տուն Հեռացում Գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծում. Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Հեռացում

Գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծում. Երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների (LNDU-2) լուծման հիմունքները հաստատուն գործակիցներ(Համակարգիչ)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): Այնուհետև LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավոր և ընդհանուր լուծումների գումարին, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե 2-րդ կարգի LMDE-ի աջ կողմը ֆունկցիաների գումար է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x): \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$-ները, որոնք համապատասխանում են $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ձևով:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է a. $n$ աստիճանի բազմանդամ: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որոնք հավասար են զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ են հայտնի թվեր. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

փոխարինեք PD $U$-ը, որը գրված է ընդհանուր ձևով, մեջ ձախ կողմ LNDU-2;
LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
լուծել ստացված գծային հավասարումների համակարգը անհայտ գործակիցների համար.

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$-ի փոխարեն $y""$, $y"$ և $y$ ֆունկցիաները տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x)$ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարելի է բաց թողնել: Ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD որոնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.

Այս հոդվածը անդրադառնում է հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման խնդրին։ Տեսությունը կքննարկվի տրված խնդիրների օրինակների հետ միասին: Անհասկանալի տերմինները վերծանելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական սահմանումների և հասկացությունների թեմային:

Դիտարկենք երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում (LDE) y "" + p · y " + q · y = f (x) ձևի հաստատուն գործակիցներով, որտեղ p և q կամայական թվեր են, և գոյություն ունեցող f ֆունկցիան: (x) շարունակական է ինտեգրման x միջակայքում:

Անցնենք թեորեմի ձևակերպմանը ընդհանուր լուծում LNDU.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ի լուծման ընդհանուր թեորեմ

Թեորեմ 1

Ընդհանուր լուծում, որը գտնվում է x միջակայքում, y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ձևի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման: . . + f 0 (x) · y = f (x) շարունակական ինտեգրման գործակիցներով x միջակայքում f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) և f (x) շարունակական ֆունկցիան հավասար է y 0 ընդհանուր լուծման գումարին, որը համապատասխանում է LOD-ին և որոշ որոշակի լուծման y ~, որտեղ սկզբնական անհամասեռ հավասարումը y = y 0 + է։ y ~.

Սա ցույց է տալիս, որ նման երկրորդ կարգի հավասարման լուծումն ունի y = y 0 + y ~ ձև: y 0 գտնելու ալգորիթմը քննարկվում է հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների մասին հոդվածում։ Որից հետո պետք է անցնենք y ~-ի սահմանմանը։

LPDE-ի որոշակի լուծման ընտրությունը կախված է հավասարման աջ կողմում տեղակայված f (x) հասանելի ֆունկցիայի տեսակից: Դրա համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները։

Երբ f (x) համարվում է n-րդ աստիճանի բազմանդամ f (x) = P n (x), հետևում է, որ LPDE-ի որոշակի լուծումը գտնվել է y ~ = Q n (x) ձևի բանաձևով։ ) x γ, որտեղ Q n ( x) n աստիճանի բազմանդամ է, r-ը բնորոշ հավասարման զրոյական արմատների թիվն է։ y ~ արժեքը որոշակի լուծում է y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ապա հասանելի գործակիցները, որոնք սահմանվում են բազմանդամով
Q n (x), մենք գտնում ենք, օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x):

Օրինակ 1

Հաշվեք՝ օգտագործելով Քոշիի թեորեմը y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 :

Լուծում

Այլ կերպ ասած, անհրաժեշտ է անցնել y "" - 2 y " = x 2 + 1 հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծմանը, որը կբավարարի տրված y պայմանները (0) = 2, y "(0) = 1 4:

Գծայինի ընդհանուր լուծումը անհամասեռ հավասարումընդհանուր լուծման գումարն է, որը համապատասխանում է y 0 հավասարմանը կամ y ~ անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծմանը, այսինքն՝ y = y 0 + y ~:

Նախ ԼԺՄ-ի համար ընդհանուր լուծում կգտնենք, հետո՝ կոնկրետ։

Անցնենք y 0 գտնելուն: Հատկանշական հավասարումը գրելը կօգնի ձեզ գտնել արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները տարբեր են և իրական: Հետեւաբար, եկեք գրենք

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Եկեք գտնենք y ~ . Երևում է, որ տրված հավասարման աջ կողմը երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, ապա արմատներից մեկը հավասար է զրոյի։ Դրանից մենք ստանում ենք, որ y ~-ի համար որոշակի լուծում կլինի

