Առաջին հիանալի օրինակը. Առաջին և երկրորդ հրաշալի սահմանը

Վերոնշյալ հոդվածից դուք կարող եք պարզել, թե որն է սահմանը և ինչով է այն ուտում, սա ՇԱՏ կարևոր է։ Ինչո՞ւ։ Դուք կարող եք չհասկանալ, թե ինչ են որոշիչները և հաջողությամբ լուծեք դրանք, կարող եք ընդհանրապես չհասկանաք, թե ինչ է ածանցյալը և գտնեք դրանք «Ա»-ով: Բայց եթե դուք չեք հասկանում, թե ինչ է սահմանը, ապա գործնական առաջադրանքները լուծելը դժվար կլինի: Լավ կլինի նաև ծանոթանալ նմուշային լուծումներին և իմ նախագծային առաջարկություններին: Ամբողջ տեղեկատվությունը ներկայացված է պարզ և մատչելի ձևով:

Եվ այս դասի նպատակների համար մեզ անհրաժեշտ կլինեն հետևյալ ուսումնական նյութերը. Հրաշալի սահմաններԵվ Եռանկյունաչափական բանաձևեր. Դրանք կարելի է գտնել էջում։ Ավելի լավ է տպել ձեռնարկները. դա շատ ավելի հարմար է, և բացի այդ, հաճախ ստիպված կլինեք դիմել դրանք անցանց:

Ինչո՞վ է առանձնահատուկ ուշագրավ սահմանները: Այս սահմանների ուշագրավն այն է, որ դրանք ապացուցվել են հայտնի մաթեմատիկոսների մեծագույն խելքով, և երախտապարտ հետնորդները չպետք է տառապեն սարսափելի սահմաններից՝ կուտակվելով։ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, լոգարիթմներ, հզորություններ։ Այսինքն՝ սահմանները գտնելիս կօգտագործենք տեսականորեն ապացուցված պատրաստի արդյունքներ։

Կան մի քանի հիանալի սահմաններ, բայց գործնականում 95% դեպքերում հեռակա ուսանողներն ունեն երկու հիանալի սահման. Առաջին հրաշալի սահման , Երկրորդ հրաշալի սահմանը. Պետք է նշել, որ դրանք պատմականորեն հաստատված անուններ են, և երբ, օրինակ, խոսում են «առաջին ուշագրավ սահմանի» մասին, դրանով նկատի ունեն շատ կոնկրետ բան, և ոչ թե առաստաղից վերցված ինչ-որ պատահական սահման։

Առաջին հրաշալի սահմանը

Հաշվի առեք հետևյալ սահմանը՝ (հունարեն «նա» տառի փոխարեն կօգտագործեմ հունարեն «ալֆա» տառը, նյութը ներկայացնելու տեսակետից սա ավելի հարմար է):

Սահմաններ գտնելու մեր կանոնի համաձայն (տես հոդված Սահմանափակումներ. Լուծումների օրինակներ) փորձում ենք զրո փոխարինել ֆունկցիայի մեջ. համարիչում ստանում ենք զրո (զրոյի սինուսը զրո է), իսկ հայտարարում, ակնհայտորեն, կա նաև զրո։ Այսպիսով, մենք կանգնած ենք ձևի անորոշության հետ, որը, բարեբախտաբար, բացահայտման կարիք չունի։ Ես գիտեմ մաթեմատիկական վերլուծություն, ապացուցված է, որ.

Այս մաթեմատիկական փաստը կոչվում է Առաջին հրաշալի սահմանը. Ես սահմանի վերլուծական ապացույց չեմ տա, բայց ահա այն. երկրաչափական իմաստմենք դա կանդրադառնանք դասարանում անվերջ փոքր գործառույթներ.

Հաճախ ներս գործնական առաջադրանքներգործառույթները կարելի է այլ կերպ դասավորել, դա ոչինչ չի փոխում.

