Նույն թվով հավասարումներով, ինչ մատրիցայի հիմնական որոշիչ ունեցող անհայտների թիվը, որը հավասար չէ զրոյի, համակարգի գործակիցները (այդպիսի հավասարումների համար կա լուծում և կա միայն մեկը):
Կրամերի թեորեմ.
Երբ քառակուսի համակարգի մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում, և այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ. Կրամերի բանաձեւերը:
որտեղ Δ - համակարգի մատրիցայի որոշիչ,
Δ եսհամակարգի մատրիցայի որոշիչն է, որում փոխարեն եսԵրրորդ սյունակը պարունակում է աջ կողմերի սյունակը:
Երբ համակարգի որոշիչը զրո է, դա նշանակում է, որ համակարգը կարող է դառնալ կոոպերատիվ կամ անհամատեղելի:
Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր համակարգերծավալային հաշվարկներով և եթե և երբ անհրաժեշտ է որոշել անհայտներից մեկը։ Մեթոդի բարդությունն այն է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել շատ որոշիչ:
Cramer մեթոդի նկարագրությունը.
Կա հավասարումների համակարգ.
3 հավասարումների համակարգը կարող է լուծվել Կրամերի մեթոդով, որը վերը քննարկվել է 2 հավասարումների համակարգի համար։
Անհայտների գործակիցներից մենք կազմում ենք որոշիչ.
դա կլինի համակարգի որոշիչ. Երբ D≠0, ինչը նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է: Այժմ եկեք ստեղծենք 3 լրացուցիչ որոշիչ.
,
,
Մենք լուծում ենք համակարգը ըստ Կրամերի բանաձեւերը:
Քրամերի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ.
Օրինակ 1.
Տրված համակարգ.
Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով։
Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգի մատրիցայի որոշիչը.
Որովհետև Δ≠0, ինչը նշանակում է, որ Քրամերի թեորեմից համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում: Մենք հաշվարկում ենք լրացուցիչ որոշիչները: Δ 1 որոշիչը ստացվում է Δ որոշիչից՝ փոխարինելով նրա առաջին սյունակը ազատ գործակիցների սյունակով: Մենք ստանում ենք.
Նույն կերպ, մենք ստանում ենք Δ 2-ի որոշիչը համակարգի մատրիցայի որոշիչից՝ երկրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ գործակիցների սյունակով.
2. Հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (հակադարձ մատրիցայի կիրառմամբ):
3. Հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ.
Կրամերի մեթոդը.
Կրամերի մեթոդը օգտագործվում է գծային համակարգերի լուծման համար հանրահաշվական հավասարումներ (ՍԼԱՈՒ).
Բանաձևեր՝ օգտագործելով երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգի օրինակ:
Տրված է.Համակարգը լուծեք Քրամերի մեթոդով
Փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը Դետերմինանտների հաշվարկ: : 
Եկեք կիրառենք Cramer-ի բանաձևերը և գտնենք փոփոխականների արժեքները. 
Եվ 
.
Օրինակ 1:
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.
փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Եկեք այս որոշիչի առաջին սյունակը փոխարինենք համակարգի աջ կողմի գործակիցների սյունակով և գտնենք դրա արժեքը. 
Եկեք դա անենք նմանատիպ գործողություն, փոխարինելով երկրորդ սյունակը առաջին որոշիչում. 
Կիրառելի Կրամերի բանաձեւերըև գտնել փոփոխականների արժեքները.
Եվ .
Պատասխան. 
Մեկնաբանություն:Այս մեթոդը կարող է լուծել ավելի մեծ չափերի համակարգեր:
Մեկնաբանություն:Եթե պարզվում է, որ, բայց չի կարելի բաժանել զրոյի, ապա ասում են, որ համակարգը չունի եզակի լուծում։ Այս դեպքում համակարգը կա՛մ ունի անսահման շատ լուծումներ, կա՛մ ընդհանրապես լուծումներ չունի։
Օրինակ 2(անսահման թվով լուծումներ):
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.
փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը. 
Փոխարինման մեթոդով համակարգերի լուծում: 
Համակարգի հավասարումներից առաջինը հավասարություն է, որը ճշմարիտ է փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար (քանի որ 4-ը միշտ հավասար է 4-ի): Սա նշանակում է, որ մնացել է միայն մեկ հավասարում: Սա փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունների հավասարումն է:
Մենք գտանք, որ համակարգի լուծումը հավասարությամբ միմյանց հետ կապված փոփոխական արժեքների ցանկացած զույգ է:
Ընդհանուր լուծումկգրվի այսպես. 
Առանձնահատուկ լուծումները կարող են որոշվել՝ ընտրելով y-ի կամայական արժեքը և այս կապի հավասարությունից x-ը հաշվարկելով: 
և այլն:
Նման լուծումներն անսահման շատ են։
Պատասխան.ընդհանուր լուծում
Մասնավոր լուծումներ.
Օրինակ 3(լուծումներ չկան, համակարգը անհամատեղելի է).
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.
Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը. 
