Kā jau minēts, naturāls skaitlis a dalās ar naturālu skaitli b, ja ir naturāls skaitlis c, kuru reizinot ar b, iegūst a:
Vārds “pilnībā” parasti tiek izlaists īsuma labad.
Ja a dalās ar b, tad viņi arī saka, ka a ir b daudzkārtnis. Piemēram, skaitlis 48 ir reizināts ar 24.
Teorēma 1. Ja kāds no faktoriem dalās ar noteiktu skaitli, tad arī reizinājums dalās ar šo skaitli.
Piemēram, 15 dalās ar 3, kas nozīmē, ka 15∙11 dalās ar 3, jo 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).
Šie argumenti attiecas arī uz vispārējo lietu. Ja skaitlis a dalās ar c, tad ir tāds naturāls skaitlis n, ka a = n∙c. Apsveriet skaitļa a un patvaļīga naturāla skaitļa b reizinājumu. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. No šejienes pēc definīcijas izriet, ka reizinājums a∙b arī dalās ar c. Q.E.D.
2. teorēma. Ja pirmais skaitlis dalās ar otro, bet otrais ar trešo, tad pirmais skaitlis dalās ar trešo.
Piemēram, 777 dalās ar 111, jo 777 = 7∙111, un 111 dalās ar 3, jo 111 = 3∙37. No tā izriet, ka 777 dalās ar 3, jo 777 = 3∙(37∙7).
IN vispārējs gadījumsŠos argumentus var atkārtot gandrīz burtiski. Dalīsim skaitli a ar skaitli b, bet skaitli b – ar skaitli c. Tas nozīmē, ka ir tādi naturāli skaitļi n un m, ka a = n∙b un b = m∙c. Tad skaitli a var attēlot šādi: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Vienādība a = (n∙m)∙c nozīmē, ka arī skaitlis a dalās ar c.
3. teorēma. Ja katrs no diviem skaitļiem dalās ar noteiktu skaitli, tad to summa un starpība dalās ar šo skaitli.
Piemēram, 100 dalās ar 4, jo 100=25∙4; 36 arī dalās ar 4, jo 36 = 9∙4. No tā izriet, ka 136 dalās ar 4, jo
136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.
Varam arī secināt, ka skaitlis 64 dalās ar 4, jo
64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.
Pierādīsim teorēmu vispārējā gadījumā. Katrs no skaitļiem a un b dalās ar skaitli c. Tad pēc definīcijas ir tādi naturāli skaitļi n un m, ka
a = n∙c un b = m∙c. Apsveriet skaitļu a un b summu.
a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.
No tā izriet, ka a + b dalās ar c.
Līdzīgi a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Tāpēc a – b dala ar c.
4. teorēma. Ja viens no diviem skaitļiem dalās ar noteiktu skaitli, bet otrs ar to nedalās, tad to summa un starpība ar šo skaitli nedalās.
Piemēram, 148 dalās ar 37, jo 148 = 4∙37, un 11 nedalās ar 37. Acīmredzot summa 148 + 11 un starpība 148 - 11 nedalās ar 37, pretējā gadījumā tas būtu pretrunā ar īpašību 3 .
Dalāmības pazīmes
Ja skaitlis beidzas ar 0, tad tas dalās ar 10.
Piemēram, skaitlis 4560 beidzas ar skaitli 0, to var attēlot kā reizinājumu ar 456∙10, ko dala ar 10 (saskaņā ar 1. teorēmu).
Skaitlis 4561 nedalās ar 10, jo 4561 = 4560+1 ir skaitļa 4560, kas dalās ar 10, un skaitļa 1, kas nedalās ar 10 (ar 4. teorēmu) summa.
Ja skaitlis beidzas ar vienu no cipariem 0 vai 5, tad tas dalās ar 5.
Piemēram, skaitlis 2300 dalās ar 5, jo šis skaitlis dalās ar 10, bet 10 dalās ar 5 (ar 2. teorēmu).
Skaitlis 2305 beidzas ar skaitli 5, tas dalās ar 5, jo to var uzrakstīt kā skaitļu summu, kas dalās ar 5: 2300 + 5 (saskaņā ar 3. teorēmu).
Skaitlis 52 nedalās ar 5, jo 52 = 50 + 2 ir skaitļa 50, kas dalās ar 5, un skaitļa 2, kas nedalās ar 5 (ar 4. teorēmu) summa.
Ja skaitlis beidzas ar vienu no cipariem 0, 2, 4, 6, 8, tad tas dalās ar 2.
Piemēram, skaitlis 130 beidzas ar 0, tas dalās ar 10, un 10 dalās ar 2, tāpēc 130 dalās ar 2.
Skaitlis 136 beidzas ar skaitli 6, tas dalās ar 2, jo to var uzrakstīt kā skaitļu summu, kas dalās ar 2: 130 + 6 (saskaņā ar 3. teorēmu).
Skaitlis 137 nedalās ar 2, jo 137 = 130 + 7 ir skaitļa 130, kas dalās ar 2, un skaitļa 7, kas nedalās ar 2 (ar 4. teorēmu) summa.
Skaitli, kas dalās ar 2, sauc par pāra.
Skaitli, kas nedalās ar 2, sauc par nepāra.
Piemēram, skaitļi 152 un 790 ir pāra, un skaitļi 111 un 293 ir nepāra.
Ja skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad pats skaitlis dalās ar 9..
Piemēram, skaitļa 7245 ciparu 7 + 2 + 4 + 5 = 18 summa dalās ar 9. Skaitlis 7245 dalās ar 9, jo to var attēlot kā summu 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), kur summa pirmajās iekavās dalās ar 9, bet otrajās iekavās - dotā skaitļa ciparu summa - arī tiek dalīta ar 9 ( saskaņā ar 3. teorēmu).
Skaitlis 375 nedalās ar 9, jo tā ciparu summa 3 + 7 + 5=15 nedalās ar 9. To var pierādīt šādi: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), kur summa pirmajās iekavās dalās ar 9, bet otrajās iekavās - skaitļa 375 ciparu summa - nedalās ar 9 (saskaņā ar 4. teorēmu).
Ja skaitļa ciparu summa dalās ar 3, tad pats skaitlis dalās ar 3..
Piemēram, skaitlim 375 ir ciparu summa 3 + 7 + 5 = 15, kas dalās ar 3, un tas pats dalās ar 3, jo 375 = (3∙99 + 7,9) + (3 + 7 + 5), kur summa ir pirmajās iekavās dalās ar 3, bet otrajās iekavās - skaitļa 375 ciparu summa arī dalās ar 3.
Skaitļa 679 ciparu summa, kas vienāda ar 6 + 7 + 9 = 22, nedalās ar 3, un pats skaitlis nedalās ar 3, jo 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), kur pirmajās iekavās esošā summa dalās ar 3, bet otrajās iekavās - skaitļa 679 ciparu summa - nedalās ar 3.
Piezīme. Kad viņi saka "skaitlis beidzas ar ciparu...", tie nozīmē "cipara decimāldaļas apzīmējums beidzas ar ciparu...".
Pirmskaitļi un saliktie skaitļi
Katrs naturālais skaitlis p dalās ar 1 un pats sevi:
p:1=p, p:p=1.
Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu un dalās tikai ar 1 un pats sevi..
Šeit ir pirmie desmit pirmskaitļi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Naturālos skaitļus, kas nav pirmskaitļi, lielas vienības, sauc par saliktiem. Katrs saliktais skaitlis dalās ar 1, pats sevi un vismaz vienu citu naturālu skaitli.
Šeit ir visi saliktie skaitļi, kas ir mazāki par 20:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.
Tādējādi visu komplekts naturālie skaitļi sastāv no pirmskaitļiem, saliktiem skaitļiem un viena.
Ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu; ir pirmais skaitlis - 2, bet nav pēdējā pirmskaitļa.
Naturālo skaitļu dalītāji
Ja naturāls skaitlis a dalās ar naturālu skaitli b, tad skaitlis b sauc par dalītāju cipari a.
Piemēram, skaitļa 13 dalītāji ir skaitļi 1 un 13, skaitļa 4 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 4, bet skaitļa 12 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 3, 4, 6 , 12.
Katram pirmskaitļam ir tikai divi dalītāji – viens un pats sevi, un katram saliktajam skaitlim, izņemot vienu un sevi, ir citi dalītāji.
Ja dalītājs ir pirmskaitlis, tad to sauc par pirmskaitli. Piemēram, skaitļa 13 galvenais koeficients ir 13, skaitļa 4 galvenais koeficients ir 2, un skaitļa 12 galvenais koeficients ir 2 un 3.
Katru salikto skaitli var attēlot kā tā galveno dalītāju reizinājumu. Piemēram,
28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;
81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;
100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .
Iegūto vienādību labās puses sauc par skaitļu 28, 22, 81 un 100 primāro faktorizāciju.
Saliktā saliktā skaitļa iedalīšana primārajos faktoros nozīmē to attēlot kā tā dažādo primāro faktoru vai to spēku reizinājumu.
Parādīsim, kā skaitli 90 var ieskaitīt galvenajos faktoros.
1) 90 dala ar 2, 90:2 = 45;
2) 45 nedalās ar 2, bet dalās ar 3, 45:3= 15;
3) 15 dala ar 3, 15:3 = 5;
4) 5 dalās ar 5, 5:5 = 1.
Tādējādi 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.
Lielākais kopīgais dalītājs
Skaitlim 12 ir koeficienti 1, 2, 3, 4, 12. Skaitlim 54 ir koeficienti 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Mēs redzam, ka skaitļiem 12 un 54 ir kopīgi faktori 1, 2 , 3 , 6.
Lielākais skaitļu 12 un 54 kopīgais dalītājs ir skaitlis 6.
Lielāko skaitļu a un b kopīgo dalītāju apzīmē ar: gcd (a, b).
Piemēram, GCD (12, 54) = 6.
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis
Skaitli, kas dalās ar 12, sauc par 12 daudzkārtni. Skaitlis 12 ir 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 utt. Skaitlis 18 ir 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 utt.
Mēs redzam, ka ir skaitļi, kas ir gan 12, gan 18 reizinātāji. Piemēram, 36, 72, 108, .... Šos skaitļus sauc par 12 un 18 kopējiem reizinātājiem.
Naturālo skaitļu a un b mazākais kopīgais daudzkārtnis ir mazākais naturālais skaitlis, kas dalās ar a un b. Šo skaitli apzīmē ar: LOC (a, b).
Divu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums parasti tiek atrasts vienā no diviem veidiem. Apskatīsim tos.
Atradīsim LCM(18, 24).
I metode Pierakstīsim skaitļus, kas ir 24 reizinātāji (lielākais no šiem skaitļiem), pārbaudot, vai katrs no tiem dalās ar 18: 24∙1=24 – nedalās ar 18, 24∙2 = 48 – nedalās ar 18, 24∙3 = 72 – dalās ar 18, tāpēc LCM (24, 18) =
= 72.