- նույն առաջին հրաշալի սահմանը:

Բայց դուք ինքներդ չեք կարող վերադասավորել համարիչն ու հայտարարը: Եթե ​​ձևով սահման է տրված, ապա այն պետք է լուծվի նույն ձևով՝ առանց որևէ բան վերադասավորելու։

Գործնականում ոչ միայն փոփոխականը, այլև տարրական ֆունկցիան կարող է հանդես գալ որպես պարամետր, բարդ գործառույթ. Միակ կարեւորն այն է, որ այն հակված է զրոյի.

Օրինակներ.
, , ,

Ահա , , , , և ամեն ինչ լավ է՝ առաջին հրաշալի սահմանը կիրառելի է։

Բայց հետևյալ գրառումը հերետիկոսություն է.

Ինչո՞ւ։ Քանի որ բազմանդամը չի ձգտում զրոյի, այն ձգտում է հինգի:

Ի դեպ, արագ հարց՝ ո՞րն է սահմանը։ ? Պատասխանը կարող եք գտնել դասի վերջում:

Գործնականում ամեն ինչ այնքան էլ հարթ չէ, գրեթե երբեք ուսանողին չի առաջարկվում անվճար սահմանաչափ լուծել և հեշտ անցում ստանալ։ Հմմ... գրում եմ այս տողերը, և մի շատ կարևոր միտք ծագեց. չէ՞ որ ավելի լավ է անգիր հիշել «անվճար» մաթեմատիկական սահմանումները և բանաձևերը, սա կարող է անգնահատելի օգնություն ցույց տալ թեստում, երբ հարցը կլինի. որոշվում է «երկու»-ի և «երեք»-ի միջև, և ուսուցիչը որոշում է աշակերտին տալ մի պարզ հարց կամ առաջարկել լուծել ամենապարզ օրինակը(«Գուցե նա (ներ) դեռ գիտի ինչ?!»):

Եկեք անցնենք դիտարկմանը գործնական օրինակներ:

Օրինակ 1

Գտեք սահմանը

Եթե ​​սահմանում սինուս ենք նկատում, ապա դա անմիջապես պետք է մեզ մղի մտածելու առաջին ուշագրավ սահմանը կիրառելու հնարավորության մասին։

Նախ, մենք փորձում ենք 0-ը փոխարինել սահմանային նշանի տակ արտահայտված արտահայտության մեջ (մենք դա անում ենք մտովի կամ սևագրով).

Այսպիսով, մենք ունենք ձևի անորոշություն անպայման նշեքորոշում կայացնելիս։ Սահմանային նշանի տակ արտահայտությունը նման է առաջին հրաշալի սահմանին, բայց դա հենց այնպես չէ, այն գտնվում է սինուսի տակ, այլ հայտարարի մեջ։

Նման դեպքերում մենք պետք է ինքներս կազմակերպենք առաջին ուշագրավ սահմանը՝ օգտագործելով արհեստական ​​տեխնիկա։ Պատճառաբանության գիծը կարող է լինել հետևյալը. «մենք ունենք սինուսի տակ, ինչը նշանակում է, որ մենք նույնպես պետք է մտնենք հայտարարի մեջ»:
Եվ սա արվում է շատ պարզ.

Այսինքն՝ հայտարարը արհեստականորեն բազմապատկվում է այս դեպքում 7-ի և բաժանվում է նույն յոթի վրա։ Հիմա մեր ձայնագրությունը ծանոթ կերպարանք է ստացել։
Երբ առաջադրանքը կազմվում է ձեռքով, խորհուրդ է տրվում նշել առաջին ուշագրավ սահմանը պարզ մատիտով.

Ինչ է պատահել? Փաստորեն, մեր շրջանակված արտահայտությունը վերածվեց միավորի և անհետացավ ստեղծագործության մեջ.

Այժմ մնում է ազատվել եռահարկ կոտորակից.

Ով մոռացել է բազմաստիճան կոտորակների պարզեցումը, խնդրում ենք թարմացնել նյութը տեղեկագրքում։ Թեժ բանաձևեր դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի համար .

Պատրաստ. Վերջնական պատասխան.

Եթե ​​դուք չեք ցանկանում օգտագործել մատիտի նշաններ, ապա լուծումը կարելի է գրել այսպես.

