Tad a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Nulles pievienošana nemaina skaitli, bet pretējo skaitļu summa ir nulle.
Tas nozīmē, ka jebkuram racionālam skaitlim mums ir: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Racionālo skaitļu reizināšanai ir arī komutatīvas un asociatīvas īpašības. Citiem vārdiem sakot, ja a, b un c ir kādi racionāli skaitļi, tad ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Reizināšana ar 1 nemaina racionālo skaitli, bet skaitļa un tā apgrieztā reizinājums ir vienāds ar 1.
Tas nozīmē, ka jebkuram racionālam skaitlim a mums ir:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Izvēloties ērtu aprēķinu procedūru, atrodiet izteiksmes vērtību:
1191. Noformulē vārdos reizināšanas ab = ba komutatīvo īpašību un pārbaudi, kad:
1192. Formulējiet vārdos reizināšanas a(bc)=(ab)c asociatīvo īpašību un pārbaudiet to, ja:
1193. Izvēloties ērtu aprēķinu secību, atrodiet izteiksmes vērtību:
1194. Kādu skaitli (pozitīvu vai negatīvu) iegūsi, ja reizinosi:
a) viens negatīvs skaitlis un divi pozitīvi skaitļi;
b) divi negatīvi un viens pozitīvs skaitlis;
c) 7 negatīvi un vairāki pozitīvi skaitļi;
d) 20 negatīvi un vairāki pozitīvi? Izdariet secinājumu.
1195. Nosaki izstrādājuma zīmi:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B sporta zāle Vitya, Kolya, Petya, Seryozha un Maxim pulcējās (91. att., a). Izrādījās, ka katrs no zēniem pazīst tikai divus citus. Kurš zina, kuru? (Diagrammas mala nozīmē "mēs pazīstam viens otru.")
b) Pagalmā staigā vienas ģimenes brāļi un māsas. Kuri no šiem bērniem ir zēni un kuri meitenes (91. att., b)? (Punktētās diagrammas malas nozīmē “es esmu māsa”, bet cietās malas nozīmē “es esmu brālis”.)
1205. Aprēķināt:
1206. Salīdziniet:
a) 2 3 un 3 2; b) (-2) 3 un (-3) 2; c) 1 3 un 1 2; d) (-1) 3 un (-1) 2.
1207. Noapaļo 5,2853 līdz tūkstošdaļām; pirms tam simtdaļas; līdz desmitdaļām; līdz vienībām.
1208. Atrisiniet problēmu:
1) Motociklists panāk velosipēdistu. Tagad starp tiem ir 23,4 km. Motociklista ātrums ir 3,6 reizes lielāks par velosipēdista ātrumu. Atrodi velosipēdista un motociklista ātrumu, ja ir zināms, ka motociklists velosipēdistu panāks pēc stundas.
2) Autobusam tuvojas automašīna. Tagad starp tiem ir 18 km. Autobusa ātrums ir tāds pats kā vieglajam auto. Atrodi autobusa un automašīnas ātrumus, ja ir zināms, ka mašīna autobusu panāks pēc stundas.
1209. Atrodi izteiciena nozīmi:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Pārbaudiet savus aprēķinus ar mikro kalkulators.
1210. Izvēloties ērtu aprēķinu secību, atrodiet izteiksmes vērtību: 
1211. Vienkāršojiet izteicienu:
1212. Atrodi izteiciena nozīmi:
1213. Veiciet šīs darbības:
1214. Skolēniem tika dots uzdevums savākt 2,5 tonnas metāllūžņu. Viņi savāca 3,2 tonnas metāllūžņu. Par cik procentiem skolēni izpildīja uzdevumu un par cik procentiem pārspēja uzdevumu?
1215. Automašīna nobraukusi 240 km. No tiem 180 km viņa gāja pa lauku ceļu, bet pārējo ceļu – pa šoseju. Benzīna patēriņš uz katriem 10 km lauku ceļa bija 1,6 litri, bet uz šosejas - par 25% mazāk. Cik litru benzīna vidēji tika patērēts uz katriem 10 km brauciena?
1216. Izbraucot no ciemata, velosipēdists uz tilta pamanīja gājēju, kurš gāja tajā pašā virzienā un panāca viņu pēc 12 minūtēm. Atrodi gājēja ātrumu, ja velosipēdista ātrums ir 15 km/h un attālums no ciema līdz tiltam ir 1 km 800 m?
1217. Veiciet šīs darbības:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Cilvēki, kā zināms, ar racionāliem skaitļiem iepazinās pakāpeniski. Sākumā, skaitot objektus, radās naturālie skaitļi. Sākumā viņu bija maz. Līdz ar to vēl nesen Toresas šauruma (kas atdala Jaungvineju no Austrālijas) salu pamatiedzīvotājiem savā valodā bija tikai divu skaitļu nosaukumi: “urapun” (viens) un “okaz” (divi). Salinieki skaitīja šādi: "Okaza-urapun" (trīs), "Okaza-Okaza" (četri) utt. Iezemieši sauca visus skaitļus, sākot no septiņiem, ar vārdu, kas nozīmē "daudz".
Zinātnieki uzskata, ka vārds simtiem parādījās pirms vairāk nekā 7000 gadu, tūkstošiem - pirms 6000 gadiem un pirms 5000 gadiem Senā Ēģipte un iekšā Senā Babilonija vārdi parādās milzīgiem skaitļiem - līdz pat miljonam. Bet ilgu laiku dabiskā skaitļu rinda tika uzskatīta par ierobežotu: cilvēki domāja, ka tur ir lielākais skaitlis.
Lielākais sengrieķu matemātiķis un fiziķis Arhimēds (287-212 BC) izdomāja veidu, kā aprakstīt milzīgus skaitļus. Lielākais skaits, ko Arhimēds varēja nosaukt, bija tik liels, ka viņam digitālais ieraksts būtu vajadzīga lente, kas ir divus tūkstošus reižu garāka par attālumu no Zemes līdz Saulei.
Bet viņi vēl nebija spējuši pierakstīt tik milzīgus skaitļus. Tas kļuva iespējams tikai pēc tam, kad Indijas matemātiķi 6. gadsimtā. Skaitlis nulle tika izgudrots un sāka apzīmēt vienību neesamību skaitļa decimāldaļās.
Dalot laupījumu un vēlāk mērot vērtības, un citos līdzīgos gadījumos cilvēki saskārās ar nepieciešamību ieviest “šķeltos skaitļus” - parastās frakcijas. Visvairāk tika apsvērtas operācijas ar frakcijām viduslaikos sarežģīta teritorija matemātika. Līdz šai dienai vācieši saka par cilvēku, kurš atrodas sarežģītā situācijā, ka viņš "sakrita pa daļām".
Lai atvieglotu darbu ar daļskaitļiem, tika izgudroti decimāldaļas frakcijas. Eiropā tos X585. gadā ieviesa holandiešu matemātiķis un inženieris Saimons Stevins.
Negatīvie skaitļi parādījās vēlāk nekā daļskaitļi. Ilgu laikušādi skaitļi tika uzskatīti par “neesošiem”, “nepatiesiem” galvenokārt tāpēc, ka pieņemtā interpretācija pozitīvajiem un negatīvi skaitļi“Īpašums – parāds” radīja neskaidrības: “īpašums” vai “parāds” var pievienot vai atņemt, bet kā saprast “īpašuma” un “parāda” reizinājumu vai koeficientu?
Tomēr, neskatoties uz šādām šaubām un neskaidrībām, 3. gadsimtā tika ierosināti noteikumi pozitīvo un negatīvo skaitļu reizināšanai un dalīšanai. grieķu matemātiķis Diofants (formā: “Atņemtais, reizināts ar pievienoto, dod apakšrindu; kas atņemts ar atņemto daļu, dod pievienoto” utt.), un vēlāk Indijas matemātiķis Bhaskars (XII gs.) izteica vienādus noteikumus jēdzienos "īpašums", "parāds" ("Divu īpašumu vai divu parādu produkts ir īpašums; īpašuma un parāda produkts ir parāds." Tas pats noteikums attiecas uz sadalīšanu).
Tika konstatēts, ka darbību īpašības ar negatīviem skaitļiem ir tādas pašas kā ar pozitīviem skaitļiem (piemēram, saskaitīšanai un reizināšanai ir komutatīva īpašība). Un visbeidzot, kopš pagājušā gadsimta sākuma negatīvie skaitļi ir kļuvuši vienādi ar pozitīviem skaitļiem.
Vēlāk matemātikā parādījās jauni skaitļi – iracionālie, kompleksie un citi. Par tiem jūs uzzināsit vidusskolā.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokovs, S.I. Shvartsburd, V.I. Žohovs, Matemātika 6. klasei, Mācību grāmata vidusskolai
Grāmatas un mācību grāmatas pēc kalendāra plāna 6. klases matemātikas lejupielādei, palīdzība skolēniem tiešsaistē
Skaitļu jēdziens attiecas uz abstrakcijām, kas raksturo objektu no kvantitatīvā viedokļa. Pat primitīvā sabiedrībā cilvēkiem bija nepieciešamība skaitīt objektus, tāpēc parādījās skaitļu apzīmējumi. Vēlāk tie kļuva par matemātikas kā zinātnes pamatu.
Lai darbotos ar matemātiskiem jēdzieniem, vispirms ir jāiedomājas, kādi skaitļi ir. Ir vairāki galvenie skaitļu veidi. Šis:
1. Dabiskie - tie, kurus iegūstam, numurējot objektus (to dabiskā skaitīšana). Viņu kopa ir apzīmēta ar N.
2. Veseli skaitļi (to kopu apzīmē ar burtu Z). Tas ietver naturālus skaitļus, to pretstatus, negatīvus veselus skaitļus un nulli.
3. Racionālie skaitļi (burts Q). Tie ir tie, kurus var attēlot kā daļskaitli, kuru skaitītājs ir vienāds ar veselu skaitli, bet saucējs ir vienāds ar naturālu skaitli. Visi ir veseli un klasificēti kā racionāli.
4. Īsti (tos apzīmē ar burtu R). Tie ietver racionālos un iracionālos skaitļus. Skaitļi, kas iegūti no racionāliem skaitļiem ar dažādas operācijas(logaritma aprēķināšana, saknes izvilkšana), kas paši par sevi nav racionāli.
Tādējādi jebkura no uzskaitītajām kopām ir apakškopa no tālāk norādītajām kopām. Šo tēzi ilustrē diagramma t.s. Eilera apļi. Dizains sastāv no vairākiem koncentriskiem ovāliem, no kuriem katrs atrodas otra iekšpusē. Iekšējais, mazākais ovāls (laukums) apzīmē komplektu naturālie skaitļi. Tas ir pilnībā ietverts un ietver reģionu, kas simbolizē veselu skaitļu kopu, kas, savukārt, atrodas racionālo skaitļu reģionā. Ārējais, lielākais ovāls, kurā ietilpst visi pārējie, apzīmē masīvu
Šajā rakstā apskatīsim racionālo skaitļu kopu, to īpašības un pazīmes. Kā jau minēts, visi esošie skaitļi (pozitīvie, kā arī negatīvie un nulle) pieder tiem. Racionālie skaitļi veido bezgalīgu virkni ar šādām īpašībām:
Šis komplekts ir pasūtīts, tas ir, paņemot jebkuru skaitļu pāri no šīs sērijas, mēs vienmēr varam noskaidrot, kurš ir lielāks;
Ņemot jebkuru šādu skaitļu pāri, mēs vienmēr varam starp tiem novietot vēl vismaz vienu un līdz ar to veselu to virkni - tātad racionālie skaitļi attēlo bezgalīgu virkni;
Ir iespējamas visas četras aritmētiskās darbības ar šādiem skaitļiem, to rezultāts vienmēr ir noteikts skaitlis (arī racionāls); izņēmums ir dalīšana ar 0 (nulle) - tas nav iespējams;
Jebkurus racionālus skaitļus var attēlot kā decimāldaļas. Šīs frakcijas var būt ierobežotas vai bezgalīgi periodiskas.
Lai salīdzinātu divus skaitļus, kas pieder racionālajai kopai, jums jāatceras:
Jebkurš pozitīvs skaitlis, kas lielāks par nulli;
Jebkurš negatīvs skaitlis vienmēr ir mazāks par nulli;
Salīdzinot divus negatīvus racionālos skaitļus, tas, kura absolūtā vērtība (modulis) ir mazāka, ir lielāks.
Kā tiek veiktas darbības ar racionāliem skaitļiem?
Lai pievienotu divus šādus skaitļus ar vienādu zīmi, jums jāpievieno to absolūtās vērtības un jāievieto summas priekšā vispārīga zīme. Lai pievienotu ciparus ar dažādas zīmes no lielākās vērtības jāatņem mazākais un jāliek zīme tam, kura absolūtā vērtība ir lielāka.
Lai atņemtu vienu racionālu skaitli no cita, pietiek ar to, ka pirmajam skaitlim pieskaita otrā pretējo. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina to vērtības absolūtās vērtības. Iegūtais rezultāts būs pozitīvs, ja faktoriem ir vienāda zīme, un negatīvs, ja tie atšķiras.
Dalīšana tiek veikta līdzīgi, tas ir, tiek atrasts absolūto vērtību koeficients, un pirms rezultāta tiek ievietota zīme “+”, ja dividendes un dalītāja zīmes sakrīt, un zīme “-”, ja tie nesakrīt.
Racionālo skaitļu pakāpes izskatās kā vairāku faktoru produkti, kas ir vienādi viens ar otru.
Šajā rakstā ir sniegts pārskats darbību īpašības ar racionāliem skaitļiem. Pirmkārt, tiek paziņoti pamata rekvizīti, uz kuriem balstās visas pārējās īpašības. Pēc tam tiek dotas dažas citas bieži lietotas darbības ar racionāliem skaitļiem īpašības.
Lapas navigācija.
Uzskaitīsim pamatīpašības operācijām ar racionāliem skaitļiem(a, b un c ir patvaļīgi racionāli skaitļi):
- Saskaitījuma a+b=b+a komutatīva īpašība.
- Saskaitīšanas (a+b)+c=a+(b+c) kombinētā īpašība .
- Neitrāla elementa esamība ar saskaitīšanu - nulle, kura saskaitīšana ar jebkuru skaitli šo skaitli nemaina, tas ir, a+0=a.
- Katram racionālajam skaitlim a ir pretējs skaitlis −a, kurā a+(−a)=0.
- Racionālo skaitļu reizināšanas komutatīva īpašība a·b=b·a.
- Reizināšanas kombinētā īpašība (a·b)·c=a·(b·c) .
- Reizināšanas neitrāla elementa esamība ir vienība, reizināšana, ar kuru jebkurš skaitlis šo skaitli nemaina, tas ir, a·1=a.
- Katram racionālajam skaitlim, kas nav nulle a, ir apgriezts skaitlis a −1 tā, ka a·a −1 =1 .
- Visbeidzot, racionālo skaitļu saskaitīšana un reizināšana ir saistīta ar reizināšanas sadalījuma īpašību attiecībā pret saskaitīšanu: a·(b+c)=a·b+a·c.
Uzskaitītās īpašības darbībām ar racionāliem skaitļiem ir pamata, jo no tām var iegūt visas pārējās īpašības.
Citas svarīgas īpašības
Papildus deviņām uzskaitītajām pamatīpašībām operācijām ar racionāliem skaitļiem ir vairākas ļoti plaši izmantotas īpašības. Dosim viņiem īss apskats.
Sāksim ar īpašumu, kas rakstīts, izmantojot burtus kā a·(−b)=−(a·b) vai reizināšanas kā komutatīvās īpašības dēļ (-a) b = - (a b). No šīs īpašības tieši izriet noteikums racionālu skaitļu reizināšanai ar dažādām zīmēm, tā pierādījums ir sniegts arī šajā rakstā. Šis īpašums izskaidro noteikumu “pluss, kas reizināts ar mīnusu, ir mīnuss, un mīnuss reizināts ar plus ir mīnuss”.
Šeit ir šāds īpašums: (-a)·(-b)=a·b. Tas nozīmē negatīvu racionālu skaitļu reizināšanas noteikumu; šajā rakstā jūs atradīsit arī iepriekš minētās vienlīdzības pierādījumu. Šis īpašums atbilst reizināšanas likumam “mīnus reiz mīnus ir plus”.
Neapšaubāmi, ir vērts koncentrēties uz patvaļīga racionāla skaitļa a reizināšanu ar nulli: a·0=0 vai 0 a=0. Pierādīsim šo īpašību. Mēs zinām, ka 0=d+(−d) jebkuram racionālam d, tad a·0=a·(d+(−d)) . Sadalījuma īpašība ļauj iegūto izteiksmi pārrakstīt kā a·d+a·(−d) , un tā kā a·(−d)=−(a·d) , tad a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Tātad mēs nonācām pie divu pretēju skaitļu summas, kas vienādi ar a·d un −(a·d), to summa dod nulli, kas pierāda vienādību a·0=0.
Ir viegli pamanīt, ka iepriekš mēs uzskaitījām tikai saskaitīšanas un reizināšanas īpašības, savukārt par atņemšanas un dalīšanas īpašībām netika teikts neviens vārds. Tas ir saistīts ar faktu, ka racionālo skaitļu komplektā atņemšanas un dalīšanas darbības ir norādītas attiecīgi kā saskaitīšanas un reizināšanas apgrieztā vērtība. Tas ir, starpība a-b ir a+(-b) summa, un koeficients a:b ir reizinājums a·b-1 (b≠0).
Ņemot vērā šīs atņemšanas un dalīšanas definīcijas, kā arī saskaitīšanas un reizināšanas pamatīpašības, jūs varat pierādīt jebkuras darbības īpašības ar racionāliem skaitļiem.
Kā piemēru pierādīsim reizināšanas sadalījuma īpašību attiecībā pret atņemšanu: a·(b−c)=a·b−a·c. Pastāv šāda vienādību ķēde: a·(b-c)=a·(b+(-c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b–a·c, kas ir pierādījums.
Autortiesības pieder gudriem studentiem
Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena www.vietnes daļa, ieskaitot iekšējos materiālus un ārējais dizains, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez autortiesību īpašnieka iepriekšējas rakstiskas atļaujas.
Šī nodarbība aptver racionālu skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu. Tēma ir klasificēta kā sarežģīta. Šeit ir nepieciešams izmantot visu iepriekš iegūto zināšanu arsenālu.
Noteikumi par veselu skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu attiecas arī uz racionāliem skaitļiem. Atcerieties, ka racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var attēlot kā daļskaitli, kur a –šis ir daļskaitļa skaitītājs, b ir daļskaitļa saucējs. kurā, b nedrīkst būt nulle.
Šajā nodarbībā mēs arvien biežāk daļskaitļus un jauktos skaitļus sauksim ar vienu izplatītu frāzi - racionālie skaitļi.
Nodarbības navigācija:1. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka izteiksmē dotais pluss ir darbības zīme un neattiecas uz daļskaitli. Šai daļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Lai pievienotu racionālus skaitļus ar dažādām zīmēm, no lielākā moduļa ir jāatņem mazāks modulis un pirms iegūtās atbildes jāievieto tā racionālā skaitļa zīme, kura modulis ir lielāks. Un, lai saprastu, kurš modulis ir lielāks un kurš mazāks, pirms to aprēķināšanas jums ir jāspēj salīdzināt šo daļu moduļi:
Racionālā skaitļa modulis ir lielāks par racionālā skaitļa moduli. Tāpēc mēs atņēmām no . Saņēmām atbildi. Tad, samazinot šo daļu par 2, mēs saņēmām galīgo atbildi.
Dažas primitīvas darbības, piemēram, skaitļu ievietošanu iekavās un moduļu pievienošanu, var izlaist. Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
2. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Mēs ņemam vērā, ka mīnuss, kas stāv starp racionālajiem skaitļiem, ir darbības zīme un neattiecas uz daļskaitli. Šai daļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu. Atgādināsim, ka, lai to izdarītu, minuend ir jāpievieno skaitlis, kas ir pretējs apakšrindai:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Lai pievienotu negatīvus racionālos skaitļus, jums jāpievieno to moduļi un jāievieto mīnuss pirms iegūtās atbildes:
Piezīme. Nav nepieciešams katru racionālo skaitli likt iekavās. Tas tiek darīts ērtības labad, lai skaidri redzētu, kuras zīmes ir racionālajiem skaitļiem.
3. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Šajā izteiksmē daļām ir dažādi saucēji. Lai atvieglotu mūsu uzdevumu, reducēsim šīs daļas līdz kopsaucējam. Mēs nekavēsimies sīkāk par to, kā to izdarīt. Ja rodas grūtības, noteikti atkārtojiet nodarbību.
Pēc daļskaitļu samazināšanas līdz kopsaucējam izteiksmei būs šāda forma:
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Mēs atņemam mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
4. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Aprēķināsim šo izteiksmi šādi: saskaitiet racionālos skaitļus un pēc tam no iegūtā rezultāta atņemiet racionālo skaitli. 
Pirmā darbība:
Otrā darbība:
5. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Attēlosim veselu skaitli −1 kā daļskaitli un jaukto skaitli pārveidosim par nepareizu daļu:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Mēs atņemam mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Saņēmām atbildi.
Ir otrs risinājums. Tas sastāv no veselu daļu salikšanas atsevišķi.
Tātad, atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Iekļaujam katru skaitli iekavās. Lai to izdarītu, jauktais numurs ir īslaicīgs:
Aprēķināsim veselo skaitļu daļas:
(−1) + (+2) = 1
Galvenajā izteiksmē (-1) + (+2) vietā mēs ierakstām iegūto vienību:
Rezultātā iegūtā izteiksme ir . Lai to izdarītu, ierakstiet vienību un daļskaitli kopā:
Uzrakstīsim risinājumu īsākā veidā:
6. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Pārveidosim jaukto skaitli par nepareizu daļskaitli. Pārrakstīsim pārējo, nemainot:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
7. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Attēlosim veselu skaitli −5 kā daļskaitli un jaukto skaitli pārveidosim par nepareizu daļskaitli:
Savedīsim šīs daļas pie kopsaucēja. Pēc tam, kad tie tiks samazināti līdz kopsaucējam, tie būs šādā formā:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tādējādi izteiksmes vērtība ir .
Atrisināsim šo piemēru otrā veidā. Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Jaukto skaitli rakstīsim izvērstā veidā. Pārrakstīsim pārējo bez izmaiņām:
Katru racionālo skaitli ievietojam iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aprēķināsim veselo skaitļu daļas:
Galvenajā izteiksmē tā vietā, lai ierakstītu iegūto skaitli −7
Izteiciens ir paplašināts jaukta skaitļa rakstīšanas veids. Mēs rakstām kopā skaitli −7 un daļskaitli, lai izveidotu galīgo atbildi:
Īsi uzrakstīsim šo risinājumu:
8. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Katru racionālo skaitli ievietojam iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tātad izteiksmes vērtība ir
Šo piemēru var atrisināt otrā veidā. Tas sastāv no veselu un daļēju daļu pievienošanas atsevišķi. Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un iegūtās atbildes priekšā ieliksim mīnusu. Bet šoreiz mēs pievienosim veselās daļas (-1 un -2), gan daļskaitļus, gan
Īsi uzrakstīsim šo risinājumu:
9. piemērs. Atrodiet izteiksmes izteiksmes 
Pārvērsīsim jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:
Iekavās ieliksim racionālu skaitli kopā ar tā zīmi. Racionāls skaitlis iekavās nav jāliek, jo tas jau ir iekavās:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tātad izteiksmes vērtība ir
Tagad mēģināsim atrisināt šo pašu piemēru otrā veidā, proti, pievienojot veselus skaitļus un frakcionētas daļas atsevišķi.
Šoreiz, lai iegūtu īsu risinājumu, mēģināsim izlaist dažus soļus, piemēram, jaukta skaitļa rakstīšanu paplašinātā formā un atņemšanas aizstāšanu ar saskaitīšanu:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka daļdaļas ir samazinātas līdz kopsaucējam.
10. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Iegūtā izteiksme nesatur negatīvus skaitļus, kas ir galvenais kļūdu iemesls. Un tā kā nav negatīvu skaitļu, mēs varam noņemt pluszīmi apakšdaļas priekšā un noņemt arī iekavas:
Rezultāts ir vienkārša izteiksme, kuru ir viegli aprēķināt. Aprēķināsim to jebkurā mums ērtā veidā:
11. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietosim racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
12. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Izteiksme sastāv no vairākiem racionāliem skaitļiem. Saskaņā ar to vispirms ir jāveic darbības iekavās.
Vispirms mēs aprēķinām izteiksmi, pēc tam pievienojam iegūtos rezultātus.
Pirmā darbība:
Otrā darbība:
Trešā darbība:
Atbilde: izteiksmes vērtība vienāds
13. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Pārvērsīsim jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:
Racionālo skaitli liksim iekavās kopā ar tā zīmi. Racionālais skaitlis nav jāliek iekavās, jo tas jau ir iekavās:
Savedīsim šīs daļas pie kopsaucēja. Pēc tam, kad tie tiks samazināti līdz kopsaucējam, tie būs šādā formā:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietosim racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Tādējādi izteiciena nozīme vienāds
Apskatīsim decimāldaļu saskaitīšanu un atņemšanu, kas arī ir racionāli skaitļi un var būt gan pozitīvi, gan negatīvi.
14. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,2 + 4,3
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka izteiksmē dotais pluss ir darbības zīme un neattiecas uz decimāldaļu 4.3. Šai decimāldaļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
(−3,2) + (+4,3)
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Lai pievienotu racionālus skaitļus ar dažādām zīmēm, no lielākā moduļa ir jāatņem mazāks modulis un pirms iegūtās atbildes jāievieto racionālais skaitlis, kura modulis ir lielāks. Un, lai saprastu, kurš modulis ir lielāks un kurš ir mazāks, jums ir jāspēj salīdzināt šo decimāldaļskaitļu moduļus pirms to aprēķināšanas:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Skaitļa 4.3 modulis ir lielāks par skaitļa −3.2 moduli, tāpēc no 4.3 mēs atņēmām 3.2. Saņēmām atbildi 1.1. Atbilde ir pozitīva, jo pirms atbildes ir jābūt racionālā skaitļa zīmei, kura modulis ir lielāks. Un skaitļa 4.3 modulis ir lielāks par skaitļa −3.2 moduli
Tādējādi izteiksmes vērtība −3,2 + (+4,3) ir 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
15. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 3,5 + (−8,3)
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, no lielākā moduļa atņemam mazāko un pirms atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Tādējādi izteiksmes 3.5 + (−8.3) vērtība ir −4.8
Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
3,5 + (−8,3) = −4,8
16. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −7.2 + (−3.11)
Tas ir negatīvu racionālu skaitļu pievienošana. Lai pievienotu negatīvus racionālos skaitļus, jums jāpievieno to moduļi un jāievieto mīnuss pirms iegūtās atbildes.
Varat izlaist ievadi ar moduļiem, lai nepārblīvētu izteiksmi:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Tādējādi izteiksmes vērtība −7.2 + (−3.11) ir −10.31
Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
17. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −0,48 + (−2,7)
Tas ir negatīvu racionālu skaitļu pievienošana. Pievienosim to moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes. Varat izlaist ievadi ar moduļiem, lai nepārblīvētu izteiksmi:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
18. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −4,9 − 5,9
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka mīnuss, kas atrodas starp racionālajiem skaitļiem −4,9 un 5,9, ir darbības zīme un nepieder pie skaitļa 5,9. Šim racionālajam skaitlim ir sava plusa zīme, kas ir neredzama, jo tas nav pierakstīts. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
(−4,9) − (+5,9)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
(−4,9) + (−5,9)
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Pievienosim to moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Tādējādi izteiksmes vērtība −4,9 − 5,9 ir −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
19. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 7 − 9.3
Ieliksim katru skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm.
(+7) − (+9,3)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Tādējādi izteiksmes 7 − 9,3 vērtība ir −2,3
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
7 − 9,3 = −2,3
20. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −0,25 − (−1,2)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
−0,25 + (+1,2)
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa un pirms atbildes ievietosim skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
21. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,5 + (4,1 − 7,1)
Veiksim darbības iekavās, pēc tam saskaitām iegūto atbildi ar skaitli −3.5
Pirmā darbība:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Otrā darbība:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Atbilde: izteiksmes −3,5 + (4,1 − 7,1) vērtība ir −6,5.
22. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)
Veiksim iekavās norādītās darbības. Pēc tam no skaitļa, kas iegūts, izpildot pirmās iekavas, atņemiet skaitli, kas iegūts, izpildot otro iekavu:
Pirmā darbība:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Otrā darbība:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Trešais cēliens
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Atbilde: izteiksmes (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) vērtība ir 6.
23. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Iekļaujam katru racionālo skaitli kopā ar tā zīmēm iekavās
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Ja iespējams, aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Izteiciens sastāv no vairākiem terminiem. Saskaņā ar kombinēto saskaitīšanas likumu, ja izteiksme sastāv no vairākiem terminiem, tad summa nebūs atkarīga no darbību secības. Tas nozīmē, ka noteikumus var pievienot jebkurā secībā.
Neizgudrosim riteni no jauna, bet pievienosim visus terminus no kreisās puses uz labo to parādīšanās secībā:
Pirmā darbība:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Otrā darbība:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Trešā darbība:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Atbilde: izteiksmes −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 vērtība ir 1.
24. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Tulkosim decimālzīme−1,8 jauktā skaitā. Pārrakstīsim pārējo, nemainot:
