Etiķete: vietējais maksimums. Ekstrēma, lielākā un mazākā funkciju vērtības

Funkcijas izmaiņas noteiktā punktā tiek definētas kā funkcijas pieauguma robeža līdz argumenta pieaugumam, kam ir tendence uz nulli. Lai to atrastu, izmantojiet atvasinājumu tabulu. Piemēram, funkcijas y = x3 atvasinājums būs vienāds ar y’ = x2.

Pielīdziniet šo atvasinājumu nullei (in šajā gadījumā x2=0).

Atrodiet dotā mainīgā vērtību. Tās būs vērtības, pie kurām dotais atvasinājums būs vienāds ar 0. Lai to izdarītu, izteiksmē x vietā aizstājiet patvaļīgus skaitļus, pie kuriem visa izteiksme kļūs par nulli. Piemēram:

2-2x2 = 0
(1-x) (1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Atzīmējiet iegūtās vērtības uz koordinātu līnijas un aprēķiniet atvasinājuma zīmi katrai no iegūtajām vērtībām. Uz koordinātu līnijas tiek atzīmēti punkti, kas tiek ņemti par sākuma punktu. Lai aprēķinātu vērtību intervālos, aizstājiet patvaļīgas vērtības, kas atbilst kritērijiem. Piemēram, iepriekšējai funkcijai pirms intervāla -1 varat atlasīt vērtību -2. Vērtībām no -1 līdz 1 varat izvēlēties 0, bet vērtībām, kas lielākas par 1, izvēlieties 2. Aizstāj šos skaitļus atvasinājumā un noskaidro atvasinājuma zīmi. Šajā gadījumā atvasinājums ar x = -2 būs vienāds ar -0,24, t.i. negatīvs, un šajā intervālā būs mīnusa zīme. Ja x=0, tad vērtība būs vienāda ar 2, un šajā intervālā tiek ievietota zīme. Ja x=1, tad arī atvasinājums būs vienāds ar -0,24 un tiek likts mīnuss.

Ja, ejot caur punktu uz koordinātu līnijas, atvasinājums maina savu zīmi no mīnusa uz plusu, tad tas ir minimālais punkts, un, ja no plusa uz mīnusu, tad tas ir maksimālais punkts.

Video par tēmu

Noderīgs padoms

Lai atrastu atvasinājumu, ir tiešsaistes pakalpojumi, kas aprēķina nepieciešamās vērtības un parādiet rezultātu. Šādās vietnēs jūs varat atrast atvasinājumus līdz 5. kārtai.

Avoti:

• Viens no pakalpojumiem atvasināto instrumentu aprēķināšanai
• funkcijas maksimālais punkts

Funkcijas maksimālos punktus kopā ar minimālajiem punktiem sauc par galējībām. Šajos punktos funkcija maina savu uzvedību. Ekstrēmas tiek noteiktas ar ierobežotiem skaitliskiem intervāliem un vienmēr ir lokālas.

Instrukcijas

Vietējo ekstrēmu atrašanas procesu sauc par funkciju, un to veic, analizējot funkcijas pirmo un otro atvasinājumu. Pirms pētījuma uzsākšanas pārliecinieties, vai norādītais argumentu vērtību diapazons atbilst derīgajām vērtībām. Piemēram, funkcijai F=1/x arguments x=0 nav derīgs. Vai arī funkcijai Y=tg(x) argumentam nevar būt vērtība x=90°.

Pārliecinieties, vai funkcija Y ir diferencējama visā dotajā intervālā. Atrodiet Y pirmo atvasinājumu." Acīmredzot, pirms tiek sasniegts lokālā maksimuma punkts, funkcija palielinās, un, izejot cauri maksimumam, funkcija samazinās. Pirmais atvasinājums savā fiziskā nozīme raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu. Kamēr funkcija palielinās, šī procesa ātrums ir pozitīvs. Izejot cauri lokālajam maksimumam, funkcija sāk samazināties, un funkcijas maiņas ātrums kļūst negatīvs. Funkcijas izmaiņu ātruma pāreja uz nulli notiek vietējā maksimuma punktā.

