Diferenciālvienādojumi patvaļīgas konstantes variācijai. Augstākas kārtas lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu risināšana ar Lagranža metodi

Apsveriet lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem patvaļīgiem n-tās kārtas koeficientiem:
(1) .
Konstantes variācijas metode, ko mēs apsvērām pirmās kārtas vienādojumam, ir piemērojama arī augstākās kārtas vienādojumiem.

Risinājums tiek veikts divos posmos. Pirmajā solī mēs atmetam labo pusi un atrisinām viendabīgo vienādojumu. Rezultātā mēs iegūstam risinājumu, kas satur n patvaļīgas konstantes. Otrajā posmā mēs mainām konstantes. Tas ir, mēs uzskatām, ka šīs konstantes ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas, un atrodam šo funkciju formu.

Lai gan mēs šeit apsveram vienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, bet Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai. Tomēr šim nolūkam ir jāzina viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.

1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisināšana

Tāpat kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs vispirms meklējam homogēnā vienādojuma vispārīgu risinājumu, pielīdzinot labo nehomogēnu pusi ar nulli:
(2) .
Šī vienādojuma vispārīgais risinājums ir:
(3) .
Šeit ir patvaļīgas konstantes; - n lineāri neatkarīgi viendabīga vienādojuma (2) atrisinājumi, kas veido šī vienādojuma atrisinājumu fundamentālu sistēmu.

2. solis. Konstantu variācija - konstantu aizstāšana ar funkcijām

Otrajā posmā mēs aplūkosim konstantu variācijas. Citiem vārdiem sakot, mēs aizstāsim konstantes ar neatkarīgā mainīgā x funkcijām:
.
Tas ir, mēs meklējam risinājumu sākotnējais vienādojums(1) šādi:
(4) .

Ja mēs aizstājam (4) ar (1), mēs iegūstam vienu diferenciālvienādojumu n funkcijām. Šajā gadījumā mēs varam savienot šīs funkcijas ar papildu vienādojumiem. Tad jūs iegūstat n vienādojumus, no kuriem var noteikt n funkcijas.. Bet mēs to darīsim tā, lai risinājumam būtu visvienkāršākā forma. Lai to izdarītu, diferencējot, ir jāpielīdzina nullei termini, kas satur funkciju atvasinājumus.

Demonstrēsim to. Lai piedāvāto risinājumu (4) aizstātu ar sākotnējo vienādojumu (1), mums jāatrod formā (4) ierakstītās funkcijas pirmās n kārtas atvasinājumi. Mēs atšķiram (4), izmantojot summas diferencēšanas noteikumi
.
un darbojas:

.
Sagrupēsim dalībniekus. Vispirms mēs pierakstām terminus ar atvasinājumiem un pēc tam terminus ar atvasinājumiem no :
(5.1) .
Uzliksim funkcijām pirmo nosacījumu:
(6.1) .

Tad izteiksmei pirmajam atvasinājumam attiecībā pret būs vienkāršāka forma:

.
Izmantojot to pašu metodi, mēs atrodam otro atvasinājumu:
(5.2) .
Uzliksim funkcijām otru nosacījumu:
(6.2) .
Tad Un tā tālāk. IN papildu nosacījumi

, mēs pielīdzinām terminus, kas satur funkciju atvasinājumus, ar nulli.
Tādējādi, ja funkcijām izvēlamies šādus papildu vienādojumus: ,
(5.k)
tad pirmajiem atvasinājumiem attiecībā uz būs visvienkāršākā forma: .
(6.k)

Šeit .
Atrodiet n-to atvasinājumu:
.

(6.n)
(1) ;






.
Aizstājiet sākotnējo vienādojumu (1):
.
Ņemsim vērā, ka visas funkcijas atbilst (2) vienādojumam:
(7) .

Tad terminu summa, kas satur, dod nulli. Rezultātā mēs iegūstam:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
Rezultātā mēs saņēmām lineāro vienādojumu sistēmu atvasinājumiem: ;
(5.n-1) .

(7′)
.
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam izteiksmes atvasinājumiem kā funkciju no x.

Integrējot, mēs iegūstam: Šeit ir konstantes, kas vairs nav atkarīgas no x. Aizvietojot ar (4), mēs iegūstam sākotnējā vienādojuma vispārīgu risinājumu.Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu atvasinājumu vērtības, mēs nekad neesam izmantojuši faktu, ka koeficienti a i ir nemainīgi. Tieši tāpēc

Lagranža metode ir izmantojama, lai atrisinātu jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu

, ja ir zināma homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumu fundamentālā sistēma.

Piemēri Atrisiniet vienādojumus, izmantojot konstantu variācijas metodi (Lagrange). Pievērsīsimies lineāra nehomogēna izskatīšanai

diferenciālvienādojumi laipns Kur



- argumenta nepieciešamā funkcija
.

un funkcijas ir doti un nepārtraukti noteiktā intervālāŅemsim vērā lineāro homogēno vienādojumu, kreisā puse (2.31),

kas sakrīt ar kreiso pusi nehomogēns vienādojums (2.31).

Tiek izsaukts formas (2.32) vienādojums

viendabīgs vienādojums, kas atbilst nehomogēnajam vienādojumam Par nehomogēnā lineārā vienādojuma (2.31.) vispārīgā risinājuma uzbūvi ir spēkā šāda teorēma.

Teorēma 2.6.

diferenciālvienādojumi - vienādojuma (2.31) konkrēts risinājums,
ir homogēnā vienādojuma (2.32) atrisinājumu pamatsistēma un
- patvaļīgas konstantes.

Šīs teorēmas pierādījumus atradīsit.

Izmantojot otrās kārtas diferenciālvienādojuma piemēru, mēs iezīmēsim metodi, ar kuras palīdzību var atrast konkrētu risinājumu lineāram nehomogēnam vienādojumam. Šo metodi sauc Patvaļīgu konstantu variācijas Lagranža metode.

Tātad, dosim nehomogēnu lineāru vienādojumu

(2.35)

kur ir koeficienti
un labajā pusē
nepārtraukti kādā intervālā
.

Apzīmēsim ar
Un
homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma

(2.36)

Tad tā vispārējam risinājumam ir forma

(2.37)

diferenciālvienādojumi Un - patvaļīgas konstantes.

Mēs meklēsim vienādojuma (2.35) risinājumu tādā pašā formā , kā arī atbilstošā viendabīgā vienādojuma vispārējais risinājums, aizstājot patvaļīgas konstantes ar dažām diferencējamām funkcijām (mēs mainām patvaļīgas konstantes), tie.

diferenciālvienādojumi
Un
- dažas atšķirīgas funkcijas no , kas vēl nav zināmi un kurus mēģināsim noteikt, lai funkcija (2.38) būtu nehomogēnā vienādojuma (2.35) risinājums. Diferencējot abas vienlīdzības puses (2.38), iegūstam

Tā ka aprēķinot otrās kārtas atvasinājumi
Un
, mēs to pieprasām visur
nosacījums bija izpildīts

Tad priekš mums būs

Aprēķināsim otro atvasinājumu

Izteicienu aizstāšana ar ,,no (2.38), (2.40), (2.41) vienādojumā (2.35), iegūstam

Izteiksmes kvadrātiekavās visur ir vienādas ar nulli
, jo Un - vienādojuma (2.36) daļējie risinājumi. Šajā gadījumā (2.42) būs formā Apvienojot šo nosacījumu ar nosacījumu (2.39), mēs iegūstam vienādojumu sistēmu, lai noteiktu
Un

(2.43)

Pēdējā sistēma ir divu algebrisku lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēma attiecībā pret
Un
. Šīs sistēmas noteicošais faktors ir Vronska determinants pamata risinājumu sistēmai ,un tāpēc visur nav nulle
. Tas nozīmē, ka sistēmai (2.43) ir unikāls risinājums. Atrisinot to jebkādā veidā nosacīti
,
mēs atradīsim

diferenciālvienādojumi
Un
- zināmas funkcijas.

Veicot integrāciju un ņemot vērā, ka as
,
mums vajadzētu ņemt vienu funkciju pāri un iestatīt integrācijas konstantes vienādas ar nulli. Mēs saņemam

Aizstājot izteiksmes (2.44) relācijās (2.38), nehomogēnā vienādojuma (2.35) vēlamo risinājumu varam ierakstīt formā.

Šo metodi var vispārināt, lai atrastu konkrētu risinājumu lineārajam nehomogēnā vienādojumam -tais pasūtījums.

Piemērs 2.6. Atrisiniet vienādojumu
plkst
ja funkcijas

veido fundamentālu atrisinājumu sistēmu atbilstošajam viendabīgajam vienādojumam.

Atradīsim konkrētu šī vienādojuma risinājumu. Lai to izdarītu, saskaņā ar Lagranža metodi vispirms jāatrisina sistēma (2.43), kurai mūsu gadījumā ir forma
Katra vienādojuma abas puses samazināšana par mēs saņemam

Atņemot pirmo vienādojuma biedru no otrā vienādojuma, mēs atrodam
un tad no pirmā vienādojuma izriet
Veicot integrāciju un iestatot integrācijas konstantes uz nulli, mēs to izdarīsim

Konkrētu šī vienādojuma risinājumu var attēlot kā

Šī vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir forma

diferenciālvienādojumi Un - patvaļīgas konstantes.

Visbeidzot, atzīmēsim vienu ievērojamu īpašību, ko bieži sauc par risinājumu superpozīcijas principu un apraksta ar sekojošu teorēmu.

Teorēma 2.7. Ja pa vidu
funkciju
- vienādojuma funkcijas konkrēts risinājums
konkrēts vienādojuma risinājums tajā pašā intervālā ir funkcija
vienādojumam ir īpašs risinājums

Teorētiskais minimums

Diferenciālvienādojumu teorijā ir metode, kas apgalvo, ka šai teorijai ir diezgan augsta universāluma pakāpe.
Mēs runājam par patvaļīgas konstantes variācijas metodi, kas piemērojama risinājumam dažādas nodarbības diferenciālvienādojumi un to
sistēmas Tas ir tieši tas gadījums, kad teorija - ja mēs izņemam apgalvojumu pierādījumus no iekavām - ir minimāla, bet ļauj sasniegt
nozīmīgi rezultāti, tāpēc uzsvars tiks likts uz piemēriem.

Metodes vispārīgā ideja ir diezgan vienkārši formulējama. Lai dotais vienādojums (vienādojumu sistēma) būtu grūti atrisināms vai pat nesaprotams,
kā to atrisināt. Tomēr ir skaidrs, ka, izslēdzot no vienādojuma dažus terminus, tas tiek atrisināts. Tad viņi atrisina tieši šo vienkāršoti
vienādojums (sistēma), mēs iegūstam risinājumu, kas satur noteiktu skaitu patvaļīgu konstantu - atkarībā no vienādojuma secības (skaits
vienādojumi sistēmā). Tad tiek pieņemts, ka atrastā risinājuma konstantes faktiski nav atrastais risinājums
tiek aizstāts ar sākotnējo vienādojumu (sistēmu), tiek iegūts diferenciālvienādojums (vai vienādojumu sistēma), lai noteiktu “konstantes”.
Patvaļīgas konstantes variācijas metodes pielietošanā dažādām problēmām ir noteikta specifika, taču tā jau ir specifika, kas
parādīts ar piemēriem.

Atsevišķi aplūkosim augstākas kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu risinājumu, t.i. formas vienādojumi
.
Lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais atrisinājums ir atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma un konkrēta risinājuma summa
no šī vienādojuma. Pieņemsim, ka viendabīgajam vienādojumam jau ir atrasts vispārējs risinājums, proti, ir konstruēta fundamentāla risinājumu sistēma (FSS).
. Tad homogēnā vienādojuma vispārējais atrisinājums ir .
Mums ir jāatrod kāds konkrēts risinājums nehomogēnā vienādojumam. Šim nolūkam tiek uzskatīts, ka konstantes ir atkarīgas no mainīgā.
Tālāk jums jāatrisina vienādojumu sistēma
.
Teorija garantē, ka šī sistēma algebriskie vienādojumi attiecībā uz funkciju atvasinājumiem ir unikāls risinājums.
Atrodot pašas funkcijas, integrācijas konstantes neparādās: galu galā tiek meklēts jebkurš viens risinājums.

Lineāru nehomogēnu formas pirmās kārtas vienādojumu sistēmu risināšanas gadījumā

algoritms paliek gandrīz nemainīgs. Vispirms jums jāatrod atbilstošais FSR viendabīga sistēma vienādojumus, izveido fundamentālo matricu
sistēma, kuras ailes attēlo FSR elementus. Tālāk tiek sastādīts vienādojums
.
Risinot sistēmu, mēs nosakām funkcijas, tādējādi atrodot konkrētu risinājumu oriģinālajai sistēmai
(pamatmatrica tiek reizināta ar atrasto funkciju kolonnu).
Mēs to pievienojam atbilstošās viendabīgo vienādojumu sistēmas vispārīgajam risinājumam, kas tiek konstruēts, pamatojoties uz jau atrasto FSR.
Tiek iegūts sākotnējās sistēmas vispārīgais risinājums.

Piemēri.

1. piemērs. Pirmās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.

Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu (apzīmējam vēlamo funkciju):
.
Šo vienādojumu var viegli atrisināt, izmantojot mainīgo atdalīšanas metodi:

.
Tagad iedomāsimies sākotnējā vienādojuma risinājumu formā , kur funkcija vēl ir jāatrod.
Mēs aizstājam šāda veida risinājumus sākotnējā vienādojumā:
.
Kā redzat, otrais un trešais termins kreisajā pusē atceļ viens otru - tas ir raksturīga iezīme patvaļīgas konstantes variācijas metode.

Šeit tā jau ir patiesi patvaļīga konstante. Tādējādi
.

2. piemērs. Bernulli vienādojums.

Mēs rīkojamies līdzīgi kā pirmajā piemērā - atrisinām vienādojumu

mainīgo lielumu atdalīšanas metode. Izrādās, tāpēc mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā
.
Mēs aizstājam šo funkciju ar sākotnējo vienādojumu:
.
Un atkal notiek samazinājumi:
.
Šeit jums ir jāatceras, ka, dalot ar risinājumu, nav pazudis. Un risinājums oriģinālajam atbilst gadījumam
vienādojumi Atcerēsimies to. Tātad,
.
Pierakstīsim to.
Šis ir risinājums. Rakstot atbildi, jānorāda arī iepriekš atrastais risinājums, jo tas neatbilst nevienai gala vērtībai
konstantes

3. piemērs. Augstākas kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.

Uzreiz atzīmēsim, ka šo vienādojumu var atrisināt vienkāršāk, taču ir ērti demonstrēt metodi, izmantojot to. Lai gan dažas priekšrocības
Arī šajā piemērā variācijas metodei ir patvaļīga konstante.
Tātad, jums jāsāk ar atbilstošā viendabīgā vienādojuma FSR. Atgādināsim, ka, lai atrastu FSR, tiek sastādīta raksturlīkne
vienādojums
.
Tādējādi homogēnā vienādojuma vispārējais risinājums
.
Šeit iekļautās konstantes ir jāmaina. Sistēmas veidošana

Patvaļīgu konstantu variācijas metode

Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma risinājuma konstruēšanai

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sastāv no patvaļīgu konstantu aizstāšanas c k vispārējā risinājumā

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

atbilstošs homogēns vienādojums

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

palīgfunkcijām c k (t) , kuras atvasinājumi apmierina lineāro algebrisko sistēmu

Sistēmas (1) determinants ir funkciju Vronskis z 1 ,z 2 ,...,z n , kas nodrošina tā unikālo atrisināmību attiecībā uz .

Ja ir antiatvasinājumi, kas ņemti ar fiksētām integrācijas konstantu vērtībām, tad funkcija

ir sākotnējā lineārā nehomogēnā diferenciālvienādojuma risinājums. Tādējādi nehomogēna vienādojuma integrācija atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārīga risinājuma klātbūtnē tiek reducēta uz kvadrātiem.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāru diferenciālvienādojumu sistēmas risinājumu konstruēšanai vektora normālā formā

sastāv no konkrēta risinājuma (1) konstruēšanas formā

Kur Z(t) ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamats, kas uzrakstīts matricas formā, un vektora funkcija , kas aizstāja patvaļīgu konstantu vektoru, tiek definēta ar attiecību . Nepieciešamais konkrētais risinājums (ar nulles sākotnējām vērtībām pie t = t 0 izskatās

Sistēmai ar nemainīgiem koeficientiem pēdējā izteiksme ir vienkāršota:

Matrica Z(t)Z– 1 (τ) sauca Cauchy matrica operators L = A(t) .

Ārējās saites

• exponenta.ru - Teorētiskā informācija ar piemēriem

Wikimedia fonds.

2010. gads.

Patvaļīgas konstantes variācijas metode jeb Lagranža metode ir vēl viens veids, kā atrisināt pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus un Bernulli vienādojumu. Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi ir vienādojumi formā y’+p(x)y=q(x). Ja labajā pusē ir nulle: y’+p(x)y=0, tad tā ir lineāra viendabīgs 1. kārtas vienādojums. Attiecīgi vienādojums ar nulli labajā pusē , y’+p(x)y=q(x), — neviendabīgs lineārais vienādojums

1.kārta. Patvaļīgas konstantes variācijas metode (Lagranža metode)

ir šāds:

2) Vispārīgajā risinājumā mēs uzskatām C nevis konstanti, bet gan x funkciju: C = C (x). Mēs atrodam vispārējā risinājuma (y*)’ atvasinājumu un aizstājam iegūto izteiksmi y* un (y*)’ sākotnējā nosacījumā. No iegūtā vienādojuma atrodam funkciju C(x).

