The tiešsaistes kalkulators atrod sistēmas risinājumu lineārie vienādojumi(SLN) pēc Gausa metodes. Tiek sniegts detalizēts risinājums. Lai aprēķinātu, atlasiet mainīgo skaitu un vienādojumu skaitu. Pēc tam ievadiet datus šūnās un noklikšķiniet uz pogas "Aprēķināt".
|
Skaitļa attēlojums:
Veseli skaitļi un/vai Kopējās frakcijasVeseli cipari un/vai decimālskaitļi
Vietu skaits aiz decimāldaļas atdalītāja
×
Brīdinājums
Vai dzēst visas šūnas?
Aizvērt Notīrīt
Datu ievades instrukcijas. Skaitļi tiek ievadīti kā veseli skaitļi (piemēri: 487, 5, -7623 utt.), decimāldaļas (piem., 67., 102,54 utt.) vai daļskaitļi. Daļa jāievada formā a/b, kur a un b (b>0) ir veseli skaitļi vai decimālskaitļi. Piemēri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 utt.
Gausa metode
Gausa metode ir pārejas metode no sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas (izmantojot līdzvērtīgas transformācijas) uz sistēmu, kuru ir vieglāk atrisināt nekā sākotnējo sistēmu.
Lineāro vienādojumu sistēmas ekvivalentās transformācijas ir:
- apmainot divus vienādojumus sistēmā,
- reizinot jebkuru sistēmas vienādojumu ar reālo skaitli, kas nav nulle,
- vienam vienādojumam pievienojot citu vienādojumu, kas reizināts ar patvaļīgu skaitli.
Apsveriet lineāro vienādojumu sistēmu:
| (1) |
Rakstīsim sistēmu (1) matricas formā:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
A- sauc par sistēmas koeficientu matricu, b- ierobežojumu labā puse, x− jāatrod mainīgo lielumu vektors. Ļaujiet rangu ( A)=lpp.
Ekvivalentās transformācijas nemaina sistēmas koeficientu matricas rangu un paplašinātās matricas rangu. Sistēmas risinājumu kopa arī nemainās pie ekvivalentām transformācijām. Gausa metodes būtība ir samazināt koeficientu matricu A uz diagonāli vai pakāpienu.
Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu:
Nākamajā posmā mēs atiestatām visus 2. kolonnas elementus zem elementa. Ja šis elements ir nulle, šī rinda tiek apmainīta ar rindu, kas atrodas zem šīs rindas un kuras otrajā kolonnā ir elements, kas nav nulle. Pēc tam atiestatiet visus 2. kolonnas elementus zem vadošā elementa a 22. Lai to izdarītu, pievienojiet 3. rindu, ... m ar virkni 2, kas reizināta ar − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, attiecīgi. Turpinot procedūru, iegūstam diagonālas vai pakāpienveida formas matricu. Ļaujiet iegūtajai paplašinātajai matricai būt šādā formā:
| (7) |
 |
Jo zvanījaA=zvanīja(A|b), tad risinājumu kopa (7) ir ( n-p)− šķirne. Līdz ar to n-p nezināmos var izvēlēties patvaļīgi. Atlikušos nezināmos no sistēmas (7) aprēķina šādi. No pēdējā vienādojuma mēs izsakām x p caur atlikušajiem mainīgajiem un ievietojiet iepriekšējās izteiksmēs. Tālāk mēs izsakām no priekšpēdējā vienādojuma x p−1 caur atlikušajiem mainīgajiem un ievietojiet iepriekšējās izteiksmēs utt. Apskatīsim Gausa metodi, izmantojot konkrētus piemērus.
Lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas piemēri, izmantojot Gausa metodi
Piemērs 1. Atrast kopīgs lēmums Lineāro vienādojumu sistēmas pēc Gausa metodes:
Apzīmēsim ar a ij elementi i-th līnija un j kolonnā.
a vienpadsmit . Lai to izdarītu, pievienojiet rindas 2,3 ar 1. rindu, kas attiecīgi reizināta ar -2/3, -1/2:
Matricas ierakstīšanas veids: Ax=b, Kur
Apzīmēsim ar a ij elementi i-th līnija un j kolonnā.
