13. tēma. Teorēmas un pierādījumi
Šajā tēmā jūs iepazīsities ar atšķirīga iezīme Matemātika, salīdzinot ar fiziku un citām zinātnēm, atzīst tikai tās patiesības vai likumus, kas ir pierādīti. Šajā sakarā tiks analizēts teorēmas jēdziens un apskatīti daži teorēmu veidi un to pierādīšanas metodes.
13.09.03. Matemātikas atšķirīgā iezīme
Teorija
1.1. Ja salīdzinām matemātiku un fiziku, abas šīs zinātnes izmanto gan novērojumus, gan pierādījumus. Līdzās eksperimentālajai fizikai ir arī teorētiskā fizika, kurā daži apgalvojumi, tāpat kā matemātikas teorēmas, tiek pierādīti, pamatojoties uz fizikāliem likumiem, secīgi izsecinot dažus apgalvojumus no citiem. Tomēr fiziskie likumi tiek atzīti par patiesiem tikai tad, kad tie tiek apstiprināti liels skaits eksperimentiem. Laika gaitā šie likumi var tikt precizēti.
Arī matemātika izmanto novērojumus.
1. piemērs: novērojot to
varam pieņemt, ka pirmo tūkstoš nepāra naturālo skaitļu summa ir 1 000 000.
Šo apgalvojumu var pārbaudīt ar tiešiem aprēķiniem, tēriņiem liela summa laiks.
Mēs varam arī izdarīt vispārēju pieņēmumu, ka jebkuram dabiskais skaitlis sākotnējo nepāra skaitļu summa ir . Šo apgalvojumu nevar pārbaudīt ar tiešiem aprēķiniem, jo visu naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Tomēr izdarītais pieņēmums ir pareizs, jo to var pierādīt.
2. piemērs. Mēs varam izmērīt daudzu trīsstūru leņķus..gif" height="20">, tas ir taisnība, ja par aksiomu ņemam Eiklida piekto postulātu. pierādīts 7. klasē .
3. piemērs. Aizstāšana polinomā
naturālo skaitļu vietā no 1 līdz 10 iegūstam pirmskaitļus 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Var pieņemt, ka jebkurai naturālajai vērtībai kvadrātveida trinomāls ir pirmskaitlis. Pārbaude parādīja, ka tas patiešām attiecas uz jebkuru naturālu skaitli no 1 līdz 39. Tomēr pieņēmums ir nepareizs, jo rezultāts ir salikts skaitlis:
Pierādījumu, nevis novērojumu izmantošana, lai noteiktu teorēmu patiesumu, ir matemātikas iezīme.
Secinājums, kas izdarīts, pamatojoties uz pat daudziem novērojumiem, tiek uzskatīts par matemātisko likumu tikai tad, ja tas pierādīts.
1.2. Aprobežosimies ar intuitīvo pierādījumu jēdzienu kā dažu spriedumu secīgu atvasināšanu no citiem, neveicot precīzu secinājuma vai secinājuma jēdziena analīzi. Ļaujiet mums sīkāk analizēt teorēmas jēdzienu.
Par teorēmu parasti sauc apgalvojumu, kura patiesumu nosaka pierādījums. Teorēmas jēdziens attīstījās un tika pilnveidots kopā ar pierādījuma jēdzienu.
Klasiskā izpratnē teorēma tiek saprasta kā apgalvojums, kas tiek pierādīts, atvasinot dažus apgalvojumus no citiem. Šajā gadījumā daži ir jāizvēlas sākotnējie likumi vai aksiomas, kas tiek pieņemti bez pierādījumiem.
Ģeometrijas aksiomu sistēmu pirmo reizi izveidoja sengrieķu matemātiķis Eiklīds savā slavenajā darbā Elementi. Sekojot aksiomām Eiklida elementos, teorēmas un problēmas konstruēšanai saskaņā parastais nosaukums piedāvājumi. Teorēmas ir sakārtotas stingrā secībā.
Katra teorēma vispirms ir pateikts, tad tiek pateikts, kas ir dots un kas jāpierāda. Pēc tam tiek iesniegts pierādījums ar visām atsaucēm uz iepriekš pierādītiem priekšlikumiem un aksiomām. Dažreiz pierādījums beidzas ar vārdiem, kas bija jāpierāda. Tulkots uz visu Eiropas valodas Eiklida elementi, kas ietvēra 13 grāmatas, līdz 18. gadsimtam palika vienīgā mācību grāmata, ko izmantoja ģeometrijas pētīšanai skolās un universitātēs.
1.3. Lai būtu vieglāk identificēt, kas ir dots un kas ir jāpierāda, teorēmas formulētas formā ja..., tad.... Teorēmas formulējuma pirmo daļu starp ja un tad sauc stāvokli teorēma, un tiek saukta otrā daļa, kas ir rakstīta pēc tam secinājums teorēmas.