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, որտեղ A, B, C արժեքները վերցնում են չորոշված գործակիցներ:

Գտնենք դրանք y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ձևի հավասարությունից:

Հետո մենք ստանում ենք, որ.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Գործակիցները հավասարեցնելով x-ի նույն ցուցանիշներին՝ ստանում ենք գծային արտահայտությունների համակարգ՝ 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1: Մեթոդներից որևէ մեկով լուծելիս կգտնենք գործակիցները և կգրենք՝ A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 և y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Այս մուտքը կոչվում է հաստատուն գործակիցներով սկզբնական գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում։

Որոշակի լուծում գտնելու համար, որը բավարարում է y (0) = 2, y "(0) = 1 4 պայմանները, անհրաժեշտ է որոշել արժեքները. Գ 1Եվ C 2, հիմնվելով y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ձևի հավասարության վրա:

Մենք ստանում ենք, որ.

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Մենք աշխատում ենք C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ձևի հավասարումների համակարգով, որտեղ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2:

Կիրառելով Քոշիի թեորեմը՝ մենք ունենք դա

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Պատասխան. 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Երբ f (x) ֆունկցիան ներկայացված է որպես n աստիճան ունեցող բազմանդամի արտադրյալ և f (x) = P n (x) · e a x, ապա մենք ստանում ենք, որ երկրորդ կարգի LPDE-ի որոշակի լուծումը կլինի y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ ձևի հավասարումը, որտեղ Q n (x)-ը n-րդ աստիճանի բազմանդամ է, իսկ r-ը՝ α-ին հավասար բնորոշ հավասարման արմատների թիվը։

Q n (x)-ին պատկանող գործակիցները գտնում ենք y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարությամբ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք y "" - 2 y " = (x 2 + 1) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը · e x .

Լուծում

Հավասարումը ընդհանուր տեսարան y = y 0 + y ~ . Նշված հավասարումը համապատասխանում է LOD y "" - 2 y " = 0: Նախորդ օրինակից երևում է, որ դրա արմատները հավասար են. k 1 = 0և k 2 = 2 և y 0 = C 1 + C 2 e 2 x բնորոշ հավասարմամբ:

Կարելի է տեսնել, որ հավասարման աջ կողմը x 2 + 1 · e x է: Այստեղից LPDE-ն հայտնաբերվում է y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ի միջոցով, որտեղ Q n (x) երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, որտեղ α = 1 և r = 0, քանի որ բնորոշ հավասարումը չի ունեն 1-ի հավասար արմատ: Այստեղից մենք ստանում ենք դա

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C-ն անհայտ գործակիցներ են, որոնք կարելի է գտնել y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x հավասարությամբ:

Դա հասկացա

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Ցուցանիշները հավասարեցնում ենք նույն գործակիցներով և ստանում գծային հավասարումների համակարգ։ Այստեղից մենք գտնում ենք A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Պատասխան.պարզ է, որ y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE-ի որոշակի լուծում է, և y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ընդհանուր լուծում երկրորդ կարգի անհամասեռ դիֆ հավասարման համար:

Երբ ֆունկցիան գրված է որպես f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, և Ա 1Եվ 1-ումթվեր են, ապա LPDE-ի մասնակի լուծումը համարվում է y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ձևի հավասարում, որտեղ դիտարկվում են A և B. անորոշ գործակիցներ, իսկ r-ը բնութագրական հավասարման հետ կապված բարդ խոնարհված արմատների թիվն է, որը հավասար է ± i β-ի: Այս դեպքում գործակիցների որոնումն իրականացվում է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության միջոցով:

Օրինակ 3

Գտե՛ք y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում

Նախքան բնորոշ հավասարումը գրելը, մենք գտնում ենք y 0: Հետո

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Մենք ունենք զույգ բարդ զուգակցված արմատներ: Եկեք վերափոխենք և ստանանք.

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Բնութագրական հավասարման արմատները համարվում են ± 2 i խոնարհված զույգը, ապա f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x): Սա ցույց է տալիս, որ y ~-ի որոնումը կկատարվի y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Անհայտներ Մենք կփնտրենք A և B գործակիցները y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի հավասարությունից:

Եկեք փոխակերպենք.

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Հետո պարզ է, որ

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 մեղք (2 x)

Անհրաժեշտ է հավասարեցնել սինուսների և կոսինուսների գործակիցները: Մենք ստանում ենք ձևի համակարգ.