Izslēgsim zem elementa esošās matricas 1. kolonnas elementus a vienpadsmit . Lai to izdarītu, pievienojiet rindas 2,3 ar 1. rindu, kas attiecīgi reizināta ar -1/5, -6/5:
Mēs sadalām katru matricas rindu ar atbilstošo vadošo elementu (ja vadošais elements pastāv):
Kur x 3 , x
Aizstājot augšējās izteiksmes ar apakšējām, iegūstam risinājumu.
Tad vektora risinājumu var attēlot šādi:
 |
Kur x 3 , x 4 ir patvaļīgi reāli skaitļi.
Viena no universālajām un efektīvām metodēm lineāro algebrisko sistēmu risināšanai ir Gausa metode , kas sastāv no secīgas nezināmo izslēgšanas.
Atcerieties, ka abas sistēmas sauc ekvivalents (ekvivalents), ja to atrisinājumu kopas sakrīt. Citiem vārdiem sakot, sistēmas ir līdzvērtīgas, ja katrs vienas no tām risinājums ir otras risinājums un otrādi. Līdzvērtīgas sistēmas iegūst, kad elementāras pārvērtības sistēmas vienādojumi:
reizinot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav nulle;
kādam vienādojumam pievienojot cita vienādojuma atbilstošās daļas, kas reizinātas ar skaitli, kas nav nulle;
pārkārtojot divus vienādojumus.
Dota vienādojumu sistēma
Šīs sistēmas risināšanas process, izmantojot Gausa metodi, sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā (tiešā kustībā) sistēma, izmantojot elementāras transformācijas, tiek reducēta uz pakāpeniski , vai trīsstūrveida prāts, un otrajā posmā ( apgrieztais gājiens) notiek secīga nezināmo noteikšana no iegūtās soļu sistēmas, sākot no pēdējā mainīgā skaitļa.
Pieņemsim, ka šīs sistēmas koeficients 
, pretējā gadījumā sistēmā pirmo rindu var apmainīt ar jebkuru citu rindu, lai koeficients pie 
atšķīrās no nulles.
Pārveidosim sistēmu, likvidējot nezināmo 
visos vienādojumos, izņemot pirmo. Lai to izdarītu, reiziniet abas pirmā vienādojuma puses ar 
un saskaitiet pa vārdam sistēmas otro vienādojumu. Pēc tam reiziniet abas pirmā vienādojuma puses ar 
un pievienojiet to sistēmas trešajam vienādojumam. Turpinot šo procesu, mēs iegūstam līdzvērtīgu sistēmu
Šeit 
– jaunas koeficientu vērtības un brīvie termini, kas iegūti pēc pirmā soļa.
Līdzīgi, ņemot vērā galveno elementu 
, izslēdz nezināmo 
no visiem sistēmas vienādojumiem, izņemot pirmo un otro. Turpināsim šo procesu pēc iespējas ilgāk, un rezultātā mēs iegūsim pakāpenisku sistēmu
,
Kur 
,
,…,
– sistēmas galvenie elementi 
.
Ja sistēmas reducēšanas procesā uz pakāpenisku formu parādās vienādojumi, t.i., formas vienādības 
, tie tiek atmesti, jo tos apmierina jebkura skaitļu kopa 
. Ja plkst 
parādīsies formas vienādojums, kurai nav risinājumu, tad tas norāda uz sistēmas nesaderību.
Apgrieztā gājiena laikā pirmais nezināmais tiek izteikts no transformētās soļu sistēmas pēdējā vienādojuma 
cauri visiem pārējiem nezināmajiem 
kuras sauc bezmaksas
.
Pēc tam mainīgā izteiksme 
no sistēmas pēdējā vienādojuma tiek aizvietots ar priekšpēdējo vienādojumu un no tā tiek izteikts mainīgais 
. Mainīgie tiek definēti secīgi līdzīgā veidā 
. Mainīgie lielumi 
, kas izteikti ar brīviem mainīgajiem, tiek saukti pamata
(atkarīgs). Rezultāts ir lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgs risinājums.
Atrast privāts risinājums
sistēmas, bezmaksas nezināms 
vispārējā risinājumā tiek piešķirtas patvaļīgas vērtības un tiek aprēķinātas mainīgo lielumu vērtības 
.
Tehniski ērtāk ir pakļaut elementārpārveidojumiem nevis pašus sistēmas vienādojumus, bet gan sistēmas paplašināto matricu.
.