II metode. Sarēķināsim skaitļus 24 un 18 primārajos koeficientos: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.
LCM(24, 18) ir jādalās gan ar 24, gan ar 18. Tāpēc nepieciešamais skaitlis satur visus lielākā skaitļa 24 pirmkoeficientus (t.i., skaitļus 2, 2, 2, 3) un izvērsuma trūkstošos faktorus. no mazākā skaitļa 18 (vēl viens numurs 3). Tāpēc LCM(18, 24) = 2,2,2,3,3 = 72.
Tā kā kopskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu. Piemēram, 24 un 25 ir salīdzinoši pirmskaitļi. Tāpēc LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.
Ja viens no diviem skaitļiem dalās ar otru, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir vienāds ar lielāko no tiem. Piemēram, 120 dalās ar 24, tāpēc LCM (120, 24) = 120.
Veseli skaitļi
Atgādinājums. Tiek izsaukti skaitļi, ko izmanto objektu skaita saskaitīšanai naturālie skaitļi. Nulle netiek uzskatīta par naturālu skaitli. Dabiskie skaitļi un nulle, kas rakstīti augošā secībā un bez atstarpēm, veido nenegatīvu veselu skaitļu virkni:
Šajā sadaļā tiks ieviesti jauni numuri - negatīvi veseli skaitļi.
Negatīvi veseli skaitļi
Galvenais reālās dzīves piemērs ir termometrs. Pieņemsim, ka tas rāda temperatūru 7°C. Ja temperatūra pazeminās par 4°, termometrs rādīs 3° siltumu. Temperatūras pazemināšanās atbilst atņemšanas darbībai: 7 – 4 = 3. Ja temperatūra pazeminās par 7°, termometrs rādīs 0°: 7 – 7 = 0.
Ja temperatūra pazeminās par 8°, termometrs rādīs –1° (1° zem nulles). Bet rezultātu, atņemot 7–8, nevar uzrakstīt, izmantojot naturālus skaitļus un nulli, lai gan tam ir reāla nozīme.
Nenegatīvu veselu skaitļu virknē nav iespējams saskaitīt 8 skaitļus no skaitļa 7 pa kreisi. Lai 7.–8. darbība būtu iespējama, paplašināsim nenegatīvo veselo skaitļu diapazonu. Lai to izdarītu, pa kreisi no nulles (no labās uz kreiso pusi) mēs ierakstām visus naturālos skaitļus secībā, katram no tiem pievienojot zīmi “–”, kas norāda, ka šis skaitlis atrodas pa kreisi no nulles.
Ieraksti –1, –2, –3, ... skan “mīnus 1”, “mīnus 2”, “mīnus 3” utt.:
–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Iegūto skaitļu sēriju sauc par veselu skaitļu sēriju. Punkti pa kreisi un pa labi šajā ierakstā nozīmē, ka sēriju var turpināt bezgalīgi pa labi un pa kreisi.
Pa labi no skaitļa 0 šajā rindā ir skaitļi, kurus sauc par naturāliem skaitļiem vai pozitīviem veseliem skaitļiem.
Reģionālās pētniecības konference Lakhdenpohas pašvaldības rajona skolēniem
"Solis nākotnē"
Matemātikas projekts par tēmu:
Pabeidza: Galkina Natālija
7. klases skolnieks
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Vadītājs: Vasiļjeva
Larisa Vladimirovna
matemātikas skolotājs
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i) 5 – 6 lpp.
Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa: 6 lapas.
Skaitļu dalāmību nosaka pēc dažu darbību veikšanas ar skaitļa cipariem 6 - 9 lappuses.
Lai noteiktu skaitļa dalāmību, izmanto citas zīmes 9 – 10 lpp.
Ievads 3 lpp
No matemātikas vēstures 4 lpp.
Pamatjēdzieni 4 lpp.
Dalāmības zīmju klasifikācija: 5 lpp.
Dalāmības kritēriju piemērošana praksē 10 – 11 lpp.
Secinājums 11 lpp
Bibliogrāfija 12 lpp.
Ievads
Pētījuma atbilstība: Dalāmības pazīmes vienmēr ir interesējušas dažādu laiku un tautu zinātniekus. Studējot matemātikas stundās tēmu “Ciparu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9, 10”, man radās interese par skaitļu dalāmību. Tika pieņemts, ka, ja ir iespējams noteikt skaitļu dalāmību ar šiem skaitļiem, tad ir jābūt zīmēm, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību ar citiem skaitļiem. Dažos gadījumos, lai noskaidrotu, vai kāds naturāls skaitlis ir dalāms a uz naturālu skaitli b bez atlikuma šos skaitļus nav nepieciešams dalīt. Pietiek zināt dažas dalāmības pazīmes.
Hipotēze– ja ir naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9 un 10, tad ir citas zīmes, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību.
Pētījuma mērķis – papildināt jau zināmās naturālo skaitļu dalāmības zīmes kopumā, skolā apgūtās un sistematizēt šīs dalāmības zīmes.
Lai sasniegtu šo mērķi, ir jāatrisina sekojošais uzdevumi:
Patstāvīgi izpētīt skaitļu dalāmību.
Izpētiet papildu literatūru, lai iepazītos ar citām dalāmības pazīmēm.
Apvienojiet un apkopojiet dažādu avotu funkcijas.
Izdariet secinājumu.
Pētījuma objekts– visu iespējamo dalāmības pazīmju izpēte.
Studiju priekšmets– dalāmības pazīmes.
Pētījuma metodes– materiālu vākšana, datu apstrāde, salīdzināšana, analīze, sintēze.
Jaunums: Projekta gaitā paplašināju zināšanas par naturālu skaitļu dalāmības zīmēm.
No matemātikas vēstures
Blēzs Paskāls(dzimis 1623. gadā) - viens no visvairāk slaveni cilvēki cilvēces vēsturē. Pascalumer, kad viņam bija 39 gadi, bet neskatoties uz to īss mūžs, iegāja vēsturē kā izcils matemātiķis, fiziķis, filozofs un rakstnieks. Viņa vārdā nosaukta spiediena mērvienība (paskāls) un mūsdienās ļoti populārā programmēšanas valoda. Blēzs Paskāls atrada kopīgu
Paskāla tests ir metode, kas ļauj iegūt testus dalīšanai ar jebkuru skaitli. Sava veida “universāla dalāmības zīme”.
Paskāla dalāmības tests: Dabiskais skaitlis A tiks dalīts ar citu naturālu skaitli b tikai tad, ja skaitļa ciparu reizinājumu summa A atbilstošajos atlikumos, kas iegūti, dalot ciparu vienības ar skaitli b, tiek dalīts ar šo skaitli.
Piemēram : skaitlis 2814 dalās ar 7, jo 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 dalās ar 7. (Šeit 6 ir 1000 dalījuma ar 7 atlikums, 2 ir atlikums, dalot 100 ar 7 un 3 ir atlikums no 10 dalīšanas ar 7).
Pamatjēdzieni
Atcerēsimies dažus matemātiskus jēdzienus, kas mums būs nepieciešami, pētot šo tēmu.
Dalāmības pārbaude ir noteikums, pēc kura, neveicot dalīšanu, var noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu.
Dalītājs dabiskais skaitlis A nosauciet naturālo skaitli, uz kuru A sadalīts bez atlikuma.
Vienkārši sauc par naturāliem skaitļiem, kuriem nav citu dabisku atšķirīgu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
Kompozīts ir skaitļi, kuriem ir citi dabiskie dalītāji, nevis 1 un paši.
Dalāmības pazīmes
Visas šajā darbā aplūkotās naturālo skaitļu dalāmības pazīmes var iedalīt 4 grupās:
Apskatīsim sīkāk katru no šīm grupām.
Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i)
Pirmā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupa, kuru es aplūkoju, ietver dalāmības zīmes ar 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 un ciparu vienības 10, 100 utt.
Pārbaude dalāmību ar 2: skaitlis dalās ar 2, ja šī skaitļa pēdējais cipars dalās ar 2 (t.i., pēdējais cipars ir pāra skaitlis).
Piemēram: 32217864 : 2
Pārbaudiet dalāmību ar 4 : skaitlis dalās ar 4, ja tā pēdējie divi cipari ir nulles vai ja divciparu skaitlis sastāv no tā diviem pēdējie cipari, dalās ar 4.
Piemēram, 35324 : 4; 6600 : 4
Dalāmības pārbaude ar 5 : skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir 5 vai 0.
Piemēram: 36780 : 5 vai 12326 5 : 5
Pārbaude dalāmību ar 8: skaitlis dalās ar 8, ja tas dalās ar 8 trīsciparu skaitlis, kas izveidots no šī skaitļa pēdējiem trim cipariem.
Piemēram: 432240 : 8
Pārbaude dalāmību ar 20: skaitlis dalās ar 20, ja skaitlis, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 20. (Cits formulējums: skaitlis dalās ar 20, ja skaitļa pēdējais cipars ir 0 un priekšpēdējais ir pāra cipars).
Piemēram: 59640 : 20
Pārbaude dalāmību ar 25: Skaitļi, kuru pēdējie divi cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 25, dalās ar 25.
Piemēram: 667975 : 25 vai 77689 00 : 25
Pārbaude dalāmību ar 50: Skaitlis dalās ar 50, ja skaitlis, ko veido tā divi mazākie cipari aiz komata, dalās ar 50.
Piemēram: 564350 :50 vai 5543 00 :50
Dalāmības pārbaude ar 125: Skaitlis dalās ar 125, ja tā pēdējie trīs cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 125.
Piemēram: 32157000 :125 vai 3216 250 :125
Tos naturālos skaitļus, kuru nullju skaits ir lielāks vai vienāds ar ciparu vienības nulles skaitu, sadala ciparu vienībā.
Piemēram, 12 000 dalās ar 10, 100 un 1000.
Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar 3, 9, 11, kuras es apsvēru.
Pārbaude dalāmību ar 3: Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
Pārbaude dalāmību ar 9: Skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemēram: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
Pārbaude dalāmību ar 11:Šie skaitļi dalās ar 11, ja nepāra vietās esošo ciparu summa ir vienāda ar ciparu summu pāra vietās vai atšķiras no tās ar skaitļa 11 reizinājumu.
Piemēram: 865948732:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
Skaitļu dalāmība tiek noteikta pēc dažu darbību veikšanas ar šī skaitļa cipariem
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101
Pārbaude dalāmību ar 6:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 6, ja rezultāts, atņemot divkāršu simtnieku skaitu no skaitļa pēc simtiem, dalās ar 6.
Piemēram, 138: 6, jo 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 jo 44 — 7,2 = 30, (30:6)
2. zīme: Skaitlis dalās ar 6 tad un tikai tad, ja četrkāršojot vienību skaitam pievienoto desmitnieku skaitu, dalās ar 6.