Daudzu mainīgo funkcijai f(x) punkts x ir vektors, f'(x) ir funkcijas f(x) pirmo atvasinājumu (gradienta) vektors, f ′ ′(x) ir otrās simetriskā matrica. parciālie atvasinājumi (Hesijas matrica - Hesenes) funkcijas f(x).
Daudzu funkciju nodrošināšanai nosacījumu mainīgie Optimitātes tiek formulētas šādi.
Nepieciešams nosacījums vietējai optimizācijai. Pieņemsim, ka f(x) ir diferencējams punktā x * R n . Ja x * ir lokāls galējības punkts, tad f’(x *) = 0.
Tāpat kā iepriekš, punktus, kas ir vienādojumu sistēmas atrisinājumi, sauc par stacionāriem. Stacionārā punkta x * būtība ir saistīta ar Heses matricas noteikto zīmi f′ ′(x).
Matricas A zīme ir atkarīga no kvadrātiskās formas Q(α)= zīmēm< α A, α >visiem, kas nav nulles α∈R n .
Šeit un tālāk apzīmē vektoru x un y skalāro reizinājumu. A-prioritāte,

Matrica A ir pozitīva (nenegatīva) noteikta, ja Q(α)>0 (Q(α)≥0) visiem α∈R n, kas nav nulles; negatīvs (nepozitīvs) noteikts, ja Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 dažiem, kas nav nulles α∈R n un Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Pietiekams nosacījums vietējai optimizācijai. Pieņemsim, ka f(x) ir divreiz diferencējams punktā x * R n, un f’(x *)=0, t.i. x * − stacionārs punkts. Tad, ja matrica f′′(x *) ir pozitīva (negatīva) noteikta, tad x * ir lokālais minimums (maksimālais) punkts; ja matrica f′′(x *) ir nedefinēta, tad x * ir seglu punkts.
Ja matrica f′′(x *) ir nenegatīvi (nepozitīvi) noteikta, tad stacionārā punkta x * rakstura noteikšanai nepieciešama augstākas kārtas atvasinājumu izpēte.
Lai pārbaudītu matricas zīmi, parasti tiek izmantots Silvestra kritērijs. Saskaņā ar šo kritēriju simetriskā matrica A ir pozitīva, noteikta tad un tikai tad, ja visas tās leņķiskās nepilnības ir pozitīvas. Šajā gadījumā matricas A leņķiskais minors ir determinants matricai, kas veidota no matricas A elementiem, kas atrodas rindu un kolonnu ar vienādiem (un pirmajiem) skaitļiem krustpunktā. Lai pārbaudītu simetriskās matricas A negatīvo noteiktību, jums jāpārbauda matricas (−A) pozitīvā noteiktība.
Tātad daudzu mainīgo funkciju lokālo ekstremālo punktu noteikšanas algoritms ir šāds.
1. Atrodiet f′(x).
2. Sistēma tiek atrisināta

Rezultātā tiek aprēķināti stacionāri punkti x i.
3. Atrast f′′(x), iestatīt i=1.
4. Atrodiet f′′(x i)
5. Aprēķinātas matricas f′′(x i) leņķiskās minorās. Ja ne visi leņķiskie minori ir vienādi ar nulli, tad, lai noteiktu stacionārā punkta x i raksturu, ir jāizpēta augstākas kārtas atvasinājumi. Šajā gadījumā tiek veikta pāreja uz 8. darbību.
Pretējā gadījumā pārejiet uz 6. darbību.
6. Analizētas leņķisko nepilngadīgo f′′(x i) pazīmes. Ja f′′(x i) ir pozitīvs noteikts, tad x i ir lokālais minimums. Šajā gadījumā tiek veikta pāreja uz 8. darbību.
Pretējā gadījumā pārejiet uz 7. darbību.
7. Aprēķinātas matricas -f′′(x i) leņķiskās minorās un analizētas to zīmes.
Ja -f′′(x i) − ir pozitīvs noteikts, tad f′′(x i) ir negatīvs noteikts un x i ir lokālais maksimālais punkts.
Pretējā gadījumā f′′(x i) nav definēts un x i ir seglu punkts.
8. Pārbaudīts nosacījums visu stacionāro punktu rakstura noteikšanai i=N.
Ja tas ir izpildīts, tad aprēķini ir pabeigti.
Ja nosacījums nav izpildīts, tiek pieņemts i=i+1 un tiek veikta pāreja uz 4. soli.

