- — [] kvadrātiskā funkcija Funkcija formā y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafiks K.f. - parabola, kuras virsotnei ir koordinātes [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], ar a>0 parabolas atzariem ... ...
KVADRATISKĀ FUNKCIJA, matemātiska FUNKCIJA, kuras vērtība ir atkarīga no neatkarīgā mainīgā x kvadrāta un tiek attiecīgi norādīta ar kvadrātveida POLINOMĀLU, piemēram: f(x) = 4x2 + 17 vai f(x) = x2 + 3x + 2. skatīt arī Kvadrātvienādojumu… Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca
Kvadrātiskā funkcija- Kvadrātfunkcija - funkcija formā y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafiks K.f. - parabola, kuras virsotnei ir koordinātas [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], ja a> 0 parabolas zari ir vērsti uz augšu, a< 0 –вниз… …
- (kvadrātiskā) Funkcija, kurai ir šāda forma: y=ax2+bx+c, kur a≠0 un x augstākā pakāpe ir kvadrāts. Kvadrātvienādojums y=ax2 +bx+c=0 var atrisināt arī, izmantojot šādu formulu: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Šīs saknes ir īstas... Ekonomikas vārdnīca
Afīna kvadrātiskā funkcija afīnā telpā S ir jebkura funkcija Q: S→K, kurai ir forma Q(x)=q(x)+l(x)+c vektorizētā formā, kur q ir kvadrātfunkcija, l ir lineāra funkcija, c ir konstante. Saturs 1 Atskaites punkta maiņa 2 ... ... Wikipedia
Afīna kvadrātiskā funkcija afīnā telpā ir jebkura funkcija, kuras forma ir vektorizētā formā, kur ir simetriska matrica, lineāra funkcija, konstante. Saturs... Wikipedia
Funkcija vektora telpā, ko nosaka homogēns otrās pakāpes polinoms vektora koordinātēs. Saturs 1 Definīcija 2 Saistītās definīcijas... Wikipedia
- ir funkcija, kas teorētiski statistikas risinājumi raksturo zaudējumus nepareizu lēmumu pieņemšanas rezultātā, pamatojoties uz novērotajiem datiem. Ja tiek atrisināta signāla parametra novērtēšanas problēma uz trokšņa fona, tad zudumu funkcija ir neatbilstības mērs... ... Wikipedia
mērķa funkcija- - [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovs. Angļu-krievu elektrotehnikas un enerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999. mērķa funkcija Ekstrēmās problēmās – funkcija, kuras minimums vai maksimums ir jāatrod. Šis…… Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
Objektīvā funkcija- ekstrēmās problēmās funkcija, kuras minimums vai maksimums ir jāatrod. Šis galvenais jēdziens optimāla programmēšana. Atrodot ekstrēmu C.f. un tāpēc, nosakot kontrolēto mainīgo vērtības, kas uz to attiecas... ... Ekonomiskā-matemātikas vārdnīca
Grāmatas
- Galdu komplekts. Matemātika. Funkciju grafiki (10 tabulas), . Izglītojošs albums ar 10 lapām. Lineāra funkcija. Funkciju grafiskā un analītiskā piešķiršana. Kvadrātiskā funkcija. Grafika transformācija kvadrātiskā funkcija. Funkcija y=sinx. Funkcija y=cosx.…
- Skolas matemātikas svarīgākā funkcija ir kvadrātiskā - problēmās un risinājumos Petrovs N.N.. Kvadrātfunkcija ir skolas matemātikas kursa galvenā funkcija. Nav brīnums. No vienas puses, šīs funkcijas vienkāršība un, no otras puses, dziļā nozīme. Daudzi skolas uzdevumi...
Matemātikas stundās skolā jau esi iepazinies ar funkcijas vienkāršākajām īpašībām un grafiku y = x 2. Papildināsim savas zināšanas kvadrātiskā funkcija.
1. vingrinājums.
