Գրաֆիկական պրիմիտիվների կառուցում. Մակերեւույթների և առարկաների մաթեմատիկական մոդելներ

Հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմաեդրների անուններն են քառաեդրոն, խորանարդ, ութանիստ, տասներեքագեդրոն և իկոսաեդրոն: Բազմանդերը կոչվում են Պլատոնի պատվին, ով Op. Տիմեոսը (մ.թ.ա. 4-րդ դար) նրանց տվել է միստիցիզմ։ իմաստը; հայտնի են եղել Պլատոնից առաջ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Նույնը, ինչ սովորական պոլիեդրաները... Մեծ Խորհրդային հանրագիտարան

- ... Վիքիպեդիա

Ֆեդոն կամ հոգու անմահության մասին, որը կոչվում է Սոկրատեսի աշակերտի՝ Ֆեդոնի անունով (տես), Պլատոնի երկխոսությունն ամենանշանավորներից է։ Սա Պլատոնի միակ երկխոսությունն է, որին անվանում է Արիստոտելը, և այն քչերից, որը վավերական է ճանաչվել... ...

Հանրագիտարանային բառարանՖ. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն

Պլատոնի լավագույն գեղարվեստական ​​և փիլիսոփայական երկխոսություններից մեկը, որը վավերական է ճանաչվել ինչպես հնության, այնպես էլ ժամանակակից գիտության միաձայն դատավճռով։ Պլատոնական վերջին քննադատության մեջ նրանք վիճել են միայն դրա գրման ժամանակի շուրջ. ոմանք դրել են... Հանրագիտարանային բառարան Ֆ.Ա. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն

Փիլիսոփայական գաղափարները Պլատոնի գրվածքներում- հակիրճ Պլատոնի փիլիսոփայական ժառանգությունը ընդարձակ է, այն բաղկացած է 34 աշխատություններից, որոնք գրեթե ամբողջությամբ պահպանվել են և հասել մեզ։ Այս ստեղծագործությունները գրված են հիմնականում երկխոսության տեսքով, և դրանցում գլխավոր հերոսը մեծ մասամբ... ... Համաշխարհային փիլիսոփայության փոքր թեզաուրուս

Դոդեկաեդրոն Կանոնավոր բազմանիստը կամ Պլատոնական պինդ ուռուցիկ բազմանիստն է՝ առավելագույն հնարավոր համաչափությամբ։ Բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե՝ այն ուռուցիկ է, նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են նրա յուրաքանչյուրում... ... Վիքիպեդիա

Պլատոնական պինդ մարմիններ, ուռուցիկ բազմանիստներ, որոնց բոլոր երեսները միանման կանոնավոր բազմանկյուններ են, իսկ գագաթներում գտնվող բոլոր բազմանիստ անկյունները կանոնավոր են և հավասար (նկ. 1a 1e): Էվկլիդեսյան E 3 տարածության մեջ կան հինգ P. m., որոնց մասին տվյալները տրված են ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

ՀՈԳԻ- [հուն ψυχή] մարմնի հետ միասին կազմում է մարդու բաղադրությունը (տե՛ս հոդվածները Դիխոտոմիզմ, Մարդաբանություն), միաժամանակ լինելով ինքնուրույն սկզբունք. Մարդու կերպարը պարունակում է Աստծո պատկերը (ըստ որոշ եկեղեցու հայրերի, մյուսների կարծիքով՝ Աստծո պատկերը պարունակվում է ամեն ինչում... ... Ուղղափառ հանրագիտարան

Գրքեր

• Timaeus (2011 խմբ.), Պլատոն. Պլատոնի Տիմեոսը Պլատոնի տիեզերաբանության միակ համակարգված ուրվագիծն է, որը մինչ այժմ հայտնվում էր միայն ցրված և պատահական տեսքով։ Սա ստեղծեց Տիմեոսի փառքը...
• Քննարկման հարցեր հոգու մասին. Ուսումնասիրություններ 6, Aquinas F.. «Վիճային հարցերի» (quaestiones disputatae) ժանրը հատուկ դպրոցական ժանր է, որն օգտագործվում է միջնադարյան համալսարաններում: «Հոգու մասին վիճելի հարցերը» մեկն են ...

Ղեկավար՝ Ռուստամովա Ռ.Մ.

Պլատոնական պինդ մարմինների պտույտի թվեր

Հետազոտական ​​խնդիրԱրդյո՞ք Պլատոնական պինդ մարմինների պտույտը միշտ առաջացնում է պտտման հայտնի թվերը՝ կոն, գլան, գնդակ:

Ուսումնասիրության օբյեկտ.շատ տարածական մարմիններ և պատկերներ:

Ուսումնասիրության առարկա.Պլատոնական պինդ մարմիններ.

Ուսումնասիրության նպատակը.բացահայտել կանոնավոր պոլիեդրների պտտվող ֆիգուրների խմբերը (պլատոնական պինդ մարմիններ):

Վարկած.Եթե ​​դուք գտնում եք սիմետրիայի առանցքները Պլատոնական պինդ մարմիններում, ապա այս առանցքների շուրջ պտտվելով դուք կարող եք ստանալ պտտման հայտնի թվերը։ Հետազոտության նպատակները.

1. Ուսումնասիրել Պլատոնական պինդ մարմինները և դրանց հատկությունները:
2. Փորձնականորեն փորձարկեք կանոնավոր բազմանիստների (Պլատոնական պինդ մարմինների) պտույտը` փոխելով նրանց պտտման առանցքները:
3. Գտեք և բացահայտեք պլատոնական պինդ մարմինների պտտման առանցքները, որոնք թույլ են տալիս այդ մարմիններին «վերափոխվել» պտտման նույնական թվերի:
4. Որոշե՛ք պտտման թվերի խմբերը, որոնք ստացվել են պլատոնական պինդ մարմինների պտտմամբ։

Հետազոտության փուլերը.

Առաջին փուլը տեսական է.Այս փուլում ես ուսումնասիրեցի Պլատոնի պինդ մարմինները և դրանց հատկությունները:

Երկրորդ փուլ- փորձարարական.Այն բաղկացած էր պլատոնական պինդ մարմինների պտտման փորձից՝ ընտրելով կանոնավոր պոլիեդրների պտտման առանցքները։

Երրորդ փուլ - եզրափակիչ.Այն նվիրված էր փորձի արդյունքների ընդհանրացմանը, ձևավորվեցին միանման պտույտների խմբեր, որոնք ստացվել են կանոնավոր պոլիէդրների պտտմամբ։

Պտտման գործիչներ՝ կոն, գլան, մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ։

Պլատոնական պինդ մարմիններ՝ քառաեդրոն, ութանիստ, վեցանկյուն (խորանարդ), իկոսաեդրոն, տասներեքագեդրոն։

Խորանարդը և իկոսաեդրոնն ունեն համաչափության ընդհանուր առանցքներ. ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է հակառակ գագաթներով; իկոսաեդրոնի և տասներկուանիստի համար այն ուղիղ գիծ է, որն անցնում է հակառակ երեսների կենտրոններով, որտեղ ստացվում են պտտման նույնական թվեր։

Հետևաբար, քառաեդրոնի համար մենք ընտրում ենք պտտման առանցքները. ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է քառաեդրոնի գագաթով հակառակ դեմքի կենտրոնով. ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է հակառակ եզրերի միջնակետերով: Պլատոնական բոլոր պինդ մարմինները, բացառությամբ քառաեդրոնի, ունեն պտտման նույն առանցքները. ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է հակառակ գագաթներով; ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է հակառակ դեմքերի կենտրոններով. ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է երկու հակադիր եզրերի միջնակետերով:

Եթե ​​ուղիղ գիծը (մակերեսն առաջացնող) ուղղահայաց է պտտման առանցքին, ապա ստացվում է հարթություն։

Եթե ​​ուղիղ գիծը (մակերեսը առաջացնող) զուգահեռ է պտտման առանցքին, ապա ստացվում է գլանաձեւ մակերես։

Եթե ​​ուղիղ գիծը (մակերեսն առաջացնող) հատում է պտտման առանցքը, ապա ստացվում է կոնաձև մակերես։

Եթե ​​ուղիղ գիծը (մակերեսը առաջացնող) հատվում է պտտման առանցքի հետ, ապա ստացվում է պտույտի մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ։

Պլատոնական պինդ մարմինները պտտելիս կարող եք ստանալ նույն պտույտի թվերը.

• քառաեդրոնի և ութանիստի պտտման դեպքումՊտտման գործիչը մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ է, ինչպես նաև երկու կոն՝ ընդհանուր հիմքով.
• icosahedron-ի և 120hedron-ի պտտման ժամանակ- երկու կտրված կոնների և մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի համակարգ.
• իկոսաեդրոնի և խորանարդի պտտման ժամանակ- երկու կոնների և մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի համակարգ:

ՊԼԱՏՈՆԱԿԱՆ պինդ մարմինների ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

փոփոխություն 24.06.2013-ից - (ավելացվել է)

Պլատոնական հիմնական հինգ պինդ մարմիններն են՝ ութանիստ, աստղային քառաեդրոն, խորանարդ, տասներեքաեդրոն, իկոսաեդրոն։

Երկրաչափական նախշերից յուրաքանչյուրը, լինի դա ատոմի միջուկը, միկրոկլաստերը, գլոբալ ցանցը, թե մոլորակների, աստղերի, գալակտիկաների միջև եղած հեռավորությունները, հինգ հիմնական «Պլատոնական պինդներից» մեկն է։

Ինչու՞ են նմանատիպ օրինաչափություններ այդքան հաճախ հանդիպում բնության մեջ: Առաջին հուշումներից մեկը. մաթեմատիկոսները գիտեին, որ այս ձևերն ավելի շատ «սիմետրիա» ունեն, քան ցանկացած եռաչափ երկրաչափություն, որը մենք կարող էինք ստեղծել:

Ռոբերտ Լոուլորի գրքից «Սուրբ երկրաչափություն»մենք կարող ենք սովորել, որ հինդուները կրճատել են Պլատոնական պինդ մարմինների երկրաչափությունները՝ վերածելով օկտավայի կառուցվածքի, որը մենք տեսնում ենք ձայնի և լույսի համար (նոտաներ և գույներ): Հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Պյութագորասը, հաճախականությունները հաջորդաբար հինգի բաժանելու գործընթացի միջոցով, առաջին անգամ մշակեց ութ «մաքուր» օկտավայի տոն, որը հայտնի է որպես դիատոնիկ սանդղակ: Նա վերցրեց մեկ լարային «մոնոխորդ» և չափեց ալիքի ճշգրիտ երկարությունները տարբեր նոտաներ նվագելիս: Պյութագորասը ցույց տվեց, որ յուրաքանչյուր նոտայի հաճախականությունը (կամ թրթռման արագությունը) կարող է ներկայացվել որպես լարային երկու մասերի կամ երկու թվերի հարաբերակցություն, որտեղից էլ առաջացել է «դիատոնիկ հարաբերակցություն» տերմինը։

Ստորև բերված աղյուսակը թվարկում է երկրաչափությունները որոշակի հերթականությամբ՝ դրանք կապելով պարույրի թվի հետ fi(). Սա ամբողջական և ամբողջական պատկերացում է տալիս, թե ինչպես են տարբեր թրթռումները միասին աշխատում: Այն հիմնված է խորանարդի եզրերին տրված երկարությամբ « 1 « Այնուհետև մենք համեմատում ենք բոլոր մյուս ձևերի եզրերը այս արժեքի հետ, անկախ նրանից, թե դրանք ավելի մեծ են, թե փոքր: Մենք գիտենք, որ Պլատոնական պինդ մարմիններում յուրաքանչյուր դեմք նույն ձևն է, յուրաքանչյուր անկյուն նույնական է, յուրաքանչյուր հանգույց նույն հեռավորությունն է բոլոր մյուս հանգույցներից, և յուրաքանչյուր տող նույն երկարությունն է:

1 Ոլորտ (առանց դեմքերի) 2 Կենտրոնական իկոսաեդրոն 1/phi 2 3 Ութանիստ 1/ √2 4 աստղային քառաեդրոն √2 5 խորանարդ 1 6 Դոդեկաեդրոն 1/phi 7 Իկոսաեդրոն ֆի 8 Գնդաձև (առանց դեմքերի)

Սա կօգնի հասկանալ, թե ինչպես են ֆի պարույրի թրթռումների օգնությամբ պլատոնական պինդ մարմինները աստիճանաբար հոսում միմյանց մեջ:

ՏԻԵԶԵՐՔԻ ԲԱԶՄԱՉԱՓ

Պլատոնական երկրաչափությունների ավելի բարձր հարթությունների հետ կապի գաղափարն առաջանում է, քանի որ գիտնականները գիտեն. այնտեղ պետք է լինի երկրաչափություն. նրանք գտել են այն հավասարումների մեջ: «Ավելի շատ տարածք» ապահովելու համար, որպեսզի անտեսանելի լրացուցիչ առանցքները հայտնվեն «թաքնված» 90° պտույտներում, պահանջվում են պլատոնական երկրաչափություններ: Տվյալների վերլուծության մեթոդում երկրաչափական ձևի յուրաքանչյուր դեմք ներկայացնում է տարբեր առանցք կամ հարթություն, որտեղ այն կարող է պտտվել: Երբ մենք սկսում ենք նայել Ֆուլերի և Ջենիի աշխատանքին, տեսնում ենք, որ «թաքնված» 90° պտույտներում գոյություն ունեցող այլ հարթությունների գաղափարը պարզապես սխալ բացատրություն է, որը հիմնված է երկրաչափության միջև «սրբազան» կապերի իմացության բացակայության վրա: և թրթռում:

Շատ հավանական է, որ ավանդական գիտնականները երբեք չեն հասկանա, որ հնագույն մշակույթները կարող էին ունենալ «բաց թողնված կապ», որը զգալիորեն պարզեցնում և միավորում է տիեզերքի ֆիզիկայի բոլոր ժամանակակից տեսությունները: Թեև կարող է անհավանական թվալ, որ «պարզունակ» մշակույթը հասանելի կլիներ այս տեսակի տեղեկատվությանը, ապացույցները պարզ են: Կարդացեք Պրասադի դասական գիրքը, առայժմ կարելի է տեսնել, որ վեդական տիեզերագիտությունը գիտական ​​վարպետություն ունի:

Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ եք տեսնում: - սա պայթող աստղ է, որից փոշին դուրս է մղվում... Բայց այստեղ ակնհայտորեն ինչ-որ էներգետիկ դաշտ կա, որը կառուցվածքում է փոշին, երբ այն ընդարձակվում է շատ ճշգրիտ երկրաչափական ձևով.

Խնդիրն այն է, որ ֆիզիկայի ավանդական մոդելներում բնորոշ մագնիսական դաշտերը պարզապես թույլ չեն տալիս նման երկրաչափական ճշգրտություն: Գիտնականները իսկապես չգիտեն, թե ինչպես հասկանալ նման բաները:

Ստորև բերված պատկերը ՆՈՐ միգամածությունն է, որը կատարյալ «քառակուսի» է: Այնուամենայնիվ, սա դեռ երկչափ մտածողություն է: Ի՞նչ է եռաչափ քառակուսին:
Իհարկե, մի խորանարդ!

