Kā uzzināt, vai vienādojumu sistēmai ir risinājums. Tiešsaistes kalkulators

Lineāro sistēmu risinājums algebriskie vienādojumi(SLAE) neapšaubāmi ir vissvarīgākā tēma lineārās algebras kursā. Lieliska summa problēmas no visām matemātikas nozarēm tiek reducētas uz sistēmu risināšanu lineārie vienādojumi. Šie faktori izskaidro šī raksta iemeslu. Raksta materiāls ir atlasīts un strukturēts tā, lai ar tā palīdzību jūs varētu

• izvēlēties optimālo metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšanai,
• studēt izvēlētās metodes teoriju,
• atrisiniet savu lineāro vienādojumu sistēmu, apsverot detalizētus tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Īss raksta materiāla apraksts.

Pirmkārt, mēs sniedzam visas nepieciešamās definīcijas, jēdzienus un ieviešam apzīmējumus.

Tālāk apskatīsim metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un kurām ir unikāls risinājums. Pirmkārt, mēs koncentrēsimies uz Cramer metodi, otrkārt, parādīsim matricas metodi šādu vienādojumu sistēmu risināšanai, treškārt, mēs analizēsim Gausa metodi (metode secīga likvidēšana nezināmi mainīgie). Lai nostiprinātu teoriju, mēs noteikti atrisināsim vairākus SLAE dažādos veidos.

Pēc tam mēs pāriesim uz lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanu vispārējs skats, kurā vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir vienskaitlī. Formulēsim Kronecker-Capelli teorēmu, kas ļauj noteikt SLAE saderību. Analizēsim sistēmu risinājumu (ja tās ir savietojamas), izmantojot matricas bāzes minora jēdzienu. Mēs arī apsvērsim Gausa metodi un detalizēti aprakstīsim piemēru risinājumus.

Noteikti pakavēsimies pie lineāro algebrisko vienādojumu viendabīgu un nehomogēnu sistēmu vispārīgā risinājuma struktūras. Sniegsim fundamentālas risinājumu sistēmas koncepciju un parādīsim, kā rakstīt kopīgs lēmums SLAE, izmantojot fundamentālo risinājumu sistēmas vektorus. Lai labāk izprastu, aplūkosim dažus piemērus.

Noslēgumā mēs aplūkosim vienādojumu sistēmas, kuras var reducēt uz lineāriem, kā arī dažādi uzdevumi, kuru risinājumā rodas SLAE.

Lapas navigācija.

Definīcijas, jēdzieni, apzīmējumi.

Apskatīsim p lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar n nezināmiem formas mainīgajiem (p var būt vienāds ar n)

Nezināmi mainīgie - koeficienti (daži reāli vai kompleksie skaitļi), - brīvie termini (arī reālie vai kompleksie skaitļi).

Šo SLAE ierakstīšanas veidu sauc koordinēt.

IN matricas formašīs vienādojumu sistēmas rakstīšanai ir forma,
Kur - sistēmas galvenā matrica, - nezināmu mainīgo kolonnu matrica, - brīvo terminu kolonnu matrica.

Ja matricai A kā (n+1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo terminu kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir,

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšana To sauc par nezināmu mainīgo vērtību kopu, kas visus sistēmas vienādojumus pārvērš identitātēs. Matricas vienādojums noteiktām nezināmo mainīgo vērtībām arī kļūst par identitāti.

Ja vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu.

Ja vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tad to sauc nav locītavu.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti; ja ir vairāki risinājumi, tad – nenoteikts.

Ja visu sistēmas vienādojumu brīvie termini ir vienādi ar nulli , tad sistēma tiek izsaukta viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Lineāro algebrisko vienādojumu elementāru sistēmu risināšana.

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un tās galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli, tad šādi SLAE tiks izsaukti elementāri. Šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, un gadījumā viendabīga sistēma visi nezināmie mainīgie ir nulle.

Mēs sākām mācīties šādus SLAE vidusskolā. Atrisinot tos, mēs paņēmām vienu vienādojumu, izteicām vienu nezināmu mainīgo ar citiem un aizstājām to atlikušajos vienādojumos, pēc tam paņēmām nākamo vienādojumu, izteicām nākamo nezināmo mainīgo un aizstājām to citos vienādojumos utt. Vai arī viņi izmantoja pievienošanas metodi, tas ir, viņi pievienoja divus vai vairākus vienādojumus, lai novērstu dažus nezināmus mainīgos. Mēs sīkāk nepakavēsimies pie šīm metodēm, jo ​​tās būtībā ir Gausa metodes modifikācijas.

Galvenās lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes ir Krāmera metode, matricas metode un Gausa metode. Sakārtosim tos.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera metodi.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina lineāro algebrisko vienādojumu sistēma

kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants atšķiras no nulles, tas ir, .

Ļaut būt sistēmas galvenās matricas determinants, un - matricu determinanti, kas iegūti no A ar aizstāšanu 1., 2., …, nth kolonnu attiecīgi uz brīvo dalībnieku kolonnu:

Izmantojot šo apzīmējumu, nezināmi mainīgie tiek aprēķināti, izmantojot Krāmera metodes formulas kā . Šādi tiek atrasts risinājums lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera metodi.

Piemērs.

Krāmera metode .

Risinājums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma . Aprēķināsim tā determinantu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Tā kā sistēmas galvenās matricas determinants nav nulle, sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi.

Sastādīsim un aprēķināsim nepieciešamos determinantus (determinantu iegūstam, matricas A pirmo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu, determinantu, otro kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu un matricas A trešo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu) :

Nezināmu mainīgo atrašana, izmantojot formulas :

Atbilde:

Galvenais Krāmera metodes trūkums (ja to var saukt par trūkumu) ir determinantu aprēķināšanas sarežģītība, ja vienādojumu skaits sistēmā ir lielāks par trim.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi (izmantojot apgriezto matricu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma tiks dota matricas formā, kur matricas A izmērs ir n x n un tās determinants nav nulle.

Tā kā , matrica A ir invertējama, tas ir, pastāv apgrieztā matrica. Ja reizinām abas vienādības puses ar kreiso, iegūstam formulu nezināmu mainīgo matricas kolonnas atrašanai. Tādā veidā mēs ieguvām risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai matricas metode.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu matricas metode.

Risinājums.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Jo

tad SLAE var atrisināt, izmantojot matricas metodi. Izmantojot apgrieztā matricašīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Konstruēsim apgriezto matricu, izmantojot matricu no algebriskie papildinājumi matricas A elementi (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek aprēķināt nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu uz bezmaksas dalībnieku matricas kolonnu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atbilde:

vai citā apzīmējumā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Galvenā problēma, meklējot risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, izmantojot matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, īpaši kvadrātmatricām, kuru secība ir augstāka par trešo.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Pieņemsim, ka mums jāatrod risinājums n lineāru vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem
kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no secīgas nezināmu mainīgo lielumu likvidēšanas: pirmkārt, x 1 tiek izslēgts no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, pēc tam x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā un tā tālāk, līdz paliek tikai nezināmais mainīgais x n pēdējā vienādojumā. Šo sistēmu vienādojumu pārveidošanas procesu, lai secīgi likvidētu nezināmus mainīgos, sauc tiešā Gausa metode. Pēc pabeigšanas gājiens uz priekšu izmantojot Gausa metodi, no pēdējā vienādojuma tiek atrasts x n, izmantojot šo vērtību, no priekšpēdējā vienādojuma tiek aprēķināts x n-1 un tā tālāk, no pirmā vienādojuma tiek atrasts x 1. Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgrieztā Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu

kur un .

Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja mēs būtu izteikuši x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem sistēmas pirmajā vienādojumā un aizvietojuši iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu

kur un . Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam apgriezto Gausa metodi: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma, un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma. .

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode.

Risinājums.

Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma pusēm pievienojam atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas attiecīgi reizinātas ar un ar:

Tagad mēs izslēdzam x 2 no trešā vienādojuma, tā kreisajai un labajai pusei pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar:

Tas pabeidz Gausa metodes virzienu uz priekšu; mēs sākam apgriezto gājienu.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3:

No otrā vienādojuma iegūstam .

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo un tādējādi pabeidzam Gausa metodes apvērsumu.

Atbilde:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana.

IN vispārējs gadījums sistēmas p vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu n:

Šādiem SLAE var nebūt risinājumu, tiem var būt viens risinājums vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Šis apgalvojums attiecas arī uz vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir kvadrātveida un vienskaitļa.

Kronekera-Kapella teorēma.

Pirms lineāro vienādojumu sistēmas risinājuma atrašanas ir jānosaka tās savietojamība. Atbildi uz jautājumu, kad SLAE ir saderīgs un kad tas ir nekonsekvents, sniedz Kronekera-Kapella teorēma:
Lai p vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n) būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas galvenās matricas rangs būtu vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tas ir, , Rank(A)=Ranks(T).

Apskatīsim, piemēram, Kronekera-Kapella teorēmas pielietojumu lineāro vienādojumu sistēmas saderības noteikšanai.

Piemērs.

Uzziniet, vai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumus.

Risinājums.

. Izmantosim nepilngadīgo robežu metodi. Otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Apskatīsim trešās kārtas nepilngadīgos, kas robežojas ar to:

Tā kā visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, galvenās matricas rangs ir vienāds ar diviem.

Savukārt paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trīs, jo nepilngadīgais ir trešās kārtas

atšķiras no nulles.

Tādējādi Diapazons (A), tāpēc, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu, mēs varam secināt, ka sākotnējā lineāro vienādojumu sistēma ir nekonsekventa.

Atbilde:

Sistēmai nav risinājumu.

Tātad, mēs esam iemācījušies noteikt sistēmas nekonsekvenci, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu.

Bet kā atrast SLAE risinājumu, ja tā saderība ir noteikta?

Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams matricas pamata minora jēdziens un teorēma par matricas rangu.

Nepilngadīga augstākā pakāpe tiek saukta matrica A, kas atšķiras no nulles pamata.

No pamata minora definīcijas izriet, ka tā secība ir vienāda ar matricas rangu. Matricai A, kas nav nulle, var būt vairāki pamata minori, vienmēr ir viens pamatmazsvars.

Piemēram, apsveriet matricu .

Visas šīs matricas trešās kārtas minorās ir vienādas ar nulli, jo šīs matricas trešās rindas elementi ir pirmās un otrās rindas atbilstošo elementu summa.

Tālāk norādītie otrās kārtas nepilngadīgie ir pamata, jo tie nav nulle

Nepilngadīgie nav pamata, jo tie ir vienādi ar nulli.

Matricas rangu teorēma.

