խմբերի մեջ գտնվող քառակուսիների գումար), հավասար է յուրաքանչյուր խմբի տարրերի և այս խմբի միջին նմուշի տարբերությունների քառակուսիների գումարին: ժ:
Որտեղ Xij - եսրդ տարր ժ-րդ խումբ, ժ- միջին արժեքը ժրդ խումբ.
Քանի որ դրանք համեմատվում են Հետգործոնային մակարդակները, քառակուսիների միջխմբային գումարն ունի s – 1ազատության աստիճաններ. Յուրաքանչյուրը Հետմակարդակներ ունի n ժ – 1 ազատության աստիճաններ, ուստի քառակուսիների ներխմբային գումարն ունի n- Հետազատության աստիճաններ, և
Բացի այդ, քառակուսիների ընդհանուր գումարն ունի n – 1 ազատության աստիճաններ, քանի որ յուրաքանչյուր դիտարկում Xijհամեմատվում է բոլորի վրա հաշվարկված ընդհանուր միջինի հետ nդիտարկումներ։ Եթե այս գումարներից յուրաքանչյուրը բաժանվում է ազատության աստիճանների համապատասխան քանակի, ապա առաջանում է ցրման երեք տեսակ. միջխմբային(միջին քառակուսի - MSA), ներխմբային(միջին քառակուսի - MSW) և լի(միջին քառակուսի ընդհանուր - MST):
Չնայած այն հանգամանքին, որ շեղումների վերլուծության հիմնական նպատակը մաթեմատիկական ակնկալիքների համեմատությունն է Հետխմբերը բացահայտելու փորձարարական պայմանների ազդեցությունը, դրա անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ հիմնական գործիքը շեղումների վերլուծությունն է տարբեր տեսակներ. Եթե զրոյական վարկածը ճիշտ է, և մաթեմատիկական ակնկալիքների միջև Հետխմբերը էական տարբերություններ չունեն, բոլոր երեք շեղումները՝ MSA, MSW և MST, շեղումների գնահատումներ են σ 2վերլուծված տվյալներին բնորոշ: Այսպիսով, փորձարկել զրոյական վարկածը H 0: μ 1 = μ 2 = ... = μ sև այլընտրանքային վարկած Հ 1ոչ բոլոր մ j են նույնը ժ = 1, 2, …, Հետ), անհրաժեշտ է հաշվարկել վիճակագրությունը Ֆ-չափանիշ, որը երկու շեղումների՝ MSA-ի և MSW-ի հարաբերակցությունն է: Փորձարկում Ֆ- Վիճակագրություն միակողմանի շեղումների վերլուծության մեջ
Վիճակագրություն Ֆ- ենթակա են չափանիշների Ֆ- բաշխում հետ s – 1ազատության աստիճաններ համարիչում Մ.Ս.Ա.Եվ n – sազատության աստիճանները հայտարարի մեջ M.S.W.. Տվյալ նշանակության α մակարդակի համար զրոյական վարկածը մերժվում է, եթե հաշվարկված է Ֆ ՖU, բնորոշ Ֆ- բաշխում հետ s – 1 n – sազատության աստիճանները հայտարարի մեջ. Այսպիսով, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4, վճռական կանոնձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ զրո վարկած Հ 0մերժվել է, եթե F>FU; հակառակ դեպքում չի մերժվում։
Բրինձ. 4. Հիպոթեզը փորձարկելու ժամանակ շեղումների վերլուծության կրիտիկական տարածքը Հ 0
Եթե զրոյական վարկածը Հ 0ճիշտ է, հաշվարկված Ֆ-վիճակագրությունը մոտ է 1-ին, քանի որ դրա համարիչը և հայտարարը նույն քանակի գնահատականներ են՝ վերլուծված տվյալներին բնորոշ σ 2-ի ցրումը: Եթե զրոյական վարկածը Հ 0կեղծ է (և տարբեր խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքների միջև կա էական տարբերություն), հաշվարկված Ֆ-վիճակագրությունը մեկից շատ ավելի մեծ կլինի, քանի որ դրա համարիչը՝ MSA-ն, բացի տվյալների բնական փոփոխականությունից, գնահատում է փորձարարական պայմանների ազդեցությունը կամ խմբերի միջև տարբերությունը, մինչդեռ MSW հայտարարը գնահատում է միայն տվյալների բնական փոփոխականությունը։ . Այսպիսով, ANOVA ընթացակարգը Ֆ-չափանիշը, որի դեպքում, տվյալ նշանակության մակարդակում α, զրոյական վարկածը մերժվում է, եթե հաշվարկված է. Ֆ- վիճակագրությունը ավելի մեծ է, քան վերին կրիտիկական արժեքը ՖU, բնորոշ Ֆ- բաշխում հետ s – 1ազատության աստիճանները համարիչում և n – sԱզատության աստիճանները հայտարարում, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.