Gausa metode ir universāla metode, kas ļauj atrisināt ne tikai kvadrātveida, bet arī taisnstūrveida sistēmas, kurās nezināmo skaits 
nav vienāds ar vienādojumu skaitu 
.
Šīs metodes priekšrocība ir arī tā, ka risināšanas procesā mēs vienlaikus pārbaudām sistēmas saderību, jo, ņemot vērā paplašināto matricu 
uz pakāpenisku formu, ir viegli noteikt matricas rindas 
un paplašinātā matrica 
un pieteikties Kronekera-Kapella teorēma
.
Piemērs 2.1 Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi
Risinājums. Vienādojumu skaits 
un nezināmo skaits 
.
Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu, piešķirot koeficientus pa labi no matricas 
bezmaksas dalībnieku kolonna 
.
Iesniegsim matricu 
Uz trīsstūrveida skats; Lai to izdarītu, mēs iegūsim “0” zem elementiem, kas atrodas galvenajā diagonālē, izmantojot elementāras transformācijas.
Lai iegūtu "0" pirmās kolonnas otrajā pozīcijā, reiziniet pirmo rindu ar (-1) un pievienojiet to otrajai rindai.
Mēs rakstām šo transformāciju kā skaitli (-1) pret pirmo rindiņu un apzīmējam to ar bultiņu, kas virzās no pirmās rindas uz otro rindiņu.
Lai pirmās kolonnas trešajā pozīcijā iegūtu "0", reiziniet pirmo rindu ar (-3) un pievienojiet trešajai rindai; Parādīsim šo darbību, izmantojot bultiņu, kas virzās no pirmās rindas uz trešo.
.
Iegūtajā matricā, kas ierakstīta otrajā matricu ķēdē, mēs iegūstam “0” otrajā kolonnā trešajā pozīcijā. Lai to izdarītu, mēs reizinājām otro rindiņu ar (-4) un pievienojām trešajai. Iegūtajā matricā reiziniet otro rindu ar (-1) un trešo daliet ar (-8). Visi šīs matricas elementi, kas atrodas zem diagonālajiem elementiem, ir nulles.
Jo , sistēma ir sadarbīga un definēta.
Vienādojumu sistēmai, kas atbilst pēdējai matricai, ir trīsstūra forma:
No pēdējā (trešā) vienādojuma 
. Aizstāt ar otro vienādojumu un iegūt 
.
Aizstāsim 
Un 
pirmajā vienādojumā, mēs atrodam 
.
Mēs turpinām apsvērt lineāro vienādojumu sistēmas. Šī ir trešā nodarbība par šo tēmu. Ja jums ir neskaidrs priekšstats par to, kas vispār ir lineāro vienādojumu sistēma, ja jūtaties kā tējkanna, iesaku sākt ar pamatiem lapā Tālāk, ir lietderīgi izpētīt stundu.
Gausa metode ir vienkārša! Kāpēc? Slavenais vācu matemātiķis Johans Kārlis Frīdrihs Gauss savas dzīves laikā saņēma atzinību kā visu laiku lielākais matemātiķis, ģēnijs un pat iesauku “matemātikas karalis”. Un viss ģeniālais, kā zināms, ir vienkāršs! Starp citu, naudu dabū ne tikai piesūcekņi, bet arī ģēniji - Gausa portrets bija uz 10 Vācijas marku banknotes (pirms eiro ieviešanas), un Gauss joprojām noslēpumaini smaida vāciešiem no parastām pastmarkām.
Gausa metode ir vienkārša ar to, ka, lai to apgūtu, PIETIEK PIEKKTĀS KLASES SKOLĒNA ZINĀŠANĀS. Jums jāzina, kā pievienot un reizināt! Nav nejaušība, ka skolotāji skolas matemātikas izvēles priekšmetos bieži apsver nezināmo vielu secīgas izslēgšanas metodi. Tas ir paradokss, bet studentiem Gausa metode šķiet visgrūtākā. Nekas pārsteidzošs - tas viss attiecas uz metodoloģiju, un es mēģināšu runāt par metodes algoritmu pieejamā veidā.
Pirmkārt, sistematizēsim nedaudz zināšanas par lineāro vienādojumu sistēmām. Lineāru vienādojumu sistēma var:
1) jums ir unikāls risinājums. 2) Ir bezgalīgi daudz risinājumu. 3) Nav risinājumu (esiet nav locītavu).