“

Եկեք օգտագործենք առաջին հրաշալի սահմանը

“

Օրինակ 2

Գտեք սահմանը

Կրկին մենք տեսնում ենք կոտորակ և սինուս սահմանի մեջ: Փորձենք զրոն փոխարինել համարիչով և հայտարարով.

Իսկապես, մեզ մոտ անորոշություն կա, և, հետևաբար, պետք է փորձել կազմակերպել առաջին հրաշալի սահմանը։ Դասին Սահմանափակումներ. Լուծումների օրինակներմենք դիտարկեցինք այն կանոնը, որ երբ ունենք անորոշություն, պետք է գործոնացնել համարիչն ու հայտարարը: Այստեղ նույն բանն է, մենք աստիճանները կներկայացնենք որպես արտադրյալ (բազմապատկիչներ).

Նախորդ օրինակի նման, մենք մատիտ ենք գծում ուշագրավ սահմանների շուրջ (այստեղ կան դրանցից երկուսը) և ցույց ենք տալիս, որ նրանք հակված են միասնության.

Փաստորեն, պատասխանը պատրաստ է.

Հետևյալ օրինակներում ես Paint-ում արվեստ չեմ անի, կարծում եմ, թե ինչպես ճիշտ ձևակերպել լուծումը նոթատետրում, դուք արդեն հասկանում եք:

Օրինակ 3

Գտեք սահմանը

Մենք զրոյին փոխարինում ենք սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտության մեջ.

Անորոշություն է ձեռք բերվել, որը պետք է բացահայտվի: Եթե ​​սահմանի մեջ շոշափող կա, ապա այն գրեթե միշտ վերածվում է սինուսի և կոսինուսի՝ օգտագործելով հայտնի եռանկյունաչափական բանաձևը (ի դեպ, նրանք մոտավորապես նույնն են անում կոտանգենսի հետ, տե՛ս Նկ. մեթոդական նյութ Թեժ եռանկյունաչափական բանաձևերԷջում Մաթեմատիկական բանաձևեր, աղյուսակներ և տեղեկատու նյութեր).

Այս դեպքում:

Զրոյի կոսինուսը հավասար է մեկի, և դրանից ազատվելը հեշտ է (մի մոռացեք նշել, որ այն հակված է մեկին).

Այսպիսով, եթե սահմանում կոսինուսը ԲԱԶՄԱՑՆՈՂ է, ապա, կոպիտ ասած, անհրաժեշտ է այն վերածել միավորի, որն անհետանում է արտադրյալի մեջ։

Այստեղ ամեն ինչ պարզվեց, առանց բազմապատկման ու բաժանման։ Առաջին ուշագրավ սահմանը նույնպես վերածվում է մեկի և անհետանում է արտադրանքի մեջ.

Արդյունքում ստացվում է անսահմանություն, և դա տեղի է ունենում։

Օրինակ 4

Գտեք սահմանը

Փորձենք զրոը փոխարինել համարիչով և հայտարարով.

Ստացված է անորոշությունը (զրոյի կոսինուսը, ինչպես հիշում ենք, հավասար է մեկի)

Մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական բանաձև. Ուշադրություն դարձրեք: Չգիտես ինչու, այս բանաձևի օգտագործման սահմանափակումները շատ տարածված են:

Եկեք տեղափոխենք հաստատուն գործոնները սահմանային պատկերակից այն կողմ.

Եկեք կազմակերպենք առաջին հրաշալի սահմանը.

Այստեղ մենք ունենք միայն մեկ ուշագրավ սահման, որը վերածվում է մեկի և անհետանում ապրանքի մեջ.

Ազատվենք եռահարկ կառուցվածքից.

Սահմանը իրականում լուծված է, մենք նշում ենք, որ մնացած սինուսը ձգտում է զրոյի.

Օրինակ 5

Գտեք սահմանը

Այս օրինակն ավելի բարդ է, փորձեք ինքներդ պարզել.

Որոշ սահմաններ կարող են կրճատվել մինչև 1-ին նշանակալի սահմանը՝ փոփոխական փոխելով, այս մասին կարող եք կարդալ հոդվածում մի փոքր ուշ։ Սահմանների լուծման մեթոդներ.