Teorēmas nosacījumi satur dotā aprakstu, un secinājumā ir tas, kas ir jāpierāda.
Dažreiz šo teorēmas formu sauc loģiskā forma teorēmas un tiek saīsināti kā ja-tad forma.
4. piemērs. Aplūkosim šādu teorēmu.
Ja ir pāra naturāls skaitlis, tad tas ir nepāra skaitlis.
Šajā teorēmā nosacījums ir tāds, ka jebkurš pāra skaitlis tiek uzskatīts par ..gif" width="32 height=19" height="19"> nepāra skaitli.
Bieži nosacījums un secinājums tiek rakstīti, izmantojot dažādus vārdus.
5. piemērs. Teorēmu no 1. piemēra var uzrakstīt šādā formā:
Ļaut būt pāra naturālam skaitlim. Tad ir nepāra skaitlis.
Šajā gadījumā vārda vietā viņi lieto vārdu let, un vārda vietā viņi raksta vārdu tad.
6. piemērs. Teorēmu no 1. piemēra var uzrakstīt arī šādā formā:
No fakta, ka naturālais skaitlis ir pāra skaitlis, izriet, ka skaitlis .gif" width="13" height="15"> nozīmē, ka skaitlis ir nepāra.
Šajā gadījumā vārds if ir izlaists, un vārda tad vietā tiek lietots vārds ietver.
Dažreiz tiek izmantoti citi teorēmu pieraksta veidi.
1.4. Dažos gadījumos teorēmas nosacījumi nav pierakstīti tās formulējumā. Tas notiek, ja no teksta ir skaidrs, kādā formā šis nosacījums var būt.
8. piemērs. Jūs zināt teorēmu: trijstūra mediānas krustojas vienā punktā.
Loģiskā formā šo teorēmu var uzrakstīt šādi:
Ja jūs uzzīmējat visas mediānas jebkurā trīsstūrī, tad šīs mediānas krustosies vienā punktā.
9. piemērs. Teorēmu par pirmskaitļu kopas bezgalību var uzrakstīt šādi:
Ja ir visu pirmskaitļu kopa, tad tā ir bezgalīga.
Lai izveidotu saiknes starp teorēmām matemātikā, tiek izmantota īpaša valoda, kas daļēji tiks apspriesta šīs nodaļas turpmākajos punktos.
Kontroles jautājumi
1. Kādus novērojumu piemērus matemātikā jūs zināt?
2. Kādas ģeometrijas aksiomas jūs zināt?
3. Kuru teorēmas apzīmējumu sauc par teorēmas loģisko formu?
4. Kāds ir teorēmas nosacījums?
5. Ko sauc par teorēmas secinājumu?
6. Kādas teorēmu rakstīšanas formas jūs zināt?
Uzdevumi un vingrinājumi
1. Kādus pieņēmumus varat izdarīt, novērojot:
a) divu blakus esošu naturālu skaitļu reizinājums;
b) divu blakus esošu naturālu skaitļu summa;
c) trīs secīgu naturālu skaitļu summa;
d) trīs nepāra skaitļu summa;
d) pēdējie cipari V decimālzīme cipari .gif" width="13 height=15" height="15">;
f) to daļu skaits, kurās plakne ir sadalīta ar dažādām taisnēm, kas iet caur vienu punktu;
g) to daļu skaits, kurās plakne ir sadalīta ar dažādām taisnēm, no kurām taisnes ir pa pāriem paralēlas un krustojas ar .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > formas skaitļi, kur ir naturāls skaitlis;
d) divu iracionālu skaitļu summa?
3. Kādu pieņēmumu jūs varat izdarīt, novērojot ierobežotu apļu centrus ap neasiem trijstūriem?
4. Uzrakstiet teorēmu loģiskā formā:
a) izliektā https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24"> iekšējo leņķu summa;
b) jebkuri divi taisnstūri vienādsānu trijstūri ir līdzīgi;
c) vienādība attiecas uz jebkuriem veseliem skaitļiem un ;
d) vienādsānu trijstūra augstums, kas novilkts uz tā pamatni, dala leņķi šī trijstūra virsotnē;
e) jebkuriem nenegatīviem skaitļiem un nevienādība ir izpildīta;
f) riņķī ierakstīta četrstūra divu pretējo leņķu summa ir 180;
g) skaitlis nav racionāls skaitlis;
h) visi pirmskaitļi, kas ir lielāki par 10, ir nepāra;
i) kvadrāta diagonāles ir vienādas, perpendikulāras un krustošanās punktā dalās uz pusēm;
j) no visiem dotajā aplī ierakstītajiem četrstūriem kvadrātam ir vislielākais laukums;
k) ir pāra pirmskaitlis;
l) nevienu pirmskaitli nevar attēlot kā divu dažādu nepāra naturālu skaitļu summu;
m) pirmo naturālo skaitļu kubu summa ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts.
5.* Uzrakstiet katru no iepriekšējā uzdevumā dotajām teorēmām vairākās dažādās formās.
Atbildes un norādes
1. uzdevums. Kādus pieņēmumus jūs varat izdarīt, novērojot:
a) divu blakus esošu naturālu skaitļu reizinājums;
b) divu blakus esošu naturālu skaitļu summa;
c) trīs secīgu naturālu skaitļu summa;
d) trīs nepāra skaitļu summa;
d)pēdējie cipari decimāldaļāsar dabisko;
e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> to daļu skaits, kurās plakne ir sadalīta https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> taisnas līnijas ir pa pāriem paralēlas un krustojas.gif" width="13 height=20" height="20"> to daļu skaits, kurās plakne ir sadalīta https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> var iegūt tikai četrus ciparus:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" platums ="13" height="15"> -gon ir vienāds ar;
b) jebkuri divi taisnstūri vienādsānu trijstūri ir līdzīgi;
c) vienlīdzībadarbojas visiem veseliem skaitļiemUn;
Matemātiskā apgalvojuma pierādījums, kā likums, ir pareiza spriešanas ķēde, izmantojot aksiomas un teorēmas, kuru derīgums ir noteikts iepriekš. Pamatojumu sauc par pareizu, ja visu premisu patiesums nozīmē secinājuma patiesumu. Lai apgalvojumi \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) ir premisas, un apgalvojums \(A\) ir secinājums. Pamatojums tiek veikts saskaņā ar shēmu \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), t.i. no pieņēmumiem \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) seko secinājums \(B\). Šis pamatojums ir pareizs, ja formula \((A_1\Un A_2\Un \ldots\Un A_n)\bultiņa pa labi B\) identiski patiess, t.i. patiess jebkurām tajā ietverto apgalvojumu patiesuma vērtībām \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Piemēram, šādas diagrammas atbilst pareizam pamatojumam:
\(\frac(A\labā bultiņa B,A)(B)\)- secinājumu noteikums ( modus ponens);
\(\frac(A\labā bultiņa B,B\labā bultiņa C)(A\labā bultiņa C)\)- siloģisma likums;
\(\frac(A\labā bultiņa B,\lnot B)(\lnot A)\)- pretrunas noteikums.
Pamatojoties uz pirmo un trešo shēmu, tiek izveidots šāds pamatojums:
– ja naturāls skaitlis \(n\) dalās ar 4, tad tas ir pāra skaitlis. Skaitlis \(n\) dalās ar 4. Tāpēc skaitlis n ir pāra;
– ja naturāls skaitlis \(n\) dalās ar 4, tad tas ir pāra skaitlis. Skaitlis \(n\) ir nepāra. Tāpēc skaitlis \(n\) nedalās ar 4.
Abi argumenti ir pareizi jebkuriem naturāliem skaitļiem \(n\) . Faktiski, pat ar \(n=1\), neskatoties uz šķietamo neatbilstību, mums ir pareizs pamatojums: "ja skaitlis 1 dalās ar 4, tad tas ir pāra. Skaitlis 1 dalās ar 4. Tāpēc skaitlis 1 ir pāra,” jo no viltus premisām var izdarīt jebkādus secinājumus.
Apskatīsim spriešanas piemēru saskaņā ar shēmu \(\frac(A\labā bultiņa B,B)(A):\)
– ja naturāls skaitlis \(n\) dalās ar 4, tad tas ir pāra skaitlis. Skaitlis \(\) ir pāra. Tāpēc skaitlis \(n\) dalās ar 4.
Attiecīgi \(n=6\) un \(n=8\) mēs iegūstam:
– ja naturālais skaitlis 6 dalās ar 4, tad tas ir pāra. Skaitlis 6 ir pāra. Tāpēc skaitlis 6 dalās ar 4;
– ja naturālais skaitlis 8 dalās ar 4, tad tas ir pāra. Skaitlis 8 ir pāra. Tāpēc skaitlis 8 dalās ar 4.
Abi argumenti ir nepareizi, lai gan otrā argumenta secinājums ir patiess (skaitlis 8 patiesībā dalās ar 4), t.i. shēma \(\frac(A\bultiņa pa labi B,B)(A)\) neatbilst pareizam pamatojumam.
Bieži vien tā vietā, lai pierādītu teorēmu formā \(A\Rightarrow B\), viņi pierāda kāda cita apgalvojuma patiesumu, kas līdzvērtīgs sākotnējam apgalvojumam. Šādas pierādījumu formas sauc par netiešiem. Viens no tiem ir pierādīšanas metode ar pretrunu. Lai pierādītu apgalvojuma \(A\Rightarrow B\\ patiesumu), mēs pieņemam, ka šis apgalvojums ir nepatiess. Pamatojoties uz šo pieņēmumu, mēs nonākam pie pretrunas, proti, mēs pierādām, ka kāds apgalvojums ir patiess un vienlaikus nepatiess. No tā mēs secinām, ka pieņēmums ir nepatiess un sākotnējais apgalvojums ir patiess.