Դիտարկվելով ինֆրակարմիր լույսի ներքո՝ միգամածությունը նման է երկնքում հսկա շողացող տուփի՝ վառ սպիտակ ներքին միջուկով: Մեռնող աստղ MWC 922-ը տեղակայված է համակարգի կենտրոնում և հակառակ բևեռներից նրա ընդերքը տարածություն է նետում: Այն բանից հետո, երբ MWC 922-ն իր նյութի մեծ մասն արտանետեց տիեզերք, այն կփլուզվի՝ դառնալով խիտ աստղային մարմին, որը հայտնի է որպես սպիտակ թզուկ՝ թաքնված իր բեկորների ամպերի մեջ:

Թեև հնարավոր է, որ աստղի պայթյունը շարժվի միայն մեկ ուղղությամբ՝ ստեղծելով ավելի շատ բրգաձև ձև, այն, ինչ տեսնում եք, կատարյալ խորանարդ է տիեզերքում: Քանի որ խորանարդի բոլոր չորս կողմերն ունեն նույն երկարությունը և միմյանց նկատմամբ կատարյալ 90° անկյուններ, և կրկին, խորանարդն ունի կառուցվածքային «քայլեր», որոնք տեսանք նախորդ նկարում, գիտնականները լիովին շփոթված են: Խորանարդն ավելի ԱՎԵԼԻ ՍԻՄԵՏՐՈՒԹՅՈՒՆ ունի, քան «ուղղանկյուն» միգամածությունը:

Նման նախշերը միայն տարածության ընդարձակության մեջ չեն հայտնվում։ Նրանք նաև առաջանում են ատոմների և մոլեկուլների ամենափոքր մակարդակում, օրինակ՝ սովորական կերակրի աղի խորանարդ կառուցվածքում կամ նատրիումի քլորիդ. Pang Tsaya-ն (Ճապոնիա) լուսանկարել է ալյումին-պղինձ-երկաթի համաձուլվածքի քվազիկիստալներ՝ տասներկաթև ձևով և ալյումին-նիկել-կոբալտ համաձուլվածք՝ տասնանկյուն (տասնակողմ) պրիզմայի տեսքով (տես լուսանկարը): Խնդիրն այն է, որ դուք չեք կարող նման բյուրեղներ ստեղծել՝ օգտագործելով միմյանց միացված մեկ ատոմներ.

Մեկ այլ օրինակ է Bose-Einstein կոնդենսատը: Մի խոսքով, Բոզ-Էյնշտեյն կոնդենսատը ատոմների մեծ խումբ է, որն իրեն պահում է որպես մեկ «մասնիկ», որի մեջ. յուրաքանչյուր բաղադրիչ ատոմ միաժամանակ զբաղեցնում է ամբողջ տարածքը և ամբողջ ժամանակն ամբողջ կառուցվածքում. Բոլոր ատոմները չափվում են այնպես, որ թրթռում են նույն հաճախականությամբ, շարժվում են նույն արագությամբ և գտնվում են տարածության նույն տարածքում: Պարադոքսալ է, բայց համակարգի տարբեր մասերը գործում են որպես մեկ ամբողջություն՝ կորցնելով անհատականության բոլոր նշանները. Սա հենց այն հատկությունն է, որն անհրաժեշտ է «գերհաղորդչի» համար: Սովորաբար, Bose-Einstein կոնդենսատները կարող են ձևավորվել ծայրահեղ ցածր ջերմաստիճաններում: Այնուամենայնիվ, հենց այս գործընթացներն են, որոնք մենք դիտում ենք միկրոկլաստերներում և քվազիկյուրիստալներում, որոնք զուրկ են անհատական ​​ատոմային ինքնությունից:

Մեկ այլ նմանատիպ գործընթաց լազերային լույսի գործողությունն է, որը հայտնի է որպես «կոհերենտ» լույս: Բոլորը տարածության և ժամանակի մեջ լազերային ճառագայթն իրեն պահում է որպես մեկ «ֆոտոն», այսինքն՝ անհնար է առանձին ֆոտոններ առանձնացնել լազերային ճառագայթում։

Ավելին, 1960-ականների վերջին անգլիացի ֆիզիկոս Հերբերտ Ֆրյոլիխը առաջարկեց. Կենդանի համակարգերը հաճախ իրենց պահում են Bose-Einstein կոնդենսատների նման, միայն մեծ մասշտաբով։

Միգամածության լուսանկարները ապշեցուցիչ տեսանելի ապացույցներ են տալիս, որ երկրաչափությունը գործում է: Օավելի մեծ դեր տիեզերքի ուժերի մեջ, քան շատերը կարող են հավատալ: Այս երևույթը հասկանալու համար մեր գիտնականներին մնում է միայն պայքարել գոյություն ունեցող ավանդական մոդելների շրջանակներում։

Ստախով Ա.Պ.

«Դա Վինչիի ծածկագիրը», Պլատոնական և Արքիմեդյան պինդ մարմիններ, քվազիկյուրիստալներ, ֆուլերեններ, Պենրոզի վանդակաճաղեր և Մայր Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​աշխարհը

անոտացիա

Սլովենացի նկարչուհի Մատյուշկա Թեյա Կրաշեկի ստեղծագործությունը քիչ է հայտնի ռուսալեզու ընթերցողին։ Միևնույն ժամանակ, Արևմուտքում այն ​​կոչվում է «Արևելաեվրոպական Էշեր» և «Սլովենական նվեր» համաշխարհային մշակութային հանրությանը։ Նրա գեղարվեստական ​​կոմպոզիցիաները ոգեշնչված են գիտական ​​վերջին հայտնագործություններից (ֆուլերեններ, Դեն Շեխտմանի քվազիկյուրիստալներ, Պենրոուզ սալիկ), որոնք, իրենց հերթին, հիմնված են կանոնավոր և կիսանարգոն բազմանկյունների (Պլատոնական և Արքիմեդյան պինդ մարմիններ), Ոսկե հարաբերակցության և Ֆիբոնաչիի թվերի վրա։

Ի՞նչ է Դա Վինչիի ծածկագիրը:

Անշուշտ յուրաքանչյուր մարդ մեկ անգամ չէ, որ մտածել է այն հարցի մասին, թե ինչու է բնությունը կարողանում ստեղծել այնպիսի զարմանալի ներդաշնակ կառույցներ, որոնք հիացնում և հիացնում են աչքը: Ինչու են արվեստագետները, բանաստեղծները, կոմպոզիտորները, ճարտարապետները դարից դար ստեղծելու զարմանալի արվեստի գործեր: Ո՞րն է նրանց Ներդաշնակության գաղտնիքը և ի՞նչ օրենքներ են ընկած այս ներդաշնակ արարածների հիմքում:

Այս օրենքների՝ «Տիեզերքի ներդաշնակության օրենքների» որոնումը սկսվեց հին գիտության մեջ: Հենց մարդկության պատմության այս ժամանակահատվածում գիտնականները եկան մի շարք զարմանալի հայտնագործությունների, որոնք թափանցում են գիտության ողջ պատմությունը: Դրանցից առաջինն իրավամբ համարվում է Հարմոնիա արտահայտող հրաշալի մաթեմատիկական համամասնություն։ Այն կոչվում է այլ կերպ. «ոսկե համամասնություն», «ոսկե թիվ», «ոսկե միջին», «ոսկե հարաբերակցություն»եւ նույնիսկ «Աստվածային համամասնությունը» Ոսկե հարաբերակցությունԿոչվում է նաեւ PHI-ի համարըի պատիվ հին հույն մեծ քանդակագործ Ֆիդիասի, ով օգտագործել է այս թիվը իր քանդակներում:

Անգլիացի հայտնի գրող Դեն Բրաունի հեղինակած «Դա Վինչիի ծածկագիրը» թրիլլերը դարձել է 21-րդ դարի բեսթսելլեր։ Բայց ի՞նչ է նշանակում Դա Վինչիի օրենսգիրքը: Այս հարցին տարբեր պատասխաններ կան. Հայտնի է, որ հայտնի «Ոսկե հատվածը» եղել է Լեոնարդո դա Վինչիի ուշադրության և հմայքի առարկան։ Ավելին, հենց «Ոսկե հատված» անվանումը ներմուծվել է եվրոպական մշակույթ Լեոնարդո դա Վինչիի կողմից։ Լեոնարդոյի նախաձեռնությամբ հայտնի իտալացի մաթեմատիկոս և գիտական ​​վանական Լուկա Պաչիոլին, Լեոնարդո դա Վինչիի ընկերը և գիտական ​​խորհրդատուն, հրատարակեց «Divina Proportione» գիրքը, որը համաշխարհային գրականության մեջ առաջին մաթեմատիկական աշխատությունը Ոսկե հատվածի վերաբերյալ, որը հեղինակը անվանեց «Աստվածային»: համամասնությունը»: Հայտնի է նաև, որ Լեոնարդոն ինքն է նկարազարդել այս հայտնի գիրքը՝ դրա համար նկարելով 60 հրաշալի գծանկար։ Հենց այս փաստերը, որոնք այնքան էլ հայտնի չեն ընդհանուր գիտական ​​հանրությանը, մեզ իրավունք են տալիս առաջ քաշել այն վարկածը, որ «Դա Վինչիի ծածկագիրը» ոչ այլ ինչ է, քան «Ոսկե հարաբերակցությունը»։ Եվ այս վարկածի հաստատումը կարելի է գտնել Հարվարդի համալսարանի ուսանողների համար նախատեսված դասախոսության մեջ, որը հիշեցնում է. Գլխավոր հերոսպրոֆ. «Դա Վինչիի ծածկագիրը» գրքերը։ Լենգդոն.

«Չնայած իր գրեթե առեղծվածային ծագմանը, PHI համարը յուրովի յուրահատուկ դեր խաղաց: Աղյուսի դերը երկրի վրա ողջ կյանքի կառուցման հիմքում: Բոլոր բույսերը, կենդանիները և նույնիսկ մարդիկ օժտված են ֆիզիկական համամասնություններով, որոնք մոտավորապես հավասար են PHI թվի և 1-ի հարաբերակցության արմատին: PHI-ի այս ամենուր տարածվածությունը բնության մեջ... ցույց է տալիս բոլոր կենդանի էակների կապը: Նախկինում ենթադրվում էր, որ PHI թիվը կանխորոշվել է տիեզերքի Արարչի կողմից: Անտիկ ժամանակաշրջանի գիտնականները մեկ կետը վեց հարյուր տասնութ հազարերորդական անվանեցին «աստվածային համամասնություն»:

Այսպիսով, հայտնի իռացիոնալ թիվը PHI = 1.618, որը Լեոնարդո դա Վինչին անվանել է «Ոսկե հարաբերակցություն», դա «Դա Վինչիի ծածկագիր» է:

Հին գիտության մեկ այլ մաթեմատիկական հայտնագործություն է կանոնավոր պոլիեդրաներորոնք անվանվել են «Պլատոնական պինդ մարմիններ»Եվ «կիսականոնավոր պոլիեդրաներ», կանչեց «Արքիմեդյան պինդ մարմիններ».Հենց այս զարմանալի գեղեցիկ տարածական երկրաչափական պատկերներն են ընկած 20-րդ դարի երկու խոշորագույն գիտական ​​հայտնագործությունների հիմքում. քվազիկրիստալներ(հայտնագործության հեղինակը իսրայելցի ֆիզիկոս Դան Շեխթմանն է) և ֆուլերեններ(Նոբելյան մրցանակ 1996 թ.): Այս երկու հայտնագործությունները ամենակարևոր հաստատումն են այն փաստի, որ հենց Ոսկե համամասնությունն է Բնության Համընդհանուր Կոդը («Դա Վինչիի ծածկագիրը»), որը ընկած է Տիեզերքի հիմքում:

Քվազիկյուրիստների և ֆուլերենների հայտնաբերումը ոգեշնչել է բազմաթիվ ժամանակակից նկարիչների՝ ստեղծելու գործեր, որոնք գեղարվեստական ​​տեսքով պատկերում են 20-րդ դարի կարևորագույն ֆիզիկական հայտնագործությունները: Այդ նկարիչներից մեկը սլովենացի նկարիչն է Մայր Թեյա Կրաշեկ.Այս հոդվածը ներկայացնում է Մայր Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​աշխարհը վերջին գիտական ​​հայտնագործությունների պրիզմայով:

Պլատոնական պինդ մարմիններ

Մարդը իր ողջ գիտակցական գործունեության ընթացքում հետաքրքրություն է ցուցաբերում կանոնավոր բազմանկյունների և բազմանկյունների նկատմամբ երկու տարեկան երեխափայտե խորանարդներով խաղալուց մինչև հասուն մաթեմատիկոս: Կանոնավոր և կիսականոնավոր մարմինների մի մասը բնության մեջ առաջանում է բյուրեղների տեսքով, մյուսները՝ վիրուսների տեսքով, որոնք կարելի է հետազոտել էլեկտրոնային մանրադիտակի միջոցով։

Ի՞նչ է կանոնավոր բազմանիստը: Կանոնավոր բազմանկյունը այնպիսի բազմանկյուն է, որի բոլոր դեմքերը հավասար են (կամ համահունչ) միմյանց և միևնույն ժամանակ կանոնավոր բազմանկյուններ են։ Քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա: Առաջին հայացքից այս հարցի պատասխանը շատ պարզ է՝ կան այնքան կանոնավոր բազմանկյուններ, որքան կան: Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ: Էվկլիդեսի տարրերում մենք գտնում ենք խիստ ապացույց, որ կան ընդամենը հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանկյուններ, և դրանց դեմքերը կարող են լինել միայն երեք տեսակի կանոնավոր բազմանկյուններ. եռանկյուններ, քառակուսիներԵվ հնգանկյուններ (կանոնավոր հնգանկյուններ).

Բազմաթիվ գրքեր նվիրված են պոլիեդրների տեսությանը։ Ամենահայտնիներից է անգլիացի մաթեմատիկոս Մ. Վենիգերի «Պոլիեդրայի մոդելները» գիրքը։ Այս գիրքը ռուսերեն թարգմանությամբ հրատարակվել է «Միր» հրատարակչության կողմից 1974 թվականին: Գրքի էպիգրաֆը Բերտրան Ռասելի հայտարարությունն է. «Մաթեմատիկան օժտված է ոչ միայն ճշմարտությամբ, այլև բարձր գեղեցկությամբ՝ սրված ու խիստ, վսեմորեն մաքուր և իրական կատարելության ձգտող գեղեցկություն, որը բնորոշ է միայն արվեստի մեծագույն օրինակներին»։

Գիրքը սկսվում է այսպես կոչված նկարագրությամբ կանոնավոր պոլիեդրաներ, այսինքն՝ նույն տիպի ամենապարզ կանոնավոր բազմանկյուններից կազմված բազմանիստ։ Այս պոլիեդրաները սովորաբար կոչվում են Պլատոնական պինդ մարմիններ(նկ. 1) , անվանվել է հին հույն փիլիսոփա Պլատոնի պատվին, ով իր մեջ օգտագործել է կանոնավոր պոլիեդրաներ տիեզերագիտություն.

Նկար 1.Պլատոնական պինդ մարմիններ՝ ա) ութանիստ («կրակ»), բ) վեցանիստ կամ խորանարդ («Երկիր»),

(գ) ութանիստ («Օդ»), (դ) իկոսաեդրոն («Ջուր»), (ե) տասներեքագեդրոն («Համընդհանուր միտք»)

Մենք կսկսենք մեր դիտարկումը կանոնավոր պոլիեդրաներ, որոնց դեմքերն են հավասարակողմ եռանկյուններ.Առաջինն է քառաեդրոն(նկ.1-ա): Չորեքդրոնի մեջ երեք հավասարակողմ եռանկյուններ հանդիպում են մեկ գագաթին. միևնույն ժամանակ դրանց հիմքերը կազմում են նոր հավասարակողմ եռանկյուն: Քառաեդրոնն ունի ամենափոքր թվով դեմքերը պլատոնական պինդ մարմինների մեջ և հարթ կանոնավոր եռանկյան եռաչափ անալոգն է, որն ունի ամենափոքր թվով կողմերը կանոնավոր բազմանկյունների միջև։

Հաջորդ մարմինը, որը կազմված է հավասարակողմ եռանկյուններով, կոչվում է ութանիստ(նկ. 1-բ): Ութանիստում չորս եռանկյուններ հանդիպում են մեկ գագաթին. արդյունքում ստացվում է քառանկյուն հիմքով բուրգ: Եթե ​​դուք միացնեք երկու նման բուրգեր իրենց հիմքերով, կստանաք սիմետրիկ մարմինութ եռանկյուն երեսներով – ութանիստ.