Piemērs Nr.1. Noteikt funkcijas f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 lokālo ekstrēmu punktus









Tā kā visas leņķiskās nepilnības nav nulle, x 2 raksturs tiek noteikts, izmantojot f′′(x).
Tā kā matrica f′′(x 2) ir pozitīva noteikta, x 2 ir lokālais minimums.
Atbilde: funkcijai f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ir lokālais minimums punktā x = (5/3; 8/3).

MAKSIMĀLIE UN MINIMĀLIE PUNKTI

punkti, kuros tā iegūst lielāko vai mazāko vērtību definīcijas jomā; tādus punktus sauc arī absolūtā maksimuma vai absolūtā minimuma punkti. Ja f ir definēts topoloģiskā telpa X, tad punkts x 0 sauca vietējā maksimuma punkts (lokālais minimums), ja tāds pastāv x 0, ka aplūkojamās funkcijas ierobežojumam šajā apkaimē punkts x 0 ir absolūtais maksimālais (minimālais) punkts. Ir stingra un nestingra maksimālā (minimuma) punkti (gan absolūtā, gan lokālā). Piemēram, dot sauc funkcijas f nestingra (stingra) lokālā maksimuma punkts, ja tāda punkta apkārtne pastāv x 0, kas attiecas uz visiem (attiecīgi f(x) x 0). )/

Funkcijām, kas definētas ierobežotu dimensiju domēnos, diferenciālrēķina izteiksmē, ir nosacījumi un zīmes, lai dotais punkts būtu lokālā maksimuma (minimālā) punkts. Lai funkcija f ir definēta noteiktā skaitļu ass punkta x 0 tuvumā. Ja x 0 - nestingra lokālā maksimuma (minimuma) punkts, un šajā punktā pastāv f"( x 0), tad tas ir vienāds ar nulli.

Ja dotā funkcija f ir diferencējama punkta apkārtnē x 0, izņemot, iespējams, pašu šo punktu, kurā tas ir nepārtraukts, un atvasinājumu f" katrā punkta pusē x 0šajā apkārtnē saglabā nemainīgu zīmi, tad, lai x 0 bija stingra lokālā maksimuma (lokālā minimuma) punkts, ir nepieciešams un pietiek, lai atvasinājums mainītu zīmi no plus uz mīnusu, tas ir, ja f" (x)>0 pie x<.x 0 un f"(x)<0 при x>x 0(attiecīgi no mīnusa uz plusu: f"(X) <0 pie x<x 0 un f"(x)>0 at x>x 0). Tomēr ne katrai funkcijai, kas ir diferencējama punkta tuvumā x 0, mēs varam runāt par to, ka šajā brīdī mainās atvasinājuma zīme. . "

Ja funkcijai f ir punkts x 0 t atvasinājumi, un pēc tam, lai x 0 bija stingra lokālā maksimuma punkts, ir nepieciešams un pietiekami, lai te būtu vienmērīgs un ka f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Ļaujiet funkcijai f( x 1 ..., x n] ir definēts punkta n-dimensiju apkārtnē un šajā punktā ir diferencējams. Ja x (0) ir nestingra lokālā maksimuma (minimuma) punkts, tad funkcija f šajā punktā ir vienāda ar nulli. Šis nosacījums ir vienāds ar vienādību ar nulli šajā punktā visiem funkcijas f 1. kārtas daļējiem atvasinājumiem. Ja funkcijai ir 2. nepārtraukti parciālie atvasinājumi pie x(0), visi tās 1. atvasinājumi pie x(0) pazūd un 2. kārtas diferenciāle pie x(0) ir negatīva (pozitīva) kvadrātiskā forma, tad x (0) ir stingra vietējā maksimuma (minimuma) punkts. M. un M.T. diferencējamām funkcijām ir zināmi nosacījumi, kad argumentu izmaiņām tiek uzlikti noteikti ierobežojumi: savienojuma vienādojumi ir izpildīti. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi reālas funkcijas maksimumam (minimumam), kam ir sarežģītāka uzbūve, tiek pētīti īpašās matemātikas nozarēs: piemēram, plkst. izliekta analīze, matemātiskā programmēšana(Skatīt arī Maksimizācija un funkciju minimizēšana). M. un m.t. funkcijas, kas definētas uz kolektoriem, ir pētītas variāciju aprēķins kopumā, a M. un m.t. funkcijām, kas definētas funkciju telpās, t.i., funkcionālajām funkcijām variāciju aprēķins. Tur ir arī dažādas metodes m. un m.t skaitliskā aptuvenā noteikšana.

Lit.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Fundamentals matemātiskā analīze, 3. izdevums, 1. daļa, M., 1971; KudrjavcevsL. L. D. Kudrjavcevs.

Matemātiskā enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. I. M. Vinogradovs. 1977-1985.

Skatiet, kas ir "MAKSIMĀLIE UN MINIMĀLIE PUNKTI" citās vārdnīcās:

Pontrjagina diskrēta maksimālā princips laika diskrētiem kontroles procesiem. Šādam procesam galīgās atšķirības operators var nebūt spēkā, lai gan tā nepārtrauktajam analogam, kas iegūts, aizstājot ierobežotās atšķirības operatoru ar diferenciālu... ... Matemātiskā enciklopēdija

Teorēma, kas izsaka vienu no galvenajām analītiskā moduļa īpašībām. funkcijas. Lai f(z) ir regulāra analītiska vai holomorfa kompleksu mainīgo funkcija D-kompleksās skaitļu telpas domēnā, kas atšķiras no konstantes, M.p. iekšā... ... Matemātiskā enciklopēdija

Lielākās un attiecīgi mazākās funkcijas vērtības, kas ņem reālās vērtības. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabalā tiek izsaukts punkts, kurā tā iegūst maksimumu vai minimumu. attiecīgi maksimālais punkts vai minimālais punkts... ... Matemātiskā enciklopēdija

Skatiet funkcijas maksimālo un minimumu, punkta maksimālo un minimumu... Matemātiskā enciklopēdija

Nepārtrauktas funkcijas vērtība, kas ir maksimālā vai minimālā (skatiet Maksimālo un Minimālo punktu). Termins lE... Matemātiskā enciklopēdija

Indikators- (Indikators) Indikators ir informācijas sistēma, viela, ierīce, ierīce, kas parāda izmaiņas jebkurā parametrā Forex valūtas tirgus diagrammas indikatori, kas tie ir un kur tos var lejupielādēt? MACD indikatoru apraksts,...... Investoru enciklopēdija

Šim terminam ir citas nozīmes, skatīt Extremum (nozīmes). Ekstrēmums (lat. extremum extreme) matemātikā ir funkcijas maksimālā vai minimālā vērtība noteiktā kopā. Punkts, kurā tiek sasniegts galējais... ... Wikipedia

Diferenciālrēķins ir matemātiskās analīzes nozare, kas pēta atvasinājuma un diferenciāļa jēdzienus un to pielietojumu funkciju izpētē. Saturs 1 Viena mainīgā funkciju diferenciālrēķins ... Wikipedia

Lemniskāts un tā fokuss Bernulli lemniskāts ir plaknes algebriskā līkne. Definēts kā punktu lokuss, produkts ... Wikipedia

Atšķirība- (Diverģence) Diverģence kā indikators Tirdzniecības stratēģija ar MACD novirzi Saturs Saturs Sadaļa 1. uz. 2. sadaļa. Atšķirības kā. Diverģence ir termins, ko izmanto ekonomikā, lai apzīmētu kustību gar atšķirīgu... ... Investoru enciklopēdija

$E \apakškopa \mathbb(R)^(n)$. Viņi saka, ka $ f$ ir vietējais maksimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right ) \leqslant f ir izpildīts \left(x_(0)\right)$.

