Šeit jūs varat atrisināt sistēmu bez maksas lineārie vienādojumi Gausa metode tiešsaistē lieli izmēri kompleksos skaitļos ar ļoti detalizētu risinājumu. Mūsu kalkulators tiešsaistē var atrisināt gan parastās noteiktas, gan nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi, kurai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits. Šajā gadījumā atbildē jūs saņemsiet dažu mainīgo atkarību caur citiem, brīviem. Varat arī pārbaudīt vienādojumu sistēmas konsekvenci tiešsaistē, izmantojot Gausa risinājumu.
Par metodi
Risinot lineāro vienādojumu sistēmu tiešsaistes metode Gauss tiek veiktas šādas darbības.
- Mēs rakstām paplašināto matricu.
- Faktiski risinājums ir sadalīts Gausa metodes soļos uz priekšu un atpakaļ. Gausa metodes tiešais solis ir matricas reducēšana uz pakāpenisku formu. Gausa metodes reverss ir matricas reducēšana uz īpašu pakāpenisku formu. Bet praksē ērtāk ir nekavējoties nullēt to, kas atrodas gan virs, gan zem attiecīgā elementa. Mūsu kalkulators izmanto tieši šo pieeju.
- Ir svarīgi atzīmēt, ka, risinot ar Gausa metodi, matricā ir vismaz viena nulles rinda ar NAV nulli. labā puse(brīvo dalībnieku kolonna) norāda uz sistēmas nesaderību. Risinājums lineārā sistēmašajā gadījumā tas neeksistē.
Lai vislabāk saprastu, kā Gausa algoritms darbojas tiešsaistē, ievadiet jebkuru piemēru, atlasiet “ļoti detalizēts risinājums” un skatiet tā risinājumu tiešsaistē.
Gausa metode, ko sauc arī par metodi secīga likvidēšana nezināmie ir šādi. Izmantojot elementārās transformācijas, lineāro vienādojumu sistēma tiek veidota tādā formā, ka tās koeficientu matrica izrādās trapecveida (tāds pats kā trīsstūrveida vai pakāpienveida) vai tuvu trapecveida (tiešais gājiens pēc Gausa metodes, turpmāk - vienkārši taisns gājiens). Šādas sistēmas un tās risinājuma piemērs ir attēlā iepriekš.
Šādā sistēmā pēdējais vienādojums satur tikai vienu mainīgo un tā vērtību var viennozīmīgi atrast. Pēc tam šī mainīgā vērtība tiek aizstāta ar iepriekšējo vienādojumu ( apgrieztā Gausa metode , tad tikai otrādi), no kura tiek atrasts iepriekšējais mainīgais utt.
Trapecveida (trīsstūrveida) sistēmā, kā redzam, trešais vienādojums vairs nesatur mainīgos y Un x, un otrais vienādojums ir mainīgais x .
Pēc tam, kad sistēmas matrica ir ieguvusi trapecveida formu, vairs nav grūti saprast sistēmas saderības jautājumu, noteikt risinājumu skaitu un atrast risinājumus pašiem.
Metodes priekšrocības:
- risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar vairāk nekā trim vienādojumiem un nezināmajiem, Gausa metode nav tik apgrūtinoša kā Krāmera metode, jo risināšanai ar Gausa metodi ir nepieciešams mazāk aprēķinu;
- Izmantojot Gausa metodi, jūs varat atrisināt nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas, tas ir, kam kopīgs lēmums(un mēs tos apskatīsim šajā nodarbībā), bet, izmantojot Krāmera metodi, mēs varam tikai norādīt, ka sistēma ir nenoteikta;
- jūs varat atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, kurās nezināmo skaits nav vienāds ar vienādojumu skaitu (arī mēs tos analizēsim šajā nodarbībā);
- Metodes pamatā ir pamatskolas (skolas) metodes - nezināmo aizstāšanas metode un vienādojumu pievienošanas metode, kurai mēs pieskārāmies attiecīgajā rakstā.
Lai visi saprastu, ar kādu vienkāršību tiek atrisinātas trapecveida (trīsstūrveida, pakāpienveida) lineāro vienādojumu sistēmas, mēs piedāvājam risinājumu šādai sistēmai, izmantojot apgriezto kustību. Ātrs lēmumsŠī sistēma tika parādīta attēlā stundas sākumā.
1. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto:
Risinājums. Šajā trapecveida sistēmā mainīgais z var unikāli atrast no trešā vienādojuma. Mēs aizstājam tā vērtību otrajā vienādojumā un iegūstam mainīgā vērtību y:
Tagad mēs zinām divu mainīgo vērtības - z Un y. Mēs tos aizstājam ar pirmo vienādojumu un iegūstam mainīgā vērtību x:
No iepriekšējām darbībām mēs izrakstām vienādojumu sistēmas risinājumu:
Lai iegūtu šādu trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu, kuru mēs atrisinājām ļoti vienkārši, ir jāizmanto virziens uz priekšu, kas saistīts ar lineāro vienādojumu sistēmas elementārajām transformācijām. Tas arī nav ļoti grūti.
