Izlemjot dažādi uzdevumi fizika, ķīmija, matemātika un citi eksaktās zinātnes bieži lietots matemātiskie modeļi vienādojumu veidā, kas attiecas uz vienu vai vairākiem neatkarīgiem mainīgajiem, šo mainīgo nezināmu funkciju un šīs funkcijas atvasinājumiem (vai diferenciāļiem). Šāda veida vienādojumus sauc par diferenciāliem.
Ja ir tikai viens neatkarīgs mainīgais, tad vienādojumu sauc par parasto; ja ir divi vai vairāki neatkarīgi mainīgie, tad tiek izsaukts vienādojums daļējs diferenciālvienādojums. Lai iegūtu augsti kvalificētus speciālistus visās augstskolās, kurās apgūst eksaktās disciplīnas, nepieciešams diferenciālvienādojumu kurss. Dažiem studentiem teorija ir grūta, prakse ir cīņa, citiem grūti ir gan teorija, gan prakse. Ja analizējat diferenciālvienādojumus no praktiskā viedokļa, tad, lai tos aprēķinātu, jums tikai jāprot integrēt un ņemt atvasinājumus. Visas pārējās transformācijas ir saistītas ar vairākām shēmām, kuras var saprast un izpētīt. Zemāk mēs pētīsim pamata definīcijas un metodi vienkāršu DR risināšanai.

Diferenciālvienādojumu teorija

Definīcija: Parastais diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas savieno neatkarīgo mainīgo x, funkciju y(x), tās atvasinājumus y"(x), y n (x) un ir vispārējā formaF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferenciālvienādojums(DR) sauc par parastu diferenciālvienādojumu vai daļēju diferenciālvienādojumu. Diferenciālvienādojuma secība nosaka augstākā atvasinājuma (n) secība, kas iekļauta šajā diferenciālvienādojumā.

Diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums ir funkcija, kas satur tik daudz konstantu, cik diferenciālvienādojuma secība, un kuras aizstāšana noteiktā diferenciālvienādojumā pārvērš to par identitāti, tas ir, tai ir forma y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Tiek saukts vispārējs risinājums, kas nav atrisināts attiecībā pret y(x) un kura forma ir F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis.
Atrisinājumu, kas atrasts no vispārīgā konstantu C 1 , C 2 , …, C n fiksētajām vērtībām sauc privāts diferenciālvienādojuma risinājums.
Tiek izsaukta diferenciālvienādojuma un atbilstošā skaita sākotnējo nosacījumu vienlaicīga specifikācija Cauchy problēma.
F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Pirmās kārtas parastais diferenciālvienādojums sauc par formas vienādojumu
F(x, y, y")=0. (1)
Vienādojuma integrālis(1) sauc par relāciju formā Ф (x,y)=0, ja katra ar to netieši norādītā nepārtraukti diferencētā funkcija ir (1) vienādojuma risinājums.
Vienādojums, kura forma ir (1) un kuru nevar reducēt uz vienkāršs skats sauc par vienādojumu, nav izšķirams attiecībā uz atvasinājumu. Ja tā var rakstīt formā
y" = f(x,y), tad to sauc atvasinājumam atrisināts vienādojums.
Košī problēma pirmās kārtas vienādojumam satur tikai vienu sākotnējo nosacījumu, un tam ir šāda forma:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Formas vienādojumi
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
kur mainīgie x i y ir "simetriski": varam pieņemt, ka x ir neatkarīgs mainīgais un y ir atkarīgs mainīgais, vai otrādi, y ir neatkarīgs mainīgais un x ir atkarīgs mainīgais, t.s. vienādojums simetriskā formā.
Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma ģeometriskā nozīme
y"=f(x,y) (3)
ir šāds.
Šis vienādojums izveido savienojumu (atkarību) starp punkta (x;y) koordinātām un integrāllīknes, kas iet caur šo punktu, pieskares leņķisko koeficientu y". Tādējādi vienādojums y"= f(x,y) ir komplekts norādes (norāžu lauks) Dekarta Oxy plaknē.
Līkni, kas veidota punktos, kuros lauka virziens ir vienāds, sauc par izoklīnu. Izoklīnus var izmantot, lai tuvinātu integrālo līkņu uzbūvi. Izoklīna vienādojumu var iegūt, liekot atvasinājumu vienādu ar konstanti y"=C
f(x, y)=C - izoklīna vienādojums..
Vienādojuma integrālā līnija(3) sauc par šī vienādojuma risinājuma grafiku.
Tiek saukti parastie diferenciālvienādojumi, kuru risinājumus var precizēt analītiski y=g(x) integrējami vienādojumi.
Formas vienādojumi
M 0 (x) dx + N 0 (y) dy=0 (3)
tiek saukti vienādojumi ar atsevišķiem aizstājējiem.
No tiem mēs sāksim savu iepazīšanos ar diferenciālvienādojumiem. Tiek saukts DR risinājumu meklēšanas process diferenciālvienādojuma integrācija.

Atdalīti mainīgo vienādojumi

1. piemērs. Atrodiet vienādojuma risinājumu y"=x .
Pārbaudiet risinājumu.
Risinājums: ierakstiet vienādojumu diferenciāļos
dy/dx=x vai dy=x*dx.
Atradīsim vienādojuma labās un kreisās puses integrāli
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2/2+C.
Šis ir DR integrālis.
Pārbaudīsim tās pareizību un aprēķināsim funkcijas atvasinājumu
y"=1/2*2x+0=x.
Kā redzams, saņēmām oriģinālo DR, tāpēc aprēķini ir pareizi.
Mēs tikko esam atraduši risinājumu pirmās kārtas diferenciālvienādojumam. Tas ir tieši tā vienkāršāki vienādojumi, ko var iedomāties.

2. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārējo integrāli
(x+1)y"=y+3
Risinājums: uzrakstīsim sākotnējo vienādojumu diferenciāļos
(x+1)dy=(y+3)dx.
Iegūtais vienādojums tiek reducēts uz DR ar atdalītiem mainīgajiem

Atliek tikai ņemt abu pušu integrāli

Izmantojot tabulas formulas, mēs atrodam
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Ja mēs pakļaujam abas daļas, mēs iegūstam
y+3=e ln|x+1|+C vai y=e ln|x+1|+C -3.
Šis apzīmējums ir pareizs, bet ne kompakts.
Praksē tiek izmantota cita tehnika; aprēķinot integrāli, konstante tiek ievadīta logaritmā
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Saskaņā ar logaritma īpašībām tas ļauj sakļaut pēdējos divus terminus
ln|y+3|=ln(C|x+1|).
Tagad, kad tiek eksponēts diferenciālvienādojuma atrisināšana būs kompakts un viegli lasāms
y=С|x+1|+3
Atcerieties šo noteikumu; praksē to izmanto kā aprēķina standartu.

3. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu
y"=-y*sin(x).
Risinājums: pierakstīsim to vienādojums diferenciāļos
dy/dx= y*sin(x)
vai pēc faktoru pārkārtošanas formā atdalītie vienādojumi
dy/ y=-sin(x)dx.
Atliek integrēt vienādojumu
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Ir ērti ievadīt konstanti zem logaritma un pat ar negatīvu vērtību, lai to varētu pārsūtīt uz kreisā puse gūt
ln|С*y|=cos(x).
Atklājot abas atkarības daļas
С*y=exp(cos(x)).
Tā tas ir. Varat atstāt to tādu, kāds tas ir, vai arī varat to neatgriezeniski pārsūtīt uz labā puse

Aprēķini nav sarežģīti, vairumā gadījumu integrāļus var atrast arī izmantojot tabulu integrācijas formulas.

4. piemērs. Atrisiniet Košī problēmu
y"=y+x, y(1)=e 3-2.
Risinājums: šeit sākotnējās pārvērtības vairs nenotiks. Tomēr vienādojums ir lineārs un diezgan vienkāršs. Šādos gadījumos jums ir jāievieš jauns mainīgais
z=y+x.
Atceroties, ka y=y(x), atradīsim z atvasinājumu.
z"= y"+1,
no kurienes izsakām veco atvasinājumu
y"= z"-1.
Aizstāsim to visu ar sākotnējo vienādojumu
z"-1=z vai z"=z+1.
Pierakstīsim to diferenciālvienādojums caur diferenciāļiem
dz=(z+1)dx.
Mainīgo atdalīšana vienādojumā

Atliek tikai aprēķināt vienkāršus integrāļus, ko var izdarīt ikviens

Mēs atklājam atkarību, lai atbrīvotos no funkcijas logaritma
z+1=e x+C vai z=e x+1-1
Neaizmirstiet atgriezties pie pabeigtās nomaiņas.
z=x+y= e x+С -1,
uzraksti to no šejienes kopīgs lēmums diferenciālvienādojums
y= e x+C -x-1.
Atrodiet risinājumu Košī problēmai DR in šajā gadījumā nav grūti. Mēs izrakstām Košī nosacījumu
y(1)=e 3-2
un aizstāt ar tikko atrasto risinājumu
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
No šejienes mēs iegūstam nosacījumu konstantes aprēķināšanai
1+C=3; C=3-1=2.
Tagad mēs varam rakstīt Košī problēmas risinājums (daļējs DR risinājums)
y= e x+2 -x-1.
Ja protat labi integrēties un labi veicas arī ar atvasinājumiem, tad diferenciālvienādojumu tēma jūsu izglītībā nebūs šķērslis.
Turpmākajā izpētē jums būs jāizpēta vairākas svarīgas diagrammas, lai jūs varētu atšķirt vienādojumus un zināt, kura aizstāšana vai tehnika darbojas katrā gadījumā.
Pēc tam jūs gaida homogēns un nehomogēns DR, pirmās un augstākās kārtas diferenciālvienādojumi. Lai neapgrūtinātu jūs ar teoriju, turpmākajās nodarbībās mēs sniegsim tikai vienādojumu veidus un īsu shēmu to aprēķiniem. Jūs varat izlasīt visu teoriju no metodiskie ieteikumi studēt kursu " Diferenciālvienādojumi" (2014) autori Bokalo Nikolajs Mihailovičs, Domanskaja Jeļena Viktorovna, Chmira Oksana Jurjevna. Varat izmantot citus avotus, kas satur jums saprotamus diferenciālvienādojumu teorijas skaidrojumus. Gatavi diferenciāļa piemēri. vienādojumi, kas ņemti no LNU matemātiķu programmas. I. Frenks.
Mēs zinām, kā atrisināt diferenciālvienādojumus, un mēs to arī mēģināsim viegls ceļs ieaudzināt tevī šīs zināšanas.

Diferenciālvienādojums (DE) - tas ir vienādojums,
kur ir neatkarīgie mainīgie, y ir funkcija un daļējie atvasinājumi.

Parastais diferenciālvienādojums ir diferenciālvienādojums, kuram ir tikai viens neatkarīgs mainīgais, .

Daļējs diferenciālvienādojums ir diferenciālvienādojums, kam ir divi vai vairāki neatkarīgi mainīgie.

Vārdus “parastie” un “daļēji atvasinājumi” var izlaist, ja ir skaidrs, kurš vienādojums tiek aplūkots. Turpmāk aplūkoti parastie diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojuma secība ir augstākā atvasinājuma secība.

Šeit ir pirmās kārtas vienādojuma piemērs:

Šeit ir ceturtās kārtas vienādojuma piemērs:

Dažreiz pirmās kārtas diferenciālvienādojums tiek uzrakstīts diferenciāļu izteiksmē:

Šajā gadījumā mainīgie x un y ir vienādi. Tas ir, neatkarīgais mainīgais var būt vai nu x, vai y. Pirmajā gadījumā y ir x funkcija. Otrajā gadījumā x ir y funkcija. Ja nepieciešams, mēs varam reducēt šo vienādojumu līdz formai, kas nepārprotami ietver atvasinājumu y′.
Dalot šo vienādojumu ar dx, iegūstam:
.
Kopš un , no tā izriet
.

Diferenciālvienādojumu risināšana

Atvasinājumi no elementāras funkcijas tiek izteiktas ar elementārām funkcijām. Elementāro funkciju integrāļi bieži vien netiek izteikti elementārfunkciju izteiksmē. Ar diferenciālvienādojumiem situācija ir vēl sliktāka. Risinājuma rezultātā jūs varat iegūt:

• izteikta funkcijas atkarība no mainīgā;

  Diferenciālvienādojuma atrisināšana ir funkcija y = u (x), kas ir definēts, n reizes diferencējams un .

• implicītā atkarība Φ tipa vienādojuma veidā (x, y) = 0 vai vienādojumu sistēmas;

  Diferenciālvienādojuma integrālis ir diferenciālvienādojuma risinājums, kam ir netieša forma.

• atkarība, kas izteikta ar elementārām funkcijām un integrāļiem no tām;

  Diferenciālvienādojuma atrisināšana kvadrātā - tas ir risinājuma atrašana elementāru funkciju un to integrāļu kombinācijas veidā.

• risinājums var nebūt izteikts ar elementārām funkcijām.

Tā kā diferenciālvienādojumu risināšana ir integrāļu aprēķināšana, risinājums ietver konstantu kopu C 1, C 2, C 3, ... C n. Konstantu skaits ir vienāds ar vienādojuma secību. Diferenciālvienādojuma daļējs integrālis ir vispārējais integrālis dotajām konstantu C 1, C 2, C 3, ..., C n vērtībām.

Atsauces:
V.V. Stepanovs, Diferenciālvienādojumu kurss, "LKI", 2015.
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, “Lan”, 2003.

Parastais diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas saista neatkarīgu mainīgo, šī mainīgā nezināmu funkciju un tā dažādu secību atvasinājumus (vai diferenciāļus).

Diferenciālvienādojuma secība tiek saukta tajā ietvertā augstākā atvasinājuma secība.

Papildus parastajiem tiek pētīti arī daļējie diferenciālvienādojumi. Tie ir vienādojumi, kas attiecas uz neatkarīgiem mainīgajiem, šo mainīgo nezināmu funkciju un to daļējiem atvasinājumiem attiecībā uz tiem pašiem mainīgajiem. Bet mēs tikai apsvērsim parastie diferenciālvienādojumi un tāpēc īsuma labad izlaidīsim vārdu “parasts”.

Diferenciālvienādojumu piemēri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Vienādojums (1) ir ceturtās kārtas, (2) vienādojums ir trešās kārtas, (3) un (4) vienādojums ir otrās kārtas, (5) vienādojums ir pirmās kārtas.

Diferenciālvienādojums n kārtai nav obligāti jāietver precīza funkcija, visi tās atvasinājumi no pirmās līdz n-th order un neatkarīgais mainīgais. Tajā nedrīkst būt ietverti noteiktu secību atvasinājumi, funkcija vai neatkarīgs mainīgais.

Piemēram, vienādojumā (1) nepārprotami nav trešās un otrās kārtas atvasinājumu, kā arī funkcijas; vienādojumā (2) - otrās kārtas atvasinājums un funkcija; vienādojumā (4) - neatkarīgais mainīgais; vienādojumā (5) - funkcijas. Tikai vienādojumā (3) ir skaidri ietverti visi atvasinājumi, funkcija un neatkarīgais mainīgais.

Diferenciālvienādojuma atrisināšana tiek izsaukta katra funkcija y = f(x), kad to aizstāj vienādojumā, tas pārvēršas par identitāti.

Diferenciālvienādojuma risinājuma atrašanas procesu sauc par tā integrācija.

1. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma risinājumu.

Risinājums. Ierakstīsim šo vienādojumu formā . Risinājums ir atrast funkciju no tās atvasinājuma. Sākotnējā funkcija, kā zināms no integrālrēķina, ir antiatvasinājums, t.i.

Tā tas ir šī diferenciālvienādojuma risinājums . Mainoties tajā C, iegūsim dažādus risinājumus. Mēs noskaidrojām, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumam ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums n kārta ir tās risinājums, kas skaidri izteikts attiecībā uz nezināmo funkciju un satur n neatkarīgas patvaļīgas konstantes, t.i.

Diferenciālvienādojuma risinājums 1. piemērā ir vispārīgs.

Diferenciālvienādojuma daļējs atrisinājums tiek izsaukts risinājums, kurā patvaļīgām konstantēm tiek dotas noteiktas skaitliskās vērtības.

2. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu un konkrētu risinājumu .

Risinājums. Integrēsim abas vienādojuma puses reižu skaitu, kas vienāds ar diferenciālvienādojuma secību.

,

.

Rezultātā mēs saņēmām vispārīgu risinājumu -

dotā trešās kārtas diferenciālvienādojuma.

Tagad atradīsim konkrētu risinājumu norādītajos apstākļos. Lai to izdarītu, patvaļīgu koeficientu vietā aizstājiet to vērtības un iegūstiet

.

Ja papildus diferenciālvienādojumam sākuma nosacījums ir dots formā , tad šādu uzdevumu sauc Cauchy problēma . Aizstājiet vērtības un vienādojuma vispārējā risinājumā un atrodiet patvaļīgas konstantes vērtību C, un pēc tam konkrēts atrastās vērtības vienādojuma risinājums C. Tas ir Košī problēmas risinājums.

3. piemērs. Atrisiniet Košī uzdevumu diferenciālvienādojumam no 1. piemēra, ievērojot .

Risinājums. Aizstāsim vērtības no sākotnējā stāvokļa ar vispārējo risinājumu y = 3, x= 1. Mēs iegūstam

Mēs pierakstām Košī problēmas risinājumu šim pirmās kārtas diferenciālvienādojumam:

Lai atrisinātu diferenciālvienādojumus, pat visvienkāršākos, ir nepieciešamas labas integrācijas un atvasināšanas prasmes, tostarp sarežģītas funkcijas. To var redzēt nākamajā piemērā.

4. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu.

Risinājums. Vienādojums ir uzrakstīts tādā formā, lai jūs uzreiz varētu integrēt abas puses.

.

Mēs izmantojam integrācijas metodi, mainot mainīgo (aizvietošanu). Lai tad ir.

Obligāti jāņem dx un tagad - uzmanība - mēs to darām saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikumiem, kopš x un ir sarežģīta funkcija("ābols" - ekstrakcija kvadrātsakne vai, kas ir tas pats - paaugstināšana līdz “pusei”, un “maltā gaļa” ir pats izteiciens zem saknes):

Mēs atrodam integrāli:

Atgriežoties pie mainīgā x, mēs iegūstam:

.

Šis ir šī pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma vispārīgais risinājums.

Diferenciālvienādojumu risināšanā būs nepieciešamas ne tikai prasmes no iepriekšējām augstākās matemātikas sadaļām, bet arī pamatskolas, tas ir, skolas matemātikas. Kā jau minēts, jebkuras kārtas diferenciālvienādojumā var nebūt neatkarīga mainīgā, tas ir, mainīgā x. Šo problēmu palīdzēs atrisināt skolas zināšanas par proporcijām, kuras nav aizmirstas (tomēr atkarībā no tā, kurš). Šis ir nākamais piemērs.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri.
Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

Diferenciālvienādojumi (DE). Šie divi vārdi parasti biedē vidusmēra cilvēku. Šķiet, ka diferenciālvienādojumi daudziem studentiem ir kaut kas pārmērīgs un grūti apgūstams. Ūūūū... diferenciālvienādojumi, kā lai es to visu pārdzīvoju?!

Šis viedoklis un šāda attieksme ir principiāli nepareizs, jo patiesībā DIFERENCIĀLIE VIENĀDĀJUMI — TAS IR VIENKĀRŠI UN PAT PRIEKTRI. Kas jums jāzina un jāprot, lai iemācītos atrisināt diferenciālvienādojumus? Lai veiksmīgi pētītu difūzus, jums labi jāprot integrēt un diferencēt. Jo labāk tiek pētītas tēmas Viena mainīgā funkcijas atvasinājums Un Nenoteikts integrālis, jo vieglāk būs saprast diferenciālvienādojumus. Teikšu vairāk, ja ir vairāk vai mazāk pieklājīgas integrācijas prasmes, tad tēma ir gandrīz apgūta! Jo vairāk integrāļu dažādi veidi jūs zināt, kā izlemt - jo labāk. Kāpēc? Jums būs daudz jāintegrē. Un atšķirt. Arī ļoti ieteiktu iemācies atrast.

95% gadījumu in testiem Ir 3 pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidi: atdalāmi vienādojumi ko aplūkosim šajā nodarbībā; viendabīgi vienādojumi Un lineāri nehomogēni vienādojumi. Tiem, kas sāk mācīties difuzorus, iesaku lasīt nodarbības tieši šādā secībā, un pēc pirmo divu rakstu izpētes nenāks par ļaunu nostiprināt savas prasmes papildu darbnīcā - vienādojumi, kas tiek reducēti līdz viendabīgiem.

Ir vēl retāki diferenciālvienādojumu veidi: kopējie diferenciālvienādojumi, Bernulli vienādojumi un daži citi. Vissvarīgākie no pēdējiem diviem veidiem ir vienādojumi kopējos diferenciāļos, jo papildus šim diferenciālvienādojumam es uzskatu jauns materiāls – daļēja integrācija.

Ja jums ir palikusi tikai diena vai divas, Tas īpaši ātrai pagatavošanai Tur ir zibens kurss pdf formātā.

Tātad, orientieri ir iestatīti - ejam:

Vispirms atcerēsimies parastos algebriskos vienādojumus. Tie satur mainīgos lielumus un skaitļus. Vienkāršākais piemērs: . Ko nozīmē atrisināt parastu vienādojumu? Tas nozīmē atrast skaitļu kopums, kas apmierina šo vienādojumu. Ir viegli pamanīt, ka bērnu vienādojumam ir viena sakne: . Izklaidei pārbaudīsim un ievietojiet atrasto sakni mūsu vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka risinājums atrasts pareizi.

Izkliedētāji ir veidoti līdzīgi!

Diferenciālvienādojums pirmais pasūtījums V vispārējs gadījums satur:
1) neatkarīgais mainīgais;
2) atkarīgais mainīgais (funkcija);
3) funkcijas pirmais atvasinājums: .

Dažos pirmās kārtas vienādojumos var nebūt “x” un/vai “y”, taču tas nav būtiski - svarīgs lai dotos uz vadības telpu bija pirmais atvasinājums, un nebija augstākās kārtas atvasinājumi – u.c.

Ko nozīmē ? Diferenciālvienādojuma risināšana nozīmē atrašanu visu funkciju komplekts, kas apmierina šo vienādojumu. Šādai funkciju kopai bieži ir forma (– patvaļīga konstante), ko sauc diferenciālvienādojuma vispārējs risinājums.

1. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Pilna munīcija. Kur sākt risinājums?

Pirmkārt, jums ir jāpārraksta atvasinājums nedaudz citā formā. Mēs atceramies apgrūtinošo apzīmējumu, kas, iespējams, daudziem no jums šķita smieklīgs un nevajadzīgs. Lūk, kas valda difuzoros!

Otrajā darbībā redzēsim, vai tas ir iespējams atsevišķi mainīgie? Ko nozīmē atdalīt mainīgos? Rupji runajot, kreisajā pusē mums jādodas prom tikai "grieķi", A labajā pusē organizēt tikai "X". Mainīgo lielumu sadalīšana tiek veikta, izmantojot “skolas” manipulācijas: izliekot tos no iekavām, pārnesot terminus no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, pārnesot faktorus no daļas uz daļu saskaņā ar proporcijas likumu utt.

Atšķirības un ir pilni vairotāji un aktīvi karadarbības dalībnieki. Apskatāmajā piemērā mainīgos lielumus var viegli atdalīt, izmetot faktorus atbilstoši proporcijas likumam:

Mainīgie ir atdalīti. Kreisajā pusē ir tikai “Y”, labajā pusē – tikai “X”.

Nākamais posms - diferenciālvienādojuma integrācija. Tas ir vienkārši, mēs ievietojam integrāļus abās pusēs:

Protams, mums ir jāņem integrāļi. Šajā gadījumā tie ir tabulas veidā:

Kā mēs atceramies, jebkuram antiatvasinājumam tiek piešķirta konstante. Šeit ir divi integrāļi, taču pietiek vienreiz ierakstīt konstanti (jo konstante + konstante joprojām ir vienāda ar citu konstanti). Vairumā gadījumu tas ir novietots labajā pusē.

Stingri sakot, pēc integrāļu ņemšanas diferenciālvienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu. Vienīgais ir tas, ka mūsu “y” netiek izteikts caur “x”, tas ir, tiek piedāvāts risinājums netiešā veidā formā. Diferenciālvienādojuma risinājumu implicītā formā sauc diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis. Tas ir, tas ir vispārējs integrālis.

Atbilde šajā formā ir diezgan pieņemama, bet vai ir labāks risinājums? Mēģināsim dabūt kopīgs lēmums.

Lūdzu, atcerieties pirmo tehniku, tas ir ļoti izplatīts un bieži tiek izmantots praktiskie uzdevumi: ja pēc integrācijas labajā pusē parādās logaritms, tad daudzos gadījumos (bet ne vienmēr!) zem logaritma vēlams rakstīt arī konstanti.

Tas ir, TĀ VIETĀ ieraksti parasti tiek rakstīti .

Kāpēc tas ir vajadzīgs? Un lai būtu vieglāk izteikt “spēli”. Izmantojot logaritmu īpašību . Šajā gadījumā:

Tagad logaritmus un moduļus var noņemt:

Funkcija ir skaidri parādīta. Šis ir vispārējais risinājums.

Atbilde: kopīgs lēmums: .

Atbildes uz daudziem diferenciālvienādojumiem ir diezgan viegli pārbaudīt. Mūsu gadījumā tas tiek darīts pavisam vienkārši, mēs ņemam atrasto risinājumu un atšķiram to:

Tad mēs aizstājam atvasinājumu sākotnējā vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka vispārējais risinājums apmierina vienādojumu, kas ir tas, kas bija jāpārbauda.

Sniedzot konstanti dažādas vērtības, jūs varat iegūt bezgalīgu skaitu privātie risinājumi diferenciālvienādojums. Ir skaidrs, ka jebkura no funkcijām , u.c. apmierina diferenciālvienādojumu.

Dažreiz tiek saukts vispārējs risinājums funkciju saime. Šajā piemērā vispārīgais risinājums - šī ir ģimene lineārās funkcijas, pareizāk sakot, tiešas proporcionalitātes ģimene.

Pēc rūpīgas pirmā piemēra pārskatīšanas ir lietderīgi atbildēt uz vairākiem naiviem jautājumiem par diferenciālvienādojumiem:

1)Šajā piemērā mēs varējām atdalīt mainīgos. Vai to vienmēr var izdarīt? Nē ne vienmēr. Un vēl biežāk mainīgos lielumus nevar atdalīt. Piemēram, iekšā homogēni pirmās kārtas vienādojumi, vispirms tas ir jāaizstāj. Citu veidu vienādojumos, piemēram, pirmās kārtas lineārajā nehomogēnā vienādojumā, jums ir jāizmanto dažādas tehnikas un metodes vispārēja risinājuma atrašanai. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, kurus mēs aplūkojam pirmajā nodarbībā - vienkāršākais veids diferenciālvienādojumi.

2) Vai vienmēr ir iespējams integrēt diferenciālvienādojumu? Nē ne vienmēr. Ir ļoti viegli izdomāt “iedomātu” vienādojumu, ko nevar integrēt; turklāt ir integrāļi, kurus nevar ņemt. Bet līdzīgus DE var atrisināt aptuveni, izmantojot īpašas metodes. D’Alemberts un Košī garantē... ...ugh, lurkmore.Lai tikko daudz lasītu, es gandrīz piebildu “no citas pasaules”.

3) Šajā piemērā mēs ieguvām risinājumu vispārējā integrāļa formā . Vai vienmēr ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu no vispārējā integrāļa, tas ir, skaidri izteikt “y”? Nē ne vienmēr. Piemēram: . Nu kā te var izteikties "grieķu valodā"?! Šādos gadījumos atbilde jāraksta kā vispārējs integrālis. Turklāt dažreiz ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu, bet tas ir uzrakstīts tik apgrūtinoši un neveikli, ka labāk ir atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā

4) ...varbūt pagaidām ar to pietiks. Pirmajā piemērā mēs saskārāmies Vēl viens svarīgs punkts , bet tā, lai “manekenus” nepārklātu ar lavīnu jaunu informāciju, atstāšu līdz nākamajai nodarbībai.

Mēs nesteigsimies. Vēl viena vienkārša tālvadības pults un vēl viens tipisks risinājums:

2. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu

Risinājums: saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod privāts risinājums DE, kas atbilst noteiktajam sākuma nosacījumam. Šo jautājuma formulējumu arī sauc Cauchy problēma.

Vispirms mēs atrodam vispārīgu risinājumu. Vienādojumā nav mainīgā “x”, taču tas nedrīkst sajaukt, galvenais, lai tam būtu pirmais atvasinājums.

Mēs pārrakstām atvasinājumu vajadzīgajā formā:

Acīmredzot mainīgos var atdalīt, zēnus pa kreisi, meitenes pa labi:

Integrēsim vienādojumu:

Tiek iegūts vispārējais integrālis. Šeit es uzzīmēju konstanti ar zvaigznīti, fakts ir tāds, ka ļoti drīz tā pārvērtīsies par citu konstanti.

Tagad mēs cenšamies pārveidot vispārējo integrāli vispārīgā risinājumā (skaidri izteikt “y”). Atcerēsimies vecās labās lietas no skolas laikiem: . Šajā gadījumā:

Indikatora konstante izskatās kaut kā nekošēra, tāpēc to parasti nolaiž uz zemes. Sīkāk, tas notiek šādi. Izmantojot grādu īpašību, funkciju pārrakstām šādi:

Ja ir konstante, tad ir arī kāda konstante, pārzīmēsim to ar burtu :

Atcerieties, ka konstante ir “nojaukšana”. otrā tehnika, ko bieži izmanto, risinot diferenciālvienādojumus.

Tātad vispārējais risinājums ir:. Šī ir jauka eksponenciālu funkciju saime.

Pēdējā posmā jums ir jāatrod konkrēts risinājums, kas atbilst norādītajam sākuma nosacījumam. Tas arī ir vienkārši.

Kāds ir uzdevums? Vajag paņemt tādi konstantes vērtību, lai nosacījums būtu izpildīts.

To var formatēt dažādi, taču tas, iespējams, būs skaidrākais veids. Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam ar nulli, bet “Y” vietā ar diviem:



Tas ir,

Standarta dizaina versija:

Tagad atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu:
– tas ir konkrētais risinājums, kas mums vajadzīgs.

Atbilde: privāts risinājums:

Pārbaudīsim. Privāta risinājuma pārbaude ietver divus posmus:

Vispirms ir jāpārbauda, ​​vai konkrētais atrastais risinājums patiešām apmierina sākotnējo nosacījumu? “X” vietā mēs aizstājam nulli un skatāmies, kas notiek:
- jā, tiešām, tika saņemts divnieks, kas nozīmē, ka sākotnējais nosacījums ir izpildīts.

Otrais posms jau ir pazīstams. Mēs ņemam iegūto konkrēto risinājumu un atrodam atvasinājumu:

Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu:

– tiek iegūta pareizā vienlīdzība.

Secinājums: konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.

3. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: Mēs pārrakstām atvasinājumu mums vajadzīgajā formā:

Mēs izvērtējam, vai ir iespējams nodalīt mainīgos? Var. Pārvietojam otro terminu uz labo pusi ar zīmes maiņu:

Un mēs pārskaitām reizinātājus saskaņā ar proporcijas likumu:

Mainīgie ir atdalīti, integrēsim abas daļas:

Man jūs jābrīdina, tuvojas sprieduma diena. Ja neesi labi mācījies nenoteiktie integrāļi, ir atrisinājis dažus piemērus, tad nav kur iet - tagad tie būs jāapgūst.

Kreisās puses integrālis ir viegli atrodams; mēs apstrādājam kotangensa integrāli, izmantojot standarta paņēmienu, ko apskatījām nodarbībā Trigonometrisko funkciju integrēšana pagājušais gads:

Labajā pusē mums ir logaritms, un saskaņā ar manu pirmo tehnisko ieteikumu zem logaritma ir jāraksta arī konstante.

Tagad mēs cenšamies vienkāršot vispārējo integrāli. Tā kā mums ir tikai logaritmi, no tiem ir pilnīgi iespējams (un nepieciešams) atbrīvoties. Izmantojot zināmās īpašības Mēs “iepakojam” logaritmus, cik vien iespējams. Es to uzrakstīšu ļoti detalizēti:

Iepakojums ir pabeigts tā, lai tas būtu barbariski nobružāts:

Vai ir iespējams izteikt “spēli”? Var. Ir nepieciešams kvadrātveida abas daļas.

Bet jums tas nav jādara.

Trešais tehniskais padoms: ja vispārēja risinājuma iegūšanai jāpaaugstina līdz jaudai vai jāiesakņojas, tad Vairumā gadījumu jums vajadzētu atturēties no šīm darbībām un atstāt atbildi vispārējā integrāļa veidā. Fakts ir tāds, ka vispārējais risinājums izskatīsies vienkārši briesmīgi - ar lielām saknēm, zīmēm un citiem atkritumiem.

Tāpēc mēs rakstām atbildi vispārējā integrāļa formā. Tiek uzskatīts par labu praksi to uzrādīt formā , tas ir, labajā pusē, ja iespējams, atstājiet tikai konstanti. Tas nav jādara, bet vienmēr ir izdevīgi iepriecināt profesoru ;-)

Atbilde: vispārējais integrālis:

! Piezīme: Jebkura vienādojuma vispārējo integrāli var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā. Tādējādi, ja jūsu rezultāts nesakrīt ar iepriekš zināmo atbildi, tas nenozīmē, ka esat atrisinājis vienādojumu nepareizi.

Arī vispārējais integrālis ir diezgan viegli pārbaudāms, galvenais, lai var atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājums. Atšķirsim atbildi:

Mēs reizinām abus vārdus ar:

Un dala ar:

Sākotnējais diferenciālvienādojums ir iegūts precīzi, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

4. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums.

Atgādināšu, ka algoritms sastāv no diviem posmiem:
1) vispārēja risinājuma atrašana;
2) vajadzīgā konkrētā risinājuma atrašana.

Pārbaude tiek veikta arī divos posmos (skatiet paraugu piemērā Nr. 2), jums ir nepieciešams:
1) pārliecināties, ka konkrētais atrastais risinājums atbilst sākotnējam nosacījumam;
2) pārbaudiet, vai konkrētais risinājums kopumā atbilst diferenciālvienādojumam.

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

5. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu , apmierinot sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums: Pirmkārt, atradīsim vispārīgu risinājumu, šis vienādojums jau satur gatavus diferenciāļus, un tāpēc risinājums ir vienkāršots. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim vienādojumu:

Kreisajā pusē esošais integrālis ir tabulas veidā, labās puses integrālis tiek ņemts metode funkcijas iekļaušanai zem diferenciālzīmes:

Ir iegūts vispārējais integrālis, vai ir iespējams veiksmīgi izteikt vispārējo risinājumu? Var. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs. Tā kā tās ir pozitīvas, moduļa zīmes nav vajadzīgas:

(ceru, ka visi saprot pārvērtības, tādas lietas jau būtu jāzina)

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam.
Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam nulli, bet “Y” vietā mēs aizstājam divu logaritmu:

Pazīstamāks dizains:

Atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu.

Atbilde: privāts risinājums:

Pārbaudiet: vispirms pārbaudīsim, vai ir izpildīts sākotnējais nosacījums:
- viss ir labi.

Tagad pārbaudīsim, vai atrastais konkrētais risinājums vispār apmierina diferenciālvienādojumu. Atvasinājuma atrašana:

Apskatīsim sākotnējo vienādojumu: – to uzrāda diferenciāļos. Ir divi veidi, kā pārbaudīt. Ir iespējams izteikt diferenciāli no atrastā atvasinājuma:

Aizstāsim atrasto konkrēto risinājumu un iegūto diferenciāli sākotnējā vienādojumā :

Mēs izmantojam pamata logaritmisko identitāti:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Otrā pārbaudes metode ir atspoguļota un pazīstamāka: no vienādojuma Izteiksim atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs sadalām visus gabalus ar:

Un transformētajā DE aizvietojam iegūto parciālo risinājumu un atrasto atvasinājumu. Vienkāršošanas rezultātā būtu jāiegūst arī pareiza vienlīdzība.

6. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Norādiet atbildi vispārējā integrāļa veidā.

Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam, pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kādas grūtības sagaida, risinot diferenciālvienādojumus ar atdalāmiem mainīgajiem?

1) Ne vienmēr ir skaidrs (īpaši “tējkannai”), ka mainīgos var atdalīt. Apsvērsim nosacīts piemērs: . Šeit jums ir jāizņem faktori no iekavām: un jāatdala saknes: . Ir skaidrs, ko darīt tālāk.

2) Grūtības ar pašu integrāciju. Integrāļi bieži vien nav no vienkāršākajiem, un, ja ir trūkumi atrast prasmēs nenoteikts integrālis, tad ar daudziem difuzoriem būs grūti. Turklāt loģika “tā kā diferenciālvienādojums ir vienkāršs, tad lai vismaz integrāļi ir sarežģītāki” ir populāra kolekciju un mācību rokasgrāmatu sastādītāju vidū.

3) Pārvērtības ar konstanti. Kā visi ir pamanījuši, ar konstanti diferenciālvienādojumos var rīkoties diezgan brīvi, un dažas transformācijas iesācējam ne vienmēr ir skaidras. Apskatīsim vēl vienu nosacītu piemēru: . Ieteicams visus vārdus reizināt ar 2: . Iegūtā konstante ir arī sava veida konstante, ko var apzīmēt ar: . Jā, un tā kā labajā pusē ir logaritms, ieteicams konstanti pārrakstīt citas konstantes formā: .

Problēma ir tā, ka viņi bieži neuztraucas ar indeksiem un izmanto vienu un to pašu burtu. Rezultātā lēmuma ierakstam ir šāda forma:

Kāda veida ķecerība? Tur ir kļūdas! Stingri sakot, jā. Taču no saturiskā viedokļa kļūdu nav, jo mainīgas konstantes transformācijas rezultātā vienalga tiek iegūta mainīgā konstante.

Vai arī cits piemērs, pieņemsim, ka vienādojuma risināšanas gaitā tiek iegūts vispārējs integrālis. Šī atbilde izskatās neglīta, tāpēc ir ieteicams mainīt katra termina zīmi: . Formāli šeit ir vēl viena kļūda - tas jāraksta pa labi. Bet neoficiāli tiek norādīts, ka “mīnus ce” joprojām ir nemainīgs ( kas tikpat viegli var iegūt jebkādu nozīmi!), tāpēc “mīnusa” likšana nav jēga, un jūs varat izmantot to pašu burtu.

Es centīšos izvairīties no paviršas pieejas un, pārvēršot konstantēm, joprojām piešķiršu dažādus indeksus.

7. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums:Šis vienādojums ļauj atdalīt mainīgos. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim:

Šeit konstante nav jādefinē kā logaritms, jo no tā nekas lietderīgs neiznāks.

Atbilde: vispārējais integrālis:

Pārbaudiet: nošķiriet atbildi (netiešā funkcija):

Mēs atbrīvojamies no daļskaitļiem, reizinot abus vārdus ar:

Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

8. piemērs

Atrodiet konkrētu DE risinājumu.
,

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Vienīgais mājiens ir tāds, ka šeit jūs iegūsit vispārēju integrāli, un, pareizāk sakot, jums ir jāizdomā, lai atrastu nevis konkrētu risinājumu, bet daļējs integrālis. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Dažās fizikas problēmās nav iespējams izveidot tiešu saikni starp procesu aprakstošiem lielumiem. Bet ir iespējams iegūt vienādību, kas satur pētāmo funkciju atvasinājumus. Tādā veidā rodas diferenciālvienādojumi un nepieciešamība tos atrisināt, lai atrastu nezināmu funkciju.

Šis raksts ir paredzēts tiem, kas saskaras ar diferenciālvienādojuma risināšanas problēmu, kurā nezināmā funkcija ir viena mainīgā funkcija. Teorija ir strukturēta tā, lai bez zināšanām par diferenciālvienādojumiem jūs varētu tikt galā ar savu uzdevumu.

Katrs diferenciālvienādojuma veids ir saistīts ar risināšanas metodi ar detalizētiem skaidrojumiem un tipisku piemēru un problēmu risinājumiem. Viss, kas jums jādara, ir noteikt jūsu problēmas diferenciālvienādojuma veidu, atrast līdzīgu analizētu piemēru un veikt līdzīgas darbības.

Lai veiksmīgi atrisinātu diferenciālvienādojumus, jums būs nepieciešama arī iespēja atrast antiatvasinājumu kopas ( nenoteiktie integrāļi) dažādas funkcijas. Ja nepieciešams, iesakām skatīt sadaļu.

Vispirms apskatīsim pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu veidus, kurus var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu, tad pāriesim pie otrās kārtas ODE, tad pakavēsimies pie augstākās kārtas vienādojumiem un beigsim ar sistēmām diferenciālvienādojumi.

Atcerieties, ka, ja y ir argumenta x funkcija.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi.

Vienkāršākie formas pirmās kārtas diferenciālvienādojumi.

Pierakstīsim dažus šādas tālvadības pults piemērus .

Diferenciālvienādojumi var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu, dalot abas vienādības puses ar f(x) . Šajā gadījumā mēs iegūstam vienādojumu, kas būs līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam f(x) ≠ 0. Šādu ODE piemēri ir .

Ja ir argumenta x vērtības, pie kurām funkcijas f(x) un g(x) vienlaikus pazūd, tad parādās papildu risinājumi. Vienādojuma papildu risinājumi dotais x ir jebkuras funkcijas, kas definētas šīm argumentu vērtībām. Šādu diferenciālvienādojumu piemēri ir:

Otrās kārtas diferenciālvienādojumi.

Otrās kārtas lineāri homogēni diferenciālvienādojumi ar pastāvīgie koeficienti.

LDE ar nemainīgiem koeficientiem ir ļoti izplatīts diferenciālvienādojuma veids. Viņu risinājums nav īpaši grūts. Vispirms tiek atrastas saknes raksturīgais vienādojums . Dažādiem p un q ir iespējami trīs gadījumi: raksturīgā vienādojuma saknes var būt reālas un dažādas, reālas un sakrītošas vai sarežģīti konjugāti. Atkarībā no raksturīgā vienādojuma sakņu vērtībām diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums tiek uzrakstīts kā , vai , vai attiecīgi.

Piemēram, apsveriet lineāru homogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Tā raksturīgā vienādojuma saknes ir k 1 = -3 un k 2 = 0. Saknes ir reālas un dažādas, tāpēc LODE vispārējam risinājumam ar nemainīgiem koeficientiem ir forma


Otrās kārtas lineāri nehomogēni diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

Otrās kārtas LDDE vispārējs risinājums ar nemainīgiem koeficientiem y tiek meklēts atbilstošā LDDE vispārējā risinājuma summas veidā un īpašs risinājums oriģinālam nehomogēns vienādojums, tas ir, . Iepriekšējā rindkopa ir veltīta vispārīga risinājuma atrašanai homogēnam diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem. Un konkrētu risinājumu nosaka vai nu metode nenoteikti koeficienti noteiktai funkcijas f(x) formai labajā pusē sākotnējais vienādojums, vai ar patvaļīgu konstantu mainīšanas metodi.

Kā piemērus otrās kārtas LDDE ar nemainīgiem koeficientiem mēs sniedzam


Lai saprastu teoriju un iepazītos ar detalizētiem piemēru risinājumiem, mēs piedāvājam jums lapā lineārus nehomogēnus otrās kārtas diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem.

Lineāri viendabīgi diferenciālvienādojumi (LODE) un otrās kārtas lineāri nehomogēni diferenciālvienādojumi (LNDE).

Īpašs šāda veida diferenciālvienādojumu gadījums ir LODE un LDDE ar nemainīgiem koeficientiem.

LODE vispārīgo atrisinājumu noteiktā segmentā attēlo divu lineāri neatkarīgu šī vienādojuma daļēju risinājumu y 1 un y 2 lineāra kombinācija, tas ir, .

Galvenās grūtības ir tieši atrast lineāri neatkarīgus daļējus risinājumus šāda veida diferenciālvienādojumam. Parasti tiek izvēlēti konkrēti risinājumi šādas sistēmas lineārs neatkarīgas funkcijas:


Tomēr konkrēti risinājumi ne vienmēr tiek piedāvāti šādā formā.

LOD piemērs ir .

LDDE vispārējais risinājums tiek meklēts formā , kur ir atbilstošā LDDE vispārējais risinājums un ir sākotnējā diferenciālvienādojuma konkrētais risinājums. Mēs tikko runājām par tā atrašanu, bet to var noteikt, izmantojot patvaļīgu konstantu mainīšanas metodi.

Var minēt LNDU piemēru .

Augstāku kārtu diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojumi, kas ļauj samazināt secību.

Diferenciālvienādojuma secība , kas nesatur vēlamo funkciju un tās atvasinājumus līdz k-1 secībai, var samazināt līdz n-k, aizstājot .

Šajā gadījumā sākotnējais diferenciālvienādojums tiks samazināts līdz . Pēc tā atrisinājuma p(x) atrašanas atliek atgriezties pie aizstāšanas un noteikt nezināmo funkciju y.

Piemēram, diferenciālvienādojums pēc aizstāšanas tas kļūs par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, un tā secība tiks samazināta no trešās uz pirmo.