Երկրորդ հրաշալի սահմանը

Մաթեմատիկական վերլուծության տեսության մեջ ապացուցված է, որ.

Այս փաստը կոչվում է երկրորդ հրաշալի սահմանը.

Հղում: իռացիոնալ թիվ է։

Պարամետրը կարող է լինել ոչ միայն փոփոխական, այլև բարդ ֆունկցիա։ Միակ կարեւորն այն է, որ այն ձգտում է անսահմանության.

Օրինակ 6

Գտեք սահմանը

Երբ սահմանային նշանի տակ արտահայտությունը մի աստիճանի է, սա առաջին նշանն է, որ դուք պետք է փորձեք կիրառել երկրորդ հրաշալի սահմանը։

Բայց նախ, ինչպես միշտ, մենք փորձում ենք անսահման մեծ թիվը փոխարինել արտահայտության մեջ, այն սկզբունքը, որով դա արվում է, քննարկվում է դասում։ Սահմանափակումներ. Լուծումների օրինակներ.

Հեշտ է նկատել, որ երբ աստիճանի հիմքը , իսկ ցուցիչը՝ է , այսինքն՝ ձևի անորոշություն կա.

Այս անորոշությունը ճշգրիտ կերպով բացահայտվում է երկրորդ ուշագրավ սահմանի օգնությամբ։ Բայց, ինչպես հաճախ է պատահում, երկրորդ հրաշալի սահմանը արծաթե սկուտեղի վրա չէ, և այն պետք է արհեստականորեն կազմակերպել։ Դուք կարող եք պատճառաբանել հետևյալ կերպ. այս օրինակում պարամետրն է, ինչը նշանակում է, որ մենք նույնպես պետք է կազմակերպենք ցուցիչում: Դա անելու համար մենք հիմքը բարձրացնում ենք ուժի, և որպեսզի արտահայտությունը չփոխվի, մենք այն բարձրացնում ենք իշխանության.

Երբ առաջադրանքը ձեռքով ավարտված է, մենք մատիտով նշում ենք.

Գրեթե ամեն ինչ պատրաստ է, սարսափելի աստիճանը վերածվել է գեղեցիկ նամակի.

Այս դեպքում մենք սահմանի պատկերակը ինքնին տեղափոխում ենք ցուցիչ:

Օրինակ 7

Գտեք սահմանը

Ուշադրություն. Այս տեսակի սահմանաչափը շատ հաճախ է լինում, խնդրում ենք ուշադիր ուսումնասիրել այս օրինակը:

Փորձենք անսահման մեծ թիվը փոխարինել սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտության մեջ.

Արդյունքն անորոշությունն է։ Բայց երկրորդ ուշագրավ սահմանը վերաբերում է ձևի անորոշությանը։ Ինչ անել? Մենք պետք է փոխարկենք աստիճանի հիմքը: Մենք պատճառաբանում ենք այսպես. հայտարարում ունենք, ինչը նշանակում է, որ համարիչում նույնպես պետք է կազմակերպել:

Ապացույց:

Եկեք նախ ապացուցենք հաջորդականության դեպքի թեորեմը

Նյուտոնի երկանդամ բանաձևի համաձայն.

Ենթադրելով, որ մենք ստանում ենք

Այս հավասարությունից (1) հետևում է, որ n-ի աճի հետ ավելանում է աջ կողմի դրական անդամների թիվը։ Բացի այդ, քանի որ n-ն ավելանում է, թիվը նվազում է, ուստի արժեքները ավելանում են։ Հետևաբար հաջորդականությունը աճող, և (2)*Մենք ցույց ենք տալիս, որ այն սահմանափակված է: Հավասարության աջ կողմի յուրաքանչյուր փակագիծ փոխարինի՛ր մեկով, աջ մասավելանում է, ստանում ենք անհավասարություն

Ստացված անհավասարությունն ուժեղացնենք, կոտորակների հայտարարի մեջ կանգնած 3,4,5, ... փոխարինենք 2 թվով։ Գումարը գտնում ենք փակագծերում՝ օգտագործելով տերմինների գումարի բանաձևը։ երկրաչափական առաջընթաց: Ահա թե ինչու (3)*

Այսպիսով, հաջորդականությունը սահմանափակված է վերևից, և (2) և (3) անհավասարությունները բավարարվում են. Ուստի Վայերշտրասի թեորեմի (հաջորդականության սերտաճման չափանիշ) հիման վրա հաջորդականությունը. միապաղաղ մեծանում է և սահմանափակվում, ինչը նշանակում է, որ ունի սահման, որը նշվում է e տառով: Նրանք.