Lineāro vienādojumu sistēmas elementārās transformācijas
Atkārtojot skolas metodi, kā algebriski saskaitīt sistēmas vienādojumus, noskaidrojām, ka vienam no sistēmas vienādojumiem varam pievienot vēl vienu sistēmas vienādojumu, un katru no vienādojumiem var reizināt ar dažiem skaitļiem. Rezultātā mēs iegūstam lineāro vienādojumu sistēmu, kas ir ekvivalenta šai sistēmai. Tajā vienā vienādojumā jau bija tikai viens mainīgais, kura vērtību aizstājot ar citiem vienādojumiem, mēs nonākam pie risinājuma. Šāds papildinājums ir viens no sistēmas elementārās transformācijas veidiem. Izmantojot Gausa metodi, varam izmantot vairāku veidu transformācijas.
Iepriekš redzamā animācija parāda, kā vienādojumu sistēma pakāpeniski pārvēršas par trapecveida sistēmu. Tas ir, to, ko redzējāt pašā pirmajā animācijā un pārliecinājāt sevi, ka no tās ir viegli atrast visu nezināmo vērtības. Kā veikt šādu transformāciju un, protams, piemēri tiks apspriesti tālāk.
Risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar jebkuru vienādojumu un nezināmo skaitu vienādojumu sistēmā un sistēmas paplašinātajā matricā Var:
- pārkārtot līnijas (tas tika minēts šī raksta pašā sākumā);
- ja citas transformācijas rada vienādas vai proporcionālas rindas, tās var dzēst, izņemot vienu;
- noņemt "nulles" rindas, kurās visi koeficienti ir vienādi ar nulli;
- reizināt vai dalīt jebkuru virkni ar noteiktu skaitli;
- jebkurai rindai pievienojiet vēl vienu rindiņu, reizinot ar noteiktu skaitli.
Pārveidojumu rezultātā mēs iegūstam šai sistēmai ekvivalentu lineāro vienādojumu sistēmu.
Algoritms un piemēri lineāro vienādojumu sistēmas risināšanai ar sistēmas kvadrātmatricu, izmantojot Gausa metodi
Vispirms apskatīsim lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu, kurās nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu. Šādas sistēmas matrica ir kvadrātveida, tas ir, rindu skaits tajā ir vienāds ar kolonnu skaitu.
2. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi
Risinot lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot skolas metodes, mēs reizinājām vienu vienādojumu ar terminu tā, ka pirmā mainīgā koeficienti abos vienādojumos bija pretēji skaitļi. Pievienojot vienādojumus, šis mainīgais tiek izslēgts. Gausa metode darbojas līdzīgi.
Lai vienkāršotu izskats risinājumus izveidosim paplašinātu sistēmas matricu:
Šajā matricā nezināmo koeficienti atrodas kreisajā pusē pirms vertikālās līnijas, bet brīvie termini atrodas labajā pusē aiz vertikālās līnijas.
Mainīgo lielumu dalīšanas koeficientu ērtībai (lai iegūtu dalījumu ar vienību) Apmainīsim sistēmas matricas pirmo un otro rindu. Mēs iegūstam šai sistēmai līdzvērtīgu sistēmu, jo lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumus var apmainīt:
Izmantojot jauno pirmo vienādojumu izslēdz mainīgo x no otrā un visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, matricas otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ), trešajai rindai - pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ).
Tas ir iespējams, jo
Ja mūsu vienādojumu sistēmai būtu vairāk nekā trīs, tad visiem nākamajiem vienādojumiem būtu jāpievieno pirmā rinda, kas reizināta ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.
Rezultātā iegūstam šai jaunas vienādojumu sistēmas sistēmai ekvivalentu matricu, kurā visi vienādojumi, sākot no otrās nesatur mainīgo x :
Lai vienkāršotu iegūtās sistēmas otro rindu, reiziniet to ar un vēlreiz iegūstiet šai sistēmai līdzvērtīgas vienādojumu sistēmas matricu:
Tagad, saglabājot iegūtās sistēmas pirmo vienādojumu nemainīgu, izmantojot otro vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo y no visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, sistēmas matricas trešajai rindai mēs pievienojam otro rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ).
Ja mūsu sistēmā būtu vairāk nekā trīs vienādojumi, tad visiem nākamajiem vienādojumiem būtu jāpievieno otra rinda, kas reizināta ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.
Rezultātā mēs atkal iegūstam sistēmas matricu, kas ir ekvivalenta šai lineāro vienādojumu sistēmai:
Mēs esam ieguvuši līdzvērtīgu trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu:
Ja vienādojumu un mainīgo skaits ir lielāks nekā mūsu piemērā, tad mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas process turpinās, līdz sistēmas matrica kļūst trapecveida, kā tas ir mūsu demonstrācijas piemērā.
Mēs atradīsim risinājumu “no gala” - apgrieztā kustība. Priekš šī no pēdējā vienādojuma mēs nosakām z:
.
Aizstājot šo vērtību iepriekšējā vienādojumā, mēs atradīsim y:
No pirmā vienādojuma mēs atradīsim x:
Atbilde: šīs vienādojumu sistēmas risinājums ir 
.
: šajā gadījumā tā pati atbilde tiks sniegta, ja sistēmai ir unikāls risinājums. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, tad šī būs atbilde, un tas ir šīs nodarbības piektās daļas priekšmets.