Grafiksējiet funkciju y = x 2. Mērogs: 1 = 2 cm Atzīmējiet punktu uz Oy ass F(0; 1/4). Izmantojot kompasu vai papīra sloksni, izmēra attālumu no punkta F uz kādu brīdi M parabolas. Pēc tam piespraudiet sloksni punktā M un pagrieziet to ap šo punktu, līdz tā ir vertikāla. Sloksnes gals nokritīs nedaudz zem x ass (1. att.). Atzīmējiet uz sloksnes, cik tālu tā sniedzas aiz x ass. Tagad paņemiet vēl vienu punktu uz parabolas un atkārtojiet mērījumu vēlreiz. Cik tālu joslas mala ir nokritusi zem x ass?
Rezultāts: neatkarīgi no parabolas y = x 2 punkta, attālums no šī punkta līdz punktam F(0; 1/4) būs lielāks attālums no viena un tā paša punkta uz x asi vienmēr ar vienu un to pašu skaitli - par 1/4.
Varam teikt savādāk: attālums no jebkura parabolas punkta līdz punktam (0; 1/4) ir vienāds ar attālumu no tā paša parabolas punkta līdz taisnei y = -1/4. Šo brīnišķīgo punktu F(0; 1/4) sauc fokuss parabolas y = x 2 un taisne y = -1/4 – direktorešī parabola. Katrai parabolai ir virziens un fokuss.
Interesantas parabolas īpašības:
1. Jebkurš parabolas punkts atrodas vienādā attālumā no kāda punkta, ko sauc par parabolas fokusu, un no kādas taisnas līnijas, ko sauc par tās virzienu.
2. Ja jūs pagriežat parabolu ap simetrijas asi (piemēram, parabolu y = x 2 ap Oy asi), jūs iegūsit ļoti interesantu virsmu, ko sauc par apgriezienu paraboloīdu.
Šķidruma virsmai rotējošā traukā ir rotācijas paraboloīda forma. Šo virsmu var redzēt, ja enerģiski maisāt ar karoti nepilnā tējas glāzē un pēc tam izņemat karoti.
3. Ja tu iemet akmeni tukšumā noteiktā leņķī pret horizontu, tas lidos parabolā (2. att.).
4. Ja jūs krustojat konusa virsmu ar plakni, kas ir paralēla kādai no tās ģenerācijām, tad šķērsgriezuma rezultātā tiks izveidota parabola. (3. att.).
5. Atrakciju parkos dažreiz notiek jautrs brauciens, ko sauc par Brīnumu paraboloīdu. Katram, kas stāv rotējošā paraboloīda iekšpusē, šķiet, ka viņš stāv uz grīdas, bet pārējie cilvēki kaut kā brīnumainā kārtā turas pie sienām.
6. Atstarojošajos teleskopos tiek izmantoti arī paraboliskie spoguļi: tālas zvaigznes gaisma, kas nāk paralēlā starā, krītot uz teleskopa spoguļa, tiek savākta fokusā.
7. Prožektoriem parasti ir spogulis paraboloīda formā. Ja novietojat gaismas avotu paraboloīda fokusā, tad no paraboliskā spoguļa atstarotie stari veido paralēlu staru kūli.
Kvadrātfunkcijas grafiks
Matemātikas stundās jūs mācījāties, kā iegūt formas funkciju grafikus no funkcijas y = x 2 grafika:
1) y = cirvis 2– grafika y = x 2 izstiepšana pa Oy asi |a| reizes (ar |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rīsi. 4).
2) y = x 2 + n– grafika nobīde par n vienībām pa Oy asi, un, ja n > 0, tad nobīde ir uz augšu, un ja n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– grafika nobīde par m vienībām pa Ox asi: ja m< 0, то вправо, а если m >0, tad pa kreisi, (5. att.).
4) y = -x 2– simetrisks attēlojums attiecībā pret grafika Ox asi y = x 2 .
Sīkāk apskatīsim funkcijas diagrammu y = a(x – m) 2 + n.
Formas y = ax 2 + bx + c kvadrātfunkciju vienmēr var reducēt līdz formai
y = a(x – m) 2 + n, kur m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Pierādīsim to.
Tiešām,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 / (4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Ieviesīsim jaunus apzīmējumus.
Ļaujiet m = -b/(2a), A n = -(b 2–4ac)/(4a),
tad iegūstam y = a(x – m) 2 + n vai y – n = a(x – m) 2.