Piemēram, 768:6 jo 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)
Dalāmība ar 7:
1. zīme: skaitlis dalās ar 7 kad trīskāršot, vienību skaitam pievienoto desmitnieku skaits dalās ar 7.
Piemēram, numurs 154:7, jo 15 3 + 4 = 49 (49:7) tiek dalīts ar 7
2. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja skaitļu, kas veido trīs ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniniekiem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “-” dalās ar 7.
Piemēram, 138689257:7, jo ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Dalāmība ar 11:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 11, ja starpības modulis starp ciparu summu, kas ieņem nepāra pozīcijas, un to ciparu summu, kas ieņem pāra pozīcijas, dalās ar 11.
Piemēram, 9163627:11, jo ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
2. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 11.
Piemēram, 103785:11, jo 10+37+85=132 un 01+32=33 (33:11)
Dalāmība ar 13:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 13, ja desmitu skaitļu summa plus četras reizes vieninieki dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
2. zīme: Skaitlis dalās ar 13, ja starpība starp desmitiem un deviņas reizes vieninieku skaitu dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84-5 9=39 (39:13)
Pārbaude dalāmību ar 17: skaitlis dalās ar 17, ja starpības modulis starp desmitiem un piecreiz lielāku skaitu vieninieku dalās ar 17.
Piemēram, 221:17, jo ǀ22-5·1ǀ=17
Ar 19 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 19, ja desmitnieku skaits, kas pievienots divkāršam vienību skaitam, dalās ar 19.
Piemēram, 646:19, jo 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Testi dalīšanai ar 23:
1. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaitlis, kas pievienots, lai trīskāršotu skaitli, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 23.
Piemēram, 28842:23, jo 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
2. zīme: skaitlis dalās ar 23 kad desmitnieku skaits, kas pievienots septiņkāršajam vieninieku skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3 9+7 1=46 (46:23)
3. zīme: skaitlis dalās ar 23 kad simtu skaits, kas pievienots septiņkāršajam desmitnieku skaitam, un trīskāršais vienību skaits dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Pārbaude dalāmību ar 27: skaitlis dalās ar 27, ja skaitļu summa, kas veido trīs ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 27.
Piemēram, 2705427:27 jo 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Dalamības ar 29 pārbaude: Skaitlis dalās ar 29, ja desmitnieku skaits, kas pievienots trīskāršam vienību skaitam, dalās ar 29.
Piemēram, 261:29, jo 26+3·1=29 (29:29)
Dalamības ar 31 pārbaude: Skaitlis dalās ar 31, ja starpības modulis starp skaitļu desmitiem un trīskāršu vieninieku skaitu dalās ar 31.
Piemēram, 217:31, jo ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Testi dalīšanai ar 33: Ja summa, kas iegūta, dalot skaitli no labās puses uz kreiso divu ciparu grupās, dalās ar 33, tad skaitlis dalās ar 33.
Piemēram, 396:33, jo 96+3=99 (99:33)
Testi dalīšanai ar 37:
1. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja, sadalot skaitli trīs ciparu grupās (sākot ar vieniniekiem), šo grupu summa ir 37 daudzkārtņa.
Piemēram, numurs 100048:37, jo 100+048=148, (148:37)
2. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja modulis, kurā trīskāršojas simtu skaits, kas pievienots, lai četrkāršotu desmitnieku skaitu, mīnus vienību skaits, reizināts ar septiņi, tiek dalīts ar 37.
Piemēram, skaitlis ir 481:37, jo tas dalās ar 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37
Dalamības kritēriji ar 41:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 41, ja starpības modulis starp desmitiem un četrkārtīgu vienību skaitu dalās ar 41.
Piemēram, 369:41, jo ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
2. zīme: Lai pārbaudītu, vai skaitlis dalās ar 41, tas jāsadala no labās puses uz kreiso grupās pa 5 cipariem. Pēc tam katrā grupā reiziniet pirmo ciparu labajā pusē ar 1, reiziniet otro ciparu ar 10, trešo ar 18, ceturto ar 16, piekto ar 37 un pievienojiet visus iegūtos produktus. Ja rezultātsdalās ar 41, tad pats skaitlis dalīsies ar 41.
Dalamības ar 59 pārbaude: Skaitlis dalās ar 59, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 6, dalās ar 59.
Piemēram, 767:59, jo 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Pārbaude dalāmību ar 79: Skaitlis dalās ar 79, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 8, dalās ar 79.
Piemēram, 711:79, jo 71+8·1=79, (79:79)
Dalāmības pārbaude ar 99: Skaitlis dalās ar 99, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 99.
Piemēram, 12573:99, jo 1+25+73=99, (99:99)
Dalāmības pārbaude ar 101: skaitlis dalās ar 101, ja skaitļu, kas veido divu ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “–” dalās ar 101.
Piemēram
Lai noteiktu skaitļa dalāmību, tiek izmantoti citi dalāmības kritēriji
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 utt. Tie visi ir salikti skaitļi. Salikto skaitļu dalāmības kritēriji ir balstīti uz pirmskaitļu dalāmības kritērijiem, kuros var sadalīt jebkuru salikto skaitli.
Pārbaude dalāmību ar 6:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās gan ar 2, gan ar 3, tas ir, ja tas ir pāra un tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 768:6, jo 7+6+8=21 (21:3) un skaitļa 768 pēdējais cipars ir pāra.
Dalāmības pārbaude ar 12: Skaitlis dalās ar 12, ja tas vienlaikus dalās ar 3 un 4.
Piemēram, 408:12, jo 4+0+8=12 (12:3) un pēdējie divi cipari dalās ar 4 (08:4)
Pārbaude dalāmību ar 14: Skaitlis dalās ar 14, ja tas dalās ar 2 un 7.
Piemēram, skaitlis 45612:14, jo tas dalās gan ar 2, gan ar 7, kas nozīmē, ka tas dalās ar 14.
Pārbaude dalāmību ar 15: Skaitlis dalās ar 15, ja tas dalās ar 3 un 5.
Piemēram, 1146795:15 jo Šis skaitlis dalās gan ar 3, gan ar 5.
Testi dalīšanai ar 27: Skaitlis dalās ar 27, ja tas dalās ar 3 un 9.
Piemēram, 511704:27 jo 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 un 18:9)
Ar 30 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 30, ja tas beidzas ar 0 un visu ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 510:30 jo 5+1+0=6 (6:3) un ciparā 510 (pēdējais cipars 0)
Ar 60 dalāmības pazīmes: Lai skaitlis dalītos ar 60, ir nepieciešams un pietiekami, ka tas dalās ar 4, 3 vai 5.
Piemēram, 1620:60 jo 1+6+2+0=9 (9:3), skaitlis 1620 beidzas ar 0, t.i. dalās ar 5 un 1620: 4, jo pēdējie divi cipari 20:4
Darbam ir praktisks pielietojums. To var izmantot skolēni un pieaugušie, risinot reālas situācijas; skolotājiem, gan vadot matemātikas stundas, gan izvēles kursos un papildu nodarbības atkārtošanai.
Šis pētījums studentiem noderēs, kad pašmācības gala un iestājeksāmeniem. Noderēs arī skolēniem, kuru mērķis ir augstas vietas pilsētu olimpiādēs.
Uzdevums Nr.1 . Vai ir iespējams, izmantojot tikai ciparus 3 un 4, rakstīt:
skaitlis, kas dalās ar 10;
pāra skaitlis;
skaitlis, kas reizināts ar 5;
nepāra skaitlis
Problēma Nr.2
Uzrakstiet kādu deviņu ciparu skaitli, kuram nav atkārtotu ciparu (visi cipari ir atšķirīgi) un dalās ar 1 bez atlikuma.
Uzrakstiet lielāko no šiem skaitļiem.
Uzrakstiet mazāko no šiem skaitļiem.
Atbilde: 987652413; 102347586
Problēma Nr.3
Atrodiet lielāko četrciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi un dalās ar 2, 5, 9, 11.
Atbilde: 8910
Problēma Nr.4
Olya nāca klajā ar vienkāršu trīsciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi. Ar kādu ciparu tas var beigties, ja tā pēdējais cipars ir vienāds ar pirmo divu summu. Sniedziet šādu skaitļu piemērus.
Atbilde: tikai par 7. Ir 4 skaitļi, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: 167, 257, 347, 527
Problēma Nr.5
Abās klasēs kopā mācās 70 skolēni. Vienā klasē uz stundām neieradās 7/17 skolēni, citā matemātikā teicamus vērtējumus saņēma 2/9. Cik skolēnu ir katrā klasē?
Risinājums: Pirmajā no šīm klasēm varētu būt: 17, 34, 51... - skaitļi, kas ir 17 reizinātāji. Otrajā klasē: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - skaitļi, kas ir reizinātāji. no 9. Mums ir jāizvēlas 1 skaitlis no pirmās virknes , un 2 ir skaitlis no otrās, lai tie kopā iegūtu 70. Turklāt šajās secībās tikai neliels terminu skaits var izteikt iespējamo bērnu skaitu klasē. Šis apsvērums ievērojami ierobežo iespēju izvēli. Vienīgais iespējamais variants bija pāris (34, 36).
Problēma Nr.6
9. klasē par pārbaude 1/7 skolēnu saņēma A, 1/3 - B, ½ - C. Pārējais darbs izrādījās neapmierinošs. Cik tādu darbu bija?
Risinājums: Uzdevuma risinājumam ir jābūt skaitlim, kas ir skaitļu reizināts: 7, 3, 2. Vispirms atradīsim mazāko no šiem skaitļiem. LCM (7, 3, 2) = 42. Varat izveidot izteiksmi atbilstoši uzdevuma nosacījumiem: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 neveiksmīgs. Matemātiskās attiecību problēmas pieņem, ka skolēnu skaits klasē ir 84, 126 utt. Cilvēks. Taču veselais saprāts liecina, ka vispieņemamākā atbilde ir skaitlis 42.
Atbilde: 1 darbs.
Secinājums:
Šī darba rezultātā es uzzināju, ka bez man zināmajām dalāmības ar 2, 3, 5, 9 un 10 zīmēm pastāv arī citas naturālu skaitļu dalāmības zīmes. Iegūtās zināšanas ievērojami paātrina daudzu problēmu risināšanu. Un es varu izmantot šīs zināšanas savā izglītojošas aktivitātes, gan matemātikas stundās, gan iekš ārpusklases pasākumi. Jāņem vērā arī tas, ka dažu dalāmības kritēriju formulējumi ir sarežģīti. Varbūt tāpēc viņus skolā nemāca. Nākotnē ceru turpināt darbu pie naturālo skaitļu dalāmības zīmju izpētes.
enciklopēdiskā vārdnīca jaunais matemātiķis. Savin A.P. Maskavas "Pedagoģija" 1989.