Այժմ դուք կարող եք փորձել մի կետում միացնել հինգ հավասարակողմ եռանկյունի: Արդյունքը կլինի 20 եռանկյուն դեմքով գործիչ. իկոսաեդրոն(նկ.1-դ):

Հաջորդը ճիշտ ձևբազմանկյուն - քառակուսի.Եթե ​​մի կետում միացնենք երեք քառակուսի, ապա ավելացնենք ևս երեքը, ապա ստացվում է կատարյալ ձև, որը կոչվում է վեց կողմ վեցանկյունկամ խորանարդ(նկ. 1-գ):

Վերջապես, կա կանոնավոր բազմանկյուն կառուցելու ևս մեկ հնարավորություն՝ հիմնվելով հետևյալ կանոնավոր բազմանկյունի օգտագործման վրա. Պենտագոն. Եթե ​​հավաքենք 12 հնգանկյուն այնպես, որ յուրաքանչյուր կետում հանդիպեն երեք հնգանկյուններ, կստանանք մեկ այլ պլատոնական պինդ, որը կոչվում է. տասներկուանիստ(նկ.1-դ):

Հաջորդ կանոնավոր բազմանկյունն է վեցանկյուն. Սակայն եթե մի կետում միացնենք երեք վեցանկյուն, ապա կստանանք մակերես, այսինքն՝ վեցանկյուններից անհնար է եռաչափ ֆիգուր կառուցել։ Վեցանկյունի վերևում գտնվող այլ կանոնավոր բազմանկյուններ ընդհանրապես չեն կարող ձևավորել պինդ մարմիններ: Այս նկատառումներից հետևում է, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր բազմանիստ, որոնց դեմքերը կարող են լինել միայն հավասարակողմ եռանկյուններ, քառակուսիներ և հնգանկյուններ:

Բոլորի միջև կան զարմանալի երկրաչափական կապեր կանոնավոր պոլիեդրաներ. Օրինակ, խորանարդ(նկ.1-բ) և ութանիստ(նկ. 1-գ) երկակի են, այսինքն. ստացվում են միմյանցից, եթե մեկի դեմքերի ծանրության կենտրոնները վերցվում են որպես մյուսի գագաթներ և հակառակը։ Նմանապես երկակի իկոսաեդրոն(նկ.1-դ) և տասներկուանիստ(նկ.1-դ) . Տետրաեդրոն(նկ. 1-ա) ինքն իրեն երկակի է: Դոդեկաեդրոնը ստացվում է խորանարդից՝ նրա երեսին «տանիքներ» կառուցելով (էվկլիդեսյան մեթոդ); քառանիստի գագաթները խորանարդի ցանկացած չորս գագաթներ են, որոնք զույգ-զույգ հարևան չեն եզրի երկայնքով, այսինքն՝ մյուս բոլոր կանոնավոր բազմաեզրերը կարող են լինել. ստացված խորանարդից: Միայն հինգ իսկապես կանոնավոր պոլիեդրների գոյության փաստը զարմանալի է. ի վերջո, հարթության վրա կան անսահման շատ կանոնավոր բազմանկյուններ:

Պլատոնական պինդ մարմինների թվային բնութագրերը

Հիմնական թվային բնութագրերը Պլատոնական պինդ մարմիններդեմքի կողմերի քանակն է մ,յուրաքանչյուր գագաթին հանդիպող դեմքերի թիվը, մ,դեմքերի քանակը Գ, գագաթների թիվը IN,կողերի քանակը Ռև հարթ անկյունների քանակը Uպոլիէդրոնի մակերեսին Էյլերը հայտնաբերել և ապացուցել է հայտնի բանաձևը

B P + G = 2,

Ցանկացած ուռուցիկ բազմանիստ գագաթների, եզրերի և երեսների միացնող թիվը: Վերոնշյալ թվային բնութագրերը տրված են աղյուսակում: 1.

Աղյուսակ 1

Պլատոնական պինդ մարմինների թվային բնութագրերը

Բազմաթև	Եզրային կողմերի քանակը մ	Գագաթին հանդիպող դեմքերի թիվը n	Դեմքերի քանակը	Գագաթների քանակը	Կողերի քանակը	Մակերեւույթի վրա հարթ անկյունների քանակը
Տետրաեդրոն
Վեցանկյուն (խորանարդ)
Icosahedron
Դոդեկաեդրոն

Ոսկե հարաբերակցությունը դոդեկաեդրոնում և իկոսաեդրոնում

Նրանց մեջ առանձնահատուկ տեղ են գրավում տասներկուանիստը և նրա երկակի իկոսաեդրոնը (նկ. 1-դ,ե). Պլատոնական պինդ մարմիններ. Նախ պետք է ընդգծել, որ երկրաչափությունը տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոնուղղակիորեն կապված է ոսկե հարաբերակցության հետ: Իրոք, եզրեր տասներկուանիստ(նկ.1-ե) են հնգանկյուններ, այսինքն. կանոնավոր հնգանկյուններ՝ հիմնված ոսկե հարաբերակցության վրա: Եթե ​​ուշադիր նայեք իկոսաեդրոն(նկ. 1-դ), այնուհետև կարող եք տեսնել, որ նրա յուրաքանչյուր գագաթում զուգակցվում են հինգ եռանկյուններ, որոնց արտաքին կողմերը ձևավորվում են. հնգանկյուն. Միայն այս փաստերը բավական են մեզ համոզելու համար, որ ոսկե հարաբերակցությունը էական դեր է խաղում այս երկուսի ձևավորման մեջ. Պլատոնական պինդ մարմիններ.

Բայց ավելի խորը մաթեմատիկական ապացույցներ կան ոսկե հարաբերակցության հիմնական դերի համար իկոսաեդրոնԵվ տասներկուանիստ. Հայտնի է, որ այդ մարմիններն ունեն երեք կոնկրետ ոլորտ. Առաջին (ներքին) գունդը գրված է մարմնի մեջ և դիպչում է նրա դեմքերին։ Այս ներքին ոլորտի շառավիղը նշանակենք ըստ R i. Երկրորդ կամ միջին գունդը դիպչում է նրա կողերին։ Այս ոլորտի շառավիղը նշանակենք ըստ Ռմ.Վերջապես, երրորդ (արտաքին) գունդը նկարագրվում է մարմնի շուրջ և անցնում նրա գագաթներով։ Նշենք նրա շառավիղը ըստ Rc. Երկրաչափության մեջ ապացուցված է, որ նշված ոլորտների շառավիղների արժեքները տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոն, ունենալով միավորի երկարության եզր, արտահայտվում է t ոսկե համամասնությամբ (Աղյուսակ 2):

աղյուսակ 2

Ոսկե հարաբերակցությունը դոդեկաեդրոնի և իկոսաեդրոնի ոլորտներում

Icosahedron
Դոդեկաեդրոն

Նկատի ունեցեք, որ շառավիղների = հարաբերակցությունը նույնն է, ինչ համար իկոսաեդրոն, և համար տասներկուանիստ. Այսպիսով, եթե տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոնունեն միանման ներգծված գնդիկներ, ապա դրանց շրջագծված գնդերը նույնպես հավասար են միմյանց։ Այս մաթեմատիկական արդյունքի ապացույցը տրված է սկիզբներԷվկլիդես.

Երկրաչափության մեջ հայտնի են այլ հարաբերություններ տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոն, հաստատելով նրանց կապը ոսկե հարաբերակցության հետ։ Օրինակ, եթե վերցնենք իկոսաեդրոնԵվ տասներկուանիստմեկին հավասար եզրի երկարությամբ և հաշվարկել դրանց արտաքին մակերեսը և ծավալը, այնուհետև դրանք արտահայտվում են ոսկե համամասնությամբ (Աղյուսակ 3):

Աղյուսակ 3

Ոսկե հարաբերակցությունը դոդեկաեդրի և իկոսաեդրոնի արտաքին տարածքում և ծավալում

	Icosahedron	Դոդեկաեդրոն
Արտաքին տարածք

Այսպիսով, գոյություն ունի հին մաթեմատիկոսների կողմից ձեռք բերված հսկայական թվով հարաբերություններ, որոնք հաստատում են այն ուշագրավ փաստը, որ հենց Ոսկե հարաբերակցությունը տասներկուանիստի և իկոսաեդրոնի հիմնական համամասնությունն է, եւ այս փաստը հատկապես հետաքրքիր է այսպես կոչվածի տեսանկյունից «դոդեկաեդրալ-իկոսաեդրային ուսմունք»որը մենք կանդրադառնանք ստորև:

Պլատոնի տիեզերագիտությունը

Վերևում քննարկված կանոնավոր բազմերեսները կոչվում են Պլատոնական պինդ մարմիններ, քանի որ դրանք կարևոր տեղ էին զբաղեցնում տիեզերքի կառուցվածքի մասին Պլատոնի փիլիսոփայական հայեցակարգում։

Պլատոն (մ.թ.ա. 427-347 թթ.)

Չորս պոլիեդրոններ անձնավորում էին չորս էություններ կամ «տարրեր»։ Տետրաեդրոնխորհրդանշված Հրդեհ, քանի որ դրա գագաթը ուղղված է դեպի վեր; Icosahedron — Ջուր, քանի որ այն ամենից «ուղղված» պոլիեդրոնն է. Cube — Երկիր, որպես առավել «կայուն» պոլիեդրոն; Ութանիստ — Օդ, որպես առավել «օդային» պոլիեդրոն։ Հինգերորդ պոլիեդրոնը Դոդեկաեդրոն, մարմնավորում էր «ամեն ինչ», «Համընդհանուր միտք», խորհրդանշում էր ողջ տիեզերքը և համարվում էր տիեզերքի գլխավոր երկրաչափական պատկերը։

Հին հույները ներդաշնակ հարաբերությունները համարում էին տիեզերքի հիմքը, ուստի նրանց չորս տարրերը կապված էին հետևյալ համամասնությամբ՝ հող/ջուր=օդ/կրակ։ «Տարրերի» ատոմները Պլատոնը լարել է կատարյալ համահնչյուններով, ինչպես քնարի չորս լարերը։ Հիշենք, որ համահունչը հաճելի համահունչ է։ Այս մարմինների հետ կապված տեղին կլինի ասել, որ տարրերի նման համակարգը, որն իր մեջ ներառում էր չորս տարեր՝ հող, ջուր, օդ և կրակ, Արիստոտելի կողմից կանոնականացվել է։ Այս տարրերը երկար դարեր մնացել են տիեզերքի չորս հիմնաքարերը: Միանգամայն հնարավոր է դրանք նույնացնել մեզ հայտնի նյութի չորս վիճակների հետ՝ պինդ, հեղուկ, գազային և պլազմա:

Այսպիսով, հին հույները կապում էին գոյության «վերջից ծայր» ներդաշնակության գաղափարը պլատոնական պինդ մարմիններում դրա մարմնավորման հետ: Ազդեցել է նաև հույն հայտնի մտածող Պլատոնի ազդեցությունը սկիզբներԷվկլիդես. Այս գիրքը, որը դարեր շարունակ երկրաչափության միակ դասագիրքն էր, նկարագրում է «իդեալական» գծեր և «իդեալական» պատկերներ։ Առավել «իդեալական» տողն է ուղիղ, իսկ ամենից «իդեալական» բազմանկյունն է կանոնավոր բազմանկյուն,ունենալով հավասար կողմերև հավասար անկյուններ: Կարելի է համարել ամենապարզ կանոնավոր բազմանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն,քանի որ այն ունի ամենափոքր թվով կողմերը, որոնք կարող են սահմանափակել ինքնաթիռի մի մասը: Հետաքրքիր է՝ ինչ սկիզբներԷվկլիդեսը սկսում է շինարարության նկարագրությամբ կանոնավոր եռանկյունև ավարտվում է հինգի ուսումնասիրությամբ Պլատոնական պինդ մարմիններ.նկատել, որ Պլատոնական պինդ մարմիններեզրափակիչը, այսինքն՝ 13-րդ գիրքը նվիրված է ՍկսվեցԷվկլիդես. Ի դեպ, այս փաստը, այսինքն՝ կանոնավոր բազմանիստ տեսության տեղադրումը վերջնական (այսինքն՝ ամենակարևոր) գրքում. ՍկսվեցԷվկլիդեսը հիմք տվեց հին հույն մաթեմատիկոս Պրոկլեսին, ով Էվկլիդեսի մեկնաբանն էր, առաջ քաշելու հետաքրքիր վարկած այն իրական նպատակների մասին, որոնք հետապնդում էր Էվկլիդեսը իր ստեղծման ժամանակ: սկիզբներ. Ըստ Պրոկլոսի՝ Էվկլիդեսը ստեղծել է սկիզբներոչ թե երկրաչափությունը որպես այդպիսին ներկայացնելու նպատակով, այլ «իդեալական» թվերի, մասնավորապես հինգի կառուցման ամբողջական համակարգված տեսություն տալու համար. Պլատոնական պինդ մարմիններ, միաժամանակ ընդգծելով մաթեմատիկայի վերջին ձեռքբերումներից մի քանիսը:

Պատահական չէ, որ ֆուլերենների հայտնագործության հեղինակներից մեկը՝ Նոբելյան մրցանակակիր Հարոլդ Կրոտոն, իր Նոբելյան դասախոսության մեջ սկսում է իր պատմությունը համաչափության մասին՝ որպես «ֆիզիկական աշխարհի մեր ընկալման հիմքը» և դրա «դերը բացատրելու փորձերում»։ այն համակողմանիորեն» հենց հետ Պլատոնական պինդ մարմիններև «բոլոր բաների տարրերը». «Կառուցվածքային համաչափության հայեցակարգը գալիս է հին ժամանակներից...» Ամենա հայտնի օրինակներԻհարկե, կարելի է գտնել Պլատոնի Timaeus երկխոսության մեջ, որտեղ 53-րդ բաժնում, որը վերաբերում է տարրերին, նա գրում է. , և ամեն մարմին պինդ է» (!!) Պլատոնը քննարկում է քիմիայի խնդիրները այս չորս տարրերի լեզվով և կապում դրանք չորս Պլատոնական պինդ մարմինների հետ (այդ ժամանակ ընդամենը չորսը, մինչև Հիպարքոսը հայտնաբերեց հինգերորդը՝ տասներորդականը)։ Չնայած առաջին հայացքից նման փիլիսոփայությունը կարող է որոշ չափով միամիտ թվալ, այն ցույց է տալիս խորը ըմբռնում, թե ինչպես է իրականում գործում Բնությունը»:

Արքիմեդյան պինդ մարմիններ

Կիսականոն պոլիեդրաներ

Հայտնի են շատ ավելի կատարյալ մարմիններ, որոնք կոչվում են կիսանկանոն պոլիեդրաներկամ Արքիմեդյան մարմիններ.Նրանք նաև ունեն բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար, և բոլոր դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, բայց մի քանի տարբեր տեսակների: Կան 13 կիսանարգոն բազմանիստ, որոնց հայտնաբերումը վերագրվում է Արքիմեդին։

Արքիմեդ (Ք.ա. 287 – մ.թ.ա. 212)

Մի փունջ Արքիմեդյան պինդ մարմիններկարելի է բաժանել մի քանի խմբերի. Դրանցից առաջինը բաղկացած է հինգ բազմաեզրից, որոնք ստացվում են Պլատոնական պինդ մարմիններդրանց արդյունքում կրճատում.Կտրված մարմինը այն մարմինն է, որի վերին մասը կտրված է: Համար Պլատոնական պինդ մարմիններկրճատումը կարող է կատարվել այնպես, որ և՛ ստացված նոր դեմքերը, և՛ հների մնացած մասերը լինեն կանոնավոր բազմանկյուններ: Օրինակ, քառաեդրոն(նկ. 1-ա) կարելի է կտրել այնպես, որ նրա չորս եռանկյուն երեսները վերածվեն չորս վեցանկյունների, և դրանց ավելացվեն չորս կանոնավոր եռանկյուն երեսներ։ Այս կերպ կարելի է հինգը ստանալ Արքիմեդյան պինդ մարմիններ: կտրված քառաթև, կտրված վեցանիստ (խորանարդ), կտրված ութանիստ, կտրված տասներեքագլուխԵվ կտրված իկոսաեդրոն(նկ. 2):

(Ա)	(բ)	(V)

(G)	(դ)

Նկար 2. Արքիմեդյան պինդ մարմիններ.