Veiksim vēl dažas aizstāšanas: pieņemsim, ka y – n = Y, x – m = X (*).
Tad iegūstam funkciju Y = aX 2, kuras grafiks ir parabola.
Parabolas virsotne atrodas izcelsmē. X = 0; Y = 0.
Virsotnes koordinātas aizstājot ar (*), iegūstam grafa virsotnes koordinātas y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Tādējādi, lai attēlotu kvadrātisko funkciju, kas attēlota kā
y = a(x – m) 2 + n
izmantojot transformācijas, varat rīkoties šādi:
a) uzzīmējiet funkciju y = x 2 ;
b) paralēli pārvēršot pa Ox asi par m vienībām un pa Oy asi par n vienībām - pārnes parabolas virsotni no sākuma uz punktu ar koordinātām (m; n) (6. att.).
Pārveidojumu ierakstīšana:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Piemērs.
Izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x – 3) 2 grafiku Dekarta koordinātu sistēmā – 2.
Risinājums.
Pārveidojumu ķēde:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .
Sižets ir parādīts rīsi. 7.
Varat patstāvīgi vingrināties kvadrātfunkciju grafiku veidošanā. Piemēram, vienā koordinātu sistēmā, izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiku Ja jums ir kādi jautājumi vai vēlaties saņemt padomu no skolotāja, tad jums ir iespēja vadīt bezmaksas 25 minūšu nodarbība ar tiešsaistes pasniedzēju pēc . Tālākam darbam ar skolotāju varat izvēlēties sev piemērotāko
Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot kvadrātiskās funkcijas grafiku?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Kā liecina prakse, uzdevumi par kvadrātfunkcijas īpašībām un grafikiem rada nopietnas grūtības. Tas ir diezgan dīvaini, jo viņi 8. klasē mācās kvadrātfunkciju un pēc tam visu 9. klases pirmo ceturksni “moka” parabolas īpašības un veido tās grafikus dažādiem parametriem.
Tas ir saistīts ar to, ka, liekot skolēniem konstruēt parabolas, viņi praktiski nevelta laiku grafiku “lasīšanai”, proti, nepraktizē no attēla saņemtās informācijas uztveršanu. Acīmredzot tiek pieņemts, ka pēc duci vai divu grafiku konstruēšanas gudrs students pats atklās un formulēs attiecības starp koeficientiem formulā un izskats grafikas māksla. Praksē tas nedarbojas. Šādam vispārinājumam ir nepieciešama nopietna pieredze matemātiskajos mini pētījumos, kuras lielākajai daļai devītklasnieku, protams, nav. Tikmēr Valsts inspekcija piedāvā koeficientu zīmes noteikt, izmantojot grafiku.
Mēs nepieprasīsim no skolēniem neiespējamo un vienkārši piedāvāsim vienu no algoritmiem šādu problēmu risināšanai.
Tātad, formas funkcija y = ax 2 + bx + c sauc par kvadrātisko, tā grafiks ir parabola. Kā norāda nosaukums, galvenais termins ir cirvis 2. Tas ir A nedrīkst būt vienāds ar nulli, atlikušie koeficienti ( b Un Ar) var būt vienāds ar nulli.
Apskatīsim, kā tā koeficientu zīmes ietekmē parabolas izskatu.
Vienkāršākā koeficienta atkarība A. Lielākā daļa skolēnu pārliecinoši atbild: “ja A> 0, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
IN šajā gadījumā A = 0,5
Un tagad par A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Šajā gadījumā A = - 0,5
Koeficienta ietekme Ar Tam ir arī diezgan viegli sekot. Iedomāsimies, ka mēs vēlamies atrast funkcijas vērtību punktā X= 0. Formulā aizstājiet nulli:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Izrādās, ka y = c. Tas ir Ar ir parabolas un y-ass krustošanās punkta ordināta. Parasti šo punktu diagrammā ir viegli atrast. Un nosakiet, vai tas atrodas virs nulles vai zemāk. Tas ir Ar> 0 vai Ar < 0.
