Բարդ ֆունկցիաների ինտեգրալների աղյուսակ. Ինտեգրման հիմնական բանաձևերը և մեթոդները

Դպրոցում շատերը չեն կարողանում լուծել ինտեգրալները կամ դժվարություններ են ունենում դրանց հետ: Այս հոդվածը կօգնի ձեզ պարզել դա, քանի որ դրա մեջ ամեն ինչ կգտնեք: ինտեգրալ աղյուսակներ.

Անբաժանելիմաթեմատիկական անալիզի հիմնական հաշվարկներից ու հասկացություններից է։ Նրա տեսքը պայմանավորված էր երկու նպատակներով.
Առաջին գոլը- վերականգնել ֆունկցիան՝ օգտագործելով դրա ածանցյալը:
Երկրորդ գոլը- ուղիղ գծի վրա գրաֆիկից մինչև f(x) ֆունկցիայի հեռավորության վրա գտնվող տարածքի հաշվարկը, որտեղ a-ն մեծ է կամ հավասար է x-ից կամ հավասար է b-ին և x-ի առանցքը:

Այս նպատակները մեզ տանում են դեպի որոշակի և անորոշ ինտեգրալներ։ Այս ինտեգրալների միջև կապը կայանում է հատկությունների որոնման և հաշվարկի մեջ: Բայց ամեն ինչ հոսում է և ամեն ինչ փոխվում է ժամանակի ընթացքում, գտնվել են նոր լուծումներ, բացահայտվել են լրացումներ՝ դրանով իսկ որոշակի և անորոշ ինտեգրալներ տանելով դեպի ինտեգրման այլ ձևեր։

Ինչ է պատահել անորոշ ինտեգրալ դուք հարցնում եք. Սա x փոփոխականի F(x) հակաածանցյալ ֆունկցիան է a-ից մեծ, քան b-ից մեծ միջակայքում: կոչվում է ցանկացած ֆունկցիա F(x), ցանկացած x նշանակման համար տրված միջակայքում ածանցյալը հավասար է F(x): Պարզ է, որ F(x)-ը հակաածանցյալ է f(x)-ի համար a մեծ է, քան x-ը b-ից մեծ է: Սա նշանակում է F1(x) = F(x) + C. C - ցանկացած հաստատուն և հակաածանցյալ է f(x)-ի համար տվյալ միջակայքում: Այս պնդումը շրջելի է, f(x) - 2 ֆունկցիայի համար հակաածանցյալները տարբերվում են միայն հաստատունով: Ինտեգրալ հաշվարկի թեորեմի հիման վրա պարզվում է, որ յուրաքանչյուր շարունակական միջակայքում a.

Որոշակի ինտեգրալ հասկացվում է որպես ինտեգրալ գումարների սահման, կամ ինչ-որ տողի վրա սահմանված f(x) ֆունկցիայի իրավիճակում (a,b), որի վրա ունի F հակաածանցյալ, ինչը նշանակում է նրա արտահայտությունների տարբերությունը տվյալ տողի ծայրերում։ F(b) - F(a):

Այս թեմայի ուսումնասիրությունը լուսաբանելու համար առաջարկում եմ դիտել տեսանյութը։ Այն մանրամասն պատմում և ցույց է տալիս, թե ինչպես գտնել ինտեգրալներ։

Ինտեգրալների յուրաքանչյուր աղյուսակ ինքնին շատ օգտակար է, քանի որ այն օգնում է լուծել կոնկրետ տեսակի ինտեգրալ:

Բոլորը հնարավոր տեսակներըգրենական պիտույքներ և այլն: Դուք կարող եք գնել v-kant.ru առցանց խանութի միջոցով: Կամ պարզապես հետևեք Stationery Samara հղմանը (http://v-kant.ru) որակն ու գները ձեզ հաճելիորեն կզարմացնեն։

Հակածանցյալ ֆունկցիա և անորոշ ինտեգրալ

Փաստ 1. Ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողություն է, այն է՝ ֆունկցիայի վերականգնում այս ֆունկցիայի հայտնի ածանցյալից: Գործառույթն այսպիսով վերականգնվեց Ֆ(x) կոչվում է հակաածանցյալֆունկցիայի համար զ(x).