Gausa metode ir visspēcīgākais un universālākais līdzeklis risinājuma atrašanai jebkura lineāro vienādojumu sistēmas. Kā mēs atceramies, Krāmera noteikums un matricas metode nav piemēroti gadījumos, kad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa. Un nezināmo secīgas likvidēšanas metode Vienalga novedīs mūs pie atbildes! Šajā nodarbībā vēlreiz aplūkosim Gausa metodi gadījumam Nr.1 (vienīgais sistēmas risinājums), raksts ir veltīts 2.-3.punktu situācijām. Es atzīmēju, ka pašas metodes algoritms darbojas vienādi visos trīs gadījumos.
Atgriezīsimies pie visvienkāršākā sistēma no klases Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu? un atrisināt to, izmantojot Gausa metodi.
Pirmais solis ir pierakstīt paplašināta sistēmas matrica: . Es domāju, ka katrs var redzēt, pēc kāda principa tiek rakstīti koeficienti. Vertikālajai līnijai matricas iekšpusē nav nekādas matemātiskas nozīmes - tas ir vienkārši pārsvītrojums dizaina ērtībai.
Atsauce : Iesaku atcerēties noteikumiem lineārā algebra. Sistēmas matrica ir matrica, kas sastāv tikai no nezināmo faktoru koeficientiem, šajā piemērā sistēmas matrica: . Paplašinātās sistēmas matrica – šī ir tā pati sistēmas matrica plus brīvo terminu kolonna, šajā gadījumā: . Īsuma labad jebkuru no matricām var vienkārši saukt par matricu.
Pēc paplašinātās sistēmas matricas uzrakstīšanas ar to ir jāveic dažas darbības, kuras arī sauc elementāras pārvērtības.
Pastāv šādas elementāras transformācijas:
1) Stīgas matricas Var pārkārtot dažās vietās. Piemēram, aplūkojamajā matricā jūs varat nesāpīgi pārkārtot pirmo un otro rindu: 
2) Ja matricai ir (vai ir parādījusies) proporcionāla (piemēram īpašs gadījums– identiskas) līnijas, tad tas seko dzēst no matricas visas šīs rindas, izņemot vienu. Apsveriet, piemēram, matricu 
. Šajā matricā pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, tāpēc pietiek atstāt tikai vienu no tām: 
.
3) Ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad tai arī jābūt dzēst. Es, protams, nezīmēšu, nulles līnija ir līnija, kurā visas nulles.
4) Matricas rinda var būt reizināt (dalīt) uz jebkuru numuru kas nav nulle. Apsveriet, piemēram, matricu. Šeit pirmo rindu ieteicams dalīt ar –3 un otro rindiņu reizināt ar 2: 
. Šī darbība ir ļoti noderīga, jo tā vienkāršo turpmākās matricas transformācijas.
5) Šī transformācija sagādā visvairāk grūtību, bet patiesībā arī nav nekā sarežģīta. Uz matricas rindu jūs varat pievienojiet citu virkni, kas reizināta ar skaitli, atšķiras no nulles. Apsveriet mūsu matricu praktisks piemērs: . Vispirms es ļoti detalizēti aprakstīšu transformāciju. Reiziniet pirmo rindu ar -2: 
, Un otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –2: 
. Tagad pirmo rindu var dalīt “atpakaļ” ar –2: . Kā redzat, līnija, kas ir PIEVIENOTA LI – nav mainījies. Vienmēr mainās rinda, KURAM IR PIEVIENOTS UT.
Protams, praksē viņi to neraksta tik detalizēti, bet raksta īsi: 
Vēlreiz: uz otro rindu pievienoja pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Rinda parasti tiek reizināta mutiski vai uz melnraksta, un garīgās aprēķina process notiek apmēram šādi:
"Es pārrakstu matricu un pārrakstu pirmo rindiņu: 
»
"Pirmā kolonna. Apakšā man jāsaņem nulle. Tāpēc es reizinu augšpusē esošo ar –2: , un pirmo pievienoju otrajai rindai: 2 + (–2) = 0. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: 
»
“Tagad otrā kolonna. Augšpusē es reizinu -1 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: 1 + 2 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: 
»
"Un trešā kolonna. Augšpusē es reizinu -5 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: –7 + 10 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: 
»
Lūdzu, rūpīgi izprotiet šo piemēru un izprotiet secīgo aprēķinu algoritmu, ja jūs to saprotat, tad Gausa metode ir praktiski jūsu kabatā. Bet, protams, mēs joprojām strādāsim pie šīs transformācijas.
Elementārie pārveidojumi nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu
! UZMANĪBU: apsvērtas manipulācijas nevar izmantot, ja jums tiek piedāvāts uzdevums, kurā matricas tiek dotas “pašas”. Piemēram, ar “klasisko” operācijas ar matricām Nekādā gadījumā nedrīkst neko pārkārtot matricu iekšienē! Atgriezīsimies pie mūsu sistēmas. Tas praktiski tiek sagriezts gabalos.
Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, reducēsim uz pakāpju skats:
(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Un atkal: kāpēc mēs pirmo rindu reizinām ar –2? Lai apakšā iegūtu nulli, kas nozīmē atbrīvoties no viena mainīgā otrajā rindā.
(2) Sadaliet otro rindu ar 3.
Elementāro pārveidojumu mērķis
–
samaziniet matricu pakāpeniski: 
. Uzdevuma noformējumā viņi vienkārši atzīmē “kāpnes” ar vienkāršu zīmuli, kā arī apvelk ciparus, kas atrodas uz “pakāpēm”. Pats jēdziens “pakāpju skats” nav gluži teorētisks, zinātniskā un izglītojoša literatūra to bieži sauc trapecveida skats vai trīsstūrveida skats.
Elementāru pārveidojumu rezultātā ieguvām ekvivalents sākotnējā vienādojumu sistēma:
Tagad sistēma ir “jāatritina” pretējā virzienā - no apakšas uz augšu, šo procesu sauc apgrieztā Gausa metode.
Apakšējā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts: .
Apskatīsim pirmo sistēmas vienādojumu un aizvietosim tajā jau zināmo “y” vērtību:
Apskatīsim visizplatītāko situāciju, kad Gausa metode prasa atrisināt trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem.
1. piemērs
Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi: 
Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu: 
Tagad es uzreiz uzzīmēšu rezultātu, pie kura nonāksim risinājuma laikā: 
Un es atkārtoju, mūsu mērķis ir panākt matricas pakāpenisku formu, izmantojot elementāras transformācijas. Kur sākt?
Vispirms apskatiet augšējo kreiso numuru: 
Gandrīz vienmēr vajadzētu būt šeit vienība. Vispārīgi runājot, der –1 (un dažreiz arī citi skaitļi), bet kaut kā tradicionāli ir sanācis, ka tur parasti liek vienu. Kā organizēt vienību? Mēs skatāmies uz pirmo kolonnu - mums ir gatava vienība! Pirmā transformācija: apmainiet pirmo un trešo rindu: 
Tagad pirmā rinda paliks nemainīga līdz risinājuma beigām. Tagad labi.
Vienība augšējā kreisajā stūrī ir sakārtota. Tagad šajās vietās jāiegūst nulles: 
Mēs iegūstam nulles, izmantojot “sarežģītu” transformāciju. Vispirms tiekam galā ar otro rindiņu (2, –1, 3, 13). Kas jādara, lai pirmajā pozīcijā būtu nulle? Vajag otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –2: (–2, –4, 2, –18). Un mēs konsekventi veicam (atkal garīgi vai pēc projekta) papildinājumu, otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas jau reizināta ar –2:
Mēs ierakstām rezultātu otrajā rindā: 
Ar trešo rindiņu tiekam galā tādā pašā veidā (3, 2, –5, –1). Lai pirmajā pozīcijā iegūtu nulli, jums ir nepieciešams trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –3: (–3, –6, 3, –27). UN trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –3:
Mēs ierakstām rezultātu trešajā rindā:
Praksē šīs darbības parasti veic mutiski un pieraksta vienā solī: 
Nav nepieciešams skaitīt visu uzreiz un vienlaikus. Aprēķinu secība un rezultātu “ierakstīšana”. konsekventi un parasti tas ir šādi: vispirms mēs pārrakstām pirmo rindiņu un lēnām uzpūšam sev - KONSEKVENTI un UZMANĪGI:
Un es jau iepriekš apspriedu pašu aprēķinu garīgo procesu.