Ja matricas pakāpes p pēc n rangs ir vienāds ar r, tad visi matricas rindu (un kolonnu) elementi, kas neveido izvēlēto bāzes minoritāti, tiek lineāri izteikti atbilstoši veidojošo rindas (un kolonnas) elementiem. pamats minors.

Ko mums saka matricas ranga teorēma?

Ja saskaņā ar Kronekera–Kapella teorēmu esam konstatējuši sistēmas saderību, tad izvēlamies jebkuru sistēmas galvenās matricas pamata minoru (tā secība ir vienāda ar r) un izslēdzam no sistēmas visus vienādojumus, kas to dara. neveido izvēlēto pamatu minora. Šādā veidā iegūtais SLAE būs līdzvērtīgs sākotnējam, jo ​​izmestie vienādojumi joprojām ir lieki (saskaņā ar matricas rangu teorēmu tie ir atlikušo vienādojumu lineāra kombinācija).

Rezultātā pēc nevajadzīgu sistēmas vienādojumu atmešanas ir iespējami divi gadījumi.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā sistēmā ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu, tad tas būs noteikts un vienīgo risinājumu var atrast ar Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Piemērs.

.

Risinājums.

Sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar divi, jo nepilngadīgais ir otrās kārtas atšķiras no nulles. Paplašināts Matricas rangs ir arī vienāds ar divi, jo vienīgā trešās kārtas nepilngadīgā ir nulle

un iepriekš aplūkotais otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Pamatojoties uz Kronekera–Kapelli teorēmu, varam apgalvot sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas savietojamību, jo Rank(A)=Ranks(T)=2.

Par pamatu ņemam nepilngadīgo . To veido pirmā un otrā vienādojuma koeficienti:


Sistēmas trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc mēs to izslēdzam no sistēmas, pamatojoties uz teorēmu par matricas rangu:


Tādā veidā mēs ieguvām elementāru lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu. Atrisināsim to, izmantojot Krāmera metodi:


Atbilde:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā SLAE ir mazāks par nezināmo mainīgo skaitu n, tad vienādojumu kreisajā pusē terminus, kas veido pamatu, atstājam minorus, un atlikušos nosacījumus pārnesam uz sistēmas vienādojumi ar pretējo zīmi.

Tiek izsaukti nezināmie mainīgie (r no tiem), kas paliek vienādojumu kreisajā pusē galvenais.

Tiek saukti nezināmie mainīgie (ir n - r gabali), kas atrodas labajā pusē bezmaksas.

Tagad mēs uzskatām, ka brīvie nezināmie mainīgie var iegūt patvaļīgas vērtības, savukārt r galvenie nezināmie mainīgie tiks izteikti ar brīviem nezināmiem mainīgajiem unikālā veidā. To izteiksmi var atrast, atrisinot iegūto SLAE, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Apskatīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu .

Risinājums.

Atradīsim sistēmas galvenās matricas rangu ar nepilngadīgo robežu metodi. Pieņemsim 1 1 = 1 kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle. Sāksim meklēt otrās kārtas minoru, kas nav nulle, un kas robežojas ar šo nepilngadīgo:


Tā atradām otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle. Sāksim meklēt trešās kārtas nepilngadīgo, kas robežojas ar nulli:


Tādējādi galvenās matricas rangs ir trīs. Paplašinātās matricas rangs ir arī vienāds ar trīs, tas ir, sistēma ir konsekventa.

Par pamatu ņemam atrasto trešās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle.

Skaidrības labad mēs parādām elementus, kas veido pamatu minora:


Mēs atstājam pamata minorā iesaistītos terminus sistēmas vienādojumu kreisajā pusē, bet pārējos pārnesam no pretējas zīmes uz labajām pusēm:


Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 5 patvaļīgas vērtības, tas ir, mēs pieņemam , kur ir patvaļīgi skaitļi. Šajā gadījumā SLAE būs forma


Atrisināsim iegūto lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:


Līdz ar to,.

Savā atbildē neaizmirstiet norādīt brīvos nezināmos mainīgos.

Atbilde:

Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Apkopojiet.

Lai atrisinātu vispārīgo lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, vispirms nosakām tās saderību, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu. Ja galvenās matricas rangs nav vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs secinām, ka sistēma nav savietojama.

Ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs izvēlamies pamata minoru un atmetam sistēmas vienādojumus, kas nepiedalās izvēlētās bāzes minora veidošanā.

Ja bāzes minora secība ir vienāda ar nezināmo mainīgo skaitu, tad SLAE ir unikāls risinājums, kuru var atrast ar jebkuru mums zināmu metodi.

Ja pamata minora secība ir mazāka par nezināmo mainīgo skaitu, tad sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam terminus ar galvenajiem nezināmajiem mainīgajiem, atlikušos vārdus pārnesam uz labajām pusēm un piešķiram patvaļīgas vērtības brīvie nezināmie mainīgie. No iegūtās lineāro vienādojumu sistēmas mēs atrodam galvenos nezināmos mainīgos, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Gausa metode vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Gausa metodi var izmantot, lai atrisinātu jebkura veida lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas, iepriekš nepārbaudot to konsekvenci. Nezināmo mainīgo secīgas likvidēšanas process ļauj izdarīt secinājumu gan par SLAE saderību, gan nesaderību, un, ja risinājums pastāv, tas ļauj to atrast.

No skaitļošanas viedokļa priekšroka dodama Gausa metodei.

Skaties Detalizēts apraksts un rakstā analizēti piemēri Gausa metodei vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Vispārīga risinājuma rakstīšana viendabīgām un nehomogēnām lineārām algebriskām sistēmām, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus.

Šajā sadaļā mēs parunāsim par vienlaicīgām viendabīgām un nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu.

Vispirms apskatīsim viendabīgas sistēmas.

Fundamentāla risinājumu sistēma homogēna p lineāru algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem mainīgajiem ir (n – r) šīs sistēmas lineāri neatkarīgu risinājumu kopums, kur r ir sistēmas galvenās matricas pamatmolra secība.

Ja viendabīga SLAE lineāri neatkarīgus risinājumus apzīmējam kā X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ir kolonnu matricas ar izmēru n ar 1) , tad šīs viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums tiek attēlots kā lineāra kombinācija no fundamentālās risinājumu sistēmas vektoriem ar patvaļīgu pastāvīgie koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), tas ir, .

Ko nozīmē termins homogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārējs risinājums (oroslau)?

Nozīme ir vienkārša: formula nosaka visu iespējamie risinājumi sākotnējais SLAE, citiem vārdiem sakot, ņemot jebkuru patvaļīgu konstantu C 1, C 2, ..., C (n-r) vērtību kopu, saskaņā ar formulu mēs iegūsim vienu no sākotnējā homogēnā SLAE risinājumiem.

Tādējādi, ja mēs atrodam fundamentālu risinājumu sistēmu, tad visus šīs viendabīgās SLAE risinājumus varam definēt kā .

Parādīsim viendabīga SLAE fundamentālas risinājumu sistēmas konstruēšanas procesu.

Mēs izvēlamies sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas pamata minoru, izslēdzam no sistēmas visus pārējos vienādojumus un visus terminus, kas satur brīvus nezināmos mainīgos, pārnesam uz sistēmas vienādojumu labajām pusēm ar pretējām zīmēm. Dosim bezmaksas nezināmos mainīgās vērtības 1,0,0,…,0 un aprēķināt galvenos nezināmos, atrisinot iegūto elementāro lineāro vienādojumu sistēmu jebkādā veidā, piemēram, izmantojot Cramer metodi. Tā rezultātā tiks iegūts X (1) - pirmais pamatsistēmas risinājums. Ja jūs dodat bez maksas nezināmas vērtības 0,1,0,0,…,0 un aprēķinot galvenos nezināmos, iegūstam X (2) . Un tā tālāk. Ja brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem piešķiram vērtības 0.0,…,0.1 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (n-r) . Tādā veidā tiks izveidota viendabīga SLAE risinājumu fundamentāla sistēma un tās vispārīgo risinājumu var ierakstīt formā .

Nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vispārējais risinājums tiek attēlots formā , kur ir atbilstošās viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums un ir sākotnējās nehomogēnās SLAE konkrētais risinājums, ko iegūstam, brīvajiem nezināmajiem piešķirot vērtības. ​0,0,...,0 un aprēķinot galveno nezināmo vērtības.

Apskatīsim piemērus.

Piemērs.

Atrodiet viendabīgas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu pamatsistēmu un vispārīgo risinājumu .

Risinājums.

Viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu galvenās matricas rangs vienmēr ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu. Atradīsim galvenās matricas rangu, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi. Kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle, mēs ņemam sistēmas galvenās matricas elementu a 1 1 = 9. Atradīsim otrās kārtas malējo, kas robežojas ar nulli:

Atrasts otrās kārtas nepilngadīgais, kas atšķiras no nulles. Iziesim cauri trešās kārtas nepilngadīgajiem, kas robežojas ar to, meklējot vienu, kas nav nulle:

Visi trešās kārtas robežojošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc galvenās un paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar diviem. Ņemsim. Skaidrības labad atzīmēsim sistēmas elementus, kas to veido:

Sākotnējā SLAE trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc to var izslēgt:

Vienādojumu labajā pusē atstājam terminus, kas satur galvenos nezināmos, un labajā pusē pārnesam terminus ar brīvajiem nezināmajiem:

Izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu sākotnējai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai. Šī SLAE pamata risinājumu sistēma sastāv no diviem risinājumiem, jo ​​sākotnējā SLAE ir četri nezināmi mainīgie, un tā bāzes minora secība ir vienāda ar diviem. Lai atrastu X (1), mēs piešķiram brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības x 2 = 1, x 4 = 0, pēc tam atrodam galvenos nezināmos no vienādojumu sistēmas
.

§1. Lineāro vienādojumu sistēmas.

Skatīt sistēmu

sauc par sistēmu m lineāri vienādojumi ar n nezināms.

Šeit
- nezināms, - nezināmo koeficienti,
- vienādojumu brīvie termini.

Ja visi vienādojumu brīvie termini ir vienādi ar nulli, sistēma tiek izsaukta viendabīgs.Ar lēmumu sistēmu sauc par skaitļu kopumu
, aizstājot tos sistēmā nezināmo vietā, visi vienādojumi pārvēršas identitātēs. Sistēmu sauc locītavu, ja tam ir vismaz viens risinājums. Tiek saukta saderīga sistēma, kurai ir unikāls risinājums noteikti. Abas sistēmas sauc ekvivalents, ja to atrisinājumu kopas sakrīt.