Tiek saukts lokālais maksimums stingri , ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$, kas atšķiras no $x_(0)$, ir $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definīcija
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Viņi saka, ka $ f$ ir vietējais minimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right ) \geqslant f ir izpildīts \left(x_(0)\right)$.

Vietējo minimumu sauc par stingru, ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$, kas atšķiras no $x_(0)$, ir $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\pa labi)$.

Vietējais ekstrēms apvieno lokālā minimuma un vietējā maksimuma jēdzienus.

Teorēma ( nepieciešamais nosacījums diferencējamās funkcijas galējais)
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ja punktā $x_(0) \in E$ ir funkcija $f$ vietējais ekstrēms un šajā punktā, tad $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Diferenciāļa vienādība ar nulli ir līdzvērtīga faktam, ka visi ir vienādi ar nulli, t.i. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Viendimensijas gadījumā tas ir – . Apzīmēsim $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kur $h$ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $\phi$ ir definēta vērtībām $t$, kas ir pietiekami mazas absolūtā vērtībā. Turklāt tas ir diferencējams attiecībā uz , un $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Ļaujiet $f$ noteikt vietējo maksimumu punktā x $0$. Tas nozīmē, ka funkcijai $\phi$ pie $t = 0$ ir lokālais maksimums un, saskaņā ar Fermā teorēmu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tātad, mēs saņēmām, ka $df \left(x_(0)\right) = 0 $, t.i. funkcija $f$ punktā $x_(0)$ ir vienāda ar nulli jebkurā vektorā $h$.

Definīcija
Punkti, kuros diferenciālis ir nulle, t.i. tos, kuros visi parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionāriem. Kritiskie punkti funkcijas $f$ ir tie punkti, kuros $f$ nav diferencējams vai ir vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tad no tā neizriet, ka funkcijai šajā punktā ir galējība.

1. piemērs.
Ļaujiet $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tad $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tātad $\left(0,0\right)$ ir stacionārs punkts, bet funkcijai šajā punktā nav galējības. Patiešām, $f \left(0,0\right) = 0$, taču ir viegli redzēt, ka jebkurā punkta $\left(0,0\right)$ tuvumā funkcijai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

2. piemērs.
Funkcijas $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ sākumā ir stacionārs punkts, taču ir skaidrs, ka šajā punktā nav ekstrēma.

Teorēma (pietiekams nosacījums ekstrēmam).
Lai funkcija $f$ ir divreiz nepārtraukti diferencējama atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Lai $x_(0) \in E$ ir stacionārs punkts un $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Tad

1. ja $Q_(x_(0))$ – , tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ ir lokāls ekstrēmums, proti, minimums, ja forma ir pozitīva noteikta, un maksimums, ja forma ir negatīvs noteiktais;
2. ja kvadrātveida forma $Q_(x_(0))$ nav definēta, tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ nav galējības.

Izmantosim izvērsumu pēc Teilora formulas (12.7 292. lpp.). Ņemot vērā, ka pirmās kārtas daļējie atvasinājumi punktā $x_(0)$ ir vienādi ar nulli, mēs iegūstam $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ pa labi) = \ frac(1) (2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kur $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ un $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ par $h \rightarrow 0$, pēc tam labā daļa būs pozitīvs jebkuram pietiekami maza garuma vektoram $h$.
Tātad, esam nonākuši pie secinājuma, ka noteiktā punkta $x_(0)$ tuvumā nevienlīdzība $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ir spēkā, ja tikai $ x \neq x_ (0)$ (liekam $x=x_(0)+h$\right). Tas nozīmē, ka punktā $x_(0)$ funkcijai ir stingrs lokālais minimums, un tādējādi tiek pierādīta mūsu teorēmas pirmā daļa.
Pieņemsim, ka $Q_(x_(0))$ – nenoteikta forma. Tad ir tādi vektori $h_(1)$, $h_(2)$, ka $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tad mēs iegūstam $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ kreisi[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pietiekami maziem $t>0$ labā roka puse ir pozitīva. Tas nozīmē, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības $f \left(x\right)$, kas ir lielākas par $f \left(x_(0)\right)$.
Līdzīgi mēs atklājam, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības, kas mazākas par $f \left(x_(0)\right)$. Tas kopā ar iepriekšējo nozīmē, ka punktā $x_(0)$ funkcijai $f$ nav ekstrēma.