Սահմանում 1. Ֆունկցիա Ֆ(x զ(x) որոշ ընդմիջումով X, եթե բոլոր արժեքների համար xայս միջակայքից պահպանվում է հավասարությունը Ֆ "(x)=զ(x), այն է այս գործառույթը զ(x) հակաածանցյալ ֆունկցիայի ածանցյալն է Ֆ(x). .

Օրինակ՝ ֆունկցիան Ֆ(x) = մեղք x ֆունկցիայի հակաածանցյալն է զ(x) = cos x ամբողջ թվային տողի վրա, քանի որ x-ի ցանկացած արժեքի համար (մեղ x)» = (cos x) .

Սահմանում 2. Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ զ(x) նրա բոլոր հակաածանցյալների բազմությունն է. Այս դեպքում օգտագործվում է նշումը

∫

զ(x)dx

,

որտեղ է նշանը ∫ կոչվում է ինտեգրալ նշան, ֆունկցիա զ(x) – ինտեգրացիոն ֆունկցիա, և զ(x)dx - ինտեգրալ արտահայտություն:

Այսպիսով, եթե Ֆ(x) – որոշ հակաածանցյալ զ(x), Դա

∫

զ(x)dx = Ֆ(x) +Գ

Որտեղ Գ - կամայական հաստատուն (հաստատուն):

Որպես անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմության իմաստը հասկանալու համար տեղին է հետևյալ անալոգիան. Թող լինի դուռ (ավանդական փայտե դուռ): Նրա գործառույթն է «դուռ լինել»: Ինչի՞ց է պատրաստված դուռը։ Պատրաստված է փայտից։ Սա նշանակում է, որ «լինել դուռ» ֆունկցիայի ինտեգրացիայի հակաածանցյալների բազմությունը, այսինքն՝ նրա անորոշ ինտեգրալը, «լինել ծառ + C» ֆունկցիան է, որտեղ C-ն հաստատուն է, որն այս համատեքստում կարող է. Նշեք, օրինակ, ծառի տեսակը. Ինչպես որ դուռը պատրաստվում է փայտից՝ օգտագործելով որոշ գործիքներ, ֆունկցիայի ածանցյալը «պատրաստվում» է հակաածանցյալ ֆունկցիայից՝ օգտագործելով. բանաձևեր, որոնք սովորել ենք ածանցյալն ուսումնասիրելիս .

Այնուհետև սովորական առարկաների և դրանց համապատասխան հակաածանցյալների ֆունկցիաների աղյուսակը («լինել դուռ» - «ծառ լինել», «գդալ լինել» - «մետաղ լինել» և այլն) նման է հիմնական աղյուսակին. անորոշ ինտեգրալներ, որոնք կներկայացվեն ստորև։ Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակը թվարկում է ընդհանուր ֆունկցիաները՝ նշելով այն հակաածանցյալները, որոնցից «ստեղծվել» են այդ ֆունկցիաները: Անորոշ ինտեգրալը գտնելու խնդիրների մի մասում տրված են ինտեգրանդներ, որոնք կարող են ուղղակիորեն ինտեգրվել առանց մեծ ջանքերի, այսինքն՝ օգտագործելով անորոշ ինտեգրալների աղյուսակը։ Ավելի բարդ խնդիրների դեպքում ինտեգրանդը նախ պետք է փոխակերպվի, որպեսզի աղյուսակի ինտեգրալները օգտագործվեն:

Փաստ 2. Ֆունկցիան որպես հակաածանցյալ վերականգնելիս պետք է հաշվի առնել կամայական հաստատունը (հաստատուն) Գև 1-ից մինչև անվերջ տարբեր հաստատուններով հակաածանցյալների ցուցակ չգրելու համար հարկավոր է կամայական հաստատունով հակաածանցյալների հավաքածու գրել։ ԳՕրինակ՝ այսպես՝ 5 x³ + C. Այսպիսով, կամայական հաստատուն (հաստատուն) ներառված է հակաածանցյալի արտահայտման մեջ, քանի որ հակաածանցյալը կարող է լինել ֆունկցիա, օրինակ՝ 5. x³+4 կամ 5 x³+3 և երբ տարբերվում է, 4-ը կամ 3-ը կամ որևէ այլ հաստատուն անցնում է զրոյի:

Եկեք առաջադրենք ինտեգրման խնդիրը՝ այս ֆունկցիայի համար զ(x) գտնել նման գործառույթ Ֆ(x), որի ածանցյալըհավասար է զ(x).