Matemātika. Papildmateriāli matemātikas stundām 5.-11.kl. Rjazanovskis A.R., Zaicevs E.A. Maskavas "Bustard" 2002.
Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Viļenkins N.Ya., Depmans I.Ja. M.: Izglītība, 1989.
Ārpusklases pasākumi matemātikā 6.-8.klasē. Maskava. “Apgaismība” 1984 V. A. Gusevs, A. I. Orlovs, A. L. Rozentāls.
“1001 jautājums un atbilde. Lielā zināšanu grāmata" Maskava. "Grāmatu pasaule" 2004.
Izvēles kurss matemātikā. Nikolskaya I.L. - Maskava. Apgaismība 1991.
Olimpiādes uzdevumi matemātikā un to risināšanas metodes. Farkovs A.V. - Maskava. 2003. gads
Interneta resursi.
Skatīt prezentācijas saturu
"Naturālo skaitļu dalāmības zīmes"
Novadpētniecības konference skolēniem
Lakhdenpohas pašvaldības rajons “Solis nākotnē”
"Naturālo skaitļu dalāmības zīmes"
Pabeidza: Galkina Natālija
7. klases skolnieks
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Vadītājs: Vasiļjeva Larisa Vladimirovna
matemātikas skolotājs MKOU "Elisenvaarskaya" Vidusskola"
2014. gads
Pētījuma atbilstība : Dalāmības pazīmes vienmēr ir interesējušas dažādu laiku un tautu zinātniekus. Studējot matemātikas stundās tēmu “Ciparu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9, 10”, man radās interese par skaitļu dalāmību. Tika pieņemts, ka, ja ir iespējams noteikt skaitļu dalāmību ar šiem skaitļiem, tad ir jābūt zīmēm, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību ar citiem skaitļiem. Dažos gadījumos, lai noskaidrotu, vai kāds naturāls skaitlis ir dalāms a uz naturālu skaitli b bez atlikuma šos skaitļus nav nepieciešams dalīt. Pietiek zināt dažas dalāmības pazīmes. Hipotēze – ja ir naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9 un 10, tad ir citas zīmes, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību. Pētījuma mērķis – papildināt jau zināmās naturālo skaitļu dalāmības zīmes kopumā, skolā apgūtās un sistematizēt šīs dalāmības zīmes. Lai sasniegtu šo mērķi, ir jāatrisina sekojošais uzdevumi:
- Patstāvīgi izpētīt skaitļu dalāmību.
- Izpētiet papildu literatūru, lai iepazītos ar citām dalāmības pazīmēm.
- Apvienojiet un apkopojiet dažādu avotu funkcijas.
- Izdariet secinājumu. Pētījuma objekts – naturālu skaitļu dalāmība. Studiju priekšmets – dalāmības pazīmes. Pētījuma metodes – materiālu vākšana, datu apstrāde, salīdzināšana, analīze, vispārināšana. Jaunums : Projekta laikā papildināju savas zināšanas par naturālo skaitļu dalāmības kritērijiem.
No matemātikas vēstures
Blēzs Paskāls (dzimis 1623. gadā) - viens no slavenākajiem cilvēkiem cilvēces vēsturē. Paskāls nomira, kad viņam bija 39 gadi, taču, neskatoties uz tik īsu mūžu, viņš iegāja vēsturē kā izcils matemātiķis, fiziķis, filozofs un rakstnieks. Viņa vārdā nosaukta spiediena mērvienība (paskāls) un mūsdienās ļoti populārā programmēšanas valoda. Blēzs Paskāls atrada kopīgu algoritms jebkura vesela skaitļa dalāmības pazīmju atrašanai ar jebkuru citu veselu skaitli.
Paskāla tests ir metode, kas ļauj iegūt testus dalīšanai ar jebkuru skaitli. Sava veida “universāla dalāmības zīme”.
Paskāla dalāmības tests: Naturāls skaitlis a tiks dalīts ar citu naturālu skaitli b tikai tad, ja skaitļa a ciparu reizinājumu summa ar atbilstošajiem atlikumiem, kas iegūta, dalot ciparu vienības ar skaitli b, dalās ar šo skaitli.
Piemēram : skaitlis 2814 dalās ar 7, jo 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 dalās ar 7. (Šeit 6 ir 1000 dalījuma ar 7 atlikums, 2 ir atlikums, dalot 100 ar 7 un 3 ir atlikums no 10 dalīšanas ar 7).
Pamatjēdzieni
Atcerēsimies dažus matemātiskus jēdzienus, kas mums būs nepieciešami, pētot šo tēmu:
- Dalāmības pārbaude ir noteikums, pēc kura, neveicot dalīšanu, var noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu.
- Dalītājs dabiskais skaitlis A zvaniet uz naturālo numuru b , uz kuru A sadalīts bez atlikuma.
- Vienkārši sauc par naturāliem skaitļiem, kuriem nav citu dabisku atšķirīgu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
- Kompozīts ir skaitļi, kuriem ir citi dabiskie dalītāji, nevis 1 un paši.
Dalāmības pazīmes
Visas šajā darbā aplūkotās naturālo skaitļu dalāmības pazīmes var iedalīt 4 grupās:
es
- es . Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i)
Pirmā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupa, kuru es aplūkoju, ietver dalāmības zīmes ar 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 un ciparu vienības 10, 100 utt.
- Pārbaude dalāmību ar 2 : skaitlis dalās ar 2, ja šī skaitļa pēdējais cipars dalās ar 2 (t.i., pēdējais cipars ir pāra skaitlis).
Piemēram : 3221786 4 : 2
- Pārbaudiet dalāmību ar 4 : skaitlis dalās ar 4, ja tā pēdējie divi cipari ir nulles vai ja divciparu skaitlis, ko veido tā pēdējie divi cipari, dalās ar 4.
Piemēram: 353 24 : 4; 66 00 : 4
- Dalāmības pārbaude ar 5 : skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir 5 vai 0.
Piemēram: 3678 0 : 5 vai 12326 5 : 5
- Pārbaude dalāmību ar 8: Skaitlis dalās ar 8, ja trīsciparu skaitlis, kas izveidots no šī skaitļa pēdējiem trim cipariem, dalās ar 8.
Piemēram: 432 240 : 8
- Pārbaude dalāmību ar 20: skaitlis dalās ar 20, ja skaitli veido divi Pēdējais skaitļi, kas dalās ar 20. (Cits formulējums: skaitlis dalās līdz 20, kad skaitļa pēdējais cipars ir 0, bet no otra līdz pēdējam cipars ir pāra cipars).
Piemēram: 596 40 : 20
- Pārbaude dalāmību ar 25: Skaitļi, kuru pēdējie divi cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 25, dalās ar 25.
Piemēram: 6679 75 : 25 vai 77689 00 : 25
- Pārbaude dalāmību ar 50: Skaitlis dalās ar 50, ja skaitlis, ko veido tā divi mazākie cipari aiz komata, dalās ar 50.
Piemēram : 5643 50 : 50 vai 5543 00 : 50
- Dalāmības pārbaude ar 125: Skaitlis dalās ar 125, ja tā pēdējie trīs cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 125.
Piemēram: 32157 000 : 125 vai 3216 250 : 125
- Dalāmības zīmes ar ciparu vienību 10, 100, 1000 utt.: Tos naturālos skaitļus, kuru nullju skaits ir lielāks vai vienāds ar ciparu vienības nulles skaitu, sadala ciparu vienībā.
Piemēram, 12 000 dalās ar 10, 100 un 1000
II
- II . Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar 3, 9, 11, kuras es apsvēru.
- Pārbaude dalāmību ar 3: Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
- Pārbaude dalāmību ar 9: Skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemēram: 653022: 9 jo 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
- Pārbaude dalāmību ar 11: Šie skaitļi dalās ar 11, ja nepāra vietās esošo ciparu summa ir vienāda ar ciparu summu pāra vietās vai atšķiras no tās ar skaitļa 11 reizinājumu.
Piemēram: 865948732:11, jo 8+5+4+7+2=26 un 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
III . Skaitļu dalāmība tiek noteikta pēc dažu darbību veikšanas
virs šī numura cipariem
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101
Pārbaude dalāmību ar 6:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 6, ja rezultāts, atņemot divkāršu simtnieku skaitu no skaitļa pēc simtiem, dalās ar 6.
Piemēram: 138: 6, jo 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 jo 44 — 7,2 = 30, (30:6)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 6 tad un tikai tad, ja četrkāršais desmitnieku skaits, kas pievienots vieninieku skaitam, dalās ar 6.
Piemēram: 768:6, jo 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)
Dalāmība ar 7:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja trīskāršais desmitnieku skaits, kas pievienots vieninieku skaitam, dalās ar 7.
Piemēram: skaitlis 154:7, jo 15 3 + 4 = 49 (49:7) tiek dalīts ar 7
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja to skaitļu algebriskās summas modulis, kas veido trīs ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniniekiem), ņemtas ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “-” dalās ar 7.
Piemēram, 138689257:7, jo ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Dalāmība ar 11:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja starpības modulis starp nepāra pozīcijām esošo ciparu summu un pāra pozīcijās esošo ciparu summu dalās ar 11.
Piemēram, 9163627:11, jo ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 11.
Piemēram, 103785:11, jo 10+37+85=132 un 01+32=33 (33:11)
Dalāmība ar 13:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 13, ja desmitnieku un vieninieku četrkāršā summa dalās ar 13
Piemēram, 845:13, jo 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 13, ja starpība starp desmitiem un deviņas reizes vieninieku dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84-5 9=39 (39:13)
Pārbaude dalāmību ar 17: skaitlis dalās ar 17, ja starpības modulis starp desmitiem un piecreiz lielāku skaitu vieninieku dalās ar 17.
Piemēram, 221:17, jo ǀ22-5·1ǀ=17
Ar 19 dalāmības pazīmes: skaitlis dalās ar 19, ja skaitlis ir desmiti, ar nepatiess ar divkāršs vienību skaits, kas dalās ar 19.
Piemēram, 646:19, jo 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Testi dalīšanai ar 23:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaits, kas pievienots, lai trīskāršotu skaitli, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 23.
Piemēram, 28842:23, jo 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja desmitnieku skaits, kas pievienots septiņkāršam vienību skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 39+7·1=46 (46:23)
- 3. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaits tiek pievienots septiņkāršam desmitu skaitam un trīskāršots vienību skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Pārbaude dalāmību ar 27: skaitlis dalās ar 27, ja skaitļu summa, kas veido trīs ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 27.
Piemēram, 2705427:27, jo 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Dalamības ar 29 pārbaude: skaitlis dalās ar 29, ja desmitnieku skaits, kas pievienots trīskāršam vieninieku skaitam, dalās ar 29
Piemēram, 261:29, jo 26+3·1=29 (29:29)
Dalamības ar 31 pārbaude: skaitlis dalās ar 31, ja skaitļa desmitnieku starpības modulis un trīskāršu vienību skaitu dala ar 31.
