Nodarbība no sērijas “Ģeometriskie algoritmi”

Sveiks dārgais lasītāj!

Šodien mēs sāksim apgūt ar ģeometriju saistītos algoritmus. Fakts ir tāds, ka datorzinātnēs ir diezgan daudz olimpiādes uzdevumu, kas saistīti ar skaitļošanas ģeometriju, un šādu uzdevumu risināšana bieži rada grūtības.

Vairāku nodarbību laikā mēs apskatīsim vairākus elementārus apakšuzdevumus, uz kuriem balstās lielākās daļas skaitļošanas ģeometrijas problēmu risinājums.

Šajā nodarbībā mēs izveidosim programmu priekš līnijas vienādojuma atrašana, ejot cauri dots divi punkti. Lai atrisinātu ģeometriskās problēmas, mums ir nepieciešamas zināšanas par skaitļošanas ģeometriju. Daļu no nodarbības veltīsim viņu iepazīšanai.

Ieskats no skaitļošanas ģeometrijas

Skaitļošanas ģeometrija ir datorzinātņu nozare, kas pēta ģeometrisko problēmu risināšanas algoritmus.

Sākotnējie dati šādām problēmām var būt plaknes punktu kopa, segmentu kopa, daudzstūris (norādīts, piemēram, ar tā virsotņu sarakstu pulksteņrādītāja virzienā) utt.

Rezultāts var būt vai nu atbilde uz kādu jautājumu (piemēram, vai punkts pieder segmentam, vai divi segmenti krustojas, ...), vai kāds ģeometrisks objekts (piemēram, mazākais izliektais daudzstūris, kas savieno dotos punktus, laukums daudzstūris utt.).

Mēs apskatīsim skaitļošanas ģeometrijas problēmas tikai plaknē un tikai Dekarta koordinātu sistēmā.

Vektori un koordinātas

Lai pielietotu skaitļošanas ģeometrijas metodes, nepieciešams pārtulkot ģeometriskos attēlus skaitļu valodā. Pieņemsim, ka plaknei ir dota Dekarta koordinātu sistēma, kurā griešanās virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam sauc par pozitīvu.

Tagad ģeometriski objekti saņem analītisko izteiksmi. Tātad, lai norādītu punktu, pietiek norādīt tā koordinātas: skaitļu pāri (x; y). Nozaru var norādīt, norādot tā galu koordinātas, taisni var norādīt, norādot tā punktu pāra koordinātas.

Bet mūsu galvenais problēmu risināšanas instruments būs vektori. Tāpēc ļaujiet man atgādināt kādu informāciju par tiem.

Līnijas segments AB, kam ir jēga A tiek uzskatīts par sākumu (pielietošanas punktu) un punktu IN– beigas, ko sauc par vektoru AB un tiek apzīmēts, piemēram, vai nu ar treknu mazo burtu A .

Lai apzīmētu vektora garumu (tas ir, atbilstošā segmenta garumu), mēs izmantosim moduļa simbolu (piemēram, ).

Patvaļīgam vektoram būs koordinātas, kas vienādas ar starpību starp atbilstošajām tā beigu un sākuma koordinātām:

,

šeit ir punkti A Un B ir koordinātas attiecīgi.

Aprēķiniem izmantosim jēdzienu orientēts leņķis, tas ir, leņķis, kas ņem vērā vektoru relatīvo stāvokli.

Orientēts leņķis starp vektoriem a Un b pozitīvs, ja rotācija ir no vektora a uz vektoru b tiek veikta pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam) un negatīvā otrā gadījumā. Skatīt 1.a, 1.b attēlu. Ir arī teikts, ka vektoru pāris a Un b pozitīvi (negatīvi) orientēti.

Tādējādi orientētā leņķa vērtība ir atkarīga no vektoru saraksta secības un var iegūt vērtības intervālā.

Daudzās skaitļošanas ģeometrijas problēmās tiek izmantots vektoru vektoru (šķībās vai pseidoskalārās) produktu jēdziens.

Vektoru a un b vektorreizinājums ir šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa sinusa reizinājums:

.

Vektoru krustreizinājums koordinātēs:

Labajā pusē esošā izteiksme ir otrās kārtas determinants:

Atšķirībā no analītiskajā ģeometrijā sniegtās definīcijas, tas ir skalārs.

Vektora reizinājuma zīme nosaka vektoru stāvokli viens pret otru:

a Un b pozitīvi orientēts.

Ja vērtība ir , tad vektoru pāris a Un b negatīvi orientēts.

Nenulles vektoru šķērsreizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri ( ). Tas nozīmē, ka tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām.

Apskatīsim dažas vienkāršas problēmas, kas nepieciešamas, risinot sarežģītākas.

No divu punktu koordinātām noteiksim taisnes vienādojumu.

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dažādiem punktiem, ko nosaka to koordinātas.

Uz taisnes tiks norādīti divi nesakrītoši punkti: ar koordinātām (x1; y1) un ar koordinātām (x2; y2). Attiecīgi vektoram ar sākumu punktā un beigas punktā ir koordinātas (x2-x1, y2-y1). Ja P(x, y) ir patvaļīgs punkts uz mūsu taisnes, tad vektora koordinātas ir vienādas ar (x-x1, y – y1).

Izmantojot vektora reizinājumu, vektoru kolinearitātes nosacījumu un var uzrakstīt šādi:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1) (x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Mēs pārrakstām pēdējo vienādojumu šādi:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Tātad taisni var norādīt ar formas (1) vienādojumu.

1. uzdevums. Ir dotas divu punktu koordinātas. Atrodiet tā attēlojumu formā ax + by + c = 0.

Šajā nodarbībā mēs uzzinājām informāciju par skaitļošanas ģeometriju. Mēs atrisinājām uzdevumu atrast taisnes vienādojumu no divu punktu koordinātām.

Nākamajā nodarbībā mēs izveidosim programmu, lai atrastu mūsu vienādojumos norādīto divu taisnu krustpunktu.

Šis raksts turpina tēmu par taisnes vienādojumu plaknē: mēs uzskatīsim šāda veida vienādojumu par taisnes vispārējo vienādojumu. Definēsim teorēmu un sniegsim tās pierādījumu; Noskaidrosim, kas ir nepilnīgs līnijas vispārīgais vienādojums un kā veikt pārejas no vispārējā vienādojuma uz cita veida līnijas vienādojumiem. Mēs pastiprināsim visu teoriju ar ilustrācijām un praktisku problēmu risinājumiem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ļaujiet plaknē norādīt taisnstūra koordinātu sistēmu O x y.

1. teorēma

Jebkurš pirmās pakāpes vienādojums, kura forma ir A x + B y + C = 0, kur A, B, C ir daži reāli skaitļi (A un B vienlaikus nav vienādi ar nulli), definē taisni taisnstūra koordinātu sistēma plaknē. Savukārt jebkura taisnstūra taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē tiek noteikta ar vienādojumu, kura forma ir A x + B y + C = 0 noteiktai vērtību kopai A, B, C.