Izmantojot aprakstīto metodi, mēs pierādām apgalvojumu:
ja \(n\) ir nepāra skaitlis, tad skaitlis \(n^2\) ir nepāra skaitlis.
Pieņemsim pretējo, t.i. Lai ir nepāra skaitlis \(n\), lai skaitlis \(n^2\) būtu pāra skaitlis. Tad, no vienas puses, atšķirība \(n^2-n\) būs nepāra skaitlis, un, no otras puses, skaitlis \(n^2-n=n(n-1)\) acīmredzami ir pat, piemēram, divu secīgu veselu skaitļu reizinājums. Tiek iegūta pretruna, proti: skaitlis \(n^2-n\) ir pāra un nepāra vienlaikus. Tas pierāda, ka izdarītais pieņēmums ir nepareizs un tāpēc sākotnējais apgalvojums ir patiess.
Aplūkotā pretrunu pierādīšanas shēma nav vienīgā. Tiek izmantotas arī citas pretrunu pierādīšanas shēmas:
\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\) vai \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Vēl viena netiešā pierādīšanas shēma (saskaņā ar pretrunas likumu) balstās uz divu apgalvojumu \(A\Rightarrow B\) un \(B\Rightarrow \lnot A\) ekvivalenci. Patiešām, šie apgalvojumi vai nu ir patiesi, vai abi ir nepatiesi. Piemēram, apgalvojumi "ja līst lietus, tad debesīs ir mākoņi" un "ja debesīs nav mākoņu, tad nelīst" ir patiesi, bet apgalvojumi "ja debesīs ir mākoņi" debesis, tad līst” un “ja nelīst, tad debesīs nav mākoņu” abi ir nepatiesi.
Daudzos uzdevumos ir jāpierāda kāda apgalvojuma (formulas) derīgums jebkuram naturālam skaitlim \(n\) . Tiešā pārbaudeŠādi apgalvojumi katrai n vērtībai nav iespējami, jo naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Lai pierādītu šādus apgalvojumus (formulas), mēs izmantojam matemātiskās indukcijas metode, kuras būtība ir šāda. Lai ir jāpierāda apgalvojuma \(A(n)\) patiesums visiem \(n\in \mathbb(N)\) . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt divus apgalvojumus:
1) apgalvojums \(A(n)\) ir patiess \(n=1\) . Šo pierādījumu daļu sauc par indukcijas bāzi;
2) jebkuram naturālam skaitlim \(k\) no tā, ka apgalvojums ir patiess \(n=k\) (induktīvs pieņēmums), izriet, ka tas ir patiess nākamajam skaitlim \(n=k+1\) , t.i. \(A(k)\Labā bultiņa A(k+1)\) . Šo pierādījuma daļu sauc par induktīvo soli.
Ja punkti 1, 2 ir pierādīti, varam secināt, ka apgalvojums \(A(n)\) ir patiess jebkuram naturālam skaitlim \(n\) .
Faktiski, ja apgalvojums \(A(1)\) ir patiess (skat. 1. punktu), tad arī apgalvojums \(A(2)\) ir patiess (skat. 2. punktu par \(n=1\)). Tā kā \(A(2)\) ir patiess, tad arī \(A(3)\) ir patiess (skatiet 2. punktu par \(n=2\)) utt. Tādā veidā jūs varat sasniegt jebkuru naturālu skaitli \(n\), vienlaikus pārliecinoties, ka \(A(n)\) ir patiess.
Piezīme B.6. Vairākos gadījumos var būt nepieciešams pierādīt noteikta apgalvojuma \(A(n)\) derīgumu nevis visiem dabiskajiem \(n\), bet tikai \(n\geqslant p\), t.i. sākot no kāda fiksēta skaitļa \(p\) . Tad matemātiskās indukcijas metodi modificē šādi:
1) indukcijas bāze: pierāda \(A(p)\) patiesumu;
2) indukcijas solis: pierādiet \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) jebkuram fiksētam \(k\geqslant p\) .
No 1., 2. punkta izriet, ka apgalvojums \(A(n)\) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem \(n\geqslant p\) .
Piemērs B.16. Pierādiet vienādības \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) derīgumu jebkuram naturālam skaitlim \(n\) .
Risinājums. Apzīmēsim pirmo \(n\) nepāra skaitļu summu ar \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Ir jāpierāda apgalvojums \(A(n):\) "vienādība \(S_n=n^2\) ir patiesa jebkurai \(n\in \mathbb(N)\)". Mēs veiksim pierādīšanu ar indukciju.
1) Tā kā \(S_1=1=1^2\) , tad \(n=1\) vienādība \(S_n=n^2\) ir patiesa, t.i. apgalvojums \(A(1)\) ir patiess. Indukcijas pamats ir pierādīts.