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Հետևում է, որ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Պատասխան.դիտարկվում է սկզբնական երկրորդ կարգի LDDE-ի ընդհանուր լուծումը հաստատուն գործակիցներով

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Երբ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), ապա y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Ունենք, որ r-ը բնութագրական հավասարման հետ կապված արմատների բարդ խոնարհված զույգերի թիվն է, որը հավասար է α ± i β-ին, որտեղ P n (x), Q k (x), Լ մ (x) և Նմ (x) n, k, m, m աստիճանի բազմանդամներ են, որտեղ m = m a x (n, k). Գործակիցների որոնում Lm(x)Եվ Նմ (x)կազմված է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության հիման վրա։

Օրինակ 4

Գտե՛ք y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Ըստ պայմանի պարզ է, որ

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Այնուհետև m = m a x (n, k) = 1: Մենք գտնում ենք y 0՝ նախ գրելով բնորոշ հավասարումտիպ:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները իրական են և հստակ: Հետևաբար y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x: Հաջորդը, անհրաժեշտ է ընդհանուր լուծում փնտրել՝ հիմնված ձևի y ~ անհամասեռ հավասարման վրա.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))

Հայտնի է, որ A, B, C գործակիցներն են, r = 0, քանի որ չկա զույգ արմատներ, որոնք կապված են α ± i β = 3 ± 5 · i-ով բնորոշ հավասարման հետ: Ստացված հավասարությունից մենք գտնում ենք այս գործակիցները.

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) մեղք (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ածանցյալ և նմանատիպ տերմինները գտնելը տալիս է

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · մեղք (5 x) + 45 · մեղք (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Գործակիցները հավասարեցնելուց հետո ստանում ենք ձևի համակարգ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Ամեն ինչից հետևում է, որ

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

Պատասխան.Այժմ մենք ստացել ենք տրված գծային հավասարման ընդհանուր լուծումը.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

LDNU-ի լուծման ալգորիթմ

Սահմանում 1

Լուծման համար f (x) ֆունկցիայի ցանկացած այլ տեսակ պահանջում է համապատասխանություն լուծման ալգորիթմին.

գտնելով համապատասխան գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, որտեղ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, որտեղ y 1Եվ y 2 LODE-ի գծային անկախ մասնակի լուծումներ են, Գ 1Եվ C 2համարվում են կամայական հաստատուններ.
ընդունումը որպես LNDE-ի ընդհանուր լուծում y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
ֆունկցիայի ածանցյալների որոշում C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" (x) ձևի համակարգի միջոցով ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , և գտնել գործառույթներ C 1 (x)և C 2 (x) ինտեգրման միջոցով:

Օրինակ 5

Գտե՛ք y «» + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Մենք սկսում ենք գրել բնորոշ հավասարումը, նախապես գրելով y 0, y "" + 36 y = 0: Եկեք գրենք և լուծենք.

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = մեղք (6 x)

Ունենք, որ տրված հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվելու է y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Պետք է անցնել ածանցյալ ֆունկցիաների սահմանմանը C 1 (x)Եվ C2 (x)ըստ հավասարումների համակարգի.

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2" (x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 մեղք (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

վերաբերյալ որոշում պետք է կայացվի C 1" (x)Եվ C 2" (x)օգտագործելով ցանկացած մեթոդ: Այնուհետև գրում ենք.

C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը պետք է ինտեգրված լինի: Այնուհետև մենք գրում ենք ստացված հավասարումները.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 մեղք (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x մեղք (6 x) + C 4

Հետևում է, որ ընդհանուր լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 մեղք (6 x)

Պատասխան. y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin. (6 x)

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մենք տեսանք, որ այն դեպքում, երբ հայտնի է գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, հնարավոր է գտնել անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը: Այնուամենայնիվ, հարցը, թե ինչպես գտնել միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, բաց մնաց: Հատուկ դեպքում, երբ գծային դիֆերենցիալ հավասարման մեջ (3) բոլոր գործակիցները p i(X)= a i - հաստատուններ, այն կարելի է լուծել բավականին պարզ, նույնիսկ առանց ինտեգրման:

Դիտարկենք գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ

y (n) + ա 1 y (n – 1) +...ա n – 1 y " + a n y = 0, (14)

Որտեղ եւ ես- հաստատուններ (ես= 1, 2, ...,n).

Ինչպես հայտնի է, 1-ին կարգի գծային միատարր հավասարման համար լուծումը ձևի ֆունկցիա է. ե kx.Մենք կփնտրենք (14) հավասարման լուծումը ձևով ժ (X) = ե kx.