Ամերիկացի գիտնական Սմոլլին՝ ֆուլերենների փորձարարական հայտնագործության հեղինակներից մեկը, Նոբելյան դասախոսության մեջ խոսում է Արքիմեդի մասին (մ.թ.ա. 287-212 թթ.) որպես կտրված պոլիեդրների առաջին հետազոտողի, մասնավորապես. կտրված իկոսաեդրոն, սակայն, նախազգուշացումով, որ Արքիմեդը, հավանաբար, դրան է վերաբերվում, և, հավանաբար, իկոսաեդրոնները նրանից շատ առաջ են կտրվել։ Բավական է նշել Շոտլանդիայում հայտնաբերվածները և թվագրվել են մ.թ.ա. մոտ 2000 թվականին: հարյուրավոր քարե առարկաներ (ըստ երևույթին ծիսական նպատակներով)՝ գնդերի տեսքով և տարբեր պոլիեդրա(մարմինները բոլոր կողմերից սահմանափակված են հարթ եզրեր), ներառյալ իկոսաեդրոնները և տասներկուանիստները։ Արքիմեդի բնօրինակ աշխատանքը, ցավոք, չի պահպանվել, և դրա արդյունքները հասել են մեզ, ինչպես ասում են, «երկրորդ ձեռքից»: Վերածննդի ժամանակ ամեն ինչ Արքիմեդյան պինդ մարմիններմեկը մյուսի հետևից կրկին «բացահայտվեցին». Ի վերջո, Կեպլերը 1619 թվականին իր «Համաշխարհային ներդաշնակություն» («Harmonice Mundi») գրքում տվել է Արքիմեդյան պինդ մարմինների ամբողջ հավաքածուի համապարփակ նկարագրությունը՝ պոլիեդրաները, որոնցից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է. կանոնավոր բազմանկյուն, եւ բոլորը գագաթներըգտնվում են համարժեք դիրքում (ինչպես ածխածնի ատոմները C 60 մոլեկուլում): Արքիմեդյան պինդ մարմինները բաղկացած են առնվազն երկու տարբեր տեսակի բազմանկյուններից, ի տարբերություն 5-ի Պլատոնական պինդ մարմիններ, որոնց բոլոր դեմքերը նույնական են (ինչպես օրինակ C 20 մոլեկուլում)։

Նկար 3. Արքիմեդյան կտրված իկոսաեդրոնի կառուցումը
Պլատոնական իկոսաեդրոնից

Այսպիսով, ինչպես նախագծել Արքիմեդի կտրված իկոսաեդրոն-ից Պլատոնական իկոսաեդրոն? Պատասխանը պատկերված է Նկ. 3. Իրոք, ինչպես երևում է Աղյուսակից: 1, 5 դեմքեր միանում են իկոսաեդրոնի 12 գագաթներից որևէ մեկին: Եթե ​​յուրաքանչյուր գագաթում հարթությամբ կտրված են իկոսաեդրոնի 12 մասեր, ապա ձևավորվում է 12 նոր հնգանկյուն երես։ Գոյություն ունեցող 20 երեսների հետ միասին, որոնք նման կտրվածքից հետո եռանկյունաձևից վերածվեցին վեցանկյունի, դրանք կկազմեն կտրված իկոսաեդրոնի 32 երես: Այս դեպքում կլինեն 90 եզրեր և 60 գագաթներ:

Մեկ այլ խումբ Արքիմեդյան պինդ մարմիններբաղկացած է երկու մարմիններից, որոնք կոչվում են քվազիկանոնավորպոլիեդրա. «Քվազի» մասնիկն ընդգծում է, որ այս պոլիեդրների դեմքերը միայն երկու տեսակի կանոնավոր բազմանկյուններ են, որոնցից յուրաքանչյուրը շրջապատված է մեկ այլ տեսակի բազմանկյուններով: Այս երկու մարմինները կոչվում են rhombicuboctahedronԵվ icosidodecahedron(նկ. 4):

Նկար 5. Արքիմեդյան պինդ մարմիններ.

Վերջապես, կան երկու այսպես կոչված «snub» փոփոխություններ՝ մեկը խորանարդի համար ( snub cube), մյուսը՝ տասներկուանիստի համար ( snub dodecahedron) (նկ. 6):

(Ա)	(բ)

Նկար 6.Արքիմեդյան պինդ մարմիններ.

Վենիգերի «Պոլիեդրայի մոդելները» (1974) վերոհիշյալ գրքում ընթերցողը կարող է գտնել 75. տարբեր մոդելներկանոնավոր պոլիեդրաներ. «Բազմաներների տեսությունը, մասնավորապես՝ ուռուցիկ բազմանիստը, երկրաչափության ամենահետաքրքիր գլուխներից մեկն է»։այս կարծիքին է ռուս մաթեմատիկոս Լ.Ա. Լյուստերնակը, ով շատ բան արեց մաթեմատիկայի այս ոլորտում: Այս տեսության զարգացումը կապված է ականավոր գիտնականների անունների հետ։ Յոհաննես Կեպլերը (1571-1630) մեծ ներդրում է ունեցել պոլիեդրների տեսության զարգացման գործում։ Ժամանակին նա գրել է «Ձյան փաթիլի մասին» էսքիզը, որում կատարել է հետևյալ նկատառումը. «Կանոնավոր մարմինների մեջ առաջինը, մնացածի սկիզբն ու նախահայրը խորանարդն է, և նրա ամուսինը, եթե կարող եմ այդպես ասել, ութանիստն է, քանի որ ութանիստն ունի այնքան անկյուն, որքան խորանարդը ունի դեմքեր»:Կեպլերն առաջինն էր, որ հրապարակեց ամբողջական ցանկըտասներեք Արքիմեդյան պինդ մարմիններև նրանց տվեց այն անունները, որոնցով նրանք հայտնի են այսօր:

Կեպլերն առաջինն է ուսումնասիրել այսպես կոչված աստղային պոլիեդրա,որոնք, ի տարբերություն Պլատոնական և Արքիմեդյան պինդ մարմինների, կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ են։ Անցյալ դարասկզբին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և մեխանիկ Լ. Պուանսոն (1777-1859), ում երկրաչափական աշխատանքները կապված էին աստղային պոլիեդրների հետ, զարգացրեց Կեպլերի աշխատանքը և հայտնաբերեց կանոնավոր ոչ ուռուցիկ պոլիեդրների ևս երկու տեսակների գոյությունը։ Այսպիսով, Կեպլերի և Պուանսոյի աշխատանքի շնորհիվ հայտնի դարձան նման ֆիգուրների չորս տեսակներ (նկ. 7): 1812 թվականին Օ.Կոշին ապացուցեց, որ այլ կանոնավոր աստղային պոլիեդրաներ չկան։

Նկար 7.Կանոնավոր աստղային պոլիեդրաներ (Poinsot պինդ մարմիններ)

Շատ ընթերցողներ կարող են հարցնել. Ո՞րն է դրանց օգուտը: Այս հարցին կարելի է պատասխանել. «Ո՞րն է երաժշտության կամ պոեզիայի օգուտը: Արդյո՞ք ամեն ինչ գեղեցիկ է օգտակար: Բազմանդամների մոդելները ներկայացված են Նկ. 1-7-ը, ամենից առաջ, գեղագիտական ​​տպավորություն է թողնում մեզ վրա և կարող է օգտագործվել որպես դեկորատիվ զարդեր: Բայց իրականում, բնական կառույցներում կանոնավոր պոլիեդրների լայն տարածումը մեծ հետաքրքրություն է առաջացրել երկրաչափության այս ճյուղի նկատմամբ։ ժամանակակից գիտ.

Եգիպտական ​​օրացույցի առեղծվածը

Ի՞նչ է օրացույցը:

Ռուսական ասացվածքն ասում է. «Ժամանակը պատմության աչքն է»: Այն ամենը, ինչ գոյություն ունի Տիեզերքում՝ Արևը, Երկիրը, աստղերը, մոլորակները, հայտնի և անհայտ աշխարհները, և այն ամենը, ինչ գոյություն ունի կենդանի և ոչ կենդանի էակների էության մեջ, ամեն ինչ ունի տարածություն-ժամանակային հարթություն: Ժամանակը չափվում է որոշակի տևողության պարբերաբար կրկնվող գործընթացների դիտարկմամբ:

Նույնիսկ հին ժամանակներում մարդիկ նկատում էին, որ օրը միշտ զիջում է գիշերը, և եղանակներն անցնում են խիստ հաջորդականությամբ՝ ձմռանից հետո գալիս է գարունը, գարնանից հետո՝ ամառը, ամառից հետո՝ աշունը։ Այս երևույթների լուծումը փնտրելով՝ մարդն ուշադրություն դարձրեց երկնային մարմիններին՝ Արևին, Լուսինին, աստղերին և երկնքում նրանց շարժումների խիստ պարբերականությանը: Սրանք առաջին դիտարկումներն էին, որոնք նախորդել էին ամենահին գիտություններից մեկի՝ աստղագիտության ծնունդին։

Աստղագիտությունը ժամանակի չափումը հիմնում է երկնային մարմինների շարժման վրա, որն արտացոլում է երեք գործոն՝ Երկրի պտույտն իր առանցքի շուրջ, Լուսնի պտույտը Երկրի շուրջ և Երկրի շարժումը Արեգակի շուրջ։ Ժամանակի տարբեր հասկացությունները կախված են նրանից, թե այս երևույթներից որի՞ վրա է հիմնված ժամանակի չափումը։ Աստղագիտությունը գիտի աստղայինժամանակ, արևոտժամանակ, տեղականժամանակ, իրանժամանակ, դեկրետժամանակ, ատոմայինժամանակ և այլն:

Արևը, ինչպես մյուս բոլոր լուսատուները, մասնակցում է երկնքում շարժմանը: Բացի ամենօրյա շարժումից, Արեգակն ունի այսպես կոչված տարեկան շարժում, և երկնքով Արեգակի տարեկան շարժման ամբողջ ուղին կոչվում է. էկլիպտիկա.Եթե, օրինակ, մենք նկատենք համաստեղությունների գտնվելու վայրը որոշակի երեկոյան ժամին, և հետո ամեն ամիս կրկնենք այս դիտարկումը, ապա մեր առջև կհայտնվի երկնքի այլ պատկեր։ Աստղային երկնքի տեսքը շարունակաբար փոխվում է. յուրաքանչյուր սեզոն ունի երեկոյան համաստեղությունների իր նախշը, և յուրաքանչյուր նման օրինաչափություն կրկնվում է ամեն տարի: Հետևաբար, մեկ տարի անց Արևը վերադառնում է աստղերի համեմատ իր սկզբնական տեղը։

Աստղային աշխարհում կողմնորոշվելու հեշտության համար աստղագետները ամբողջ երկինքը բաժանել են 88 համաստեղությունների: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր անունը: 88 համաստեղություններից աստղագիտության մեջ առանձնահատուկ տեղ են զբաղեցնում նրանք, որոնց միջով անցնում է խավարածիրը։ Այս համաստեղությունները, բացի իրենց անուններից, ունեն նաև ընդհանուր անվանում. կենդանակերպ(հունարեն «zoop» կենդանի բառից), ինչպես նաև ամբողջ աշխարհում լայնորեն հայտնի խորհրդանիշներ (նշաններ) և օրացույցային համակարգերում ներառված տարբեր այլաբանական պատկերներ։

Հայտնի է, որ խավարածրի երկայնքով շարժվելու ընթացքում Արեգակը հատում է 13 համաստեղություն։ Այնուամենայնիվ, աստղագետները գտան, որ անհրաժեշտ է Արեգակի ուղին բաժանել ոչ թե 13, այլ 12 մասի` միավորելով Կարիճ և Օֆիուչուս համաստեղությունները մեկ մեկի տակ: ընդհանուր անունԿարիճ (ինչու՞):

Ժամանակի չափման խնդիրներով զբաղվում է հատուկ գիտություն, որը կոչվում է ժամանակագրություն։Այն ընկած է մարդկության կողմից ստեղծված բոլոր օրացույցային համակարգերի հիմքում: Հին ժամանակներում օրացույցների ստեղծումը մեկն էր ամենակարևոր առաջադրանքներըաստղագիտություն։

Ի՞նչ է «օրացույցը» և ի՞նչ տեսակներ կան: օրացուցային համակարգեր? Խոսք օրացույցգալիս է լատիներեն բառից օրացույց, որը բառացի նշանակում է «պարտքի գիրք»; Նման գրքերում նշվում էին յուրաքանչյուր ամսվա առաջին օրերը. Կալենդներ,որով Հին Հռոմում պարտապանները տոկոսներ էին վճարում։

Հին ժամանակներից Արևելյան և Հարավարևելյան Ասիայի երկրներում օրացույցներ կազմելիս մեծ նշանակությունպարբերականություն է տվել Արեգակի, Լուսնի շարժումներին և նաև ՅուպիտերԵվ Սատուրն, երկու հսկա մոլորակներ Արեգակնային համակարգ. Հիմքեր կան ենթադրելու, որ ստեղծագործելու գաղափարը Հովյան օրացույցպտույտի հետ կապված 12-ամյա կենդանական ցիկլի երկնային սիմվոլիզմով ՅուպիտերԱրեգակի շուրջ, որն Արեգակի շուրջ ամբողջական պտույտ է կատարում մոտ 12 տարում (11,862 տարի)։ Մյուս կողմից, Արեգակնային համակարգի երկրորդ հսկա մոլորակն է ՍատուրնԱրեգակի շուրջ ամբողջական պտույտ է կատարում մոտ 30 տարում (29,458 տարի): Ցանկանալով ներդաշնակեցնել հսկա մոլորակների շարժման ցիկլերը՝ հին չինացիների մոտ առաջացել է Արեգակնային համակարգի 60-ամյա ցիկլը ներկայացնելու գաղափարը: Այս ցիկլի ընթացքում Սատուրնը 2 լրիվ պտույտ է կատարում Արեգակի շուրջ, իսկ Յուպիտերը՝ 5։

Տարեկան օրացույցներ ստեղծելիս օգտագործվում են աստղագիտական ​​երևույթներ՝ ցերեկվա և գիշերվա փոփոխություն, փոփոխություն լուսնային փուլերև տարվա եղանակների փոփոխությունը: Տարբեր աստղագիտական ​​երևույթների օգտագործումը հանգեցրեց տարբեր ժողովուրդների միջև երեք տեսակի օրացույցների ստեղծմանը. լուսնային,հիմնված Լուսնի շարժման վրա, արևոտ,Արեգակի շարժման վրա հիմնված և լուսային արևային.