Իմանալով, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը ճիշտ է x-ի բնական արժեքների համար, մենք ապացուցում ենք իրական x-ի երկրորդ ուշագրավ սահմանը, այսինքն՝ մենք ապացուցում ենք, որ . Դիտարկենք երկու դեպք.

1. Թող x-ի յուրաքանչյուր արժեք լինի երկու դրական ամբողջ թվերի միջև՝ ,where is ամբողջ մասը x. => =>

Եթե ​​, ապա Հետևաբար, ըստ սահմանի Մենք ունենք

Սահմանների գոյության չափանիշի (միջանկյալ ֆունկցիայի սահմանի մասին) հիման վրա

2. Թող . Կատարենք − x = t փոխարինումը, ապա

Այս երկու դեպքերից հետևում է, որ իրական x-ի համար:

Հետեւանքները:

9 .) Անվերջ փոքրերի համեմատություն. Սահմանում անվերջ փոքրերին համարժեքներով փոխարինելու թեորեմը և անվերջ փոքրերի հիմնական մասի թեորեմը։

Թողեք ֆունկցիաները a( x) և բ( x) – բ.մ. ժամը x ® x 0 .

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ.

1) ա ( x) կանչեց անսահման փոքր ավելի բարձր կարգիինչպես բ (x) Եթե

Գրիր՝ ա( x) = o(b( x)) .

2) ա ( x) Եվբ( x)կոչվում են նույն կարգի անվերջ փոքրեր, Եթե

որտեղ ՔÎℝ և Գ¹ 0 .

Գրիր՝ ա( x) = Օ(բ( x)) .

3) ա ( x) Եվբ( x) կոչվում են համարժեք , Եթե

Գրիր՝ ա( x) ~ բ( x).

4) ա ( x) կոչվում է k կարգի անվերջ փոքր հարաբերական
բացարձակապես անսահման փոքրբ( x), եթե անսահման փոքրա( x)Եվ(բ( x)) կ ունեն նույն կարգը, այսինքն. Եթե

որտեղ ՔÎℝ և Գ¹ 0 .

ԹԵՈՐԵՄ 6 (անվերջ փոքրերը համարժեքներով փոխարինելու մասին):

Թողա( x), բ( x), ա 1 ( x), բ 1 ( x)– բ.մ. x-ում ® x 0 . Եթեա( x) ~ a 1 ( x), բ( x) ~ b 1 ( x),

Դա

Ապացույց՝ թող ա( x) ~ a 1 ( x), բ( x) ~ b 1 ( x), Հետո

ԹԵՈՐԵՄ 7 (անվերջ փոքրի հիմնական մասի մասին):

Թողա( x)Եվբ( x)– բ.մ. x-ում ® x 0 , ևբ( x)– բ.մ. ավելի բարձր կարգ, քանա( x).

= , a քանի որ b( x) – ավելի բարձր կարգ, քան a( x), ապա, այսինքն. -ից պարզ է, որ ա( x) + բ( x) ~ a( x)

10) Ֆունկցիայի շարունակականությունը կետում (էպսիլոն-դելտայի լեզվով՝ երկրաչափական սահմաններ) Միակողմանի շարունակականություն։ Շարունակություն ընդմիջման վրա, հատվածի վրա: Շարունակական ֆունկցիաների հատկությունները.

1. Հիմնական սահմանումներ

Թող զ(x) սահմանվում է կետի ինչ-որ հարևանությամբ x 0 .

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ 1. Ֆունկցիան f(x) կանչեց շարունակական մի կետում x 0 եթե հավասարությունը ճշմարիտ է

Նշումներ.