Piemēram, 217:31, jo ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Testi dalīšanai ar 33: Ja summa, kas iegūta, dalot skaitli no labās puses uz kreiso divu ciparu grupās, dalās ar 33, tad skaitlis dalās ar 33.
Piemēram, 396:33, jo 96+3=99 (99:33)
Testi dalīšanai ar 37:
- 1. zīme : skaitlis dalās ar 37, ja, sadalot skaitli trīs ciparu grupās (sākot ar vieniniekiem), šo grupu summa ir 37 daudzkārtņa.
Piemēram , numurs 100048:37, jo 100+048=148, (148:37)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja simtu trīskāršā skaitļa modulis, ko pieskaita, lai četrkāršot desmitnieku skaitu, atskaitot vienību skaitu, kas reizināts ar septiņiem, dalās ar 37.
Piemēram, skaitlis 481:37, jo ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 dalās ar 37
Dalamības kritēriji ar 41:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 41, ja starpības modulis starp desmitnieku skaitu un četrkārtīgu vieninieku skaitu dalās ar 41.
Piemēram, 369:41, jo ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
- 2. zīme: lai pārbaudītu, vai skaitlis dalās ar 41, tas jāsadala no labās puses uz kreiso grupās pa 5 cipariem katrā. Pēc tam katrā grupā reiziniet pirmo ciparu labajā pusē ar 1, reiziniet otro ciparu ar 10, trešo ar 18, ceturto ar 16, piekto ar 37 un pievienojiet visus iegūtos produktus. Ja rezultāts dalās ar 41, tad pats skaitlis dalās ar 41.
Dalamības ar 59 pārbaude: Skaitlis dalās ar 59, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 6, dalās ar 59.
Piemēram, 767:59, jo 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Pārbaude dalāmību ar 79: Skaitlis dalās ar 79, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 8, dalās ar 79.
Piemēram, 711:79, jo 71+8·1=79, (79:79)
Dalāmības pārbaude ar 99: Skaitlis dalās ar 99, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 99.
Piemēram, 12573:99, jo 1+25+73=99, (99:99)
Dalāmības pārbaude ar 101: skaitlis dalās ar 101, ja skaitļu, kas veido divu ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “–” dalās ar 101.
Piemēram, 590547:101, jo ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)
IV . Lai noteiktu skaitļa dalāmību, tiek izmantoti citi dalāmības kritēriji
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 utt. Tie visi ir salikti skaitļi. Salikto skaitļu dalāmības kritēriji ir balstīti uz pirmskaitļu dalāmības kritērijiem, kuros var sadalīt jebkuru salikto skaitli.
Pārbaude dalāmību ar 6: Skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās gan ar 2, gan ar 3, tas ir, ja tas ir pāra un tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 768:6, jo 7+6+8=21 (21:3) un skaitļa 768 pēdējais cipars ir pāra.
Dalāmības pārbaude ar 12 : Skaitlis dalās ar 12, ja tas vienlaikus dalās ar 3 un 4.
Piemēram, 408:12, jo 4+0+8=12 (12:3) un pēdējie divi cipari dalās ar 4 (08:4)
Pārbaude dalāmību ar 14: Skaitlis dalās ar 14, ja tas dalās ar 2 un 7.
Piemēram, skaitlis 45612:14, jo tas dalās gan ar 2, gan ar 7, kas nozīmē, ka tas dalās ar 14
Pārbaude dalāmību ar 15: Skaitlis dalās ar 15, ja tas dalās ar 3 un 5.
Piemēram, 1146795:15, jo šis skaitlis dalās gan ar 3, gan ar 5
Testi dalīšanai ar 27: Skaitlis dalās ar 27, ja tas dalās ar 3 un 9. Piemēram, 511704:27, jo 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 un 18:9)
Ar 30 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 30, ja tas beidzas ar 0 un visu ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 510:30, jo 5+1+0=6 (6:3) un ciparā 510 (pēdējais cipars 0)
Ar 60 dalāmības pazīmes: Lai skaitlis dalītos ar 60, ir nepieciešams un pietiekami, ka tas dalās ar 4, 3 vai 5.
Piemēram, 1620:60, jo 1+6+2+0=9 (9:3), skaitlis 1620 beidzas ar 0, t.i. dalās ar 5 un 1620: 4, jo pēdējie divi cipari 20:4
Dalāmības kritēriju piemērošana praksē
Darbam ir praktisks pielietojums. To var izmantot skolēni un pieaugušie, risinot reālas situācijas; skolotājiem gan matemātikas stundās, gan izvēles kursos un papildu revīzijas stundās.
Šis pētījums noderēs studentiem patstāvīgi gatavojoties gala un iestājeksāmeniem. Noderēs arī skolēniem, kuru mērķis ir augstas vietas pilsētu olimpiādēs.
Uzdevums Nr.1 . Vai ir iespējams, izmantojot tikai ciparus 3 un 4, rakstīt:
- skaitlis, kas dalās ar 10;
- pāra skaitlis;
- skaitlis, kas reizināts ar 5;
- nepāra skaitlis
Problēma Nr.3 : atrodiet lielāko četrciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi un kas dalās ar 2, 5, 9, 11.
Atbilde: 8910
4. uzdevums: Olya nāca klajā ar vienkāršu trīsciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi. Ar kādu ciparu tas var beigties, ja tā pēdējais cipars ir vienāds ar pirmo divu summu. Sniedziet šādu skaitļu piemērus.
Atbilde: tikai par 7. Ir 4 skaitļi, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: 167, 257, 347, 527
Problēma Nr.5 : Divās klasēs kopā mācās 70 skolēni. Vienā klasē uz stundām neieradās 7/17 skolēni, citā matemātikā teicamus vērtējumus saņēma 2/9. Cik skolēnu ir katrā klasē?
Risinājums: Pirmajā no šīm klasēm varētu būt: 17, 34, 51... - skaitļi, kas ir 17 reizinātāji. Otrajā klasē: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - skaitļi, kas ir reizinātāji. no 9. Mums ir jāizvēlas 1 skaitlis no pirmās virknes , un 2 ir skaitlis no otrās, lai tie kopā iegūtu 70. Turklāt šajās secībās tikai neliels terminu skaits var izteikt iespējamo bērnu skaitu klasē. Šis apsvērums ievērojami ierobežo iespēju izvēli. Vienīgais iespējamais variants bija pāris (34, 36).
Problēma Nr.6 : 9. klasē 1/7 skolēni par ieskaiti saņēma A, 1/3 saņēma četrinieki, ½ - trīs. Pārējais darbs izrādījās neapmierinošs. Cik tādu darbu bija?
Risinājums: Problēmas risinājumam ir jābūt skaitlim, kas ir skaitļu reizināts: 7, 3, 2. Vispirms atradīsim mazākais no šiem skaitļiem. LCM (7, 3, 2) = 42. Varat izveidot izteiksmi atbilstoši uzdevuma nosacījumiem: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 neveiksmīgs. Matemātiskās attiecību problēmas pieņem, ka skaitlis skolēni 84., 126. klasē utt. Cilvēks. Bet veselā saprāta dēļ No tā izriet, ka vispieņemamākā atbilde ir skaitlis 42.
Atbilde: 1 darbs.
Secinājums:
Šī darba rezultātā es uzzināju, ka bez man zināmajām dalāmības ar 2, 3, 5, 9 un 10 zīmēm pastāv arī citas naturālu skaitļu dalāmības zīmes. Iegūtās zināšanas ievērojami paātrina daudzu problēmu risināšanu. Un šīs zināšanas varēšu izmantot savās izglītojošajās aktivitātēs gan matemātikas stundās, gan ārpusstundu nodarbībās. Jāņem vērā arī tas, ka dažu dalāmības kritēriju formulējumi ir sarežģīti. Varbūt tāpēc viņus skolā nemāca. Nākotnē ceru turpināt darbu pie naturālo skaitļu dalāmības zīmju izpētes.
- Jauna matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca. Savin A.P. Maskavas "Pedagoģija" 1989.
- Matemātika. Papildmateriāli matemātikas stundām 5.-11.kl. Rjazanovskis A.R., Zaicevs E.A. Maskavas "Bustard" 2002.
- Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Viļenkins N.Ya., Depmans I.Ja. M.: Izglītība, 1989.
- Ārpusstundu darbs matemātikā 6.-8.klasē. Maskava. “Apgaismība” 1984 V. A. Gusevs, A. I. Orlovs, A. L. Rozentāls.
- “1001 jautājums un atbilde. Lielā zināšanu grāmata" Maskava. "Grāmatu pasaule" 2004.
- Izvēles kurss matemātikā. Nikolskaya I.L. - Maskava. Apgaismība 1991.
- Olimpiādes uzdevumi matemātikā un to risināšanas metodes. Farkovs A.V. - Maskava. 2003. gads
- Interneta resursi.
Veseli skaitļi
Dabisku skaitļu kopa, ko izmanto skaitīšanai vai pārsūtīšanai.
Formāli naturālo skaitļu kopu var definēt, izmantojot Peano aksiomu sistēmu.
ARPeano aksiomu sistēma
1. Vienība 
- naturāls skaitlis, kas neseko nevienam skaitlim.
2. Jebkuram naturālam skaitlim 
pastāv vienskaitlis 
kas tūlīt seko .
3. Katrs naturāls skaitlis 
uzreiz seko tikai viens cipars.
4. Ja daži noteikti 
satur un kopā ar katru naturālo skaitli satur skaitli tieši aiz tā tad 
(indukcijas aksioma).
Operācijas komplektā
Reizināšana
|
Atņemšana :
Atņemšanas īpašības: Ja 
Tas
Ja 
Tas
Naturālo skaitļu dalāmība
Divīzija
:
dalīts ar 
tāds, ka 
Īpašībasoperācijas:
1. Ja 
tiek sadalīti 
Tas 
dalīts ar 
2. Ja 
Un 
tiek sadalīti 
Tas 
dalīts ar 
3. Ja 
Un 
ir dalāmi ar, kas dalās ar
4. Ja dalās ar to 
dalīts ar
5. Ja 
dalās ar a 
nav sadalīti šajā un tajā 
nav dalāms ar
6. Ja vai 
dalīts ar to 
dalīts ar
7. Ja dalās ar 
tad tas tiek dalīts ar 
un tiek dalīts ar
Teorēmapar dalīšanu ar atlikumu Jebkuriem naturāliem skaitļiem 
ir tikai pozitīvi skaitļi 
tāds, ka 
un 
Pierādījums. Ļaujiet 
Apsveriet šādu algoritmu:
| Ja Ja Mēs turpinām atņemšanas procesu, līdz atlikums ir mazāks par skaitli Ir numurs |
| Saskaitīsim visas šī algoritma rindas un iegūstam vajadzīgo izteiksmi, kur
|
tad veiksim vēl vienu atņemšanu
tāds, ka 
Attēlojuma unikalitāti pierādīsim ar pretrunu.
