Risinājums.
Varbūtība, ka netika uzzīmēta emblēma: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Varbūtība iegūt trīs ģerboņus: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Gadījuma lieluma X sadalījuma likums:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Piemērs Nr.2. Varbūtība, ka viens šāvējs ar vienu šāvienu trāpīs mērķī pirmajam šāvējam ir 0,8, otrajam šāvējam – 0,85. Šāvēji izšāva vienu šāvienu mērķī. Uzskatot trāpījumu mērķī kā neatkarīgus notikumus atsevišķiem šāvējiem, atrodiet notikuma A varbūtību – tieši viens trāpījums mērķī.
Risinājums.
Apsveriet notikumu A — viens trāpījums mērķī. Iespējamie variantiŠī notikuma rašanās ir šāda:
- Pirmais šāvējs trāpīja, otrais šāvējs netrāpīja: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Pirmais šāvējs netrāpīja, otrais šāvējs trāpīja mērķī: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Pirmā un otrā bultiņa trāpīja mērķī neatkarīgi viena no otras: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Kā zināms, nejaušais mainīgais tiek saukts par mainīgu lielumu, kas atkarībā no gadījuma var iegūt noteiktas vērtības. Nejaušie mainīgie apzīmē ar lielajiem burtiem Latīņu alfabēts(X, Y, Z), un to vērtības ir norādītas ar attiecīgajiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.
Diskrēts nejaušības lielums sauca nejauša vērtība, ņemot tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktām varbūtībām, kas nav nulles.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.
1 . Sadales likumu var norādīt tabulā:
kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) izmantojot sadalījuma funkcija F(x) , kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).
Funkcijas F(x) īpašības
3 . Izplatīšanas likumu var norādīt grafiski – sadalījuma daudzstūris (daudzstūris) (skat. 3. uzdevumu).
Ņemiet vērā, ka dažu problēmu risināšanai nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo visvairāk svarīgas funkcijas sadales likums. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša lieluma "vidējais" nozīme, vai skaitlis, kas norāda vidējais izmērs nejauša lieluma novirze no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.
Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskās pamatraksturības :
- Matemātiskās cerības
diskrēta gadījuma lieluma (vidējā vērtība). M(X)=Σ x i p i.
Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ - Izkliede
diskrētais gadījuma mainīgais D(X)=M2 vai D(X) = M(X 2) − 2. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ - Standarta novirze (standarta novirze) σ(X)=√D(X).
Problēmu risināšanas piemēri par tēmu “Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums”
1. uzdevums.
Tika izdotas 1000 loterijas biļetes: 5 no tām laimēs 500 rubļus, 10 laimēs 100 rubļus, 20 laimēs 50 rubļus, 50 laimēs 10 rubļus. Noteikt nejaušā lieluma X varbūtības sadalījuma likumu - laimests uz vienu biļeti.
Risinājums. Atbilstoši problēmas nosacījumiem ir iespējamas šādas nejaušā lieluma X vērtības: 0, 10, 50, 100 un 500.
Biļešu skaits bez laimesta ir 1000 – (5+10+20+50) = 915, tad P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Līdzīgi mēs atrodam visas pārējās varbūtības: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Iesniegsim iegūto likumu tabulas veidā:
Atradīsim vērtības X matemātisko cerību: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
3. uzdevums.
Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā, izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet to. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.
Risinājums. 1. Diskrētajam gadījuma mainīgajam X= (neveiksmīgo elementu skaits vienā eksperimentā) ir šāds iespējamās vērtības: x 1 =0 (neviens no ierīces elementiem neizdevās), x 2 =1 (viens elements neizdevās), x 3 =2 (divu elementu neizdevās) un x 4 =3 (trīs elementi neizdevās).
Elementu atteices ir neatkarīgas viena no otras, katra elementa atteices varbūtības ir vienādas, tāpēc ir piemērojams Bernulli formula
. Ņemot vērā, ka atbilstoši nosacījumam n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, nosaka vērtību varbūtības:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Pārbaudiet: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Tādējādi vēlamajam X binominālā sadalījuma likumam ir šāda forma:
Mēs uzzīmējam iespējamās x i vērtības pa abscisu asi un atbilstošās varbūtības p i pa ordinātu asi. Konstruēsim punktus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Savienojot šos punktus ar taisnu līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.
3. Atradīsim sadalījuma funkciju F(x) = Р(Х
Ja x ≤ 0, mums ir F(x) = Р(Х<0) = 0;par 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
par 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
par 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
ja x > 3 būs F(x) = 1, jo pasākums ir uzticams.
 |
Funkcijas F(x) grafiks
4.
Binomiālajam sadalījumam X:
- matemātiskā cerība M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartnovirze σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Diskrēta nejaušība Mainīgie ir nejauši mainīgie, kas ņem tikai vērtības, kas atrodas tālu viena no otras un kuras var uzskaitīt iepriekš.
Sadales likums
Gadījuma lieluma sadalījuma likums ir sakarība, kas nosaka saikni starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām un tām atbilstošajām varbūtībām.
Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma sērija ir tā iespējamo vērtību un atbilstošo varbūtību saraksts.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir funkcija:
,
nosakot katrai argumenta x vērtībai varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam X būs vērtība, kas ir mazāka par šo x.
Sagaidāms diskrēts gadījuma mainīgais
,
kur ir diskrēta gadījuma lieluma vērtība; - varbūtība, ka gadījuma lielums pieņems X vērtības.
Ja nejaušam mainīgajam ir saskaitāma iespējamo vērtību kopa, tad: 
.
Matemātiskā sagaidāmais notikuma gadījumu skaits n neatkarīgos izmēģinājumos:
,
Diskrētā gadījuma lieluma izkliede un standartnovirze
Diskrēta gadījuma lieluma izkliede: 
vai 
.
Notikuma atgadījumu skaita dispersija n neatkarīgos izmēģinājumos 
,
kur p ir notikuma varbūtība.
Diskrēta gadījuma lieluma standarta novirze: 
.
1. piemērs
Sastādiet varbūtības sadalījuma likumu diskrētam gadījuma mainīgajam (DRV) X – k gadījumu skaits, kad vismaz viens "seši" n = 8 kauliņu pāra metieni. Izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma skaitliskos raksturlielumus (sadales režīms, matemātiskā cerība M(X), dispersija D(X), standartnovirze s(X)). Risinājums: Ieviesīsim apzīmējumu: notikums A – "metot kauliņu pāri, vismaz vienu reizi parādījās sešinieks." Lai atrastu notikuma A varbūtību P(A) = p, ērtāk ir vispirms atrast pretējā notikuma Ā varbūtību P(Ā) = q - "metot kauliņu pāri, sešinieks nekad neparādījās."
Tā kā varbūtība, ka, metot vienu kauliņu, neparādīsies “sešinieks” ir 5/6, tad saskaņā ar varbūtības reizināšanas teorēmu
P(Ā) = q = = .
Respektīvi,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problēmas testi tiek veikti pēc Bernulli shēmas, tāpēc d.s.v. lielums X- numurs k vismaz viena sešnieka rašanās, metot divus kauliņus, atbilst varbūtības sadalījuma binomiālajam likumam: 
kur = ir kombināciju skaits n Autors k.
Šai problēmai veiktos aprēķinus var ērti attēlot tabulas veidā:
Varbūtību sadalījums d.s.v. X º k (n = 8; lpp = ; q = )
| k | ||||||||||
Pn(k) |
Diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma daudzstūris (daudzstūris). X parādīts attēlā:
Rīsi. Varbūtību sadalījuma daudzstūris d.s.v. X=k.
Vertikālā līnija parāda sadalījuma matemātisko cerību M(X).
Atradīsim d.s.v varbūtības sadalījuma skaitliskos raksturlielumus. X. Izplatīšanas režīms ir 2 (šeit P 8(2) = 0,2932 maksimums). Matemātiskā cerība pēc definīcijas ir vienāda ar:
M(X) = = 2,4444,
Kur xk = k– vērtība, ko ņēmusi d.s.v. X. dispersija D(X) mēs atrodam sadalījumu, izmantojot formulu:
D(X) = 
= 4,8097.
Standarta novirze (RMS):
s( X) = = 2,1931.
Piemērs2
Diskrēts nejaušības lielums X ko nosaka sadales likums
Risinājums. Ja , tad (trešais īpašums).
Ja tad. Tiešām, X var pieņemt vērtību 1 ar varbūtību 0,3.
Ja tad. Patiešām, ja tas apmierina nevienlīdzību
, tad ir vienāda ar notikuma varbūtību, kas var notikt, kad X pieņems vērtību 1 (šī notikuma iespējamība ir 0,3) vai vērtību 4 (šī notikuma varbūtība ir 0,1). Tā kā šie divi notikumi nav savienojami, tad saskaņā ar saskaitīšanas teorēmu notikuma varbūtība ir vienāda ar varbūtību summu 0,3 + 0,1 = 0,4. Ja tad. Patiešām, notikums ir drošs, tāpēc tā varbūtība ir vienāda ar vienu. Tātad sadales funkciju analītiski var uzrakstīt šādi: 
Šīs funkcijas grafiks:
Atradīsim šīm vērtībām atbilstošās varbūtības. Pēc nosacījuma ierīču atteices varbūtības ir vienādas: tad varbūtība, ka ierīces darbosies garantijas laikā, ir vienādas: 
Izplatīšanas likumam ir šāda forma:
Izglītības iestāde "Baltkrievijas valsts
lauksaimniecības akadēmija"
Augstākās matemātikas katedra
Vadlīnijas
apgūt neklātienes izglītības grāmatvedības fakultātes (NISPO) studentu tēmu “Nejaušie mainīgie”
Gorki, 2013
Nejauši mainīgie
Diskrēti un nepārtraukti gadījuma lielumi
Viens no galvenajiem jēdzieniem varbūtību teorijā ir jēdziens nejaušais mainīgais . Nejaušs mainīgais ir lielums, kas pārbaudes rezultātā ņem tikai vienu no daudzajām iespējamām vērtībām, un iepriekš nav zināms, kura.
Ir nejauši mainīgie diskrēts un nepārtraukts . Diskrēts nejaušības mainīgais (DRV) ir nejaušs lielums, kas var iegūt ierobežotu skaitu viena no otras izolētu vērtību, t.i. ja var pārrēķināt šī daudzuma iespējamās vērtības. Nepārtraukts gadījuma mainīgais (CNV) ir nejaušs lielums, kura visas iespējamās vērtības pilnībā aizpilda noteiktu skaitļu līnijas intervālu.
Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem X, Y, Z utt. Iespējamās nejaušo mainīgo vērtības ir norādītas ar atbilstošajiem mazajiem burtiem.
Ieraksts 
nozīmē "varbūtību, ka gadījuma mainīgais Xņems vērtību 5, kas vienāda ar 0,28.
1. piemērs . Kauliņš tiek izmests vienu reizi. Šajā gadījumā var parādīties skaitļi no 1 līdz 6, kas norāda punktu skaitu. Apzīmēsim nejaušo mainīgo X=(ripināto punktu skaits). Šis nejaušais lielums testa rezultātā var iegūt tikai vienu no sešām vērtībām: 1, 2, 3, 4, 5 vai 6. Tāpēc nejaušais lielums X ir DSV.
2. piemērs . Kad akmens tiek mests, tas veic noteiktu attālumu. Apzīmēsim nejaušo mainīgo X=(akmens lidojuma attālums). Šis nejaušais mainīgais var iegūt jebkuru, bet tikai vienu vērtību no noteikta intervāla. Tāpēc nejaušais mainīgais X ir NSV.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums
Diskrētu gadījuma lielumu raksturo vērtības, ko tas var iegūt, un varbūtības, ar kādām šīs vērtības tiek ņemtas. Tiek izsaukta atbilstība starp diskrēta gadījuma lieluma iespējamām vērtībām un tām atbilstošajām varbūtībām diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums .
Ja ir zināmas visas iespējamās vērtības 
nejaušais mainīgais X un varbūtības 
šo vērtību parādīšanās, tad tiek uzskatīts, ka DSV izplatīšanas likums X ir zināms un to var ierakstīt tabulas formā:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
DSV sadalījuma likumu var attēlot grafiski, ja punkti ir attēloti taisnstūra koordinātu sistēmā 
,
,
…,
un savienojiet tos ar taisnu līniju segmentiem. Iegūto skaitli sauc par sadalījuma daudzstūri.
3. piemērs . Tīrīšanai paredzētie graudi satur 10% nezāļu. Pēc nejaušības principa tika atlasīti 4 graudi. Apzīmēsim nejaušo mainīgo X=(nezāļu skaits starp četriem atlasītajiem). Izveidojiet DSV izplatīšanas likumu X un sadales daudzstūris.
Risinājums . Saskaņā ar piemēra nosacījumiem. Pēc tam:
Pierakstīsim DSV X sadalījuma likumu tabulas veidā un izveidosim sadalījuma daudzstūri:
|
|
Sagaidāms diskrēts gadījuma mainīgais
Diskrētā gadījuma lieluma svarīgākās īpašības raksturo tā raksturlielumi. Viena no šīm īpašībām ir paredzamā vērtība nejaušais mainīgais.
Lai ir zināms DSV izplatīšanas likums X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Matemātiskās cerības
DSV X ir katras šī daudzuma vērtības produktu summa ar atbilstošo varbūtību: 
.
Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir aptuveni vienāda ar visu tā vērtību vidējo aritmētisko. Tāpēc praktiskajās problēmās šī nejaušā mainīgā lieluma vidējo vērtību bieži uzskata par matemātisko cerību.
Piemērs 8 . Šāvējs iegūst 4, 8, 9 un 10 punktus ar varbūtību 0,1, 0,45, 0,3 un 0,15. Atrodiet matemātisko paredzamo punktu skaitu ar vienu metienu.
Risinājums . Apzīmēsim nejaušo mainīgo X=(iegūto punktu skaits). Tad . Līdz ar to paredzamais vidējais gūto punktu skaits ar vienu metienu ir 8,2, bet ar 10 metieniem - 82.
Galvenās īpašības matemātiskās cerības ir:
.
.
, Kur 
,
.
.
, Kur X Un Y ir neatkarīgi nejauši mainīgie.
Atšķirība 
sauca novirze
nejaušais mainīgais X no tā matemātiskajām cerībām. Šī starpība ir nejaušs lielums, un tā matemātiskā cerība ir nulle, t.i. 
.
Diskrēta gadījuma lieluma dispersija
Lai raksturotu gadījuma lielumu, papildus matemātiskajai gaidīšanai mēs izmantojam arī dispersija , kas ļauj novērtēt nejauša lieluma vērtību izkliedi (izplatību) ap tā matemātisko cerību. Salīdzinot divus homogēnus gadījuma lielumus ar vienādām matemātiskām cerībām, par “labāko” tiek uzskatīta tā vērtība, kurai ir mazāka izkliede, t.i. mazāka izkliede.
dispersija nejaušais mainīgais X sauc par nejauša lieluma kvadrātiskās novirzes matemātisko cerību no tā matemātiskās cerības: .
Praktiskos uzdevumos dispersijas aprēķināšanai izmanto ekvivalentu formulu.
Galvenās dispersijas īpašības ir:
.
Mēs varam izcelt visbiežāk sastopamos diskrēto nejaušo mainīgo sadalījuma likumus:
- Binomiālā sadalījuma likums
- Indes izplatīšanas likums
- Ģeometriskā sadalījuma likums
- Hiperģeometriskā sadalījuma likums
Dotajiem diskrēto gadījuma lielumu sadalījumiem to vērtību varbūtību, kā arī skaitlisko raksturlielumu (matemātisko gaidu, dispersiju utt.) aprēķins tiek veikts, izmantojot noteiktas “formulas”. Tāpēc ir ļoti svarīgi zināt šāda veida sadalījumus un to pamatīpašības.
1. Binomiālā sadalījuma likums.
Uz diskrētu gadījuma lielumu $X$ attiecas binomiālā varbūtības sadalījuma likums, ja tam ir vērtības $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ar varbūtībām $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Faktiski nejaušais mainīgais $X$ ir notikuma $A$ gadījumu skaits $n$ neatkarīgos izmēģinājumos. Gadījuma lieluma $X$ varbūtības sadalījuma likums:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(masīvs)$
Šādam nejaušam mainīgajam matemātiskā sagaidāmā vērtība ir $M\left(X\right)=np$, dispersija ir $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Piemērs . Ģimenē aug divi bērni. Pieņemot, ka zēna un meitenes varbūtība ir vienāda ar $0,5$, atrodiet nejaušā lieluma $\xi$ - zēnu skaita ģimenē sadalījuma likumu.
Lai nejaušais lielums $\xi $ ir zēnu skaits ģimenē. Vērtības, ko $\xi var ņemt:\ 0,\ 1,\ 2$. Šo vērtību varbūtības var atrast, izmantojot formulu $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kur $n =2$ ir neatkarīgo izmēģinājumu skaits, $p=0.5$ ir varbūtība, ka notikums notiks $n$ izmēģinājumu sērijā. Mēs iegūstam:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
Tad nejaušā lieluma $\xi $ sadalījuma likums ir atbilstība starp vērtībām $0,\ 1,\ 2$ un to varbūtībām, tas ir:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(masīvs)$
Varbūtību summai sadalījuma likumā ir jābūt vienādai ar $1$, tas ir, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 ASV dolārs.
Paredzamā vērtība $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, dispersija $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standarta novirze $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\apmēram $0.707.
2. Puasona sadales likums.
Ja diskrētam gadījuma mainīgajam $X$ var būt tikai nenegatīvas veselas vērtības $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ar varbūtībām $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
komentēt. Šī sadalījuma īpatnība ir tāda, ka, pamatojoties uz eksperimentāliem datiem, mēs atrodam aprēķinus $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ja iegūtie aprēķini ir tuvu viens otram, tad mums ir iemesls apgalvot, ka uz gadījuma lielumu attiecas Puasona sadalījuma likums.
Piemērs . Puasona sadalījuma likumam pakļauto gadījuma lielumu piemēri var būt: automašīnu skaits, kuras rīt apkalpos degvielas uzpildes stacija; bojāto vienību skaits ražotajos produktos.
Piemērs . Rūpnīca uz bāzi nosūtīja $ 500 $ produktu. Preces bojājuma iespējamība pārvadāšanas laikā ir USD 0,002. Atrodiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma likumu, kas vienāds ar bojāto produktu skaitu; kas ir $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Ļaujiet diskrētam gadījuma mainīgajam $X$ būt bojāto produktu skaitam. Uz šādu gadījuma lielumu attiecas Puasona sadalījuma likums ar parametru $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vērtību varbūtības ir vienādas ar $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likums:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(masīvs)$
Šādam nejaušam mainīgajam matemātiskā cerība un dispersija ir vienādas viena ar otru un vienādas ar parametru $\lambda $, tas ir, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. Ģeometriskā sadalījuma likums.
Ja diskrētam gadījuma mainīgajam $X$ var būt tikai dabiskās vērtības $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ar varbūtībām $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) pa labi)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, tad viņi saka, ka šāds gadījuma lielums $X$ ir pakļauts varbūtības sadalījuma ģeometriskajam likumam. Faktiski ģeometriskais sadalījums ir Bernulli tests līdz pirmajiem panākumiem.
Piemērs . Gadījuma lielumu piemēri, kuriem ir ģeometrisks sadalījums, var būt: šāvienu skaits pirms pirmā trāpījuma mērķī; ierīces pārbaužu skaits līdz pirmajai kļūmei; monētu metienu skaits, līdz parādās pirmā galva utt.
Ģeometriskajam sadalījumam pakļauta gadījuma lieluma matemātiskā cerība un dispersija ir attiecīgi vienāda ar $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 ASV dolāri.
Piemērs . Zivju pārvietošanās ceļā uz nārsta vietu ir 4$ slēdzene. Zivju iespējamība iziet cauri katrai slūdai ir $p=3/5$. Izveidojiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma sēriju - zivju slūžu skaitu pirms pirmās aizturēšanas pie slūžas. Atrodiet $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$.
Lai nejaušais lielums $X$ ir zivju slūžu skaits pirms pirmās aizturēšanas pie slūžas. Šāds gadījuma lielums ir pakļauts varbūtības sadalījuma ģeometriskajam likumam. Vērtības, kuras var iegūt nejaušais mainīgais $X: $ 1, 2, 3, 4. Šo vērtību varbūtības tiek aprēķinātas, izmantojot formulu: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kur: $ p=2/5$ - varbūtība, ka zivs tiks aizturēta caur slūžu, $q=1-p=3/5$ - varbūtība, ka zivs izies cauri slūzai, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4 USD.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ virs (5))=0,4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ virs (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\virs (5))\pa labi))^4=((27)\virs (125))=0,216.$
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X_i un 1 un 2 un 3 un 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(masīvs)$
Paredzamā vērtība:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Izkliede:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2176\labais))^2+0,24\cdot (\kreisais(2-2176\labais))^2+0,144\cdot (\left(3-2176\right))^2+$
$+\0.216\cdot (\left(4-2176\right))^2\aptuveni 1377.$
Standarta novirze:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\apmēram 1173.$
4. Hiperģeometriskā sadalījuma likums.
Ja $N$ objekti, starp kuriem $m$ objektiem ir dota īpašība. $n$ objekti tiek nejauši izgūti bez atgriešanas, starp kuriem bija $k$ objekti, kuriem ir dota īpašība. Hiperģeometriskais sadalījums ļauj novērtēt varbūtību, ka tieši $k$ objektiem paraugā ir noteikta īpašība. Lai izlases lielums $X$ ir to objektu skaits izlasē, kuriem ir noteikta īpašība. Tad nejaušā lieluma $X$ vērtību varbūtības:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
komentēt. Excel $f_x$ funkcijas vedņa statistikas funkcija HYPERGEOMET ļauj noteikt varbūtību, ka noteikts skaits testu būs sekmīgi.
$f_x\to$ statistikas$\to$ HIPERĢĒMĒTA$\to$ labi. Parādīsies dialoglodziņš, kas jums jāaizpilda. Kolonnā Panākumu_skaits_izlasē norāda vērtību $k$. parauga_izmērs vienāds ar $n$. Kolonnā Panākumu_skaits_kopā norāda vērtību $m$. populācijas_lielums vienāds ar $N$.
Diskrēta gadījuma lieluma $X$ matemātiskā prognoze un dispersija, ievērojot ģeometriskā sadalījuma likumu, ir attiecīgi vienāda ar $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Piemērs . Bankas kredītdaļā strādā 5 speciālisti ar augstāko finanšu izglītību un 3 speciālisti ar augstāko juridisko izglītību. Bankas vadība nolēma kvalifikācijas paaugstināšanai nosūtīt 3 speciālistus, atlasot tos nejaušā secībā.
a) Izveidot sadales sēriju par speciālistu ar augstāko finanšu izglītību skaitu, kurus var nosūtīt pilnveidot savas prasmes;
b) Atrodi šī sadalījuma skaitliskos raksturlielumus.
Lai nejaušais lielums $X$ ir speciālistu skaits ar augstāko finanšu izglītību starp trim atlasītajiem. Vērtības, kuras var ņemt $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3 $. Šis nejaušais lielums $X$ ir sadalīts atbilstoši hiperģeometriskam sadalījumam ar šādiem parametriem: $N=8$ - populācijas lielums, $m=5$ - panākumu skaits populācijā, $n=3$ - izlases lielums, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - veiksmes skaits izlasē. Tad varbūtības $P\left(X=k\right)$ var aprēķināt, izmantojot formulu: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ virs C_(N)^(n) ) $. Mums ir:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\aptuveni 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\aptuveni 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\aptuveni 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\aptuveni 0,179.$
Tad nejaušā lieluma $X$ sadalījuma sērija:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X_i un 0 un 1 un 2 un 3 \\
\hline
p_i un 0,018 un 0,268 un 0,536 un 0,179 \\
\hline
\end(masīvs)$
Aprēķināsim nejaušā lieluma $X$ skaitliskos raksturlielumus, izmantojot vispārīgās hiperformulas ģeometriskais sadalījums.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8)))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\aptuveni 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\aptuveni 0.7085.$