Pierādījums

Šī teorēma sastāv no diviem punktiem, mēs pierādīsim katru no tiem.

1. Pierādīsim, ka vienādojums A x + B y + C = 0 definē plaknes taisni.

Lai ir kāds punkts M 0 (x 0 , y 0), kura koordinātas atbilst vienādojumam A x + B y + C = 0. Tādējādi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atņemot no vienādojuma A x + B y + C = 0 kreisās un labās puses vienādojuma A x 0 + B y 0 + C = 0 kreiso un labo pusi, iegūstam jaunu vienādojumu, kas izskatās kā A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Tas ir vienāds ar A x + B y + C = 0.

Iegūtais vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ir nepieciešams un pietiekamā stāvoklī vektoru n → = (A, B) un M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) perpendikularitāte. Tādējādi punktu kopa M (x, y) definē taisni taisnstūra koordinātu sistēmā, kas ir perpendikulāra vektora n → = (A, B) virzienam. Var pieņemt, ka tas tā nav, bet tad vektori n → = (A, B) un M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtu perpendikulāri, un vienādība A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtu patiesība.

Līdz ar to vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definē noteiktu līniju taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē, un tāpēc ekvivalentais vienādojums A x + B y + C = 0 nosaka tā pati līnija. Tādā veidā mēs pierādījām teorēmas pirmo daļu.

1. Pierādīsim, ka jebkuru taisnstūra koordinātu sistēmas taisni plaknē var norādīt ar pirmās pakāpes vienādojumu A x + B y + C = 0.

Definēsim taisni a taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē; punkts M 0 (x 0 , y 0), caur kuru šī taisne iet, kā arī šīs taisnes normālvektors n → = (A, B) .

Lai ir arī kāds punkts M (x, y) - peldošais punkts uz taisnes. Šajā gadījumā vektori n → = (A, B) un M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ir perpendikulāri viens otram, un to skalārais reizinājums ir nulle:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Pārrakstīsim vienādojumu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definēsim C: C = - A x 0 - B y 0 un galarezultātā iegūstam vienādojumu A x + B y + C = 0.

Tātad, mēs esam pierādījuši teorēmas otro daļu, un mēs esam pierādījuši visu teorēmu kopumā.

1. definīcija

Formas vienādojums A x + B y + C = 0 -Šo līnijas vispārējais vienādojums plaknē taisnstūra koordinātu sistēmāOxy.

Pamatojoties uz pierādīto teorēmu, varam secināt, ka taisne un tās vispārējais vienādojums, kas definēts uz plaknes fiksētā taisnstūra koordinātu sistēmā, ir nesaraujami saistīti. Citiem vārdiem sakot, sākotnējā līnija atbilst tās vispārīgajam vienādojumam; līnijas vispārējais vienādojums atbilst noteiktai taisnei.

No teorēmas pierādījuma arī izriet, ka koeficienti A un B mainīgajiem lielumiem x un y ir taisnes normālvektora koordinātas, ko dod taisnes A x + B y + C = vispārīgais vienādojums. 0.

Apskatīsim konkrētu taisnas līnijas vispārējā vienādojuma piemēru.

Dots vienādojums 2 x + 3 y - 2 = 0, kas atbilst taisnei dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā. Šīs līnijas normālais vektors ir vektors n → = (2, 3) . Uzzīmēsim zīmējumā doto taisni.

Mēs varam arī norādīt sekojošo: taisne, ko mēs redzam zīmējumā, tiek noteikta ar vispārīgo vienādojumu 2 x + 3 y - 2 = 0, jo visu punktu koordinātas uz dotās taisnes atbilst šim vienādojumam.

Vienādojumu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 varam iegūt, reizinot abas taisnes vispārējā vienādojuma puses ar skaitli λ, kas nav vienāds ar nulli. Iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vispārējam vienādojumam, tāpēc tas aprakstīs to pašu taisni uz plaknes.

2. definīcija

Pilnīgs līnijas vispārīgais vienādojums– tāds vispārējs taisnes A x + B y + C = 0 vienādojums, kurā skaitļi A, B, C atšķiras no nulles. Pretējā gadījumā vienādojums ir nepilnīgs.

Analizēsim visas līnijas nepilnīgā vispārējā vienādojuma variantus.

1. Ja A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, vispārējais vienādojums iegūst formu B y + C = 0. Šāds nepilnīgs vispārīgs vienādojums taisnstūra koordinātu sistēmā O x y definē taisnu līniju, kas ir paralēla O x asij, jo jebkurai x reālajai vērtībai mainīgais y pieņems vērtību - C B . Citiem vārdiem sakot, līnijas A x + B y + C = 0 vispārīgais vienādojums, kad A = 0, B ≠ 0, norāda to punktu lokusu (x, y), kuru koordinātas ir vienādas ar vienu un to pašu skaitli. - C B .
2. Ja A = 0, B ≠ 0, C = 0, vispārējais vienādojums iegūst formu y = 0. Šis nepilnīgs vienādojums definē abscisu asi O x .
3. Ja A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, mēs iegūstam nepilnu vispārīgo vienādojumu A x + C = 0, definējot taisni, kas ir paralēla ordinātai.
4. Pieņemsim, ka A ≠ 0, B = 0, C = 0, tad nepilnīgais vispārīgais vienādojums būs x = 0, un tas ir koordinātu taisnes O y vienādojums.
5. Visbeidzot, ja A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepilnīgais vispārīgais vienādojums ir A x + B y = 0. Un šis vienādojums apraksta taisnu līniju, kas iet caur izcelsmi. Faktiski skaitļu pāris (0, 0) atbilst vienādībai A x + B y = 0, jo A · 0 + B · 0 = 0.

Grafiski ilustrēsim visus iepriekšminētos taisnās līnijas nepilnīgo vispārīgo vienādojumu veidus.

1. piemērs

Ir zināms, ka dotā taisne ir paralēla ordinātu asij un iet caur punktu 2 7, - 11. Nepieciešams pierakstīt dotās līnijas vispārīgo vienādojumu.

Risinājums

Taisni, kas ir paralēla ordinātu asij, dod vienādojums formā A x + C = 0, kurā A ≠ 0. Nosacījums norāda arī punkta koordinātas, caur kuru iet taisne, un šī punkta koordinātas atbilst nepilnā vispārējā vienādojuma A x + C = 0 nosacījumiem, t.i. vienlīdzība ir patiesa:

A 2 7 + C = 0

No tā var noteikt C, ja A dodam kādu vērtību, kas nav nulle, piemēram, A = 7. Šajā gadījumā mēs iegūstam: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Mēs zinām abus koeficientus A un C, aizstājam tos vienādojumā A x + C = 0 un iegūstam vajadzīgo taisnās līnijas vienādojumu: 7 x - 2 = 0

Atbilde: 7 x - 2 = 0

2. piemērs

Zīmējumā ir parādīta taisna līnija; jums jāpieraksta tās vienādojums.