Sistēmu (1) var attēlot matricas formā, izmantojot vienādojumu

(2)

.

§2. Lineāro vienādojumu sistēmu savietojamība.

Sauksim sistēmas (1) paplašināto matricu par matricu

Kronekera-Kapella teorēma. Sistēma (1) ir konsekventa tad un tikai tad, ja sistēmas matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu:

.

§3. Sistēmu risinājumsn lineāri vienādojumi arn nezināms.

Apsveriet nehomogēnu sistēmu n lineāri vienādojumi ar n nezināms:

(3)

Krāmera teorēma.Ja sistēmas galvenais noteicējs (3)
, tad sistēmai ir unikāls risinājums, ko nosaka pēc formulām:

tie.
,

Kur - determinants, kas iegūts no determinanta nomaiņa kolonnu uz brīvo dalībnieku kolonnu.

Ja
, un vismaz viens no ≠0, tad sistēmai nav risinājumu.

Ja
, tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Sistēmu (3) var atrisināt, izmantojot tās matricas formu (2). Ja matricas rangs A vienāds n, t.i.
, tad matrica A ir apgriezts
. Matricas vienādojuma reizināšana
uz matricu
kreisajā pusē mēs iegūstam:

.

Pēdējā vienādība izsaka metodi lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšanai, izmantojot apgriezto matricu.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto matricu.

Risinājums. Matrica
nav deģenerēts, kopš
, kas nozīmē, ka pastāv apgrieztā matrica. Aprēķināsim apgriezto matricu:
.

,

Vingrinājums. Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera metodi.

§4. Patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu risināšana.

Dota nehomogēna lineāro vienādojumu sistēma ar formu (1).

Pieņemsim, ka sistēma ir konsekventa, t.i. Kronecker-Capelli teorēmas nosacījums ir izpildīts:
. Ja matricas rangs
(nezināmo skaits), tad sistēmai ir unikāls risinājums. Ja
, tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Ļauj man paskaidrot.

Ļaujiet matricas rangam r(A)= r< n. Tāpēc ka
, tad ir kaut kāda ne-nulles minora kārtība r. Sauksim to par pamata minoru. Nezināmie, kuru koeficienti veido pamata mazo, tiks saukti par pamata mainīgajiem. Atlikušos nezināmos saucam par brīvajiem mainīgajiem. Pārkārtosim vienādojumus un pārnumurēsim mainīgos tā, lai šī minora atrastos sistēmas matricas augšējā kreisajā stūrī:

.

Pirmkārt r līnijas ir lineāri neatkarīgas, pārējās tiek izteiktas caur tām. Tāpēc šīs līnijas (vienādojumus) var izmest. Mēs iegūstam:

Piešķirsim brīvajiem mainīgajiem patvaļīgas skaitliskas vērtības: . Kreisajā pusē atstāsim tikai pamata mainīgos, bet brīvos pārvietosim uz labo pusi.

Saņēmu sistēmu r lineāri vienādojumi ar r nezināms, kura determinants atšķiras no 0. Tam ir unikāls risinājums.

Šo sistēmu sauc par lineāro vienādojumu sistēmas (1) vispārīgo risinājumu. Citādi: tiek izsaukta pamata mainīgo izteiksme caur brīvajiem vispārējs lēmums sistēmas. No tā jūs varat iegūt bezgalīgu skaitu privātie risinājumi, dodot brīvajiem mainīgajiem patvaļīgas vērtības. Tiek izsaukts īpašs risinājums, kas iegūts no vispārīgā brīvo mainīgo nulles vērtībām pamata risinājums. Dažādu pamatrisinājumu skaits nepārsniedz
. Tiek izsaukts pamata risinājums ar nenegatīviem komponentiem atbalstot sistēmas risinājums.

Piemērs.

,r=2.

Mainīgie lielumi
- pamata,
- bezmaksas.

Saskaitīsim vienādojumus; izteiksim
cauri
:

- kopīgs lēmums.

- privāts risinājums
.

- pamatrisinājums, uzziņa.

§5. Gausa metode.

Gausa metode ir universāla metode patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu izpētei un risināšanai. Tas sastāv no sistēmas reducēšanas līdz diagonālai (vai trīsstūrveida) formai, secīgi likvidējot nezināmos, izmantojot elementāras transformācijas, kas nepārkāpj sistēmu līdzvērtību. Mainīgais tiek uzskatīts par izslēgtu, ja tas ir ietverts tikai vienā sistēmas vienādojumā ar koeficientu 1.

Elementāras pārvērtības sistēmas ir:

vienādojuma reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;

Vienādojuma, kas reizināts ar jebkuru skaitli, saskaitīšana ar citu vienādojumu;

vienādojumu pārkārtošana;

Vienādojuma 0 = 0 noraidīšana.

Elementārās transformācijas var veikt nevis vienādojumos, bet iegūto ekvivalento sistēmu paplašinātās matricās.

Piemērs.

Risinājums. Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu:

.

Veicot elementāras transformācijas, matricas kreiso pusi reducēsim uz vienības formu: galvenajā diagonālē izveidosim vienus, bet ārpus tās nulles.

komentēt. Ja, veicot elementāras pārvērtības, tiek iegūts 0 formas vienādojums = k(Kur Uz0), tad sistēma ir nekonsekventa.

Lineāro vienādojumu sistēmu risinājumu ar nezināmo secīgas likvidēšanas metodi var uzrakstīt formā tabulas.

Tabulas kreisajā kolonnā ir informācija par izslēgtajiem (pamata) mainīgajiem. Pārējās kolonnas satur nezināmo koeficientus un vienādojumu brīvos nosacījumus.

Sistēmas paplašinātā matrica tiek ierakstīta avota tabulā. Tālāk mēs sākam veikt Jordānijas transformācijas:

1. Atlasiet mainīgo , kas kļūs par pamatu. Atbilstošo kolonnu sauc par atslēgas kolonnu. Izvēlieties vienādojumu, kurā šis mainīgais paliks, izslēdzot no citiem vienādojumiem. Atbilstošo tabulas rindu sauc par atslēgu rindu. Koeficients , kas atrodas atslēgu rindas un atslēgu kolonnas krustpunktā, tiek saukta par atslēgu.

2. Atslēgu virknes elementi ir sadalīti atslēgas elementā.

3. Atslēgas kolonna ir aizpildīta ar nullēm.

4. Atlikušos elementus aprēķina, izmantojot taisnstūra noteikumu. Izveido taisnstūri, kura pretējās virsotnēs ir atslēgas elements un pārrēķināts elements; no taisnstūra diagonāles elementu reizinājuma ar galveno elementu atņem otras diagonāles elementu reizinājumu un iegūto starpību dala ar atslēgas elementu.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu sistēmas vispārīgo un pamata risinājumu:

Risinājums.

Vispārīgs sistēmas risinājums:

Pamata risinājums:
.

Viena aizstāšanas transformācija ļauj pāriet no viena sistēmas pamata uz otru: viena no galvenajiem mainīgajiem vietā bāzē tiek ievadīts viens no brīvajiem mainīgajiem. Lai to izdarītu, brīvā mainīgā kolonnā atlasiet galveno elementu un veiciet transformācijas saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu.

§6. Atbalsta risinājumu atrašana

Lineāro vienādojumu sistēmas atskaites risinājums ir pamata risinājums, kas nesatur negatīvus komponentus.

Sistēmas atskaites risinājumus atrod ar Gausa metodi, ja ir izpildīti šādi nosacījumi.

1. Sākotnējā sistēmā visiem bezmaksas noteikumiem ir jābūt nenegatīviem:
.

2. Galvenais elements tiek izvēlēts starp pozitīvajiem koeficientiem.

3. Ja bāzē ievadītajam mainīgajam ir vairāki pozitīvi koeficienti, tad atslēgas līnija ir tā, kurā brīvā vārda attiecība pret pozitīvo koeficientu ir vismazākā.

1. piezīme. Ja nezināmo izslēgšanas procesā parādās vienādojums, kurā visi koeficienti ir nepozitīvi un brīvais termins
, tad sistēmai nav nenegatīvu risinājumu.

2. piezīme. Ja brīvo mainīgo koeficientu ailēs nav neviena pozitīva elementa, tad pāreja uz citu atsauces risinājumu nav iespējama.

Piemērs.

Tomēr praksē plaši izplatīti ir vēl divi gadījumi:

– Sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu);
– Sistēma ir konsekventa, un tai ir bezgala daudz risinājumu.

Piezīme : Termins “konsekvence” nozīmē, ka sistēmai ir vismaz kāds risinājums. Vairāku problēmu gadījumā vispirms ir jāpārbauda sistēmas savietojamība; kā to izdarīt, skatiet rakstu par matricu rangs.

Šīm sistēmām tiek izmantota universālākā no visām risinājuma metodēm - Gausa metode. Patiesībā arī “skolas” metode radīs atbildi, taču augstākajā matemātikā ir ierasts izmantot Gausa metodi secīgai nezināmo likvidēšanai. Tie, kas nav pazīstami ar Gausa metodes algoritmu, lūdzu, vispirms izpētiet stundu Gausa metode manekeniem.

Pašas elementārās matricas transformācijas ir tieši tādas pašas, atšķirība būs risinājuma beigās. Vispirms apskatīsim pāris piemērus, kad sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši).

1. piemērs

Kas šajā sistēmā uzreiz iekrīt jūsu acīs? Vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu, tad uzreiz varam teikt, ka sistēma ir vai nu nekonsekventa, vai arī tai ir bezgala daudz risinājumu. Un atliek tikai noskaidrot.

Risinājuma sākums ir pilnīgi parasts - mēs pierakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidojam to pakāpeniskā formā:

(1) Augšējā kreisajā solī mums jāiegūst +1 vai –1. Pirmajā kolonnā šādu skaitļu nav, tāpēc rindu pārkārtošana neko nedos. Vienībai būs jāorganizē pašai, un to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: pirmajai rindai pievienojam trešo rindiņu, kas reizināta ar –1.

(2) Tagad mēs iegūstam divas nulles pirmajā kolonnā. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 5.

(3) Pēc transformācijas pabeigšanas vienmēr ir ieteicams noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot iegūtās virknes? Var. Otro rindu sadalām ar 2, tajā pašā laikā otrajā solī iegūstot nepieciešamo –1. Sadaliet trešo rindu ar –3.

(4) Pievienojiet otro rindu trešajai rindai.

Droši vien visi pamanīja slikto līniju, kas radās elementāru pārvērtību rezultātā: . Ir skaidrs, ka tas tā nevar būt. Patiešām, pārrakstīsim iegūto matricu atpakaļ uz lineāro vienādojumu sistēmu:

Ja elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur ir skaitlis, kas nav nulle, tad sistēma ir nekonsekventa (nav atrisinājumu).