Pats atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi, un pēc tam apskatiet risinājumu
Šeit atkal ir piemērs konsekventai un noteiktai lineāro vienādojumu sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu. Atšķirība no mūsu demonstrācijas piemēra no algoritma ir tāda, ka jau ir četri vienādojumi un četri nezināmie.
4. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:
Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Veiksim sagatavošanās darbi. Lai būtu ērtāk ar koeficientu attiecību, jums ir jāiegūst viens otrās rindas otrajā kolonnā. Lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet trešo un iegūto otro rindu reiziniet ar -1.
Tagad veiksim mainīgā faktisko izņemšanu no trešā un ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar , trešajai rindai un otro, kas reizināta ar , ceturtajai rindai.
Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet trešo rindiņu ceturtajai rindai, reizinot ar . Iegūstam paplašinātu trapecveida matricu.
Mēs esam ieguvuši vienādojumu sistēmu, kas ir līdzvērtīga šī sistēma:
Līdz ar to iegūtās un dotās sistēmas ir savietojamas un noteiktas. Gala lēmums mēs atrodam “no gala”. No ceturtā vienādojuma mēs varam tieši izteikt mainīgā “x-four” vērtību:
Mēs aizstājam šo vērtību ar trešo sistēmas vienādojumu un iegūstam
,
,
Visbeidzot, vērtību aizstāšana
Pirmais vienādojums dod
,
kur mēs atrodam “x first”:
Atbilde: šai vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums 
.
Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī kalkulatorā, izmantojot Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai ir unikāls risinājums.
Lieto uzdevumu risināšana, izmantojot Gausa metodi, izmantojot uzdevuma piemēru uz sakausējumiem
Lineāro vienādojumu sistēmas tiek izmantotas, lai modelētu reālus objektus fiziskajā pasaulē. Atrisināsim vienu no šīm problēmām – sakausējumus. Līdzīgas problēmas - problēmas uz maisījumiem, izmaksas vai īpaša gravitāte atsevišķi produkti preču grupā un tamlīdzīgi.
5. piemērs. Trīs sakausējuma gabalu kopējā masa ir 150 kg. Pirmajā sakausējumā ir 60% vara, otrajā - 30%, trešajā - 10%. Turklāt otrajā un trešajā sakausējumā vara ir par 28,4 kg mazāk nekā pirmajā sakausējumā, bet trešajā sakausējumā vara ir par 6,2 kg mazāk nekā otrajā. Atrodiet katra sakausējuma gabala masu.
Risinājums. Mēs veidojam lineāru vienādojumu sistēmu:
Otro un trešo vienādojumu reizinām ar 10, iegūstam līdzvērtīgu lineāro vienādojumu sistēmu:
Mēs izveidojam paplašinātu sistēmas matricu:
Uzmanību, taisni uz priekšu. Saskaitot (mūsu gadījumā atņemot) vienu rindu, kas reizināta ar skaitli (mēs to lietojam divreiz), ar sistēmas paplašināto matricu notiek šādas transformācijas:
Tiešā kustība ir beigusies. Mēs ieguvām paplašinātu trapecveida matricu.
Mēs piemērojam apgriezto kustību. Mēs atrodam risinājumu no beigām. Mēs to redzam.
No otrā vienādojuma mēs atrodam
No trešā vienādojuma -
Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī kalkulatorā, izmantojot Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai ir unikāls risinājums.
Par Gausa metodes vienkāršību liecina fakts, ka vācu matemātiķim Kārlim Frīdriham Gausam tās izgudrošana prasīja tikai 15 minūtes. Papildus viņa vārdā nosauktajai metodei, no Gausa darbiem ir zināms teiciens “Nevajag jaukt to, kas mums šķiet neticams un nedabisks ar absolūti neiespējamo”. īsas instrukcijas izdarīt atklājumus.
Daudzās pielietotajās problēmās var nebūt trešā ierobežojuma, tas ir, trešā vienādojuma, tad jums ir jāatrisina divu vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem, izmantojot Gausa metodi, vai, gluži pretēji, nezināmo ir mazāk nekā vienādojumu. Tagad mēs sāksim risināt šādas vienādojumu sistēmas.
Izmantojot Gausa metodi, varat noteikt, vai kāda sistēma ir saderīga vai nesaderīga n lineāri vienādojumi ar n mainīgie.
Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas ar bezgalīgu risinājumu skaitu
Nākamais piemērs ir konsekventa, bet nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, ar bezgalīgu skaitu risinājumu.
Pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā (rindu pārkārtošana, rindu reizināšana un dalīšana ar noteiktu skaitli, vienai rindai pievienojot vēl vienu), varētu parādīties formas rindas
Ja visos vienādojumos ir forma
Brīvie termini ir vienādi ar nulli, tas nozīmē, ka sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai ir bezgalīgs skaits atrisinājumu, un šāda veida vienādojumi ir “lieki”, un mēs tos izslēdzam no sistēmas.
6. piemērs.
Risinājums. Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu. Pēc tam, izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet otrajai, trešajai un ceturtajai rindai pirmo, reizinot ar:
Tagad pievienosim otro rindiņu trešajai un ceturtajai.