Apsvērsim īpašs gadījumsšīs teorēmas funkcijai $f \left(x,y\right)$ diviem mainīgajiem, kas definēti noteiktā punkta $\left(x_(0),y_(0)\right)$ tuvumā un kuriem ir nepārtraukta daļēja pirmās šīs apkārtnes un otrās kārtas atvasinājumi. Pieņemsim, ka $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ir stacionārs punkts un apzīmē $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tad iepriekšējā teorēma iegūst šādu formu.

Teorēma
Ļaujiet $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pēc tam:

1. ja $\Delta>0$, tad funkcijai $f$ ir lokāls ekstrēmums punktā $\left(x_(0),y_(0)\right)$, proti, minimums, ja $a_(11)> 0$ , un maksimums, ja $a_(11)<0$;
2. ja $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problēmu risināšanas piemēri

Algoritms daudzu mainīgo funkcijas galējības atrašanai:

1. Stacionāru punktu atrašana;
2. Atrodiet 2. kārtas diferenciāli visos stacionārajos punktos
3. Izmantojot daudzu mainīgo funkcijas ekstrēmuma pietiekamo nosacījumu, mēs uzskatām 2. kārtas diferenciāli katrā stacionārajā punktā

1. Izpētiet funkciju ekstremitātei $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Risinājums

   Atradīsim 1. kārtas daļējos atvasinājumus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastādīsim un atrisināsim sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ No 2. vienādojuma mēs izsakām $x=4 \cdot y^(2)$ - aizstājam to ar 1. vienādojumu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Rezultātā tiek iegūti 2 stacionāri punkti:
   1) $y=0 \labā bultiņa x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Pārbaudīsim, vai ir izpildīts pietiekams ekstrēma nosacījums:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Punktam $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cpunkts B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ punktam:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, kas nozīmē, ka punktā $M_(2)$ ir ekstrēmums, un kopš $A_(2)> 0$, tad tas ir minimums.
   Atbilde: Punkts $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ir funkcijas $f$ minimālais punkts.
   

2. Izpētiet funkciju ekstremitātei $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Risinājums

   Atradīsim stacionāros punktus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Izveidosim un atrisināsim sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Labā bultiņa \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\beigas(gadījumi) \Labā bultiņa x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ir stacionārs punkts.
   Pārbaudīsim, vai ir izpildīts ekstrēmuma pietiekošais nosacījums: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Atbilde: nav galējību.
   

Laika ierobežojums: 0

Navigācija (tikai darba numuri)

Pabeigts 0 no 4 uzdevumiem

Informācija

Aizpildiet šo viktorīnu, lai pārbaudītu savas zināšanas par tikko izlasīto tēmu: Vairāku mainīgo funkciju lokālā ekstrēma.

Jūs jau esat kārtojis testu iepriekš. Jūs to nevarat sākt no jauna.

Pārbaudes ielāde...

Lai sāktu testu, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Lai sāktu šo testu, jums ir jāaizpilda šādi testi:

rezultātus

Pareizās atbildes: 0 no 4

Tavs laiks:

Laiks ir beidzies

Jūs ieguvāt 0 no 0 punktiem (0)

Jūsu rezultāts ir ierakstīts līderu sarakstā

1. Ar atbildi
2. Ar skatīšanās zīmi

1. uzdevums no 4

1 .

Punktu skaits: 1

Izpētiet funkciju $f$ ekstrēmām: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Pa labi


Nepareizi


1. 2. uzdevums no 4

   2 .