Kā pierakstīt uzdevuma beigas? Uzzīmēsim ar baltu krītu: “elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur ” un sniedzam atbildi: sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi).

Ja saskaņā ar nosacījumu ir nepieciešams IZPĒTĒT sistēmas saderību, tad risinājums ir jāformalizē stingrākā stilā, izmantojot koncepciju matricas rangs un Kronekera-Kapella teorēma.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav Gausa algoritma apvērsuma - nav risinājumu un vienkārši nav ko atrast.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās. Es vēlreiz atgādinu, ka jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma, Gausa algoritmam nav spēcīgas “stingrības”.

Vēl viena risinājuma tehniskā iezīme: elementāras pārvērtības var apturēt Uzreiz, tiklīdz parādās tāda rinda kā , kur . Apsvērsim nosacīts piemērs: pieņemsim, ka pēc pirmās transformācijas tiek iegūta matrica . Matrica vēl nav reducēta līdz ešelona formai, bet tālākas elementāras transformācijas nav nepieciešamas, jo ir parādījusies formas rinda, kur . Nekavējoties jāsniedz atbilde, ka sistēma nav savietojama.

Ja lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tā ir gandrīz dāvana, jo tiek iegūts īss risinājums, dažreiz burtiski 2-3 soļos.

Bet viss šajā pasaulē ir līdzsvarots, un problēma, kurā sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, ir tikai ilgāka.

3. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Ir 4 vienādojumi un 4 nezināmie, tāpēc sistēmai var būt vai nu viens risinājums, vai bez atrisinājumiem, vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Lai kā arī būtu, Gausa metode jebkurā gadījumā mūs novedīs pie atbildes. Tā ir tā daudzpusība.

Sākums atkal ir standarta. Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Tas arī viss, un tev bija bail.

(1) Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2, tāpēc 2 ir piemērots augšējā kreisajā solī. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –4. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –1.

Uzmanību! Daudzus var vilināt ceturtā rinda atņemt pirmā līnija. To var izdarīt, bet tas nav nepieciešams, pieredze rāda, ka kļūdas iespējamība aprēķinos palielinās vairākas reizes. Vienkārši pievienojiet: ceturtajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar –1 – tieši tā!

(2) Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām var svītrot.

Šeit mums atkal jāparāda pastiprināta uzmanība, bet vai līnijas tiešām ir proporcionālas? Lai būtu drošībā (īpaši tējkannai), būtu ieteicams otro rindiņu reizināt ar –1 un ceturto rindiņu dalīt ar 2, iegūstot trīs identiskas rindas. Un tikai pēc tam noņemiet divus no tiem.

Elementāru pārveidojumu rezultātā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta līdz pakāpeniskajai formai:

Rakstot uzdevumu piezīmju grāmatiņā, skaidrības labad tās pašas piezīmes vēlams veikt ar zīmuli.

Pārrakstīsim atbilstošo vienādojumu sistēmu:

Šeit nav ne smakas no “parasta” vienota sistēmas risinājuma. Nav arī sliktas līnijas. Tas nozīmē, ka šis ir trešais atlikušais gadījums – sistēmai ir bezgala daudz risinājumu. Dažreiz atbilstoši nosacījumam ir nepieciešams izpētīt sistēmas saderību (t.i., pierādīt, ka risinājums vispār pastāv), par to varat lasīt raksta pēdējā rindkopā. Kā atrast matricas rangu? Bet tagad apskatīsim pamatus:

Bezgalīgs sistēmas risinājumu kopums ir īsi uzrakstīts tā sauktajā formā vispārējs sistēmas risinājums .

Mēs atrodam sistēmas vispārējo risinājumu, izmantojot Gausa metodes apgriezto metodi.

Vispirms mums ir jādefinē, kādi mainīgie mums ir pamata, un kādi mainīgie bezmaksas. Jums nav jāraizējas ar lineārās algebras noteikumiem, vienkārši atcerieties, ka tādi ir pamata mainīgie Un bezmaksas mainīgie.

Pamata mainīgie vienmēr “sēž” stingri uz matricas soļiem.
Šajā piemērā galvenie mainīgie ir un

Bezmaksas mainīgie ir viss atlikušais mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā tie ir divi: – brīvie mainīgie.

Tagad jums ir nepieciešams Visi pamata mainīgie izteikt tikai cauri bezmaksas mainīgie.

Gausa algoritma apgrieztais variants tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu.
No sistēmas otrā vienādojuma mēs izsakām pamata mainīgo:

Tagad apskatiet pirmo vienādojumu: . Vispirms tajā aizstājam atrasto izteiksmi:

Atliek izteikt pamata mainīgo brīvo mainīgo izteiksmē:

Galu galā mēs saņēmām to, kas mums bija vajadzīgs - Visi ir izteikti pamata mainīgie ( un ). tikai cauri bezmaksas mainīgie:

Patiesībā vispārējais risinājums ir gatavs:

Kā pareizi uzrakstīt vispārīgo risinājumu?
Brīvie mainīgie tiek ierakstīti vispārējā risinājumā “paši no sevis” un stingri savās vietās. IN šajā gadījumā brīvie mainīgie jāraksta otrajā un ceturtajā pozīcijā:
.

Iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem un acīmredzot jāraksta pirmajā un trešajā pozīcijā:

Bezmaksas mainīgo lielumu piešķiršana patvaļīgas vērtības, jūs varat atrast bezgalīgi daudz privātie risinājumi. Populārākās vērtības ir nulles, jo konkrēto risinājumu iegūt ir visvieglāk. Aizstāsim ar vispārējo risinājumu:

– privāts risinājums.

Vēl viens saldais pāris ir tādi, aizstājam tos vispārējā risinājumā:

– vēl viens privāts risinājums.

Ir viegli redzēt, ka vienādojumu sistēmai ir bezgala daudz risinājumu(jo mēs varam dot brīvus mainīgos jebkura vērtības)

Katrs konkrētajam risinājumam ir jāapmierina katram sistēmas vienādojums. Tas ir pamats “ātrai” risinājuma pareizības pārbaudei. Ņemiet, piemēram, konkrētu risinājumu un aizstājiet to katra sākotnējās sistēmas vienādojuma kreisajā pusē:

Visam jāsanāk kopā. Un arī ar jebkuru konkrētu risinājumu, ko saņemat, visam ir jāsakrīt.

Bet, stingri ņemot, konkrēta risinājuma pārbaude dažkārt ir maldinoša, t.i. kāds konkrēts risinājums var apmierināt katru sistēmas vienādojumu, bet pats vispārējais risinājums faktiski tiek atrasts nepareizi.

Tāpēc vispārējā risinājuma pārbaude ir rūpīgāka un uzticamāka. Kā pārbaudīt iegūto vispārīgo risinājumu ?

Tas nav grūti, bet diezgan nogurdinoši. Mums ir jāņem izteiksmes pamata mainīgie, šajā gadījumā un , un aizstājiet tos katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē.

Sistēmas pirmā vienādojuma kreisajā pusē:

Sistēmas otrā vienādojuma kreisajā pusē:


Tiek iegūta sākotnējā vienādojuma labā puse.

4. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi. Atrodiet vispārīgo risinājumu un divus konkrētus risinājumus. Pārbaudiet vispārējo risinājumu.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Šeit, starp citu, vienādojumu skaits atkal ir mazāks par nezināmo skaitu, kas nozīmē, ka uzreiz ir skaidrs, ka sistēma būs vai nu nekonsekventa, vai arī tai būs bezgalīgi daudz risinājumu. Kas ir svarīgi pašā lēmumu pieņemšanas procesā? Uzmanību un vēlreiz uzmanību. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un vēl pāris piemēri materiāla nostiprināšanai

5. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atrodiet divus konkrētus risinājumus un pārbaudiet vispārējo risinājumu

Risinājums: Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

(1) Pievienojiet pirmo rindiņu otrajai rindai. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3.
(2) Trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –5. Ceturtajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –7.
(3) Trešā un ceturtā rinda ir vienāda, vienu no tām izdzēšam.

Šis ir tāds skaistums:

Pamata mainīgie atrodas uz pakāpieniem, tāpēc - pamata mainīgie.
Ir tikai viens brīvs mainīgais, kas nesaņēma soli:

Reverss:
Izteiksim galvenos mainīgos, izmantojot brīvo mainīgo:
No trešā vienādojuma:

Apskatīsim otro vienādojumu un aizstājam tajā atrasto izteiksmi:

Apskatīsim pirmo vienādojumu un aizvietosim atrastās izteiksmes un tajā:

Jā, joprojām ir ērts kalkulators, kas aprēķina parastās daļskaitļus.

Tātad vispārējais risinājums ir:

Vēlreiz, kā tas izrādījās? Brīvais mainīgais atrodas viens pats savā likumīgajā ceturtajā vietā. Rezultātā iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem arī ieņēma savas kārtas vietas.

Ļaujiet mums nekavējoties pārbaudīt vispārējo risinājumu. Darbs ir melnajiem, bet es jau to esmu izdarījis, tāpēc ķer =)

Katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizvietojam trīs varoņus , :

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tādējādi tiek pareizi atrasts vispārīgais risinājums.

Tagad no atrastā vispārīgā risinājuma mēs iegūstam divus konkrētus risinājumus. Vienīgais brīvais mainīgais šeit ir šefpavārs. Nav nepieciešams lauzt smadzenes.

Lai tad ir – privāts risinājums.
Lai tad ir – vēl viens privāts risinājums.

Atbilde: Kopīgs lēmums: , privātie risinājumi: , .

Par melnajiem man nevajadzēja atcerēties... ...jo man ienāca prātā visādi sadistiski motīvi un es atcerējos slaveno fotošopu, kurā Ku Klux Klansmen baltos halātos skrien pa laukumu pēc melnādainā futbolista. Sēžu un klusi smaidu. Zini, cik traucē...

Daudz matemātikas ir kaitīgas, tāpēc līdzīgs gala piemērs, kā to atrisināt pašam.

6. piemērs

Atrodiet lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu.

Es jau pārbaudīju vispārējo risinājumu, atbildei var ticēt. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma, galvenais, lai vispārējie risinājumi sakrīt.

Daudzi droši vien pamanīja kādu nepatīkamu momentu risinājumos: ļoti bieži, mainot Gausa metodi, nācās lāpīt parastās frakcijas. Praksē tas tā patiešām ir; gadījumi, kad nav daļskaitļu, ir daudz retāk sastopami. Esiet gatavi garīgi un, pats galvenais, tehniski.