Ֆունկցիան փոխարինենք (14) հավասարմամբ. ժ (X) և դրա կարգի ածանցյալները մ (1 £ մ£ n)ժ (մ) (X) = k m e kx. Մենք ստանում ենք

(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,

Բայց ե k x ¹ 0 ցանկացածի համար X, Ահա թե ինչու

k n + a 1 k n – 1 +...ա n – 1 k + a n = 0. (15)

Կանչվում է հավասարումը (15): բնորոշ հավասարում, ձախ կողմի բազմանդամը- բնորոշ բազմանդամ , նրա արմատները- բնորոշ արմատներ դիֆերենցիալ հավասարում (14).

Եզրակացություն:

ֆունկցիանժ (X) = ե kx - գծային միատարր հավասարման լուծումը (14), եթե և միայն եթե թիվը կ - բնորոշ հավասարման արմատը (15):

Այսպիսով, գծային միատարր հավասարման (14) լուծման գործընթացը կրճատվում է հանրահաշվական հավասարման լուծմանը (15):

Հնարավոր են բնորոշ արմատների տարբեր դեպքեր։

1.Բնութագրական հավասարման բոլոր արմատները իրական են և հստակ:

Այս դեպքում nտարբեր բնորոշ արմատներ կ 1 ,կ 2 ,..., k nհամապատասխանում է nմիատարր հավասարման տարբեր լուծումներ (14)

Կարելի է ցույց տալ, որ այս լուծումները գծայինորեն անկախ են և հետևաբար ձևավորվում են հիմնարար համակարգորոշումները. Այսպիսով, հավասարման ընդհանուր լուծումը ֆունկցիան է

Որտեղ ՀԵՏ 1 , Գ 2 , ..., C n - կամայական հաստատուններ.

Օրինակ 7. Գտե՛ք գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Ա) ժամը¢ ¢ (X) - 6ժամը¢ (X) + 8ժամը(X) = 0, բ) ժամը¢ ¢ ¢ (X) + 2ժամը¢ ¢ (X) - 3ժամը¢ (X) = 0.

Լուծում. Ստեղծենք բնորոշ հավասարում. Դա անելու համար մենք փոխարինում ենք կարգի ածանցյալը մգործառույթները y(x) համապատասխան աստիճանի

կ(ժամը (մ) (x) « կ մ),

մինչդեռ գործառույթն ինքնին ժամը(X) քանի որ զրոյական կարգի ածանցյալը փոխարինվում է կ 0 = 1.

(ա) դեպքում բնորոշ հավասարումն ունի ձև կ 2 - 6k + 8 = 0. Սրա արմատները քառակուսային հավասարում կ 1 = 2,կ 2 = 4. Քանի որ դրանք իրական են և տարբեր, ընդհանուր լուծումն ունի ձևը ժ (X)= C 1 ե 2X + C 2 ե 4x.

(բ) դեպքի համար բնորոշ հավասարումը 3-րդ աստիճանի հավասարումն է կ 3 + 2կ 2 - 3k = 0. Գտնենք այս հավասարման արմատները.

կ(կ 2 + 2 կ - 3)= 0 Þ կ = 0i կ 2 + 2 կ - 3 = 0 Þ կ = 0, (կ - 1)(կ + 3) = 0,

Տ . ե . կ 1 = 0, կ 2 = 1, կ 3 = - 3.

Այս բնորոշ արմատները համապատասխանում են դիֆերենցիալ հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգին.

ժ 1 (X)= էլ 0X = 1, ժ 2 (X) = e x, ժ 3 (X)= էլ - 3X .

Ընդհանուր լուծումը, ըստ (9) բանաձևի, ֆունկցիան է

ժ (X)= C 1 + Գ 2 e x + C 3 ե - 3X .

II . Բնութագրական հավասարման բոլոր արմատները տարբեր են, բայց դրանցից մի քանիսը բարդ են:

Դիֆերենցիալ հավասարման (14) և, հետևաբար, դրա բնորոշ հավասարման (15) բոլոր գործակիցները- իրական թվեր, ինչը նշանակում է, որ եթե c բնորոշ արմատների մեջ կա բարդ արմատ կ 1 = a + ib,այսինքն՝ նրա զուգակցված արմատը կ 2 = ` կ 1 = ա- իբ.Դեպի առաջին արմատը կ 1 համապատասխանում է դիֆերենցիալ հավասարման լուծմանը (14)

ժ 1 (X)= էլ (ա+իբ)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(Մենք օգտագործել ենք Էյլերի բանաձևը e i x = cosx + isinx) Նմանապես, արմատը կ 2 = ա- իբհամապատասխանում է լուծմանը

ժ 2 (X)= էլ (ա - -իբ)X = e a x e - ib x= e կացին(cosbx - isinbx).