1) 5 §3 թեորեմի ուժով հավասարությունը (1) կարող է գրվել ձևով.

Վիճակը (2) – միակողմանի սահմանների լեզվով մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության սահմանում.

2) Հավասարությունը (1) կարելի է գրել նաև այսպես.

Ասում են՝ «եթե ֆունկցիան մի կետում շարունակական է x 0, այնուհետև սահմանաչափի նշանը և գործառույթը կարող են փոխարինվել»:

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ 2 (e-d լեզվով).

Ֆունկցիան f(x) կանչեց շարունակական մի կետում x 0 Եթե«e>0 $d>0 այդպիսին, Ինչ

եթե xՈՒ( x 0, դ) (այսինքն | x – x 0 | < d),

ապա զ(x)ÎU( զ(x 0), ե) (այսինքն | զ(x) – զ(x 0) | < e).

Թող x, x 0 Î Դ(զ) (x 0 - ֆիքսված, x –կամայական)

Նշանակենք՝ Դ x= x – x 0 – փաստարկի ավելացում

Դ զ(x 0) = զ(x) – զ(x 0) – ֆունկցիայի ավելացում pointx-ում 0

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ 3 (երկրաչափական).

Ֆունկցիան f(x) վրա կանչեց շարունակական մի կետում x 0 եթե այս պահին արգումենտի անվերջ փոքր աճը համապատասխանում է ֆունկցիայի անվերջ փոքր աճին., այսինքն.

Թողեք գործառույթը զ(x) սահմանվում է միջակայքում [ x 0 ; x 0 + դ) (ընդմիջումով ( x 0 – դ; x 0 ]).

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Ֆունկցիան f(x) կանչեց շարունակական մի կետում x 0 աջ կողմում (ձախ ), եթե հավասարությունը ճշմարիտ է

Ակնհայտ է, որ զ(x) կետում շարունակական է x 0 Û զ(x) կետում շարունակական է x 0 աջ և ձախ:

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Ֆունկցիան f(x) կանչեց շարունակական ընդմիջումով ե ( ա; բ) եթե այն շարունակական է այս միջակայքի յուրաքանչյուր կետում.

Ֆունկցիան f(x) հատվածի վրա կոչվում է շարունակական [ա; բ] եթե այն շարունակական է միջակայքում (ա; բ) և ունի միակողմանի շարունակականություն սահմանային կետերում(այսինքն՝ շարունակական կետում աաջ կողմում, կետում բ- ձախ).

11) Ընդմիջման կետերը, դրանց դասակարգումը

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Եթե ​​ֆունկցիան f(x) սահմանված x կետի ինչ-որ հարեւանությամբ 0 , բայց այս պահին շարունակական չէ զ(x) x կետում կոչվում է ընդհատվող 0 , և բուն կետը x 0 կոչվում է ընդմիջման կետ գործառույթները զ(x) .

Նշումներ.

1) զ(x) կարող է սահմանվել կետի ոչ լրիվ հարևանությամբ x 0 .

Այնուհետև դիտարկենք ֆունկցիայի համապատասխան միակողմանի շարունակականությունը:

2) Þ կետի սահմանումից x 0-ը ֆունկցիայի ընդմիջման կետն է զ(x) երկու դեպքում.

ա) U ( x 0 , դ)Օ Դ(զ), բայց համար զ(x) հավասարությունը չի գործում

բ) U * ( x 0 , դ)Օ Դ(զ) .

Համար տարրական գործառույթներհնարավոր է միայն բ) դեպքը:

Թող x 0 - ֆունկցիայի ընդմիջման կետ զ(x) .

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. x կետ 0 կանչեց ընդմիջման կետ Ի մի տեսակ եթե ֆ ֆունկցիան(x)ունի վերջավոր սահմաններ ձախ և աջ այս կետում.

Եթե ​​այս սահմանները հավասար են, ապա կետ x 0 կանչեց շարժական ընդմիջման կետ , հակառակ դեպքում - ցատկման կետ .