Rezultātā mēs nonākam pie sistēmas
Pēdējie divi vienādojumi pārvērtās par formas vienādojumiem. Šie vienādojumi ir izpildīti jebkurai nezināmā vērtībai, un tos var atmest.
Lai izpildītu otro vienādojumu, mēs varam izvēlēties patvaļīgas vērtības un , tad vērtība tiks noteikta unikāli: 
. No pirmā vienādojuma vērtība arī tiek atrasta unikāli: 
.
Gan dotā, gan pēdējā sistēma ir konsekventa, bet neskaidra, un formulas
par patvaļīgu un sniedz mums visus dotās sistēmas risinājumus.
Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas bez atrisinājumiem
Nākamais piemērs ir nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, tāda, kurai nav atrisinājumu. Atbilde uz šādām problēmām tiek formulēta šādi: sistēmai nav risinājumu.
Kā jau minēts saistībā ar pirmo piemēru, pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā varētu parādīties formas rindas
kas atbilst formas vienādojumam
Ja starp tiem ir vismaz viens vienādojums ar nulles brīvo terminu (t.i. ), tad šī vienādojumu sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu un tās atrisinājums ir pilnīgs.
7. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:
Risinājums. Mēs sastādām paplašinātu sistēmas matricu. Izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar otro rindiņu, pirmo rindu, kas reizināta ar trešo rindiņu, un pirmo rindu, kas reizināta ar ceturto rindiņu.
Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai iegūtu koeficientu veselo skaitļu attiecības, mēs samainām sistēmas paplašinātās matricas otro un trešo rindu.
Lai izslēgtu trešo un ceturto vienādojumu, pievienojiet trešajai rindai otro, kas reizināts ar , un ceturtajai rindai otro, kas reizināts ar .
Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet trešo rindiņu ceturtajai rindai, reizinot ar .
Tādējādi dotā sistēma ir līdzvērtīga šādai sistēmai:
Iegūtā sistēma ir nekonsekventa, jo tās pēdējo vienādojumu nevar izpildīt neviena nezināmā vērtība. Tāpēc šai sistēmai nav risinājumu.
Gausa metode lieliski piemērots lineāro algebrisko vienādojumu (SLAE) sistēmu risināšanai. Tam ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar citām metodēm:
- pirmkārt, nav nepieciešams vispirms pārbaudīt vienādojumu sistēmas konsekvenci;
- otrkārt, ar Gausa metodi var atrisināt ne tikai SLAE, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenā matrica ir nevienskaitlīga, bet arī vienādojumu sistēmas, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaits vai galvenās matricas determinants ir vienāds ar nulli;
- treškārt, Gausa metode rada rezultātus ar salīdzinoši nelielu skaitļošanas operāciju skaitu.
Īss pārskats par rakstu.
Pirmkārt, mēs sniedzam nepieciešamās definīcijas un ieviešam apzīmējumus.
Tālāk aprakstīsim Gausa metodes algoritmu vienkāršākajam gadījumam, tas ir, lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vienādojumu skaits, kuros sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants ir nav vienāds ar nulli. Risinot šādas vienādojumu sistēmas, visskaidrāk ir redzama Gausa metodes būtība, kas ir nezināmu mainīgo secīga likvidēšana. Tāpēc Gausa metodi sauc arī par nezināmo secīgas likvidēšanas metodi. Mēs parādīsim vairāku piemēru detalizētus risinājumus.
Noslēgumā aplūkosim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risinājumu ar Gausa metodi, kuru galvenā matrica ir taisnstūrveida vai vienskaitļa. Šādu sistēmu risinājumam ir dažas funkcijas, kuras mēs detalizēti izpētīsim, izmantojot piemērus.
Lapas navigācija.
Pamatdefinīcijas un apzīmējumi.
Apsveriet p lineāru vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n):
Kur ir nezināmi mainīgie, ir skaitļi (reāli vai kompleksi) un ir brīvi termini.
Ja 
, tad sauc lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu viendabīgs, citādi - neviendabīgs.
Tiek saukta nezināmu mainīgo vērtību kopa, kurai visi sistēmas vienādojumi kļūst par identitātēm SLAU lēmumu.
Ja lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu, citādi - nav locītavu.
Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti. Ja ir vairāki risinājumi, tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts.
Viņi saka, ka sistēma ir ierakstīta koordinātu forma, ja tam ir forma
.
Šī sistēma iekšā matricas forma ierakstiem ir forma , kur 
- SLAE galvenā matrica, - nezināmo mainīgo kolonnas matrica, - brīvo terminu matrica.
Ja matricai A kā (n+1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo terminu kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir, 
Kvadrātmatricu A sauc deģenerēts, ja tā determinants ir nulle. Ja , tad tiek izsaukta matrica A nedeģenerēts.
Jāņem vērā sekojošais punkts.
Ja veicam ar lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu šādas darbības
- apmainīt divus vienādojumus,
- reiziniet jebkura vienādojuma abas puses ar patvaļīgu reālo (vai komplekso) skaitli k, kas nav nulle,
- abām jebkura vienādojuma pusēm pievienojiet cita vienādojuma atbilstošās daļas, kas reizinātas ar patvaļīgu skaitli k,
tad jūs iegūstat līdzvērtīgu sistēmu, kurai ir vienādi risinājumi (vai, tāpat kā oriģinālajai, tai nav risinājumu).