Տարբերակման միակողմանի վերլուծությունը ցույց տալու համար եկեք վերադառնանք գրառման սկզբում նկարագրված սցենարին: Փորձի նպատակն է պարզել, թե արդյոք տարբեր մատակարարներից ստացված սինթետիկ մանրաթելերից հյուսված պարաշյուտներն ունեն նույն ուժը: Յուրաքանչյուր խումբ ունի հինգ պարաշյուտ: Խմբերը բաժանված են ըստ մատակարարներին - Մատակարար 1, Մատակարար 2, Մատակարար 3 և Մատակարար 4. Պարաշյուտների ուժը չափվում է հատուկ սարքի միջոցով, որը փորձարկում է կտորի պատռվելը երկու կողմից: Պարաշյուտը կոտրելու համար անհրաժեշտ ուժը չափվում է հատուկ սանդղակով: Որքան մեծ է կոտրելու ուժը, այնքան ուժեղ է պարաշյուտը: Excel-ը թույլ է տալիս վերլուծել Ֆ- վիճակագրություն մեկ սեղմումով: Անցեք ցանկի միջով Տվյալներ → Տվյալների վերլուծությունև ընտրեք տողը Միակողմանի ԱՆՈՎԱ, լրացրեք բացվող պատուհանը (նկ. 5): Փորձարարական արդյունքները (կոտրման ուժը), որոշ նկարագրական վիճակագրություն և շեղումների միակողմանի վերլուծության արդյունքները ներկայացված են Նկ. 6.
Բրինձ. 5. Պատուհան Տարբերությունների վերլուծության միակողմանի վերլուծության փաթեթ Excel
Բրինձ. 6. Տարբեր մատակարարներից ստացված սինթետիկ մանրաթելերից հյուսված պարաշյուտների ամրության ցուցանիշներ, նկարագրական վիճակագրություն և միակողմանի շեղումների վերլուծության արդյունքներ
Գծապատկեր 6-ի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ կա որոշակի տարբերություն նմուշի միջինների միջև: Առաջին մատակարարից ստացված մանրաթելերի միջին ամրությունը 19,52 է, երկրորդից՝ 24,26, երրորդից՝ 22,84 և չորրորդից՝ 21,16։ Արդյո՞ք այս տարբերությունը վիճակագրորեն նշանակալի է: Խզման ուժի բաշխումը ցուցադրված է ցրման գծապատկերում (նկ. 7): Այն հստակ ցույց է տալիս տարբերությունները ինչպես խմբերի միջև, այնպես էլ ներսում: Եթե յուրաքանչյուր խումբ իր չափսերով ավելի մեծ էր, ապա դրանք վերլուծելու համար կարող էին օգտագործվել ցողունի և տերևի դիագրամ, տուփի սխեման կամ զանգի գծապատկեր:
Բրինձ. 7. Չորս մատակարարներից ստացված սինթետիկ մանրաթելից հյուսված պարաշյուտների ամրության ցրման դիագրամ:
Զրոյական վարկածը նշում է, որ միջին ուժի միավորների միջև էական տարբերություններ չկան. H 0: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4. Այլընտրանքային վարկածն այն է, որ կա առնվազն մեկ մատակարար, որի միջին մանրաթելի ուժը տարբերվում է մյուսներից. Հ 1ոչ բոլոր մ j են նույնը ( ժ = 1, 2, …, Հետ).
Ընդհանուր միջինը (տես Նկար 6) = AVERAGE(D12:D15) = 21,945; որոշելու համար կարող եք նաև միջինացնել բոլոր 20 սկզբնական համարները՝ = AVERAGE (A3:D7): Տարբերության արժեքները հաշվարկվում են Վերլուծական փաթեթև արտացոլվում են ափսեի մեջ Տարբերության վերլուծություն(տես Նկար 6). SSA = 63.286, SSW = 97.504, SST = 160.790 (տես սյունակ ՍՍսեղաններ Տարբերության վերլուծությունՆկար 6): Միջինները հաշվարկվում են՝ քառակուսիների այս գումարները բաժանելով ազատության աստիճանների համապատասխան քանակի վրա։ Քանի որ Հետ= 4, ա n= 20, մենք ստանում ենք ազատության աստիճանների հետևյալ արժեքները. SSA-ի համար. s – 1= 3; SSW-ի համար. n–c= 16; SST-ի համար. n – 1= 19 (տես սյունակ Դ Ֆ) Այսպիսով՝ MSA = SSA / ( s – 1)= 21.095; MSW = SSW / ( n–c) = 6.094; MST = SST / ( n – 1) = 8,463 (տես սյունակ MS). Ֆ-վիճակագրություն = MSA / MSW = 3.462 (տես սյունակ Ֆ).