Այս լուծումները բարդ են: Դրանցից իրական լուծումներ ստանալու համար մենք օգտագործում ենք գծային միատարր հավասարման լուծումների հատկությունները (տես 13.2): Գործառույթներ

(14) հավասարման իրական լուծումներն են։ Ընդ որում, այս լուծումները գծային անկախ են: Այսպիսով, մենք կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը.

Կանոն 1.Զույգ զուգակցված բարդ արմատներ ա± Գծային միատարր հավասարման FSR-ում բնորոշ հավասարման ib (14) համապատասխանում է երկու իրական մասնակի լուծումներիԵվ .

Օրինակ 8. Գտե՛ք հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Ա) ժամը¢ ¢ (X) - 2ժամը ¢ (X) + 5ժամը(X) = 0 ;բ) ժամը¢ ¢ ¢ (X) - ժամը¢ ¢ (X) + 4ժամը ¢ (X) - 4ժամը(X) = 0.

Լուծում. (ա) հավասարման դեպքում բնորոշ հավասարման արմատները կ 2 - 2k + 5 = 0-ը երկու կոմպլեքս թվեր են

կ 1, 2 = .

Հետևաբար, ըստ կանոն 1-ի, դրանք համապատասխանում են երկու իրական գծային անկախ լուծումների. և , և հավասարման ընդհանուր լուծումը ֆունկցիան է.

ժ (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x մեղք 2x.

(բ) դեպքում գտնել բնորոշ հավասարման արմատները կ 3 - կ 2 + 4կ- 4 = 0, մենք գործոնացնում ենք նրա ձախ կողմը.

կ 2 (կ - 1) + 4(կ - 1) = 0 Þ (կ - 1)(կ 2 + 4) = 0 Þ (կ - 1) = 0, (կ 2 + 4) = 0.

Այսպիսով, մենք ունենք երեք բնորոշ արմատներ. կ 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2ես.Կոռնու կ 1 համապատասխանում է լուծմանը , և մի զույգ զուգակցված բարդ արմատներ կ 2, 3 = ± 2ես = 0 ± 2ես- երկու վավեր լուծում՝ և . Մենք կազմում ենք հավասարման ընդհանուր լուծում.

ժ (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 մեղք 2x.

III . Բնութագրական հավասարման արմատների մեջ կան բազմապատիկներ։

Թող կ 1 - բազմակիության իրական արմատը մբնորոշ հավասարումը (15), այսինքն՝ արմատների մեջ կա մհավասար արմատներ. Նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է դիֆերենցիալ հավասարման միևնույն լուծմանը (14) Այնուամենայնիվ, ներառեք մ FSR-ում հավասար լուծումներ չկան, քանի որ դրանք կազմում են ֆունկցիաների գծային կախված համակարգ:

Կարելի է ցույց տալ, որ բազմակի արմատի դեպքում k 1(14) հավասարման լուծումները, բացի ֆունկցիայից, ֆունկցիաներն են

Գործառույթները գծային անկախ են ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ, այսինքն, դրանք կարող են ներառվել FSR-ում:

Կանոն 2. Իրական բնորոշ արմատ կ 1 բազմապատկություն մ FSR-ում համապատասխանում է մլուծումներ:

Եթե կ 1 - բարդ արմատային բազմապատկություն մբնորոշ հավասարումը (15), ապա կա խոնարհված արմատ կ 1 բազմապատկություն մ. Համեմատությամբ մենք ստանում ենք հետևյալ կանոնը.

Կանոն 3. Զույգ զուգակցված բարդ արմատներ ա± ib-ը FSR-ում համապատասխանում է 2 ավելի իրական գծային անկախ լուծումների.

, , ..., ,

, , ..., .

Օրինակ 9. Գտե՛ք հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Ա) ժամը¢ ¢ ¢ (X) + 3ժամը¢ ¢ (X) + 3ժամը¢ (X)+ y ( X)= 0;բ) ժամը IV(X) + 6ժամը¢ ¢ (X) + 9ժամը(X) = 0.

Լուծում. (ա) դեպքում բնորոշ հավասարումն ունի ձև

կ 3 + 3 կ 2 + 3 կ + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

այսինքն. k =- 1 - 3-ի բազմապատկության արմատը. 2-րդ կանոնի հիման վրա գրում ենք ընդհանուր լուծումը.