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas paplašinātai matricai šīs darbības nozīmēs elementāru transformāciju veikšanu ar rindām:
- nomainot divas rindas,
- reizinot visus jebkuras matricas T rindas elementus ar skaitli, kas nav nulle, k,
- pievienojot jebkuras matricas rindas elementiem atbilstošos citas rindas elementus, kas reizināti ar patvaļīgu skaitli k.
Tagad mēs varam turpināt Gausa metodes aprakstu.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un sistēmas galvenā matrica ir nevienskaitlīga, izmantojot Gausa metodi.
Ko mēs darītu skolā, ja mums tiktu dots uzdevums atrast risinājumu vienādojumu sistēmai? 
.
Daži tā darītu.
Ņemiet vērā, ka pievienošana otrā vienādojuma kreisajai pusei kreisā puse vispirms un labajā pusē - labajā pusē, jūs varat atbrīvoties no nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 3 un nekavējoties atrast x 1: 
Atrasto vērtību x 1 =1 aizstājam sistēmas pirmajā un trešajā vienādojumā: 
Ja sistēmas trešā vienādojuma abas puses reizinām ar -1 un saskaitām tās ar pirmā vienādojuma attiecīgajām daļām, mēs atbrīvojamies no nezināmā mainīgā x 3 un varam atrast x 2: 
Mēs aizstājam iegūto vērtību x 2 = 2 ar trešo vienādojumu un atrodam atlikušo nezināmo mainīgo x 3: 
Citi būtu rīkojušies savādāk.
Atrisināsim sistēmas pirmo vienādojumu attiecībā pret nezināmo mainīgo x 1 un aizstāsim iegūto izteiksmi sistēmas otrajā un trešajā vienādojumā, lai izslēgtu no tiem šo mainīgo: 
Tagad atrisināsim sistēmas otro vienādojumu x 2 un aizstāsim iegūto rezultātu ar trešo vienādojumu, lai no tā izslēgtu nezināmo mainīgo x 2: 
No sistēmas trešā vienādojuma ir skaidrs, ka x 3 =3. No otrā vienādojuma mēs atrodam 
, un no pirmā vienādojuma mēs iegūstam .
Pazīstami risinājumi, vai ne?
Interesantākais šeit ir tas, ka otrā risinājuma metode būtībā ir nezināmo secīgas likvidēšanas metode, tas ir, Gausa metode. Kad mēs izteicām nezināmos mainīgos (pirmais x 1, nākamajā posmā x 2) un aizstājām tos atlikušajos sistēmas vienādojumos, mēs tos izslēdzām. Mēs veicām elimināciju, līdz pēdējā vienādojumā bija palicis tikai viens nezināms mainīgais. Tiek saukts nezināmo secīgu likvidēšanas process tiešā Gausa metode. Pēc pabeigšanas gājiens uz priekšu mums tagad ir iespēja aprēķināt nezināmo mainīgo pēdējā vienādojumā. Ar tās palīdzību mēs atrodam nākamo nezināmo mainīgo no priekšpēdējā vienādojuma utt. Tiek saukts nezināmu mainīgo secīgas atrašanas process, pārejot no pēdējā vienādojuma uz pirmo apgrieztā Gausa metode.
Jāatzīmē, ka, ja pirmajā vienādojumā izsakām x 1 ar x 2 un x 3 un pēc tam aizstājam iegūto izteiksmi otrajā un trešajā vienādojumā, šādas darbības rada tādu pašu rezultātu:
Patiešām, šāda procedūra ļauj arī izslēgt nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma: 
Nianses ar nezināmu mainīgo izslēgšanu, izmantojot Gausa metodi, rodas, ja sistēmas vienādojumi nesatur dažus mainīgos.
Piemēram, SLAU 
pirmajā vienādojumā nav nezināma mainīgā x 1 (citiem vārdiem sakot, koeficients tā priekšā ir nulle). Tāpēc mēs nevaram atrisināt sistēmas pirmo vienādojumu x 1, lai izslēgtu šo nezināmo mainīgo no atlikušajiem vienādojumiem. Izeja no šīs situācijas ir apmainīt sistēmas vienādojumus. Tā kā mēs aplūkojam lineāro vienādojumu sistēmas, kuru galveno matricu determinanti atšķiras no nulles, vienmēr ir vienādojums, kurā ir klāt vajadzīgais mainīgais, un mēs varam pārkārtot šo vienādojumu vajadzīgajā pozīcijā. Mūsu piemēram, pietiek ar sistēmas pirmo un otro vienādojumu apmaiņu 
, tad varat atrisināt pirmo vienādojumu x 1 un izslēgt to no atlikušajiem sistēmas vienādojumiem (lai gan otrajā vienādojumā x 1 vairs nav).
Mēs ceram, ka jūs sapratāt būtību.
Aprakstīsim Gausa metodes algoritms.
Pieņemsim, ka mums jāatrisina n lineāru algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem formas mainīgie 
, un lai tās galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.
Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu 
kur un 
.
Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja mēs būtu izteikuši x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem sistēmas pirmajā vienādojumā un aizvietojuši iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.
Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā 
Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu 
kur un 
. Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.
Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu 
Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu 
No šī brīža mēs sākam apgriezto Gausa metodi: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma, un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma. .
Apskatīsim algoritmu, izmantojot piemēru.
Piemērs.
Gausa metode.
Risinājums.
Koeficients a 11 atšķiras no nulles, tāpēc pāriesim pie Gausa metodes tiešās progresēšanas, tas ir, uz nezināmā mainīgā x 1 izslēgšanu no visiem sistēmas vienādojumiem, izņemot pirmo. Lai to izdarītu, otrā, trešā un ceturtā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojiet pirmā vienādojuma kreiso un labo pusi, attiecīgi reizinot ar . 
Un : 
Nezināmais mainīgais x 1 ir likvidēts, pāriesim pie x 2 likvidēšanas. Sistēmas trešā un ceturtā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojam otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, kas attiecīgi reizināta ar 
Un 
:
Lai pabeigtu Gausa metodes progresēšanu uz priekšu, mums ir jāizslēdz nezināmais mainīgais x 3 no pēdējā sistēmas vienādojuma. Pieskaitīsim ceturtā vienādojuma kreiso un labo pusi attiecīgi trešā vienādojuma kreiso un labo pusi, kas reizināta ar 
:
Varat sākt pretējo Gausa metodi.
No pēdējā vienādojuma, kas mums ir 
,
no trešā vienādojuma mēs iegūstam,
no otrā,
no pirmās.
Lai pārbaudītu, iegūtās nezināmo mainīgo vērtības var aizstāt sākotnējā vienādojumu sistēmā. Visi vienādojumi pārvēršas identitātēs, kas norāda, ka risinājums ar Gausa metodi atrasts pareizi.
Atbilde:
Tagad sniegsim risinājumu šim pašam piemēram, izmantojot Gausa metodi matricas pierakstā.
Piemērs.
Atrodiet vienādojumu sistēmas risinājumu Gausa metode.
Risinājums.
Sistēmas paplašinātajai matricai ir forma 
. Katras kolonnas augšpusē ir nezināmie mainīgie, kas atbilst matricas elementiem.
Gausa metodes tiešā pieeja šeit ietver sistēmas paplašinātās matricas samazināšanu līdz trapecveida formai, izmantojot elementāras transformācijas. Šis process ir līdzīgs nezināmu mainīgo izslēgšanai, ko veicām ar sistēmu koordinātu formā. Tagad jūs to redzēsit.
Pārveidosim matricu tā, lai visi elementi pirmajā kolonnā, sākot no otrās, kļūtu par nulli. Lai to izdarītu, otrās, trešās un ceturtās rindas elementiem pievienojam atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar , un attiecīgi: 
Tālāk mēs pārveidojam iegūto matricu tā, lai otrajā kolonnā visi elementi, sākot no trešā, kļūtu par nulli. Tas atbilstu nezināmā mainīgā x 2 likvidēšanai. Lai to izdarītu, trešās un ceturtās rindas elementiem pievienojam atbilstošos matricas pirmās rindas elementus, kas attiecīgi reizināti ar Un :
Atliek izslēgt nezināmo mainīgo x 3 no pēdējā sistēmas vienādojuma. Lai to izdarītu, iegūtās matricas pēdējās rindas elementiem pievienojam atbilstošos priekšpēdējās rindas elementus, kas reizināti ar :
Jāņem vērā, ka šī matrica atbilst lineāro vienādojumu sistēmai 
kas tika iegūts agrāk pēc gājiena uz priekšu.
Ir pienācis laiks pagriezties atpakaļ. Matricas apzīmējumā Gausa metodes apgrieztā metode ietver iegūtās matricas pārveidošanu tā, lai matrica, kas atzīmēta attēlā 
kļuva pa diagonāli, tas ir, ieguva formu 
kur ir daži cipari.
Šīs transformācijas ir līdzīgas Gausa metodes pārveidojumiem uz priekšu, taču tiek veiktas nevis no pirmās rindas uz pēdējo, bet gan no pēdējās uz pirmo.
Pievienojiet trešās, otrās un pirmās rindas elementiem atbilstošos pēdējās rindas elementus, kas reizināti ar 
, ieslēgts un turpināts 
attiecīgi: 
Tagad pievienojiet otrās un pirmās rindas elementiem atbilstošos trešās rindas elementus, kas attiecīgi reizināti ar un ar: 
Apgrieztās Gausa metodes pēdējā solī pirmās rindas elementiem pievienojam atbilstošos otrās rindas elementus, kas reizināti ar: 
Iegūtā matrica atbilst vienādojumu sistēmai 
, no kurienes atrodam nezināmos mainīgos.
Atbilde:
PIEZĪME.
Lietojot Gausa metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, jāizvairās no aptuveniem aprēķiniem, jo tas var novest pie pilnīgi nepareiziem rezultātiem. Mēs iesakām nenoapaļot decimāldaļas. Labāk no decimāldaļas iet uz parastās frakcijas.
Piemērs.
Atrisiniet trīs vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 
.
Risinājums.