Վերին կրիտիկական արժեք ՖU, բնորոշ է Ֆ-բաշխում, որը որոշվում է =F.OBR(0.95;3;16) = 3.239 բանաձեւով: =F.OBR() ֆունկցիայի պարամետրերը՝ α = 0,05, համարիչն ունի ազատության երեք աստիճան, իսկ հայտարարը՝ 16։ Այսպիսով, հաշվարկված Ֆ-3,462-ի հավասար վիճակագրությունը գերազանցում է վերին կրիտիկական արժեքը ՖU= 3.239, զրոյական վարկածը մերժվում է (նկ. 8):
Բրինձ. 8. Տարբերակման վերլուծության կրիտիկական շրջան 0,05 նշանակալի մակարդակով, եթե համարիչն ունի ազատության երեք աստիճան, իսկ հայտարարը -16 է:
Ռ- արժեք, այսինքն. հավանականությունը, որ եթե զրոյական վարկածը ճշմարիտ է Ֆ- 3,46-ից ոչ պակաս վիճակագրություն, որը հավասար է 0,041-ի կամ 4,1%-ի (տես սյունակ p-արժեքըսեղաններ Տարբերության վերլուծությունՆկար 6): Քանի որ այս արժեքը չի գերազանցում α = 5% նշանակության մակարդակը, զրոյական վարկածը մերժվում է: Ավելին, Ռ- արժեքը ցույց է տալիս, որ ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքների միջև նման կամ ավելի մեծ տարբերություն հայտնաբերելու հավանականությունը, պայմանով, որ դրանք իրականում նույնն են, հավասար է 4,1% -ի:
Այսպիսով. Չորս ընտրանքային միջոցների միջև տարբերություն կա. Զրոյական վարկածն այն էր, որ չորս բնակչության բոլոր մաթեմատիկական ակնկալիքները հավասար են: Այս պայմաններում բոլոր պարաշյուտների ուժի ընդհանուր փոփոխականության (այսինքն՝ ընդհանուր SST տատանումների) չափումը հաշվարկվում է յուրաքանչյուր դիտարկման միջև քառակուսի տարբերությունների գումարման միջոցով։ X ijև ընդհանուր միջինը . Այնուհետև ընդհանուր փոփոխությունը բաժանվեց երկու բաղադրիչի (տես նկ. 1): Առաջին բաղադրիչը SSA-ում խմբային տատանումն էր, իսկ երկրորդը SSW-ում ներխմբային փոփոխությունն էր:
Ինչո՞վ է բացատրվում տվյալների փոփոխականությունը: Այսինքն՝ ինչո՞ւ բոլոր դիտարկումները նույնը չեն։ Պատճառներից մեկն այն է, որ տարբեր ընկերություններ մատակարարում են տարբեր հզորության մանրաթելեր: Սա մասամբ բացատրում է, թե ինչու խմբերն ունեն տարբեր մաթեմատիկական ակնկալիքներ. որքան ուժեղ է փորձարարական պայմանների ազդեցությունը, այնքան մեծ կլինի խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքների տարբերությունը: Տվյալների փոփոխականության մեկ այլ պատճառ է ցանկացած գործընթացի բնական փոփոխականությունը, in այս դեպքում- պարաշյուտների արտադրություն. Նույնիսկ եթե բոլոր մանրաթելերը գնված լինեին միևնույն մատակարարից, նրանց ուժը նույնը չէր լինի, մնացած բոլորը հավասար են: Քանի որ այս ազդեցությունը տեղի է ունենում յուրաքանչյուր խմբի ներսում, այն կոչվում է խմբային տատանումներ:
Նմուշային միջոցների միջև եղած տարբերությունները կոչվում են միջխմբային տատանումների SSA: Ներխմբային փոփոխության մի մասը, ինչպես արդեն նշվել է, բացատրվում է տվյալների պատկանելությամբ տարբեր խմբեր. Այնուամենայնիվ, նույնիսկ եթե խմբերը լինեին միանգամայն նույնը (այսինքն, զրոյական վարկածը ճիշտ էր), խմբերի միջև տատանումները դեռ գոյություն կունենան: Դրա պատճառը պարաշյուտների արտադրության գործընթացի բնական փոփոխականությունն է։ Քանի որ նմուշները տարբեր են, դրանց նմուշային միջոցները տարբերվում են միմյանցից: Հետևաբար, եթե զրոյական վարկածը ճշմարիտ է, և՛ խմբերի միջև, և՛ խմբային փոփոխականությունը ներկայացնում են բնակչության փոփոխականության գնահատականը: Եթե զրոյական վարկածը կեղծ է, ապա խմբերի միջև վարկածն ավելի մեծ կլինի: Այս փաստն է հիմքում ընկած Ֆ- մի քանի խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքների տարբերությունները համեմատելու չափանիշ:
Միակողմանի ԱՆՈՎԱ կատարելուց և ընկերությունների միջև զգալի տարբերություն գտնելուց հետո անհայտ է մնում, թե որ մատակարարն է էապես տարբերվում մյուսներից: Մենք միայն գիտենք, որ ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքները հավասար չեն։ Այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներից գոնե մեկը էականորեն տարբերվում է մյուսներից։ Որոշելու համար, թե որ մատակարարն է տարբերվում մյուսներից, կարող եք օգտագործել Tukey ընթացակարգը, օգտագործելով մատակարարների միջև զույգ-զույգ համեմատությունները: Այս պրոցեդուրան մշակել է Ջոն Թուքին: Հետագայում նա և Կ. Կրամերը ինքնուրույն փոփոխեցին այս ընթացակարգը այն իրավիճակների համար, որոնցում ընտրանքի չափերը տարբերվում են միմյանցից:
Բազմաթիվ համեմատություն. Tukey-Kramer ընթացակարգ
Մեր սցենարում, պարաշյուտների ուժը համեմատելու համար օգտագործվել է շեղումների միակողմանի վերլուծություն: Չորս խմբերի մաթեմատիկական ակնկալիքների միջև էական տարբերություններ գտնելով՝ անհրաժեշտ է որոշել, թե որ խմբերն են տարբերվում միմյանցից։ Թեև այս խնդիրը լուծելու մի քանի եղանակ կա, մենք միայն նկարագրելու ենք Tukey-Kramer բազմակի համեմատության ընթացակարգը: Այս մեթոդը հետհոկ համեմատության ընթացակարգերի օրինակ է, քանի որ փորձարկվող վարկածը ձևակերպվում է տվյալների վերլուծությունից հետո: Tukey-Kramer պրոցեդուրան թույլ է տալիս բոլոր զույգ խմբերը միաժամանակ համեմատել: Առաջին փուլում հաշվարկվում են տարբերությունները Xժ -Xժ ’ , Որտեղ ժ ≠ժ’ , մաթեմատիկական ակնկալիքների միջեւ s(s – 1)/2խմբերը. Կրիտիկական շրջանակ Tukey-Kramer ընթացակարգը հաշվարկվում է բանաձևով.
Որտեղ Q U- ուսանողական միջակայքի բաշխման վերին կրիտիկական արժեքը, որն ունի Հետազատության աստիճանները համարիչում և n - Հետազատության աստիճանները հայտարարի մեջ.
Եթե ընտրանքի չափերը նույնը չեն, կրիտիկական միջակայքը հաշվարկվում է մաթեմատիկական ակնկալիքների յուրաքանչյուր զույգի համար առանձին: Վերջին փուլում յուրաքանչյուրը s(s – 1)/2մաթեմատիկական ակնկալիքների զույգերը համեմատվում են համապատասխան կրիտիկական միջակայքի հետ: Զույգի տարրերը համարվում են էականորեն տարբեր, եթե տարբերության մոդուլը | X ժ -Xժ ’ | նրանց միջև գերազանցում է կրիտիկական միջակայքը:
Եկեք կիրառենք Tukey-Kramer ընթացակարգը պարաշյուտների ամրության խնդրին: Քանի որ պարաշյուտային ընկերությունն ունի չորս մատակարար, ստուգելու համար կա 4(4 – 1)/2 = 6 զույգ մատակարար (Նկար 9):
Բրինձ. 9. Նմուշային միջոցների զույգ համեմատություններ
Քանի որ բոլոր խմբերն ունեն նույն ծավալը (այսինքն բոլորը n ժ = n ժ ’ ), բավական է հաշվարկել միայն մեկ կրիտիկական միջակայք։ Դա անելու համար, ըստ աղյուսակի ԱՆՈՎԱ(նկ. 6) մենք որոշում ենք MSW = 6.094 արժեքը: Այնուհետև մենք գտնում ենք արժեքը Q Uα = 0,05, Հետ= 4 (ազատության աստիճանների թիվը համարիչում) և n- Հետ= 20 – 4 = 16 (ազատության աստիճանների թիվը հայտարարում): Ցավոք սրտի, Excel-ում չգտա համապատասխան գործառույթը, ուստի օգտագործեցի աղյուսակը (նկ. 10):
Բրինձ. 10. Ուսանողական միջակայքի կրիտիկական արժեքը Q U
Մենք ստանում ենք.