Es pakavēšos pie dažām risinājuma iezīmēm, kas netika atrastas atrisinātajos piemēros.

Sistēmas vispārīgais risinājums dažkārt var ietvert konstanti (vai konstantes), piemēram: . Šeit viens no pamata mainīgajiem ir vienāds ar nemainīgu skaitli: . Šajā nav nekā eksotiska, tā notiek. Acīmredzot šajā gadījumā jebkura konkrēta risinājuma pirmajā pozīcijā būs piecinieks.

Reti, bet ir sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir lielāks par mainīgo skaitu. Gausa metode darbojas vissmagākajos apstākļos, ir mierīgi jāsamazina sistēmas paplašinātā matrica pakāpeniski, izmantojot standarta algoritmu. Šāda sistēma var būt nekonsekventa, tai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, un, dīvainā kārtā, tai var būt viens risinājums.

Gausa metode, saukta arī par nezināmo vielu secīgas likvidēšanas metodi, ir šāda. Izmantojot elementārās transformācijas, lineāro vienādojumu sistēma tiek veidota tādā formā, ka tās koeficientu matrica izrādās trapecveida (tāds pats kā trīsstūrveida vai pakāpienveida) vai tuvu trapecveida (tiešais gājiens pēc Gausa metodes, turpmāk vienkārši taisns gājiens). Šādas sistēmas un tās risinājuma piemērs ir attēlā iepriekš.

Šādā sistēmā pēdējais vienādojums satur tikai vienu mainīgo un tā vērtību var viennozīmīgi atrast. Pēc tam šī mainīgā vērtība tiek aizstāta ar iepriekšējo vienādojumu ( apgrieztā Gausa metode , tad tikai otrādi), no kura tiek atrasts iepriekšējais mainīgais utt.

Trapecveida (trīsstūrveida) sistēmā, kā redzam, trešais vienādojums vairs nesatur mainīgos y Un x, un otrais vienādojums ir mainīgais x .

Pēc tam, kad sistēmas matrica ir ieguvusi trapecveida formu, vairs nav grūti saprast sistēmas saderības jautājumu, noteikt risinājumu skaitu un atrast risinājumus pašiem.

Metodes priekšrocības:

1. risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar vairāk nekā trim vienādojumiem un nezināmajiem, Gausa metode nav tik apgrūtinoša kā Krāmera metode, jo risināšanai ar Gausa metodi ir nepieciešams mazāk aprēķinu;
2. ar Gausa metodi var atrisināt nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas, tas ir, ja ir vispārējs risinājums (un mēs tos analizēsim šajā nodarbībā), un, izmantojot Cramer metodi, mēs varam tikai norādīt, ka sistēma ir nenoteikta;
3. jūs varat atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, kurās nezināmo skaits nav vienāds ar vienādojumu skaitu (arī mēs tos analizēsim šajā nodarbībā);
4. Metodes pamatā ir pamatskolas (skolas) metodes - nezināmo aizstāšanas metode un vienādojumu pievienošanas metode, kurai mēs pieskārāmies attiecīgajā rakstā.

Lai visi saprastu, ar kādu vienkāršību tiek atrisinātas trapecveida (trīsstūrveida, pakāpienveida) lineāro vienādojumu sistēmas, mēs piedāvājam risinājumu šādai sistēmai, izmantojot apgriezto kustību. Ātrs lēmumsŠī sistēma tika parādīta attēlā stundas sākumā.

1. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto:

Risinājums. Šajā trapecveida sistēmā mainīgais z var unikāli atrast no trešā vienādojuma. Mēs aizstājam tā vērtību otrajā vienādojumā un iegūstam mainīgā vērtību y:

Tagad mēs zinām divu mainīgo vērtības - z Un y. Mēs tos aizstājam ar pirmo vienādojumu un iegūstam mainīgā vērtību x:

No iepriekšējām darbībām mēs izrakstām vienādojumu sistēmas risinājumu:

Lai iegūtu šādu trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu, kuru mēs atrisinājām ļoti vienkārši, ir jāizmanto virziens uz priekšu, kas saistīts ar lineāro vienādojumu sistēmas elementārajām transformācijām. Tas arī nav ļoti grūti.

Lineāro vienādojumu sistēmas elementārās transformācijas

Atkārtojot skolas metodi, kā algebriski saskaitīt sistēmas vienādojumus, noskaidrojām, ka vienam no sistēmas vienādojumiem varam pievienot vēl vienu sistēmas vienādojumu, un katru no vienādojumiem var reizināt ar dažiem skaitļiem. Rezultātā mēs iegūstam lineāro vienādojumu sistēmu, kas ir ekvivalenta šai sistēmai. Tajā vienā vienādojumā jau bija tikai viens mainīgais, kura vērtību aizstājot ar citiem vienādojumiem, mēs nonākam pie risinājuma. Šāds papildinājums ir viens no sistēmas elementārās transformācijas veidiem. Izmantojot Gausa metodi, varam izmantot vairāku veidu transformācijas.

Iepriekš redzamā animācija parāda, kā vienādojumu sistēma pakāpeniski pārvēršas par trapecveida sistēmu. Tas ir, to, ko redzējāt pašā pirmajā animācijā un pārliecinājāt sevi, ka no tās ir viegli atrast visu nezināmo vērtības. Kā veikt šādu transformāciju un, protams, piemēri tiks apspriesti tālāk.

Risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar jebkuru vienādojumu un nezināmo skaitu vienādojumu sistēmā un sistēmas paplašinātajā matricā Var:

1. pārkārtot līnijas (tas tika minēts šī raksta pašā sākumā);
2. ja citas transformācijas rada vienādas vai proporcionālas rindas, tās var dzēst, izņemot vienu;
3. noņemt "nulles" rindas, kurās visi koeficienti ir vienādi ar nulli;
4. reizināt vai dalīt jebkuru virkni ar noteiktu skaitli;
5. jebkurai rindai pievienojiet vēl vienu rindiņu, reizinot ar noteiktu skaitli.

Pārveidojumu rezultātā mēs iegūstam šai sistēmai ekvivalentu lineāro vienādojumu sistēmu.

Algoritms un piemēri lineāro vienādojumu sistēmas risināšanai ar sistēmas kvadrātmatricu, izmantojot Gausa metodi

Vispirms apskatīsim lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu, kurās nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu. Šādas sistēmas matrica ir kvadrātveida, tas ir, rindu skaits tajā ir vienāds ar kolonnu skaitu.

2. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Risinot lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot skolas metodes, mēs reizinājām vienu no vienādojumu termiņiem ar noteiktu skaitli, lai abos vienādojumos pirmā mainīgā koeficienti būtu pretēji skaitļi. Pievienojot vienādojumus, šis mainīgais tiek izslēgts. Gausa metode darbojas līdzīgi.

Lai vienkāršotu izskats risinājumus izveidosim paplašinātu sistēmas matricu:

Šajā matricā nezināmo koeficienti atrodas kreisajā pusē pirms vertikālās līnijas, bet brīvie termini atrodas labajā pusē aiz vertikālās līnijas.

Mainīgo lielumu dalīšanas koeficientu ērtībai (lai iegūtu dalījumu ar vienību) Apmainīsim sistēmas matricas pirmo un otro rindu. Mēs iegūstam šai sistēmai līdzvērtīgu sistēmu, jo lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumus var apmainīt:

Izmantojot jauno pirmo vienādojumu noņemiet mainīgo x no otrā un visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, matricas otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ), trešajai rindai - pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ).

Tas ir iespējams, jo

Ja mūsu vienādojumu sistēmai būtu vairāk nekā trīs, tad visiem nākamajiem vienādojumiem būtu jāpievieno pirmā rinda, kas reizināta ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

Rezultātā mēs iegūstam šai sistēmai līdzvērtīgu matricu jauna sistēma vienādojumi, kuros visi vienādojumi, sākot no otrā nesatur mainīgo x :

Lai vienkāršotu iegūtās sistēmas otro rindu, reiziniet to ar un vēlreiz iegūstiet šai sistēmai līdzvērtīgas vienādojumu sistēmas matricu:

Tagad, saglabājot iegūtās sistēmas pirmo vienādojumu nemainīgu, izmantojot otro vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo y no visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, sistēmas matricas trešajai rindai mēs pievienojam otro rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ).

Ja mūsu sistēmā būtu vairāk nekā trīs vienādojumi, tad visiem nākamajiem vienādojumiem būtu jāpievieno otra rinda, kas reizināta ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

Rezultātā mēs atkal iegūstam sistēmas matricu, kas ir ekvivalenta šai lineāro vienādojumu sistēmai:

Mēs esam ieguvuši līdzvērtīgu trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu:

Ja vienādojumu un mainīgo skaits ir lielāks nekā mūsu piemērā, tad mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas process turpinās, līdz sistēmas matrica kļūst trapecveida, kā tas ir mūsu demonstrācijas piemērā.

Mēs atradīsim risinājumu “no gala” - apgrieztā kustība. Priekš šī no pēdējā vienādojuma mēs nosakām z:
.
Aizstājot šo vērtību iepriekšējā vienādojumā, mēs atradīsim y:

No pirmā vienādojuma mēs atradīsim x:

Atbilde: šīs vienādojumu sistēmas risinājums ir .

: šajā gadījumā tā pati atbilde tiks sniegta, ja sistēmai ir unikāls risinājums. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, tad šī būs atbilde, un tas ir šīs nodarbības piektās daļas priekšmets.

Pats atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi, un pēc tam apskatiet risinājumu

Šeit atkal ir piemērs konsekventai un noteiktai lineāro vienādojumu sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu. Atšķirība no mūsu demonstrācijas piemēra no algoritma ir tāda, ka jau ir četri vienādojumi un četri nezināmie.

4. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Veiksim sagatavošanās darbi. Lai būtu ērtāk ar koeficientu attiecību, jums ir jāiegūst viens otrās rindas otrajā kolonnā. Lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet trešo un iegūto otro rindu reiziniet ar -1.

Tagad veiksim mainīgā faktisko izņemšanu no trešā un ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar , trešajai rindai un otro, kas reizināta ar , ceturtajai rindai.

Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet trešo rindiņu ceturtajai rindai, reizinot ar . Iegūstam paplašinātu trapecveida matricu.

Mēs ieguvām vienādojumu sistēmu, kurai dotā sistēma ir ekvivalenta:

Līdz ar to iegūtās un dotās sistēmas ir savietojamas un noteiktas. Gala lēmums mēs atrodam “no gala”. No ceturtā vienādojuma mēs varam tieši izteikt mainīgā “x-four” vērtību:

Mēs aizstājam šo vērtību ar trešo sistēmas vienādojumu un iegūstam

,

,

Visbeidzot, vērtību aizstāšana

Pirmais vienādojums dod

,

kur mēs atrodam “x first”:

Atbilde: šai vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums .

Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī kalkulatorā, izmantojot Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai ir unikāls risinājums.

Lieto uzdevumu risināšana, izmantojot Gausa metodi, izmantojot uzdevuma piemēru uz sakausējumiem

Lineāro vienādojumu sistēmas tiek izmantotas, lai modelētu reālus objektus fiziskajā pasaulē. Atrisināsim vienu no šīm problēmām – sakausējumus. Līdzīgas problēmas - problēmas uz maisījumiem, izmaksas vai īpaša gravitāte atsevišķi produkti preču grupā un tamlīdzīgi.

5. piemērs. Trīs sakausējuma gabalu kopējā masa ir 150 kg. Pirmajā sakausējumā ir 60% vara, otrajā - 30%, trešajā - 10%. Turklāt otrajā un trešajā sakausējumā vara ir par 28,4 kg mazāk nekā pirmajā sakausējumā, bet trešajā sakausējumā vara ir par 6,2 kg mazāk nekā otrajā. Atrodiet katra sakausējuma gabala masu.

Risinājums. Mēs veidojam lineāro vienādojumu sistēmu:

Otro un trešo vienādojumu reizinām ar 10, iegūstam līdzvērtīgu lineāro vienādojumu sistēmu:

Mēs izveidojam paplašinātu sistēmas matricu:

Uzmanību, taisni uz priekšu. Saskaitot (mūsu gadījumā atņemot) vienu rindu, kas reizināta ar skaitli (mēs to lietojam divreiz), ar sistēmas paplašināto matricu notiek šādas transformācijas:

Tiešā kustība ir beigusies. Mēs ieguvām paplašinātu trapecveida matricu.

Mēs piemērojam apgriezto kustību. Mēs atrodam risinājumu no beigām. Mēs to redzam.

No otrā vienādojuma mēs atrodam

No trešā vienādojuma -

Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī kalkulatorā, izmantojot Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai ir unikāls risinājums.

Par Gausa metodes vienkāršību liecina fakts, ka vācu matemātiķim Kārlim Frīdriham Gausam tās izgudrošana prasīja tikai 15 minūtes. Papildus viņa vārdā nosauktajai metodei, no Gausa darbiem ir zināms teiciens “Nevajag jaukt to, kas mums šķiet neticams un nedabisks ar absolūti neiespējamo”. īsas instrukcijas izdarīt atklājumus.

Daudzās pielietotajās problēmās var nebūt trešā ierobežojuma, tas ir, trešā vienādojuma, tad jums ir jāatrisina divu vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem, izmantojot Gausa metodi, vai, gluži pretēji, nezināmo ir mazāk nekā vienādojumu. Tagad mēs sāksim risināt šādas vienādojumu sistēmas.

Izmantojot Gausa metodi, varat noteikt, vai kāda sistēma ir saderīga vai nesaderīga n lineāri vienādojumi ar n mainīgie.

Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas ar bezgalīgu risinājumu skaitu

Nākamais piemērs ir konsekventa, bet nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, ar bezgalīgu skaitu risinājumu.

Pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā (rindu pārkārtošana, rindu reizināšana un dalīšana ar noteiktu skaitli, vienai rindai pievienojot vēl vienu), varētu parādīties formas rindas

Ja visos vienādojumos ir forma

Brīvie termini ir vienādi ar nulli, tas nozīmē, ka sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai ir bezgalīgs skaits atrisinājumu, un šāda veida vienādojumi ir “lieki”, un mēs tos izslēdzam no sistēmas.

6. piemērs.

Risinājums. Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu. Pēc tam, izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet otrajai, trešajai un ceturtajai rindai pirmo, reizinot ar:

Tagad pievienosim otro rindiņu trešajai un ceturtajai.

Rezultātā mēs nonākam pie sistēmas

Pēdējie divi vienādojumi pārvērtās par formas vienādojumiem. Šie vienādojumi ir izpildīti jebkurai nezināmā vērtībai, un tos var atmest.

Lai izpildītu otro vienādojumu, mēs varam izvēlēties patvaļīgas vērtības un , tad vērtība tiks noteikta unikāli: . No pirmā vienādojuma vērtība arī tiek atrasta unikāli: .

Gan dotā, gan pēdējā sistēma ir konsekventa, bet neskaidra, un formulas

par patvaļīgu un sniedz mums visus dotās sistēmas risinājumus.

Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas bez atrisinājumiem

Nākamais piemērs ir nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, tāda, kurai nav atrisinājumu. Atbilde uz šādām problēmām tiek formulēta šādi: sistēmai nav risinājumu.

Kā jau minēts saistībā ar pirmo piemēru, pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā varētu parādīties formas rindas

kas atbilst formas vienādojumam

Ja starp tiem ir vismaz viens vienādojums ar nulles brīvo terminu (t.i. ), tad šī vienādojumu sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu un tās atrisinājums ir pilnīgs.

7. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

Risinājums. Mēs sastādām paplašinātu sistēmas matricu. Izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar otro rindiņu, pirmo rindu, kas reizināta ar trešo rindiņu, un pirmo rindu, kas reizināta ar ceturto rindiņu.

Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai iegūtu koeficientu veselo skaitļu attiecības, mēs samainām sistēmas paplašinātās matricas otro un trešo rindu.

Lai izslēgtu trešo un ceturto vienādojumu, pievienojiet trešajai rindai otro, kas reizināts ar , un ceturtajai rindai otro, kas reizināts ar .

Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet trešo rindiņu ceturtajai rindai, reizinot ar .

Tādējādi dotā sistēma ir līdzvērtīga šādai sistēmai:

Iegūtā sistēma ir nekonsekventa, jo tās pēdējo vienādojumu nevar izpildīt neviena nezināmā vērtība. Tāpēc šai sistēmai nav risinājumu.

Nodarbības saturs

Lineārie vienādojumi divos mainīgajos

Skolēnam ir 200 rubļu, lai paēstu pusdienas skolā. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūkas un kafijas tases var nopirkt par 200 rubļiem?

Apzīmēsim kūku skaitu ar x, un kafijas tasīšu skaitu y. Tad kūku izmaksas tiks apzīmētas ar izteiksmi 25 x, un kafijas tasīšu izmaksas 10 punktos y .

25x- cena x kūkas
10y — cena y kafijas tases

Kopējai summai jābūt 200 rubļiem. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar diviem mainīgajiem x Un y

25x+ 10y= 200

Cik sakņu ir šim vienādojumam?

Tas viss ir atkarīgs no studenta apetītes. Ja viņš pērk 6 kūkas un 5 tases kafijas, tad vienādojuma saknes būs skaitļi 6 un 5.

Tiek uzskatīts, ka vērtību pāris 6 un 5 ir vienādojuma 25 saknes x+ 10y= 200. Rakstīts kā (6; 5), kur pirmais skaitlis ir mainīgā vērtība x, bet otrais - mainīgā vērtība y .

6 un 5 nav vienīgās saknes, kas apvērš 25. vienādojumu x+ 10y= 200 līdz identitātei. Ja vēlas, par tiem pašiem 200 rubļiem students var iegādāties 4 kūkas un 10 kafijas tases:

Šajā gadījumā 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 ir vērtību pāris (4; 10).

Turklāt skolēns var nemaz nepirkt kafiju, bet pirkt kūkas par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 būs vērtības 8 un 0

Vai otrādi, nepērciet kūkas, bet pērciet kafiju par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200, vērtības būs 0 un 20

Mēģināsim uzskaitīt visas iespējamās 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200. Vienosimies, ka vērtības x Un y pieder veselu skaitļu kopai. Un ļaujiet šīm vērtībām būt lielākas vai vienādas ar nulli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tas būs ērti pašam studentam. Ērtāk ir pirkt veselas kūkas nekā, piemēram, vairākas veselas kūkas un pusi kūkas. Arī kafiju ir ērtāk ņemt veselās krūzēs, nekā, piemēram, vairākas veselas krūzes un pustasi.

Ņemiet vērā, ka nepāra x vienlīdzību nav iespējams panākt nekādos apstākļos y. Pēc tam vērtības xšādi skaitļi būs 0, 2, 4, 6, 8. Un zinot x var viegli noteikt y

Tādējādi mēs saņēmām šādus vērtību pārus (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šie pāri ir 25. vienādojuma risinājumi vai saknes x+ 10y= 200. Viņi pārvērš šo vienādojumu par identitāti.

Formas vienādojums cirvis + ar = c sauca lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem. Šī vienādojuma atrisinājums vai saknes ir vērtību pāris ( x; y), kas to pārvērš identitātē.

Ņemiet vērā arī to, ka formā ir ierakstīts lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem ax + b y = c , tad viņi saka, ka tas ir rakstīts kanonisks(parastā) forma.

Dažus lineāros vienādojumus divos mainīgajos var reducēt līdz kanoniskajai formai.

Piemēram, vienādojums 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) var vest pie prāta cirvis + ar = c. Atvērsim iekavas abās šī vienādojuma pusēs un iegūsim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Mēs grupējam terminus, kas satur nezināmus vienādojuma kreisajā pusē, un terminus, kas satur nezināmus, labajā pusē. Tad mēs saņemam 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās pusēs, iegūstam vienādojumu 16 x+ 8y= 32. Šis vienādojums tiek reducēts līdz formai cirvis + ar = c un ir kanonisks.

Iepriekš apspriestais 25. vienādojums x+ 10y= 200 ir arī lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem kanoniskā formā. Šajā vienādojumā parametri a , b Un c ir vienādi ar vērtībām attiecīgi 25, 10 un 200.

Patiesībā vienādojums cirvis + ar = c ir neskaitāmi risinājumi. Vienādojuma atrisināšana 25x+ 10y= 200, mēs meklējām tās saknes tikai veselu skaitļu kopā. Rezultātā mēs ieguvām vairākus vērtību pārus, kas pārvērta šo vienādojumu par identitāti. Bet uz daudziem racionālie skaitļi vienādojums 25 x+ 10y= 200 būs bezgalīgi daudz risinājumu.

Lai iegūtu jaunus vērtību pārus, jums ir jāņem patvaļīga vērtība x, tad izteikt y. Piemēram, pieņemsim mainīgo x vērtība 7. Tad iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 25 × 7 + 10y= 200 kurā var izteikties y

Ļaujiet x= 15. Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × 15 + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −17,5

Ļaujiet x= –3 . Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × (–3) + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −27,5

Divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem

Vienādojumam cirvis + ar = c jūs varat ņemt patvaļīgas vērtības tik reižu, cik vēlaties x un atrodiet vērtības y. Atsevišķi ņemot, šādam vienādojumam būs neskaitāmi risinājumi.