Pieņemsim, ka ir divi attēlojumi
Un 
Atņemiet vienu izteiksmi no otras un 
Pēdējā veselo skaitļu vienādība ir iespējama tikai gadījumā kopš 
plkst 
□
Secinājums 1. Jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā: 
vai vai
Secinājums 2. Ja 
secīgi naturāli skaitļi, tad viens no tiem dalās ar 
Secinājums 3. Ja 
divus secīgus pāra skaitļus, tad viens no tiem dalās ar 
Definīcija.
Dabiskais skaitlis 
tiek saukts par pirmskaitli, ja tam nav citu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
Sekas4.
Katram pirmskaitļam ir forma 
vai 
Patiešām, formā var attēlot jebkuru skaitli, taču visi šīs sērijas skaitļi, izņemot 
noteikti ir saliktas. □
Sekas5
. Ja 
tad pirmskaitlis 
dalīts ar 
Tiešām, 
trīs secīgi naturāli skaitļi un 
pat, un 
nepāra pirmskaitlis. Tāpēc viens no pāra skaitļiem 
Un 
dalās ar 4, un viens arī dalās ar 
□
2. piemērs . Patiesi ir šādi apgalvojumi:
1. Nepāra skaitļa kvadrāts, dalīts ar 8, dod atlikumu 
2. Nevienam naturālam skaitlim n skaitlis n 2 +1 nedalās ar 3.
3. Izmantojot tikai skaitļus 2, 3, 7, 8 (iespējams, vairākas reizes), naturālu skaitli nav iespējams izlikt kvadrātā.
Pierādījums1.
Jebkuru nepāra skaitli var attēlot kā 
vai 
Salīdzināsim katru no šiem skaitļiem kvadrātā un iegūstam vajadzīgo apgalvojumu.
2. pierādījums. Katru naturālo skaitli var attēlot kā 
Tad izteiksme 
būs vienāds ar kādu no izteiksmēm 
kuras nav sadalītas 
Pierādījums3. Patiešām, dabiska skaitļa kvadrāta pēdējais cipars nevar beigties ne ar vienu no šiem cipariem.
Dalāmības pazīmes
Definīcija. Dabiska skaitļa decimālā atveide ir skaitļa attēlojums formā
Īsraksts apzīmējums 
Dalāmības pazīmes
Apstiprināts 6Ļaujiet 
skaitļa decimālais attēlojums Pēc tam:
1. Skaitlis dalās ar 
kad numurs 
- pat;
2. Skaitlis dalās ar 
ja skaitlis ir divi cipari 
dalīts ar 
3. Skaitlis dalās ar 
Kad 
vai 
4. Skaitlis dalās ar 
Kad 
5. Skaitlis dalās ar 
ja skaitlis ir divi cipari 
- dalīts ar 
6. Skaitlis dalās ar 
7. Skaitlis dalās ar 
kad skaitļa ciparu summu dala ar 
8. Skaitlis dalās ar 
kad skaitļa ar mainīgām zīmēm ciparu summu dala ar 
Pierādījums. 1)-5) zīmju pierādījums ir viegli iegūstams no skaitļa decimāldaļas. Pierādīsim 6) un 7). Tiešām,
No tā izriet, ka, ja dalāms (vai 
tad arī skaitļa ciparu summa dalās ar 
Pierādīsim 11). Ļaujiet tam dalīties ar Ļaujiet mums attēlot skaitli formā
Tā kā visas pievienotās summas dalās ar 
tad arī summa tiek dalīta ar □
3. piemērs
.
Atrodiet visus veidlapas piecciparu skaitļus 
, kas dalās ar 45.
Pierādījums.
Tāpēc skaitlis dalās ar 5, un tā pēdējais cipars ir 0 vai 5, t.i. 
vai 
Sākotnējais skaitlis arī dalās ar 9, tātad dalās ar 9, t.i. 
vai dalās ar 9, t.i. 
Atbilde:
Dalāmības pārbaude ieslēgts 
Un 
Apstiprināts 7 Lai skaitļa decimālais attēlojums Skaitlis Skaitlis dalās ar 
ja starpību starp skaitli bez pēdējiem trim cipariem un skaitli, kas sastāv no pēdējiem trim cipariem, dala ar 
Pierādījums. Atveidosim to formā Kopš skaitļa 
dalīts ar un 
Tas 
dalās ar un □
Piemērs
4
.
Ļaujiet 
Tad 
dalās ar un līdz ar to arī skaitli 
dalīts ar 
Ļaujiet 
Tad 
dalās ar Tad skaitli 
dalīts ar
pirmskaitļi
Eratostena siets
(Vienkāršs algoritms visu pirmskaitļu iegūšanai)
Algoritms. Mēs pierakstām visus skaitļus no 1 līdz 100 un vispirms izsvītrojam visus pāra skaitļus. Tad no atlikušajiem mēs izsvītrojam tos, kas dalās ar 3, 5, 7 utt. Rezultātā paliks tikai pirmskaitļi.
Eiklida teorēma. Pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.
Pierādījums"pretrunīgi." Lai pirmskaitļu skaits ir ierobežots - 
Apsveriet skaitli 
Jautājums: numurs 
- vienkāršs vai salikts?
Ja ir salikts skaitlis, tad tas dalās ar kādu pirmskaitli 
un tāpēc viens tiek dalīts ar šo pirmskaitli. Pretruna.
Ja ir pirmskaitlis, tad tas ir lielāks par jebkuru pirmskaitli 
un mēs izrakstījām un numurējām visus pirmskaitļus. Atkal pretruna. □
Apstiprināts 8 Ja skaitlis ir salikts, tad tam ir tāds galvenais dalītājs 
Pierādījums. If ir saliktā skaitļa mazākais pirmdalītājs 
Tas 
Sekas. Lai noteiktu, vai skaitlis ir pirmskaitlis, jums ir jānosaka, vai tam ir pirmskaitļa dalītāji. 
Piemērs
5
. Ļaujiet 
Lai pārbaudītu, vai numurs ir 
vienkārši, jums jāpārbauda, vai tas dalās ar pirmskaitļiem. Atbilde: skaitlis 
vienkārši.
Pirmskaitļu ģeneratori
Hipotēze: Visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
- tie ir pirmskaitļi 
Priekš 
Manuāli un ar datora palīdzību ir pierādīts, ka visi skaitļi ir salikti.
Piemēram, (Euler)
Hipotēze: Visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
tā ir taisnība, eh 
dalās ar 17.
Hipotēze: visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
tā ir taisnība, eh 
Hipotēze: Visi formas skaitļi ir pirmskaitļi. Plkst 
tā ir taisnība, eh 
Teorēma.(Fermata faktoringa metode) Nepāra vesels skaitlis nav primārais skaitlis 
ir tādi naturāli skaitļi, ka 
Pierādījums.
□
Piemērs
6
.
Faktoru skaitļi pirmfaktoros 
Piemērs
7
.
Koeficients skaitlis 
Šis skaitlis dalās ar 3 
Turklāt atkarībā no faktoru atlases metodes 
Piemērs
8
. Pie kādiem veseliem skaitļiem ir skaitlis 
vienkārši?
Ņemiet vērā, ka kopš 
vienkārši, tad nu 
vai 
Atbilde: 
Apstiprināts 10 Vai naturālam skaitlim ir nepāra skaits dalītāju, ja tas ir ideāls kvadrāts?
Pierādījums. Ja 
dalītājs 
tad ir divi dažādi dalītāju pāri 
Un 
un tad, kad 
abi pāri būs vienādi.
Piemērs 9 . Skaitļiem ir tieši 99 dalītāji. Vai skaitlim var būt tieši 100 dalītāji?
Atbilde: nē. Derīgs ar iepriekšējo īpašumu un - ideāli kvadrāti, bet viņu darbs nav.
Piemērs
10
.
Skaitļi 
vienkārši. Atrast 
Risinājums. Jebkuru skaitli var attēlot kā 
Ja 
tad jūs iegūstat trīs pirmskaitļus 
atbilst problēmas nosacījumiem. Ja 
Tas 
salikts. Ja 
tas numurs 
dalīts ar 
un ja 
tas numurs 
dalās ar Tādējādi visos aplūkotajos variantos nevar iegūt trīs pirmskaitļus. Atbilde: 
Definīcija.
Numurs 
sauc par lielāko kopējo skaitļu dalītāju un, ja tas dala un un ir lielākais no šādiem skaitļiem.
Apzīmējums: 
Definīcija
.
Tiek uzskatīts, ka skaitļi un ir relatīvi pirmskaitļi, ja 
1. piemērs
2
.
Atrisiniet vienādojumu naturālajos skaitļos 
Risinājums.Ļaujiet 
Tāpēc vienādojums izskatās šādi: Atbilde: nav risinājumu.
PARaritmētikas pamatteorēma
Teorēma. Jebkurš naturāls skaitlis, kas ir lielāks par, ir vai nu pirmskaitlis, vai to var uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu, un šis reizinājums ir unikāls līdz faktoru secībai.
Secinājums 1.Ļaujiet 
Tad 
ir vienāds ar visu kopējo primāro faktoru reizinājumu ar mazākajām pakāpēm.
Secinājums 2.Ļaujiet 
Tad 
ir vienāds ar visu dažādo primāro faktoru reizinājumu ar vislielāko jaudu. dalīts ar
10. Atrodiet skaitļa 7 2011 + 9 2011 pēdējo ciparu.
11. Atrodiet visus naturālos skaitļus, kas palielinās par 9 reizēm, ja starp mērvienību ciparu un desmitnieku ievietota nulle.
12. Kādam divciparu skaitlim tika pievienots viens pa kreisi un pa labi. Rezultāts bija 23 reizes lielāks nekā oriģināls. Atrodiet šo numuru.
Jautājumus par teoriju vai vingrinājumiem var uzdot Valērijam Petrovičam Čuvakovam
chv @ uriit . ru
papildu literatūra
1. Vilenkin N.Ya. un citi.Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Aritmētika. Algebra. –M.: Izglītība, 2008.
2. Sevrjukovs P.F. Sagatavošanās olimpiādes uzdevumu risināšanai matemātikā. –M.: Ilexa, 2009. gads.
3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldži A.K. Kā viņi izlemj nestandarta uzdevumi. – M. MCNMO, 2009.
4. Agahanovs N.A., Podlipskis O.K. Maskavas apgabala matemātikas olimpiādes. –M.: Fizmatkniga, 2006
5. Gorbačovs Ņ.V. Olimpiādes uzdevumu krājums, –M.:MCNMO, 2004.g
LekcijaLekciju konspekti kursam “Ciparu teorija”
LekcijaSekojošās teorijas sadaļas cipariem: teorija dalāmība, vienkāršs un salikts... Teorēma. Pieņemsim x>0, xR, dN. Daudzums dabiskscipariem, d daudzkārtni un nepārsniedz x, ir vienāds ar... Lekcija 12 13 Lekcija 13 15 Literatūra. 17 Abstraktslekcijas kursā "Teorijas" cipari" ...