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. x կետ 0 կանչեց ընդմիջման կետ II մի տեսակ եթե f ֆունկցիայի միակողմանի սահմաններից գոնե մեկը(x)այս պահին հավասար է¥ կամ գոյություն չունի.

12) Ինտերվալի վրա շարունակական ֆունկցիաների հատկությունները (Վայերշտրասի (առանց ապացույցի) և Քոշիի թեորեմները

Վայերշտրասի թեորեմը

Թող f(x) ֆունկցիան լինի շարունակական միջակայքում, ապա

1) f(x) սահմանափակվում է

2)f(x)-ն ընդունում է իր ամենափոքր արժեքը միջակայքում և ամենաբարձր արժեքը

Սահմանում m=f ֆունկցիայի արժեքը կոչվում է ամենափոքրը, եթե m≤f(x) ցանկացած x€ D(f):

m=f ֆունկցիայի արժեքը համարվում է ամենամեծը, եթե m≥f(x) ցանկացած x € D(f) համար:

Ֆունկցիան կարող է վերցնել ամենափոքր/ամենամեծ արժեքը հատվածի մի քանի կետերում։

f (x 3) = f (x 4) = առավելագույնը

Քոշիի թեորեմ.

Թող f(x) ֆունկցիան լինի շարունակական հատվածի վրա, իսկ x-ը լինի f(a) և f(b) միջև պարունակվող թիվը, ապա կա առնվազն մեկ կետ x 0 € այնպես, որ f(x 0)= g:

Երկրորդ ուշագրավ սահմանի բանաձևն է lim x → ∞ 1 + 1 x x = e: Գրելու մեկ այլ ձև ունի հետևյալ տեսքը՝ lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Երբ մենք խոսում ենք երկրորդ ուշագրավ սահմանի մասին, մենք պետք է գործ ունենանք 1 ∞ ձևի անորոշության հետ, այսինքն. միասնությունը անսահման աստիճանի.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Դիտարկենք խնդիրներ, որոնցում օգտակար կլինի երկրորդ ուշագրավ սահմանաչափը հաշվարկելու ունակությունը։

Օրինակ 1

Գտեք սահմանը lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4:

Լուծում

Եկեք փոխարինենք պահանջվող բանաձևը և կատարենք հաշվարկները։

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Մեր պատասխանը պարզվեց, որ մեկն է անսահմանության ուժին: Լուծման մեթոդը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք անորոշության աղյուսակը: Ընտրենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը և կատարենք փոփոխականների փոփոխություն։

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Եթե ​​x → ∞, ապա t → - ∞:

Տեսնենք, թե ինչ ստացանք փոխարինումից հետո.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Պատասխան. lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2:

Օրինակ 2

Հաշվեք սահմանային սահմանը x → ∞ x - 1 x + 1 x:

Լուծում

Փոխարինենք անսահմանությունը և ստանանք հետևյալը.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Պատասխանում կրկին ստացանք նույնը, ինչ նախորդ խնդրի մեջ, հետևաբար, կարող ենք կրկին օգտագործել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Հաջորդը մենք պետք է ընտրենք հիմքում հզորության գործառույթըամբողջ մասը:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Դրանից հետո սահմանը ստանում է հետևյալ ձևը.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Փոխարինեք փոփոխականները: Ենթադրենք, որ t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; եթե x → ∞, ապա t → ∞:

Դրանից հետո մենք գրում ենք այն, ինչ ստացել ենք սկզբնական սահմանում.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Այս փոխակերպումն իրականացնելու համար մենք օգտագործեցինք սահմանների և հզորությունների հիմնական հատկությունները:

Պատասխան. lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2:

Օրինակ 3

Հաշվեք սահմանաչափը x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5:

Լուծում

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Դրանից հետո մենք պետք է փոխակերպենք ֆունկցիան երկրորդ մեծ սահմանը կիրառելու համար։ Մենք ստացանք հետևյալը.