Bet gadās arī, ka mainīgie x Un y savienoti nevis ar vienu, bet ar diviem vienādojumiem. Šajā gadījumā tie veido tā saukto Lineāro vienādojumu sistēma divos mainīgajos. Šādai vienādojumu sistēmai var būt viens vērtību pāris (vai citiem vārdiem sakot: “viens risinājums”).

Var arī gadīties, ka sistēmai vispār nav risinājumu. Lineāru vienādojumu sistēmai retos un izņēmuma gadījumos var būt neskaitāmi risinājumi.

Divi lineāri vienādojumi veido sistēmu, kad vērtības x Un y ievadiet katrā no šiem vienādojumiem.

Atgriezīsimies pie paša pirmā vienādojuma 25 x+ 10y= 200. Viens no šī vienādojuma vērtību pāriem bija pāris (6; 5) . Šis ir gadījums, kad par 200 rubļiem varēja nopirkt 6 kūkas un 5 tases kafijas.

Formulēsim uzdevumu tā, lai pāris (6; 5) kļūtu par vienīgo 25. vienādojuma risinājumu x+ 10y= 200. Lai to izdarītu, izveidosim citu vienādojumu, kas savienotu to pašu x kūkas un y kafijas tases.

Problēmas tekstu formulēsim šādi:

“Students nopirka vairākas kūkas un vairākas kafijas tases par 200 rubļiem. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūku un kafijas tasīšu skolēns iegādājās, ja ir zināms, ka kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits?

Mums jau ir pirmais vienādojums. Šis ir vienādojums 25 x+ 10y= 200. Tagad izveidosim nosacījuma vienādojumu "kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits" .

Kūku skaits ir x, un kafijas tasīšu skaits ir y. Jūs varat uzrakstīt šo frāzi, izmantojot vienādojumu x−y= 1. Šis vienādojums nozīmēs, ka atšķirība starp kūkām un kafiju ir 1.

x = y+ 1 . Šis vienādojums nozīmē, ka kūku skaits ir par vienu vairāk nekā kafijas tasīšu skaits. Tāpēc, lai iegūtu vienlīdzību, kafijas tasīšu skaitam tiek pievienots viens. To var viegli saprast, ja mēs izmantojam skalu modeli, ko ņēmām vērā, pētot vienkāršākās problēmas:

Mēs saņēmām divus vienādojumus: 25 x+ 10y= 200 un x = y+ 1. Tā kā vērtības x Un y, proti, 6 un 5 ir iekļauti katrā no šiem vienādojumiem, tad kopā tie veido sistēmu. Pierakstīsim šo sistēmu. Ja vienādojumi veido sistēmu, tad tos ierāmē sistēmas zīme. Sistēmas simbols ir krokains figūriekava:

Izlemsim šī sistēma. Tas ļaus mums redzēt, kā mēs nonākam pie vērtībām 6 un 5. Ir daudzas metodes šādu sistēmu risināšanai. Apskatīsim populārākos no tiem.

Aizvietošanas metode

Šīs metodes nosaukums runā pats par sevi. Tās būtība ir aizstāt vienu vienādojumu ar citu, iepriekš izsakot vienu no mainīgajiem.

Mūsu sistēmā nekas nav jāizsaka. Otrajā vienādojumā x = y+ 1 mainīgais x jau izteikts. Šis mainīgais ir vienāds ar izteiksmi y+ 1 . Tad jūs varat aizstāt šo izteiksmi ar pirmo vienādojumu, nevis mainīgo x

Pēc izteiksmes aizstāšanas y Tā vietā pirmajā vienādojumā + 1 x, mēs iegūstam vienādojumu 25(y+ 1) + 10y= 200 . Šis ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo. Šo vienādojumu ir diezgan viegli atrisināt:

Mēs atradām mainīgā vērtību y. Tagad aizstāsim šo vērtību vienā no vienādojumiem un atradīsim vērtību x. Šim nolūkam ir ērti izmantot otro vienādojumu x = y+ 1 . Aizstāsim tajā vērtību y

Tas nozīmē, ka pāris (6; 5) ir vienādojumu sistēmas risinājums, kā mēs iecerējām. Mēs pārbaudām un pārliecināmies, ka pāris (6; 5) apmierina sistēmu:

2. piemērs

Aizstāsim pirmo vienādojumu x= 2 + y otrajā vienādojumā 3 x− 2y= 9. Pirmajā vienādojumā mainīgais x vienāds ar izteiksmi 2 + y. Aizstāsim šo izteiksmi ar otro vienādojumu x

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, aizstāsim vērtību y pirmajā vienādojumā x= 2 + y

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir pāra vērtība (5; 3)

3. piemērs. Atrisiniet ar aizstāšanu šādu sistēmu vienādojumi:

Šeit, atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem, viens no mainīgajiem nav skaidri izteikts.

Lai aizstātu vienu vienādojumu ar citu, vispirms ir nepieciešams .

Ieteicams izteikt mainīgo, kura koeficients ir viens. Mainīgajam ir koeficients viens x, kas ir ietverts pirmajā vienādojumā x+ 2y= 11. Izteiksim šo mainīgo.

Pēc mainīgās izteiksmes x, mūsu sistēmai būs šāda forma:

Tagad aizstāsim pirmo vienādojumu ar otro un atradīsim vērtību y

Aizstāsim y x

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (3; 4)

Protams, var izteikt arī mainīgo y. Tas nemainīs saknes. Bet, ja jūs izteikt y, Rezultāts nav ļoti vienkāršs vienādojums, kura atrisināšana prasīs vairāk laika. Tas izskatīsies šādi:

Mēs redzam, ka šajā piemērā mēs izsakām x daudz ērtāk nekā izteikt y .

4. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

y

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x. Varat izmantot sākotnējo vienādojumu 7 x+ 9y= 8, vai izmantojiet vienādojumu, kurā ir izteikts mainīgais x. Mēs izmantosim šo vienādojumu, jo tas ir ērti:

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (5; −3)

Papildināšanas metode

Saskaitīšanas metode sastāv no sistēmā iekļauto vienādojumu saskaitīšanas pēc termina. Šis papildinājums rada jaunu vienādojumu ar vienu mainīgo. Un šāda vienādojuma atrisināšana ir pavisam vienkārša.

Atrisināsim šādu vienādojumu sistēmu:

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. Un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi. Mēs iegūstam šādu vienādību:

Apskatīsim līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 3 x= 27, kuras sakne ir 9. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x otrajā vienādojumā x−y= 3. Mēs iegūstam 9 − y= 3. No šejienes y= 6 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (9; 6)

2. piemērs

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. Un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi. Iegūtajā vienādībā mēs piedāvājam līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 5 x= 20, kuras sakne ir 4. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x pirmajā vienādojumā 2 x+y= 11. Saņemsim 8+ y= 11. No šejienes y= 3 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (4;3)

Pievienošanas process nav detalizēti aprakstīts. Tas jādara garīgi. Saskaitot, abi vienādojumi jāsamazina līdz kanoniskajai formai. Tas ir, starp citu ac + by = c .

No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, ka vienādojumu pievienošanas galvenais mērķis ir atbrīvoties no viena no mainīgajiem. Bet ne vienmēr vienādojumu sistēmu var uzreiz atrisināt, izmantojot saskaitīšanas metodi. Visbiežāk sistēma vispirms tiek nogādāta formā, kurā var pievienot šajā sistēmā iekļautos vienādojumus.

Piemēram, sistēma var atrisināt uzreiz, pievienojot. Saskaitot abus vienādojumus, termini y Un −y pazudīs, jo to summa ir nulle. Rezultātā veidojas vienkāršākais vienādojums 11 x= 22, kuras sakne ir 2. Tad varēs noteikt y vienāds ar 5.

Un vienādojumu sistēma Pievienošanas metodi nevar atrisināt uzreiz, jo tas neizraisīs viena no mainīgajiem pazušanu. Saskaitīšanas rezultātā tiks iegūts 8. vienādojums x+ y= 28, kam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam. Šis noteikums attiecas arī uz lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem. Vienu no vienādojumiem (vai abus vienādojumus) var reizināt ar jebkuru skaitli. Rezultāts būs līdzvērtīga sistēma, kuras saknes sakritīs ar iepriekšējo.

Atgriezīsimies pie pašas pirmās sistēmas, kurā bija aprakstīts, cik kūku un kafijas tasīšu nopircis skolēns. Šīs sistēmas risinājums bija vērtību pāris (6; 5).

Reizināsim abus šajā sistēmā iekļautos vienādojumus ar dažiem skaitļiem. Pieņemsim, ka mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3

Rezultātā mēs saņēmām sistēmu
Šīs sistēmas risinājums joprojām ir vērtību pāris (6; 5)

Tas nozīmē, ka sistēmā iekļautos vienādojumus var reducēt līdz saskaitīšanas metodes piemērošanai piemērotai formai.

Atgriezīsimies pie sistēmas , ko nevarējām atrisināt, izmantojot pievienošanas metodi.

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6, bet otro ar -2

Tad mēs iegūstam šādu sistēmu:

Saskaitīsim šajā sistēmā iekļautos vienādojumus. Komponentu pievienošana 12 x un −12 x rezultāts būs 0, pievienojums 18 y un 4 y dos 22 y, un saskaitot 108 un −20, iegūstam 88. Tad iegūstam vienādojumu 22 y= 88, no šejienes y = 4 .

Ja sākumā ir grūti pievienot vienādojumus galvā, tad varat pierakstīt, kā tas tiek summēts kreisā puse pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma kreiso pusi un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi:

Zinot, ka mainīgā lieluma vērtība y vienāds ar 4, jūs varat atrast vērtību x. Aizstāsim y vienā no vienādojumiem, piemēram, pirmajā vienādojumā 2 x+ 3y= 18. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 2 x+ 12 = 18. Pārvietosim 12 uz labo pusi, mainot zīmi, iegūstam 2 x= 6, no šejienes x = 3 .

4. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Sareizināsim otro vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Saskaitīsim abus vienādojumus. Komponentu pievienošana x Un −x rezultāts būs 0, pievienojums 5 y un 3 y dos 8 y, un, saskaitot 7 un 1, iegūst 8. Rezultāts ir 8. vienādojums y= 8, kuras sakne ir 1. Zinot, ka vērtība y vienāds ar 1, jūs varat atrast vērtību x .