Lekciju piezīmes par ulturoloģiju
AbstraktsPavļučenkovs Abstraktslekcijas kultūras studijās... nevienmērīgi un pastāvēja iekšā dabisks saimniecības. Tas ir polisā... bezgalīgo mazo pētniecībā cipariem lielā mērā ir pabeiguši radīšanu... kamēr materiāls dalāms līdz bezgalībai. Garīgais...
D A Shadrin Logic lekciju piezīmes
AbstraktsPārstāv abstraktslekcijas disciplīnā "Loģika". Abstraktslekcijas apkopots... šī ir definīcija dabiskscipariem. Tātad, ja 1 - dabisks numurs un n - dabisks numurs, tad 1 ... izsmeļ visu apjomu dalāms jēdzieni, tātad...
Izglītības nozare: dabaszinātnes.
Sadaļa: "Matemātika"
Pētnieciskais darbs par tēmu:
"Naturālo skaitļu dalāmības zīmes"
Vadītājs: Lapko I.V.
matemātikas skolotājs
Ievads:
1. Fakti no matemātikas vēstures.
2. Dalamības zīmes ar 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10.
3. Naturālo skaitļu dalāmības zīmes ar 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.
4. Problēmu risināšana, izmantojot dalāmības kritērijus.
6. Izmantotās literatūras (avotu) saraksts.
Atbilstība: Mēs visi skolā apguvām dalāmības zīmes, kas līdz pat šai dienai palīdz, netērējot lieki laiku, ātri un precīzi sadalīt to vai citu skaitli. Pirms neilga laika, atceroties šo tēmu, es sāku domāt, vai nav citas pazīmes, kas liecina par dalāmību ar naturāliem skaitļiem. Un tieši šī doma mani pamudināja uzrakstīt pētniecisko darbu.
Hipotēze: Ja var noteikt naturālo skaitļu dalāmību ar 2, 3, 5, 9, 10, tad visticamāk ir zīmes, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību ar citiem skaitļiem.
Pētījuma objekts: naturālo skaitļu dalāmība.
Studiju priekšmets: naturālu skaitļu dalāmības pazīmes.
Mērķis: papildināt jau zināmās skolā apgūtās naturālo skaitļu dalāmības zīmes.
Uzdevumi:
1. Definējiet un atkārtojiet jau pētītās dalāmības zīmes ar 2, 3. 5, 9, 10.
2. Izpētiet papildu literatūru, kas apstiprina uzdotā jautājuma par citu naturālu skaitļu dalāmības pazīmju esamību pareizību.
3. Patstāvīgi pārbaudīt un iegūt zīmes par naturālu skaitļu dalāmību ar 4, 6, 8, 15, 25.
4. Atrodiet no papildliteratūras naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 7, 11,12,13,14.
5.Izdariet secinājumu.
Jaunums: Projekta gaitā paplašināju zināšanas par naturālu skaitļu dalāmības zīmēm.
Pētījuma metodes: materiālu vākšana, datu apstrāde, novērošana, salīdzināšana, analīze, sintēze.
1. Fakti no matemātikas vēstures
1. Dalāmības zīme- algoritms, kas ļauj salīdzinoši ātri noteikt, vai skaitlis ir iepriekš noteikta skaitļa reizinājums
Dalamības pārbaude ir noteikums, pēc kura, neveicot dalīšanu, var noteikt, vai viens naturāls skaitlis dalās ar citu. Dalāmības pazīmes zinātniekus vienmēr ir interesējušas dažādas valstis un laiki.Zīmes, kas dalās ar 2, 3, 5, 9, 10, ir zināmas kopš seniem laikiem. Dalāmības zīmi ar 2 zināja senie ēģiptieši 2 tūkstošus gadu pirms mūsu ēras, un dalāmības zīmes ar 2, 3, 5 detalizēti aprakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Pisanus (latīņu valodā Leonardus Pisanus, itālis Leonardo Pisano, ap 1170. g. Piza — ap 1250. gadu, turpat) — pirmais lielākais viduslaiku Eiropas matemātiķis. Viņu vislabāk pazīst ar segvārdu Fibonači. Aleksandrijas zinātnieks Eratostens, kurš dzīvoja 3. gadsimtā pirms mūsu ēras, reiz domāja par to pašu jautājumu. Viņa metode, kā sastādīt pirmskaitļu sarakstu, tika saukta par "Eratostena sietu". Pieņemsim, ka jāatrod visi pirmskaitļi līdz 100. Rakstīsim visus skaitļus līdz 100 pēc kārtas.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Atstājot skaitli 2, izsvītrojiet visus pārējos pāra skaitļus. Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 būs 3. Tagad, atstājot skaitli 3, izsvītrosim skaitļus, kas dalās ar 3. Pēc tam izsvītrosim skaitļus, kas dalās ar 5. Rezultātā visi saliktie skaitļi tiks izsvītroti un tikai pirmskaitļi paliks: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Izmantojot šo metodi, varat izveidot sarakstus ar pirmskaitļiem , kas ir lielāki par 100.
Skaitļu dalāmības jautājumus aplūkoja pitagorieši. Skaitļu teorijā viņi daudz strādāja pie naturālo skaitļu tipoloģijas. Pitagorieši tos iedalīja klasēs. Klases tika izdalītas: ideālie skaitļi (skaitlis vienāds ar summu savi dalītāji, piemēram: 6=1+2+3), draudzīgie skaitļi (no kuriem katrs ir vienāds ar otra dalītāju summu, piemēram, 220 un 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), skaitļi (trīsstūra skaitlis, kvadrātskaitlis), pirmskaitļi utt. Blēzs Paskāls (1623-1662) veica lielisku darbu ieguldījumu skaitļu dalāmības zīmju izpētē. ). Jaunais Blēzs parādījās ļoti agri matemātikas prasmes, iemācīties skaitīt pirms lasīšanas. Kopumā viņa piemērs ir klasisks bērnības matemātikas ģēnija gadījums. Savu pirmo matemātisko traktātu “Pieredze konisko griezumu teorijā” viņš uzrakstīja 24 gadu vecumā. Aptuveni tajā pašā laikā viņš izstrādāja mehānisko pievienošanas mašīnu, pievienošanas mašīnas prototipu. IN agrīnais periods Savā radošajā darbā (1640-1650) daudzpusīgais zinātnieks atrada algoritmu, kā atrast jebkura vesela skaitļa dalāmības zīmes ar jebkuru citu veselu skaitli, no kura izriet visas konkrētās zīmes. Tā zīme ir šāda: naturāls skaitlis a tiks dalīts ar citu naturālu skaitli b tikai tad, ja skaitļa a ciparu reizinājumu summa ar atbilstošajiem atlikumiem, kas iegūta, dalot ciparu vienības ar skaitli b, dalās ar šo numuru.
Studējot šo tēmu, jāzina dalītāja, reizinātāja, pirmskaitļa un salikto skaitļu jēdzieni.Naturāla skaitļa a dalītājs ir naturāls skaitlis b, ar kuru a dalās bez atlikuma.Bieži vien apgalvojums par dalāmību skaitļa ar skaitli b izteikts citos līdzvērtīgos vārdos: a ir b reizinātājs, b ir a dalītājs, b dala a. Pirmskaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir divi dalītāji: 1 un pats skaitlis. Piemēram, skaitļi 5,7,19 ir pirmskaitļi, jo dalās ar 1 un sevi. Skaitļus, kuriem ir vairāk nekā divi dalītāji, sauc par saliktiem skaitļiem. Piemēram, skaitlim 14 ir 4 dalītāji: 1, 2, 7, 14, kas nozīmē, ka tas ir salikts.
2. Dalāmības pazīmes
Lai vienkāršotu naturālo skaitļu dalīšanu, tika atvasināti noteikumi dalīšanai skaitļos ar pirmo desmitnieku un skaitļiem 11, 25, kas tika apvienoti sadaļā par naturālu skaitļu dalāmības zīmēm. Tālāk ir norādīti noteikumi, saskaņā ar kuriem skaitļa analīze, nedalot to ar citu naturālu skaitli, atbildēs uz jautājumu, vai naturāls skaitlis ir skaitļu 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 un ciparu mērvienība?
Dabiskos skaitļus, kuru pirmajā ciparā ir cipari (beidzas ar 2,4,6,8,0), sauc par pāra skaitļiem.
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 2
Visi pāra naturālie skaitļi dalās ar 2, piemēram: 172, 94,67, 838, 1670.
Piemēram, skaitlis 52 738 dalās ar 2, jo pēdējais cipars 8 ir pāra; 7691 nedalās ar 2, jo 1 ir nepāra skaitlis; 1250 dalās ar 2, jo pēdējais cipars ir nulle.
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 3
Visi naturālie skaitļi, kuru ciparu summa dalās ar 3, dalās ar 3. Piemēram:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Piemēri.
Skaitlis 52632 dalās ar 9, jo tā ciparu summa (18) dalās ar 9.
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 4
Visi naturālie skaitļi, kuru pēdējie divi cipari ir nulles vai reizināts ar 4, dalās ar 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Piemēri.
31 700 dalās ar 4, jo beidzas ar divām nullēm;
215 634 nedalās ar 4, jo pēdējie divi cipari dod skaitli 34, kas nedalās ar 4;
16608 dalās ar 4, jo 08 pēdējie divi cipari dod skaitli 8, kas dalās ar 4.
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 5
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 6
Tie naturālie skaitļi, kas vienlaikus dalās ar 2 un 3, dalās ar 6 (visi pāra skaitļi, kas dalās ar 3). Piemēram: 126 (b — pāra, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 8
Tie un tikai tie skaitļi, kas beidzas ar trim nullēm vai kuru pēdējie trīs cipari izsaka ar 8 dalāmu skaitli, dalās ar 8. Piemērs
Skaitlis 853 000 beidzas ar trim nullēm, kas nozīmē, ka tas dalās ar 8
Skaitlis 381 864 dalās ar 8, jo skaitlis, ko veido 864 pēdējie trīs cipari, dalās ar 8.
uttDalāmības zīme skaitļiem ar 9
Tie naturālie skaitļi, kuru ciparu summa ir 9 reizes, dalās ar 9. Piemēram:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Piemēri.
Skaitlis 17835 dalās ar 3 un nedalās ar 9, jo tā ciparu summa 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 dalās ar 3 un nedalās ar 9.
Skaitlis 105 499 nedalās ne ar 3, ne ar 9, jo tā ciparu summa (29) nedalās ne ar 3, ne ar 9.
Skaitlis 52632 dalās ar 9, jo tā ciparu summa (18) dalās ar 9
Skaitļu dalāmības pārbaude ar 10
Piemēri.
8200 dalās ar 10 un 100;
542000 dalās ar 10, 100, 1000.
3. Naturālo skaitļu dalāmības zīmes ar 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.
No papildu literatūras mēs atradām apstiprinājumu mūsu formulēto kritēriju pareizībai naturālu skaitļu dalīšanai ar 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Atradām arī vairākas dalāmības ar 7 pazīmes:
1) Dabisks skaitlis dalās ar 7 tad un tikai tad, ja starpība starp tūkstošu skaitu un ar pēdējiem trim cipariem izteikto skaitli dalās ar 7.
Piemēri:
478009 dalās ar 7, jo 478-9=469, 469 dalās ar 7.
479345 nedalās ar 7, jo 479-345=134, 134 nedalās ar 7.
2) Naturāls skaitlis dalās ar 7, ja dubultā skaitļa summa ar desmitiem un atlikušais skaitlis dalās ar 7.
Piemēri:
4592 dalās ar 7, jo 45·2=90, 90+92=182, 182 dalās ar 7.
57384 nedalās ar 7, jo 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 nedalās ar 7.
3) Trīsciparu naturāls skaitlis formā aba dalīsies ar 7, ja a+b dalās ar 7.
Piemēri:
252 dalās ar 7, jo 2+5=7, 7/7.
636 nedalās ar 7, jo 6+3=9, 9 nedalās ar 7.
4) Trīsciparu naturāls skaitlis formā baa dalīsies ar 7, ja skaitļa ciparu summa dalās ar 7.
Piemēri:
455 dalās ar 7, jo 4+5+5=14, 14/7.
244 nedalās ar 7, jo 2+4+4=12, 12 nedalās ar 7.
5) Trīsciparu naturāls skaitlis formā aab dalīsies ar 7, ja 2a-b dalās ar 7.
Piemēri:
882 dalās ar 7, jo 8+8-2=14, 14/7.
996 nedalās ar 7, jo 9+9-6=12, 12 nedalās ar 7.
6) Četrciparu naturāls skaitlis formā baa, kur b ir divciparu skaitlis, dalīsies ar 7, ja b+2a dalās ar 7.
Piemēri:
2744 dalās ar 7, jo 27+4+4=35, 35/7.
1955 nav dalāms ar 7, jo 19+5+5=29, 29 nedalās ar 7.
7) Dabisks skaitlis dalās ar 7 tad un tikai tad, ja no šī skaitļa bez pēdējā cipara divreiz atņemot pēdējo ciparu, dalās ar 7.
Piemēri:
483 dalās ar 7, jo 48-3·2=42, 42/7.
564 nedalās ar 7, jo 56-4 2=48, 48 nedalās ar 7.
8) Dabisks skaitlis dalās ar 7 tad un tikai tad, ja skaitļa ciparu reizinājumu summa ar atbilstošajiem atlikumiem, kas iegūta, ciparu vienības dalot ar skaitli 7, dalās ar 7.
Piemēri:
10º7=1 (ost 3)
100º7 = 14 (ost 2)
1000 × 7 = 142 (ost 6)
10000 × 7 = 1428 (ost 4)
100 000 × 7 = 14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (atpūta 1) un atlikumus atkārto vēlreiz.
Skaitlis 1316 dalās ar 7, jo... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 atlikums no 1000 dalīšanas ar 7; 2 atlikums no 100 dalīšanas ar 7; 3 atlikums no 10 dalīšanas ar 7).
Skaitlis 354722 nedalās ar 7, jo... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 nedalās ar 7 (5 ir atlikums, dalot 100 000 ar 7; 4 ir atlikums, dalot 10 000 ar 7 ; 6 atlikumi no 1000 dalīšanas ar 7; 2 atlikumi no 100 dalīšanas ar 7; 3 atlikumi no 10 dalīšanas ar 7).
Dalāmība ar 11.
1) Skaitlis dalās ar 11, ja starpība starp ciparu summu nepāra vietās un ciparu summu pāra vietās ir 11 reizināta.
Atšķirība var būt negatīvs skaitlis vai 0, bet tam ir jābūt 11 reizinājumam. Numerācija notiek no kreisās puses uz labo.
Piemērs:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nav skaitļa 11 reizinājums, kas nozīmē, ka šis skaitlis nedalās ar 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 ir 11 reizinājums, kas nozīmē, ka šis skaitlis dalās ar 11.
2) Dabisks skaitlis tiek sadalīts no labās puses uz kreiso grupās pa 2 cipariem un šīs grupas tiek pievienotas. Ja iegūtā summa ir reizināta ar 11, tad pārbaudāmais skaitlis ir reizināts ar 11.
Piemērs: nosakiet, vai skaitlis 12561714 dalās ar 11.
Sadalīsim skaitli grupās pa diviem cipariem katrā: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 dalās ar 11, kas nozīmē, ka šis skaitlis dalās ar 11.
3) Trīsciparu naturāls skaitlis dalās ar 11, ja skaitļa sānu ciparu summa ir vienāda ar ciparu vidū. Atbilde sastāvēs no tiem pašiem sānu numuriem.
Piemēri:
594 dalās ar 11, jo 5+4=9, 9 ir pa vidu.
473 dalās ar 11, jo 4+3=7, 7- pa vidu.
861 nedalās ar 11, jo 8+1=9, un pa vidu ir 6.
Dalāmības pārbaude ar 12
Dabisks skaitlis dalās ar 12 tad un tikai tad, ja tas dalās ar 3 un 4 vienlaikus.
Piemēri:
636 dalās ar 3 un 4, kas nozīmē, ka tas dalās ar 12.
587 nedalās ar 3 vai 4, kas nozīmē, ka tas nedalās ar 12.
27126 dalās ar 3, bet nedalās ar 4, kas nozīmē, ka tas nedalās ar 12.
Testi dalīšanai ar 13
1) Naturāls skaitlis dalās ar 13, ja starpība starp tūkstošu skaitu un skaitli, ko veido pēdējie trīs cipari, dalās ar 13.
Piemēri:
Skaitlis 465400 dalās ar 13, jo... 465–400 = 65, 65 dalīts ar 13.
Skaitlis 256184 nedalās ar 13, jo... 256 - 184 = 72, 72 nedalās ar 13.
2) Dabisks skaitlis dalās ar 13 tad un tikai tad, ja no šī skaitļa bez pēdējā cipara tiek atņemts pēdējais cipars, kas reizināts ar 9, dalās ar 13.
Piemēri:
988 dalās ar 13, jo 98 - 9 8 = 26, 26 dala ar 13.
853 nedalās ar 13, jo 85 - 3 9 = 58, 58 nedalās ar 13.
Dalāmības pārbaude ar 14
Dabisks skaitlis dalās ar 14 tad un tikai tad, ja tas dalās ar 2 un 7 vienlaikus.
Piemēri:
Skaitlis 45826 dalās ar 2, bet nedalās ar 7, kas nozīmē, ka tas nedalās ar 14.
Skaitlis 1771 dalās ar 7, bet nedalās ar 2, kas nozīmē, ka tas nedalās ar 14.
Skaitlis 35882 dalās ar 2 un 7, kas nozīmē, ka tas dalās ar 14.
Dalāmības pārbaude ar 19
Dabisks skaitlis dalās ar 19 bez atlikuma tad un tikai tad, ja tā desmitnieku skaits, kas pievienots divkāršam vienību skaitam, dalās ar 19.
Jāņem vērā, ka desmitnieku skaits skaitļā jāskaita nevis pēc cipara desmitnieku vietā, bet gan pēc veselo desmitnieku kopskaita visā skaitlī.
Piemēri:
1534 desmiti ir 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 nedalās ar 19, kas nozīmē, ka 1534 nedalās ar 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, kas nozīmē, ka skaitlis ir 1824/19.
Pārbaudiet dalāmību ar 25 un 50
Dalīt ar 25 vai 50 ir tie un tikai tie skaitļi, kas beidzas ar divām nullēm vai kuru pēdējie divi cipari izsaka skaitli, kas dalās attiecīgi ar 25 vai 50.
Skaitlis 97300 beidzas ar divām nullēm, kas nozīmē, ka tas dalās gan ar 25, gan ar 50.
Skaitlis 79 450 dalās ar 25 un 50, jo skaitlis, ko veido pēdējie divi cipari 50, dalās gan ar 25, gan ar 50.
4. Problēmu risināšana, izmantojot dalāmības kritērijus.
Pārdevējs veikalā.
Pircējs no veikala paņēma piena paku 34,5 rubļu vērtībā, biezpiena kārbu 36 rubļu vērtībā, 6 kūkas un 3 kilogramus cukura. Kad kasiere izsita čeku par 296 rubļiem, pircējs pieprasīja pārbaudīt aprēķinu un izlabot kļūdu. Kā pircējs konstatēja, ka rēķins ir nepareizs?
Risinājums: Katra veida iegādāto preču pašizmaksa tiek izteikta kā skaitlis, kas dalās ar 3 (pirmajiem diviem preču veidiem cena ir 3 reizinājums, bet pārējiem - iegādāto preču skaits ir 3 reizinājums). katrs no terminiem dalās ar 3, tad summai jādalās ar 3. Skaitlis 296 nedalās ar 3, tāpēc aprēķins ir nepareizs.
Āboli kastītēke.
Ābolu skaits kastē ir mazāks par 200. Tos var vienādi sadalīt starp 2,3,4,5 un 6 bērniem. Kāds ir maksimālais ābolu skaits, kas var būt kastē?
Risinājums.
LCM(2,3,4,5,6) = 60.
60. gadi< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180
Atbilde: 180 āboli.
5. Secinājums:
Veicot darbu, iepazinos ar dalāmības zīmju attīstības vēsturi, formulēju naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 4, 6, 8, 15, 25,50 un atradu tam apstiprinājumu no papildliteratūras. Pārliecinājos arī, ka pastāv arī citas naturālu skaitļu dalāmības pazīmes (ar 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), kas apstiprināja hipotēzes pareizību par citu naturālu skaitļu dalāmības pazīmju esamību.
Izmantotās literatūras saraksts (avoti):
1. Galkins V.A. Uzdevumi par tēmu “Dalāmības kritēriji” // Matemātika, 1999.-№5.-P.9.
2. Gusevs V.A., Orlovs A.I., Rozentāls A.L. Ārpusstundu darbs matemātikā 6.-8.klasē.- M.: Izglītība, 1984.g.
3. Kaplun L.M. GCD un LCM problēmas. // Matemātika, 1999.- 7.nr. - P. 4-6.
4. Pelmans Ya.I. Matemātika ir interesanta! - M.: TERRA - Grāmatu klubs, 2006
5. Jaunā matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca./ Sast. Savin A.P. - M.: Pedagoģija, 1989. - 352. lpp.
6. Resursi - Internets.