Šajā piemērā tas ir viegli izdarāms; mēs dalām otro rindu ar –5 (jo visi tur esošie skaitļi dalās ar 5 bez atlikuma). Tajā pašā laikā mēs dalām trešo rindu ar –2, jo jo mazāki skaitļi, jo vienkāršāks risinājums:
Elementāro pārveidojumu pēdējā posmā šeit ir jāiegūst vēl viena nulle: 
Priekš šī trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –2:
Mēģiniet pats izdomāt šo darbību - garīgi reiziniet otro rindiņu ar –2 un veiciet saskaitīšanu.
Pēdējā veiktā darbība ir rezultāta frizūra, trešo rindiņu sadaliet ar 3.
Elementāro pārveidojumu rezultātā tika iegūta līdzvērtīga lineāro vienādojumu sistēma: 
Forši.
Tagad tiek izmantota Gausa metodes otrādi. Vienādojumi “atritina” no apakšas uz augšu.
Trešajā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts:
Apskatīsim otro vienādojumu: . Vārda "zet" nozīme jau ir zināma, tāpēc:
Un visbeidzot pirmais vienādojums: . “Igrek” un “zet” ir zināmi, runa ir tikai par sīkumiem:
Atbilde: 
Kā jau vairākkārt minēts, jebkurai vienādojumu sistēmai ir iespējams un nepieciešams pārbaudīt atrasto risinājumu, par laimi, tas ir vienkārši un ātri.
2. piemērs
Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās.
Jāpiebilst, ka jūsu lēmuma virzību var nesakrist ar manu lēmumu pieņemšanas procesu, un tā ir Gausa metodes iezīme. Bet atbildēm jābūt vienādām!
3. piemērs
Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 
Mēs skatāmies uz augšējo kreiso “soli”. Mums tur vajadzētu būt vienam. Problēma ir tāda, ka pirmajā kolonnā vispār nav vienību, tāpēc rindu pārkārtošana neko neatrisinās. Šādos gadījumos vienība jāorganizē, izmantojot elementāru transformāciju. Parasti to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: (1) Pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –1. Tas ir, otro rindu mēs prātīgi reizinājām ar –1 un pievienojām pirmo un otro rindu, savukārt otrā rinda nemainījās.
Tagad augšā pa kreisi ir “mīnus viens”, kas mums der diezgan labi. Ikviens, kurš vēlas iegūt +1, var veikt papildu kustību: reiziniet pirmo rindiņu ar –1 (mainiet tās zīmi).
(2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 5, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.
(3) Pirmā rinda tika reizināta ar –1, principā tas ir skaistumam. Tika nomainīta arī trešās līnijas zīme un tā pārcelta uz otro vietu, lai otrajā “solī” būtu vajadzīgā vienība.
(4) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar 2.
(5) Trešā rinda tika dalīta ar 3.
Slikta zīme, kas norāda uz kļūdu aprēķinos (retāk par drukas kļūdu), ir “slikta” būtība. Tas ir, ja mēs iegūtu kaut ko līdzīgu , zemāk un attiecīgi 
, tad ar lielu varbūtības pakāpi varam teikt, ka elementāru pārveidojumu laikā tika pieļauta kļūda.
Mēs maksājam otrādi, piemēru noformējumā viņi bieži nepārraksta pašu sistēmu, bet vienādojumi tiek “ņemti tieši no dotās matricas”. Reversais gājiens, es atgādinu, darbojas no apakšas uz augšu. Jā, šeit ir dāvana:
Atbilde: 
.
4. piemērs
Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi 
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt pašam, tas ir nedaudz sarežģītāk. Tas nekas, ja kāds apjūk. Pilns risinājums un dizaina paraugs nodarbības beigās. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma.
Pēdējā daļā apskatīsim dažas Gausa algoritma iezīmes. Pirmā iezīme ir tāda, ka dažreiz sistēmas vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: 
Kā pareizi uzrakstīt paplašināto sistēmas matricu? Es jau runāju par šo jautājumu klasē. Krāmera likums. Matricas metode. Sistēmas paplašinātajā matricā trūkstošo mainīgo vietā ievietojam nulles: 
Starp citu, šis ir diezgan vienkāršs piemērs, jo pirmajā kolonnā jau ir viena nulle, un ir jāveic mazāk elementāru pārveidojumu.