2) Pieņemsim, ka \(k\) ir jebkurš naturāls skaitlis. Izpildīsim indukcijas darbību \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Pieņemot, ka apgalvojums \(A(n)\) ir patiess \(n=k\), t.i. \(S_k=k^2\) , pierādīsim, ka apgalvojums \(A(n)\) ir patiess nākamajam naturālajam skaitlim \(n=k+1\) , tas ir, \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . Tiešām,
\(S_(k+1)= \apakšskava(1+3+5+\lpunkti+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Tāpēc \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) un, pamatojoties uz matemātiskās indukcijas metodi, mēs secinām, ka apgalvojums \(A(n)\) ir patiess jebkuram naturālam skaitlim \(n\) , tas ir, formula \(S_n=n^2\) ir patiesa jebkurai \(n\in \mathbb(N)\) .
Piemērs B.17.\(n\) skaitļu permutācija ir pirmo \(n\) naturālo skaitļu kopa, kas ņemta noteiktā secībā. Pierādīt, ka dažādu permutāciju skaits ir vienāds ar \(n!\) . Izteiksme \(n!\) (lasi "\(n\) faktoriāls") ir vienāda ar \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Divas \(n\) skaitļu permutācijas \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) un \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) tiek uzskatītas par vienādām, ja \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), un, ja tiek pārkāpta vismaz viena no vienādībām, permutācijas tiek uzskatītas par atšķirīgām.
Risinājums. Pierādīšanu veiksim, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.
1) \(n=1\) ir tikai viena permutācija \((1)\), t.i. \(1!=1\) un apgalvojums ir patiess.
2) Pieņemsim, ka jebkuram \(k\) permutāciju skaits ir vienāds ar \(k!\) . Pierādīsim, ka \((k+1)\) skaitļu permutāciju skaits ir vienāds ar \((k+1)!\) . Faktiski nofiksēsim skaitli \((k+1)\) jebkurā vietā \((k+1)\) skaitļu permutācijā un izvietosim pirmos \(k\) naturālos skaitļus atlikušajos \ (k\) vietas . Šādu permutāciju skaits ir vienāds ar \(k\) skaitļu permutāciju skaitu, t.i. \(k!\) pēc induktīvās hipotēzes. Tā kā skaitli \((k+1)\) var ievietot jebkurā no (k+1) vietām permutācijā, mēs secinām, ka \((k+1)\) skaitļu dažādu permutāciju skaits ir vienāds. uz \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Tādējādi, pieņemot, ka apgalvojums ir patiess \(n=k\) , bija iespējams pierādīt, ka tas ir patiess \(n=k+1\) .
No 1. un 2. punkta izriet, ka apgalvojums ir patiess jebkuram naturālam skaitlim \(n\) .
Piezīme B.7. Formālās metodes teorēmu atvasināšanai, izmantojot vairākus pareizas argumentācijas modeļus, tiek pētītas matemātiskajā loģikā. Parasti šīs metodes ģenerē tikai jaunus teorēmu formulējumus, kas atspoguļo veco saturu. Tāpēc attīstībai matemātiskā teorija tie ir neefektīvi. Taču, pētot jebkuru matemātisku problēmu, ir jāievēro matemātiskās loģikas likumi un pareizas spriešanas shēmas.
Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.Lai veiktu aprēķinus, jāiespējo ActiveX vadīklas!
Kā pierādīt teorēmas?
Teorēmas pierādīšanas procedūra šķiet tikai sarežģīta. Pietiek ar spēju domāt loģiski, iegūt nepieciešamās zināšanas šajā zinātnes disciplīnā, un teorēmas pierādīšana tev nesagādās grūtības. Ir svarīgi visas darbības skaidri un pareizi veikt pareizā secībā.
Dažās zinātnēs, piemēram, algebrā un ģeometrijā, viena no svarīgākajām prasmēm ir spēja pierādīt teorēmas. Tas ir saistīts ar faktu, ka pārbaudītās teorēmas vēlāk būs noderīgas problēmu risināšanā. Jums ir ne tikai jāapgūst pierādīšanas algoritms, bet arī jāspēj saprast tā būtība. Izdomāsim, kā pierādīt teorēmas.
Teorēmu pierādījums
Vispirms jums ir jāizveido zīmējums, tam jābūt skaidram un glītam. Pēc tam jums tajā jāatzīmē norādītie nosacījumi. Ailē “Dotais” ir jāpieraksta visi sākotnēji zināmie daudzumi un kas jāpierāda. Pēc tam jūs varat turpināt pierādīšanu. Būtībā tā ir loģiski konstruētu domu ķēde, kas ļauj parādīt, ka apgalvojums ir patiess. Teorēmas pierādīšana ietver citu teorēmu, aksiomu izmantošanu, pretrunu izmantošanu utt.
Tātad teorēmas pierādījums ir noteikta darbību secība, kas ļauj iegūt apgalvojumu, kura patiesumu nevar apstrīdēt. Kā likums, visgrūtākais pierādīšanas laikā ir tieši loģiskās argumentācijas secības meklēšana. Ja tas izdosies, tad varēsi pierādīt, ko no tevis prasīja.
Kā bez grūtībām pierādīt teorēmas ģeometrijā
Lai vienkāršotu savu uzdevumu, varat sadalīt teorēmu daļās un pierādīt katru no tām atsevišķi, kas galu galā novedīs pie rezultāta. Dažos gadījumos ir efektīvi izmantot “pretrunu pierādīšanas” metodi. Tad jums jāsāk ar vārdiem "pieņemsim pretējo". Būtu jāpaskaidro, kāpēc šajā gadījumā viens vai otrs secinājums nav iespējams. Jums jābeidzas ar vārdiem “tātad sākotnējais apgalvojums ir patiess. Teorēma ir pierādīta."
Pat vairāk noderīga informācija par ģeometriju var atrast sadaļā.
Algebrai periodiski jāpierāda teorēmas. Pierādītā teorēma palīdzēs jums atrisināt. Tāpēc ārkārtīgi svarīgi ir nevis mehāniski iegaumēt pierādījumu, bet gan izprast teorēmas būtību, lai pēc tam varētu vadīties pēc tās praksē.
Vispirms uzzīmējiet skaidru un kārtīgu teorēmas diagrammu. Atzīmējiet to ar latīņu burtiem ko jūs jau zināt. Pierakstiet visus zināmos daudzumus ailē “Dotais”. Tālāk kolonnā “Pierādīt” formulējiet, ko pierādīt. Tagad mēs varam sākt pierādīšanu. Tā ir loģisku domu ķēde, kuras rezultātā tiek parādīta apgalvojuma patiesums. Pierādot teorēmu, jūs varat (un dažreiz pat vajag) izmantot dažādi noteikumi, aksiomas, ar pretrunu un pat citas iepriekš pārbaudītas teorēmas.
Tādējādi pierādījums ir darbību secība, kuras rezultātā jūs iegūstat nenoliedzamu. Vislielākās grūtības teorēmas pierādīšanā ir atrast tieši to loģisko argumentāciju secību, kas novedīs pie pierādāmā meklējumiem.
Sadaliet teorēmu daļās un, pierādot to atsevišķi, jūs galu galā nonāksit pie vēlamā rezultāta. Ir lietderīgi apgūt prasmi “pierādīt ar pretrunu”, dažos gadījumos tas ir vienkāršākais veids, kā pierādīt teorēmu. Tie. sāciet savu pierādījumu ar vārdiem "pieņemsim pretējo" un pakāpeniski pierādiet, ka tā nevar būt. Pabeidziet pierādījumu ar “tāpēc sākotnējais apgalvojums ir patiess. Teorēma ir pierādīta."
Fransuā Vjete ir slavens franču matemātiķis. Vietas teorēma ļauj atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot vienkāršotu shēmu, kas rezultātā ietaupa laiku, kas pavadīts aprēķiniem. Bet, lai labāk izprastu teorēmas būtību, vajadzētu iekļūt formulējuma būtībā un pierādīt to.
Vietas teorēma
Šīs tehnikas būtība ir atrast saknes bez diskriminanta palīdzības. Formas x2 + bx + c = 0 vienādojumam, kur ir divas dažādas reālās saknes, divi apgalvojumi ir patiesi.Pirmajā apgalvojumā teikts, ka šī vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar mainīgā x koeficienta vērtību (šajā gadījumā tas ir b), bet ar pretējā zīme. Vizuāli tas izskatās šādi: x1 + x2 = −b.
Otrais apgalvojums vairs nav saistīts ar summu, bet gan ar šo pašu divu sakņu reizinājumu. Šis produkts tiek pielīdzināts brīvajam koeficientam, t.i. c. Vai arī x1 * x2 = c. Abi šie piemēri ir atrisināti sistēmā.
Vietas teorēma ievērojami vienkāršo risinājumu, taču tai ir viens ierobežojums. Kvadrātvienādojums, kura saknes var atrast, izmantojot šo metodi, ir jāsamazina. Iepriekš minētajā vienādojumā koeficients a, kas ir pirms x2, ir vienāds ar vienu. Jebkuru vienādojumu var iegūt līdzīgā formā, dalot izteiksmi ar pirmo koeficientu, bet ne vienmēr šī operācija racionāls.
Teorēmas pierādījums
Sākumā mums vajadzētu atcerēties, kā saskaņā ar tradīciju ir ierasts meklēt saknes kvadrātvienādojums. Tiek atrasta pirmā un otrā sakne, proti: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Kopumā tas dalās ar 2a, bet, kā jau minēts, teorēmu var pielietot tikai tad, ja a=1.No Vietas teorēmas ir zināms, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar mīnusa zīmi. Tas nozīmē, ka x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Tas pats attiecas uz nezināmu sakņu reizinājumu: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Savukārt D = b2-4c (atkal ar a=1). Izrādās, ka rezultāts ir: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
No sniegtā vienkāršā pierādījuma var izdarīt tikai vienu secinājumu: Vietas teorēma ir pilnībā apstiprināta.