Քանի որ միայն 4.74 > 4.47 (տես Նկար 9-ի ներքևի աղյուսակը), վիճակագրորեն նշանակալի տարբերություն կա առաջին և երկրորդ մատակարարի միջև: Մնացած բոլոր զույգերն ունեն նմուշային միջոցներ, որոնք թույլ չեն տալիս խոսել նրանց տարբերությունների մասին: Հետևաբար, առաջին մատակարարից գնված մանրաթելից հյուսված պարաշյուտների միջին ամրությունը զգալիորեն պակաս է երկրորդից:
Տարբերակման միակողմանի վերլուծության համար անհրաժեշտ պայմաններ
Պարաշյուտների ամրության խնդիրը լուծելիս մենք չստուգեցինք՝ արդյո՞ք պայմանները, որոնց դեպքում հնարավոր է օգտագործել մեկ գործոն Ֆ- չափանիշ. Ինչպես գիտեք, արդյոք կարող եք օգտագործել մեկ գործոն Ֆ-Չափանիշը կոնկրետ փորձարարական տվյալները վերլուծելիս: Մեկ գործոն Ֆ-չափանիշը կարող է կիրառվել միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երեք հիմնական ենթադրություններ. փորձարարական տվյալները պետք է լինեն պատահական և անկախ, ունենան նորմալ բաշխում և դրանց շեղումները պետք է հավասար լինեն:
Առաջին գուշակություն - պատահականություն և տվյալների անկախություն- միշտ պետք է կատարվի, քանի որ ցանկացած փորձի ճիշտությունը կախված է ընտրության պատահականությունից և/կամ պատահականության գործընթացից: Արդյունքների կողմնակալությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է, որ տվյալները քաղվեն Հետընդհանուր պոպուլյացիաները պատահականորեն և միմյանցից անկախ: Նմանապես, տվյալները պետք է պատահականորեն բաշխվեն ամբողջ տարածքում Հետմեզ հետաքրքրող գործոնի մակարդակները (փորձարարական խմբեր): Այս պայմանների խախտումը կարող է լրջորեն խեղաթյուրել շեղումների վերլուծության արդյունքները:
Երկրորդ ենթադրություն - նորմալություն- նշանակում է, որ տվյալները վերցված են նորմալ բաշխված պոպուլյացիաներից: Ինչ վերաբերում է տ-չափանիշներ, շեղումների միակողմանի վերլուծություն՝ հիմնված Ֆ- չափանիշը համեմատաբար քիչ զգայուն է այս պայմանի խախտման նկատմամբ: Եթե բաշխումը շատ էականորեն չի շեղվում նորմայից, ապա նշանակության մակարդակը Ֆ-չափանիշը քիչ է փոխվում, հատկապես, եթե ընտրանքի չափը բավականաչափ մեծ է: Եթե բաշխման նորմալության պայմանը լրջորեն խախտված է, ապա այն պետք է կիրառվի։
Երրորդ ենթադրություն - շեղումների միատարրություն- նշանակում է, որ յուրաքանչյուր բնակչության շեղումները հավասար են միմյանց (այսինքն, σ 1 2 = σ 2 2 = ... = σ j 2): Այս ենթադրությունը թույլ է տալիս որոշել՝ առանձնացնե՞լ, թե՞ միավորել խմբային շեղումները: Եթե խմբերի չափերը նույնն են, ապա դիսպերսիայի միատարրության պայմանը քիչ ազդեցություն ունի օգտագործմամբ ստացված եզրակացությունների վրա. Ֆ- չափորոշիչներ. Այնուամենայնիվ, եթե ընտրանքային չափերը անհավասար են, ապա շեղումների հավասարության պայմանի խախտումը կարող է լրջորեն խեղաթյուրել շեղումների վերլուծության արդյունքները: Հետևաբար, պետք է ջանքեր գործադրվեն՝ ապահովելու, որ նմուշների չափերը հավասար լինեն: Տարբերումների միատարրության ենթադրությունը ստուգելու մեթոդներից է չափանիշը Լևիննկարագրված է ստորև:
Եթե բոլոր երեք պայմաններից միայն խախտվում է դիսպերսիայի միատարրության պայմանը, ապա նման ընթացակարգ տ- չափանիշ՝ օգտագործելով առանձին շեղում (մանրամասների համար տե՛ս): Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրություններ կան նորմալ բաշխումիսկ շեղումների միատարրությունը միաժամանակ խախտվում է, անհրաժեշտ է նորմալացնել տվյալները և նվազեցնել շեղումների միջև եղած տարբերությունները կամ կիրառել ոչ պարամետրիկ ընթացակարգ։
Լևենի թեստը շեղումների միատարրությունը ստուգելու համար
Չնայած նրան Ֆ-չափանիշը համեմատաբար դիմացկուն է խմբերում շեղումների հավասարության պայմանի խախտումներին, այս ենթադրության կոպիտ խախտումը էապես ազդում է չափանիշի նշանակության և հզորության մակարդակի վրա: Թերևս ամենահզորներից մեկը չափանիշն է Լևին. Տարբերությունների հավասարությունը ստուգելու համար Հետընդհանուր պոպուլյացիաների դեպքում մենք կփորձարկենք հետևյալ վարկածները.