Otrā iezīme ir šī. Visos aplūkotajos piemēros uz “soļiem” novietojām vai nu –1, vai +1. Vai tur varētu būt citi skaitļi? Dažos gadījumos viņi var. Apsveriet sistēmu: 
.
Šeit augšējā kreisajā “solī” mums ir divi. Bet mēs pamanām faktu, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2 bez atlikuma - un otrs ir divi un seši. Un abi augšā pa kreisi mums derēs! Pirmajā solī ir jāveic šādas transformācijas: otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –1; trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Tādā veidā mēs iegūsim vajadzīgās nulles pirmajā kolonnā.
Vai kaut kas līdzīgs šim nosacīts piemērs: 
. Šeit mums der arī trīs uz otrā “soļa”, jo 12 (vieta, kur jāiegūst nulle) dalās ar 3 bez atlikuma. Ir nepieciešams veikt šādu pārveidošanu: pievienojiet otro rindu trešajai rindai, reizinot ar –4, kā rezultātā tiks iegūta mums nepieciešamā nulle.
Gausa metode ir universāla, taču ir viena īpatnība. Pārliecināti iemācīties risināt sistēmas, izmantojot citas metodes (Cramer metode, matricas metode) jūs varat burtiski pirmo reizi - ir ļoti stingrs algoritms. Bet, lai justos pārliecināts par Gausa metodi, jums vajadzētu "ievilkt zobus" un atrisināt vismaz 5-10 desmit sistēmas. Tāpēc sākumā aprēķinos var rasties neskaidrības un kļūdas, un tajā nav nekā neparasta vai traģiska.
Aiz loga lietains rudens laiks.... Tāpēc visiem, kas vēlas sarežģītāku piemēru pašu risināšanai:
5. piemērs
Atrisiniet 4 lineāru vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem, izmantojot Gausa metodi. 
Šāds uzdevums praksē nav tik reti sastopams. Es domāju, ka pat tējkanna, kas rūpīgi izpētījusi šo lapu, sapratīs šādas sistēmas risināšanas algoritmu intuitīvi. Principā viss ir vienāds - ir tikai vairāk darbību.
Nodarbībā tiek apspriesti gadījumi, kad sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi) vai ir bezgalīgi daudz risinājumu Nesaderīgas sistēmas un sistēmas ar kopīgu risinājumu. Tur var salabot aplūkoto Gausa metodes algoritmu.
Es novēlu jums panākumus!
Risinājumi un atbildes:
2. piemērs:
Risinājums
:
Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā.
Veiktās elementārās pārvērtības:
(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1.
Uzmanību!
Šeit jums var rasties kārdinājums no trešās rindas atņemt pirmo; ļoti iesaku to neatņemt - kļūdas risks ievērojami palielinās. Vienkārši salokiet to!
(2) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Otrā un trešā rinda ir apmainīta.
Piezīme
, ka uz “soļiem” mūs apmierina ne tikai viens, bet arī –1, kas ir vēl ērtāk.
(3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 5.
(4) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Trešā rinda tika dalīta ar 14.
Reverss:
Atbilde
:
.
4. piemērs:
Risinājums
:
Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:
Veiktie reklāmguvumi: (1) Pirmajai rindai tika pievienota otrā rinda. Tādējādi vajadzīgā vienība tiek organizēta augšējā kreisajā “solī”. (2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 7, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 6, tika pievienota trešajai rindai.
Ar otro “soli” viss pasliktinās , tā “kandidāti” ir skaitļi 17 un 23, un mums vajag vai nu vienu, vai –1. Transformācijas (3) un (4) būs vērstas uz vēlamās vienības iegūšanu (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1. (4) Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –3. Nepieciešamā prece otrajā solī ir saņemta. . (5) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 6. (6) Otrā rinda tika reizināta ar –1, trešā rinda tika dalīta ar –83.
Reverss:
Atbilde :
5. piemērs:
Risinājums
:
Pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:
Veiktie reklāmguvumi: (1) Pirmā un otrā rinda ir apmainītas. (2) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizinot ar –3. (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 4. Otrā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizināta ar –1. (4) Otrās rindas zīme mainīta. Ceturtā rinda tika sadalīta ar 3 un novietota trešās rindas vietā. (5) Trešā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizināta ar –5.