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը ֆունկցիան է

Գործառույթ Ֆ(x) կոչվում է ֆունկցիայի հակաածանցյալ զ(x), եթե ածանցյալը Ֆ(x) հավասար է զ(x), կամ, որը նույն բանն է, դիֆերենցիալ Ֆ(x) հավասար է զ(x) dx, այսինքն.

(2)

Հետևաբար, ֆունկցիան ֆունկցիայի հակաածանցյալն է։ Այնուամենայնիվ, դա միակ հակաածանցյալը չէ . Նրանք նաև գործառույթներ են կատարում

Որտեղ ՀԵՏ- կամայական հաստատուն: Սա կարելի է ստուգել տարբերակման միջոցով:

Այսպիսով, եթե ֆունկցիայի համար կա մեկ հակաածանցյալ, ապա նրա համար կա անսահման թվով հակաածանցյալներ, որոնք տարբերվում են հաստատուն անդամով։ Ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալները գրված են վերը նշված ձևով: Սա բխում է հետևյալ թեորեմից.

Թեորեմ (փաստի պաշտոնական շարադրանք 2):Եթե Ֆ(x) – ֆունկցիայի հակաածանցյալ զ(x) որոշ ընդմիջումով X, ապա ցանկացած այլ հակաածանցյալ համար զ(x) նույն միջակայքում կարող է ներկայացվել ձևով Ֆ(x) + Գ, Որտեղ ՀԵՏ- կամայական հաստատուն:

Հաջորդ օրինակում մենք դիմում ենք ինտեգրալների աղյուսակին, որը տրվելու է 3-րդ պարբերությունում՝ անորոշ ինտեգրալի հատկություններից հետո։ Մենք դա անում ենք ամբողջ աղյուսակը կարդալուց առաջ, որպեսզի պարզ լինի վերը նշվածի էությունը: Իսկ աղյուսակից և հատկություններից հետո մենք դրանք ամբողջությամբ կօգտագործենք ինտեգրման ժամանակ։

Օրինակ 2.Գտեք հակաածանցյալ ֆունկցիաների հավաքածուներ.

Լուծում. Մենք գտնում ենք հակաածանցյալ ֆունկցիաների մի շարք, որոնցից «ստեղծվում» են այդ ֆունկցիաները: Ինտեգրալների աղյուսակից բանաձևեր նշելիս, առայժմ միայն ընդունեք, որ այնտեղ կան այդպիսի բանաձևեր, և մենք անորոշ ինտեգրալների աղյուսակը կուսումնասիրենք մի փոքր ավելի հեռու։

1) (7) բանաձևի կիրառում ինտեգրալների աղյուսակից n= 3, մենք ստանում ենք

2) Օգտագործելով բանաձևը (10) ինտեգրալների աղյուսակից n= 1/3, մենք ունենք

3) Քանի որ

ապա համաձայն (7) բանաձևի հետ n= -1/4 մենք գտնում ենք

Ինտեգրալ նշանի տակ գրված է ոչ թե գործառույթն ինքնին։ զ, և դրա արտադրանքը դիֆերենցիալով dx. Սա արվում է հիմնականում, որպեսզի ցույց տա, թե որ փոփոխականով է որոնվում հակաածանցյալը: Օրինակ,

, ;

այստեղ երկու դեպքում էլ ինտեգրանդը հավասար է , բայց նրա անորոշ ինտեգրալները դիտարկված դեպքերում տարբեր են լինում։ Առաջին դեպքում այս ֆունկցիան դիտարկվում է որպես փոփոխականի ֆունկցիա x, իսկ երկրորդում՝ որպես ֆունկցիա զ .

Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է այդ ֆունկցիայի ինտեգրում։

Անորոշ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք կոր y=F(x)և մենք արդեն գիտենք, որ շոշափողի անկյան շոշափողը նրա յուրաքանչյուր կետում տրված ֆունկցիա է f(x)այս կետի աբսցիսա:

Համաձայն երկրաչափական իմաստածանցյալ, շոշափող անկյան շոշափողը կորի տվյալ կետում y=F(x) արժեքին հավասարածանցյալ F"(x). Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք նման գործառույթ F(x), ինչի համար F"(x)=f(x). Առաջադրանքում պահանջվող գործառույթ F(x)-ի հակաածանցյալ է f(x). Խնդրի պայմանները բավարարվում են ոչ թե մեկ կորով, այլ կորերի ընտանիքով։ y=F(x)- այս կորերից մեկը և ցանկացած այլ կոր կարելի է ստանալ դրանից առանցքի երկայնքով զուգահեռ փոխադրման միջոցով Օյ.