ժ (X)= C 1 + Գ 2 x + C 3 x 2 .

(բ) դեպքում բնորոշ հավասարումը հավասարումն է

կ 4 + 6կ 2 + 9 = 0

կամ, հակառակ դեպքում,

(կ 2 + 3) 2 = 0 Þ կ 2 = - 3 Þ կ 1, 2 = ± ես.

Մենք ունենք զույգ զուգակցված բարդ արմատներ, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 2 բազմապատիկություն։ Համաձայն կանոն 3-ի՝ ընդհանուր լուծումը գրվում է այսպես.

ժ (X)= C 1 + Գ 2 x + C 3 + Գ 4 x.

Վերոնշյալից հետևում է, որ հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային միատարր հավասարման համար հնարավոր է գտնել լուծումների հիմնարար համակարգ և կազմել ընդհանուր լուծում։ Հետևաբար, ցանկացածի համար համապատասխան անհամասեռ հավասարման լուծումը շարունակական գործառույթ զ(x) աջ կողմում կարելի է գտնել կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդի միջոցով (տես բաժին 5.3):

Օրինակ 10. Վարիացիոն մեթոդի օգնությամբ գտե՛ք անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը. ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = xe 2x .

Լուծում. Նախ գտնում ենք համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = 0. Բնութագրական հավասարման արմատները կ 2 - կ- 6 = 0 են կ 1 = 3,կ 2 = - 2, ա միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում - ֆունկցիան ` ժամը ( X) = C 1 ե 3X + Գ 2 ե - 2X .

Անհամասեռ հավասարման լուծումը կփնտրենք ձևի մեջ

ժամը( X) = ՀԵՏ 1 (X)ե 3X + Գ 2 (X)ե 2X . (*)

Գտնենք Վրոնսկու որոշիչը

Վ[ե 3X , էլ 2X ] = .

Անհայտ ֆունկցիաների ածանցյալների համար կազմենք հավասարումների համակարգ (12): ՀԵՏ ¢ 1 (X) Եվ ՀԵՏ¢ 2 (X):

Համակարգը լուծելով Քրամերի բանաձևերով՝ մենք ստանում ենք

Ինտեգրվելով՝ մենք գտնում ենք ՀԵՏ 1 (X) Եվ ՀԵՏ 2 (X):

Փոխարինող գործառույթներ ՀԵՏ 1 (X) Եվ ՀԵՏ 2 (X) հավասարության մեջ (*), մենք ստանում ենք հավասարման ընդհանուր լուծում ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = xe 2x :

Այն դեպքում, երբ հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ հավասարման աջ կողմն ունի հատուկ ձև, անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում կարելի է գտնել առանց կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդին դիմելու:

Դիտարկենք հաստատուն գործակիցներով հավասարումը

y (n) + a 1 y (n– 1) +...ա n – 1տ " + a n y = f (x), (16)

զ( x) = եկացին(Պ ն(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

Որտեղ Պ ն(x) Եվ Ռմ(x) - աստիճանի բազմանդամներ n Եվ մհամապատասխանաբար.

Մասնավոր լուծում y*(X(16) հավասարման ) որոշվում է բանաձևով

ժամը* (X) = xsե կացին(Մ ր(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

Որտեղ Մ ր(x) Եվ Nr(x) - աստիճանի բազմանդամներ r = մաքս(n, մ) անորոշ գործակիցներով , Ա սհավասար է արմատի բազմապատիկին կ 0 = a + ib(16) հավասարման բնորոշ բազմանդամը, և մենք ենթադրում ենք s = 0 եթե կ 0-ը բնորոշ արմատ չէ:

Որոշակի լուծում կազմելու համար (18) բանաձևով անհրաժեշտ է գտնել չորս պարամետր - ա, բ, ռԵվ ս.Առաջին երեքը որոշվում են հավասարման աջ կողմից, և r- սա իրականում ամենաբարձր աստիճանն է x, հայտնաբերվել է աջ կողմում։ Պարամետր սհայտնաբերվել է թվերի համեմատությունից կ 0 = a + ibԵվ (16) հավասարման բոլոր (հաշվի առնելով բազմապատիկությունները) բնորոշ արմատների բազմությունը, որոնք հայտնաբերվում են համապատասխան միատարր հավասարումը լուծելով։

Դիտարկենք ֆունկցիայի ձևի հատուկ դեպքեր (17).