Ņemiet vērā, ka šajā piemērā nezināmajiem mainīgajiem ir atšķirīgs apzīmējums (nevis x 1, x 2, x 3, bet x, y, z). Pāriesim pie parastajām daļskaitļiem: 
Izslēgsim nezināmo x no sistēmas otrā un trešā vienādojuma: 
Iegūtajā sistēmā nezināmā mainīgā y otrajā vienādojumā nav, bet y ir trešajā vienādojumā, tāpēc apmainīsim otro un trešo vienādojumu: 
Tas pabeidz tiešo Gausa metodes progresēšanu (nav nepieciešams izslēgt y no trešā vienādojuma, jo šis nezināmais mainīgais vairs nepastāv).
Sāksim apgriezto kustību.
No pēdējā vienādojuma mēs atrodam 
,
no priekšpēdējās 
no pirmā vienādojuma, kas mums ir 
Atbilde:
X = 10, y = 5, z = -20.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir vienskaitlī, izmantojot Gausa metodi.
Vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir taisnstūrveida vai kvadrātveida vienskaitlis, var nebūt atrisinājumu, var būt viens atrisinājums vai arī bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Tagad mēs sapratīsim, kā Gausa metode ļauj noteikt lineāro vienādojumu sistēmas saderību vai nekonsekvenci un tās saderības gadījumā noteikt visus risinājumus (vai vienu atsevišķu risinājumu).
Principā nezināmo mainīgo likvidēšanas process šādu SLAE gadījumā paliek nemainīgs. Tomēr ir vērts detalizēti aplūkot dažas situācijas, kas var rasties.
Pārejam uz vissvarīgāko posmu.
Tātad, pieņemsim, ka lineāro algebrisko vienādojumu sistēma pēc Gausa metodes progresēšanas pabeigšanas iegūst formu 
un neviens vienādojums netika reducēts uz (šajā gadījumā mēs secinātu, ka sistēma nav savietojama). Rodas loģisks jautājums: “Ko darīt tālāk”?
Pierakstīsim nezināmos mainīgos, kas ir pirmajā vietā visos iegūtās sistēmas vienādojumos: 
Mūsu piemērā tie ir x 1, x 4 un x 5. Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam tikai tos terminus, kas satur rakstītos nezināmos mainīgos x 1, x 4 un x 5, atlikušie vārdi tiek pārnesti uz vienādojumu labo pusi ar pretēju zīmi: 
Nezināmajiem mainīgajiem, kas atrodas vienādojumu labajā pusē, dosim patvaļīgas vērtības, kur 
- patvaļīgi skaitļi: 
Pēc tam visu mūsu SLAE vienādojumu labajā pusē ir skaitļi, un mēs varam pāriet pie Gausa metodes apgrieztās puses.
No pēdējā sistēmas vienādojuma, kas mums ir, no priekšpēdējā vienādojuma, ko mēs atrodam, no pirmā vienādojuma mēs iegūstam 
Vienādojumu sistēmas risinājums ir nezināmu mainīgo vērtību kopa 
Skaitļu došana dažādas vērtības, iegūsim dažādus vienādojumu sistēmas risinājumus. Tas ir, mūsu vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.
Atbilde:
Kur - patvaļīgi skaitļi.
Lai konsolidētu materiālu, mēs detalizēti analizēsim vēl vairāku piemēru risinājumus.
Piemērs.
Izlemiet viendabīga sistēma lineārie algebriskie vienādojumi 
Gausa metode.
Risinājums.
Izslēgsim nezināmo mainīgo x no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, otrā vienādojuma kreisajā un labajā pusē mēs pievienojam attiecīgi pirmā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar , un trešā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojam kreiso un pirmā vienādojuma labās puses, kas reizinātas ar: 
Tagad izslēgsim y no iegūtās vienādojumu sistēmas trešā vienādojuma: 
Iegūtais SLAE ir līdzvērtīgs sistēmai 
.
Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam tikai vārdus, kas satur nezināmos mainīgos x un y, un pārvietosim terminus ar nezināmo mainīgo z uz labo pusi: 
Divas lineāro vienādojumu sistēmas sauc par ekvivalentām, ja visu to atrisinājumu kopa sakrīt.
Vienādojumu sistēmas elementārās transformācijas ir:
- Triviālu vienādojumu dzēšana no sistēmas, t.i. tie, kuriem visi koeficienti ir vienādi ar nulli;
- jebkura vienādojuma reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;
- Jebkuram i-tajam vienādojumam pievienojot jebkuru j-to vienādojumu, kas reizināts ar jebkuru skaitli.
Mainīgo x i sauc par brīvu, ja šis mainīgais nav atļauts, bet ir atļauta visa vienādojumu sistēma.
Teorēma. Elementārie pārveidojumi pārveido vienādojumu sistēmu līdzvērtīgā.
Gausa metodes nozīme ir pārveidot sākotnējo vienādojumu sistēmu un iegūt līdzvērtīgu atrisinātu vai ekvivalentu nekonsekventu sistēmu.