Otrais formulējums un pierādījums
Vietas teorēmai ir cita interpretācija. Precīzāk sakot, tā nav interpretācija, bet gan formulējums. Fakts ir tāds, ka, ja ir izpildīti tādi paši nosacījumi kā pirmajā gadījumā: ir divas dažādas reālās saknes, tad teorēmu var uzrakstīt ar citu formulu.Šī vienādība izskatās šādi: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ja funkcija P(x) krustojas divos punktos x1 un x2, tad to var uzrakstīt kā P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Gadījumā, ja P ir otrā pakāpe, un tieši tā izskatās sākotnējā izteiksme, tad R ir pirmskaitlis, proti, 1. Šis apgalvojums ir patiess tāpēc, ka pretējā gadījumā vienādība nepildīsies. Koeficients x2, atverot iekavas, nedrīkst būt lielāks par vienu, un izteiksmei jāpaliek kvadrātveida.
Ne tikai katrs skolnieks, bet arī katrs sevi cienošs izglītots cilvēks jāzina, kas ir teorēma un teorēmu pierādījumi. Varbūt šādi jēdzieni nebūs atrodami īsta dzīve, taču tie noteikti palīdzēs strukturēt daudz zināšanu, kā arī izdarīt secinājumus. Tāpēc šajā rakstā apskatīsim teorēmu pierādīšanas metodes, kā arī iepazīsimies ar slaveno Pitagora teorēmu.
Kas ir teorēma?
Ja mēs uzskatām skolas matemātikas kursu, tad ļoti bieži tajā ir tādi zinātniski termini kā teorēma, aksioma, definīcija un pierādījums. Lai pārvietotos programmā, jums ir jāiepazīstas ar katru no šīm definīcijām. Tagad mēs apskatīsim, kas ir teorēma un teorēmu pierādījumi.
Tātad, teorēma ir noteikts apgalvojums, kam nepieciešams pierādījums. Apsveriet šo koncepciju nepieciešams paralēli aksiomai, jo pēdējai nav nepieciešami pierādījumi. Tā definīcija jau ir patiesa, tāpēc tā tiek uzskatīta par pašsaprotamu.
Teorēmu pielietošanas joma
Ir kļūdaini uzskatīt, ka teorēmas tiek izmantotas tikai matemātikā. Patiesībā tas ir tālu no gadījuma. Piemēram, fizikā ir vienkārši neticami daudz teorēmu, kas ļauj detalizēti un no visām pusēm izpētīt noteiktas parādības un jēdzienus. Tas ietver Ampere, Steinera un daudzu citu teorēmas. Šādu teorēmu pierādījumi ļauj labi izprast inerces momentus, statiku, dinamiku un daudzus citus fizikas jēdzienus.
Teorēmu izmantošana matemātikā
Ir grūti iedomāties tādu zinātni kā matemātika bez teorēmām un pierādījumiem. Piemēram, trīsstūra teorēmu pierādījumi ļauj detalizēti izpētīt visas figūras īpašības. Galu galā ir ļoti svarīgi saprast vienādsānu trīsstūra īpašības un daudzas citas lietas.
Laukuma teorēmas pierādījums ļauj saprast vienkāršāko veidu, kā aprēķināt formas laukumu, pamatojoties uz dažiem datiem. Galu galā, kā jūs zināt, ir daudz formulu, kas apraksta, kā atrast trīsstūra laukumu. Bet pirms to izmantošanas ir ļoti svarīgi pierādīt, ka konkrētajā gadījumā tas ir iespējams un racionāli.
Kā pierādīt teorēmas
Katram skolēnam jāzina, kas ir teorēma un teorēmu pierādījumi. Patiesībā pierādīt jebkuru apgalvojumu nav tik vienkārši. Lai to izdarītu, ir jāoperē ar daudziem datiem un jāspēj izdarīt loģiskus secinājumus. Protams, ja jums ir labas zināšanas par informāciju par noteiktu zinātnes disciplīnu, tad teorēmas pierādīšana jums nebūs grūta. Galvenais ir veikt pierādīšanas procedūru noteiktā loģiskā secībā.
Lai iemācītos pierādīt teorēmas tādās zinātnes disciplīnās kā ģeometrija un algebra, jums ir jābūt labām zināšanām, kā arī jāzina pats pierādīšanas algoritms. Ja jūs apgūsit šo procedūru, tad vēlāk atrisināt matemātiskos uzdevumus jums nebūs grūti.
Kas jums jāzina par teorēmu pierādīšanu
Kas ir teorēma un teorēmu pierādījumi? Šis ir jautājums, kas satrauc daudzus cilvēkus mūsdienu sabiedrība. Ir ļoti svarīgi iemācīties pierādīt matemātiskās teorēmas, tas palīdzēs jums veidot loģiskās ķēdes un nonāk pie noteikta secinājuma.
