Եռանկյունաչափության կրճատման բանաձեւերը հեշտ է հիշել: Կրճատման բանաձևեր, մնեմոնիկ կանոն, ապացույց, օրինակներ

Եվ ևս մեկ կետ. կրճատման բանաձևերը բավականին շատ են, և մենք անմիջապես կզգուշացնենք, որ չսովորեք դրանք անգիր: Դրա կարիքը բացարձակապես չկա. կա մեկը, որը թույլ է տալիս հեշտությամբ կիրառել կրճատման բանաձևեր:

Այսպիսով, եկեք գրենք բոլոր կրճատման բանաձևերը աղյուսակի տեսքով:

Այս բանաձևերը կարող են վերաշարադրվել՝ օգտագործելով աստիճաններ և ռադիաններ: Դա անելու համար պարզապես հիշեք աստիճանների և ռադիանների հարաբերությունները և ամենուր փոխարինեք π-ը 180 աստիճանով:

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման օրինակներ

Այս պարբերության նպատակն է ցույց տալ, թե ինչպես են նվազեցման բանաձևերը գործնականում օգտագործվում օրինակներ լուծելու համար:

Սկզբից արժե ասել, որ կա անսահման թիվեռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանի տակ անկյունը ներկայացնելու եղանակներ և . Դա պայմանավորված է նրանով, որ անկյունը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք: Սա ցույց տանք օրինակով։

Օրինակ, վերցնենք նշանի տակ գտնվող անկյունը եռանկյունաչափական ֆունկցիահավասար Այս անկյունը կարող է ներկայացվել որպես , կամ ինչպես , կամ ինչպես , կամ շատ այլ ձևերով։

Հիմա տեսնենք, թե կրճատման ինչ բանաձեւեր պետք է օգտագործենք՝ կախված անկյան ներկայացումից։ Վերցնենք.

Եթե ​​անկյունը ներկայացնենք որպես , ապա այս ներկայացումը համապատասխանում է ձևի կրճատման բանաձևին, որից մենք ստանում ենք . Այստեղ մենք կարող ենք նշել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը.

Ներկայացման համար մենք արդեն կօգտագործենք ձևի բանաձևը , որը մեզ տանում է հետևյալ արդյունքի.

Վերջապես, քանի որ համապատասխան կրճատման բանաձևն ունի ձևը .

Այս քննարկումն ավարտելու համար հարկ է հատկապես նշել, որ կան որոշակի հարմարություններ, երբ օգտագործվում են անկյունային ներկայացումներ, որոնցում անկյունը ունի 0-ից մինչև 90 աստիճան արժեք (0-ից մինչև pi՝ կես ռադիաններով):

Դիտարկենք կրճատման բանաձևերի օգտագործման մեկ այլ օրինակ:

Օրինակ.

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, ներկայացրեք սուր անկյան սինուսի և նաև կոսինուսի միջոցով:

Լուծում.

Կրճատման բանաձևերը կիրառելու համար մենք պետք է ներկայացնենք 197 աստիճանի անկյուն կամ ձևով , և ըստ խնդրի պայմանների՝ անկյունը պետք է լինի սուր։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. կամ . Այսպիսով, կամ .

Անդրադառնալով և-ի կրճատման համապատասխան բանաձևերին, մենք ստանում ենք և.

Պատասխան.

Եվ .

Մնեմոնիկ կանոն

Ինչպես վերը նշեցինք, անհրաժեշտ չէ անգիր անել կրճատման բանաձևերը։ Եթե ​​ուշադիր նայեք դրանց, կարող եք բացահայտել օրինաչափությունները, որոնցից կարող եք ստանալ կանոն, որը թույլ է տալիս ստանալ կրճատման բանաձևերից որևէ մեկը: Նրա անունն է մնեմոնիկ կանոն(մնեմոնիկան անգիր սովորելու արվեստ է):

Մնեմոնիկ կանոնը ներառում է երեք փուլ.

Անմիջապես արժե ասել, որ մնեմոնիկ կանոնը կիրառելու համար դուք պետք է շատ լավ ճանաչեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի նշաններն ըստ քառորդների, քանի որ դուք ստիպված կլինեք դա անել անընդհատ:

Դիտարկենք մնեմոնիկ կանոնի կիրառումը օրինակներով:

Օրինակ.

Օգտագործելով մնեմոնիկ կանոն, գրեք կրճատման բանաձևերը Եվ , անկյունը համարելով առաջին քառորդի անկյուն։

Լուծում.

Մենք չպետք է կատարենք կանոնի առաջին քայլը, քանի որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանների տակ գտնվող անկյուններն արդեն գրված են պահանջվող ձևով:

Որոշենք ֆունկցիաների նշանը Եվ . Պայմանով, որ - առաջին քառորդի անկյունը, անկյունը նաև առաջին քառորդի անկյունն է, իսկ անկյունը - երկրորդ քառորդի անկյուն. Առաջին քառորդում կոսինուսն ունի գումարած նշան, իսկ երկրորդ քառորդում շոշափողը՝ մինուս: Այս փուլում պահանջվող բանաձևերը կունենան ձև և . Այժմ, երբ մենք պարզել ենք նշանները, կարող ենք անցնել մնեմոնիկ կանոնի վերջին քայլին:

Քանի որ կոսինուսի ֆունկցիայի փաստարկն ունի ձև , ապա ֆունկցիայի անվանումը պետք է փոխվի կոֆունկցիայի, այսինքն՝ սինուսի։ Իսկ շոշափող փաստարկն ունի ձևը , հետևաբար, ֆունկցիայի անունը պետք է մնա նույնը:

Արդյունքում ունենք Եվ . Դուք կարող եք դիտել կրճատման բանաձևերի աղյուսակը՝ համոզվելու համար, որ ստացված արդյունքները ճիշտ են:

Պատասխան.

Եվ .

Նյութը համախմբելու համար մտածեք կոնկրետ անկյուններով օրինակ լուծելու համար:

Օրինակ.

Օգտագործելով մնեմոնիկ կանոն՝ կրճատեք սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների:

Լուծում.

Նախ, եկեք պատկերացնենք 777 աստիճանի անկյունը այն ձևով, որն անհրաժեշտ է մնեմոնիկ կանոնը կիրառելու համար։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով՝ կամ.

Սկզբնական անկյունը առաջին քառորդ անկյունն է, այս անկյան սինուսն ունի գումարած նշան:

Ներկայացման համար սինուսի անունը պետք է թողնել նույնը, բայց տեսակը ներկայացնելու համար սինուսը պետք է փոխվի կոսինուսի։

Արդյունքում ունենք և .

Պատասխան.

Եվ .

Այս կետը եզրափակելու համար դիտարկենք մի օրինակ, որը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանի տակ անկյունը ճիշտ ներկայացնելու կարևորությունը մնեմոնիկ կանոնը կիրառելու համար. անկյունը պետք է լինի սուր!!!

Հաշվենք անկյան շոշափողը։ Սկզբունքորեն, հոդվածի նյութին հղում անելով սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները, մենք կարող ենք անմիջապես պատասխանել խնդրի հարցին. .

Եթե ​​մենք ներկայացնում ենք անկյունը որպես կամ որպես , ապա կարող ենք օգտագործել մնեմոնիկ կանոնը. Եվ , որը մեզ տանում է նույն արդյունքի։

Բայց սա այն է, ինչ կարող է պատահել, եթե դուք վերցնում եք մի անկյան ներկայացում, օրինակ՝ ձևի: Այս դեպքում մնեմոնիկ կանոնը մեզ կտանի այս արդյունքի։ Այս արդյունքը սխալ է, և դա բացատրվում է նրանով, որ ներկայացման համար մենք իրավունք չունեինք կիրառելու մնեմոնիկ կանոնը, քանի որ անկյունը սուր չէ։

Կրճատման բանաձեւեր

Կրճատման բանաձևերը արտացոլում են պարբերականությունը, համաչափությունը և տեղաշարժման հատկությունները ըստ անկյունների և . Անմիջապես նշենք, որ կրճատման բոլոր բանաձևերը կարող են ապացուցվել արգումենտներում տերմինը բաց թողնելով, քանի որ դա նշանակում է անկյունը փոխել ամբողջ պտույտների ամբողջ թվով, և դա չի փոխում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները: Այս տերմինը ծառայում է որպես պարբերականության արտացոլում։

16 կրճատման բանաձևերի առաջին բլոկը ուղղակիորեն բխում է սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հատկություններից: Դրանց վրա նույնիսկ չարժե անդրադառնալ։

Եկեք անցնենք բանաձևերի հաջորդ բլոկին: Նախ ապացուցենք դրանցից առաջին երկուսը։ Մնացածը բխում է նրանցից։ Այսպիսով, եկեք ապացուցենք ձևի կրճատման բանաձևերը Եվ .

Դիտարկենք միավորի շրջանակը: Թող սկզբնական A կետը անկյան տակ պտտվելուց հետո անցնի A կետը 1 (x, y), իսկ անկյան տակ պտտվելուց հետո՝ A 2 կետը։ Գծենք A 1 H 1 և A 2 H 2 – ուղղահայացներ Ox ուղիղ գծին:

Հեշտ է տեսնել, որ OA 1 H 1 և OA 2 H 2 ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են հիպոթենուսում և երկու հարակից անկյուններում: Եռանկյունների հավասարությունից և միավոր շրջանագծի վրա A 1 և A 2 կետերի գտնվելու վայրից պարզ է դառնում, որ եթե A 1 կետն ունի x և y կոորդինատներ, ապա A 2 կետը ունի −y և x կոորդինատներ։ Այնուհետև սինուսի և կոսինուսի սահմանումները թույլ են տալիս գրել և , որից բխում է, որ Եվ . Սա ապացուցում է ցանկացած անկյան համար դիտարկվող նվազեցման բանաձևերը:

Հաշվի առնելով դա Եվ (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածի հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները), ինչպես նաև նոր ապացուցված բանաձևերը, մենք ստանում ենք և . Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք կրճատման հետևյալ երկու բանաձևերը.

Փաստարկով կրճատման բանաձևերը ապացուցելու համար բավական է այն ներկայացնել որպես , ապա օգտագործել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ապացուցված բանաձևերը և հատկությունները հակառակ փաստարկներով։ Օրինակ, .

Կրճատման մյուս բոլոր բանաձևերը նույն կերպ ապացուցված են կրկնակի կիրառմամբ արդեն իսկ ապացուցվածների հիման վրա: Օրինակ, այն հայտնվում է որպես , բայց ինչպես . Եվ և - ինչպես և համապատասխանաբար:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:Դասագիրք 9-րդ դասարանի համար. միջին դպրոց/Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. Ս.Ա.Տելյակովսկի.-Մ.: Կրթություն, 1990. - 272 էջ. հիվանդ. - ISBN 5-09-002727-7
• Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք. 10-11-րդ դասարանների համար. միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11-րդ դասարանների համար. հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. A. N. Kolmogorov. - 14-րդ հրատ. - M.: Կրթություն, 2004. - 384 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-013651-3:
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Սահմանում. Կրճատման բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք թույլ են տալիս ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից անցնել արգումենտի ֆունկցիաների: Նրանց օգնությամբ կամայական անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կարող են կրճատվել 0-ից մինչև 90 աստիճան (0-ից մինչև ռադիաններ) ինտերվալից մինչև անկյան սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս: Այսպիսով, կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս անցնել 90 աստիճանի անկյունների հետ աշխատելուն, ինչը, անկասկած, շատ հարմար է։

Կրճատման բանաձևեր.

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման երկու կանոն կա.

1. Եթե ​​անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π/2 ±a) կամ (3*π/2 ±a), ապա ֆունկցիայի անվանումը փոխվում էմեղքը cos, cos մեղքը, tg դեպի ctg, ctg to tg. Եթե ​​անկյունը կարելի է ներկայացնել (π ±a) կամ (2*π ±a) տեսքով, ապա Գործառույթի անունը մնում է անփոփոխ:

Նայեք ստորև նկարին, այն սխեմատիկորեն ցույց է տալիս, թե երբ փոխել նշանը և երբ ոչ

2. Նվազեցված ֆունկցիայի նշան մնում է նույնը. Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ գումարած նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև գումարած նշան։ Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ մինուս նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև մինուս նշան։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները՝ կախված քառորդից:

Օրինակ:

Հաշվիր

Եկեք օգտագործենք կրճատման բանաձևերը.

Sin (150˚) երկրորդ քառորդում է, նկարից տեսնում ենք, որ այս քառորդում մեղքի նշանը հավասար է «+»-ի: Սա նշանակում է, որ տվյալ ֆունկցիան կունենա նաև «+» նշան։ Մենք կիրառեցինք երկրորդ կանոնը.

Այժմ 150˚ = 90˚ +60˚: 90˚-ը π/2 է: Այսինքն՝ գործ ունենք π/2+60 դեպքի հետ, հետեւաբար, ըստ առաջին կանոնի, ֆունկցիան sin-ից փոխում ենք cos-ի։ Արդյունքում մենք ստանում ենք Sin(150˚) = cos(60˚) = ½:

Եվ մեկ այլ խնդիր նույն թեմայով Բ11՝ մաթեմատիկայի իրական միասնական պետական ​​քննությունից։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Այս կարճ վիդեո ձեռնարկում մենք կսովորենք, թե ինչպես դիմել նվազեցման բանաձևերմաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից B11 իրական խնդիրներ լուծելու համար. Ինչպես տեսնում եք, մենք ունենք երկու եռանկյունաչափական արտահայտություն, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է սինուսներ և կոսինուսներ, ինչպես նաև բավականին դաժան թվային փաստարկներ:

Մինչ այս խնդիրները լուծելը, եկեք հիշենք, թե ինչ են նվազեցման բանաձեւերը։ Այսպիսով, եթե մենք ունենք այնպիսի արտահայտություններ, ինչպիսիք են.

Այնուհետև հատուկ կանոններով կարող ենք ազատվել առաջին տերմինից (k · π/2 ձևից): Եկեք գծենք եռանկյունաչափական շրջան և դրա վրա նշենք հիմնական կետերը՝ 0, π/2; π; 3π/2 և 2π. Այնուհետև մենք նայում ենք առաջին անդամին եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի ներքո: Մենք ունենք:

1. Եթե ​​մեզ հետաքրքրող տերմինն ընկած է եռանկյունաչափական շրջանագծի ուղղահայաց առանցքի վրա (օրինակ՝ 3π/2; π/2 և այլն), ապա սկզբնական ֆունկցիան փոխարինվում է համատեղ ֆունկցիայով՝ սինուսը փոխարինվում է կոսինուսով, իսկ կոսինուսը, ընդհակառակը, սինուսով։
2. Եթե ​​մեր տերմինը գտնվում է հորիզոնական առանցքի վրա, ապա սկզբնական ֆունկցիան չի փոխվում։ Մենք պարզապես հանում ենք արտահայտության առաջին տերմինը և վերջ։

Այսպիսով, մենք ստանում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիա, որը չի պարունակում k · π/2 ձևի տերմիններ: Այնուամենայնիվ, կրճատման բանաձեւերի հետ կապված աշխատանքը չի ավարտվում: Փաստն այն է, որ մեր նոր ֆունկցիան, որը ստացվել է առաջին տերմինը «դուրս գցելուց» հետո, դիմացը կարող է ունենալ գումարած կամ մինուս նշան։ Ինչպե՞ս ճանաչել այս նշանը: Հիմա մենք կիմանանք:

Պատկերացնենք, որ փոխակերպումներից հետո եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ներսում α անկյունն ունի շատ փոքր աստիճանի չափ։ Բայց ի՞նչ է նշանակում «փոքր չափ»։ Ասենք α ∈ (0; 30°) - սա բավական է: Բերենք ֆունկցիայի օրինակ.

Այնուհետև, հետևելով α ∈ (0; 30°) մեր ենթադրություններին, մենք եզրակացնում ենք, որ 3π/2 − α անկյունը գտնվում է երրորդ կոորդինատային քառորդում, այսինքն. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2): Հիշենք սկզբնական ֆունկցիայի նշանը, այսինքն. y = sin x այս միջակայքում: Ակնհայտ է, որ երրորդ կոորդինատային քառորդում սինուսը բացասական է, քանի որ ըստ սահմանման սինուսը շարժվող շառավիղի վերջի օրդինատն է (կարճ ասած՝ սինուսը y կոորդինատն է)։ Դե, y-ի կոորդինատը ստորին կես հարթությունում միշտ բացասական արժեքներ է ընդունում: Սա նշանակում է, որ երրորդ եռամսյակում y-ն նույնպես բացասական է։

Այս մտորումների հիման վրա մենք կարող ենք գրել վերջնական արտահայտությունը.

Խնդիր B11 - Տարբերակ 1

Այս նույն տեխնիկան բավականին հարմար է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից B11 խնդիրը լուծելու համար: Միակ տարբերությունն այն է, որ շատ իրական B11 խնդիրներում ռադիանի չափման փոխարեն (այսինքն π, π/2, 2π և այլն թվեր) օգտագործվում է աստիճանի չափում (այսինքն՝ 90°, 180°, 270° և այլն): Դիտարկենք առաջին առաջադրանքը.

Նախ նայենք համարիչին։ cos 41° չէ աղյուսակի արժեքը, ուստի մենք ոչինչ չենք կարող անել դրա հետ: Առայժմ այդպես թողնենք։

Հիմա նայենք հայտարարին.

մեղք 131° = մեղք (90° + 41°) = cos 41°

Ակնհայտ է, որ սա կրճատման բանաձև է, ուստի սինուսը փոխարինվում է կոսինուսով: Բացի այդ, 41° անկյունը ընկած է հատվածի վրա (0°; 90°), այսինքն. առաջին կոորդինատային քառորդում - ճիշտ այնպես, ինչպես պահանջվում է կրճատման բանաձևերը կիրառելու համար: Բայց հետո 90° + 41° երկրորդ կոորդինատային քառորդն է: Բնօրինակ y = sin x ֆունկցիան այնտեղ դրական է, ուստի վերջին քայլում կոսինուսի դիմաց գումարած նշան ենք դնում (այլ կերպ ասած՝ ոչինչ չենք դրել):

Մնում է զբաղվել վերջին տարրով.

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Այստեղ մենք տեսնում ենք, որ 180 ° է հորիզոնական առանցք. Հետևաբար, ֆունկցիան ինքնին չի փոխվի. կար կոսինուս, և կոսինուսը նույնպես կմնա։ Բայց նորից հարց է առաջանում՝ ստացված cos 60° արտահայտությունից առաջ կհայտնվի՞ գումարածը, թե՞ մինուսը։ Նշենք, որ 180°-ը երրորդ կոորդինատային քառորդն է: Այնտեղ կոսինուսը բացասական է, հետևաբար, կոսինուսը ի վերջո կունենա մինուս նշան իր դիմաց: Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք −cos 60° = −0.5 շինարարությունը, սա աղյուսակային արժեք է, ուստի ամեն ինչ հեշտ է հաշվարկել:

Այժմ ստացված թվերը փոխարինում ենք սկզբնական բանաձևով և ստանում.

Ինչպես տեսնում եք, կոտորակի համարիչում և հայտարարում cos 41° թիվը հեշտությամբ կրճատվում է, և մնում է սովորական արտահայտությունը, որը հավասար է −10-ի։ Այս դեպքում մինուսը կամ կարելի է հանել և դնել կոտորակի նշանի դիմաց, կամ «պահել» երկրորդ գործոնի կողքին մինչև հաշվարկների ամենավերջին քայլը։ Ամեն դեպքում պատասխանը կլինի −10։ Վերջ, B11 խնդիրը լուծված է։

Խնդիր B14 - տարբերակ 2

Անցնենք երկրորդ առաջադրանքին. Մեր առջև կրկին կոտորակ կա.

Դե, 27°-ը գտնվում է առաջին կոորդինատային եռամսյակում, ուստի մենք այստեղ ոչինչ չենք փոխի: Բայց մեղքը 117° պետք է գրել (առանց որևէ քառակուսու առայժմ).

մեղք 117° = մեղք (90° + 27°) = cos 27°

Ակնհայտ է, որ կրկին մեր առջև նվազեցման բանաձև 90°-ը ուղղահայաց առանցքն է, հետևաբար սինուսը կվերածվի կոսինուսի: Բացի այդ, α = 117° = 90° + 27° անկյունը գտնվում է երկրորդ կոորդինատային քառորդում: y = sin x սկզբնական ֆունկցիան այնտեղ դրական է, հետևաբար, բոլոր փոխակերպումներից հետո կոսինուսի դիմաց դեռ կա գումարած նշան։ Այսինքն՝ այնտեղ ոչինչ ավելացված չէ՝ թողնում ենք այսպես՝ cos 27°։

Մենք վերադառնում ենք սկզբնական արտահայտությանը, որը պետք է հաշվարկվի.

Ինչպես տեսնում ենք, փոխակերպումներից հետո հայտարարի մեջ առաջացել է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը՝ sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Ընդհանուր −4: 1 = −4 - ուստի գտանք երկրորդ B11 խնդրի պատասխանը:

Ինչպես տեսնում եք, կրճատման բանաձևերի օգնությամբ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից նման խնդիրները լուծվում են բառացիորեն մի քանի տողում: Տարբերության գումարի և կոսինուսի սինուս չկա: Այն ամենը, ինչ մենք պետք է հիշենք, միայն եռանկյունաչափական շրջանն է:

Այս հոդվածը նվիրված է մանրամասն ուսումնասիրությանը եռանկյունաչափական բանաձևերուրվականներ Դան ամբողջական ցանկըՑուցադրվում են կրճատման բանաձևեր, դրանց կիրառման օրինակներ և տրվում են բանաձևերի ճիշտության ապացույց: Հոդվածը նաև տրամադրում է մնեմոնիկ կանոն, որը թույլ է տալիս ստանալ կրճատման բանաձևեր՝ առանց յուրաքանչյուր բանաձևի անգիր:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Կրճատման բանաձևեր. Ցուցակ

Կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս նվազեցնել կամայական մեծության անկյունների հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները մինչև 0-ից մինչև 90 աստիճան (0-ից π2 ռադիան) տիրույթում գտնվող անկյունների ֆունկցիաներ: 0-ից 90 աստիճան անկյուններով աշխատելը շատ ավելի հարմար է, քան կամայական մեծ արժեքների հետ աշխատելը, այդ իսկ պատճառով կրճատման բանաձևերը լայնորեն կիրառվում են եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելիս։

Նախքան բանաձևերը գրելը, եկեք պարզաբանենք հասկանալու համար մի քանի կարևոր կետ:

• Կրճատման բանաձևերում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փաստարկներն են ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z ձևի անկյունները: Այստեղ z-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է, իսկ α-ն կամայական պտտման անկյուն է:
• Պետք չէ սովորել կրճատման բոլոր բանաձեւերը, որոնց թիվը բավականին տպավորիչ է։ Կա մնեմոնիկ կանոն, որը հեշտացնում է ցանկալի բանաձևը: Մնեմոնիկ կանոնի մասին կխոսենք ավելի ուշ։

Այժմ եկեք անմիջապես անցնենք կրճատման բանաձեւերին:

Կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս կամայական և կամայականորեն մեծ անկյուններով աշխատելուց անցնել 0-ից մինչև 90 աստիճան անկյունների հետ աշխատելու: Գրենք բոլոր բանաձևերը աղյուսակի տեսքով։

Կրճատման բանաձևեր

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - մեղք α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α. + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

IN այս դեպքումբանաձևերը գրված են ռադիաններով: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք դրանք գրել նաև աստիճանների միջոցով: Բավական է միայն ռադիանները վերածել աստիճանների՝ π-ն փոխարինելով 180 աստիճանով։

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման օրինակներ

Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես օգտագործել կրճատման բանաձևերը և ինչպես են այդ բանաձևերը օգտագործվում գործնական օրինակներ լուծելու համար:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ գտնվող անկյունը կարող է ներկայացվել ոչ թե մեկ, այլ բազմաթիվ ձևերով։ Օրինակ, եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտը կարող է ներկայացվել ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z տեսքով: Եկեք ցույց տանք սա.

Վերցնենք α = 16 π 3 անկյունը: Այս անկյունը կարելի է գրել այսպես.

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Կախված անկյան ներկայացումից, օգտագործվում է համապատասխան կրճատման բանաձևը.

Վերցնենք նույն անկյունը α = 16 π 3 և հաշվենք նրա շոշափողը

Օրինակ 1. Օգտագործելով նվազեցման բանաձևերը

α = 16 π 3, t g α =?

Ներկայացնենք α = 16 π 3 անկյունը որպես α = π + π 3 + 2 π 2

Անկյունի այս ներկայացումը կհամապատասխանի կրճատման բանաձևին

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Օգտագործելով աղյուսակը, մենք նշում ենք շոշափողի արժեքը

Այժմ մենք օգտագործում ենք α = 16 π 3 անկյան մեկ այլ ներկայացում:

Օրինակ 2. Կրճատման բանաձևերի օգտագործում

α = 16 π 3, t g α =? α = - 2 π 3 + 2 π 3 տ գ 16 π 3 = տ գ - 2 π 3 + 2 π 3 = - տ գ 2 π 3 = - (- 3) = 3

Վերջապես, անկյան երրորդ ներկայացման համար մենք գրում ենք

Օրինակ 3. Օգտագործելով նվազեցման բանաձևերը

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Այժմ բերենք ավելի բարդ կրճատման բանաձևերի օգտագործման օրինակ

Օրինակ 4. Կրճատման բանաձևերի օգտագործում

Եկեք պատկերացնենք մեղքը 197° սուր անկյան սինուսի և կոսինուսի միջոցով:

Որպեսզի կարողանաք կիրառել կրճատման բանաձևեր, անհրաժեշտ է ձևերից մեկում ներկայացնել α = 197 ° անկյունը:

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z: Ըստ խնդրի պայմանների՝ անկյունը պետք է լինի սուր։ Ըստ այդմ, մենք ունենք այն ներկայացնելու երկու եղանակ.

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Մենք ստանում ենք

մեղք 197° = մեղք (180° + 17°) մեղք 197° = մեղք (270° - 73°)

Հիմա եկեք նայենք սինուսների կրճատման բանաձևերին և ընտրենք համապատասխանները

մեղք (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = մեղք (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - մեղք 17 ° մեղք 197 ° = մեղք (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Մնեմոնիկ կանոն

Կրճատման շատ բանաձևեր կան, և, բարեբախտաբար, դրանք անգիր անելու կարիք չկա։ Կան օրինաչափություններ, որոնցով կարող են ստացվել կրճատման բանաձևեր տարբեր անկյունների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։ Այս օրինաչափությունները կոչվում են մնեմոնիկ կանոններ: Մնեմոնիկան անգիր սովորելու արվեստ է: Մնեմոնիկ կանոնը բաղկացած է երեք մասից կամ պարունակում է երեք փուլ։

Մնեմոնիկ կանոն

1. Բնօրինակ ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացված է հետևյալ ձևերից մեկով.

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

α անկյունը պետք է լինի 0-ից 90 աստիճանի միջակայքում:

2. Որոշվում է սկզբնական եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը. Բանաձևի աջ կողմում գրված ֆունկցիան կունենա նույն նշանը։

3. ± α + 2 πz և π ± α + 2 πz անկյունների համար սկզբնական ֆունկցիայի անվանումը մնում է անփոփոխ, իսկ π 2 ± α + 2 πz և 3 π 2 ± α + 2 πz, համապատասխանաբար, այն փոխվում է. «համագործակցություն». Սինուս - կոսինուս: Շոշափող – կոտանգենս։

Կրճատման բանաձևերի մնեմոնիկ ուղեցույցը օգտագործելու համար դուք պետք է կարողանաք որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները՝ հիմնվելով միավորի շրջանագծի քառորդների վրա: Դիտարկենք մնեմոնիկ կանոնի օգտագործման օրինակներ:

Օրինակ 1. Օգտագործելով մնեմոնիկ կանոն

Գրենք cos π 2 - α + 2 πz և t g π - α + 2 πz կրճատման բանաձևերը: α-ն առաջին եռամսյակի գրանցամատյանն է:

1. Քանի որ α պայմանով առաջին եռամսյակի տեղեկամատյանն է, մենք բաց ենք թողնում կանոնի առաջին կետը։

2. Սահմանել նշանները cos գործառույթներըπ 2 - α + 2 πz և t g π - α + 2 πz: π 2 - α + 2 πz անկյունը նույնպես առաջին քառորդի անկյունն է, իսկ π - α + 2 πz անկյունը երկրորդ քառորդում է։ Առաջին քառորդում կոսինուսի ֆունկցիան դրական է, իսկ երկրորդ քառորդում շոշափողն ունի մինուս նշան։ Եկեք գրենք, թե ինչպիսին կլինեն պահանջվող բանաձևերը այս փուլում:

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Ըստ երրորդ կետի՝ π 2 - α + 2 π անկյան համար ֆունկցիայի անվանումը փոխվում է Կոնֆուցիուսի, իսկ π անկյան համար - α + 2 πz մնում է նույնը։ Եկեք գրենք.

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Հիմա եկեք նայենք վերը տրված բանաձևերին և համոզվեք, որ մնեմոնիկ կանոնն աշխատում է:

Դիտարկենք α = 777° կոնկրետ անկյուն ունեցող օրինակ: Եկեք նվազեցնենք սինուս ալֆան մինչև սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան:

Օրինակ 2. Օգտագործելով մնեմոնիկ կանոն

1. Պատկերացրեք α = 777 ° անկյունը պահանջվող ձևով

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Սկզբնական անկյունը առաջին քառորդի անկյունն է: Սա նշանակում է, որ անկյան սինուսն ունի դրական նշան. Արդյունքում մենք ունենք.

3. մեղք 777° = մեղք (57° + 360° 2) = մեղք 57° մեղք 777° = մեղք (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Այժմ նայենք մի օրինակի, որը ցույց է տալիս, թե որքան կարևոր է ճիշտ որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը և ճիշտ ներկայացնել անկյունը մնեմոնիկ կանոնն օգտագործելիս։ Կրկին կրկնենք.

Կարևոր.

α անկյունը պետք է լինի սուր:

Հաշվենք 5 π 3 անկյան շոշափողը։ Հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակից կարող եք անմիջապես վերցնել tg արժեքը 5 π 3 = - 3, բայց մենք կկիրառենք մնեմոնիկ կանոնը:

Օրինակ 3. Օգտագործելով մնեմոնիկ կանոն

Պատկերացնենք α = 5 π 3 անկյունը պահանջվող ձևով և օգտագործենք կանոնը

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Եթե ​​ալֆա անկյունը ներկայացնենք 5 π 3 = π + 2 π 3 տեսքով, ապա մնեմոնիկ կանոնի կիրառման արդյունքը սխալ կլինի։

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Սխալ արդյունքը պայմանավորված է նրանով, որ 2 π 3 անկյունը սուր չէ։

Կրճատման բանաձևերի ապացույցը հիմնված է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականության և համաչափության հատկությունների վրա, ինչպես նաև π 2 և 3 π 2 անկյուններով տեղաշարժվելու հատկության վրա։ Բոլոր նվազեցման բանաձևերի վավերականության ապացույցը կարող է իրականացվել առանց հաշվի առնելու 2 πz տերմինը, քանի որ այն նշանակում է անկյան փոփոխություն ամբողջ թվով ամբողջական պտույտներով և ճշգրիտ արտացոլում է պարբերականության հատկությունը:

Առաջին 16 բանաձևերը ուղղակիորեն բխում են հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններից՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս:

Ահա սինուսների և կոսինուսների կրճատման բանաձևերի ապացույցը

sin π 2 + α = cos α և cos π 2 + α = - sin α

Դիտարկենք միավոր շրջանագիծը, որի մեկնարկային կետը α անկյան միջով պտտվելուց հետո գնում է դեպի A 1 x, y կետը, իսկ π 2 + α անկյան տակ պտտվելուց հետո՝ դեպի A 2 կետ։ Երկու կետերից էլ աբսցիսայի առանցքին ուղղահայացներ ենք գծում։

Երկու ուղղանկյուն եռանկյուն O A 1 H 1 և O A 2 H 2 հավասար են հիպոթենուզայի և հարակից անկյուններում: Շրջանի վրա կետերի տեղակայությունից և եռանկյունների հավասարությունից կարող ենք եզրակացնել, որ A 2 կետն ունի A 2 - y, x կոորդինատներ: Օգտագործելով սինուսի և կոսինուսի սահմանումները՝ մենք գրում ենք.

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Հաշվի առնելով եռանկյունաչափության հիմնական նույնականությունները և նոր ապացուցվածը, կարող ենք գրել

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - մեղք α cos α = - t g α

Պ 2 - α արգումենտով կրճատման բանաձևերն ապացուցելու համար այն պետք է ներկայացվի π 2 + (- α) ձևով։ Օրինակ:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - մեղք (- α) = մեղք α

Ապացույցն օգտագործում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները հակառակ նշանների փաստարկներով։

Կրճատման մյուս բոլոր բանաձևերը կարող են ապացուցվել վերևում գրվածների հիման վրա:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Դաս և ներկայացում «Կրճատման բանաձևերի կիրառումը խնդիրների լուծման մեջ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար
1C: Դպրոց. 7-10-րդ դասարանների ինտերակտիվ շինարարական առաջադրանքներ
1C: Դպրոց. Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. 10-11-րդ դասարանների համար ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու վերաբերյալ

Այն, ինչ մենք կուսումնասիրենք.
1. Մի փոքր կրկնենք.
2. Կրճատման բանաձեւերի կանոններ.
3. Կրճատման բանաձեւերի փոխակերպման աղյուսակ:
4. Օրինակներ.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերանայում

Տղաներ, դուք արդեն հանդիպել եք ուրվականների բանաձևերի, բայց դեռ չեք անվանել դրանք: Ի՞նչ եք կարծում: որտե՞ղ:

Նայեք մեր նկարներին: Ճիշտ է, երբ ներկայացվեցին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները։

Կրճատման բանաձևերի կանոն

Ներկայացնենք հիմնական կանոնը. Եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ կա π×n/2 + t ձևի մի շարք, որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, ապա մեր եռանկյունաչափական ֆունկցիան կարող է կրճատվել մինչև ավելի. պարզ տեսարան, որը կպարունակի միայն t արգումենտը։ Նման բանաձեւերը կոչվում են ուրվական բանաձեւեր։

Հիշենք մի քանի բանաձև.

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tan (t + π * k) = tan (x)
• ctg (t + π * k) = ctg (x)

ուրվականների շատ բանաձևեր կան, եկեք մի կանոն կազմենք, որով մենք կորոշենք մեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործելիս. ուրվականների բանաձևեր:

• Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը պարունակում է ձևի թվեր՝ π + t, π - t, 2π + t և 2π - t, ապա ֆունկցիան չի փոխվի, այսինքն, օրինակ, սինուսը կմնա սինուս, կոտանգենսը կմնա կոտանգենս.
• Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը պարունակում է ձևի թվեր՝ π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t և 3π/2 - t, ապա ֆունկցիան կփոխվի հարակից, այսինքն՝ սինուսը կդառնա կոսինուս, կոտանգենսը՝ շոշափող։
• Ստացված ֆունկցիայից առաջ պետք է դնել այն նշանը, որ փոխակերպված ֆունկցիան կունենա 0 պայմանով

Այս կանոնները կիրառվում են նաև, երբ ֆունկցիայի փաստարկը տրված է աստիճաններով:

Մենք կարող ենք նաև ստեղծել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպումների աղյուսակ.

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման օրինակներ

1. Փոխակերպել cos(π + t). Գործառույթի անունը մնում է, այսինքն. մենք ստանում ենք cos(t). Եկեք հետագայում ենթադրենք, որ π/2

2. Փոխակերպել sin(π/2 + t). Ֆունկցիայի անվանումը փոխվում է, այսինքն. մենք ստանում ենք cos(t). Հաջորդը, ենթադրենք, որ 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Փոխակերպել tg(π + t). Գործառույթի անունը մնում է, այսինքն. մենք ստանում ենք tan(t). Հետագայում ենթադրենք, որ 0

4. Փոխակերպել ctg(270 0 + t): Ֆունկցիայի անվանումը փոխվում է, այսինքն՝ ստանում ենք tg(t): Հետագայում ենթադրենք, որ 0

Անկախ լուծման համար կրճատման բանաձևերի հետ կապված խնդիրներ

Տղերք, փոխակերպեք այն ինքներդ՝ օգտագործելով մեր կանոնները.

1) tg (π + t),
2) tg (2π - t),
3) մահճակալ (π - t),
4) tg (π/2 - տ),
5) կաթնաշոռ (3π + տ),
6) մեղք (2π + t),
7) մեղք (π/2 + 5տ),
8) մեղք (π/2 - տ),
9) մեղք (2π - տ),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8տ),
12) cos(3π/2 - տ),
13) cos(π - t).