Н 0: σ 1 2 = σ 2 2 = … = սժ 2
Հ 1: Ոչ բոլորը σ j 2նույնն են ( ժ = 1, 2, …, Հետ)
Փոփոխված Լևենի թեստը հիմնված է այն դրույթի վրա, որ եթե փոփոխականությունը հավասար է խմբերի միջև, ապա շեղումների վերլուծությունը կարող է օգտագործվել շեղումների հավասարության զրոյական վարկածը ստուգելու համար։ բացարձակ արժեքներտարբերությունները դիտարկումների և խմբային միջինների միջև: Այսպիսով, դուք նախ պետք է հաշվարկեք յուրաքանչյուր խմբում դիտարկումների և միջինների միջև եղած տարբերությունների բացարձակ արժեքները, այնուհետև կատարեք տարբերությունների միակողմանի վերլուծություն՝ ստացված տարբերությունների բացարձակ արժեքների վրա: Լևենի չափանիշը լուսաբանելու համար վերադառնանք գրառման սկզբում նախանշված սցենարին։ Օգտագործելով Նկ. 6, մենք կանցկացնենք նմանատիպ վերլուծություն, բայց յուրաքանչյուր նմուշի համար առանձին-առանձին նախնական տվյալների և մեդիանների տարբերությունների մոդուլների հետ կապված (նկ. 11):
Տարբերության վերլուծություն
1. Տարբերակման վերլուծության հայեցակարգ
Տարբերության վերլուծությունցանկացած վերահսկվող փոփոխական գործոնների ազդեցության տակ հատկանիշի փոփոխականության վերլուծություն է: Արտասահմանյան գրականության մեջ շեղումների վերլուծությունը հաճախ կոչվում է ANOVA, որը թարգմանվում է որպես փոփոխականության վերլուծություն (Analysis of Variance):
ANOVA խնդիրբաղկացած է հատկանիշի ընդհանուր փոփոխականությունից տարբեր տեսակի փոփոխականության մեկուսացումից.
ա) փոփոխականություն՝ պայմանավորված ուսումնասիրվող անկախ փոփոխականներից յուրաքանչյուրի գործողությամբ.
բ) ուսումնասիրվող անկախ փոփոխականների փոխազդեցության պատճառով փոփոխականություն.
գ) պատահական փոփոխականություն՝ պայմանավորված բոլոր մյուս անհայտ փոփոխականներով:
Ուսումնասիրվող փոփոխականների գործողության և դրանց փոխազդեցության պատճառով փոփոխականությունը փոխկապակցված է պատահական փոփոխականության հետ: Այս հարաբերությունների ցուցիչը Ֆիշերի F թեստն է։
F չափանիշի հաշվարկման բանաձևը ներառում է շեղումների գնահատումներ, այսինքն՝ հատկանիշի բաշխման պարամետրերը, հետևաբար F չափանիշը պարամետրային չափանիշ է։
Որքան շատ է հատկանիշի փոփոխականությունը պայմանավորված ուսումնասիրվող փոփոխականներով (գործոններով) կամ դրանց փոխազդեցությամբ, այնքան բարձր է էմպիրիկ չափանիշի արժեքները.
Զրո Վարիանսների վերլուծության վարկածը կհաստատի, որ ուսումնասիրված արդյունավետ բնութագրի միջին արժեքները բոլոր աստիճանավորումներում նույնն են:
Այլընտրանք Հիպոթեզը կհաստատի, որ ստացված բնութագրիչի միջին արժեքները ուսումնասիրվող գործոնի տարբեր աստիճանավորումներում տարբեր են:
Տարբերակումների վերլուծությունը թույլ է տալիս մեզ նշել բնութագրի փոփոխություն, բայց չի նշում ուղղությունըայս փոփոխությունները։
Եկեք սկսենք շեղումների վերլուծության մեր դիտարկումը ամենապարզ դեպքից, երբ մենք ուսումնասիրում ենք միայն գործողությունը մեկփոփոխական (մեկ գործոն):
2. Անկապ նմուշների համար շեղումների միակողմանի վերլուծություն
2.1. Մեթոդի նպատակը
Տարբերակման մեկ գործոնով վերլուծության մեթոդը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ արդյունավետ բնութագրի փոփոխությունները ուսումնասիրվում են փոփոխվող պայմանների կամ գործոնի աստիճանականության ազդեցության տակ: Մեթոդի այս տարբերակում գործոնի աստիճանականներից յուրաքանչյուրի ազդեցությունն է տարբերառարկաների նմուշներ. Գործոնի առնվազն երեք աստիճանավորում պետք է լինի: (Կարող է լինել երկու աստիճանավորում, բայց այս դեպքում մենք չենք կարողանա հաստատել ոչ գծային կախվածություններ և ավելի խելամիտ է թվում օգտագործել ավելի պարզները):
Այս տեսակի վերլուծության ոչ պարամետրիկ տարբերակը Kruskal-Wallis H թեստն է:
Վարկածներ
H 0. Գործոնների դասակարգման տարբերությունները (տարբեր պայմաններ) ավելին չեն, քան պատահական տարբերությունները յուրաքանչյուր խմբի ներսում:
H 1. Գործոնների դասակարգման տարբերությունները (տարբեր պայմաններ) ավելի մեծ են, քան պատահական տարբերությունները յուրաքանչյուր խմբի ներսում:
2.2. Անկապ նմուշների համար շեղումների միակողմանի վերլուծության սահմանափակումները
1. Տարբերակման միակողմանի վերլուծությունը պահանջում է գործոնի առնվազն երեք աստիճանավորում և յուրաքանչյուր աստիճանավորման առնվազն երկու առարկա:
2. Ստացված բնութագիրը պետք է նորմալ բաշխված լինի ուսումնասիրվող նմուշում:
Ճիշտ է, սովորաբար չի նշվում՝ խոսքը վերաբերում է հատկանիշի բաշխվածությանը ամբողջ հետազոտված ընտրանքում, թե դրա այն մասում, որը կազմում է դիսպերսիոն համալիրը։
3. Անկապ նմուշների համար միակողմանի շեղումների վերլուծության մեթոդի միջոցով խնդրի լուծման օրինակ՝ օգտագործելով օրինակ.