Եգիպտական ​​օրացույցի կառուցվածքը

Արեգակնային առաջին օրացույցներից մեկն էր եգիպտական, ստեղծված մ.թ.ա. 4-րդ հազարամյակում։ Եգիպտական ​​օրացուցային տարին բաղկացած էր 360 օրից։ Տարին բաժանված էր 12 ամսվա՝ յուրաքանչյուրը ուղիղ 30 օրով։ Սակայն ավելի ուշ պարզվեց, որ օրացուցային տարվա այս երկարությունը չի համապատասխանում աստղագիտականին։ Իսկ հետո եգիպտացիները օրացուցային տարվան ավելացրել են ևս 5 օր, որոնք, սակայն, ամսվա օրեր չեն եղել։ 5-ն էր Տոներ, կապելով հարևան օրացուցային տարիները։ Այսպիսով, եգիպտական ​​օրացուցային տարին ուներ հետևյալ կառուցվածքը՝ 365 = 12ґ 30 + 5։ Նշենք, որ եգիպտական ​​օրացույցը ժամանակակից օրացույցի նախատիպն է։

Հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ են եգիպտացիները օրացուցային տարին բաժանել 12 ամսվա։ Չէ՞ որ կային օրացույցներ՝ տարվա տարբեր ամիսներով։ Օրինակ՝ մայաների օրացույցում տարին բաղկացած էր 18 ամսից՝ ամսական 20 օրով։ Եգիպտական ​​օրացույցի հետ կապված հաջորդ հարցը. ինչու՞ յուրաքանչյուր ամիս ուներ ուղիղ 30 օր (ավելի ճիշտ՝ օրեր): Որոշ հարցեր կարող են առաջանալ նաև եգիպտական ​​ժամանակի չափման համակարգի վերաբերյալ, մասնավորապես՝ կապված ժամանակի այնպիսի միավորների ընտրության հետ, ինչպիսիք են. ժամ, րոպե, վայրկյան.Մասնավորապես, հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ է ժամի միավորն ընտրվել այնպես, որ օրվա մեջ տեղավորվի ուղիղ 24 անգամ, այսինքն՝ ինչո՞ւ 1 օր = 24 (2½ 12) ժամ։ Հաջորդը. ինչու՞ 1 ժամ = 60 րոպե, և 1 րոպե = 60 վայրկյան: Նույն հարցերը վերաբերում են անկյունային մեծությունների միավորների ընտրությանը, մասնավորապես՝ ինչո՞ւ է շրջանագիծը բաժանվում 360°-ի, այսինքն՝ ինչո՞ւ 2p =360° =12ґ 30°։ Այս հարցերին գումարվում են նաև ուրիշներ, մասնավորապես՝ ինչու աստղագետները նպատակահարմար գտան հավատալ, որ կա 12. կենդանակերպնշաններ, թեև փաստորեն, խավարածրի երկայնքով իր շարժման ընթացքում Արևը հատում է 13 համաստեղություններ: Եվ ևս մեկ «տարօրինակ» հարց. ինչու՞ բաբելոնյան թվային համակարգը ուներ շատ անսովոր հիմք՝ 60 թիվը:

Եգիպտական ​​օրացույցի և դոդեկաեդրոնի թվային բնութագրերի միջև կապը

Վերլուծելով եգիպտական ​​օրացույցը, ինչպես նաև ժամանակի և անկյունային արժեքների չափման եգիպտական ​​համակարգերը, մենք գտնում ենք, որ չորս թվեր կրկնվում են զարմանալի կայունությամբ՝ 12, 30, 60 և դրանցից ստացված թիվը 360 = 12ґ 30: Հարց է առաջանում. Կա՞ որևէ հիմնարար գիտական ​​գաղափար, որը կարող է պարզ և տրամաբանական բացատրություն տալ եգիպտական ​​համակարգերում այս թվերի օգտագործման համար:

Այս հարցին պատասխանելու համար ևս մեկ անգամ անդրադառնանք տասներկուանիստ, ցույց է տրված Նկ. 1-դ. Հիշենք, որ տասներկուանիստի բոլոր երկրաչափական հարաբերությունները հիմնված են ոսկե հարաբերակցության վրա:

Արդյո՞ք եգիպտացիները գիտեին տասներկուանիստը: Մաթեմատիկայի պատմաբանները խոստովանում են, որ հին եգիպտացիները տեղեկություններ ունեին կանոնավոր պոլիեդրների մասին։ Բայց արդյո՞ք նրանք գիտեին, մասնավորապես, բոլոր հինգ կանոնավոր բազմանիստներին տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոնՈրո՞նք են ամենադժվարները: Հին հույն մաթեմատիկոս Պրոկլոսը կանոնավոր պոլիեդրների կառուցումը վերագրում է Պյութագորասին։ Բայց շատ մաթեմատիկական թեորեմներ և արդյունքներ (մասնավորապես Պյութագորասի թեորեմՊյութագորասը պարտք է վերցրել հին եգիպտացիներից Եգիպտոս կատարած իր շատ երկար «գործուղման» ժամանակ (ըստ որոշ տեղեկությունների, Պյութագորասը Եգիպտոսում ապրել է 22 տարի): Հետևաբար, մենք կարող ենք ենթադրել, որ Պյութագորասը կարող է նաև կանոնավոր պոլիեդրների մասին գիտելիքները փոխառել հին եգիպտացիներից (և հնարավոր է հին բաբելոնացիներից, քանի որ ըստ լեգենդի Պյութագորասը ապրել է մ. հին Բաբելոն 12 տարեկան). Բայց կան այլ, ավելի համոզիչ ապացույցներ, որ եգիպտացիները տեղեկություններ ունեին բոլոր հինգ կանոնավոր պոլիեդրների մասին։ Մասնավորապես, Բրիտանական թանգարանում պահվում է պտղոմեոսյան դարաշրջանի մեռնել, որն ունի ձև իկոսաեդրոն, այսինքն՝ «Պլատոնական պինդ», երկակի տասներկուանիստ. Այս բոլոր փաստերը մեզ իրավունք են տալիս առաջ քաշել այն վարկածը, որ Դոդեկեդրոնը հայտնի էր եգիպտացիներին:Եվ եթե դա այդպես է, ապա այս վարկածից բխում է շատ ներդաշնակ համակարգ, որը թույլ է տալիս բացատրել եգիպտական ​​օրացույցի ծագումը և միևնույն ժամանակ ժամանակային ընդմիջումների և երկրաչափական անկյունների չափման եգիպտական ​​համակարգի ծագումը:

Նախկինում մենք պարզեցինք, որ տասներկու երեսն ունի 12 դեմք, 30 եզր և 60 հարթ անկյուն իր մակերեսին (Աղյուսակ 1): Եգիպտացիների իմացած վարկածի հիման վրա տասներկուանիստև նրա թվային բնութագրերն են 12, 30. 60, ապա ինչն էր նրանց զարմանքը, երբ նրանք հայտնաբերեցին, որ նույն թվերն արտահայտում են Արեգակնային համակարգի ցիկլերը, այն է՝ Յուպիտերի 12-ամյա ցիկլը, Սատուրնի 30-ամյա ցիկլը և վերջապես Արեգակնային համակարգի 60-ամյա ամառային ցիկլը։ Այսպիսով, այնպիսի կատարյալ տարածական գործչի միջև, ինչպիսին է տասներկուանիստ, և Արեգակնային համակարգում, կա խորը մաթեմատիկական կապ: Այս եզրակացությունն են արել հին գիտնականները։ Սա հանգեցրեց նրան, որ տասներկուանիստընդունվեց որպես «գլխավոր գործիչ», որը խորհրդանշում էր Տիեզերքի ներդաշնակություն. Եվ հետո եգիպտացիները որոշեցին, որ իրենց բոլոր հիմնական համակարգերը (օրացույցային համակարգ, ժամանակի չափման համակարգ, անկյունների չափման համակարգ) պետք է համապատասխանեն թվային պարամետրերին: տասներկուանիստ! Քանի որ, ըստ հների, Արեգակի շարժումը խավարածրի երկայնքով խիստ շրջանաձև էր, ուստի, ընտրելով Կենդանակերպի 12 նշաններ, որոնց միջև աղեղի հեռավորությունը ուղիղ 30° էր, եգիպտացիները զարմանալիորեն գեղեցիկ կերպով համակարգեցին Արեգակի տարեկան շարժումը։ խավարածրի երկայնքով իրենց օրացուցային տարվա կառուցվածքով. մեկ ամիսը համապատասխանում էր Արեգակի շարժմանը Կենդանակերպի երկու հարևան նշանների միջև խավարածրի երկայնքով:Ավելին, Արեգակի շարժումը մեկ աստիճանով համապատասխանում էր եգիպտական ​​օրացուցային տարվա մեկ օրվան։ Այս դեպքում խավարածածկը ավտոմատ կերպով բաժանվել է 360°-ի։ Յուրաքանչյուր օրը բաժանելով երկու մասի, հետևելով տասներկու երեսին՝ եգիպտացիները այնուհետև օրվա յուրաքանչյուր կեսը բաժանեցին 12 մասի (12 երես): տասներկուանիստ) և դրանով իսկ ներկայացվեց ժամ- ժամանակի ամենակարևոր միավորը: Մեկ ժամը բաժանելով 60 րոպեի (մակերեսի վրա 60 հարթ անկյուն տասներկուանիստ), այսպես են ներկայացրել եգիպտացիները րոպե– ժամանակի հաջորդ կարևոր միավորը: Նույն կերպ ներկայացրեցին ինձ մի վայրկյան տուր- այդ ժամանակաշրջանի ամենափոքր միավորը:

Այսպիսով, ընտրելով տասներկուանիստորպես տիեզերքի գլխավոր «ներդաշնակ» գործիչ և խստորեն հետևելով 12, 30, 60 դոդեկաեդրոնի թվային բնութագրերին, եգիպտացիներին հաջողվեց կառուցել չափազանց ներդաշնակ օրացույց, ինչպես նաև ժամանակի և անկյունային արժեքների չափման համակարգեր: Այս համակարգերը լիովին համապատասխանում էին իրենց «Ներդաշնակության տեսությանը»՝ հիմնված ոսկե համամասնության վրա, քանի որ հենց այս համամասնությունն է ընկած. տասներկուանիստ.

Սրանք զարմանալի եզրակացություններ են, որոնք բխում են համեմատությունից. տասներկուանիստարեգակնային համակարգի հետ։ Եվ եթե մեր վարկածը ճիշտ է (թող ինչ-որ մեկը փորձի դա հերքել), ապա հետևում է, որ մարդկությունը հազարամյակներ շարունակ ապրում է. ոսկե հարաբերակցության նշանի տակ! Եվ ամեն անգամ մենք նայում ենք մեր ժամացույցի թվաքանակին, որը նույնպես կառուցված է թվային բնութագրերի օգտագործման վրա տասներկուանիստ 12, 30 և 60, մենք շոշափում ենք գլխավոր «Տիեզերքի առեղծվածը»՝ ոսկե հարաբերակցությունը, առանց նույնիսկ դա իմանալու:

Քվազիկրիստալներ Դեն Շեխտմանի կողմից

1984 թվականի նոյեմբերի 12-ին իսրայելցի ֆիզիկոս Դեն Շեխտմանի հեղինակավոր Physical Review Letters ամսագրում հրապարակված կարճ հոդվածը փորձարարական ապացույցներ բերեց բացառիկ հատկություններով մետաղական համաձուլվածքի գոյության մասին։ Էլեկտրոնների դիֆրակցիոն մեթոդներով ուսումնասիրելիս այս խառնուրդը ցույց տվեց բյուրեղի բոլոր նշանները։ Նրա դիֆրակցիոն օրինաչափությունը կազմված է վառ և կանոնավոր տարածված կետերից, ինչպես բյուրեղը: Այնուամենայնիվ, այս նկարը բնութագրվում է «իկոսաեդրալ» կամ «հինգանկյուն» համաչափության առկայությամբ, ինչը երկրաչափական պատճառներով խստիվ արգելված է բյուրեղի մեջ: Նման անսովոր համաձուլվածքները կոչվում էին քվազիկրիստալներ.Մեկ տարուց պակաս ժամանակում հայտնաբերվեցին այս տեսակի բազմաթիվ այլ համաձուլվածքներ։ Դրանք այնքան շատ էին, որ կիսաբյուրեղային վիճակը շատ ավելի տարածված էր, քան կարելի էր պատկերացնել:

Իսրայելցի ֆիզիկոս Դեն Շեխտմանը

Քվազիկյուրիստ հասկացությունը հիմնարար հետաքրքրություն է ներկայացնում, քանի որ այն ընդհանրացնում և լրացնում է բյուրեղի սահմանումը: Այս հայեցակարգի վրա հիմնված տեսությունը փոխարինում է դարավոր գաղափարին. կառուցվածքային միավոր, կրկնվում է տարածության մեջ խիստ պարբերական կերպով», հիմնական հայեցակարգը հեռահար պատվեր.Ինչպես ընդգծվում է հայտնի ֆիզիկոս Դ. Գրատիայի «Քվազակյուրեղներ» հոդվածում, «Այս հայեցակարգը հանգեցրեց բյուրեղագիտության ընդլայնմանը, որի նոր հայտնաբերված հարստությունները մենք նոր ենք սկսում ուսումնասիրել: Նրա նշանակությունը միներալների աշխարհում կարելի է հավասարեցնել մաթեմատիկայի ռացիոնալ թվերին իռացիոնալ թվերի հայեցակարգի ավելացմանը»։

Ի՞նչ է քվազիկրիստալը: Որո՞նք են դրա հատկությունները և ինչպես կարելի է նկարագրել: Ինչպես նշվեց վերևում, ըստ բյուրեղագիտության հիմնական օրենքըԲյուրեղային կառուցվածքի վրա դրված են խիստ սահմանափակումներ։ Դասական հասկացությունների համաձայն՝ բյուրեղը կազմված է անվերջ մեկ բջիջից, որը պետք է ամուր (դեմ առ դեմ) «ծածկի» ամբողջ հարթությունը՝ առանց որևէ սահմանափակումների։

Ինչպես հայտնի է, ինքնաթիռի խիտ լցոնումը կարող է իրականացվել օգտագործելով եռանկյուններ(նկ.7-ա), քառակուսիներ(նկ.7-բ) և վեցանկյուններ(նկ.7-դ): Օգտագործելով հնգանկյուններ (Պենտագոններ) նման լիցքավորումն անհնար է (նկ. 7-գ):

Ա)	բ)	V)	G)

Նկար 7.Ինքնաթիռի խիտ լցոնումը կարելի է անել՝ օգտագործելով եռանկյունները (a), քառակուսիները (b) և վեցանկյունները (d)

Սրանք ավանդական բյուրեղագիտության կանոններն էին, որոնք գոյություն ունեին մինչև ալյումինի և մանգանի անսովոր համաձուլվածքի հայտնաբերումը, որը կոչվում էր քվազիկյուրիստ: Նման համաձուլվածքը ձևավորվում է հալոցի գերարագ սառեցման արդյունքում՝ վայրկյանում 106 Կ արագությամբ։ Ավելին, նման համաձուլվածքի դիֆրակցիոն ուսումնասիրության ժամանակ էկրանին հայտնվում է կարգավորված նախշ, որը բնորոշ է իկոսաեդրոնի համաչափությանը, որն ունի 5-րդ կարգի համաչափության հայտնի առանցքները։

Աշխարհի մի քանի գիտական ​​խմբեր հաջորդ մի քանի տարիների ընթացքում ուսումնասիրել են այս անսովոր համաձուլվածքը էլեկտրոնային մանրադիտակբարձր լուծում: Դրանք բոլորը հաստատում էին նյութի իդեալական միատարրությունը, որում 5-րդ կարգի համաչափությունը պահպանվում էր ատոմների չափսերին մոտ (մի քանի տասնյակ նանոմետր) մակրոսկոպիկ շրջաններում։

Ժամանակակից տեսակետների համաձայն՝ մշակվել է քվազիկյուրիստալի բյուրեղային կառուցվածքի ստացման հետևյալ մոդելը. Այս մոդելը հիմնված է «հիմնական տարր» հասկացության վրա: Ըստ այս մոդելի՝ ալյումինի ատոմների ներքին իկոսաեդրոնը շրջապատված է մանգանի ատոմների արտաքին իկոսաեդրոնով։ Իկոսաեդրոնները միացված են մանգանի ատոմների ութաեդրներով։ «Հիմնական տարրը» պարունակում է 42 ալյումինի ատոմ և 12 մանգանի ատոմ։ Պնդացման գործընթացում տեղի է ունենում «հիմնական տարրերի» արագ ձևավորում, որոնք արագորեն կապված են միմյանց հետ կոշտ ութանիստ «կամուրջներով»: Հիշեցնենք, որ իկոսաեդրոնի երեսները հավասարակողմ եռանկյուններ են: Որպեսզի ութանիստ մանգանային կամուրջ առաջանա, անհրաժեշտ է, որ երկու նման եռանկյուններ (յուրաքանչյուր խցում մեկական) բավական մոտենան միմյանց և շարվեն զուգահեռաբար։ Նման ֆիզիկական պրոցեսի արդյունքում ձևավորվում է «իկոսաեդրալ» համաչափությամբ քվազիկյուրիստական ​​կառուցվածք։

Վերջին տասնամյակների ընթացքում հայտնաբերվել են քվազիկյուրիստական ​​համաձուլվածքների բազմաթիվ տեսակներ։ Բացի «իկոսաեդրալ» սիմետրիա ունեցողներից (5-րդ կարգ), կան նաև տասնանկյունային սիմետրիա (10-րդ կարգ) և տասներորդական սիմետրիա (12-րդ կարգ) ունեցող համաձուլվածքներ: Քվազիկրիստալների ֆիզիկական հատկությունները միայն վերջերս են սկսել ուսումնասիրվել։

Ո՞րն է քվազիկրիստալների հայտնաբերման գործնական նշանակությունը: Ինչպես նշվեց Գրատիայի վերը նշված հոդվածում, «Քվազիկյուրիստական ​​համաձուլվածքների մեխանիկական ուժը կտրուկ աճում է. պարբերականության բացակայությունը հանգեցնում է դիսլոկացիաների տարածման դանդաղեցմանը` համեմատած սովորական մետաղների հետ... Այս հատկությունը մեծ գործնական նշանակություն ունի. իկոսաեդրալ փուլի օգտագործումը թույլ կտա ստանալ թեթև և շատ ամուր համաձուլվածքներ` ներմուծելով փոքր մասնիկներ: քվազիկյուրիստները ալյումինե մատրիցայի մեջ»:

Ո՞րն է քվազիկրիստալների հայտնաբերման մեթոդաբանական նշանակությունը: Նախ և առաջ, քվազիկրիստալների հայտնաբերումը «դոդեկաեդրալ-իկոսաեդրային ուսմունքի» մեծ հաղթանակի պահն է, որը ներթափանցում է բնական գիտության ողջ պատմությունը և հանդիսանում է խորը և օգտակար գիտական ​​գաղափարների աղբյուր: Երկրորդ, քվազիկյուրիստները ոչնչացրեցին հանքանյութերի աշխարհի անհաղթահարելի բաժանման ավանդական գաղափարը, որում արգելված էր «հինգանկյուն» համաչափությունը, և կենդանի բնության աշխարհը, որտեղ «հինգանկյուն» համաչափությունը ամենատարածվածներից մեկն է: Եվ չպետք է մոռանալ, որ իկոսաեդրոնի հիմնական մասնաբաժինը «ոսկե հարաբերակցությունն» է։ Իսկ քվազիկրիստալների հայտնաբերումը ևս մեկ գիտական ​​հաստատում է, որ, թերևս, հենց «ոսկե համամասնությունն» է դրսևորվում թե՛ կենդանի բնության, թե՛ հանքանյութերի աշխարհում, որը Տիեզերքի հիմնական համամասնությունն է։

Penrose սալիկներ

Երբ Դեն Շեխթմանը փորձարարական ապացույցներ տվեց քվազիկրիստալների գոյության մասին icosahedral սիմետրիա, ֆիզիկոսները՝ փնտրելով քվազիկրիստալների ֆենոմենի տեսական բացատրությունը, ուշադրություն հրավիրեցին անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Պենրոուզի կողմից 10 տարի առաջ արված մաթեմատիկական հայտնագործության վրա։ Որպես քվազիկրիստալների «հարթ անալոգ»՝ մենք ընտրեցինք Penrose սալիկներ, որոնք պարբերական կանոնավոր կառույցներ են, որոնք ձևավորվում են «հաստ» և «բարակ» ռոմբուսներով՝ ենթարկվելով «ոսկե հատվածի» համամասնություններին։ Հենց այդպես Penrose սալիկներընդունվել են բյուրեղագետների կողմից՝ երևույթը բացատրելու համար քվազիկրիստալներ. Միաժամանակ դերը Penrose ադամանդներեռաչափ տարածության մեջ սկսեց խաղալ իկոսաեդրոններ, որի օգնությամբ իրականացվում է եռաչափ տարածության խիտ լցնում։

Եկեք ավելի սերտ նայենք հնգանկյունին Նկ. 8.

Նկար 8.Պենտագոն

Նրա մեջ անկյունագծեր գծելուց հետո բնօրինակ հնգանկյունը կարող է ներկայացվել որպես երեք տեսակի երկրաչափական պատկերների հավաքածու։ Կենտրոնում նոր հնգանկյուն է, որը ձևավորվում է անկյունագծերի հատման կետերից։ Բացի այդ, Պենտագոնը Նկ. 8-ը ներառում է հինգ հավասարաչափ եռանկյունիներ՝ գունավորված դեղին, և հինգ հավասարաչափ եռանկյունիներ՝ գունավոր կարմիր։ Դեղին եռանկյունները «ոսկե» են, քանի որ ազդրի և հիմքի հարաբերակցությունը հավասար է ոսկե հարաբերակցությանը. նրանք ունեն 36° սուր անկյուններ գագաթային մասում և 72° սուր անկյուններ հիմքում։ Կարմիր եռանկյունները նույնպես «ոսկե» են, քանի որ ազդրի և հիմքի հարաբերակցությունը հավասար է ոսկե հարաբերակցությանը. նրանք ունեն 108° բութ անկյուն գագաթում, իսկ հիմքում` 36° սուր անկյուն:

Հիմա եկեք միացնենք երկու դեղին և երկու կարմիր եռանկյուններ իրենց հիմքերի հետ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու «ոսկե» ռոմբուս. Դրանցից առաջինը (դեղին) ունի 36° սուր անկյուն և 144° բութ անկյուն (նկ. 9):

(Ա)	(բ)

Նկար 9:Ոսկե» ռոմբուսներ՝ ա) «բարակ» ռոմբուսներ; բ) «հաստ» ռոմբուս

Ադամանդը Նկ. Մենք այն կանվանենք 9 բարակ ռոմբուս,իսկ ռոմբը Նկ. 9-բ – հաստ ռոմբուս:

Անգլիացի մաթեմատիկոս և ֆիզիկոս Ռոջերս Պենրոուզը «ոսկե» ադամանդներ է օգտագործել Նկ. 9 «ոսկե» մանրահատակի կառուցման համար, որը կոչվել է Penrose սալիկներ. Penrose սալիկները հաստ և բարակ ադամանդների համադրություն են, որոնք ներկայացված են Նկ. 10.

Նկար 10. Penrose սալիկներ

Կարևոր է ընդգծել, որ Penrose սալիկներունեն «հինգանկյուն» սիմետրիա կամ 5-րդ կարգի սիմետրիա, իսկ հաստ ռոմբների քանակի և բարակ ռոմբների հարաբերակցությունը ձգտում է ոսկե համամասնությանը:

Ֆուլերեններ

Այժմ խոսենք քիմիայի ոլորտում մեկ այլ ակնառու ժամանակակից հայտնագործության մասին։ Այս հայտնագործությունն արվել է 1985 թվականին, այսինքն՝ քվազիկրիստալներից մի քանի տարի անց։ Խոսքը, այսպես կոչված, «ֆուլերենների» մասին է։ «Ֆուլերեններ» տերմինը վերաբերում է C 60, C 70, C 76, C 84 տիպի փակ մոլեկուլներին, որոնցում ածխածնի բոլոր ատոմները գտնվում են գնդաձև կամ գնդաձև մակերեսի վրա: Այս մոլեկուլներում ածխածնի ատոմները դասավորված են կանոնավոր վեցանկյունների կամ հնգանկյունների գագաթներում, որոնք ծածկում են գնդի կամ գնդաձևի մակերեսը։ Ֆուլերենների մեջ կենտրոնական տեղը զբաղեցնում է C 60 մոլեկուլը, որը բնութագրվում է ամենամեծ համաչափությամբ և, որպես հետևանք, ամենամեծ կայունությամբ։ Այս անվադողաձև մոլեկուլում ֆուտբոլի գնդակև ունենալով կանոնավոր կտրված իկոսաեդրոնի կառուցվածք (նկ. 2-ե և նկ. 3), ածխածնի ատոմները գտնվում են գնդաձև մակերեսի վրա 20 կանոնավոր վեցանկյունների և 12 կանոնավոր հնգանկյունների գագաթներում, այնպես որ յուրաքանչյուր վեցանկյուն սահմանակից է երեք վեցանկյունների և երեք հնգանկյունների: , և յուրաքանչյուր հնգանկյուն սահմանակից է վեցանկյուններին։

«Ֆուլերեն» տերմինը ծագել է ամերիկացի ճարտարապետ Բաքմինսթեր Ֆուլերի անունից, ով, պարզվում է, օգտագործել է նման կառույցներ շենքերի գմբեթները կառուցելիս (կտրված իկոսաեդրոնի մեկ այլ կիրառություն):

«Ֆուլերենները» ըստ էության «տեխնածին» կառուցվածքներ են, որոնք առաջացել են ֆիզիկայի հիմնարար հետազոտություններից։ Դրանք առաջին անգամ սինթեզել են գիտնականներ Գ.Կրոտոն և Ռ.Սմալլին (որոնք Նոբելյան մրցանակ են ստացել 1996 թվականին այս հայտնագործության համար): Բայց դրանք անսպասելիորեն հայտնաբերվեցին նախաքեմբրյան ժամանակաշրջանի ժայռերում, այսինքն՝ ֆուլերենները ոչ միայն «տեխնածին» էին, այլև բնական գոյացություններ: Այժմ ֆուլերենները ինտենսիվ ուսումնասիրվում են տարբեր երկրների լաբորատորիաներում՝ փորձելով ստեղծել դրանց ձևավորման պայմանները, կառուցվածքը, հատկությունները և կիրառման հնարավոր ոլորտները։ Ֆուլերենների ընտանիքի առավել լիովին ուսումնասիրված ներկայացուցիչը ֆուլերեն-60-ն է (C 60) (այն երբեմն կոչվում է Buckminster fullerene: Հայտնի են նաև ֆուլերենները C 70 և C 84: Ֆուլերեն C 60-ը ստացվում է հելիումի մթնոլորտում գրաֆիտի գոլորշիացման արդյունքում: նուրբ, մուրանման փոշի, որը պարունակում է 10% ածխածին, բենզոլում լուծվելիս փոշին ստանում է կարմիր լուծույթ, որից աճում են C 60 բյուրեղները։ Ֆուլերեններն ունեն անսովոր քիմիական և ֆիզիկական հատկություններ. Այո, երբ բարձր արյան ճնշում 60-ից այն դառնում է ադամանդի պես կոշտ։ Նրա մոլեկուլները ձևավորում են բյուրեղային կառուցվածք, կարծես կազմված լինեն կատարյալ հարթ գնդիկներից, որոնք ազատորեն պտտվում են դեմքի կենտրոնացված խորանարդ վանդակի մեջ: Այս հատկության շնորհիվ C 60-ը կարող է օգտագործվել որպես ամուր քսանյութ: Ֆուլերեններն ունեն նաև մագնիսական և գերհաղորդիչ հատկություններ։

Ռուս գիտնականներ Ա.Վ. Էլեցկին և Բ.Մ. Սմիրնովն իր «Ֆուլերենես» հոդվածում, որը հրապարակվել է «Ուսպեխի Ֆիզիչեսկիխ Նաուկ» ամսագրում (1993 թ., հատոր 163, թիվ 2), նշում է. «ֆուլերեններ, որոնց առկայությունը հաստատվել է 80-ականների կեսերին և արդյունավետ տեխնոլոգիաորի մեկուսացումը մշակվել է 1990 թվականին, այժմ դարձել է տասնյակ գիտական ​​խմբերի ինտենսիվ հետազոտության առարկա։ Այս ուսումնասիրությունների արդյունքները ուշադիր վերահսկվում են կիրառական ընկերությունների կողմից: Քանի որ ածխածնի այս փոփոխությունը գիտնականներին մի շարք անակնկալներ է մատուցել, խելամիտ չի լինի քննարկել ֆուլերենների ուսումնասիրության կանխատեսումները և հնարավոր հետևանքները հաջորդ տասնամյակում, բայց պետք է պատրաստ լինել նոր անակնկալների»:

Սլովենացի նկարիչ Մատյուշկա Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​աշխարհը

Մատյուսկա Թեյա Կրասեկը նկարչության բակալավրի աստիճան է ստացել Վիզուալ արվեստների քոլեջից (Լյուբլյանա, Սլովենիա) և ազատ նկարիչ է: Ապրում և աշխատում է Լյուբլյանայում։ Նրա տեսական և գործնական աշխատանքը կենտրոնացած է համաչափության վրա՝ որպես արվեստի և գիտության միջև կամրջող հայեցակարգ: Նրա ստեղծագործությունները ներկայացվել են շատերին միջազգային ցուցահանդեսներև տպագրվել միջազգային ամսագրերում (Leonardo Journal, Leonardo on-line):

Մ.Տ. Կրաշեկը իր «Kaleidoscopic Fragrances» ցուցահանդեսում, Լյուբլյանա, 2005 թ.

Մայր Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​ստեղծագործությունը կապված է սիմետրիայի տարբեր տեսակների, Պենրոզի սալիկների և ռոմբուսների, քվազիկյուրիստների, ոսկե հարաբերակցության՝ որպես համաչափության հիմնական տարրի, Ֆիբոնաչիի թվերի և այլնի հետ: Մտածողության, երևակայության և ինտուիցիայի օգնությամբ նա փորձում է. ընտրել նոր հարաբերություններ, կառուցվածքի նոր մակարդակներ, նոր և տարբեր տեսակներկարգը այս տարրերի և կառուցվածքների մեջ: Իր աշխատանքում նա լայնորեն օգտագործում է համակարգչային գրաֆիկան՝ որպես արվեստի գործեր ստեղծելու շատ օգտակար գործիք, որը կապող օղակ է գիտության, մաթեմատիկայի և արվեստի միջև:

Նկ. 11-ում ներկայացված է Թ.Մ. Կրաշեկը կապված է Ֆիբոնաչիի թվերի հետ։ Եթե ​​այս շոշափելիորեն անկայուն կոմպոզիցիայում Penrose ադամանդի կողային երկարության համար ընտրենք Ֆիբոնաչիի թվերից մեկը (օրինակ՝ 21 սմ), ապա կարող ենք դիտել, թե ինչպես են կոմպոզիցիայի որոշ հատվածների երկարությունները կազմում Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը:

Նկար 11.Մայր Թեյա Կրաշեկ «Ֆիբոնաչիի թվեր», կտավ, 1998 թ.

Նկարչի գեղարվեստական ​​կոմպոզիցիաների մեծ մասը նվիրված է Շեխտմանի քվազիկյուրիստներին և Պենրոզի վանդակավորներին (նկ. 12):

(Ա)	(բ)

(V)	(G)

Նկար 12.Թեյա Կրաշեկի աշխարհը. ա) Քվազիկրիստալների աշխարհը. Համակարգչային գրաֆիկա, 1996 թ.
բ) Աստղեր. Համակարգչային գրաֆիկա, 1998 (գ) 10/5. Կտավ, 1998 (դ) Քվազի-խորանարդ: Կտավ, 1999 թ

Mother Theia Krashek-ի և Clifford Pickover-ի Biogenesis, 2005 թ. (Նկար 13) կոմպոզիցիան ներկայացնում է Penrose ադամանդներից կազմված տասնանկյուն: Կարելի է նկատել Պետրոսեի ռոմբուսների հարաբերությունները. Յուրաքանչյուր երկու հարակից Penrose ադամանդները կազմում են հնգանկյուն աստղ:

Նկար 13.Մայր Թեյա Կրաշեկը և Քլիֆորդ Պիկովերը: Բիոգենեզ, 2005 թ.

Նկարում Կրկնակի աստղ GA(Նկար 14) մենք տեսնում ենք, թե ինչպես են Penrose սալիկները միավորվում՝ ձևավորելով պոտենցիալ գերծավալային օբյեկտի երկչափ պատկերը տասնանկյուն հիմքով: Նկարը պատկերելիս նկարիչը օգտագործել է Լեոնարդո դա Վինչիի առաջարկած կոշտ եզրային մեթոդը։ Պատկերման այս մեթոդն է, որը թույլ է տալիս հարթության վրա նկարի պրոյեկցիայում տեսնել մեծ թվով հնգանկյուններ և հնգանկյուններ, որոնք ձևավորվում են Պենրոզի ռոմբուսների առանձին եզրերի ելուստներից: Բացի այդ, նկարի հարթության վրա պրոյեկցիայում մենք տեսնում ենք տասնանկյուն, որը ձևավորվում է հարակից 10 Պենրոզի ռոմբուսների եզրերից: Ըստ էության, այս նկարում մայր Թեյա Կրաշեկը գտավ մի նոր կանոնավոր բազմաեզր, որը, հավանաբար, իրականում գոյություն ունի բնության մեջ:

Նկար 14.Մայր Թեյա Կրաշեկ. Կրկնակի աստղ GA

Կրաշեկի «Աստղերը Դոնալդի համար» կոմպոզիցիայում (նկ. 15) կարող ենք դիտել Պենրոզի ռոմբուսների, հնգագրամների, հնգանկյունների անվերջ փոխազդեցությունը՝ նվազելով դեպի կոմպոզիցիայի կենտրոնական կետը։ Ոսկե հարաբերակցությունը տարբեր մասշտաբներով ներկայացված է տարբեր ձևերով:

Նկար 15.Մայր Թեյա Կրաշեկ «Աստղերը Դոնալդի համար», համակարգչային գրաֆիկա, 2005 թ.