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Քանի որ հիմա կոտորակի համարիչում և հայտարարում ունենք նույն ցուցանիշները (հավասար է վեցի), կոտորակի սահմանն անվերջության վրա հավասար կլինի այս գործակիցների հարաբերակցությանը բարձր հզորությունների դեպքում:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Փոխարինելով t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 մենք ստանում ենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը: Նշանակում է ինչ.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Պատասխան. lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3:

եզրակացություններ

Անորոշություն 1 ∞, այսինքն. Անսահման հզորության միասնությունը ուժ-օրենք անորոշություն է, հետևաբար, այն կարելի է բացահայտել՝ օգտագործելով էքսպոնենցիալ ուժային ֆունկցիաների սահմանները գտնելու կանոնները:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածը. «Երկրորդ ուշագրավ սահմանը» նվիրված է ձևի անորոշությունների սահմաններում բացահայտմանը.

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ և $ ^\infty $:

Նաև նման անորոշությունները կարելի է բացահայտել՝ օգտագործելով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի լոգարիթմը, սակայն սա լուծման ևս մեկ մեթոդ է, որը կքննարկվի մեկ այլ հոդվածում։

Բանաձև և հետևանքներ

Բանաձևերկրորդ ուշագրավ սահմանաչափը գրված է հետևյալ կերպ. $$

Բանաձևից բխում է հետեւանքները, որոնք շատ հարմար են սահմաններով օրինակներ լուծելու համար՝ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( որտեղ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \մինչև 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Հարկ է նշել, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը միշտ չէ, որ կարող է կիրառվել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի նկատմամբ, այլ միայն այն դեպքերում, երբ բազան հակված է միասնության: Դա անելու համար նախ մտովի հաշվարկեք բազայի սահմանը, այնուհետև եզրակացություններ արեք։ Այս ամենը կքննարկվի օրինակ լուծումներով:

Լուծումների օրինակներ

Դիտարկենք լուծումների օրինակներ՝ օգտագործելով ուղղակի բանաձևը և դրա հետևանքները: Մենք նաև կվերլուծենք այն դեպքերը, երբ բանաձևը պետք չէ։ Բավական է գրել միայն պատրաստի պատասխանը։

Օրինակ 1

Գտեք սահմանաչափը $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Լուծում

Եկեք անսահմանությունը փոխարինենք սահմանի մեջ և նայենք անորոշությանը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Եկեք գտնենք բազայի սահմանը՝ $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Մենք մեկին հավասար հիմք ենք ստացել, ինչը նշանակում է, որ արդեն կարող ենք կիրառել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Դա անելու համար եկեք հարմարեցնենք ֆունկցիայի հիմքը բանաձևին՝ հանելով և ավելացնելով մեկը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ մեծ(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Դիտարկենք երկրորդ հետևությունը և գրենք պատասխանը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկելնա մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում։ Դուք կկարողանաք դիտել հաշվարկի առաջընթացը և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ստանալ ձեր գնահատականը ձեր ուսուցչից:

Պատասխանել

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Օրինակ 4

Լուծեք սահմանաչափը $ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Լուծում

Մենք գտնում ենք բազայի սահմանը և տեսնում ենք, որ $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, ինչը նշանակում է, որ կարող ենք կիրառել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Ստանդարտ պլանի համաձայն աստիճանի հիմքից մենք գումարում և հանում ենք մեկը. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Կոտորակը հարմարեցնում ենք 2-րդ նոտայի բանաձևին։ սահման: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Հիմա եկեք կարգավորենք աստիճանը։ Հզորությունը պետք է պարունակի $ \frac(3x^2-2)(6) $ հիմքի հայտարարին հավասար կոտորակ։ Դա անելու համար բազմապատկեք և բաժանեք աստիճանը դրա վրա և շարունակեք լուծել. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $-ի հզորության սահմանաչափը հավասար է՝ $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $: Հետևաբար, շարունակելով լուծումը, ունենք.

Պատասխանել

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Եկեք քննենք այն դեպքերը, երբ խնդիրը նման է երկրորդ ուշագրավ սահմանին, բայց կարող է լուծվել առանց դրա:

«Երկրորդ ուշագրավ սահմանը. լուծումների օրինակներ» հոդվածում վերլուծվել են բանաձևը, դրա հետևանքները և տրվել այս թեմայով խնդիրների ընդհանուր տեսակները: