Moduļus saturošu funkciju grafiku konstruēšana skolēniem parasti rada ievērojamas grūtības. Tomēr viss nav tik slikti. Pietiek atcerēties dažus algoritmus šādu problēmu risināšanai, un jūs varat viegli izveidot grafiku pat šķietami sarežģīta funkcija. Noskaidrosim, kādi ir šie algoritmi.
1. Funkcijas y = |f(x)| grafika uzzīmēšana
Ņemiet vērā, ka funkciju vērtību kopa y = |f(x)| : y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki vienmēr pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.
Funkcijas y = |f(x)| grafika uzzīmēšana sastāv no šādām vienkāršām četrām darbībām.
1) Uzmanīgi un rūpīgi izveidojiet funkcijas y = f(x) grafiku.
2) Atstājiet nemainīgus visus diagrammas punktus, kas atrodas virs vai uz 0x ass.
3) Parādiet diagrammas daļu, kas atrodas zem 0x ass simetriski attiecībā pret 0x asi.
Piemērs 1. Uzzīmējiet funkcijas y = |x 2 – 4x + 3| grafiku
1) Mēs izveidojam funkcijas y = x 2 – 4x + 3 grafiku. Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola. Atradīsim visu parabolas krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm un parabolas virsotnes koordinātas.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Tāpēc parabola punktos (3, 0) un (1, 0) krustojas ar 0x asi.
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Tāpēc parabola krusto 0y asi punktā (0, 3).
Parabolas virsotņu koordinātas:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Tāpēc punkts (2, -1) ir šīs parabolas virsotne.
Izmantojot iegūtos datus, uzzīmējiet parabolu (1. att.)
2) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x asi.
3) Mēs iegūstam sākotnējās funkcijas grafiku ( rīsi. 2, parādīts punktētā līnijā).
2. Funkcijas y = f(|x|) attēlošana
Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = f(|x|) ir pāra:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki ir simetriski ap 0y asi.
Funkcijas y = f(|x|) grafika uzzīmēšana sastāv no šādas vienkāršas darbību ķēdes.
1) Grafiksējiet funkciju y = f(x).
2) Atstājiet to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
3) Parādiet (2) punktā norādīto diagrammas daļu simetriski pret 0y asi.
4) Kā galīgo grafiku izvēlieties (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.
2. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = x 2 – 4 · |x| grafiku + 3
Tā kā x 2 = |x| 2, tad sākotnējo funkciju var pārrakstīt šādā formā: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Tagad mēs varam izmantot iepriekš piedāvāto algoritmu.
1) Mēs rūpīgi un rūpīgi izveidojam funkcijas y = x 2 – 4 x + 3 grafiku (sk. arī rīsi. 1).
2) Atstājam to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
3) Displejs labajā pusē grafikas ir simetriskas pret 0y asi.
(3. att.).
Piemērs 3. Uzzīmējiet funkcijas y = log 2 |x| grafiku
Mēs izmantojam iepriekš norādīto shēmu.
1) Grafiksējiet funkciju y = log 2 x (4. att.).
3. Funkcijas y = |f(|x|)| attēlošana
Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = |f(|x|)| arī ir vienmērīgi. Patiešām, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), un tāpēc to grafiki ir simetriski ap 0y asi. Šādu funkciju vērtību kopa: y ≥ 0. Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.
Lai attēlotu funkciju y = |f(|x|)|, jums ir nepieciešams:
1) Uzmanīgi izveidojiet funkcijas y = f(|x|) grafiku.
2) Nemainītu diagrammas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās.
3) Parādiet diagrammas daļu, kas atrodas zem 0x ass simetriski attiecībā pret 0x asi.
4) Kā galīgo grafiku izvēlieties (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.
4. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = |-x 2 + 2|x| grafiku – 1|.
1) Ņemiet vērā, ka x 2 = |x| 2. Tas nozīmē, ka sākotnējās funkcijas vietā y = -x 2 + 2|x| – 1
varat izmantot funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jo to grafiki sakrīt.
Mēs veidojam grafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Šim nolūkam izmantojam 2. algoritmu.
a) Grafiksējiet funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (6. att.).
b) Atstājam to grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.
c) Mēs attēlojam iegūto grafika daļu simetriski pret 0y asi.
d) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (7. att.).
2) Nav punktu virs 0x ass, punktus uz 0x ass atstājam nemainīgus.
3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x.
4) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (8. att.).
Piemērs 5. Grafiksējiet funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vispirms jums ir jāatzīmē funkcija y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Lai to izdarītu, mēs atgriežamies pie 2. algoritma.
a) Uzmanīgi uzzīmējiet funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (9. att.).
Ņemiet vērā, ka šī funkcija ir daļēja lineāra, un tā grafiks ir hiperbola. Lai uzzīmētu līkni, vispirms jāatrod diagrammas asimptoti. Horizontāli – y = 2/1 (x koeficientu attiecība frakcijas skaitītājā un saucējā), vertikālā – x = -3.
2) To grafikas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās, atstāsim nemainītu.
3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiks parādīta simetriski attiecībā pret 0x.
4) Galīgais grafiks ir parādīts attēlā (11. att.).
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
Nodarbība par tēmu: "Funkcijas $y=x^3$ grafiks un īpašības. Grafiku zīmēšanas piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.
Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 7. klasei
Elektroniskā mācību grāmata 7. klasei "Algebra 10 minūtēs"
Izglītības komplekss 1C "Algebra, 7.-9.klase"
Funkcijas $y=x^3$ īpašības
Aprakstīsim šīs funkcijas īpašības:
1. x ir neatkarīgs mainīgais, y ir atkarīgs mainīgais.
2. Definīcijas joma: ir skaidrs, ka jebkurai argumenta (x) vērtībai var aprēķināt funkcijas (y) vērtību. Attiecīgi šīs funkcijas definīcijas domēns ir visa skaitļa līnija.
3. Vērtību diapazons: y var būt jebkas. Attiecīgi vērtību diapazons ir arī visa skaitļu līnija.
4. Ja x= 0, tad y= 0.
Funkcijas $y=x^3$ grafiks
1. Izveidosim vērtību tabulu:
2. Pozitīvām x vērtībām funkcijas $y=x^3$ grafiks ir ļoti līdzīgs parabolai, kuras zari ir vairāk “piespiesti” uz OY asi.
3. Tā kā negatīvām x vērtībām funkcijai $y=x^3$ ir pretējas vērtības, funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Tagad atzīmēsim punktus koordinātu plaknē un izveidosim grafiku (skat. 1. att.).
Šo līkni sauc par kubisko parabolu.
Piemēri
I. Uz maza kuģa tas bija pilnībā beidzies saldūdens. Nepieciešams no pilsētas atvest pietiekamu daudzumu ūdens. Ūdens tiek pasūtīts iepriekš un samaksāts par pilnu kubu, pat ja jūs to iepilda nedaudz mazāk. Cik kubu man vajadzētu pasūtīt, lai nepārmaksātu par papildu kubu un pilnībā piepildītu tvertni? Ir zināms, ka tvertnei ir vienāds garums, platums un augstums, kas ir vienādi ar 1,5 m. Atrisināsim šo problēmu, neveicot aprēķinus.
Risinājums:
1. Uzzīmēsim funkciju $y=x^3$.
2. Atrodiet punktu A, x koordinātu, kas ir vienāda ar 1,5. Redzam, ka funkcijas koordināte ir starp vērtībām 3 un 4 (skat. 2. att.). Tātad jums ir jāpasūta 4 kubi.
Funkciju y=x^2 sauc par kvadrātfunkciju. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Vispārējs skats Parabola ir parādīta attēlā zemāk.
Kvadrātiskā funkcija
1. attēls. Parabolas vispārējs skats
Kā redzams no grafika, tas ir simetrisks pret Oy asi. Oy asi sauc par parabolas simetrijas asi. Tas nozīmē, ka, ja grafikā zīmējat taisnu līniju, kas ir paralēla Vērša asij virs šīs ass. Tad tas krustos parabolu divos punktos. Attālums no šiem punktiem līdz Oy asij būs vienāds.
Simetrijas ass sadala parabolas grafiku divās daļās. Šīs daļas sauc par parabolas zariem. Un parabolas punktu, kas atrodas uz simetrijas ass, sauc par parabolas virsotni. Tas ir, simetrijas ass iet caur parabolas virsotni. Šī punkta koordinātas ir (0;0).
Kvadrātfunkcijas pamatīpašības
1. Ja x =0, y=0 un y>0 pie x0
2. Kvadrātfunkcija sasniedz savu minimālo vērtību savā virsotnē. Ymin pie x=0; Jāņem vērā arī tas, ka funkcijai nav maksimālās vērtības.
3. Funkcija samazinās uz intervāla (-∞;0] un palielinās uz intervāla , jo taisne y=kx sakritīs ar grafiku y=|x-3|-|x+3| šajā sadaļā. variants mums nav piemērots. 
Ja k ir mazāks par -2, tad taisne y=kx ar grafiku y=|x-3|-|x+3| būs viens krustojums. Šis variants mums ir piemērots. 
Ja k=0, tad taisnes y=kx krustpunkts ar grafiku y=|x-3|-|x+3| būs arī tāds variants mums der. 
Atbilde: k, kas pieder intervālam (-∞;-2)U)