Risinājums

Dotais zīmējums ļauj mums viegli ņemt sākotnējos datus, lai atrisinātu problēmu. Zīmējumā redzam, ka dotā taisne ir paralēla O x asij un iet caur punktu (0, 3).

Taisni, kas ir paralēla abscisai, nosaka nepilnīgs vispārīgais vienādojums B y + C = 0. Atradīsim B un C vērtības. Punkta koordinātas (0, 3), jo dotā taisne iet caur to, apmierinās taisnes vienādojumu B y + C = 0, tad ir spēkā vienādība: B · 3 + C = 0. Iestatīsim B uz kādu vērtību, kas nav nulle. Pieņemsim, ka B = 1, tādā gadījumā no vienādības B · 3 + C = 0 mēs varam atrast C: C = - 3. Mēs izmantojam zināmās vērtības B un C, iegūstam vajadzīgo taisnes vienādojumu: y - 3 = 0.

Atbilde: y-3 = 0.

Vispārējs vienādojums taisnei, kas iet caur noteiktu punktu plaknē

Dotā taisne iet caur punktu M 0 (x 0 , y 0), tad tās koordinātas atbilst taisnes vispārīgajam vienādojumam, t.i. vienādība ir patiesa: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atņemsim šī vienādojuma kreiso un labo pusi no vispārējās kreisās un labās puses pilnīgs vienādojums taisni. Mēs iegūstam: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, šis vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vispārīgajam, iet caur punktu M 0 (x 0, y 0) un tam ir normāls vektors n → = (A, B) .

Iegūtais rezultāts ļauj uzrakstīt taisnās līnijas vispārējo vienādojumu ar zināmas koordinātas taisnes normālvektors un noteikta punkta koordinātas uz šīs taisnes.

3. piemērs

Dots punkts M 0 (- 3, 4), caur kuru iet taisne, un šīs taisnes normālais vektors n → = (1 , - 2) . Nepieciešams pierakstīt dotās līnijas vienādojumu.

Risinājums

Sākotnējie nosacījumi ļauj iegūt nepieciešamos datus vienādojuma sastādīšanai: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Pēc tam:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problēmu varēja atrisināt savādāk. Vispārīgais taisnes vienādojums ir A x + B y + C = 0. Dotais normālvektors ļauj iegūt koeficientu A un B vērtības, tad:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Tagad atradīsim C vērtību, izmantojot punktu M 0 (- 3, 4), ko nosaka uzdevuma nosacījums, caur kuru iet taisne. Šī punkta koordinātas atbilst vienādojumam x - 2 · y + C = 0, t.i. - 3 - 2 4 + C = 0. Tādējādi C = 11. Nepieciešamais taisnās līnijas vienādojums ir šāds: x - 2 · y + 11 = 0.

Atbilde: x - 2 y + 11 = 0 .

4. piemērs

Dota taisne 2 3 x - y - 1 2 = 0 un punkts M 0, kas atrodas uz šīs taisnes. Ir zināma tikai šī punkta abscisa, un tā ir vienāda ar - 3. Ir nepieciešams noteikt dotā punkta ordinātas.

Risinājums

Apzīmēsim punkta M 0 koordinātas kā x 0 un y 0 . Avota dati norāda, ka x 0 = - 3. Tā kā punkts pieder noteiktai taisnei, tad tā koordinātas atbilst šīs taisnes vispārīgajam vienādojumam. Tad vienlīdzība būs patiesa:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definējiet y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atbilde: - 5 2

Pāreja no vispārējā līnijas vienādojuma uz cita veida līnijas vienādojumiem un otrādi

Kā zināms, vienai un tai pašai taisnei plaknē ir vairāki vienādojumu veidi. Vienādojuma veida izvēle ir atkarīga no problēmas apstākļiem; iespējams izvēlēties tā risināšanai ērtāko. Šeit ļoti noder prasme pārvērst viena veida vienādojumu cita veida vienādojumu.

Vispirms apskatīsim pāreju no vispārējā vienādojuma formā A x + B y + C = 0 uz kanonisko vienādojumu x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ja A ≠ 0, tad terminu B y pārnesam uz labā puse vispārējais vienādojums. Kreisajā pusē mēs izņemam A no iekavām. Rezultātā iegūstam: A x + C A = - B y.

Šo vienādību var uzrakstīt kā proporciju: x + C A - B = y A.

Ja B ≠ 0, vispārējā vienādojuma kreisajā pusē atstājam tikai terminu A x, pārējos pārnesam uz labo pusi, iegūstam: A x = - B y - C. Izņemam – B no iekavām, tad: A x = - B y + C B .

Pārrakstīsim vienādību proporcijas formā: x - B = y + C B A.

Protams, iegūtās formulas nav jāiegaumē. Pārejot no vispārējā vienādojuma uz kanonisko, pietiek zināt darbību algoritmu.

5. piemērs

Ir dots taisnes 3 y - 4 = 0 vispārīgais vienādojums. Ir nepieciešams to pārveidot par kanonisko vienādojumu.

Risinājums

Pierakstīsim to sākotnējais vienādojums piemēram, 3 y-4 = 0. Tālāk mēs rīkojamies pēc algoritma: termins 0 x paliek kreisajā pusē; un labajā pusē mēs ievietojam - 3 no iekavām; mēs iegūstam: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Iegūto vienādību ierakstīsim kā proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tādējādi mēs esam ieguvuši kanoniskās formas vienādojumu.

Atbilde: x - 3 = y - 4 3 0.

Lai taisnes vispārīgo vienādojumu pārveidotu par parametriskiem, vispirms tiek veikta pāreja uz kanonisko formu un pēc tam pāreja no taisnes kanoniskā vienādojuma uz parametriskajiem vienādojumiem.

6. piemērs

Taisni nosaka vienādojums 2 x - 5 y - 1 = 0. Pierakstiet šīs līnijas parametriskos vienādojumus.

Risinājums

Veiksim pāreju no vispārējā vienādojuma uz kanonisko:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Tagad mēs ņemam abas iegūtā kanoniskā vienādojuma puses, kas vienādas ar λ, tad:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atbilde:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vispārējo vienādojumu var pārvērst par taisnes vienādojumu ar slīpumu y = k · x + b, bet tikai tad, ja B ≠ 0. Pārejai mēs atstājam terminu B y kreisajā pusē, pārējie tiek pārnesti uz labo pusi. Mēs iegūstam: B y = - A x - C . Sadalīsim abas iegūtās vienādības puses ar B, kas atšķiras no nulles: y = - A B x - C B.