1) ժամը ա ¹ 0, բ= 0զ(x)= e ax P n(x);

2) երբ ա= 0, բ ¹ 0զ(x)= Պ ն(x) Հետosbx + R մ(x)sinbx;

3) երբ ա = 0, բ = 0զ(x)=Pn(x).

Դիտողություն 1. Եթե P n (x) º 0 կամ Rm(x)º 0, ապա հավասարման աջ կողմը f(x) = e ax P n (x)с osbx կամ f(x) = e ax R m (x)sinbx, այսինքն պարունակում է ֆունկցիաներից միայն մեկը։ - կոսինուս կամ սինուս: Բայց կոնկրետ լուծման գրանցման ժամանակ երկուսն էլ պետք է ներկա լինեն, քանի որ, համաձայն (18) բանաձևի, նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկվում է նույն աստիճանի անորոշ գործակիցներով բազմանդամով r = max(n, m):

Օրինակ 11. Որոշե՛ք հաստատուն գործակիցներով 4-րդ կարգի գծային միատարր հավասարման մասնակի լուծման տեսակը, եթե հայտնի է հավասարման աջ կողմը։ զ(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)մեղք 3x) և բնորոշ հավասարման արմատները.

Ա ) կ 1 = k 2 = 1, կ 3 = 3,կ 4 = - 1;

բ ) կ 1, 2 = 1 ± 3ես,կ 3, 4 = ± 1;

Վ ) կ 1, 2 = 1 ± 3ես,կ 3, 4 = 1 ± 3ես.

Լուծում. Աջ կողմում մենք դա գտնում ենք կոնկրետ լուծման մեջ ժամը*(X), որը որոշվում է բանաձևով (18), պարամետրերով. ա= 1, բ= 3, r = 2. Նրանք նույնն են մնում բոլոր երեք դեպքերի համար, այստեղից էլ թիվը կ 0, որը նշում է վերջին պարամետրը սբանաձևը (18) հավասար է կ 0 = 1+ 3ես. (ա) դեպքում բնորոշ արմատների մեջ թիվ չկա կ 0 = 1 + 3ես,Նշանակում է, ս= 0, և որոշակի լուծում ունի ձև

y*(X) = x 0 e x(Մ 2 (x)cos 3x+N 2 (x)մեղք 3x) =

= եx( (Կացին 2 +Bx+C)cos 3x+(Ա 1 x 2 +Բ 1 x+C 1)մեղք 3x.

(բ) դեպքում համարը կ 0 = 1 + 3եստեղի է ունենում մեկ անգամ բնորոշ արմատների մեջ, ինչը նշանակում է s = 1 Եվ

y*(X) = x e x((Կացին 2 +Bx+C)cos 3x+(Ա 1 x 2 +Բ 1 x+C 1)մեղք 3x.

(գ) դեպքի համար ունենք s = 2 և

y*(X) = x 2 e x((Կացին 2 +Bx+C)cos 3x+(Ա 1 x 2 +Բ 1 x+C 1)մեղք 3x.

Օրինակ 11-ում կոնկրետ լուծումը պարունակում է 2 աստիճանի երկու բազմանդամ՝ չորոշված գործակիցներով: Լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել այս գործակիցների թվային արժեքները: Եկեք ձևակերպենք ընդհանուր կանոն.

Որոշել բազմանդամների անհայտ գործակիցները Մ ր(x) Եվ Nr(x) հավասարությունը (17) տարբերվում է անհրաժեշտ քանակով, և ֆունկցիան փոխարինվում է y*(X) և դրա ածանցյալները (16) հավասարման մեջ։ Համեմատելով նրա ձախ և աջ կողմերը՝ ստանում ենք համակարգը հանրահաշվական հավասարումներգործակիցները գտնելու համար.

Օրինակ 12. Գտե՛ք հավասարման լուծում ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = xe 2xԱնհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում որոշելով աջ կողմի ձևով:

Լուծում. Անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

ժամը( X) = ` ժամը(X)+ y*(X),

Որտեղ ` ժամը ( X) - համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, և y*(X) - ոչ միատարր հավասարման որոշակի լուծում:

Նախ լուծում ենք միատարր հավասարումը ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = 0. Նրա բնորոշ հավասարումը կ 2 - կ- 6 = 0 երկու արմատ ունի կ 1 = 3,կ 2 = - 2, հետևաբար, ` ժամը ( X) = C 1 ե 3X + Գ 2 ե - 2X .