Tātad, lai pareizi pierādītu teorēmu, ir ļoti svarīgi izdarīt pareizo zīmējumu. Tas parāda visus nosacījumus norādītos datus. Ļoti svarīgi ir arī pierakstīt visu informāciju, kas tika sniegta uzdevumā. Tas palīdzēs pareizi analizēt uzdevumu un precīzi saprast, kādi daudzumi tajā ir doti. Un tikai pēc šādām procedūrām mēs varam sākt pašu pierādīšanu. Lai to izdarītu, jums loģiski jāveido domu ķēde, izmantojot citas teorēmas, aksiomas vai definīcijas. Pierādījuma rezultātam ir jābūt rezultātam, kura patiesība nav apšaubāma.
Teorēmu pierādīšanas pamatveidi
Skolas matemātikas kursā ir divi veidi, kā pierādīt teorēmu. Visbiežāk problēmās tiek izmantota tiešā metode, kā arī pierādīšanas metode ar pretrunu. Pirmajā gadījumā viņi vienkārši analizē pieejamos datus un, pamatojoties uz tiem, izdara attiecīgus secinājumus. Ļoti bieži tiek izmantota arī pretēja metode. Šajā gadījumā mēs pieņemam pretēju apgalvojumu un pierādām, ka tas ir nepatiess. Pamatojoties uz to, mēs iegūstam pretēju rezultātu un sakām, ka mūsu spriedums ir bijis nepareizs, kas nozīmē, ka nosacījumā norādītā informācija ir pareiza.
Patiesībā daudzām matemātikas problēmām var būt vairāk nekā viens risinājums. Piemēram, Fermā teorēmai ir vairāki pierādījumi. Protams, daži tiek aplūkoti tikai vienā veidā, bet, piemēram, Pitagora teorēmā vairākas no tām var izskatīt uzreiz.
Kas ir Pitagora teorēma
Protams, katrs skolēns zina, ka Pitagora teorēma attiecas tieši uz taisnleņķa trīsstūri. Un tas izklausās šādi: "Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu." Neskatoties uz šīs teorēmas nosaukumu, to atklāja nevis pats Pitagors, bet gan ilgi pirms viņa. Ir vairāki veidi, kā pierādīt šo apgalvojumu, un mēs apskatīsim dažus no tiem.
Saskaņā ar zinātniskiem datiem pašā sākumā tika uzskatīts vienādmalu taisnstūris. Tad visās tā malās tika uzbūvēti laukumi. Kvadrāts, kas uzbūvēts uz hipotenūzas, sastāvēs no četriem trijstūriem, kas ir vienādi viens ar otru. Kamēr figūras, kas uzbūvētas uz sāniem, sastāvēs tikai no diviem vienādiem trijstūriem. Šis Pitagora teorēmas pierādījums ir vienkāršākais.
Apskatīsim vēl vienu šīs teorēmas pierādījumu. Tas prasa izmantot zināšanas ne tikai no ģeometrijas, bet arī no algebras. Lai pierādītu šo teorēmu šādā veidā, mums ir jākonstruē četri līdzīgi taisnleņķa trīsstūri un jāapzīmē to malas kā a, b un c.
Mums šie trīsstūri jākonstruē tā, lai mēs iegūtu divus kvadrātus. Ārējai būs malas (a+b), bet iekšējai c. Lai atrastu iekšējā kvadrāta laukumu, jāatrod reizinājums c*c. Bet, lai atrastu liela kvadrāta laukumu, jums jāsaskaita mazo kvadrātu laukumi un jāpievieno iegūto kvadrātu laukumi taisnie trīsstūri. Tagad, veicot dažas algebriskas darbības, mēs varam iegūt šādu formulu:
a 2 + b 2 = c 2
Faktiski teorēmu pierādīšanai ir ļoti daudz metožu. Perpendikulāras, trijstūra, kvadrāta vai jebkuras citas formas un to īpašības var pārbaudīt, izmantojot dažādas teorēmas un pierādījumus. Pitagora teorēma to tikai apstiprina.
Secinājuma vietā
Ļoti svarīgi ir spēt formulēt teorēmas, kā arī tās pareizi pierādīt. Protams, šāda procedūra ir diezgan sarežģīta, jo, lai to īstenotu, ir nepieciešams ne tikai darboties ar lielu informācijas apjomu, bet arī veidot loģiskās ķēdes. Matemātika ir ļoti interesanta zinātne, kam nav ne gala, ne malas.
Sāciet to studēt, un jūs ne tikai paaugstināsiet savu intelekta līmeni, bet arī iegūsit milzīgu daudzumu interesanta informācija. Sāciet iegūt izglītību jau šodien. Izprotot teorēmu pierādīšanas pamatprincipus, varēsi lietderīgi pavadīt savu laiku.