7. piemērs

Tiek dots taisnes vispārīgais vienādojums: 2 x + 7 y = 0. Jums šis vienādojums jāpārvērš slīpuma vienādojumā.

Risinājums

Veiksim nepieciešamās darbības saskaņā ar algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 g - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atbilde: y = - 2 7 x .

No līnijas vispārējā vienādojuma pietiek vienkārši iegūt vienādojumu segmentos, kuru forma ir x a + y b = 1. Lai veiktu šādu pāreju, pārvietojam skaitli C uz vienādības labo pusi, abas iegūtās vienādības puses sadalām ar – C un, visbeidzot, pārnesam mainīgo x un y koeficientus uz saucējiem:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8. piemērs

Taisnes x - 7 y + 1 2 = 0 vispārīgo vienādojumu nepieciešams pārveidot par taisnes vienādojumu segmentos.

Risinājums

Pārvietosim 1 2 uz labo pusi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Sadalīsim abas vienādības puses ar -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atbilde: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Kopumā arī apgrieztā pāreja ir vienkārša: no cita veida vienādojumiem uz vispārējo.

Līnijas vienādojumu segmentos un vienādojumu ar leņķisko koeficientu var viegli pārveidot par vispārīgu, vienkārši savācot visus vienādības kreisajā pusē esošos vārdus:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonisko vienādojumu pārvērš vispārīgā saskaņā ar šādu shēmu:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Lai pārietu no parametriskajiem, vispirms pārejiet uz kanonisko un pēc tam uz vispārējo:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9. piemērs

Ir doti taisnes x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriskie vienādojumi. Ir nepieciešams pierakstīt šīs līnijas vispārīgo vienādojumu.

Risinājums

Veiksim pāreju no parametru vienādojumi uz kanonisko:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pārejam no kanoniskā uz vispārīgo:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atbilde: y — 4 = 0

10. piemērs

Dots taisnes vienādojums posmos x 3 + y 1 2 = 1. Ir nepieciešams veikt pāreju uz vispārējais izskats vienādojumi

Risinājums:

Mēs vienkārši pārrakstām vienādojumu vajadzīgajā formā:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atbilde: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Vispārīga taisnes vienādojuma sastādīšana

Iepriekš mēs teicām, ka vispārējo vienādojumu var uzrakstīt ar zināmām normālā vektora koordinātām un tā punkta koordinātām, caur kuru līnija iet. Šāda taisne tiek definēta ar vienādojumu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tur mēs arī analizējām atbilstošo piemēru.

Tagad apskatīsim sarežģītākus piemērus, kuros vispirms ir jānosaka normālā vektora koordinātas.

11. piemērs

Dota taisne, kas ir paralēla taisnei 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ir zināms arī punkts M 0 (4, 1), caur kuru iet dotā taisne. Nepieciešams pierakstīt dotās līnijas vienādojumu.

Risinājums

Sākotnējie nosacījumi saka, ka taisnes ir paralēlas, tad kā taisnes, kuras vienādojums ir jāuzraksta, normālo vektoru mēs ņemam taisnes n → = (2, - 3) virziena vektoru: 2 x - 3 g + 3 3 = 0. Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu līnijas vispārējo vienādojumu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atbilde: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12. piemērs

Dotā taisne iet caur sākuma punktu perpendikulāri taisnei x - 2 3 = y + 4 5. Ir nepieciešams izveidot vispārīgu vienādojumu noteiktai līnijai.

Risinājums

Dotās līnijas normāls vektors būs taisnes x - 2 3 = y + 4 5 virziena vektors.

Tad n → = (3, 5) . Taisne iet caur izcelsmi, t.i. caur punktu O (0, 0). Izveidosim vispārīgu vienādojumu noteiktai līnijai:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atbilde: 3 x + 5 y = 0 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Taisnes vienādojums plaknē.
Virziena vektors ir taisns. Normāls vektors

Taisna līnija plaknē ir viena no vienkāršākajām ģeometriskās formas, jums pazīstams kopš junioru klases, un šodien mēs uzzināsim, kā ar to tikt galā, izmantojot analītiskās ģeometrijas metodes. Lai apgūtu materiālu, jums jāspēj izveidot taisnu līniju; zināt, kāds vienādojums definē taisni, jo īpaši taisni, kas iet caur koordinātu sākumpunktu un taisnēm, kas ir paralēlas koordinātu asīm. Šī informācija var atrast rokasgrāmatā Elementāro funkciju grafiki un īpašības, es to izveidoju matānam, bet sadaļa par lineārā funkcija Tas izrādījās ļoti veiksmīgs un detalizēts. Tāpēc, dārgie tējkannas, vispirms sasildieties tur. Turklāt jums ir jābūt pamatzināšanām par vektori, pretējā gadījumā materiāla izpratne būs nepilnīga.

Šajā nodarbībā mēs apskatīsim veidus, kā jūs varat izveidot taisnas līnijas vienādojumu plaknē. Iesaku neatstāt novārtā praktiskos piemērus (pat ja tas šķiet ļoti vienkārši), jo sniegšu tos ar elementāriem un svarīgiem faktiem, tehniskajiem paņēmieniem, kas būs nepieciešami turpmāk, arī citās augstākās matemātikas sadaļās.

• Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu?
• kā ?
• Kā atrast virziena vektoru, izmantojot vispārējo taisnes vienādojumu?
• Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

un mēs sākam:

Taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums

Tiek saukta labi zināmā taisnās līnijas vienādojuma “skolas” forma taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums. Piemēram, ja taisne ir dota ar vienādojumu, tad tās slīpums ir: . Apskatīsim šī koeficienta ģeometrisko nozīmi un to, kā tā vērtība ietekmē līnijas atrašanās vietu:

Ģeometrijas kursā tas ir pierādīts taisnes slīpums ir vienāds ar leņķa tangenss starp pozitīvās ass virzienuun šī līnija: , un leņķis “atskrūvē” pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lai nepārblīvētu zīmējumu, zīmēju leņķus tikai divām taisnēm. Apskatīsim “sarkano” līniju un tās slīpumu. Saskaņā ar iepriekš minēto: (“alfa” leņķi norāda ar zaļu loku). “Zilajai” taisnei ar leņķa koeficientu vienādība ir patiesa (“beta” leņķi norāda ar brūnu loku). Un, ja ir zināma leņķa tangensa, tad, ja nepieciešams, to ir viegli atrast un pats stūris izmantojot apgriezto funkciju - arktangents. Kā saka, trigonometriskā tabula vai mikrokalkulators rokās. Tādējādi leņķiskais koeficients raksturo taisnes slīpuma pakāpi pret abscisu asi.

Šajā gadījumā tas ir iespējams sekojošos gadījumos:

1) Ja slīpums ir negatīvs: tad līnija, rupji runājot, iet no augšas uz leju. Piemēri ir "zilās" un "aveņu" taisnās līnijas zīmējumā.