Մայր Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​ստեղծագործությունները մեծ ուշադրություն են գրավել գիտության և արվեստի ներկայացուցիչների կողմից։ Նրա արվեստը հավասարեցվում է Մաուրից Էշերի արվեստին, իսկ սլովենացի նկարչուհին կոչվում է «Արևելաեվրոպական Էշեր» և «Սլովենական նվեր» համաշխարհային արվեստին։

Ստախով Ա.Պ. «Դա Վինչիի ծածկագիրը», Պլատոնական և Արքիմեդյան պինդ մարմիններ, քվազիկրիստալներ, ֆուլերեններ, Պենրոզի վանդակաճաղեր և Մայր Թեյա Կրաշեկի գեղարվեստական ​​աշխարհը // «Երրորդության ակադեմիա», Մ., Էլ թիվ 77-6567, հրատարակություն 12561, 07.11: 2005թ

Պլատոնական պինդ մարմիններ

Կան սովորական պոլիեդրաների ցնցող փոքր քանակություն, բայց այս շատ համեստ ջոկատը կարողացավ ներթափանցել տարբեր գիտությունների հենց խորքերը:

Լ. Քերոլ

Մարդը միշտ հետաքրքրություն է դրսևորել պոլիեդրների նկատմամբ: Կանոնավոր և կիսականոնավոր մարմինների մի մասը բնության մեջ առաջանում է բյուրեղների տեսքով, մյուսները՝ վիրուսների տեսքով, որոնք կարելի է հետազոտել էլեկտրոնային մանրադիտակի միջոցով։ Ի՞նչ է պոլիեդրոնը: Բազմանդրոնը տարածության մի մասն է, որը սահմանափակված է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյունների հավաքածուով:

Գիտնականները վաղուց հետաքրքրված են «իդեալական» կամ կանոնավոր բազմանկյուններով, այսինքն՝ հավասար կողմերով և հավասար անկյուններով բազմանկյուններով։ Ամենապարզ կանոնավոր բազմանկյունը կարելի է համարել հավասարակողմ եռանկյուն, քանի որ այն ունի ամենափոքր թվով կողմեր, որոնք կարող են սահմանափակել հարթության մի մասը։ Մեզ հետաքրքրող կանոնավոր բազմանկյունների ընդհանուր պատկերը հավասարակողմ եռանկյունու հետ միասին հետևյալն են՝ քառակուսի (չորս կողմ), հնգանկյուն (հինգ կողմ), վեցանկյուն (վեց կողմ), ութանկյուն (ութ կողմ), տասնանկյուն (տասը կողմ) և այլն։ Ակնհայտ է, որ տեսականորեն կանոնավոր բազմանկյունի կողմերի քանակի սահմանափակումներ չկան, այսինքն՝ կանոնավոր բազմանկյունների թիվը անսահման է:

Ի՞նչ է կանոնավոր բազմանիստը: Կանոնավոր բազմանկյունը այնպիսի բազմանկյուն է, որի բոլոր դեմքերը հավասար են (կամ համահունչ) միմյանց և միևնույն ժամանակ կանոնավոր բազմանկյուններ են։ Քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա: Էվկլիդեսի տարրերի XIII գրքում, որը նվիրված է կանոնավոր պոլիեդրաներին կամ Պլատոնական պինդ մարմիններին (Պլատոնը դրանք քննարկում է Timaeus երկխոսության մեջ), մենք գտնում ենք խիստ ապացույց, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր բազմանկյուններ, և դրանց դեմքերը կարող են լինել միայն երեք տեսակի կանոնավոր բազմանկյուններ. եռանկյուններ, քառակուսիներ և հնգանկյուններ:

Ապացույցը, որ կան ուղիղ հինգ կանոնավոր ուռուցիկ բազմաեդրներ, շատ պարզ է։

Ակնհայտ է, որ պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր գագաթ կարող է պատկանել երեք կամ ավելի դեմքերի: Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ բազմանիստի երեսները հավասարակողմ եռանկյուններ են: Քանի որ հավասարակողմ եռանկյան ներքին անկյունը 60° է, հարթության վրա դրված երեք այդպիսի անկյունները կկազմեն 180°։ Եթե ​​մենք այժմ այս անկյունները թեքենք ներքին կողմերի երկայնքով և սոսնձենք դրանք արտաքին կողմերի երկայնքով, ապա կստանանք քառանիստի բազմանկյուն անկյուն՝ կանոնավոր բազմանիստ, որի յուրաքանչյուր գագաթին հանդիպում են երեք կանոնավոր եռանկյուն երեսներ: Երեք կանոնավոր եռանկյունիներով ընդհանուր վերնաշապիկկոչվում է քառաեդրոն գագաթի զարգացում։ Եթե ​​գագաթի զարգացմանը ավելացնեք ևս մեկ եռանկյուն, ապա ընդհանուրը կկազմի 240°: Սա ութանիստի գագաթի զարգացումն է։ Հինգերորդ եռանկյունին ավելացնելով կստացվի 300° անկյուն - մենք ստանում ենք իկոսաեդրոնի գագաթի զարգացումը: Եթե ​​ավելացնենք ևս մեկ՝ վեցերորդ եռանկյունին, ապա անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի, այս զարգացումը, ակնհայտորեն, չի կարող համապատասխանել որևէ ուռուցիկ բազմանկյունի։

Այժմ անցնենք քառակուսի դեմքերին: Երեք քառակուսի երեսների զարգացումը ունի 3 x 90° = 270° անկյուն, սա ստեղծում է խորանարդի գագաթ, որը նաև կոչվում է վեցանկյուն: Եվս մեկ քառակուսի ավելացնելու դեպքում անկյունը կբարձրանա մինչև 360° - այս զարգացումն այլևս չի համապատասխանում որևէ ուռուցիկ բազմաիդրոնի:

Երեք հնգանկյուն երեսներ տալիս են 3 x 108° = 324° սկանավորման անկյուն` տասներկուանիստի գագաթը: Եթե ​​ավելացնենք ևս մեկ հնգանկյուն, ապա կստանանք ավելի քան 360°:

Վեցանկյունների համար արդեն երեք երեսներ տալիս են 3 x 120° = 360° սկանավորման անկյուն, ուստի վեցանկյուն երեսներով կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ չկա: Եթե ​​դեմքը նույնիսկ ավելի շատ անկյուններ ունի, ապա սկանավորումն էլ ավելի մեծ անկյուն կունենա: Սա նշանակում է, որ վեց կամ ավելի անկյուն ունեցող դեմքերով կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստներ չկան։

Այսպիսով, մենք համոզված ենք, որ կան ընդամենը հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստներ՝ քառանիստ, ութանիստ և իկոսաեդրոն՝ եռանկյուն երեսներով, խորանարդը (վեցանկյուն)՝ քառակուսի երեսներով և տասներեքագեդրոնը՝ հնգանկյուն երեսներով։

Հինգ կանոնավոր պոլիեդրաները կամ Պլատոնական պինդ մարմինները օգտագործվել են և հայտնի են եղել Պլատոնի ժամանակներից շատ առաջ։ Քեյթ Քրիխլոուն իր Time Stands Still գրքում համոզիչ ապացույցներ է տալիս, որ դրանք հայտնի են եղել Բրիտանիայի նեոլիթյան ժողովրդին Պլատոնից առնվազն 1000 տարի առաջ: Այս պնդումը հիմնված է մի շարք գնդաձև քարերի առկայության վրա, որոնք պահվում են Օքսֆորդի Աշմոլին թանգարանում: Այս քարերը, որոնց չափերը հարմարվում էին ձեռքին, ծածկված էին խորանարդի, քառաեդրոնի, ութանիստի, իկոսաեդրոնի և տասներկու երկրաչափական ճշգրիտ գնդաձև պատկերներով, ինչպես նաև որոշ լրացուցիչ կոմպոզիտային և կեղծ կանոնավոր պինդ մարմիններով, ինչպիսիք են խորանարդաձևը և իկո-դոդեկադրոնը: Քրիթչլոուն ասում է. «Այն, ինչ մենք ունենք, առարկաներ են, որոնք, անկասկած, ցույց են տալիս աստիճանը մաթեմատիկական ունակություններ, որոնք մինչ այժմ հերքվել են նեոլիթյան մարդու առնչությամբ որոշ հնագետների կամ մաթեմատիկայի պատմաբանների կողմից»։

Աթենքի Թեետետոսը (մ.թ.ա. 417–369), Պլատոնի ժամանակակիցը, տվել է կանոնավոր պոլիեդրների մաթեմատիկական նկարագրությունը և առաջին հայտնի ապացույցը, որ դրանք կան ուղիղ հինգը։

Տիմեոսում, որը Պլատոնի մյուս ստեղծագործություններից ամենաուժեղ Պյութագորասյան բնավորությունն է, նա նշում է, որ աշխարհի չորս հիմնական տարրերն են՝ հողը, օդը, կրակը և ջուրը, և որ այս տարրերից յուրաքանչյուրը կապված է տարածական տարրերից մեկի հետ։ թվեր. Ավանդույթը խորանարդը կապում է երկրի հետ, քառանիստը՝ կրակի, ութանիստը՝ օդի, իսկ իկոսաեդրոնը՝ ջրի հետ։ Պլատոնը նշում է «որոշ հինգերորդ կառուցվածքը», որն օգտագործել է ստեղծողը տիեզերքը ստեղծելիս։ Այսպիսով, դոդեկաեդրոնը կապվեց հինգերորդ տարրի՝ եթերի հետ։ Տիեզերքի կազմակերպիչ Պլատոնը հիմնարար ձևերի և թվերի օգնությամբ կարգ ու կանոն հաստատեց այս տարրերի պարզունակ քաոսից։ Դասավորելով ըստ թվի և ձևի ավելին բարձր մակարդակհանգեցրեց ֆիզիկական տիեզերքի հինգ տարրերի որոշված ​​դասավորությանը: Այնուհետև հիմնարար ձևերն ու թվերը սկսեցին գործել որպես բաժանարար գիծ բարձր և ստորին աշխարհների միջև: Նրանք իրենց կողմից և այլ տարրերի հետ իրենց անալոգիայի ուժով ունեին նյութական աշխարհը ձևավորելու ունակություն:

Նույն հինգ կանոնավոր մարմինները, դասական ավանդույթի համաձայն, գծված են այնպես, որ դրանք պարունակվում են ինը համակենտրոն գնդակների մեջ, և յուրաքանչյուր մարմին շփվում է մի գնդիկի հետ, որը նկարագրված է դրա ներսում գտնվող հաջորդ մարմնի շուրջ: Այս կոմպոզիցիան ցուցադրում է շատ կարևոր հարաբերություններ և փոխառված է մի կարգապահությունից, որը կոչվում է corpo transparente, որը վերաբերում է թափանցիկ նյութից պատրաստված և մեկը մյուսի ներսում տեղադրված գնդերի ընկալմանը։ Այս հրահանգը տրվել է Ֆրա Լուկա Պաչոլիի կողմից Վերածննդի դարաշրջանի շատ մեծ մարդկանց, այդ թվում՝ Լեոնարդոյին և Բրունուլեսկիին։

Իր «Աշխարհի գաղտնիքը» գրքում. (Mysterium Cosmographicum), որը հրատարակվել է 1596 թվականին։ Յոհաննես Կեպլերը ենթադրել է, որ կապ կա Պլատոնական հինգ պինդ մարմինների և մինչ այդ հայտնաբերված Արեգակնային համակարգի վեց մոլորակների միջև։ Համաձայն այս ենթադրության՝ Սատուրնի ուղեծրի ոլորտում կարելի է խորանարդ գրել, որի մեջ տեղավորվում է Յուպիտերի ուղեծրի գունդը։ Մարսի ուղեծրի ոլորտի մոտ նկարագրված քառաեդրոնն իր հերթին տեղավորվում է դրա մեջ։ Դոդեկաեդրոնը տեղավորվում է Մարսի ուղեծրի ոլորտում, որի մեջ տեղավորվում է Երկրի ուղեծրի գունդը։ Եվ նկարագրված է իկոսաեդրոնի մոտ, որի մեջ մակագրված է Վեներայի ուղեծրի գունդը։ Այս մոլորակի գունդը նկարագրված է ութանիստի շուրջ, որի մեջ տեղավորվում է Մերկուրիի գունդը։ Արեգակնային համակարգի այս մոդելը կոչվում էր Կեպլերի «Տիեզերական գավաթ»։ Կեպլերի մոդելի և ուղեծրերի իրական չափերի միջև անհամապատասխանությունը (մի քանի տոկոսի կարգի) բացատրվել է Ի. Կեպլերի կողմից որպես «մատերիայի ազդեցություն»։

20-րդ դարում տեսականորեն օգտագործվել են պլատոնական պինդ մարմինները էլեկտրոնային թաղանթի մոդելՌոբերտ Մուն, որը նաև հայտնի է որպես Լուսնի տեսություն։ Մունը նկատեց, որ ատոմային միջուկում պրոտոնների և նեյտրոնների երկրաչափական դասավորությունը կապված է պլատոնական պինդ մարմինների գագաթների դիրքի հետ։ Այս հայեցակարգը ոգեշնչվել է Ջ.Կեպլերի Mysterium Cosmographicum-ից:

Գոյություն ունի Էյլերի բանաձևը պոլիեդրների համար.

F + V = E + 2

Այս բանաձեւում Ֆ- դեմքերի քանակը, Վ- գագաթների քանակը, Ե- կողերի քանակը. Պլատոնական պինդ մարմինների այս թվային բնութագրերը տրված են աղյուսակում։

Պլատոնական պինդ մարմինների քանակական առանձնահատկությունները

Կարևոր հարաբերությունները եզրերի, ներգծված և շրջագծված գնդերի տրամագծերի, կանոնավոր բազմանիստի տարածքների և ծավալների միջև արտահայտվում են իռացիոնալ թվերի միջոցով։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս եզրի երկարության և շրջագծված գնդերի տրամագծի հարաբերակցությունը պլատոնական հինգ պինդ մարմիններից յուրաքանչյուրի համար:

Ստացված յուրաքանչյուր արդյունք իռացիոնալ թիվ է, որը կարելի է գտնել միայն արդյունահանման միջոցով քառակուսի արմատ. Մենք տեսնում ենք, որ այստեղ հայտնվում են թվեր, որոնք կարևոր և հատուկ են սուրբ մաթեմատիկայի մեջ:

Դոդեկաեդրոնի և իկոսաեդրոնի երկրաչափությունը կապված է ոսկե հարաբերակցության հետ։ Իսկապես, տասներկուանիստի երեսները հնգանկյուններ են, այսինքն՝ կանոնավոր հնգանկյուններ՝ հիմնված ոսկե հարաբերակցության վրա: Եթե ​​ուշադիր նայեք իկոսաեդրոնին, ապա կարող եք տեսնել, որ իկոսաեդրոնի յուրաքանչյուր գագաթում հանդիպում են հինգ եռանկյուններ, որոնց արտաքին կողմերը կազմում են հնգանկյուն։ Միայն այս փաստերը բավական են մեզ համոզելու համար, որ ոսկե հարաբերակցությունը էական դեր է խաղում այս երկու պլատոնական պինդ մարմինների ձևավորման մեջ: Այս երկու պատկերները հակադարձ են միմյանց. երկուսն էլ բաղկացած են 30 եզրից, բայց չնայած դրան, իկոսաեդրոնն ունի 20 դեմք և 12 գագաթ, իսկ տասներկու երեսը՝ 12 դեմք և 20 գագաթ։ Նաև միմյանց հակադարձ են ութանիստը և վեցանկյունը, իսկ թեաթեդրոնը՝ ինքն իրեն:

Բոլորի միջև կան զարմանալի երկրաչափական կապեր կանոնավոր պոլիեդրաներ. Օրինակ, խորանարդԵվ ութանիստերկակի են, այսինքն՝ ստացվում են միմյանցից, եթե մեկի դեմքերի ծանրության կենտրոնները վերցվում են որպես մյուսի գագաթներ և հակառակը։ Նմանապես երկակի իկոսաեդրոնԵվ տասներկուանիստ. Տետրաեդրոներկակի ինքն իրեն. Դոդեկաեդրոնը ստացվում է խորանարդից՝ նրա երեսին «տանիքներ» կառուցելով (էվկլիդեսյան մեթոդ); քառանիստի գագաթները խորանարդի ցանկացած չորս գագաթներ են, որոնք զույգ-զույգ հարևան չեն եզրի երկայնքով, այսինքն՝ մյուս բոլոր կանոնավոր բազմաեզրերը կարող են լինել. ստացված խորանարդից:

Ռոբերտ Լոուլորն իր աշխատանքում ցույց է տալիս, որ պլատոնական պինդ մարմինները կարող են կառուցվել իկոսաեդրոնի հիման վրա։ Նա գրում է. «Եթե մենք միացնենք սրբապատկերի բոլոր ներքին գագաթները՝ նրանցից յուրաքանչյուրից երեք գիծ գծելով՝ միացնելով յուրաքանչյուր գագաթն իր հակառակ գագաթին, ապա երկու վերին գագաթներից չորս գիծ գծենք երկու հակադիր գագաթներին, այնպես որ այդ գծերը. կհանդիպենք կենտրոնում, մենք, գործելով ասվածին համապատասխան, բնականաբար կկառուցենք տասներկուանիստի եզրերը։ Այս կառուցումը տեղի է ունենում ավտոմատ կերպով, երբ icosahedron-ի ներքին գծերը հատվում են: Դոդեկաեդրոնը ստեղծելուց հետո մենք կարող ենք պարզապես օգտագործել նրա վեց գագաթները և կենտրոնը՝ խորանարդ կառուցելու համար: Օգտագործելով խորանարդի անկյունագծերը՝ մենք կարող ենք աստղաձեւ կամ միահյուսված քառաեդրոն կառուցել։ Աստղային քառաեդրոնի հատումները խորանարդի հետ մեզ տալիս են ներգծված ութանիստը կառուցելու ճշգրիտ վայրը: Այնուհետև բուն ութանիստում, օգտագործելով իկոսաեդրոնի ներքին գծերը և ութանիստի գագաթները, ստացվում է երկրորդ իկոսաեդրոն։ Մենք անցել ենք ամբողջ ցիկլը՝ հինգ փուլ՝ սերմերից սերմ։ Եվ նման գործողությունները ներկայացնում են անվերջ հաջորդականություն։

Տետրաեդրոն

Կանոնավոր բազմանիստներից ամենապարզը քառաեդրոնն է։ Պլատոնի համար այն համապատասխանում է Կրակի տարրին։ Ֆիզիկայի մեջ «կրակը» կարող է կապված լինել պլազմայի վիճակի հետ։ Քառաեդրոնն ունի ամենափոքր թվով դեմքերը պլատոնական պինդ մարմինների մեջ և հարթ կանոնավոր եռանկյան եռաչափ անալոգն է, որն ունի ամենափոքր թվով կողմերը կանոնավոր բազմանկյունների միջև։ Նրա չորս երեսները հավասարակողմ եռանկյուններ են։ Չորսը եզրերի ամենափոքր թիվն է, որը բաժանում է եռաչափ տարածության մի մասը: Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք եռանկյունների գագաթն է: Տետրաեդրոնի բոլոր բազմանիստ անկյունները հավասար են միմյանց: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 180° է։ Այսպիսով քառաեդրոնն ունի 4 դեմք, 4 գագաթ և 6 եզր։

Ութանիստ

Ութանիստը կազմված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից։ Պլատոնի համար այն համապատասխանում է Օդի տարրին։ Ֆիզիկայի մեջ «օդը» կարող է կապված լինել նյութի գազային վիճակի հետ։ Նրա գագաթներից յուրաքանչյուրը չորս եռանկյունների գագաթն է։ Հակառակ դեմքերը գտնվում են զուգահեռ հարթություններում: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 240° է։ Այսպիսով, ութանիստն ունի 8 դեմք, 6 գագաթ և 12 եզր։

Icosahedron

Իկոսաեդրոնը պլատոնական հինգ պինդ մարմիններից մեկն է, որը պարզությամբ հաջորդում է քառաեդրոնին և ութանիստին: Պլատոնի համար այն համապատասխանում է Ջրի տարրին։ Ֆիզիկայի մեջ «ջուրը» կարող է փոխկապակցվել նյութի հեղուկ վիճակի հետ։ Իկոսաեդրոնը կազմված է քսան հավասարակողմ եռանկյուններից։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը հինգ եռանկյունների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 300° է։ Այսպիսով, իկոսաեդրոնն ունի 20 դեմք, 12 գագաթ և 30 եզր։

Hexahedron

Վեցանկյուն կամ խորանարդը կազմված է վեց քառակուսուց։ Պլատոնի համար այն համապատասխանում է Երկրի տարրին։ Ֆիզիկայի մեջ «Երկիրը» կարող է փոխկապակցվել նյութի պինդ վիճակի հետ։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք քառակուսիների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 270° է։ Այսպիսով, խորանարդն ունի 6 երես, 8 գագաթ և 12 եզր։

Դոդեկաեդրոն

Դոդեկետրոնը կազմված է տասներկու հավասարակողմ հնգանկյուններից։ Պլատոնի համար այն համապատասխանում է հինգերորդ տարրին՝ Եթերին։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք հնգանկյունների գագաթն է։ Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 324° է։ Այսպիսով, տասներկուանիստն ունի 12 դեմք, 20 գագաթ և 30 եզր։

Կանոնավոր պոլիեդրաները հանդիպում են կենդանի բնության մեջ։ 20-րդ դարի սկզբին Էռնստ Հեյկելը ( Էռնստ Հեկել) նկարագրել է մի շարք օրգանիզմներ, որոնց կմախքի ձևերը նման են զանազան կանոնավոր պոլիեդրների։ Օրինակ: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus և Circorrhegma dodecaedra. Այս օրգանիզմների կմախքի ձևերն արտացոլված են նրանց անուններում։

Ֆեոդարիայի միաբջիջ օրգանիզմի կմախք ( Circogoniaicosahedra) ունի իկոսաեդրոնի ձև: Ֆեոդարիայի մեծ մասը ապրում է ծովի խորքերում և ծառայում է որպես կորալային ձկների որս։ Սակայն ամենապարզ կենդանին փորձում է իրեն պաշտպանել՝ կմախքի 12 գագաթներից դուրս են գալիս 12 խոռոչ ասեղներ։ Ասեղների ծայրերն ունեն խայթոցներ, որոնք էլ ավելի արդյունավետ են դարձնում ասեղը պաշտպանելու հարցում:

Շատ վիրուսներ, օրինակ. հերպես, ունեն կանոնավոր իկոսաեդրոնի տեսք։ Վիրուսային կառուցվածքները կառուցված են կրկնվող սպիտակուցային ստորաբաժանումներից, և իկոսաեդրոնը ամենահարմար ձևն է այդ կառույցները վերարտադրելու համար:

Բազմաթիվ միներալների բյուրեղային ցանցերն ունեն պլատոնական պինդ մարմինների տեսք։

Ծծմբաթթվի, երկաթի և ցեմենտի հատուկ տեսակների արտադրությունը չի կարող իրականացվել առանց ծծմբային պիրիտների ( FeS) Սրա բյուրեղները քիմիական նյութունեն տասներկուանիստի ձև. Հանքային սիլվիտը ունի խորանարդաձեւ բյուրեղյա վանդակ: Պիրիտի բյուրեղներն ունեն դոդեկաեդրոնի ձև, մինչդեռ կուպրիտը ձևավորում է բյուրեղներ ութանիստների տեսքով:

Պլատոնական պինդ մարմինները շատ կարևոր առարկա են ուսումնասիրության համար՝ թե՛ սուրբ մաթեմատիկայի, թե՛ բնական գիտությունների տեսակետից։ Պլատոնական պինդ մարմինները հայտնվում են ամենուր՝ վիրուսներից, որոնցից շատերը իկոսաեդրային են, մինչև բարդ մակրոկառուցվածքներ, ինչպիսին է Արեգակնային համակարգը։

Անտոն Մուխին

Նոթատետրեր գրքից հեղինակ Չեխով Անտոն Պավլովիչ

մարմնի մի մասը. 2 [Վեհափառը մանկության հիվանդի պես լաց է լինում, երբ մայրը խղճում էր նրան. Ես լաց եղա ուղղակի ընդհանուր հոգևոր խոնարհումից, ամբոխը լաց եղավ։ Նա հավատաց, հասավ այն ամենին, ինչ [տրված էր(՞)] հասանելի էր մարդուն իր պաշտոնում, բայց դեռ հոգին ցավում էր՝ ամեն ինչ պարզ չէր, այլ բան.

Ամեն ինչ վերահսկվում է գրքից. Ո՞վ և ինչպես է հետևում ձեզ հեղինակ Գարֆինկել Սիմեոն

Աներեւակայելի ապագա գրքից հեղինակ Կրիգեր Բորիս

Պատանդներ սեփական մարմինըԱռողջ ու բարեկեցիկ վիճակում մարդն ամբողջությամբ մոռանում է սեփական մարմնի գոյության մասին։ Նրան չեն անհանգստացնում ցավն ու անհարմարության այլ դրսեւորումները՝ ցրտի, շոգի, քաղցի զգացումը և այլն։ Այնուամենայնիվ, կյանքի իրականության զգացումը արդարացի է

«Մատրիցա» գրքից՝ որպես փիլիսոփայություն Իրվին Ուիլյամի կողմից

ՄԱՐՄԻՆՆԵՐ, ՄՏՔԵՐ, ՍԿԵՐՆԵՐ «Մատրիցայի» «աստղերը» նայում են որոշակի ստանդարտի համաձայն։ Վիրտուալ աշխարհում նրանց միսը թաքնված է տակը նմանատիպ ընկերմիմյանց վրա՝ փայլուն սև կաշվից կամ լատեքսից պատրաստված կոստյումներով։ «Գոյություն»-ը լցված է մսով, կեղտով և թարմ արյունով խոնավեցված պարագաներով: Այդպիսին

Japan Faces of Time գրքից։ Մտածողություն և ավանդույթներ ժամանակակից ինտերիերում. հեղինակ Պրասոլ Ալեքսանդր Ֆեդորովիչ

ԳԼՈՒԽ 17 ՄԱՐՄՆԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՇՈՒՐՋ. ՃԱՊՈՆԱԿԱՆ ՇԱՐԺՈՒՄՆԵՐԻ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ Կլիման, սննդակարգը և ապրելակերպը, եվրոպականից տարբեր, դարեր շարունակ ձևավորել են ճապոնական կազմվածքը և շարժումների բնույթը: Այս ոլորտում դեռ շատ չուսումնասիրված կա, ուստի եկեք փորձենք պարզել այն

Այլ մարդկանց դասերը գրքից - 2008 թ հեղինակ Գոլուբիցկի Սերգեյ Միխայլովիչ

ՄԵՐԿ ՄԱՐՄՆԻ ԷՍԹԵՏԻԿԱ Պատմականորեն ճապոնական վերաբերմունքը բազմաթիվ ասպեկտների նկատմամբ տեսքըմարդիկ նույնպես շատ էին տարբերվում եվրոպացիներից: Սա հատկապես նկատելի է մերկ մարմնի հետ կապված։ Եվրոպական մշակույթում մերկությունը թույլատրվում է երկու դեպքում՝ կողմից

Գրական թերթ 6300 գրքից (թիվ 45 2010 թ.) հեղինակ Գրական թերթ

Հանգստացած մարմնի լեզուն Տպագրվել է «Business Magazine» ամսագրում 8 օգոստոսի 2008 թ. No 15։ Associated Press, 4 հուլիսի, 2008. «Ֆիլիպ Բենեթը՝ Refco Inc.-ի նախկին ղեկավարը, դատապարտվել է 16 տարվա ազատազրկման՝ ֆինանսական խարդախության համար, որը հանգեցրել է աշխարհի ամենամեծ ընկերություններից մեկի փլուզմանը։

Ինչպես հաղթել չինացուն գրքից հեղինակ Մասլով Ալեքսեյ Ալեքսանդրովիչ

Մարմնի առեղծվածները Bibliomaniac. Գիրք մարմնի տասնյակ առեղծվածներ READING MOSCOW A.A. Կամենսկին, Մ.Վ. Մասլովա, Ա.Վ. Գրաֆիկ. Հորմոնները կառավարում են աշխարհը. Հանրաճանաչ էնդոկրինոլոգիա. – Մ.: ՀՍՏ-ՄԱՄՈՒԼ, 2010. – 192 էջ: հիվանդ. – (Գիտություն և խաղաղություն): – 5000 օրինակ։ Այժմ շատ գիտահանրամատչելի գրականություն չի տպագրվում,

Անմաքուր բանականության քննադատություն գրքից հեղինակ Սիլաև Ալեքսանդր Յուրիևիչ

Ինքներդ կանխատեսելով գրքից: Պատկերից ոճ հեղինակ Խակամադա Իրինա Միցուովնա

Ճշմարիտ մարմիններ Համառոտ ասած՝ ճշմարտությունն իմանալը բավարար չէ, դուք պետք է այն ապրեք ձեր մարմնում: Որպեսզի մարմինը իսկապես իրեն պահի: Եվ սա պետք է դասավանդվի առանձին՝ հատուկ առարկա-առարկայություններով։ Բոլորը գիտեն, ոչ ոք

Հինգերորդ չափումը գրքից: Ժամանակի և տարածության սահմանին [հավաքածու] հեղինակ Բիտով Անդրեյ

Գլուխ 4. Մարմնի հոգևորացումը Մարմնի հետ կարելի է տարբեր կերպ վարվել: Դուք կարող եք աստվածացնել նրան և ձեր կյանքը նվիրել նրան: Այս մասին Ջեյն Ֆոնդան գրել է իր հուշերում։ Ստեղծելով աերոբիկա՝ նա խոշտանգում էր իրեն դիետաներով և ֆիթնեսով՝ իր հոգեկանը հասցնելով կործանարար վիճակի։ Հնարավոր է ժամը

Փարիզի նկարները գրքից։ Հատոր II հեղինակ Մերսիե Լուի-Սեբաստիեն

Նուրբ մարմիններ(Անձամբ) 1964 թվականին, նկարահանումներից անմիջապես հետո, Լենինգրադի նկարիչ Գագա Կովենչուկը երազում էր Նիկիտա Սերգեևիչի մասին։ Նրանք հանդիպել են մետրոյում։ Գագան շատ ուրախ էր. "Ինչու այդպես? – նա անմիջապես կարեկցեց։ «Ամեն ինչ այնքան լավ էր ընթանում»: Նիկիտա Սերգեևիչը հակիրճ ասաց.

Masonry and Machinery գրքից (հավաքածու) հեղինակ Բայկով Էդուարդ Արթուրովիչ

226. Կորպուս Քրիստիի տոն (57) Կորպուս Քրիստիի օրը բոլոր կաթոլիկ տոներից ամենահանդիսավորն է: Այս օրը Փարիզը մաքուր է, ուրախ, ապահով, հոյակապ։ Այս օրը կարելի է տեսնել, թե որքան արծաթյա իրեր կան եկեղեցիներում, էլ չեմ խոսում ոսկու և ադամանդի մասին, որքան շքեղ եկեղեցին է։

Ռուսաստան գրքից. Դեռ երեկո չէ հեղինակ Մուխին Յուրի Իգնատևիչ

Մարմնի պաշտամունք Բոդիբիլդինգը (անգլերենից՝ body and building - կառուցում, այսինքն՝ Body-Building - bodybuilding, bodybuilding), կամ բոդիբիլդինգը (ֆրանսիական culturisme-ից՝ սնուցում, կառուցում) պարզապես ֆիզիկական վարժությունների համակարգ չէ, որը նպաստում է։ կառուցելով մկանային զանգվածԵվ,

The Shock Doctrine [The Rise of Disaster Capitalism] գրքից Նաոմի Քլայնի կողմից

Հոգու ելքը մարմնից Կարծում եմ ձեզ չի զարմացնի, որ երբ մարդ մահացած վիճակում է, մարմինն ամեն ինչ անում է ուղեղը փրկելու համար։ Այսինքն, եթե մարմինը կորցնում է արյունը, ապա մարմինը (Հոգին) կկտրի բոլոր օրգանները արյան մատակարարումից և մնացած արյունը կշրջանառի միայն շրջանով.

Հեղինակի գրքից

Շոկ մարմնին Դիմադրությունը մեծացավ, և օկուպանտներն արձագանքեցին՝ ավելի ու ավելի շատ օգտագործելով ցնցումները նոր ձևով: Ուշ գիշերը կամ վաղ առավոտյան զինվորները ներխուժում էին դռներ, լապտերներ շողում մութ սենյակներում և տունը լցնում ճիչերով, որոնցից տեղի բնակիչները կարող էին միայն մի քանիսը տեսնել։