Վեց առարկաներից բաղկացած երեք տարբեր խմբերի տրվեցին տասը բառից բաղկացած ցուցակներ: Առաջին խմբին բառերը ներկայացվել են ցածր արագությամբ՝ 1 բառ 5 վայրկյանում, երկրորդ խմբին՝ միջին արագությամբ՝ 1 բառ 2 վայրկյանում, իսկ երրորդ խմբին բարձր արագությամբ՝ 1 բառ վայրկյանում։ Կանխատեսվում էր, որ վերարտադրման կատարումը կախված կլինի բառի ներկայացման արագությունից: Արդյունքները ներկայացված են Աղյուսակում: 1.
Վերարտադրված բառերի քանակը Աղյուսակ 1
|
Թեմա No. |
Միջին արագությունը |
բարձր արագություն |
|
|
ընդհանուր գումարը | |||
H 0. Բառերի արտադրության տևողության տարբերություններ միջեւխմբերն ավելի ընդգծված չեն, քան պատահական տարբերությունները ներսումյուրաքանչյուր խումբ.
H1: Բառի արտադրության ծավալների տարբերությունները միջեւխմբերն ավելի ցայտուն են, քան պատահական տարբերությունները ներսումյուրաքանչյուր խումբ. Աղյուսակում ներկայացված փորձարարական արժեքների օգտագործումը: 1, մենք կսահմանենք որոշ արժեքներ, որոնք անհրաժեշտ կլինեն F չափանիշը հաշվարկելու համար:
Տարբերակման միակողմանի վերլուծության համար հիմնական մեծությունների հաշվարկը ներկայացված է աղյուսակում.
աղյուսակ 2
Աղյուսակ 3
Գործողությունների հաջորդականությունը միակողմանի շեղումների վերլուծության մեջ չկապված նմուշների համար
Այս և հաջորդ աղյուսակներում հաճախ հայտնաբերված SS նշանակումը «քառակուսիների գումարի» հապավումն է: Այս հապավումը առավել հաճախ օգտագործվում է թարգմանված աղբյուրներում։
ՍՍ փաստնշանակում է բնութագրի փոփոխականությունը՝ պայմանավորված ուսումնասիրվող գործոնի ազդեցությամբ.
ՍՍ ընդհանրապես- հատկանիշի ընդհանուր փոփոխականություն;
Ս Կ.Ա.-չհաշվառված գործոնների պատճառով փոփոխականություն, «պատահական» կամ «մնացորդային» փոփոխականություն:
MS- «միջին քառակուսի» կամ քառակուսիների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը, համապատասխան ՍՍ-ի միջին արժեքը:
Դ Ֆ - ազատության աստիճանների թիվը, որը ոչ պարամետրային չափանիշները դիտարկելիս մենք նշել ենք հունարեն տառով. v.
Եզրակացություն՝ H 0-ը մերժվում է։ Ընդունված է Հ 1. Խմբերի միջև բառերի հիշողության տարբերությունները ավելի մեծ էին, քան պատահական տարբերությունները յուրաքանչյուր խմբի ներսում (α=0.05): Այսպիսով, բառերի ներկայացման արագությունն ազդում է դրանց վերարտադրության ծավալի վրա։
Excel-ում խնդրի լուծման օրինակը ներկայացված է ստորև.
Նախնական տվյալներ.
Օգտագործելով հրամանը՝ Գործիքներ->Տվյալների վերլուծություն->Միակողմանի ANOVA, մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքները.