Որոշակի լուծման տեսակը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը (18): ժամը*(X) Գործառույթ զ(x) = xe 2x ներկայացնում է հատուկ դեպքա) բանաձևեր (17), մինչդեռ ա = 2,բ = 0 Եվ r = 1, այսինքն. կ 0 = 2 + 0ես = 2. Համեմատելով բնորոշ արմատների հետ՝ եզրակացնում ենք, որ s = 0. Բոլոր պարամետրերի արժեքները փոխարինելով (18) բանաձևով, մենք ունենք y*(X) = (Ահ + Բ)ե 2X .

Արժեքները գտնելու համար ԱԵվ IN, եկեք գտնենք ֆունկցիայի առաջին և երկրորդ կարգի ածանցյալները y*(X) = (Ահ + Բ)ե 2X :

y*¢ (X)= Աե 2X + 2(Ահ + Բ)ե 2X = (2Ախ + Ահ + 2Բ)ե 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2Աե 2X + 2(2Ախ + Ահ + 2Բ)ե 2X = (4Ահ + 4A+ 4Բ)ե 2X .

Ֆունկցիայի փոխարինումից հետո y*(X) և դրա ածանցյալները մեր ունեցած հավասարման մեջ

(4Ահ + 4A+ 4Բ)ե 2X - (2Ախ + Ահ + 2Բ)ե 2X - 6(Ահ + Բ)ե 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Այսպիսով, անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում ունի ձևը

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)ե 2X ,

և ընդհանուր լուծումը - ժամը ( X) = C 1 ե 3X + Գ 2 ե - 2X + (- 1/4X- 3/16)ե 2X .

Ծանոթագրություն 2.Այն դեպքում, երբ Քոշիի խնդիրը դրված է անհամասեռ հավասարման համար, նախ պետք է գտնել հավասարման ընդհանուր լուծում.

ժամը( X) = ,

որոշելով գործակիցների բոլոր թվային արժեքները ժամը*(X) Այնուհետև օգտագործեք նախնական պայմանները և դրանք փոխարինելով ընդհանուր լուծման մեջ (և ոչ թե y*(X)), գտեք հաստատունների արժեքները C i.

Օրինակ 13. Գտեք Քոշիի խնդրի լուծումը.

ժամը¢ ¢ (X) - ժամը¢ (X) - 6ժամը(X) = xe 2x , յ(0) = 0, յ ¢ (X) = 0.

Լուծում. Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է

ժամը(X) = C 1 ե 3X + Գ 2 ե - 2X + (- 1/4X- 3/16)ե 2X

գտնվել է օրինակ 12-ում: Որոշակի լուծում գտնելու համար, որը բավարարում է այս Քոշիի խնդրի սկզբնական պայմանները, մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ:

Լուծելով այն, մենք ունենք Գ 1 = 1/8, Գ 2 = 1/16: Հետևաբար, Կոշիի խնդրի լուծումը ֆունկցիան է

ժամը(X) = 1/8ե 3X + 1/16ե - 2X + (- 1/4X- 3/16)ե 2X .

Ծանոթագրություն 3(սուպերպոզիցիոն սկզբունքը). Եթե ներս գծային հավասարում Ln[y(x)]= զ(x), որտեղ զ(x) = զ 1 (x)+ զ 2 (x) Եվ y* 1 (x) - հավասարման լուծում Ln[y(x)]= զ 1 (x), Ա y* 2 (x) - հավասարման լուծում Ln[y(x)]= զ 2 (x), ապա ֆունկցիան y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) է լուծելով հավասարումը Ln[y(x)]= զ(x).

Օրինակ 14. Նշեք գծային հավասարման ընդհանուր լուծման տեսակը

ժամը¢ ¢ (X) + 4ժամը(X) = x + sinx.

Լուծում. Համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում

` ժամը(x) = C 1 cos 2x + C 2 մեղք 2x,

քանի որ բնորոշ հավասարումը կ 2 + 4 = 0-ն ունի արմատներ կ 1, 2 = ± 2ես.Հավասարման աջ կողմը չի համապատասխանում (17) բանաձևին, բայց եթե ներմուծենք նշումը զ 1 (x) = x, զ 2 (x) = sinxև օգտագործել սուպերպոզիցիայի սկզբունքը , ապա անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում կարելի է գտնել ձևով y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), որտեղ y* 1 (x) - հավասարման լուծում ժամը¢ ¢ (X) + 4ժամը(X) = x, Ա y* 2 (x) - հավասարման լուծում ժամը¢ ¢ (X) + 4ժամը(X) = sinx.Ըստ բանաձևի (18)