Անվանենք հակաածանցյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը f(x)ինտեգրալ կոր. Եթե F"(x)=f(x), ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=F(x)կա ինտեգրալ կոր:

Փաստ 3. Անորոշ ինտեգրալը երկրաչափորեն ներկայացված է բոլոր ինտեգրալ կորերի ընտանիքով։ , ինչպես ստորև ներկայացված նկարում: Յուրաքանչյուր կորի հեռավորությունը կոորդինատների սկզբնակետից որոշվում է կամայական ինտեգրման հաստատունով Գ.

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Փաստ 4. Թեորեմ 1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին, իսկ դիֆերենցիալը՝ ինտեգրանդին։

Փաստ 5. Թեորեմ 2. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալ զ(x) հավասար է ֆունկցիային զ(x) մինչև հաստատուն ժամկետ , այսինքն.

(3)

1-ին և 2-րդ թեորեմները ցույց են տալիս, որ տարբերակումը և ինտեգրումը փոխադարձ հակադարձ գործողություններ են:

Փաստ 6. Թեորեմ 3. Ինտեգրանդի հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել անորոշ ինտեգրալի նշանից. , այսինքն.

Ստորև ներկայացված են ինտեգրման չորս հիմնական մեթոդները:

1) Գումարի կամ տարբերության ինտեգրման կանոնը.
.
Այստեղ և ներքևում u, v, w են x ինտեգրացիոն փոփոխականի ֆունկցիաները:

2) հաստատունի տեղափոխում ինտեգրալ նշանից դուրս:
Թող c լինի x-ից անկախ հաստատուն: Այնուհետեւ այն կարելի է հանել ինտեգրալ նշանից։

3) Փոփոխական փոխարինման մեթոդ.
Դիտարկենք անորոշ ինտեգրալը։
Եթե ​​կարողանանք գտնել նման φ ֆունկցիա (x) x-ից, այսպես
,
ապա t = φ(x) փոփոխականը փոխարինելով՝ ունենք
.

4) Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձև:
,
որտեղ u և v ինտեգրացիոն փոփոխականի գործառույթներն են:

Անորոշ ինտեգրալների հաշվարկման վերջնական նպատակն է փոխակերպումների միջոցով տրված ինտեգրալը հասցնել ամենապարզ ինտեգրալների, որոնք կոչվում են աղյուսակային ինտեգրալներ։ Աղյուսակային ինտեգրալներն արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաներով հայտնի բանաձևեր.
Տես ինտեգրալների աղյուսակ >>>

Օրինակ

Հաշվիր անորոշ ինտեգրալը

Լուծում

Մենք նշում ենք, որ ինտեգրանդը երեք անդամի գումարն ու տարբերությունն է.
, Եվ .
Կիրառելով մեթոդը 1 .

Հաջորդը, մենք նշում ենք, որ նոր ինտեգրալների ինտեգրալները բազմապատկվում են հաստատուններով 5, 4, Եվ 2 , համապատասխանաբար։ Կիրառելով մեթոդը 2 .

Ինտեգրալների աղյուսակում մենք գտնում ենք բանաձևը
.
Ենթադրելով n = 2 , գտնում ենք առաջին ինտեգրալը։

Եկեք վերաշարադրենք երկրորդ ինտեգրալը ձևով
.
Մենք դա նկատում ենք. Հետո

Եկեք օգտագործենք երրորդ մեթոդը. Մենք փոխում ենք t = φ փոփոխականը (x) = log x.
.
Ինտեգրալների աղյուսակում մենք գտնում ենք բանաձևը

Քանի որ ինտեգրման փոփոխականը կարող է նշանակվել ցանկացած տառով, ապա

Եկեք վերագրենք երրորդ ինտեգրալը ձևով
.
Կիրառում ենք ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևը.
Եկեք այն դնենք.
Հետո
;
;

;
;
.

Վերջապես մենք ունենք
.
Հավաքենք տերմինները x-ով 3 .
.

Պատասխանել

Հղումներ:
Ն.Մ. Գյունտեր, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, «Լան», 2003 թ.

Հիմնական ինտեգրալներ, որոնք պետք է իմանա յուրաքանչյուր ուսանող

Թվարկված ինտեգրալները հիմքն են, հիմունքների հիմքը։ Այս բանաձեւերը պետք է անպայման հիշել։ Ավելի բարդ ինտեգրալներ հաշվարկելիս ստիպված կլինեք դրանք անընդհատ օգտագործել։

Խնդրում ենք վճարել Հատուկ ուշադրություն(5), (7), (9), (12), (13), (17) և (19) բանաձևերին: Ինտեգրվելիս մի մոռացեք ձեր պատասխանին ավելացնել կամայական C հաստատուն:

հաստատունի ինտեգրալ

∫ A d x = A x + C (1)

Էլեկտրաէներգիայի ֆունկցիայի ինտեգրում

Փաստորեն, կարելի էր սահմանափակվել միայն (5) և (7) բանաձևերով, բայց այս խմբի մնացած ինտեգրալներն այնքան հաճախ են հանդիպում, որ արժե մի փոքր ուշադրություն դարձնել դրանց:

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների և հիպերբոլիկ ֆունկցիաների ինտեգրալներ

Իհարկե, բանաձեւը (8) (թերեւս ամենահարմարը անգիր անելու համար) կարելի է համարել որպես հատուկ դեպքբանաձևեր (9). Հիպերբոլիկ սինուսի և հիպերբոլիկ կոսինուսի ինտեգրալների (10) և (11) բանաձևերը հեշտությամբ ստացվում են (8) բանաձևից, բայց ավելի լավ է պարզապես հիշել այդ հարաբերությունները:

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական ինտեգրալներ

Սխալը, որը հաճախ թույլ են տալիս ուսանողները, այն է, որ նրանք շփոթում են (12) և (13) բանաձևերի նշանները: Հիշելով, որ սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսին, չգիտես ինչու շատերը կարծում են, որ sinx ֆունկցիայի ինտեգրալը հավասար է cosx-ին։ Սա ճիշտ չէ! Սինուսի ինտեգրալը հավասար է «մինուս կոսինուսին», բայց cosx-ի ինտեգրալը հավասար է «պարզապես սինուսին».

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 մեղք 2 x d x = − c t g x + C (15)

Ինտեգրալներ, որոնք վերածվում են հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների

Բանաձևը (16), որը տանում է դեպի արկտանգեն, բնականաբար (17) բանաձևի հատուկ դեպք է a=1-ի համար: Նմանապես, (18) հատուկ դեպք է (19):

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Ավելի բարդ ինտեգրալներ

Ցանկալի է նաև հիշել այս բանաձևերը. Նրանք նույնպես օգտագործվում են բավականին հաճախ, և դրանց արդյունքը բավականին հոգնեցուցիչ է:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 աղեղ x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Ինտեգրման ընդհանուր կանոններ

1) Երկու ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ գումարին հավասարհամապատասխան ինտեգրալներ՝ ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Երկու ֆունկցիաների տարբերության ինտեգրալը հավասար է համապատասխան ինտեգրալների տարբերությանը. ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանից՝ ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Հեշտ է տեսնել, որ հատկությունը (26) պարզապես հատկությունների (25) և (27) համակցություն է:

4) Բարդ ֆունկցիայի ինտեգրալ, եթե ներքին գործառույթըգծային է՝ ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Այստեղ F(x)-ը հակաածանցյալ է f(x) ֆունկցիայի համար: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս բանաձևը գործում է միայն այն դեպքում, երբ ներքին ֆունկցիան Ax + B է:

Կարևոր է. գոյություն չունի ունիվերսալ բանաձեւերկու ֆունկցիաների արտադրյալի ինտեգրալի, ինչպես նաև կոտորակի ինտեգրալի համար.

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (երեսուն)

Սա, իհարկե, չի նշանակում, որ մասնաբաժինը կամ արտադրանքը չի կարող ինտեգրվել: Պարզապես ամեն անգամ, երբ (30) նման ինտեգրալ եք տեսնում, ստիպված կլինեք դրա դեմ «պայքարելու» միջոց հորինել։ Որոշ դեպքերում ձեզ կօգնի մասերի ինտեգրումը, որոշ դեպքերում դուք ստիպված կլինեք փոխել փոփոխականը, և երբեմն նույնիսկ «դպրոցական» հանրահաշվի կամ եռանկյունաչափության բանաձևերը կարող են օգնել:

Անորոշ ինտեգրալը հաշվարկելու պարզ օրինակ

Օրինակ 1. Գտե՛ք ինտեգրալը՝ ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x.

Եկեք օգտագործենք (25) և (26) բանաձևերը (ֆունկցիաների գումարի կամ տարբերության ինտեգրալը հավասար է համապատասխան ինտեգրալների գումարին կամ տարբերությանը։ Ստանում ենք՝ ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x. + ∫ 12 դ x

Հիշենք, որ հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանից (բանաձև (27)): Արտահայտությունը վերածվում է ձևի

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Հիմա ուղղակի օգտագործենք հիմնական ինտեգրալների աղյուսակը։ Մեզ անհրաժեշտ կլինի կիրառել (3), (12), (8) և (1) բանաձևերը: Եկեք ինտեգրվենք հզորության գործառույթ, սինուս, էքսպոնենցիալ և հաստատուն 1. Չմոռանանք վերջում ավելացնել կամայական C հաստատուն.

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Տարրական փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Փորձեք ինքներդ ձեզ տարբերակմամբ. վերցրեք ստացված ֆունկցիայի ածանցյալը և համոզվեք, որ այն հավասար է սկզբնական ինտեգրանդին:

Ինտեգրալների ամփոփ աղյուսակ

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 մեղք 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 աղեղ x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Ներբեռնեք ինտեգրալների աղյուսակը (II մաս) այս հղումից

Եթե ​​սովորում եք համալսարանում, եթե դժվարություններ ունեք բարձրագույն մաթեմատիկայի հետ ( մաթեմատիկական վերլուծություն, գծային հանրահաշիվ, հավանականությունների տեսություն, վիճակագրություն), եթե Ձեզ անհրաժեշտ են որակյալ ուսուցչի ծառայություններ, ապա անցեք մաթեմատիկայի ավելի բարձր դասախոսի էջ։ Մենք միասին կլուծենք ձեր խնդիրները:

Ձեզ նույնպես կարող է հետաքրքրել

Թվարկենք դրա ինտեգրալները տարրական գործառույթներ, որոնք երբեմն կոչվում են աղյուսակային.

Վերոնշյալ բանաձևերից որևէ մեկը կարելի է ապացուցել՝ վերցնելով աջ կողմի ածանցյալը (արդյունքը կլինի ինտեգրանդը)։

Ինտեգրման մեթոդներ

Եկեք նայենք մի քանի հիմնական ինտեգրման մեթոդներին: Դրանք ներառում են.

1. Քայքայման մեթոդ(ուղղակի ինտեգրում).

Այս մեթոդը հիմնված է աղյուսակային ինտեգրալների ուղղակի օգտագործման, ինչպես նաև անորոշ ինտեգրալի 4 և 5 հատկությունների օգտագործման վրա (այսինքն՝ փակագծերից հանելով հաստատուն գործակիցը և/կամ ներկայացնելով ինտեգրալը որպես ֆունկցիաների գումար՝ տարրալուծում։ ինտեգրման տերմինների մեջ):

Օրինակ 1.Օրինակ՝(dx/x 4) գտնելու համար կարող եք ուղղակիորեն օգտագործել աղյուսակի ինտեգրալըx n dx-ի համար։ Փաստորեն,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C:

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ:

Օրինակ 2.Այն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նույն ինտեգրալը.

Օրինակ 3.Այն գտնելու համար հարկավոր է վերցնել

Օրինակ 4.Գտնելու համար մենք ներկայացնում ենք ինտեգրանդ ֆունկցիան ձևով և օգտագործեք աղյուսակի ինտեգրալը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի համար.

Եկեք դիտարկենք բրակետի օգտագործումը մշտական ​​գործոն:

Օրինակ 5.Գտնենք, օրինակ . Հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք

Օրինակ 6.Մենք կգտնենք այն: Քանի որ , օգտագործենք աղյուսակի ինտեգրալը Մենք ստանում ենք

Հետևյալ երկու օրինակներում կարող եք նաև օգտագործել փակագծեր և աղյուսակային ինտեգրալներ.

Օրինակ 7.

(մենք օգտագործում ենք և );

Օրինակ 8.

(մենք օգտագործում ենք Եվ ).

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնք օգտագործում են գումարային ինտեգրալը:

Օրինակ 9.Օրինակ, եկեք գտնենք
. Ընդլայնման մեթոդը համարիչում կիրառելու համար մենք օգտագործում ենք գումարի խորանարդի  բանաձևը, այնուհետև ստացված բազմանդամը բաժանում ենք հայտարարի վրա՝ անդամ առ անդամ։

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Հարկ է նշել, որ լուծման վերջում գրվում է մեկ ընդհանուր հաստատուն C (և ոչ առանձին՝ յուրաքանչյուր անդամ ինտեգրելիս)։ Հետագայում առաջարկվում է նաև բաց թողնել հաստատունները առանձին տերմինների ինտեգրումից լուծման գործընթացում, քանի դեռ արտահայտությունը պարունակում է առնվազն մեկ անորոշ ինտեգրալ (լուծման վերջում կգրենք մեկ հաստատուն)։

Օրինակ 10.Մենք կգտնենք . Այս խնդիրը լուծելու համար եկեք գործոնացնենք համարիչը (սրանից հետո կարող ենք կրճատել հայտարարը)։

Օրինակ 11.Մենք կգտնենք այն: Եռանկյունաչափական ինքնությունները կարող են օգտագործվել այստեղ:

Երբեմն արտահայտությունը տերմինների բաժանելու համար պետք է ավելի բարդ տեխնիկա օգտագործել։

Օրինակ 12.Մենք կգտնենք . Ինտեգրանդում ընտրում ենք կոտորակի ամբողջ մասը . Հետո

Օրինակ 13.Մենք կգտնենք

2. Փոփոխական փոխարինման մեթոդ (փոխարինման մեթոդ)

Մեթոդը հիմնված է հետևյալ բանաձևի վրա.

Ապացույց. Եկեք գտնենք ածանցյալները ձախից և t փոփոխականի նկատմամբ ճիշտ մասերբանաձեւեր.

Նկատի ունեցեք, որ ձախ կողմում կա բարդ ֆունկցիա, որի միջանկյալ արգումենտն է x = (t): Հետևաբար, t-ի նկատմամբ այն տարբերելու համար մենք նախ տարբերակում ենք ինտեգրալը x-ի նկատմամբ, այնուհետև վերցնում ենք միջանկյալ փաստարկի ածանցյալը t-ի նկատմամբ։

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Ածանցյալը աջ կողմից.

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Քանի որ այս ածանցյալները հավասար են, Լագրանժի թեորեմի հետևանքով, ապացուցված բանաձևի ձախ և աջ կողմերը տարբերվում են որոշակի հաստատունով: Քանի որ անորոշ ինտեգրալներն իրենք սահմանված են մինչև անորոշ հաստատուն անդամ, այս հաստատունը կարող է բաց թողնել վերջնական նշումից: Ապացուցված է.

Փոփոխականի հաջող փոփոխությունը թույլ է տալիս պարզեցնել սկզբնական ինտեգրալը, իսկ ամենապարզ դեպքերում՝ նվազեցնել այն աղյուսակայինի: Այս մեթոդի կիրառման ժամանակ տարբերակում են գծային և ոչ գծային փոխարինման մեթոդները։

ա) Գծային փոխարինման մեթոդԴիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1.
. Թող t= 1 – 2x, ապա

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Հարկ է նշել, որ նոր փոփոխականը պետք չէ հստակորեն դուրս գրել: Նման դեպքերում խոսում են դիֆերենցիալ նշանի տակ ֆունկցիա փոխակերպելու կամ դիֆերենցիալ նշանի տակ հաստատուններ և փոփոխականներ ներմուծելու մասին, այսինքն. Օ անուղղակի փոփոխական փոխարինում.

Օրինակ 2.Օրինակ՝ եկեք գտնենքcos(3x + 2)dx: dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ապաcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x +) դիֆերենցիալի հատկություններով 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Երկու դիտարկված օրինակներում էլ ինտեգրալները գտնելու համար օգտագործվել է t=kx+b(k0) գծային փոխարինում:

Ընդհանուր դեպքում վավեր է հետևյալ թեորեմը.