   Punktu skaits: 1

   Vai funkcijai $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ir ekstrēmums

$E \apakškopa \mathbb(R)^(n)$. Viņi saka, ka $ f$ ir vietējais maksimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right ) \leqslant f ir izpildīts \left(x_(0)\right)$.

Tiek saukts lokālais maksimums stingri , ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$, kas atšķiras no $x_(0)$, ir $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definīcija
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Viņi saka, ka $ f$ ir vietējais minimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right ) \geqslant f ir izpildīts \left(x_(0)\right)$.

Vietējo minimumu sauc par stingru, ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$, kas atšķiras no $x_(0)$, ir $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\pa labi)$.

Vietējais ekstrēms apvieno lokālā minimuma un vietējā maksimuma jēdzienus.

Teorēma (nepieciešams nosacījums diferencējamas funkcijas galējībai)
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ja punktā $x_(0) \in E$ funkcijai $f$ šajā punktā ir lokāls ekstrēmums, tad $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Vienāds ar nulli diferenciālis ir līdzvērtīgs faktam, ka visi ir vienādi ar nulli, t.i. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Viendimensijas gadījumā tas ir – . Apzīmēsim $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kur $h$ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $\phi$ ir definēta vērtībām $t$, kas ir pietiekami mazas absolūtā vērtībā. Turklāt tas ir diferencējams attiecībā uz , un $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Ļaujiet $f$ noteikt vietējo maksimumu punktā x $0$. Tas nozīmē, ka funkcijai $\phi$ pie $t = 0$ ir lokālais maksimums un, saskaņā ar Fermā teorēmu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tātad, mēs saņēmām, ka $df \left(x_(0)\right) = 0 $, t.i. funkcija $f$ punktā $x_(0)$ ir vienāda ar nulli jebkurā vektorā $h$.

Definīcija
Punkti, kuros diferenciālis ir nulle, t.i. tos, kuros visi parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionāriem. Kritiskie punkti funkcijas $f$ ir tie punkti, kuros $f$ nav diferencējams vai ir vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tad no tā neizriet, ka funkcijai šajā punktā ir galējība.

1. piemērs.
Ļaujiet $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tad $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tātad $\left(0,0\right)$ ir stacionārs punkts, bet funkcijai šajā punktā nav galējības. Patiešām, $f \left(0,0\right) = 0$, taču ir viegli redzēt, ka jebkurā punkta $\left(0,0\right)$ tuvumā funkcijai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

2. piemērs.
Funkcijas $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ sākumā ir stacionārs punkts, taču ir skaidrs, ka šajā punktā nav ekstrēma.

Teorēma (pietiekams nosacījums ekstrēmam).
Lai funkcija $f$ ir divreiz nepārtraukti diferencējama atvērtajā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Lai $x_(0) \in E$ ir stacionārs punkts un $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Tad

1. ja $Q_(x_(0))$ – , tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ ir lokāls ekstrēmums, proti, minimums, ja forma ir pozitīva noteikta, un maksimums, ja forma ir negatīvs noteiktais;
2. ja kvadrātveida forma $Q_(x_(0))$ nav definēta, tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ nav galējības.

Izmantosim izvērsumu pēc Teilora formulas (12.7 292. lpp.). Ņemot vērā, ka pirmās kārtas daļējie atvasinājumi punktā $x_(0)$ ir vienādi ar nulli, mēs iegūstam $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ pa labi) = \ frac(1) (2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kur $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ un $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$, tad labā puse būs pozitīva jebkuram pietiekami maza garuma vektoram $h$.
Tātad, esam nonākuši pie secinājuma, ka noteiktā punkta $x_(0)$ tuvumā nevienlīdzība $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ir spēkā, ja tikai $ x \neq x_ (0)$ (liekam $x=x_(0)+h$\right). Tas nozīmē, ka punktā $x_(0)$ funkcijai ir stingrs lokālais minimums, un tādējādi tiek pierādīta mūsu teorēmas pirmā daļa.
Tagad pieņemsim, ka $Q_(x_(0))$ ir nenoteikta forma. Tad ir tādi vektori $h_(1)$, $h_(2)$, ka $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tad mēs iegūstam $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ kreisi[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pietiekami maziem $t>0$ labā roka puse ir pozitīva. Tas nozīmē, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības $f \left(x\right)$, kas ir lielākas par $f \left(x_(0)\right)$.
Līdzīgi mēs atklājam, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības, kas mazākas par $f \left(x_(0)\right)$. Tas kopā ar iepriekšējo nozīmē, ka punktā $x_(0)$ funkcijai $f$ nav ekstrēma.