3) Homogēnā vienādojuma vispārīgajā risinājumā C vietā aizvietojam atrasto izteiksmi C(x).

Apskatīsim patvaļīgas konstantes mainīšanas metodes piemērus. Veiksim tos pašus uzdevumus, kas ir, salīdziniet risinājuma gaitu un pārliecināsimies, ka iegūtās atbildes sakrīt.

1) y’=3x-y/x

Pārrakstīsim vienādojumu standarta formā (atšķirībā no Bernulli metodes, kur mums bija nepieciešama apzīmējuma forma tikai tāpēc, lai redzētu, ka vienādojums ir lineārs).

y’+y/x=3x (I). Tagad mēs turpināsim saskaņā ar plānu.

1) Atrisiniet viendabīgo vienādojumu y’+y/x=0. Šis ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Iedomājieties, ka y’=dy/dx, aizstājējs: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Mēs reizinām abas vienādojuma puses ar dx un dalām ar xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrēsim:

2) Iegūtajā viendabīgā vienādojuma vispārīgajā risinājumā C uzskatīsim nevis par konstanti, bet gan par x funkciju: C=C(x). No šejienes

Mēs aizstājam iegūtās izteiksmes ar nosacījumu (I):

Integrēsim abas vienādojuma puses:

šeit C jau ir kaut kāda jauna konstante.

3) Homogēnā vienādojuma y=C/x vispārīgajā risinājumā, kur pieņēmām C=C(x), tas ir, y=C(x)/x, C(x) vietā aizvietojam atrasto izteiksmi x³ +C: y=(x³ +C)/x vai y=x²+C/x. Saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot pēc Bernulli metodes.

Atbilde: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Šeit vienādojums jau ir uzrakstīts standarta formā, nav nepieciešams to pārveidot.

1) Atrisiniet viendabīgo lineāro vienādojumu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrēsim:

Lai iegūtu ērtāku apzīmējuma formu, mēs ņemam eksponentu C pakāpē kā jauno C:

Šī transformācija tika veikta, lai ērtāk atrastu atvasinājumu.

2) Iegūtajā lineārā viendabīgā vienādojuma vispārīgajā risinājumā C uzskatām nevis par konstanti, bet gan par x funkciju: C=C(x). Saskaņā ar šo nosacījumu

Mēs aizstājam iegūtās izteiksmes y un y ar nosacījumu:

Reiziniet abas vienādojuma puses ar

Mēs integrējam abas vienādojuma puses, izmantojot integrācijas pa daļām formulu, iegūstam:

Šeit C vairs nav funkcija, bet parasta konstante.

3) Homogēnā vienādojuma vispārīgajā risinājumā

aizstāt atrasto funkciju C(x):

Saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot pēc Bernulli metodes.

Patvaļīgas konstantes variācijas metode ir piemērojama arī risinājumam.

y’x+y=-xy².

Mēs samazinām vienādojumu līdz standarta skats: y’+y/x=-y² (II).

1) Atrisiniet viendabīgo vienādojumu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Mēs reizinām abas vienādojuma puses ar dx un dalām ar y: dy/y=-dx/x. Tagad integrēsim:

Mēs aizstājam iegūtās izteiksmes ar nosacījumu (II):

Vienkāršosim:

Mēs ieguvām vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem C un x:

Šeit C jau ir parasta konstante. Integrācijas procesā C(x) vietā rakstījām vienkārši C, lai nepārslogotu apzīmējumu. Un beigās atgriezāmies pie C(x), lai nesajauktu C(x) ar jauno C.

3) Homogēnā vienādojuma y=C(x)/x vispārīgajā risinājumā aizvietojam atrasto funkciju C(x):

Mēs saņēmām tādu pašu atbildi kā risinot to ar Bernulli metodi.

Pašpārbaudes piemēri:

1. Pārrakstīsim vienādojumu standarta formā: y’-2y=x.

1) Atrisiniet viendabīgo vienādojumu y’-2y=0. y’=dy/dx, tātad dy/dx=2y, reiziniet abas vienādojuma puses ar dx, daliet ar y un integrējiet:

No šejienes mēs atrodam y:

Mēs aizstājam y un y izteiksmes nosacījumā (īsuma labad mēs izmantosim C, nevis C(x) un C', nevis C"(x)):

Lai atrastu integrāli labajā pusē, mēs izmantojam integrācijas pa daļām formulu:

Tagad mēs aizstājam u, du un v formulā:

Šeit C =konst.

3) Tagad mēs šķīdumā aizstājam viendabīgu