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam x+ 5 = 7, tātad x= 2

5. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Vēlams, lai termini, kas satur vienus un tos pašus mainīgos, atrastos viens zem otra. Tāpēc otrajā vienādojumā termini 5 y un −2 x Apmainīsimies vietām. Rezultātā sistēmai būs šāda forma:

Sareizināsim otro vienādojumu ar 3. Tad sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā iegūstam 8. vienādojumu y= 16, kura sakne ir 2.

Aizstāsim y Pirmajā vienādojumā mēs iegūstam 6 x− 14 = 40. Pārvietosim terminu −14 uz labo pusi, mainot zīmi, un iegūstam 6 x= 54 . No šejienes x= 9.

6. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Atbrīvosimies no frakcijām. Reiziniet pirmo vienādojumu ar 36, bet otro ar 12

Iegūtajā sistēmā pirmo vienādojumu var reizināt ar -5, bet otro - ar 8

Saskaitīsim vienādojumus iegūtajā sistēmā. Tad iegūstam vienkāršāko vienādojumu −13 y= –156 . No šejienes y= 12. Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x

7. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Pārveidosim abus vienādojumus normālā formā. Šeit ir ērti piemērot proporcijas likumu abos vienādojumos. Ja pirmajā vienādojumā labā puse ir attēlota kā , bet otrā vienādojuma labā puse kā , tad sistēmai būs šāda forma:

Mums ir proporcija. Sareizināsim tā galējo un vidējo terminu. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar –3 un atveram iekavas otrajā:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Šo vienādojumu pievienošanas rezultātā mēs iegūstam vienādību ar nulli abās pusēs:

Izrādās, ka sistēmai ir neskaitāmi risinājumi.

Bet mēs nevaram vienkārši paņemt no debesīm patvaļīgas vērtības x Un y. Mēs varam norādīt vienu no vērtībām, bet otra tiks noteikta atkarībā no mūsu norādītās vērtības. Piemēram, ļaujiet x= 2. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Viena no vienādojumiem atrisināšanas rezultātā vērtība for y, kas apmierinās abus vienādojumus:

Iegūtais vērtību pāris (2; −2) apmierinās sistēmu:

Atradīsim citu vērtību pāri. Ļaujiet x= 4. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Pēc acs var pateikt, ka vērtība y vienāds ar nulli. Tad mēs iegūstam vērtību pāri (4; 0), kas apmierina mūsu sistēmu:

8. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6, bet otro ar 12

Pārrakstīsim to, kas palicis pāri:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā veidojas 6. vienādojums b= 48, kura sakne ir 8. Aizstāt b pirmajā vienādojumā un atrodiet a

Lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem

Lineārais vienādojums ar trim mainīgajiem ietver trīs mainīgos lielumus ar koeficientiem, kā arī pārtveršanas terminu. Kanoniskā formā to var uzrakstīt šādi:

ax + by + cz = d

Šim vienādojumam ir neskaitāmi risinājumi. Dodot diviem mainīgajiem dažādas vērtības, var atrast trešo vērtību. Risinājums šajā gadījumā ir trīskāršs vērtību ( x; y; z), kas pārvērš vienādojumu par identitāti.

Ja mainīgie x, y, z ir savstarpēji savienoti ar trim vienādojumiem, tad veidojas trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem. Lai atrisinātu šādu sistēmu, varat izmantot tās pašas metodes, kas attiecas uz lineāriem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem: aizstāšanas metodi un saskaitīšanas metodi.

1. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim trešajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad veiksim aizstāšanu. Mainīgs x ir vienāds ar izteiksmi 3 − 2y − 2z . Aizstāsim šo izteiksmi pirmajā un otrajā vienādojumā:

Atvērsim iekavas abos vienādojumos un parādīsim līdzīgus terminus:

Mēs esam nonākuši pie lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Šajā gadījumā ir ērti izmantot pievienošanas metodi. Rezultātā mainīgais y pazudīs, un mēs varam atrast mainīgā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību y. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu − y+ z= 4. Aizstājiet tajā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu x= 3 − 2y − 2z . Aizstāsim tajā vērtības y Un z

Tādējādi vērtību trīskāršs (3; -2; 2) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

2. piemērs. Atrisiniet sistēmu, izmantojot pievienošanas metodi

Saskaitīsim pirmo vienādojumu ar otro, reizinot ar –2.

Ja otro vienādojumu reizina ar –2, tas iegūst formu −6x+ 6y − 4z = −4 . Tagad pievienosim to pirmajam vienādojumam:

Redzam, ka elementāru transformāciju rezultātā tika noteikta mainīgā vērtība x. Tas ir vienāds ar vienu.

Atgriezīsimies pie galvenās sistēmas. Saskaitīsim otro vienādojumu ar trešo, kas reizināts ar −1. Ja trešo vienādojumu reizina ar –1, tas iegūst formu −4x + 5y − 2z = −1 . Tagad pievienosim to otrajam vienādojumam:

Mēs saņēmām vienādojumu x− 2y= –1. Aizstāsim tajā vērtību x ko atradām iepriekš. Tad mēs varam noteikt vērtību y

Tagad mēs zinām nozīmes x Un y. Tas ļauj noteikt vērtību z. Izmantosim vienu no sistēmā iekļautajiem vienādojumiem:

Tādējādi vērtību trīskāršs (1; 1; 1) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

Lineāro vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevumi

Vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevums tiek atrisināts, ievadot vairākus mainīgos. Tālāk tiek apkopoti vienādojumi, pamatojoties uz uzdevuma nosacījumiem. No sastādītajiem vienādojumiem tie veido sistēmu un atrisina to. Pēc sistēmas atrisināšanas ir jāpārbauda, ​​vai tās risinājums atbilst problēmas nosacījumiem.

1. problēma. No pilsētas uz kolhozu izbrauca automašīna Volga. Viņa atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija par 5 km īsāks nekā pirmais. Kopumā automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ. Cik kilometru ir katra ceļa garums?

Risinājums

Ļaujiet x- pirmā ceļa garums, y- otrā garums. Ja automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+ y= 35. Šis vienādojums apraksta abu ceļu garumu summu.

Stāsta, ka mašīna atgriezusies pa ceļu, kas bijis par 5 km īsāks nekā pirmais. Tad otro vienādojumu var uzrakstīt kā x− y= 5. Šis vienādojums parāda, ka starpība starp ceļa garumiem ir 5 km.

Vai arī otro vienādojumu var uzrakstīt kā x= y+5. Mēs izmantosim šo vienādojumu.

Tā kā mainīgie x Un y abos vienādojumos apzīmē vienu un to pašu skaitli, tad no tiem varam izveidot sistēmu:

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot dažas no iepriekš pētītajām metodēm. Šajā gadījumā ir ērti izmantot aizstāšanas metodi, jo otrajā vienādojumā mainīgais x jau izteikts.

Aizstājiet otro vienādojumu ar pirmo un atrodiet y

Aizstāsim atrasto vērtību y otrajā vienādojumā x= y+ 5 un mēs atradīsim x

Pirmā ceļa garums tika norādīts ar mainīgo x. Tagad mēs esam atraduši tā nozīmi. Mainīgs x ir vienāds ar 20. Tas nozīmē, ka pirmā ceļa garums ir 20 km.

Un otrā ceļa garumu norādīja ar y. Šī mainīgā vērtība ir 15. Tas nozīmē, ka otrā ceļa garums ir 15 km.

Pārbaudīsim. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Tagad pārbaudīsim, vai risinājums (20; 15) atbilst problēmas nosacījumiem.

Tika teikts, ka automašīna turp un atpakaļ nobrauca 35 km. Saskaitām abu ceļu garumus un pārliecināmies, ka risinājums (20; 15) apmierina šis nosacījums: 20 km + 15 km = 35 km

Šāds nosacījums: automašīna atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija 5 km īsāks nekā pirmais . Mēs redzam, ka risinājums (20; 15) arī atbilst šim nosacījumam, jo ​​15 km ir īsāks par 20 km reiz 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Veidojot sistēmu, ir svarīgi, lai mainīgie attēlotu vienādus skaitļus visos vienādojumos, kas iekļauti šajā sistēmā.

Tātad mūsu sistēmā ir divi vienādojumi. Šie vienādojumi savukārt satur mainīgos x Un y, kas attēlo vienus un tos pašus skaitļus abos vienādojumos, proti, ceļa garumu 20 km un 15 km.

2. problēma. Uz platformas tika uzkrauti ozola un priedes gulšņi, kopā 300 gulšņi. Zināms, ka visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi. Nosakiet, cik ozolkoka un priedes gulšņu bija atsevišķi, ja katrs ozols svēra 46 kg, bet katrs priedes gulšnis 28 kg.

Risinājums

Ļaujiet x ozols un y uz platformas tika uzkrauti priežu gulšņi. Ja kopā bija 300 gulšņu, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+y = 300 .

Visi ozolkoka gulšņi svēra 46 x kg, un priedes svēra 28 y Kilograms. Tā kā ozola gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā priedes gulšņi, otro vienādojumu var uzrakstīt kā 28y − 46x= 1000 . Šis vienādojums parāda, ka ozola un priedes gulšņu masas atšķirība ir 1000 kg.

Tonnas tika pārrēķinātas kilogramos, jo ozola un priedes gulšņu masa tika mērīta kilogramos.

Rezultātā mēs iegūstam divus vienādojumus, kas veido sistēmu

Atrisināsim šo sistēmu. Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Aizstājiet pirmo vienādojumu ar otro un atrodiet y

Aizstāsim y vienādojumā x= 300 − y un uzzini, kas tas ir x

Tas nozīmē, ka uz platformas tika uzkrauti 100 ozolkoka un 200 priedes gulšņi.

Pārbaudīsim, vai risinājums (100; 200) atbilst uzdevuma nosacījumiem. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Runāja, ka kopā esot 300 gulšņu. Saskaitām ozola un priedes gulšņu skaitu un pārliecināmies, ka risinājums (100; 200) atbilst šim nosacījumam: 100 + 200 = 300.

Šāds nosacījums: visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi . Redzam, ka risinājums (100; 200) arī atbilst šim nosacījumam, jo ​​46 × 100 kg ozolkoka gulšņi ir vieglāki par 28 × 200 kg priedes gulšņiem: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

3. problēma. Mēs paņēmām trīs vara-niķeļa sakausējuma gabalus proporcijās 2: 1, 3: 1 un 5: 1 pēc svara. No tiem tika sakausēts gabals, kas sver 12 kg, ar vara un niķeļa satura attiecību 4: 1. Atrodiet katra sākotnējā gabala masu, ja pirmā masa ir divreiz lielāka par otrā.