Apskatīsim šīs teorēmas īpašo gadījumu divu mainīgo funkcijai $f \left(x,y\right)$, kas definēta kādā punkta $\left(x_(0),y_(0)\right tuvumā. )$ un kam ir nepārtraukti pirmās un otrās kārtas daļējie atvasinājumi. Pieņemsim, ka $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ir stacionārs punkts un apzīmē $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tad iepriekšējā teorēma iegūst šādu formu.

Teorēma
Ļaujiet $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pēc tam:

1. ja $\Delta>0$, tad funkcijai $f$ ir lokāls ekstrēmums punktā $\left(x_(0),y_(0)\right)$, proti, minimums, ja $a_(11)> 0$ , un maksimums, ja $a_(11)<0$;
2. ja $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problēmu risināšanas piemēri

Algoritms daudzu mainīgo funkcijas galējības atrašanai:

1. Stacionāru punktu atrašana;
2. Atrodiet 2. kārtas diferenciāli visos stacionārajos punktos
3. Izmantojot daudzu mainīgo funkcijas ekstrēmuma pietiekamo nosacījumu, mēs uzskatām 2. kārtas diferenciāli katrā stacionārajā punktā

1. Izpētiet funkciju ekstremitātei $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Risinājums

   Atradīsim 1. kārtas daļējos atvasinājumus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastādīsim un atrisināsim sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ No 2. vienādojuma mēs izsakām $x=4 \cdot y^(2)$ - aizstājam to ar 1. vienādojumu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Rezultātā tiek iegūti 2 stacionāri punkti:
   1) $y=0 \labā bultiņa x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Pārbaudīsim, vai ir izpildīts pietiekams ekstrēma nosacījums:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Punktam $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cpunkts B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ punktam:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, kas nozīmē, ka punktā $M_(2)$ ir ekstrēmums, un kopš $A_(2)> 0$, tad tas ir minimums.
   Atbilde: Punkts $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ir funkcijas $f$ minimālais punkts.
   

2. Izpētiet funkciju ekstremitātei $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Risinājums

   Atradīsim stacionāros punktus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Izveidosim un atrisināsim sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Labā bultiņa \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\beigas(gadījumi) \Labā bultiņa x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ir stacionārs punkts.
   Pārbaudīsim, vai ir izpildīts ekstrēmuma pietiekošais nosacījums: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Atbilde: nav galējību.
   

Laika ierobežojums: 0

Navigācija (tikai darba numuri)

Pabeigts 0 no 4 uzdevumiem

Informācija

Aizpildiet šo viktorīnu, lai pārbaudītu savas zināšanas par tikko izlasīto tēmu: Vairāku mainīgo funkciju lokālā ekstrēma.

Jūs jau esat kārtojis testu iepriekš. Jūs to nevarat sākt no jauna.

Pārbaudes ielāde...

Lai sāktu testu, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Lai sāktu šo testu, jums ir jāaizpilda šādi testi:

rezultātus

Pareizās atbildes: 0 no 4

Tavs laiks:

Laiks ir beidzies

Jūs ieguvāt 0 no 0 punktiem (0)

Jūsu rezultāts ir ierakstīts līderu sarakstā

1. Ar atbildi
2. Ar skatīšanās zīmi

1. uzdevums no 4

1 .

Punktu skaits: 1

Izpētiet funkciju $f$ ekstrēmām: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Pa labi


Nepareizi


1. 2. uzdevums no 4

   2 .

   Punktu skaits: 1

   Vai funkcijai $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ir ekstrēmums