Tātad Gausa metode sastāv no šādām darbībām:
- Apskatīsim pirmo vienādojumu. Izvēlēsimies pirmo koeficientu, kas nav nulle, un dalīsim ar to visu vienādojumu. Iegūstam vienādojumu, kurā kāds mainīgais x i ienāk ar koeficientu 1;
- Atņemsim šo vienādojumu no visiem pārējiem, reizinot ar tādiem skaitļiem, lai mainīgā x i koeficienti atlikušajos vienādojumos tiktu pielīdzināti nullei. Iegūstam sistēmu, kas atrisināta attiecībā pret mainīgo x i un ir ekvivalenta sākotnējai;
- Ja rodas triviāli vienādojumi (reti, bet gadās; piemēram, 0 = 0), mēs tos izsvītrojam no sistēmas. Tā rezultātā ir par vienu mazāk vienādojumu;
- Mēs atkārtojam iepriekšējās darbības ne vairāk kā n reizes, kur n ir vienādojumu skaits sistēmā. Katru reizi “apstrādei” izvēlamies jaunu mainīgo. Ja rodas nekonsekventi vienādojumi (piemēram, 0 = 8), sistēma ir nekonsekventa.
Rezultātā pēc dažām darbībām mēs iegūsim vai nu atrisinātu sistēmu (iespējams, ar brīviem mainīgajiem), vai arī nekonsekventu sistēmu. Atļautās sistēmas iedala divos gadījumos:
- Mainīgo lielumu skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu. Tas nozīmē, ka sistēma ir definēta;
- Mainīgo lielumu skaits vairāk numuru vienādojumi. Mēs savācam visus brīvos mainīgos labajā pusē - mēs iegūstam formulas atļautajiem mainīgajiem. Šīs formulas ir rakstītas atbildē.
Tas ir viss! Lineāro vienādojumu sistēma atrisināta! Šis ir diezgan vienkāršs algoritms, un, lai to apgūtu, jums nav jāsazinās ar augstākās matemātikas pasniedzēju. Apskatīsim piemēru:
Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:
Darbību apraksts:
- Atņemiet pirmo vienādojumu no otrā un trešā - iegūstam atļauto mainīgo x 1;
- Otro vienādojumu reizinām ar (-1), bet trešo dalām ar (-3) - iegūstam divus vienādojumus, kuros mainīgais x 2 ienāk ar koeficientu 1;
- Mēs pievienojam otro vienādojumu pirmajam un atņemam no trešā. Iegūstam atļauto mainīgo x 2 ;
- Visbeidzot no pirmā atņemam trešo vienādojumu - iegūstam atļauto mainīgo x 3;
- Esam saņēmuši apstiprinātu sistēmu, pierakstiet atbildi.
Vienlaicīgas lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgais risinājums ir jauna sistēma, ekvivalents sākotnējam, kurā visi atļautie mainīgie ir izteikti kā brīvie.
Kad varētu būt nepieciešams vispārējs risinājums? Ja jums ir jāveic mazāk soļu nekā k (k ir vienādojumu skaits). Tomēr iemesli, kāpēc process beidzas kādā posmā l< k , может быть две:
- Pēc l-tā soļa mēs ieguvām sistēmu, kas nesatur vienādojumu ar skaitli (l + 1). Patiesībā tas ir labi, jo... autorizētā sistēma joprojām tiek iegūta - pat dažus soļus agrāk.
- Pēc l-tā soļa mēs ieguvām vienādojumu, kurā visi mainīgo koeficienti ir vienādi ar nulli, un brīvais koeficients atšķiras no nulles. Šis ir pretrunīgs vienādojums, un tāpēc sistēma ir nekonsekventa.
Ir svarīgi saprast, ka nekonsekventa vienādojuma rašanās, izmantojot Gausa metodi, ir pietiekams pamats neatbilstībai. Tajā pašā laikā mēs atzīmējam, ka l-tā soļa rezultātā nevar palikt triviāli vienādojumi - tie visi tiek izsvītroti tieši šajā procesā.
Darbību apraksts:
- Atņemiet pirmo vienādojumu, kas reizināts ar 4, no otrā. Pirmo vienādojumu pievienojam arī trešajam - iegūstam atļauto mainīgo x 1;
- Atņemiet trešo vienādojumu, kas reizināts ar 2, no otrā - iegūstam pretrunīgo vienādojumu 0 = −5.
Tātad sistēma ir nekonsekventa, jo ir atklāts nekonsekvents vienādojums.
Uzdevums. Izpētiet saderību un atrodiet vispārēju sistēmas risinājumu:
Darbību apraksts:
- Mēs atņemam pirmo vienādojumu no otrā (pēc reizināšanas ar divi) un trešo - iegūstam atļauto mainīgo x 1;
- Atņemiet otro vienādojumu no trešā. Tā kā visi koeficienti šajos vienādojumos ir vienādi, trešais vienādojums kļūs triviāls. Tajā pašā laikā reiziniet otro vienādojumu ar (-1);
- Atņemiet otro no pirmā vienādojuma - iegūstam atļauto mainīgo x 2. Tagad ir atrisināta arī visa vienādojumu sistēma;
- Tā kā mainīgie x 3 un x 4 ir brīvi, mēs tos pārvietojam pa labi, lai izteiktu atļautos mainīgos. Šī ir atbilde.
Tātad sistēma ir konsekventa un nenoteikta, jo ir divi atļautie mainīgie (x 1 un x 2) un divi brīvi (x 3 un x 4).