Մեկ գործոն շեղումների մոդելնման է
Որտեղ Xjj-վրա ստացված ուսումնասիրվող փոփոխականի արժեքը g-մակարդակգործակից (r = 1, 2,..., Տ)շաաաաաաաա սերիական համար (j- 1,2,..., P);/y - գործոնի i-րդ մակարդակի ազդեցության պատճառով ազդեցություն; ե^. - պատահական բաղադրիչ կամ անկառավարելի գործոնների ազդեցությամբ առաջացած անհանգստություն, այսինքն. փոփոխականի փոփոխություն անհատական մակարդակում:
Տակ գործոնի մակարդակըվերաբերում է դրա ինչ-որ չափի կամ վիճակի, օրինակ՝ կիրառվող պարարտանյութի քանակին, մետաղի հալման տեսակին կամ մասերի խմբաքանակին և այլն։
Տարբերության վերլուծության հիմնական նախադրյալները.
1. Խանգարման մաթեմատիկական ակնկալիք ? (/ - հավասար է զրոյի ցանկացած i-ի համար,դրանք.
- 2. Խանգարումները փոխադարձ անկախ են.
- 3. Խանգարման (կամ Xy փոփոխականի) դիսպերսիան հաստատուն է ցանկացած ij>-ի համարդրանք.
4. Խանգարումը e# (կամ Xy փոփոխականը) ունի նորմալ բաշխման օրենք N( 0; ա 2).
Գործոնների մակարդակների ազդեցությունը կարող է նման լինել ամրագրված, կամ համակարգված(մոդել I), և պատահական(մոդել II):
Ենթադրենք, օրինակ, անհրաժեշտ է պարզել, թե արդյոք ապրանքների խմբաքանակների միջև կա՞ն էական տարբերություններ ինչ-որ որակի ցուցանիշի առումով, այսինքն. ստուգեք մեկ գործոնի որակի վրա ազդեցությունը՝ ապրանքների խմբաքանակ: Եթե ուսումնասիրության մեջ ներառենք հումքի բոլոր խմբաքանակները, ապա նման գործոնի մակարդակի ազդեցությունը համակարգված է (մոդել I), և ստացված եզրակացությունները կիրառելի են միայն այն առանձին խմբաքանակների համար, որոնք ներգրավված են եղել ուսումնասիրության մեջ. եթե ներառենք կողմերի միայն պատահականորեն ընտրված մասը, ապա գործոնի ազդեցությունը պատահական է (մոդել II): Բազմագործոնային համալիրներում հնարավոր է խառը մոդել III, որտեղ որոշ գործոններ ունեն պատահական մակարդակներ, իսկ մյուսները՝ ֆիքսված մակարդակներ։
Դիտարկենք այս առաջադրանքը ավելի մանրամասն: Թող լինի Տապրանքների խմբաքանակներ. Ընտրված յուրաքանչյուր խմբաքանակից համապատասխանաբար p L, p 2 ,p tապրանքներ (պարզության համար մենք ենթադրում ենք, որ u = n 2 =... = p t = p).Մենք ներկայացնում ենք այս ապրանքների որակի ցուցիչի արժեքները դիտարկման մատրիցայի տեսքով
Անհրաժեշտ է ստուգել արտադրանքի խմբաքանակների ազդեցության նշանակությունը դրանց որակի վրա։
Եթե ենթադրենք, որ դիտարկման մատրիցայի տողերի տարրերը պատահական փոփոխականների թվային արժեքներ են (իրականացումներ). X t, X 2 ,..., X տ,արտադրանքի որակն արտահայտող և համապատասխանաբար մաթեմատիկական ակնկալիքներով նորմալ բաշխման օրենք ունենալը a v a 2, ..., ա տև նույնական շեղումներ a 2, ապա այս առաջադրանքըիջնում է զրոյական վարկածի փորձարկում #0: a v = a 2l = ... = Ա t, իրականացվում է շեղումների վերլուծության մեջ:
Եկեք նշենք ինչ-որ ինդեքսի միջինը ինդեքսի փոխարեն աստղանիշով (կամ կետով), ապա միջին ith խմբաքանակի արտադրանքի որակը, կամ խմբի միջինգործոնի i-րդ մակարդակի համար ընդունում է ձևը
Ա ընդհանուր միջին -
Դիտարկենք դիտումների քառակուսի շեղումների գումարը ընդհանուր միջինից x„:
կամ Q = Q, + Q 2+ ?>з Վերջին ժամկետը
քանի որ փոփոխականի արժեքների շեղումների գումարը միջինից, այսինքն. ? 1.g y - x) հավասար է զրոյի: ) = x
Առաջին տերմինը կարելի է գրել ձևով
Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալ ինքնությունը.
և այլն: _
Որտեղ Q = Y, X [ x ij _ x„, I 2 - ընդհանուր,կամ լի,քառակուսի շեղումների գումարը; 7=1
Q, -n^)