Ar > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Ar < 0
y = x 2 + 4x - 3
Attiecīgi, ja Ar= 0, tad parabola noteikti šķērsos sākumu:
y = x 2 + 4x
Grūtāk ar parametru b. Punkts, kurā mēs to atradīsim, ir atkarīgs ne tikai no b bet arī no A. Šī ir parabolas augšdaļa. Tās abscisa (ass koordināte X) tiek atrasts pēc formulas x in = - b/(2a). Tādējādi b = - 2ax collas. Tas ir, mēs rīkojamies šādi: mēs atrodam grafikā parabolas virsotni, nosakām tās abscisas zīmi, tas ir, mēs skatāmies pa labi no nulles ( x iekšā> 0) vai pa kreisi ( x iekšā < 0) она лежит.
Tomēr tas vēl nav viss. Mums jāpievērš uzmanība arī koeficienta zīmei A. Tas ir, paskatieties, kur ir vērsti parabolas zari. Un tikai pēc tam, pēc formulas b = - 2ax collas noteikt zīmi b.
Apskatīsim piemēru:
Zari ir vērsti uz augšu, kas nozīmē A> 0, parabola krustojas ar asi plkst zem nulles, tas ir Ar < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x iekšā> 0. Tātad b = - 2ax collas = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Ar < 0.
Formas kur funkcija tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.
Kvadrātfunkcijas grafiks - parabola.
Apskatīsim gadījumus:
I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA
Tas ir , ,
Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:
Atzīmē punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (šajā gadījumā 1. solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemsim, jo vienmērīgāka būs līkne), mēs iegūstam parabolu:
Ir viegli saprast, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, mēs iegūstam parabolu, kas ir simetriska pret asi (oh). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:
II GADĪJUMS, “a” ATŠĶIRAS NO VIENĪBAS
Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Pirmajā attēlā (skatīt augstāk) ir skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi mēs domājam arī 2. un 3. attēla gadījumā.
Un kad parabola “kļūst platāka” par parabolu:
Apkoposim:
1)Koeficienta zīme nosaka zaru virzienu. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos” un “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola; jo mazāka |a|, jo platāka parabola.
III GADĪJUMS, PARĀDĀS “C”.
Tagad ievadīsim spēli (tas ir, apsvērsim gadījumu, kad), mēs apsvērsim formas parabolas. Nav grūti uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola virzīsies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:
IV LIETAS, PARĀDĀS “b”.
Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstās būt vienāds?
Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .
Tātad šajā brīdī (kā punktā (0;0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, ko jau varam izdarīt. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.
Piemēram, parabolas virsotne:
Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas parauga, jo mūsu gadījumā.
Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordināšu atrašanas ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:
1) parabola noteikti izies cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas ar asi (oy) krustošanās punkta ordināta ir . Mūsu piemērā (iepriekš), parabola šķērso ordinātu punktā , jo .
2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs nekavējoties ņemam punktu (0; -2) un izveidojam to simetriski attiecībā pret parabolas simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.
3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (oh). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mūsu diskriminanta sakne nav vesels skaitlis; konstruējot, mums nav lielas jēgas atrast saknes, taču mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar asi (oh) (kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Tātad, pieņemsim to ārā
Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā
1) noteikt zaru virzienu (a>0 – uz augšu, a<0 – вниз)
2) mēs atrodam parabolas virsotnes koordinātas, izmantojot formulu , .
3) atrodam parabolas krustpunktu ar asi (oy), izmantojot brīvo terminu, konstruējam punktu, kas ir simetrisks šim punktam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka gadās, ka atzīmēt ir neizdevīgi šis punkts, piemēram, jo vērtība ir liela... mēs izlaižam šo punktu...)
4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) konstruējam parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu
1. piemērs
2. piemērs
1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to konstruēt būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?
Ņemsim kvadrātveida trinomāls un atlasiet tajā pilnu kvadrātu: Skatiet, mēs sapratām, ka , . Mēs ar jums iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.
Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (attiecībā pret ). Tas ir, mēs veicam 1. punktu; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).
2. piezīme. Ja parabolu uzrāda līdzīgā formā (tas ir, uzrāda kā divu lineāru faktoru reizinājumu), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Šajā gadījumā – (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.
