Metodes stāvākais nobrauciens un nolaišanās pēc koordinātām pat par kvadrātiskā funkcija pieprasīt bezgalīgs skaitlis iterācijas. Tomēr ir iespējams konstruēt tādus nolaišanās virzienus, ka kvadrātfunkcijai

• (3.12)
• (kur r ir n-dimensiju vektors) ar simetrisku pozitīvu noteiktu matricu A, nolaišanās process konverģēs precīzi līdz minimumam ierobežotā soļu skaitā.

Pozitīva noteikta matrica ļauj mums ieviest vektora normu šādi:

Definīcija (3.13) nozīmē, ka divu vektoru x un y skalārais reizinājums tagad nozīmē lielumu (x, Ау). Vektori ortogonāli šī punkta reizinājuma izpratnē

(x, Ау) = 0 (3,14)

sauc par konjugātiem (attiecībā uz doto matricu A).

Pamatojoties uz šo liela grupa metodes: konjugātu gradienti, konjugācijas virzieni, paralēlās pieskares un citi.

Kvadrātiskajai funkcijai tie tiek izmantoti tikpat veiksmīgi. Konjugētā virziena metode, kurā rūpīgi atlasītas algoritma detaļas, vislabāk vispārina patvaļīgās funkcijas.

Vispirms apskatīsim, kā šī metode tiek piemērota kvadrātveida formai (3.12.). Lai to izdarītu, mums ir vajadzīgas dažas konjugēto vektoru īpašības.

Lai ir kāda pāru konjugētu vektoru x i sistēma. Mēs normalizējam katru no šiem vektoriem normas izpratnē (3.14), tad attiecības starp tiem iegūst formu

Pierādīsim, ka savstarpēji konjugētie vektori ir lineāri neatkarīgi. No vienlīdzības

kas ir pretrunā ar matricas pozitīvo noteiktību. Šī pretruna pierāda mūsu apgalvojumu. Tas nozīmē, ka n-konjugētu vektoru sistēma ir pamats n-dimensiju telpā. Dotai matricai ir bezgalīgs skaits bāzu, kas sastāv no savstarpēji konjugētiem vektoriem.

Atradīsim kādu konjugāta bāzi x i, 1 in. Izvēlēsimies patvaļīgu punktu r 0 . Jebkura kustība no šī punkta var tikt paplašināta par konjugācijas bāzi

Aizstājot šo izteiksmi ar labā puse formulu (3.12), mēs to pārveidojam, ņemot vērā bāzes (3.15) konjugāciju, šādā formā:

Pēdējā summa sastāv no terminiem, no kuriem katrs atbilst tikai vienai summas sastāvdaļai (3.16.). Tas nozīmē, ka kustība pa vienu no konjugātajiem virzieniem x i maina tikai vienu summas (3.17) daļu, neietekmējot pārējos.

No punkta r 0 mēs veicam alternatīvus nolaišanos līdz minimumam pa katru konjugācijas virzienu x i . Katrs nobrauciens samazina savu termiņu summā (3.17), lai kvadrātfunkcijas minimums būtu precīzi sasniegts pēc viena nolaišanās cikla izpildes, tas ir, ierobežotā soļu skaitā.

Konjugāta bāzi var konstruēt, izmantojot paralēlo pieskares plakņu metodi.

Ļaujiet noteiktai taisnei būt paralēli vektoram x un ļaujiet kvadrātfunkcijai uz šīs taisnes sasniegt savu minimālo vērtību punktā r 0 . Aizstāsim šīs rindas vienādojumu r = r 0 + bx izteiksmē (3.12) un pieprasīsim, lai ir izpildīts nosacījums par funkcijas minimumu.

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

un likt (dts/db) b-0 = 0. Tas nozīmē vienādojumu, kas ir izpildīts ar minimālo punktu:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3,18)

Ļaujiet uz kādas citas taisnes, kas ir paralēla pirmajai, funkcija iegūst minimālo vērtību punktā r 1, tad līdzīgi atrodam (x, 2Аr 1 + b) = 0. Atņemot šo vienādību no (3.18), iegūstam

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3,19)

Līdz ar to virziens, kas savieno minimālos punktus divās paralēlās līnijās, ir konjugēts ar šo līniju virzienu.

Tādējādi vienmēr ir iespējams izveidot vektoru, kas konjugēts ar patvaļīgu doto vektoru x. Lai to izdarītu, pietiek novilkt divas taisnes paralēli x un katrā taisnē atrast kvadrātiskās formas minimumu (3.12.). Vektors r 1 r 0, kas savieno šos minimumus, ir konjugēts ar x. Ņemiet vērā, ka taisne pieskaras līmeņa līnijai punktā, kur funkcijai šajā taisnē ir minimālā vērtība; Metodes nosaukums ir saistīts ar to.

Lai ir divas paralēlas m-dimensiju plaknes, ko ģenerē konjugēto vektoru sistēma x i, 1 imn. Ļaujiet kvadrātfunkcijai sasniegt savu minimālo vērtību šajās plaknēs attiecīgi punktos r 0 un r 1. Izmantojot līdzīgu argumentāciju, var pierādīt, ka vektors r 1 r 0, kas savieno minimālos punktus, ir konjugēts ar visiem vektoriem x i. Līdz ar to, ja ir dota nepilnīga konjugēto vektoru sistēma x i, tad, izmantojot šo metodi, vienmēr ir iespējams izveidot vektoru r 1 r 0, kas konjugēts ar visiem šīs sistēmas vektoriem.

Apskatīsim vienu konjugāta pamata konstruēšanas procesa ciklu. Lai jau ir izveidots pamats, kurā pēdējie m vektori ir savstarpēji konjugēti, un pirmais n-m vektori nav konjugēti pēdējie. Atradīsim kvadrātfunkcijas (3.12) minimumu kādā m dimensijas plaknē, ko ģenerē pēdējie m bāzes vektori. Tā kā šie vektori ir savstarpēji konjugēti, lai to izdarītu, pietiek patvaļīgi atlasīt punktu r 0 un veikt nolaišanos no tā pārmaiņus katrā no šiem virzieniem (līdz minimumam). Minimālo punktu šajā plaknē apzīmēsim ar r 1 .

Tagad no punkta r 1 veiksim alternatīvu nolaišanos pa pirmajiem n - m bāzes vektoriem. Šī nolaišanās izņems trajektoriju no pirmās plaknes un novedīs to uz kādu punktu r 2 . No punkta r 2 atkal veiksim nolaišanos pa pēdējiem m virzieniem, kas vedīs uz punktu r 3 . Šī nolaišanās nozīmē precīzi atrast minimumu otrajā plaknē paralēli pirmajai plaknei. Līdz ar to virziens r 3 - r 1 ir konjugēts ar pēdējiem m bāzes vektoriem.

Ja viens no nekonjugētajiem virzieniem bāzē tiek aizstāts ar virzienu r 3 - r 1, tad jaunajā bāzē jau m + 1 virziens būs savstarpēji konjugēts.

Sāksim aprēķināt ciklus no patvaļīgas bāzes; tam varam pieņemt, ka m=1. Aprakstītais process vienā ciklā palielina konjugēto vektoru skaitu bāzē par vienu. Tas nozīmē, ka n - 1 ciklā visi bāzes vektori kļūs konjugēti, un nākamais cikls vedīs trajektoriju uz kvadrātfunkcijas minimālo punktu (3.12.).

Lai gan konjugāta pamata jēdziens ir definēts tikai kvadrātveida funkcijai, iepriekš aprakstītais process ir strukturēts tā, lai to varētu formāli piemērot patvaļīgai funkcijai. Protams, šajā gadījumā ir jāatrod minimums pa virzienu, izmantojot parabolas metodi, nekur neizmantojot formulas, kas saistītas ar noteiktu kvadrātfunkcijas veidu (3.12).

Nelielā minimuma apkārtnē pietiekami gludas funkcijas pieaugumu parasti attēlo simetriskas pozitīvas noteiktas kvadrātiskās formas veidā (3.2.). Ja šis attēlojums būtu precīzs, tad konjugētā virziena metode saplūstu ierobežotā soļu skaitā. Bet attēlojums ir aptuvens, tāpēc soļu skaits būs bezgalīgs; bet šīs metodes konverģence tuvu minimumam būs kvadrātiska.

Pateicoties kvadrātiskajai konverģencei, konjugāta virziena metode ļauj ar augstu precizitāti atrast minimumu. Metodes ar lineāru konverģenci parasti nosaka galējās koordinātu vērtības mazāk precīzi.

Konjugētā virzienu metode acīmredzot ir visvairāk efektīva metode nolaišanās Tas labi darbojas gan ar deģenerētu minimumu, gan ar atrisināmām gravām, gan vāji slīpu reljefa posmu klātbūtnē - “plato”, un ar lielu skaitu mainīgo - līdz diviem desmitiem.

Klasiskā mehānika un elektrodinamika, mēģinot tās pielietot, lai izskaidrotu atomu parādības, noveda pie rezultātiem, kas bija krasā pretrunā ar eksperimentu. Visspilgtākais piemērs tam ir mēģinājums piemērot klasisko elektrodinamiku atoma modelim, kurā elektroni pārvietojas ap kodolu klasiskās orbītās. Ar šādu kustību, tāpat kā ar jebkuru lādiņu kustību ar paātrinājumu, elektroniem būtu nepārtraukti jāizstaro enerģija elektromagnētisko viļņu veidā un galu galā tie neizbēgami nokristu uz pozitīvi lādētu kodolu. Tādējādi - no klasiskās elektrodinamikas viedokļa - atoms ir nestabils. Kā redzam, šī tēze nav patiesa. Tik dziļa pretruna starp teoriju un eksperimentu norāda uz to, ka mikroobjektu aprakstam ir nepieciešamas fundamentālas izmaiņas klasiskajos pamatjēdzienos un likumos.

No vairākiem eksperimentāliem datiem (piemēram, elektronu difrakcija) izriet, ka mehānikai, kas regulē atomu parādības – kvantu mehānikai – ir jābalstās uz priekšstatiem par kustību, kas būtiski atšķiras no klasiskās mehānikas idejām. Kvantu mehānikā nepastāv daļiņu trajektorijas jēdziens un līdz ar to arī citi dinamiskie raksturlielumi. ŠĪ DĒRZE IR FORMUULĒTA PĒC HEISENBERGAS NENOTEIKTĪBAS PRINCIPA:

Nav iespējams vienlaikus ar jebkādu precizitāti izmērīt mikroobjekta koordinātu un impulsu:

DxDlpp³ h (II.1)

Jāatzīmē (un tas tiks apspriests vēlāk), nenoteiktības sakarība savieno ne tikai koordinātu un impulsu, bet arī vairākus citus lielumus.

Tagad atgriezīsimies pie kvantu mehānikas matemātiskā aparāta izskatīšanas.

Operators A ir pieņemts saukt noteikumu, saskaņā ar kuru katra funkcija f atbilst funkcijai j :

j= A f (II.3)

Vienkāršākie operatoru piemēri: kvadrātsakne, diferenciācija utt.

Neviens operators nevar ietekmēt katru funkciju; piemēram, nediferencējamu funkciju nevar ietekmēt diferencēšanas operators. Tāpēc jebkuru operatoru var definēt tikai noteiktai funkciju klasei un tiek uzskatīts par definētu, ja ir norādīts ne tikai noteikums, ar kuru tas pārveido vienu funkciju citā, bet arī funkciju kopums, uz kuru tas darbojas.

Pēc analoģijas ar skaitļu algebru mēs varam ieviest operatoru algebru:

1) Summas vai starpības operatori

(A ± B ) · f = A · f ± B · f (II.4)

2) operatoru produkts

AB · f = A (B · f ) (II.5)

tie. vispirms par funkciju f operators darbojas B , veidojot kādu jaunu funkciju, uz kuru pēc tam rīkojas operators A . IN vispārējs gadījums operatora darbība AB neatbilst operatora darbībai BA. .

Patiešām, ja A=d/dx Un B=x ,

Tas AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Ja AB=ba, tad operatorus sauc par pārvietošanos uz darbu un mājām, un ja AB-BAº(A,B) (II.6.), tad viņi nepārvietojas. Izteicienu iekavās sauc par komutatoru.

Kvantu mehānikā parasti izmanto lineāros pašsavienojošos (vai hermītu) operatorus. Linearitātes īpašība to nozīmē

A(c 1 f 1 +c 2 f 2 )f =c 1 Af 1 +c 2 Af 2 (II.7)

Kur c 1 Un c 2 - konstantes un f 1 Un f 2 - patvaļīgas funkcijas, kurām ir definēts operators A. Šis matemātiskā īpašība ir cieši saistīts ar superpozīcijas principu.

Pašsavienots Hermitian operators ir operators, kuram vienlīdzība ir spēkā:

òf 1 * (x) (Af 2 (x))dx = òf 2 (x) (A * f 1 * (x))dx (II.8)

tiek pieņemts, ka A definēts f 1 * (x) Un f 2 (x) un visi (1.8) iekļautie integrāļi pastāv. Ermitisma prasība ir ļoti svarīga kvantu mehānikai, un tālāk mēs uzzināsim, kāpēc.

Kā jau minēts, operatora darbība tiek reducēta uz vienas funkcijas pārveidošanu citā, tomēr ir iespējami arī gadījumi, kad operatora darbības rezultātā sākotnējā funkcija nemainās vai tiek reizināta ar konstanti. Vienkāršākais piemērs:

Var apgalvot, ka katrs operators A var salīdzināt lineārais vienādojums veids:

Af = af (II.9) ,

Kur a = konst. a ir operatora īpašvērtība un f - paša operatora funkcija. Šo vienādojumu sauc par īpašvērtības vienādojumu. Konstantu vērtības, kurās vienādojums (1.9) iegūst netriviālus risinājumus, sauc par īpašvērtībām. Kopā tie veido īpašvērtību spektru, kas var būt diskrēts, nepārtraukts vai jaukts. Katra vērtība atbilst vienai vai vairākām īpašfunkcijām f T , un, ja vienai īpašvērtībai atbilst tikai viena funkcija, tad tā ir nedeģenerēta, un, ja ir vairākas, tad tā ir deģenerēta.

Īpašfunkcijas un īpašvērtības Ermitietis (pašpietiekams) operatoriem ir vairāki rekvizīti:

1. Šādu operatoru īpašvērtības ir reālas.

2. Savas funkcijas f 1 Un f 2 tādi operatori, kas pieder dažādām īpašvērtībām Ar 1 Un c 2 attiecīgi viens otram ortogonāli, t.i. ò f 1 * (x) f 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Tie jānormalizē līdz vienotībai, ieviešot īpašu normalizācijas koeficientu, ko vispārīgā gadījumā raksturo ortonormalitātes nosacījums: ò f m * (x) f n (x) dx =d mn , d mn =0 plkst m ¹ n Un d mn =1 plkst m = n (II.11)

4. Ja divi operatori A Un B ir kopēja īpašfunkciju sistēma, tad tās pārvietojas, un arī pretējais apgalvojums ir patiess

5. Hermita operatora īpašfunkcijas veido pilnu ortonormālu kopu, t.i. jebkuru funkciju, kas definēta tajā pašā mainīgo apgabalā, var attēlot kā operatora īpašfunkciju virkni A:

(II.12),

Kur c n- dažas konstantes, un šis paplašinājums būs precīzs.

Pēdējais īpašums ir ļoti svarīgs kvantu mehānikas aparātam, jo ​​uz tā pamata ir iespējams izveidot operatoru matricas attēlojumu un pielietot jaudīgu lineārās algebras aparātu.

Patiešām, kopš gada (II.12) vietējās funkcijas f n (x) tiek uzskatīti par zināmiem, lai atrastu funkciju F(x) ir nepieciešams un pietiekami atrast visus izplešanās koeficientus ( c n). Tagad apskatīsim dažus operatorus B, kas iedarbojas uz funkciju c(x) un pārsūta to uz F(x):

F(x) = Bc(x) (II.13)

Tagad iedomāsimies funkcijas F(x) Un Bc(x) rindu veidā (II.12):

(II.14)

un ielieciet tos (II.13)

(II.15)

(II.16)

Reizināsim abas vienādības puses ar f k * (x) un integrēt, ņemot vērā ortonormalitātes nosacījumus:

Vienlīdzība (II.17) apraksta pāreju no funkcijas c(x) darboties F(x), ko veic, nosakot visus koeficientus M kn. Visu daudzumu komplekts M kn ir operators B matricas attēlojumā un to var uzrakstīt kā

Tādējādi jebkurš patvaļīgs operators B matricas attēlojumā var attēlot kā kvadrātveida skaitļu tabulu, matricu, un šo attēlojumu noteiks tikai operatora veids un sākotnējā bāzes funkciju kopa.

Tagad īsumā atcerēsimies galvenos matricu teorijas noteikumus. Kopumā matrica ir reālu vai kompleksu skaitļu kopums a ij, ko sauc par matricas elementiem, kas sakārtoti taisnstūrveida tabulā

Indeksi i Un j parādīt, ka elements a ij atrodas krustojumā i rinda un j kolonna. Ja matricai ir n līnijas un m kolonnas, tad tiek uzskatīts, ka tai ir dimensija ( n x m), Ja n = m, tad matricu sauc par kvadrātu. Taisnstūra izmēra matrica ( 1 x m) sauc par rindas vektoru, un ( n x1) ir kolonnas vektors. Matricas elements a ij plkst i = j sauc par diagonālo, matricu, kurā visi elementi, izņemot diagonālos, ir vienādi ar nulli, sauc par diagonālo, bet diagonālo matricu, kurā visi elementi ir vienādi ar vienu, sauc par vienotību. Diagonālo elementu summu sauc par pēdu: Sp.

Ir viegli izveidot matricas algebru, kas tiks reducēta līdz šādiem noteikumiem:

1. Matricas un tiek uzskatītas par vienādām, ja visiem i Un j vienlīdzība ir patiesa: a ij = b ij

2. Matricu un izmēru summa ( n x m) būs dimensijas matrica ( n x m) tāds, ka visiem i Un j vienlīdzība ir patiesa: c ij = a ij + b ij

3. Matricas reizinājums ar patvaļīgu skaitli a būs tādas pašas dimensijas matrica, tāda, ka visiem i Un j vienlīdzība ir patiesa: c ij = aa ij

4. Izmēru matricas reizinājums ( n x m) uz izmēru matricu ( m x lpp) sauc par dimensijas matricu ( n x lpp) tāds, ka

(II.20)

5. Matricu sauc par komplekso konjugātu, ja tajā ir visi matricas elementi a ij aizstāts ar sarežģītiem konjugātiem a ij * . Tiek uzskatīts, ka matrica ir transponēta, ja to iegūst, aizstājot rindas ar kolonnām un otrādi: a ’ ij = a ji. Matricu, kas transponēta un sarežģīta konjugāta, sauc par konjugātu un apzīmē

PIEVIENOTĀ FUNKCIJA

Funkciju teorijas jēdziens, kas ir konkrēta involutīvā operatora konkrēts atspoguļojums attiecīgajai funkciju klasei.
1) S. f. uz sarežģītas vērtības funkciju . sauca funkcija, kuras vērtības ir sarežģītas konjugātas ar f vērtībām.
2) S. f. uz harmonisko funkciju - sk Konjugētās harmonikas funkcijas.
3) S. f. k -periodisks integrējams uz funkciju f(x) tiek izsaukts. funkciju

tā pastāv un gandrīz visur sakrīt ar -sum vai Ābela-Puasona summu konjugētās trigonometriskās sērijas.
4) S. f. darboties definēts vektortelpā X, kas ir dualitātē (attiecībā uz bilineāro formu ) ar vektoru telpu Y- funkcija uz Y, ko nosaka attiecība

Funkcijai, kas norādīta plkst Y, konjugāta funkcija ir definēta līdzīgi.

S. f. viena mainīgā funkcijai būs funkcija

S. f. darboties Hilberta telpā X skalārais reizinājums ir funkcija S. f. uz normālu normalizētā telpā būs funkcija N*(y) , vienāds ar nulli ja un vienāds ar ja
Ja f ir gluds un aug ātrāk bezgalībā lineārā funkcija, tad f* ir nekas vairāk kā Leģenda funkcijas f. Viendimensionālām stingri izliektām funkcijām definīciju, kas līdzvērtīga (*), sniedza V. Jangs, citiem vārdiem sakot. V. Jungs definēja S. f. darboties

kur ir nepārtraukts un stingri pieaugošs, pēc attiecības

kur funkcija ir apgriezta definīcijai (*) viendimensiju funkcijām pirmo reizi ierosināja S. Mandelbrojts, galīgās dimensijas gadījumā - V. Fenčels, bezgalīgas dimensijas gadījumā - J. Moreau un A. Brønsted . Ja izliekta funkcija n ir konjugēta ar to, Jangs

S. funkcija ir izliekta slēgta funkcija. Konjugācijas operators*: unikāli parāda pareizu izliekuma kopu slēgtas funkcijas uz X ir pareizu izliektu slēgtu funkciju kolekcija uz Y (fenhelis — Moro).
Sīkāku informāciju skatiet un.
Skatīt arī Izliekta analīze, atbalsta funkcija, dualitāte ekstrēmās problēmās un izliektajā analīzē.

Lit.: Joung W. H., lProc. Rojs. Soc. A

Matemātiskā enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. I. M. Vinogradovs. 1977-1985.

Skatiet, kas ir “CONJECTED FUNCTION” citās vārdnīcās:

Kopas A atbalsta funkcionāls, kas atrodas vektoru telpā X, ir funkcija sA, kas definēta vektoru telpā Y, kas ir dualitātē ar to ar relāciju Piemēram, O. f. vienības konteiners normalizētā telpā, kas aplūkota ...... Matemātiskā enciklopēdija

Funkcija, kas saistīta ar diferenciālvienādojumu robežvērtību problēmu risinājumu integrālu attēlojumu. G. f. robežvērtību problēma lineāram diferenciālvienādojumam fundamentāls risinājums vienādojumi, kas apmierina viendabīgus robežnosacījumus.... Matemātiskā enciklopēdija

Antianalītiskā funkcija, viena vai vairāku sarežģītu mainīgo funkcija, kas ir sarežģīta konjugācija ar holomorfu funkciju (sk. Analītiskā funkcija). E. D. Solomentevs ... Matemātiskā enciklopēdija

Vadība, funkcija u(t), iekļauta diferenciālvienādojums spieta vērtības katrā laika momentā var tikt izvēlētas patvaļīgi. Parasti ierobežojums tiek noteikts u(t) izmaiņu diapazonam katram t, kur U ir dotā slēgtā kopa... ... Matemātiskā enciklopēdija

Nepārtraukts displejs, kas saglabā bezgalīgi mazu figūru formu. Pamatjēdzieni. Tiek saukta n-dimensiju eiklīda telpas G apgabala nepārtraukta kartēšana w=f(z) n-dimensiju eiklīda telpā. konformāls kādā brīdī, ja šajā brīdī tam ir... Matemātiskā enciklopēdija

1) matemātikas transformācija analīze, realizējot dualitāti starp objektiem duālajās telpās (kopā ar projektīvo dualitāti analītiskajā ģeometrijā un polāro dualitāti izliektajā ģeometrijā). Ļaujiet funkcionēt vienmērīgi,...... Matemātiskā enciklopēdija

1) P. t. par konjugācijas funkcijām: ļaujiet periodiski nepārtraukta funkcija ar periodu 2p un trigonometriski konjugēt funkciju ar f(t); tad ja f(t).apmierina Lipšica nosacījumu par eksponentu pie 0 Matemātiskā enciklopēdija

- (mod k) funkcija c(n)=c(n; k) uz veselu skaitļu kopas, kas atbilst nosacījumiem: Citiem vārdiem sakot, D. x. (mod k) ir aritmētisks. funkcijas, kas nav identiskas nulle, ir pilnīgi reizinošas un periodiskas ar periodu k. Jēdziens D. x. ienācis P...... Matemātiskā enciklopēdija

Viens no A. Denhoja piedāvātajiem Lēbesga integrāļa vispārinājumiem (A. Denjoy, 1919), ko detalizēti pētījis T. Dž. Bokss (T. J. Boks, 1921). Reālā funkcija f(x).nogrieznē [a, b] periodiski (ar periodu b a) turpinās pa visu taisni. Priekš… … Matemātiskā enciklopēdija

Dubultais integrālis kur ir dota (vispārīgi runājot, kompleksa vērtība) reālo mainīgo, kvadrātā integrējamo, patvaļīgu (arī komplekso vērtību) funkciju, kvadrātā integrējamo funkciju un kompleksās konjugācijas funkcijas c. Ja,…… Matemātiskā enciklopēdija

1 1 4 B PIELIKUMS: TEORĒTISKĀ KONCEPCIJA

Savienoto apakšsistēmu princips

Identificējot jebkuru materiālo sistēmu, automātiski parādās atbilstoša vide, kurā šī sistēma pastāv. Tā kā vide vienmēr ir lielāka par sistēmu, sistēmas attīstību nosaka izmaiņas vidē. Evolūcijas ideja ietver divus galvenos un savā ziņā alternatīvus aspektus: saglabāšanu (C) un izmaiņas (I). Ja viena no tām trūkst, tad evolūcijas nav: sistēma vai nu pazūd, vai ir stabila. Izmaiņu un saglabāšanās attiecība (I/S) raksturo sistēmas evolucionāro plastiskumu. Ņemiet vērā, ka šie nosacījumi ir alternatīvi: jo vairāk Un, jo mazāk C un otrādi, jo tie viens otru papildina vienotībā: C + I = 1.

Labākai tikai pirmā aspekta - saglabāšanas - īstenošanai sistēmai ir izdevīgāk būt ilgtspējīgai, stabilai, nemainīgai, tas ir, pēc iespējas tālāk (nevis ģeometriskā, bet gan informatīvā nozīmē) no destruktīvas. vides faktori (B.1. att.). Taču šie paši faktori vienlaikus sniedz noderīgu informāciju par vides izmaiņu virzienu. Un, ja sistēmai ir jāpielāgojas tiem, jāmainās atbilstoši vides izmaiņām (otrais aspekts), tad tai jābūt jutīgai, labilai un mainīgai, tas ir, jābūt tik “tuvāk” (informatīvā nozīmē) kaitīgajai videi. faktoriem. Līdz ar to rodas konfliktsituācija, kad sistēmai, no vienas puses, ir jābūt “tālāk” no vides, no otras – “tuvāk”.

Vides problēma

Lai mainītu (saņemtu noderīgu informāciju), jums jābūt “tuvāk”

Iespējamie risinājumi

Esiet "optimālā attālumā"

Sadaliet divās saistītās apakšsistēmās

Rīsi. B.1. Saistība starp sistēmu un vidi

Pirmais iespējamais risinājums: sistēmai kopumā jāatrodas kaut kādā optimālā “attālumā” no vides, izvēloties noteiktu kompromisa I/C optimumu. Otrs risinājums: sadalīt divās savienotās apakšsistēmās, noņemt vienu “prom” no vidi un pārvietot otru “tuvāk”. Otrais risinājums novērš pretrunīgās prasības sistēmas saglabāšanai (C) un maiņai (I) un ļauj vienlaikus maksimāli palielināt abus, palielinot sistēmas stabilitāti kopumā. Šis secinājums ir jaunās koncepcijas pamatā.

B PIELIKUMS: TEORĒTISKĀ PAMATKONCEPCIJA 1 1 5

SAVIENOTĀS APAKŠSISTĒMAS PRINCIPS

ADAPTĪVO SISTĒMU DIFERENCIJA, ATTIECĪBĀ UZ MAINĪGĀ VIDĒ, DIVĀS SAVIENOTĀS APAKŠSISTĒMĀS AR KONSERVATĪVU UN DARBĪBAS SPECIALIZĀCIJU, PALIELINĀS TO STABILITĀTI.

Iekšējo un ārējo apakšsistēmu nodalīšana ir jāsaprot nevis ģeometriskā (morfoloģiskā), bet gan informatīvā nozīmē, tas ir, informācijas plūsmas no vides par tajā notikušajām izmaiņām vispirms nonāk ārējās apakšsistēmās (“RAM”. ”), un pēc tam iekšējās (“pastāvīgā atmiņa”). sistēmas atmiņa).

Šajā vispārīgajā formā jēdziens ir spēkā evolucionējošām, adaptīvām sistēmām neatkarīgi no to specifiskā rakstura – bioloģiskā, tehniskā, spēļu vai sociālā. Var sagaidīt, ka starp attīstošām, adaptīvām sistēmām struktūras, kas sastāv no divām savienotām apakšsistēmām, ir sastopamas diezgan bieži. Visos gadījumos, kad sistēma ir spiesta uzraudzīt “ienaidnieka uzvedību” (vide) un veidot savu “uzvedību” saskaņā ar to, diferenciācija, dienestu sadalīšana konservatīvajos un operatīvajos palielina stabilitāti. Armija iedala izlūkošanas vienības un nosūta tos dažādos virzienos, lai apmierinātu ienaidnieku. Kuģim ir ķīlis (konservatīvais dienests) un atsevišķa stūre (operatīva), gaisa kuģa konstantas lidmašīnas un eleroni; raķešu stabilizatori un stūres.

Bināro konjugātu diferenciāciju vispārīgās iezīmes

Pirms sasaistīto apakšsistēmu parādīšanās, galvenā evolūcijas kontrole, informācijas plūsma gāja tieši no vides uz sistēmu: E →S. Pēc operatīvo apakšsistēmu rašanās tās ir pirmās, kas saņem informāciju no vides: vide → operatīvās → konservatīvās apakšsistēmas, E →o →k. Tāpēc vienmēr darbojas jauna apakšsistēma un

rodas starp konservatīvo apakšsistēmu un vidi.

Galvenā atšķirība starp unitārajām un binārajām konjugētajām sistēmām ir to informācijas saskarsmē ar vidi. Pirmajam informācija no vides plūst tieši uz katru sistēmas elementu, savukārt otrajam tā vispirms plūst uz operatīvās apakšsistēmas elementiem un no tiem uz konservatīvās apakšsistēmas elementiem.

Dihronisms (asinhronija) un dimorfisms (asimetrija) ir cieši saistīti: sadalot vienādu elementu sistēmu divās daļās, kamēr tie ir kvalitatīvi viendabīgi, nav ne dimorfisma, ne dihronisma (B.2. att.). Bet, tiklīdz viens no tiem sāk attīstīties, vienlaikus rodas gan dimorfisms, gan dihronisms. Gar morfoloģisko asi šīs ir divas formas, kas veido struktūru “stabils kodols” (SC) un “labils apvalks” (LP) (B.3. att.). Šī struktūra aizsargā konservatīvo apakšsistēmu no alternatīviem vides faktoriem, piemēram, no zemas un augstas temperatūras.

1 1 6 B PIELIKUMS: TEORĒTISKĀ KONCEPCIJA

Visas evolucionārās inovācijas vispirms parādās operatīvajā apakšsistēmā, tur tiek pārbaudītas, pēc tam (pēc daudzām paaudzēm) atlasītās nonāk konservatīvajā apakšsistēmā. Operatīvās apakšsistēmas attīstība sākas un beidzas agrāk nekā konservatīvā. Tāpēc pa hronoloģisko asi tos var uzskatīt par “avangardu” un

“aizsargs” (B.4. att.).

Pa asi “sistēma-vide” sistēma ir sadalīta “stabilā kodolā” un “labilā apvalkā”.

Pa laika asi operatīvo apakšsistēmu var uzskatīt par “avangardu”, salīdzinot ar konservatīvo.

Informācijas plūsma

Trešdienas fronte

Konservatīvā darbība

Konservatīvā darbība

Informācijas plūsma

Šāds apakšsistēmu sadalījums un specializācija alternatīviem saglabāšanas un maiņas uzdevumiem nodrošina optimālus apstākļus dzīvo sistēmu galvenās evolūcijas metodes - savā ziņā izmēģinājumu un kļūdu metodes - īstenošanai. Ar paraugu koncentrāciju RAM, tur tiek lokalizētas arī kļūdas un atradumi. Tas ļauj sistēmai

izmēģiniet dažādas iespējas evolūcijas problēmu risināšanai, neriskējot iemūžināt neveiksmīgus risinājumus.

Diferencēšana konservatīvajās un operatīvajās apakšsistēmās nav absolūta, bet gan relatīva. Var būt secīgas apakšsistēmu sērijas: α, β, γ,…..ω, kur konservatīvākā (fundamentālākā) saite ir α, bet funkcionējošākā ir ω. Un rindas iekšpusē, katrā pārī, kreisajā pusē ir konservatīva apakšsistēma, labajā pusē ir operatīva apakšsistēma (piemēram, metāla spriegumu sērija elektroķīmijā).

Lai jauna ekoloģiskā informācija nonāktu ekspluatācijas apakšsistēmā, tās elementu fenotipiskajai izkliedei jābūt plašākai nekā konservatīvās apakšsistēmas elementiem, tad to piemērotība būs zemāka un atlases koeficients lielāks par pēdējo. Lai to izdarītu, viņiem jābūt vienādai reakcijas normai. Tā kā sistēmas saglabāšana bieži ir svarīgāka par izmaiņām (tā kā pēdējo neesamība draud ar stagnāciju, bet pirmās ar izzušanu), tad bērnu apakšsistēmas ir nevienlīdzīgas. Konservatīvā apakšsistēma ir svarīgāka un vērtīgāka par operatīvo. Tā saglabā dažas mātes, unitārās sistēmas pazīmes un funkcijas, savukārt operatīvā apakšsistēma iegūst jaunas. Tāpēc, lai saprastu bināro diferenciāciju evolucionāro nozīmi, pietiek saprast tikai darbības apakšsistēmu nozīmi.

B PIELIKUMS: TEORĒTISKĀ KONCEPCIJA 1 1 7

JAUNAI EKOLOĢISKAI INFORMĀCIJAI, LAI IEKĻŪTU DARBĪBAS APAKŠSISTĒMĀ, FENOTIPISKĀ VARIANCIJA

TĀ ELEMENTIEM JĀBŪT PLAŠĀKI UN REAKCIJAS NORMA ŠAURĀKĀK PAR KONSERVATĪVĀS APAKŠSISTĒMAS ELEMENTIEM.

Efektīvai informācijas pārsūtīšanai starp apakšsistēmām (OP CP) arī operatīvās apakšsistēmas elementiem ir jābūt plašākam komunikācijas “kanāla šķērsgriezumam” nekā konservatīvajiem elementiem.

Apakšsistēmu asinhronā evolūcija

Sistēmas (S) attīstību nosaka vide (E), ES. Informācijas plūsma, kas nāk no vides, darbojas kā sava veida ekoloģiskais potenciāls, kas piespiež sistēmu mainīties. Unitāro sistēmu elementu izkliedes palielināšanās agrāk vai vēlāk automātiski noved pie to diferencēšanas konservatīvās un operatīvās apakšsistēmās. Ja salīdzinām vides potenciālu ar elektrisko potenciālu, bet unitāro sistēmu ar spuldzi, tad binārā sistēma ir divas spuldzes, kuras var paralēli vai virknē pieslēgt strāvas avotam (B.5. att.). Šī ir principiāli jauna iespēja, kuras vienotajām sistēmām nebija.

Rīsi. B.5. Unitāro sistēmu (ASV) un bināro nekonjugētu sistēmu (BNS) sinhronā attīstība

Paralēlas ķēdes analogs. Bināro konjugātu diferenciāciju (BCD) asinhronā evolūcija ir secīgas shēmas analogs. Cirtainas bultiņas norāda evolūcijas virzienu, vienkāršas bultiņas norāda elektronu un informācijas plūsmu (Geodakyan, 2005).

Trīs galveno reproducēšanas un asimetrijas metožu diagrammas-modeļi. Vienas spuldzes ķēde ir aseksuālās metodes analogs, paralēlā ķēde ir hermafrodītiskā metode, un secīgā ķēde ir analoga divmāju (un asimetriskām smadzenēm).

Saistītās funkcijas. Apakšdiferenciāles. Minimax princips. Projekcijas dualitātes uzdevumi Izpildīts 2014. gada 18. aprīlī (1) Atrodiet funkciju p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) konjugātus f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q ir simetriska pozitīva d × d matrica, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , kur A ir kopa Rd un δA (x) = 0, ja x ∈ A, δA (x) = +∞, ja x∈ /A (i) hA , kur A ir kopa Rd un hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Pierādīt nevienādību p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Kad tiek sasniegta precīza vienlīdzība? Kā darbojas funkcija, kas konjugēta ar funkciju, kuras grafiks ir izliekts daudzskaldnis? Apsveriet segmentu kopu ar garumu 1 uz R+ ×R+ ar galiem uz koordinātu līnijām. Pierādiet, ka astroīds ir šī komplekta aploksne. Kura funkcija ir tās funkcijas konjugāts, kuras grafiks ir astroīds? Lai f ir neizliekta funkcija. Aprakstiet tā otro konjugātu. Lai f, f ∗ ir gludas izliektas funkcijas, un katrā punktā otro atvasinājumu (Hesa) D2 f, D2 f ∗ matricas ir nedeģenerētas. Pierādīt, ka jebkuram x pastāv sakarība D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, kur I ir identitātes matrica. (7) Atrodiet vispārīgo atrisinājumu šādam diferenciālvienādojumam f 00 = (f − xf 0)2. (8) Aprēķiniet izliektās funkcijas apakšdiferenciāli pie nulles (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | c) max1≤i≤d |xi | (9) Pierādīt, ka x0 ir izliektās funkcijas f minimālais punkts tad un tikai tad, ja 0 ∈ ∂f (x0). (10) Atrodiet funkciju minimumu (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Pierādīt sakarība (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 kur f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Pierādīt (neizmantojot minimax principu), ka maksimums lineārās programmēšanas uzdevumā nepārsniedz minimumu duālā. (13) Formulējiet duālo uz lineāro programmēšanas problēmu un atrisiniet to. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Projektīvās dualitātes problēmas Definīcija. Duālā projektīvā plakne RP2∗ ir līniju telpa uz projekcijas plaknes RP2. 14) Pierādīt, ka dubultprojektīvajai plaknei ir dabiska projekcijas plaknes struktūra, kurā taisne ir līniju saime RP2, kas iet caur noteiktu punktu. (Konkrēti, šķirnes RP2 un RP2∗ ir atšķirīgas.) 15) Apsveriet patvaļīgas divas atšķirīgas līnijas a, b ⊂ RP2, apzīmējiet O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Uz katras līnijas ir dabiska reāla afīna koordināta, kas ir unikāli definēta līdz kompozīcijai ar afīnu transformāciju: a, b "R. Jebkuram x ∈ a un y ∈ b, lai l(x, y) ir līnija, kas iet caur x un y. Pierādiet, ka kartējums a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) ir afīna karte. Definīcija: lai γ ⊂ RP2 ir gluda līkne. Duālā līkne uz γ ir līkne γ ∗ ⊂ RP2∗ , kas ir γ pieskares līniju saime. 16) Pierādīt, ka γ ∗∗ = γ. 17) Lai f (x) ir gluda stingri izliekta funkcija un f ∗ (x∗) tā Apsveriet to grafikus Γ(f) un Γ(f ∗) attiecīgajās afīnās plaknēs (x, y) un (x∗ , y ∗) (precīzāk, grafiku galīgās daļas, kurās ir funkciju vērtības Pierādiet, ka līkne Γ(f ∗) tiek pārveidota ar afīnu pārveidojumu līknē, kas ir duāla līdz Γ(f).Padoms: izmantojiet 2. uzdevuma rezultātu. otrās kārtas līkne, kuru nevar reducēt līdz līniju pārim) ir arī gluds konisks. 19) Sniedziet dubultās lauztās līnijas definīciju (divstūris) un atrisiniet 3) un 4) uzdevumu analogus lauztai līnijai γ un gabalos afīnai funkcijai f (grafiks – lauzta līnija). 2