Cramer-ի բանաձևերը չեն կարող օգտագործվել: Եկեք լուծենք այս համակարգը՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը 
Համակարգի երկրորդ հավասարումը հավասարություն է, որը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար (իհարկե, քանի որ -15-ը հավասար չէ 2-ի): Եթե համակարգի հավասարումներից մեկը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար, ապա ամբողջ համակարգը լուծումներ չունի:
Պատասխան.լուծումներ չկան
Մեթոդներ ԿրամերըԵվ Գաուս- լուծման ամենատարածված մեթոդներից մեկը ՍԼԱՈՒ. Բացի այդ, որոշ դեպքերում նպատակահարմար է կիրառել կոնկրետ մեթոդներ։ Նիստը մոտ է, և այժմ ժամանակն է դրանք զրոյից կրկնելու կամ տիրապետելու: Այսօր մենք լուծումը կանդրադառնանք Քրամերի մեթոդով: Ի վերջո, համակարգի լուծումը գծային հավասարումներԿրամերի մեթոդը շատ օգտակար հմտություն է։
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը ձևի հավասարումների համակարգ է.
Արժեքի հավաքածու x , որտեղ համակարգի հավասարումները վերածվում են նույնականության, կոչվում է համակարգի լուծում, ա Եվ բ իրական գործակիցներ են։ Երկու անհայտներով երկու հավասարումներից բաղկացած պարզ համակարգը կարող է լուծվել ձեր գլխում կամ մեկ փոփոխականը մյուսով արտահայտելով: Բայց SLAE-ում կարող է լինել շատ ավելի, քան երկու փոփոխական (xes), և այստեղ դպրոցական պարզ մանիպուլյացիաները բավարար չեն: Ի՞նչ անել։ Օրինակ՝ լուծել SLAE-ները՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը:
Այսպիսով, թող համակարգը բաղկացած լինի n հետ հավասարումներ n անհայտ.
Նման համակարգը կարող է վերաշարադրվել մատրիցային տեսքով
Այստեղ Ա - համակարգի հիմնական մատրիցը, X Եվ Բ , համապատասխանաբար, անհայտ փոփոխականների սյունակային մատրիցներ և ազատ տերմիններ։
SLAE-ների լուծում Քրամերի մեթոդով
Եթե հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի (մատրիցան ոչ եզակի է), ապա համակարգը կարող է լուծվել Քրամերի մեթոդով:
Քրամերի մեթոդի համաձայն, լուծումը գտնում են բանաձևերի միջոցով.
Այստեղ դելտա հիմնական մատրիցայի որոշիչն է, և դելտա x n-րդ – որոշիչ, որը ստացվում է հիմնական մատրիցայի որոշիչից՝ n-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով:
Սա է Cramer մեթոդի ողջ էությունը: Վերոնշյալ բանաձևերի միջոցով հայտնաբերված արժեքների փոխարինում x դեպի ցանկալի համակարգ, մենք համոզված ենք մեր լուծման ճիշտության մեջ (կամ հակառակը): Որպեսզի օգնենք ձեզ արագ հասկանալ էությունը, մենք ստորև ներկայացնում ենք SLAE-ի մանրամասն լուծման օրինակ՝ օգտագործելով Cramer-ի մեթոդը.
Նույնիսկ եթե առաջին անգամ չհաջողվի, մի հուսահատվեք: Մի փոքր պրակտիկայով դուք կսկսեք SLAU-ները ընկույզի պես կոտրել: Ավելին, այժմ բացարձակապես պետք չէ ծակոտկեն ծակել նոթատետրում, լուծել ծանր հաշվարկներ և գրել առանցքը: Դուք կարող եք հեշտությամբ լուծել SLAE-ները՝ օգտագործելով Cramer-ի մեթոդը առցանց՝ պարզապես փոխարինելով պատրաստի ձևգործակիցները։ Փորձեք այն առցանց հաշվիչՔրամերի մեթոդով լուծումներ կարելի է գտնել, օրինակ, այս կայքում։
Եվ եթե պարզվում է, որ համակարգը համառ է և չի հանձնվում, դուք միշտ կարող եք դիմել մեր հեղինակների օգնությանը, օրինակ. Եթե համակարգում կա առնվազն 100 անհայտ, մենք անպայման ճիշտ և ժամանակին կլուծենք այն։
Առաջին մասում դիտարկեցինք մի քանի տեսական նյութ, փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելու եղանակը։ Ես խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, ովքեր մուտք են գործել կայք այս էջի միջոցով, կարդալ առաջին մասը: Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման գործընթացում ես մի շարք շատ կարևոր մեկնաբանություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:
Եվ հիմա մենք կվերլուծենք Քրամերի կանոնը, ինչպես նաև կլուծենք գծային հավասարումների համակարգը՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա(մատրիցային մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հստակ, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը, օգտագործելով վերը նշված մեթոդները.
Նախ, մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք Կրամերի կանոնին երկու անհայտներում երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի՞ համար։ - Ի վերջո ամենապարզ համակարգըկարելի է լուծել դպրոցական մեթոդ, տերմին առ ժամկետ ավելացման մեթոդով։
Փաստն այն է, որ, թեև երբեմն, նման խնդիր է առաջանում՝ լուծել երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես կարելի է ավելի շատ օգտագործել Cramer-ի կանոնը բարդ գործ- երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգեր:
Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք նպատակահարմար է լուծել՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը:
Դիտարկենք հավասարումների համակարգը
Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.
Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ
Գործնականում վերը նշված որակավորումները նույնպես կարող են նշանակվել Լատինական տառ.
Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը.
,
Օրինակ 7
Լուծել գծային հավասարումների համակարգ 
ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում կան տասնորդականներստորակետով. Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է գործնական առաջադրանքներմաթեմատիկայի մեջ այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:
Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մեկ փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, հավանաբար, կհայտնվեք սարսափելի շքեղ ֆրակցիաների հետ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Դուք կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, բայց այստեղ նույնպես կառաջանան նույն կոտորակները:
Ի՞նչ անել։ Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.
;
;
Պատասխանել: ,
Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերված են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:
Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ խնդիրը լուծվում է պատրաստի բանաձևերի միջոցով, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Երբ օգտագործել այս մեթոդը, պարտադիրԱռաջադրանքի ձևավորման հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմի նկատմամբ անհարգալից վերաբերմունքի համար:
Ավելորդ չէր լինի ստուգել, ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք փոխարինում ենք մոտավոր արժեքները ձախ կողմըհամակարգի յուրաքանչյուր հավասարում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմերում:
Օրինակ 8
Պատասխանը ներկայացրու սովորական անպատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.
Սա օրինակ է անկախ որոշում(Դասի վերջում ավարտելու և պատասխանելու օրինակ):
Եկեք անցնենք Քրամերի կանոնը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար. 
Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը. 
Եթե , ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Cramer-ի կանոնը չի օգնի, դուք պետք է օգտագործեք Գաուսի մեթոդ.
Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ. 
, 
, 
Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով. 
Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» գործը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկու առ երկու» գործից:
Օրինակ 9
Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ 
ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը: 
, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։
Պատասխանել: 
.
Փաստորեն, այստեղ կրկին առանձնահատուկ բան չկա մեկնաբանելու, քանի որ լուծումը հետևում է պատրաստի բանաձևերին։ Բայց մի երկու մեկնաբանություն կա.
Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատվող կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես առաջարկում եմ հետևյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ձեռքի տակ չունեք համակարգիչ, արեք հետևյալը.
1) Հաշվարկներում կարող է լինել սխալ: Հենց որ հանդիպեք «վատ» կոտորակի, անմիջապես պետք է ստուգեք Արդյո՞ք պայմանը ճիշտ է վերագրված:. Եթե պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա դուք պետք է վերահաշվարկեք որոշիչները՝ օգտագործելով ընդլայնումը մեկ այլ տողում (սյունակում):
2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, առաջադրանքի պայմաններում տառասխալ է եղել: Այս դեպքում հանգիստ և զգույշ գործեք առաջադրանքը մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմում ենք մաքուր թերթիկում: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով իսկապես սիրում է մինուս տալ ցանկացած հիմարության համար: Ինչպես կարգավորել կոտորակները, մանրամասն նկարագրված է օրինակ 8-ի պատասխանում:
Եթե ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, ամենից շահավետ է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որտեղ սխալ եք թույլ տվել): Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդ.
Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ. 
Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ուշադիր գրել հիմնական որոշիչը. 
- բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրոները տեղադրվում են:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել ըստ այն տողի (սյունակի), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։
Օրինակ 10
Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ 
Սա անկախ լուծման օրինակ է (վերջնական ձևավորման նմուշ և դասի վերջում պատասխան):
4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Դասում կարող եք տեսնել կենդանի օրինակ: Որոշիչի հատկությունները. Որոշիչի հերթականության կրճատում– 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Չնայած առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում պրոֆեսորի կոշիկը հաջողակ ուսանողի կրծքին:
Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա
Հակադարձ մատրիցային մեթոդը ըստ էության հատուկ դեպք մատրիցային հավասարում (Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):
Այս բաժինն ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել մատրիցի հակադարձը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրամադրվեն բացատրությունների առաջընթացին զուգահեռ:
Օրինակ 11
Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով 
ԼուծումԳրենք համակարգը մատրիցային տեսքով.
, Որտեղ 
Խնդրում ենք դիտել հավասարումների և մատրիցների համակարգը: Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են այն սկզբունքը, որով մենք տարրերը գրում ենք մատրիցների մեջ: Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայեին հավասարումներից, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ տեղադրվեին։
Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը.
, որտեղ է փոխադրված մատրիցը հանրահաշվական հավելումներհամապատասխան մատրիցային տարրեր:
Նախ, եկեք նայենք որոշիչին.
Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողի վրա։
Ուշադրություն. Եթե , ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծված է Անհայտները վերացնելու մեթոդ (Գաուսի մեթոդ).
Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահաս և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում 
Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը այն տողի թիվն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը. 
Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, տարրը գտնվում է 3 տողում, 2 սյունակում:
