Հանրահաշվական նշում համալիր համարը................................................................ | |||
Կոմպլեքս թվերի հարթությունը ............................................ ...................................................................... ............................ | |||
Կոմպլեքս զուգակցված թվեր ...................................... ...................................................................... .............................. | |||
Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ հանրահաշվական ձևով .......................................... ......... .... | |||
Կոմպլեքս թվերի գումարում ..................................................... .......................................................... ................. | |||
Կոմպլեքս թվերի հանում ..................................................... ...................................................................... ...................... | |||
Կոմպլեքս թվերի բազմապատկում ..................................................... ...................................................................... ................... | |||
Կոմպլեքս թվերի բաժանում ...................................... .......................................................... ...................... | |||
Կոմպլեքս թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձև ...................................... ...................... | |||
Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ եռանկյունաչափական ձևով .......................................... ......... | |||
Կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը եռանկյունաչափական ձևով ...................................... ......... | |||
Կոմպլեքս թվերի բաժանումը եռանկյունաչափական ձևով ...................................... ........ ... | |||
Կոմպլեքս թիվը հասցնելով դրական ամբողջ թվի .............................................. ........... | |||
Կոմպլեքս թվից դուրս բերելով դրական ամբողջ աստիճանի արմատը................................ | |||
Կոմպլեքս թվի հասցնում ռացիոնալ ուժի .......................................... ...................... | |||
Համալիր շարք ...................................................... ................................................... ................................... | |||
Կոմպլեքս թվերի շարք ..................................................... ...................................................................... .............................. | |||
Հզորության շարքը բարդ հարթությունում ............................................ ............................................ | |||
Երկկողմանի հզորության շարքբարդ հարթության մեջ ...................................................... ..... | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաները ...................................... .......................................................... | |||
Հիմնական տարրական գործառույթները ..................................................... .......................................................... . | |||
Էյլերի բանաձևերը ...................................................... ................................................... ................................... | |||
Կոմպլեքս թվի ներկայացման էքսպոնենցիալ ձև ...................................... ...................... | |||
Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ ֆունկցիաների փոխհարաբերությունները ...................................... | |||
Լոգարիթմական ֆունկցիա ..................................................... ................................................... ......... | |||
Ընդհանուր էքսպոնենցիալ և ընդհանուր հզորության ֆունկցիաներ ...................................... ................................. | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տարբերակումը ...................................... ......... | |||
Քոշի-Ռիմանի պայմանները................................................ ................................................... ........... ............... | |||
Ածանցյալը հաշվարկելու բանաձևեր ...................................... ................................................... | |||
Տարբերակման գործողության հատկությունները .............................................. ...................................................................... ... | |||
Վերլուծական ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերի հատկությունները. | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի վերակառուցում իրականից կամ երևակայականից |
|||
Մեթոդ թիվ 1. Օգտագործելով կորի ինտեգրալ .............................................. ......... | |||
Մեթոդ թիվ 2. Կոշի-Ռիմանի պայմանների ուղղակի կիրառում................................ | |||
Մեթոդ թիվ 3. Փնտրվող ֆունկցիայի ածանցյալի միջոցով ...................................... ........ ......... | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների ինտեգրում ...................................... ...................... | |||
Կոշիի ինտեգրալ բանաձև ...................................................... ................................................... ............. | |||
Ֆունկցիաների ընդլայնում Թեյլոր և Լորան շարքերում .......................................... .......................................... | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի զրոները և եզակի կետերը................................ ...................... | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի զրոներ ...................................... .......................................... | |||
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետեր................................... | |||
14.3 Անսահմանության կետը՝ որպես բարդ փոփոխականի ֆունկցիայի եզակի կետ
Նվազեցումներ ..................................................... .......................................................... ...................................................... ... | |||
Եզրափակումը վերջնական կետում ............................................ .......................................................... ............. | |||
Ֆունկցիայի մնացորդը անվերջության կետում ...................................... ........... ............... | |||
Ինտեգրալների հաշվարկը մնացորդների միջոցով .............................................. ................................................... | |||
Ինքնաթեստի հարցեր ..................................................... ...................................................................... ...................................... | |||
Գրականություն ..................................................... ...................................................... ...................................... | |||
Առարկայի ինդեքս ................................................ ...................................................... ...................... | |||
Նախաբան
Քննության կամ մոդուլի սերտիֆիկացման տեսական և գործնական մասերին նախապատրաստվելիս ժամանակի և ջանքերի ճիշտ բաշխումը բավականին դժվար է, հատկապես, որ նիստի ընթացքում միշտ բավարար ժամանակ չի լինում: Եվ ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, ոչ բոլորն են կարող հաղթահարել դա: Արդյունքում՝ քննության ժամանակ որոշ ուսանողներ խնդիրներ են լուծում, սակայն դժվարանում են պատասխանել ամենապարզին տեսական հարցեր, մինչդեռ մյուսները կարող են ձևակերպել թեորեմը, բայց չեն կարող կիրառել այն։
«Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն» (TFCP) դասընթացի քննությանը նախապատրաստվելու այս ուղեցույցը փորձ է լուծելու այս հակասությունը և ապահովելու դասընթացի տեսական և գործնական նյութի միաժամանակյա կրկնությունը: Առաջնորդվելով «Տեսությունն առանց պրակտիկայի մեռած է, պրակտիկան առանց տեսության՝ կույր» սկզբունքով, դրանք պարունակում են դասընթացի և՛ տեսական դրույթներ՝ սահմանումների և ձևակերպումների մակարդակով, ինչպես նաև օրինակներ, որոնք ցույց են տալիս յուրաքանչյուր տեսական դիրքի կիրառումը և դրանով իսկ հեշտացնելով. դրա մտապահումն ու ըմբռնումը։
Առաջարկվողի նպատակը մեթոդական առաջարկություններ– օգնել ուսանողին նախապատրաստվել քննությանը հիմնական մակարդակով: Այլ կերպ ասած, կազմվել է ընդլայնված աշխատանքային տեղեկագիր, որը պարունակում է հիմնական կետերը, որոնք օգտագործվում են TFKP դասընթացի դասերին և անհրաժեշտ են կատարելիս: Տնային աշխատանքև վերահսկողական միջոցառումների նախապատրաստում: Բացի այդ ինքնուրույն աշխատանքուսանողներ, այս էլեկտրոնային ուսումնական հրապարակումը կարող է օգտագործվել դասեր անցկացնելիս ինտերակտիվ ձևօգտագործելով էլեկտրոնային տախտակ կամ հեռավար ուսուցման համակարգում տեղակայվելու համար:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս աշխատանքը չի փոխարինում ոչ դասագրքերին, ոչ դասախոսական գրառումներին: Նյութի խորը ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում դիմել ՀՊՏՀ-ի կողմից հրապարակված համապատասխան բաժիններին: Ն.Է. Բաումանի հիմնական դասագիրք.
Ձեռնարկի վերջում կա առաջարկվող գրականության ցանկ և առարկայական ինդեքս, որը ներառում է տեքստում ընդգծված ամեն ինչ: թավ շեղպայմանները. Ցուցանիշը բաղկացած է այն հատվածների հիպերհղումներից, որոնցում այս տերմինները խստորեն սահմանված կամ նկարագրված են, և որտեղ բերված են օրինակներ՝ դրանց օգտագործումը լուսաբանելու համար:
Ձեռնարկը նախատեսված է ՀՊՏՀ բոլոր ֆակուլտետների 2-րդ կուրսի ուսանողների համար։ Ն.Է. Բաուման.
1. Բարդ թվեր գրելու հանրահաշվական ձև
z = x + iy ձևի նշում, որտեղ x,y-ն իրական թվեր են, i-ը երևակայական միավոր է (այսինքն i 2 = − 1)
կոչվում է z բարդ թվի գրման հանրահաշվական ձև: Այս դեպքում x-ը կոչվում է կոմպլեքս թվի իրական մասը և նշանակվում է Re z-ով (x = Re z), y-ն կոչվում է կոմպլեքս թվի երևակայական մասը և նշանակվում է Im z-ով (y = Im z):
Օրինակ. Կոմպլեքս թիվը z = 4− 3i ունի իրական մաս Rez = 4 և երևակայական մաս Imz = − 3:
2. Համալիր թվերի հարթություն
IN դիտարկվում են բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություններըհամալիր թվերի հարթություն, որը նշվում է կամ բարդ թվեր նշանակող տառերով կամ օգտագործելով z, w և այլն:
Բարդ հարթության հորիզոնական առանցքը կոչվում է իրական առանցք, դրա վրա դրված են իրական թվեր z = x + 0i = x։
Բարդ հարթության ուղղահայաց առանցքը կոչվում է երևակայական առանցք;
3. Կոմպլեքս զուգակցված թվեր
Կոչվում են z = x + iy և z = x − iy թվերը բարդ կոնյուգատ. Բարդ հարթության վրա դրանք համապատասխանում են իրական առանցքի նկատմամբ սիմետրիկ կետերի։
4. Գործողություններ բարդ թվերի հետ հանրահաշվական ձևով
4.1 Կոմպլեքս թվերի գումարում
Երկու կոմպլեքս թվերի գումարը | z 1= x 1+ iy 1 | իսկ z 2 = x 2 + iy 2 կոչվում է կոմպլեքս թիվ |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | շահագործման | հավելում |
||||||||||
կոմպլեքս թվերը նման են հանրահաշվական երկանդամների գումարման գործողությանը։ | |||||||||||||
Օրինակ. Երկու կոմպլեքս թվերի գումարը z 1 = 3+ 7i և z 2 | = −1 +2 i | կլինի բարդ թիվ |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i) =(3 −1) +(7 +2) i =2 +9 i. | |||||||||||||
Ակնհայտորեն, | ընդհանուր գումարը | զուգորդել | է | իրական | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Կոմպլեքս թվերի հանում | |||||||||||||
Երկու կոմպլեքս թվերի տարբերությունը z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | կանչեց | համապարփակ |
||||||||||
թիվ z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Օրինակ. Երկու կոմպլեքս թվերի տարբերությունը | z 1 =3 −4 i | և z 2 | = −1 +2 i | կլինի համապարփակ |
|||||||||
թիվ z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Տարբերությամբ | բարդ կոնյուգատ | է | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Կոմպլեքս թվերի բազմապատկում | |||||||||||||
Երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալ | z 1= x 1+ iy 1 | և z 2= x 2+ iy 2 | կոչվում է բարդ |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Այսպիսով, կոմպլեքս թվերի բազմապատկման գործողությունը նման է հանրահաշվական երկանդամների բազմապատկման գործողությանը, հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ i 2 = − 1։
Էջ 2 3-ից
Բարդ թվի հանրահաշվական ձև.
Բարդ թվերի գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում:
Մենք արդեն ծանոթացել ենք կոմպլեքս թվի հանրահաշվական ձևին՝ սա բարդ թվի հանրահաշվական ձևն է։ Ինչու ենք մենք խոսում ձևի մասին: Բանն այն է, որ կան նաև բարդ թվերի եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևեր, որոնց մասին կխոսենք հաջորդ պարբերությունում։
Կոմպլեքս թվերով գործողությունները առանձնապես բարդ չեն և շատ չեն տարբերվում սովորական հանրահաշիվից։
Կոմպլեքս թվերի գումարում
Օրինակ 1
Ավելացնել երկու բարդ թվեր,
Երկու բարդ թվեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց իրական և երևակայական մասերը.
Պարզ, այնպես չէ՞: Ակցիան այնքան ակնհայտ է, որ լրացուցիչ մեկնաբանություններ չի պահանջում։
Այս պարզ եղանակով դուք կարող եք գտնել ցանկացած թվով տերմինների գումարը՝ գումարել իրական մասերը և գումարել երևակայական մասերը:
Կոմպլեքս թվերի համար գործում է առաջին կարգի կանոնը. 
- Պայմանների վերադասավորումը չի փոխում գումարը:
Համալիր թվերի հանում
Օրինակ 2
Գտեք տարբերությունները բարդ թվերի և, եթե.
Գործողությունը նման է գումարման, միակ առանձնահատկությունն այն է, որ ենթակետը պետք է փակագծերի մեջ դնել, այնուհետև փակագծերը բացել ստանդարտ ձևով՝ նշանի փոփոխությամբ.
Արդյունքը չպետք է շփոթեցնի, ստացված թիվը ունի երկու, ոչ թե երեք մաս: Պարզապես իրական մասը բաղադրյալն է. Պարզության համար պատասխանը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.
Հաշվարկենք երկրորդ տարբերությունը.
Այստեղ իրական մասը նույնպես բաղադրյալ է.
Որևէ թերագնահատումից խուսափելու համար կտամ կարճ օրինակ«վատ» երևակայական մասով. Այստեղ դուք այլեւս չեք կարող անել առանց փակագծերի:
Բարդ թվերի բազմապատկում
Եկել է ժամանակը ձեզ ծանոթացնելու հայտնի հավասարությանը.
Օրինակ 3
Գտեք բարդ թվերի արտադրյալը,
Ակնհայտ է, որ աշխատանքը պետք է գրվի այսպես.
Ի՞նչ է սա հուշում: Խնդրում է բացել փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։ Դա այն է, ինչ դուք պետք է անեք: Բոլոր հանրահաշվական գործողությունները ձեզ ծանոթ են, գլխավորը դա հիշելն է և զգույշ եղիր.
Եկեք կրկնենք, omg, դպրոցական կանոնը բազմանդամների բազմապատկման համար. Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել մեկ այլ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով:
Մանրամասն կգրեմ.
Հուսով եմ, որ դա բոլորի համար պարզ էր
Ուշադրություն և կրկին ուշադրություն, ամենից հաճախ սխալներ են թույլ տրվում նշաններում:
Ինչպես գումարը, այնպես էլ կոմպլեքս թվերի արտադրյալը փոփոխական է, այսինքն՝ հավասարությունը ճշմարիտ է.
IN ուսումնական գրականությունիսկ ինտերնետում հեշտ է գտնել կոմպլեքս թվերի արտադրյալը հաշվելու հատուկ բանաձեւ։ Եթե ուզում ես, օգտագործիր, բայց ինձ թվում է, որ բազմանդամների բազմապատկմամբ մոտեցումն ավելի համընդհանուր և պարզ է։ Բանաձևը չեմ տա, կարծում եմ, որ այս դեպքում-Սա գլուխդ թեփ է լցնում։
Կոմպլեքս թվերի բաժանում
Օրինակ 4
Տրված կոմպլեքս թվեր, . Գտեք գործակիցը.
Կազմենք քանորդ.
Թվերի բաժանումն իրականացվում է հայտարարը և համարիչը բազմապատկելով հայտարարի խոնարհված արտահայտությամբ.
Հիշենք մորուքավոր բանաձևը և նայենք մեր հայտարարին՝ . Հայտարարն արդեն ունի, ուստի այս դեպքում խոնարհված արտահայտությունն է, այսինքն
Ըստ կանոնի՝ հայտարարը պետք է բազմապատկվի , իսկ, որպեսզի ոչինչ չփոխվի, համարիչը պետք է բազմապատկվի նույն թվով.
Մանրամասն կգրեմ.
Ես ընտրեցի «լավ» օրինակ. եթե երկու թիվ վերցնես «զրոյից», ապա բաժանման արդյունքում գրեթե միշտ կստանաս կոտորակներ, նման մի բան:
Որոշ դեպքերում, նախքան կոտորակը բաժանելը, նպատակահարմար է պարզեցնել այն, օրինակ՝ դիտարկել թվերի քանորդը՝ . Բաժանելուց առաջ մենք ազատվում ենք ավելորդ մինուսներից՝ համարիչում և հայտարարում փակագծերից հանում ենք մինուսները և կրճատում այս մինուսները. 
. Նրանց համար, ովքեր սիրում են խնդիրներ լուծել, ահա ճիշտ պատասխանը.
Հազվադեպ, բայց տեղի է ունենում հետևյալ խնդիրը.
Օրինակ 5
Տրված է կոմպլեքս թիվ։ Այս թիվը գրի՛ր հանրահաշվական ձևով (այսինքն՝ ձևով):
Տեխնիկան նույնն է՝ հայտարարն ու համարիչը բազմապատկում ենք հայտարարի հետ խոնարհված արտահայտությամբ: Եկեք նորից նայենք բանաձևին. Հայտարարն արդեն պարունակում է , ուստի հայտարարն ու համարիչը պետք է բազմապատկվեն խոնարհված արտահայտությամբ, այսինքն՝
Գործնականում նրանք հեշտությամբ կարող են առաջարկել բարդ օրինակ, որտեղ անհրաժեշտ է կատարել բազմաթիվ գործողություններ բարդ թվերով: Խուճապ չկա. զգույշ եղիր, հետևեք հանրահաշվի կանոններին, սովորական հանրահաշվական ընթացակարգին և հիշեք, որ .
Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձև
Այս պարբերությունում ավելին կա մենք կխոսենքբարդ թվի եռանկյունաչափական ձևի մասին. Ցուցադրական ձևը գործնական առաջադրանքներտեղի է ունենում շատ ավելի հազվադեպ: Խորհուրդ եմ տալիս ներբեռնել և, հնարավորության դեպքում, տպել եռանկյունաչափական աղյուսակներ, մեթոդական նյութկարելի է գտնել էջում Մաթեմատիկական բանաձևերև սեղաններ. Դուք չեք կարող հեռու գնալ առանց սեղանների:
Ցանկացած բարդ թիվ (բացի զրոյից) կարելի է գրել եռանկյունաչափական ձևով. 
, որտեղ է այն կոմպլեքս թվի մոդուլ, Ա - բարդ թվի արգումենտ. Եկեք չփախչենք, ամեն ինչ ավելի պարզ է, քան թվում է։
Ներկայացնենք թիվը բարդ հարթության վրա: Բացատրության որոշակիության և պարզության համար մենք այն կտեղադրենք առաջին կոորդինատային քառորդում, այսինքն. մենք հավատում ենք, որ.
Կոմպլեքս թվի մոդուլբարդ հարթության սկզբնակետից մինչև համապատասխան կետ հեռավորությունն է: Պարզապես դիր, մոդուլը երկարությունն էշառավիղի վեկտորը, որը գծագրում նշված է կարմիրով:
Կոմպլեքս թվի մոդուլը սովորաբար նշվում է՝ կամ
Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հեշտ է դուրս բերել բարդ թվի մոդուլը գտնելու բանաձևը. Այս բանաձեւըարդար ցանկացածի համար«ա» և «լինել» իմաստները:
ՆշումԿոմպլեքս թվի մոդուլը հայեցակարգի ընդհանրացումն է իրական թվի մոդուլ, որպես հեռավորություն կետից մինչև սկզբնաղբյուր:
Բարդ թվի փաստարկկանչեց անկյունմիջեւ դրական կիսաառանցքիրական առանցքը և սկզբնակետից համապատասխան կետ գծված շառավիղի վեկտորը: Փաստարկը սահմանված չէ եզակի: .
Հարցի սկզբունքը իրականում նման է բևեռային կոորդինատներ, որտեղ բևեռային շառավիղը և բևեռային անկյունը եզակիորեն սահմանում են կետը:
Կոմպլեքս թվի արգումենտը սովորաբար նշվում է՝ կամ
Երկրաչափական նկատառումներից մենք ստանում ենք փաստարկը գտնելու հետևյալ բանաձևը.
. Ուշադրություն.Այս բանաձևն աշխատում է միայն աջ կես հարթությունում: Եթե կոմպլեքս թիվը տեղակայված չէ 1-ին կամ 4-րդ կոորդինատային քառորդում, ապա բանաձևը մի փոքր այլ կլինի: Այս դեպքերը նույնպես կվերլուծենք։
Բայց նախ, եկեք նայենք ամենապարզ օրինակներին, երբ կոմպլեքս թվերը տեղակայված են կոորդինատային առանցքների վրա:
Օրինակ 7
Եկեք նկարենք.
Իրականում առաջադրանքը բանավոր է։ Պարզության համար ես կվերագրեմ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը. 
Եկեք հաստատապես հիշենք, մոդուլը. երկարությունը(որը միշտ ոչ բացասական է), փաստարկն այն է անկյուն.
1) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.
Ակնհայտ է, որ (թիվն ուղղակիորեն իրական դրական կիսաառանցքի վրա է): Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով հետևյալն է. 
.
Հակադարձ ստուգման գործողությունը օրվա պես պարզ է.
2) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.
Ակնհայտ է (կամ 90 աստիճան): Գծագրում անկյունը նշված է կարմիր գույնով։ Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով հետևյալն է. 
.
Օգտագործելով արժեքների աղյուսակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հեշտ է վերադարձնել թվի հանրահաշվական ձևը (միևնույն ժամանակ ստուգում կատարելով).
3) Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով: Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.
Ակնհայտ է (կամ 180 աստիճան): Գծագրում անկյունը նշված է կապույտով։ Այսպիսով, թիվը եռանկյունաչափական ձևով հետևյալն է. 
.
Փորձաքննություն:
4) Եվ չորրորդը հետաքրքիր դեպք. Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով։ Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։ Ակնհայտ է, որ. Պաշտոնական հաշվարկ՝ օգտագործելով բանաձևը.
Փաստարկը կարող է գրվել երկու ձևով՝ Առաջին ձև՝ (270 աստիճան), և համապատասխանաբար. 
. Փորձաքննություն:
Այնուամենայնիվ, հետևյալ կանոնը ավելի ստանդարտ է. Եթե անկյունը 180 աստիճանից մեծ է, ապա գրվում է մինուս նշանով և անկյան հակառակ կողմնորոշմամբ («ոլորում»)՝ (մինուս 90 աստիճան), գծագրում նշված է անկյունը. կանաչ. Դա հեշտ է տեսնել և նույն անկյունն է:
Այսպիսով, մուտքը ստանում է ձև. 
Ուշադրություն.Ոչ մի դեպքում չպետք է օգտագործեք կոսինուսի հավասարությունը, սինուսի տարօրինակությունը և ավելի «պարզեցրեք» նշումը.
Ի դեպ, օգտակար է հիշել տեսքըև եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները, հղման նյութերը գտնվում են էջի վերջին պարբերություններում Հիմնականի գրաֆիկները և հատկությունները տարրական գործառույթներ . Իսկ բարդ թվերը շատ ավելի հեշտ կսովորեն:
Ամենապարզ օրինակների նախագծման մեջ պետք է գրել՝ «ակնհայտ է, որ մոդուլը հավասար է... ակնհայտ է, որ փաստարկը հավասար է...»։ Սա իսկապես ակնհայտ է և հեշտ է բանավոր լուծել:
Եկեք անցնենք ավելի տարածված դեպքերի քննարկմանը: Ինչպես արդեն նշեցի, մոդուլի հետ կապված խնդիրներ չկան, դուք միշտ պետք է օգտագործեք բանաձևը: Բայց փաստարկը գտնելու բանաձևերը տարբեր կլինեն, կախված է նրանից, թե որ կոորդինատային քառորդում է գտնվում թիվը։ Այս դեպքում հնարավոր է երեք տարբերակ (օգտակար է դրանք պատճենել ձեր նոթատետրում).
1) Եթե (1-ին և 4-րդ կոորդինատային քառորդները, կամ աջ կիսահավասարությունը), ապա փաստարկը պետք է գտնել բանաձևի միջոցով:
2) Եթե (2-րդ կոորդինատային քառորդ), ապա արգումենտը պետք է գտնել բանաձևի միջոցով 
.
3) Եթե (3-րդ կոորդինատային եռամսյակ), ապա արգումենտը պետք է գտնել բանաձևով 
.
Օրինակ 8
Ներկայացրե՛ք բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով՝ , , , .
Քանի որ կան պատրաստի բանաձևեր, անհրաժեշտ չէ լրացնել գծագիրը։ Բայց կա մի կետ. երբ ձեզ խնդրում են ներկայացնել թիվը եռանկյունաչափական ձևով, ապա Ամեն դեպքում ավելի լավ է նկարել. Փաստն այն է, որ առանց գծագրի լուծումը հաճախ մերժվում է ուսուցիչների կողմից, նկարի բացակայությունը մինուսի և ձախողման լուրջ պատճառ է:
Էհ, ես հարյուր տարի ձեռքով ոչինչ չեմ նկարել, ահա դու գնա.
Ինչպես միշտ, մի քիչ կեղտոտ ստացվեց =)
Ես կներկայացնեմ բարդ ձևհամարները և , առաջին և երրորդ համարները կլինեն անկախ որոշման համար։
Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական տեսքով։ Գտնենք դրա մոդուլն ու փաստարկը։
Դասի պլան.
1. Կազմակերպչական պահ.
2. Նյութի ներկայացում.
3. Տնային աշխատանք.
4. Ամփոփելով դասը.
Դասերի ժամանակ
I. Կազմակերպչական պահ.
II. Նյութի ներկայացում.
Մոտիվացիա.
Իրական թվերի բազմության ընդլայնումը բաղկացած է իրական թվերին նոր թվեր (երևակայական) ավելացնելուց։ Այս թվերի ներմուծումը պայմանավորված է իրական թվերի բազմության մեջ բացասական թվի արմատը հանելու անհնարինությամբ։
Ներածություն կոմպլեքս թվի հայեցակարգին:
Երևակայական թվերը, որոնցով լրացնում ենք իրական թվերը, գրվում են ձևով երկ, Որտեղ եսերևակայական միավոր է և ես 2 = - 1.
Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք բարդ թվի հետևյալ սահմանումը.
Սահմանում. Կոմպլեքս թիվը ձևի արտահայտությունն է ա+բի, Որտեղ աԵվ բ- իրական թվեր. Այս դեպքում բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
ա) Երկու կոմպլեքս թվեր a 1 + b 1 iԵվ a 2 + b 2 iհավասար, եթե և միայն, եթե a 1 = a 2, b 1 =b 2.
բ) Կոմպլեքս թվերի գումարումը որոշվում է կանոնով.
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
գ) Կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը որոշվում է կանոնով.
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Բարդ թվի հանրահաշվական ձև.
Կոմպլեքս թվի գրել ձևով ա+բիկոչվում է բարդ թվի հանրահաշվական ձև, որտեղ Ա- իրական մաս, երկերևակայական մասն է, և բ- իրական թիվը.
Համալիր համարը ա+բիհավասար է զրոյի, եթե նրա իրական և երևակայական մասերը հավասար են զրոյի. a = b = 0
Համալիր համարը ա+բիժամը b = 0համարվում է նույնը, ինչ իրական թիվը ա: a + 0i = a.
Համալիր համարը ա+բիժամը a = 0կոչվում է զուտ երևակայական և նշվում է երկ: 0 + բի = բի.
Երկու կոմպլեքս թվեր z = a + biԵվ = a – bi, որոնք տարբերվում են միայն երևակայական մասի նշանով, կոչվում են խոնարհված։
Գործողություններ բարդ թվերի վրա հանրահաշվական ձևով:
Համալիր թվերի վրա հանրահաշվական ձևով կարող եք կատարել հետևյալ գործողությունները.
1) լրացում.
Սահմանում. Կոմպլեքս թվերի գումարը z 1 = a 1 + b 1 iԵվ z 2 = a 2 + b 2 iկոչվում է կոմպլեքս թիվ զ, որի իրական մասը հավասար է իրական մասերի գումարին z 1Եվ z 2, իսկ երևակայական մասը թվերի երևակայական մասերի գումարն է z 1Եվ z 2, այն է z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Թվեր z 1Եվ z 2կոչվում են տերմիններ.
Կոմպլեքս թվերի գումարումն ունի հետևյալ հատկությունները.
1º. Փոխատեղելիություն: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Ասոցիատիվություն: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3):
3º. Համալիր համարը –a –biկոչվում է բարդ թվի հակադիր z = a + bi. Կոմպլեքս թիվ, բարդ թվի հակադիր զ, նշվում է -զ. Կոմպլեքս թվերի գումարը զԵվ -զհավասար է զրոյի: z + (-z) = 0
Օրինակ 1. Կատարել հավելում (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) հանում.
Սահմանում.Համալիր թվից հանել z 1համալիր համարը z 2 z,Ինչ z + z 2 = z 1.
Թեորեմ. Կոմպլեքս թվերի տարբերությունը գոյություն ունի և եզակի է:
Օրինակ 2. Կատարեք հանում (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Բազմապատկում.
Սահմանում. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալ z 1 =a 1 +b 1 iԵվ z 2 =a 2 +b 2 iկոչվում է կոմպլեքս թիվ զ, սահմանվում է հավասարությամբ. z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Թվեր z 1Եվ z 2կոչվում են գործոններ:
Բարդ թվերի բազմապատկումն ունի հետևյալ հատկությունները.
1º. Փոխատեղելիություն: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Ասոցիատիվություն: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Բազմապատկման բաշխվածությունը գումարման նկատմամբ.
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- իրական թիվը.
Գործնականում կոմպլեքս թվերի բազմապատկումն իրականացվում է գումարը գումարով բազմապատկելու և իրական և երևակայական մասերը բաժանելու կանոնով։
Հետևյալ օրինակում մենք կդիտարկենք կոմպլեքս թվերի բազմապատկումը երկու եղանակով՝ կանոնով և գումարը գումարով բազմապատկելով:
Օրինակ 3. Կատարեք բազմապատկում (2 + 3i) (5 – 7i).
1 ճանապարհ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Մեթոդ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) բաժին.
Սահմանում. Բաժանեք բարդ թիվ z 1բարդ թվին z 2, նշանակում է գտնել նման բարդ թիվ զ, Ինչ z · z 2 = z 1.
Թեորեմ.Կոմպլեքս թվերի քանորդը գոյություն ունի և եզակի է, եթե z 2 ≠ 0 + 0i.
Գործնականում կոմպլեքս թվերի գործակիցը գտնում են համարիչն ու հայտարարը հայտարարի խոնարհումով բազմապատկելով։
Թող z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Հետո
.
Հետևյալ օրինակում մենք կկատարենք բաժանում` օգտագործելով հայտարարին խոնարհված թվով բազմապատկելու բանաձևը և կանոնը:
Օրինակ 4. Գտի՛ր գործակիցը 
.
5) բարձրացում դեպի դրական ամբողջ ուժ.
ա) Երևակայական միավորի ուժերը.
Օգտվելով հավասարությունից ես 2 = -1, հեշտ է սահմանել երևակայական միավորի ցանկացած դրական ամբողջ հզորություն։ Մենք ունենք:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1և այլն:
Սա ցույց է տալիս, որ աստիճանի արժեքները ես n, Որտեղ n– դրական ամբողջ թիվ, որը պարբերաբար կրկնվում է, երբ ցուցանիշը մեծանում է 4 .
Հետեւաբար, թիվը բարձրացնելու համար եսդրական ամբողջ ուժի համար մենք պետք է բաժանենք ցուցանիշը 4 և կառուցել եսմի ուժի, որի ցուցանիշը հավասար է բաժանման մնացորդին:
Օրինակ 5. Հաշվարկել. (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
բ) Կոմպլեքս թվի բարձրացումը դրական ամբողջ թվի վրա կատարվում է երկանդամը համապատասխան աստիճանին բարձրացնելու կանոնի համաձայն, քանի որ այն ներկայացնում է. հատուկ դեպքմիանման բարդ գործոնների բազմապատկում:
Օրինակ 6. Հաշվարկել. (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