Գծային փոխարինման թեորեմ. Թող F(x) լինի f(x) ֆունկցիայի որոշ հակաածանցյալ: Այնուհետևf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, որտեղ k և b որոշ հաստատուններ են,k0:

Ապացույց.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ինտեգրալի սահմանմամբ։ Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Ամբողջական նշանից հանենք k հաստատուն գործակիցը՝ kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C: Այժմ մենք կարող ենք հավասարության ձախ և աջ կողմերը բաժանել երկուսի և ստանալ այն պնդումը, որը պետք է ապացուցվի մինչև հաստատուն անդամի նշանակումը:

Այս թեորեմը նշում է, որ եթե f(x)dx= F(x) + C ինտեգրալի սահմանման մեջ x արգումենտի փոխարեն փոխարինենք (kx+b) արտահայտությունը, դա կհանգեցնի լրացուցիչի ի հայտ գալուն։ գործակից 1/k հակաածանցյալի դիմաց:

Օգտագործելով ապացուցված թեորեմը՝ լուծում ենք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 3.

Մենք կգտնենք . Այստեղ kx+b= 3 –x, այսինքն k= -1,b= 3. Հետո

Օրինակ 4.

Մենք կգտնենք այն: Herekx+b= 4x+ 3, այսինքն k= 4,b= 3. Հետո

Օրինակ 5.

Մենք կգտնենք . Այստեղ kx+b= -2x+ 7, այսինքն՝ k= -2,b= 7: Ապա

.

Օրինակ 6.Մենք կգտնենք
. Այստեղ kx+b= 2x+ 0, այսինքն՝ k= 2,b= 0։

.

Ստացված արդյունքը համեմատենք օրինակ 8-ի հետ, որը լուծվել է տարրալուծման մեթոդով։ Նույն խնդիրը լուծելով այլ մեթոդով, մենք ստացանք պատասխանը
. Եկեք համեմատենք արդյունքները. Այսպիսով, այս արտահայտությունները միմյանցից տարբերվում են հաստատուն տերմինով , այսինքն. Ստացված պատասխանները չեն հակասում միմյանց.

Օրինակ 7.Մենք կգտնենք
. Եկեք հայտարարի մեջ ընտրենք կատարյալ քառակուսի:

Որոշ դեպքերում փոփոխականի փոփոխությունը չի նվազեցնում ինտեգրալը ուղղակիորեն աղյուսակայինի, բայց կարող է պարզեցնել լուծումը՝ հնարավոր դարձնելով ընդլայնման մեթոդի օգտագործումը հաջորդ քայլում:

Օրինակ 8.Օրինակ, եկեք գտնենք . Փոխարինեք t=x+ 2, ապա dt=d(x+ 2) =dx: Հետո

,

որտեղ C = C 1 – 6 (առաջին երկու անդամի փոխարեն (x+ 2) արտահայտությունը փոխարինելիս ստանում ենք ½x 2 -2x– 6):

Օրինակ 9.Մենք կգտնենք
. Թող t= 2x+ 1, ապա dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2:

Փոխարինենք t արտահայտությունը (2x+ 1), բացենք փակագծերը և տանք նմանները։

Նկատենք, որ փոխակերպումների գործընթացում մենք անցանք մեկ այլ հաստատուն տերմինի, քանի որ հաստատուն տերմինների խումբը կարող է բաց թողնել վերափոխման գործընթացում:

բ) Ոչ գծային փոխարինման մեթոդԴիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1.
. Lett= -x 2. Այնուհետև կարելի է x-ն արտահայտել t-ով, այնուհետև գտնել dx-ի արտահայտություն և փոփոխականի փոփոխություն իրականացնել ցանկալի ինտեգրալում: Բայց այս դեպքում ավելի հեշտ է ամեն ինչ այլ կերպ անել: Եկեք գտնենքdt=d(-x 2) = -2xdx: Նկատի ունեցեք, որ xdx արտահայտությունը ցանկալի ինտեգրալի ինտեգրման գործոնն է: Եկեք այն արտահայտենք ստացված հավասարությունիցxdx= - ½dt: Հետո