2) Ja slīpums ir pozitīvs: tad līnija iet no apakšas uz augšu. Piemēri - “melnas” un “sarkanas” taisnas līnijas zīmējumā.

3) Ja slīpums ir nulle: , tad vienādojums iegūst formu , un atbilstošā taisne ir paralēla asij. Piemērs ir “dzeltenā” taisnā līnija.

4) Līniju saimei, kas ir paralēla asij (zīmējumā nav neviena piemēra, izņemot pašu asi), leņķa koeficients neeksistē (90 grādu tangensa nav definēta).

Jo lielāks ir slīpuma koeficients absolūtā vērtībā, jo stāvāks ir taisnās līnijas grafiks..

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Tāpēc šeit taisnei ir stāvāks slīpums. Atgādināšu, ka modulis ļauj ignorēt zīmi, mūs tikai interesē absolūtās vērtības leņķiskie koeficienti.

Savukārt taisne ir stāvāka par taisnēm .

Un otrādi: jo mazāks ir slīpuma koeficients absolūtā vērtībā, jo plakanāka ir taisne.

Taisnām līnijām nevienlīdzība ir patiesa, līdz ar to taisne ir plakanāka. Bērnu slidkalniņš, lai nedotu sev zilumus un pumpas.

Kāpēc tas ir vajadzīgs?

Pagariniet mokas Zināšanas par iepriekšminētajiem faktiem ļauj nekavējoties redzēt jūsu kļūdas, jo īpaši kļūdas, veidojot grafikus - ja zīmējums izrādās "acīmredzami kaut kas nepareizs". Ir ieteicams, lai jūs uzreiz bija skaidrs, ka, piemēram, taisne ir ļoti stāva un iet no apakšas uz augšu, un taisne ir ļoti plakana, piespiesta tuvu asij un iet no augšas uz leju.

Ģeometriskajos uzdevumos bieži parādās vairākas taisnas līnijas, tāpēc ir ērti tās kaut kā apzīmēt.

Apzīmējumi: taisnas līnijas ir apzīmētas ar mazām ar latīņu burtiem: . Populāra iespēja ir tos apzīmēt, izmantojot vienu un to pašu burtu ar dabiskajiem apakšindeksiem. Piemēram, piecas līnijas, kuras tikko apskatījām, var apzīmēt ar .

Tā kā jebkuru taisni unikāli nosaka divi punkti, to var apzīmēt ar šādiem punktiem: utt. Apzīmējums skaidri norāda, ka punkti pieder līnijai.

Ir pienācis laiks nedaudz iesildīties:

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu?

Ja ir zināms punkts, kas pieder noteiktai taisnei, un šīs taisnes leņķiskais koeficients, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

1. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, ja ir zināms, ka punkts pieder dotajai taisnei.

Risinājums: Sastādīsim taisnes vienādojumu, izmantojot formulu . IN šajā gadījumā:

Atbilde:

Pārbaude tiek darīts vienkārši. Pirmkārt, mēs aplūkojam iegūto vienādojumu un pārliecināmies, ka mūsu slīpums ir vietā. Otrkārt, punkta koordinātām ir jāatbilst šim vienādojumam. Pievienojiet tos vienādojumam:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Secinājums: vienādojums tika atrasts pareizi.

Sarežģītāks piemērs priekš neatkarīgs lēmums:

2. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, ja ir zināms, ka tās slīpuma leņķis pret ass pozitīvo virzienu ir , un punkts pieder šai taisnei.

Ja rodas grūtības, atkārtoti izlasiet teorētisko materiālu. Precīzāk, praktiskāk, es izlaižu daudz pierādījumu.

Tas zvanīja Pēdējais zvans, izlaiduma balle ir aizvadīta, un aiz mūsu dzimtās skolas vārtiem mūs sagaida pati analītiskā ģeometrija. Joki beigušies... Vai varbūt viņi tikai sāk =)

Nostalģiski vicinām pildspalvu pazīstamajam un iepazīstamies ar vispārējo taisnes vienādojumu. Tā kā analītiskajā ģeometrijā tiek izmantots tieši tas:

Taisnas līnijas vispārīgajam vienādojumam ir forma: , kur daži skaitļi. Tajā pašā laikā koeficienti vienlaikus nav vienādi ar nulli, jo vienādojums zaudē savu nozīmi.

Ģērbsimies uzvalkā un sasienam vienādojumu ar slīpuma koeficientu. Vispirms pārcelsim visus nosacījumus uz kreisā puse:

Termins ar “X” ir jāievieto pirmajā vietā:

Principā vienādojumam jau ir forma , bet saskaņā ar matemātiskās etiķetes noteikumiem pirmā vārda koeficientam (šajā gadījumā) jābūt pozitīvam. Pazīmju maiņa:

Atcerieties šo tehnisko funkciju! Pirmo koeficientu (visbiežāk) veidojam pozitīvu!

Analītiskajā ģeometrijā taisnas līnijas vienādojums gandrīz vienmēr tiks dots vispārējā forma. Nu, ja nepieciešams, to var viegli reducēt līdz “skolas” formai ar leņķa koeficientu (izņemot taisnes, kas ir paralēlas ordinātu asij).

Pajautāsim sev, ko pietiekami protat izveidot taisnu līniju? Divi punkti. Bet vairāk par šo bērnības atgadījumu, tagad paliek ar bultām. Katrai taisnei ir ļoti specifisks slīpums, kam ir viegli “pielāgoties”. vektors.

Vektoru, kas ir paralēls taisnei, sauc par šīs līnijas virziena vektoru. Ir skaidrs, ka jebkurai taisnei ir bezgalīgs skaits virziena vektoru, un tie visi būs kolineāri (līdzvirziena vai ne - tas nav svarīgi).

Virziena vektoru apzīmēšu šādi: .

Bet ar vienu vektoru nepietiek, lai izveidotu taisnu līniju; vektors ir brīvs un nav piesaistīts nevienam plaknes punktam. Tāpēc papildus ir jāzina kāds punkts, kas pieder pie līnijas.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru?

Ja ir zināms noteikts līnijai piederošs punkts un šīs taisnes virziena vektors, tad šīs taisnes vienādojumu var sastādīt, izmantojot formulu:

Dažreiz to sauc taisnes kanoniskais vienādojums .

Ko darīt, kad viena no koordinātām ir vienāds ar nulli, mēs sapratīsim tālāk sniegtajos praktiskos piemēros. Starp citu, lūdzu, ņemiet vērā - abi reizē koordinātas nevar būt vienādas ar nulli, jo nulles vektors nenorāda konkrētu virzienu.

3. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Risinājums: Sastādīsim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot formulu. Šajā gadījumā:

Izmantojot proporcijas īpašības, mēs atbrīvojamies no frakcijām:

Un mēs nodrošinām vienādojumu tā vispārējā formā:

Atbilde:

Parasti šādos piemēros nav jāzīmē zīmējums, bet izpratnes labad:

Zīmējumā redzam sākumpunktu, sākotnējo virziena vektoru (to var uzzīmēt no jebkura plaknes punkta) un konstruēto taisni. Starp citu, daudzos gadījumos visērtāk ir izveidot taisnu līniju, izmantojot vienādojumu ar leņķa koeficientu. Mūsu vienādojumu ir viegli pārveidot formā un viegli izvēlēties citu punktu, lai izveidotu taisnu līniju.

Kā minēts rindkopas sākumā, taisnei ir bezgalīgi daudz virziena vektoru, un tie visi ir kolineāri. Piemēram, es uzzīmēju trīs šādus vektorus: . Neatkarīgi no tā, kādu virziena vektoru mēs izvēlētos, rezultāts vienmēr būs viens un tas pats taisnes vienādojums.

Izveidosim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Proporcijas atrisināšana:

Sadaliet abas puses ar –2 un iegūstiet pazīstamo vienādojumu:

Interesenti var pārbaudīt vektorus tādā pašā veidā vai jebkurš cits kolineārs vektors.

Tagad atrisināsim apgriezto problēmu:

Kā atrast virziena vektoru, izmantojot vispārējo taisnes vienādojumu?

Ļoti vienkārši:

Ja taisnstūra koordinātu sistēmā taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu, tad vektors ir šīs taisnes virziena vektors.

Piemēri taisnu līniju virziena vektoru atrašanai:

Šis paziņojums ļauj mums atrast tikai vienu virziena vektoru no bezgalīga skaitļa, bet mums nevajag vairāk. Lai gan dažos gadījumos ir ieteicams samazināt virziena vektoru koordinātas:

Tādējādi vienādojumā ir norādīta taisne, kas ir paralēla asij un iegūtā virziena vektora koordinātas tiek ērti dalītas ar –2, par virziena vektoru iegūstot tieši bāzes vektoru. Loģiski.

Līdzīgi vienādojumā ir norādīta taisne, kas ir paralēla asij, un, dalot vektora koordinātas ar 5, mēs iegūstam vienības vektoru kā virziena vektoru.

Tagad darīsim to 3. piemēra pārbaude. Piemērs gāja uz augšu, tāpēc atgādinu, ka tajā mēs sastādījām taisnes vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Pirmkārt, izmantojot taisnes vienādojumu, mēs rekonstruējam tās virziena vektoru: – viss kārtībā, esam saņēmuši sākotnējo vektoru (dažos gadījumos rezultāts var būt kolineārs vektors sākotnējam, un to parasti ir viegli pamanīt pēc atbilstošo koordinātu proporcionalitātes).

Otrkārt, punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam. Mēs tos aizstājam vienādojumā:

Tika iegūta pareizā vienlīdzība, par ko esam ļoti priecīgi.

Secinājums: Uzdevums tika izpildīts pareizi.

4. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Risinājums un atbilde ir stundas beigās. Ir ļoti ieteicams pārbaudīt, izmantojot tikko apspriesto algoritmu. Centieties vienmēr (ja iespējams) pārbaudīt melnrakstu. Ir stulbi kļūdīties, ja no tām var 100% izvairīties.

Gadījumā, ja viena no virziena vektora koordinātām ir nulle, rīkojieties ļoti vienkārši:

5. piemērs

Risinājums: formula nav piemērota, jo saucējs labajā pusē ir nulle. Ir izeja! Izmantojot proporcijas īpašības, formulu pārrakstām formā, bet pārējo velmējam pa dziļu riestu:

Atbilde:

Pārbaude:

1) Atjaunojiet līnijas virzošo vektoru:
– iegūtais vektors ir kolineārs sākotnējam virziena vektoram.

2) Aizvietojiet punkta koordinātas vienādojumā:

Tiek iegūta pareizā vienlīdzība

Secinājums: uzdevums izpildīts pareizi

Rodas jautājums, kāpēc uztraukties ar formulu, ja ir universāla versija, kas darbosies jebkurā gadījumā? Ir divi iemesli. Pirmkārt, formula ir daļskaitļa formā daudz labāk atcerējās. Un, otrkārt, trūkums universāla formula vai tas ir ievērojami palielinās risks apjukt aizvietojot koordinātas.

6. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.

Atgriezīsimies pie diviem visuresošajiem punktiem:

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot divus punktus?

Ja ir zināmi divi punkti, tad taisnes vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem, var sastādīt, izmantojot formulu:

Faktiski tas ir formulas veids, un lūk, kāpēc: ja ir zināmi divi punkti, tad vektors būs dotās līnijas virziena vektors. Nodarbībā Manekenu vektori mēs apsvērām vienkāršākais uzdevums– kā atrast vektora koordinātas no diviem punktiem. Saskaņā ar šo uzdevumu virziena vektora koordinātas ir:

Piezīme : punktus var “samainīt” un izmantot formulu . Šāds risinājums būs līdzvērtīgs.

7. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot divus punktus .

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Apvienojot saucējus:

Un sajauciet klāju:

Tagad ir pienācis laiks atbrīvoties daļskaitļi. Šajā gadījumā abas puses jāreizina ar 6:

Atveriet iekavas un atcerieties vienādojumu:

Atbilde:

Pārbaude acīmredzamas - koordinātas sākuma punkti jāizpilda iegūtais vienādojums:

1) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

2) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

Secinājums: līnijas vienādojums ir uzrakstīts pareizi.

Ja vismaz viens punktu neapmierina vienādojums, meklējiet kļūdu.

Ir vērts atzīmēt, ka grafiskā pārbaude šajā gadījumā ir sarežģīta, jo izveidojiet taisnu līniju un pārbaudiet, vai punkti tai pieder , nav tik vienkārši.

Es atzīmēšu vēl dažus risinājuma tehniskos aspektus. Varbūt šajā problēmā ir izdevīgāk izmantot spoguļa formulu un tajos pašos punktos izveido vienādojumu:

Mazāk frakciju. Ja vēlaties, varat veikt risinājumu līdz galam, rezultātam jābūt tādam pašam vienādojumam.

Otrs punkts ir aplūkot galīgo atbildi un noskaidrot, vai to var vēl vairāk vienkāršot? Piemēram, ja iegūstat vienādojumu , tad ieteicams to samazināt par diviem: – vienādojums definēs to pašu taisni. Tomēr tas jau ir sarunu temats līniju relatīvais novietojums.

Saņēmusi atbildi 7. piemērā katram gadījumam pārbaudīju, vai VISI vienādojuma koeficienti dalās ar 2, 3 vai 7. Lai gan visbiežāk šādi samazinājumi tiek veikti risinājuma laikā.

8. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem .

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, kas ļaus labāk izprast un praktizēt aprēķinu metodes.

Līdzīgi kā iepriekšējā rindkopā: ja formulā viens no saucējiem (virziena vektora koordināte) kļūst par nulli, tad mēs to pārrakstām formā . Atkal ievērojiet, cik viņa izskatās neveikla un apmulsusi. Neredzu lielu jēgu ienest praktiski piemēri, jo mēs jau faktiski esam atrisinājuši šādu problēmu (sk. Nr. 5, 6).

Tiešais normāls vektors (normāls vektors)

Kas ir normāli? Vienkāršiem vārdiem sakot, normāls ir perpendikulārs. Tas ir, taisnes normālais vektors ir perpendikulārs noteiktai taisnei. Acīmredzot jebkurai taisnei ir bezgalīgs skaits to (kā arī virziena vektoru), un visi taisnes parastie vektori būs kolineāri (kopvirziena vai nē, tam nav nekādas atšķirības).

Darbs ar tiem būs pat vienkāršāks nekā ar virzošajiem vektoriem:

Ja taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu taisnstūra koordinātu sistēmā, tad vektors ir šīs taisnes normāls vektors.

Ja virziena vektora koordinātas ir rūpīgi “jāizvelk” no vienādojuma, tad normālā vektora koordinātas var vienkārši “noņemt”.

Normālais vektors vienmēr ir ortogonāls līnijas virziena vektoram. Pārbaudīsim šo vektoru ortogonalitāti, izmantojot punktu produkts:

Es sniegšu piemērus ar tādiem pašiem vienādojumiem kā virziena vektoram:

Vai ir iespējams izveidot taisnes vienādojumu ar vienu punktu un normālu vektoru? Es to jūtu savās zarnās, tas ir iespējams. Ja ir zināms parastais vektors, tad pašas taisnes virziens ir skaidri noteikts - tā ir “stingra struktūra” ar 90 grādu leņķi.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

Ja ir zināms noteikts līnijai piederošs punkts un šīs taisnes normālvektors, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

Šeit viss izdevās bez frakcijām un citiem pārsteigumiem. Tas ir mūsu parastais vektors. Mīlu viņu. Un cieņa =)

9. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet līnijas virziena vektoru.

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Ir iegūts vispārējais taisnes vienādojums, pārbaudīsim:

1) “Noņemiet” no vienādojuma normālā vektora koordinātas: – jā, patiešām sākotnējais vektors tika iegūts no nosacījuma (vai arī jāiegūst kolineārs vektors).

2) Pārbaudīsim, vai punkts apmierina vienādojumu:

Patiesa vienlīdzība.

Kad esam pārliecināti, ka vienādojums ir sastādīts pareizi, mēs izpildīsim otro, vieglāko uzdevuma daļu. Mēs izņemam taisnās līnijas virzošo vektoru:

Atbilde:

Zīmējumā situācija izskatās šādi:

Apmācības nolūkos līdzīgs uzdevums patstāvīgai risināšanai:

10. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet līnijas virziena vektoru.

Nodarbības pēdējā daļa būs veltīta mazāk izplatītiem, bet arī svarīgiem taisnes vienādojumu veidiem plaknē

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.
Taisnes vienādojums parametriskā formā

Taisnas līnijas vienādojumam segmentos ir forma , kur ir konstantes, kas nav nulles. Dažus vienādojumu veidus nevar attēlot šādā formā, piemēram, tiešo proporcionalitāti (jo brīvais loceklis ir vienāds ar nulli un nav iespējas dabūt vienu labajā pusē).

Šis ir, tēlaini izsakoties, “tehniska” vienādojuma veids. Izplatīts uzdevums ir attēlot vispārīgo līnijas vienādojumu kā līnijas vienādojumu segmentos. Kā tas ir ērti? Līnijas vienādojums segmentos ļauj ātri atrast taisnes krustošanās punktus ar koordinātu asīm, kas var būt ļoti svarīgi dažās augstākās matemātikas problēmās.

Atradīsim taisnes krustpunktu ar asi. Mēs atiestatām “y” uz nulli, un vienādojums iegūst formu . Vēlamais punkts tiek iegūts automātiski: .

Tas pats ar asi – punkts, kurā taisne krustojas ar ordinātu asi.

Definīcija. Jebkuru plaknes taisni var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu

Ax + Wu + C = 0,

Turklāt konstantes A un B vienlaikus nav vienādas ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc taisnas līnijas vispārējais vienādojums. Atkarībā no vērtībām konstante A, B un C ir iespējami šādi īpaši gadījumi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – taisne iet caur sākuma punktu

A = 0, B ≠0, C ≠0 (ar + C = 0) — taisna līnija, kas ir paralēla Ox asij

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – taisna līnija, kas ir paralēla Oy asij

B = C = 0, A ≠0 – taisne sakrīt ar Oy asi

A = C = 0, B ≠0 – taisne sakrīt ar Ox asi

Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādās formās atkarībā no jebkuriem sākotnējiem nosacījumiem.

Taisnas līnijas vienādojums no punkta un normālvektora

Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B) ir perpendikulārs taisnei, kas dota ar vienādojumu Ax + By + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2), kas ir perpendikulāra (3, -1).

Risinājums. Ar A = 3 un B = -1 sastādām taisnes vienādojumu: 3x – y + C = 0. Lai atrastu koeficientu C, iegūtajā izteiksmē aizvietojam dotā punkta A koordinātas. 3 – 2 + C = 0, tāpēc C = -1 . Kopā: nepieciešamais vienādojums: 3x – y – 1 = 0.

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem

Ja telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnes, kas iet caur šiem punktiem, vienādojums ir:

Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošajam skaitītājam jābūt vienādam ar nulli. Plaknē iepriekš rakstītās līnijas vienādojums ir vienkāršots:

ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2.

Tiek izsaukta daļa = k slīpums taisni.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).

Risinājums. Izmantojot iepriekš uzrakstīto formulu, mēs iegūstam:

Taisnas līnijas vienādojums no punkta un slīpuma

Ja kopējais Ax + Bu + C = 0, atveriet formu:

un iecelt , tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums taisnas līnijas ar slīpumu vienādojumsk.

Taisnas līnijas vienādojums no punkta un virziena vektora

Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, jūs varat ievadīt taisnas līnijas definīciju caur punktu un taisnes virzošo vektoru.

Definīcija. Katru nulles vektoru (α 1, α 2), kura sastāvdaļas apmierina nosacījumu A α 1 + B α 2 = 0, sauc par taisnes virzošo vektoru.

Ax + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet taisnes vienādojumu ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).

Risinājums. Mēs meklēsim vajadzīgās līnijas vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju koeficientiem jāatbilst nosacījumiem:

1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.

Tad taisnes vienādojumam ir forma: Ax + Ay + C = 0 vai x + y + C / A = 0. ja x = 1, y = 2 iegūstam C/ A = -3, t.i. nepieciešamais vienādojums:

Līnijas vienādojums segmentos

Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ах + Ву + С = 0 С≠0, tad, dalot ar –С, iegūstam: vai

Ģeometriskā nozīme koeficienti ir tas, ka koeficients A ir taisnes krustpunkta koordināte ar Ox asi, un b– taisnes krustošanās punkta koordināta ar Oy asi.

Piemērs. Dots taisnes x – y + 1 = 0 vispārējais vienādojums.Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normāls taisnes vienādojums

Ja abas vienādojuma puses Ax + By + C = 0 reizina ar skaitli ko sauc normalizējošais faktors, tad mēs saņemam

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

taisnes normāls vienādojums. Normalizējošā faktora zīme ± jāizvēlas tā, lai μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Piemērs. Dots taisnes vispārīgais vienādojums 12x – 5y – 65 = 0. Jums jāraksta Dažādi veidišīs līnijas vienādojumi.

šīs līnijas vienādojums segmentos:

šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dala ar 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes, kas ir paralēlas asīm vai iet caur koordinātu sākumpunktu.

Piemērs. Taisne nogriež vienādus pozitīvos segmentus uz koordinātu asīm. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, ja trīsstūra laukums, ko veido šie segmenti, ir 8 cm 2.

Risinājums. Taisnes vienādojumam ir šāda forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Piemērs. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(-2, -3) un sākuma punktu.

Risinājums. Taisnās līnijas vienādojums ir: , kur x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Leņķis starp taisnām līnijām plaknē

Definīcija. Ja divām līnijām ir dota y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad akūto leņķi starp šīm līnijām definēs kā

.

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2.

Teorēma. Taisnes Ax + Bу + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = λC, tad taisnes sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri noteiktai taisnei

Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y = kx + b, attēlo ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja dots punkts M(x 0, y 0), tad attālumu līdz taisnei Ax + Bу + C = 0 nosaka kā

.

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast, atrisinot vienādojumu sistēmu:

Sistēmas otrais vienādojums ir taisnes, kas iet cauri, vienādojums šis punkts M 0 ir perpendikulāra noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x – 5y + 7 = 0 un 10x + 6y – 3 = 0 ir perpendikulāras.

Risinājums. Mēs atrodam: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas ir trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Risinājums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Nepieciešamajam augstuma vienādojumam ir šāda forma: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: no kur b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3 x + 2 g – 34 = 0.

Kanoniskie līnijas vienādojumi telpā ir vienādojumi, kas definē līniju, kas iet caur noteiktu punktu kolineāri virziena vektoram.

Ir dots punkts un virziena vektors. Patvaļīgs punkts atrodas uz taisnes l tikai tad, ja vektori un ir kolineāri, t.i., tiem ir izpildīts nosacījums:

.

Iepriekš minētie vienādojumi ir kanoniskie vienādojumi taisni.

Skaitļi m , n Un lpp ir virziena vektora projekcijas uz koordinātu asīm. Tā kā vektors nav nulle, tad visi skaitļi m , n Un lpp nevar vienlaikus būt vienāds ar nulli. Bet viens vai divi no tiem var izrādīties nulle. Piemēram, analītiskajā ģeometrijā ir atļauts šāds ieraksts:

,

kas nozīmē, ka vektora projekcijas uz asi Oy Un Oz ir vienādi ar nulli. Tāpēc gan vektors, gan taisne, ko nosaka kanoniskie vienādojumi, ir perpendikulāri asīm Oy Un Oz, t.i., lidmašīnas yOz .

1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumus līnijai telpā, kas ir perpendikulāra plaknei un iet caur šīs plaknes krustošanās punktu ar asi Oz .

Risinājums. Atradīsim šīs plaknes krustošanās punktu ar asi Oz. Tā kā jebkurš punkts atrodas uz ass Oz, ir koordinātas , Tad, pieņemot, ka dotajā plaknes vienādojumā x = y = 0, mēs iegūstam 4 z- 8 = 0 vai z= 2. Tāpēc šīs plaknes krustošanās punkts ar asi Oz ir koordinātas (0; 0; 2) . Tā kā vēlamā līnija ir perpendikulāra plaknei, tā ir paralēla tās parastajam vektoram. Tāpēc taisnes virzošais vektors var būt parastais vektors dotā lidmašīna.

Tagad pierakstīsim vajadzīgos taisnes vienādojumus, kas iet caur punktu A= (0; 0; 2) vektora virzienā:

Taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem

Taisni var noteikt ar diviem punktiem, kas atrodas uz tās Un Šajā gadījumā taisnes virzošais vektors var būt vektors . Tad līnijas kanoniskie vienādojumi iegūst formu

.

Iepriekš minētie vienādojumi nosaka līniju, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

2. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu līnijai telpā, kas iet caur punktiem un .

Risinājums. Pierakstīsim nepieciešamos taisnes vienādojumus iepriekš teorētiskajā atsaucē norādītajā formā:

.

Tā kā , Tad vēlamā taisne ir perpendikulāra asij Oy .

Taisna kā plakņu krustošanās līnija

Taisni telpā var definēt kā divu neparalēlu plakņu krustošanās līniju un, t.i., kā punktu kopu, kas apmierina divu lineāru vienādojumu sistēmu

Sistēmas vienādojumus sauc arī vispārīgie vienādojumi taisni kosmosā.

3. piemērs. Sastādiet telpas līnijas kanoniskos vienādojumus, kas doti ar vispārīgiem vienādojumiem

Risinājums. Lai uzrakstītu taisnes kanoniskos vienādojumus vai, kas ir tas pats, taisnes vienādojumus, kas iet cauri diviem dotiem punktiem, jāatrod jebkuru divu taisnes punktu koordinātas. Tie var būt, piemēram, taisnas līnijas krustošanās punkti ar jebkurām divām koordinātu plaknēm yOz Un xOz .

Taisnes un plaknes krustpunkts yOz ir abscisa x= 0. Tāpēc, pieņemot, ka šajā vienādojumu sistēmā x= 0, mēs iegūstam sistēmu ar diviem mainīgajiem:

Viņas lēmums y = 2 , z= 6 kopā ar x= 0 definē punktu A(0; 2; 6) vēlamā rinda. Tad pieņemot dotajā vienādojumu sistēmā y= 0, mēs iegūstam sistēmu

Viņas lēmums x = -2 , z= 0 kopā ar y= 0 definē punktu B(-2; 0; 0) taisnes krustpunkts ar plakni xOz .

Tagad pierakstīsim līnijas vienādojumus, kas iet caur punktiem A(0; 2; 6) un B (-2; 0; 0) :

,

vai pēc saucēju dalīšanas ar -2:

,