Reverss:
Atbilde :
Dota sistēma, ∆≠0. (1)Gausa metode ir metode, kā secīgi novērst nezināmo.
Gausa metodes būtība ir pārveidot (1) uz sistēmu ar trīsstūrveida matricu, no kuras pēc tam secīgi (apgrieztā veidā) tiek iegūtas visu nezināmo vērtības. Apskatīsim vienu no skaitļošanas shēmām. Šo ķēdi sauc par viena dalījuma ķēdi. Tātad, aplūkosim šo diagrammu. Ļaujiet 11 ≠0 (vadošais elements) dalīt pirmo vienādojumu ar 11. Mēs saņemam
(2)
Izmantojot (2) vienādojumu, no atlikušajiem sistēmas vienādojumiem ir viegli noņemt nezināmos x 1 (lai to izdarītu, pietiek ar katra vienādojuma atņemšanu (2) vienādojumu, kas iepriekš reizināts ar atbilstošo koeficientu x 1) , tas ir, pirmajā solī mēs iegūstam
.
Citiem vārdiem sakot, 1. solī katrs nākamo rindu elements, sākot no otrās, ir vienāds ar starpību starp sākotnējo elementu un tā “projicēšanas” reizinājumu pirmajā kolonnā un pirmajā (pārveidotajā) rindā.
Pēc tam, atstājot pirmo vienādojumu, veicam līdzīgu pārveidošanu pār pārējiem pirmajā solī iegūtajiem sistēmas vienādojumiem: no tiem izvēlamies vienādojumu ar vadošo elementu un ar tā palīdzību izslēdzam x 2 no atlikušā. vienādojumi (2. darbība).
Pēc n soļiem (1) vietā iegūstam līdzvērtīgu sistēmu 
(3)
Tādējādi pirmajā posmā mēs iegūstam trīsstūrveida sistēmu (3). Šo posmu sauc par virzienu uz priekšu.
Otrajā posmā (reversā) secīgi no (3) atrodam vērtības x n, x n -1, ..., x 1.
Iegūto risinājumu apzīmēsim ar x 0 . Tad starpība ε=b-A x 0 sauc par atlikušo.
Ja ε=0, tad atrastais risinājums x 0 ir pareizs.
Aprēķini, izmantojot Gausa metodi, tiek veikti divos posmos:
- Pirmo posmu sauc par priekšu metodi. Pirmajā posmā sākotnējā sistēma tiek pārveidota trīsstūrveida formā.
- Otro posmu sauc par apgriezto gājienu. Otrajā posmā tiek atrisināta trīsstūrveida sistēma, kas līdzvērtīga oriģinālajai.
Katrā solī tika pieņemts, ka vadošais elements nav nulle. Ja tas tā nav, tad jebkuru citu elementu var izmantot kā vadošo elementu, it kā pārkārtojot sistēmas vienādojumus.
Gausa metodes mērķis
Gausa metode ir paredzēta lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai. Attiecas uz tiešās risināšanas metodēm.Gausa metodes veidi
- Klasiskā Gausa metode;
- Gausa metodes modifikācijas. Viena no Gausa metodes modifikācijām ir shēma ar galvenā elementa izvēli. Gausa metodes iezīme ar galvenā elementa izvēli ir tāda vienādojumu pārkārtošana, lai k-tajā solī vadošais elements izrādās k-tās kolonnas lielākais elements.
- Jordano-Gausa metode;
Ilustrēsim atšķirību Jordano-Gausa metode no Gausa metodes ar piemēriem.
Risinājuma piemērs, izmantojot Gausa metodi
Atrisināsim sistēmu: 
Aprēķinu atvieglošanai samainīsim rindas: 
Reizināsim 2. rindiņu ar (2). Pievienojiet 3. rindiņu otrajai 
Reiziniet 2. rindiņu ar (-1). Pievienojiet 2. rindiņu pirmajai 
No 1. rindas izsakām x 3:
No 2. rindas izsakām x 2:
No 3. rindas izsakām x 1: 
Risinājuma piemērs, izmantojot Jordano-Gausa metodi
Atrisināsim to pašu SLAE, izmantojot Jordano-Gauss metodi. 
Mēs secīgi atlasīsim izšķirošo elementu RE, kas atrodas uz matricas galvenās diagonāles.
Izšķirtspējas elements ir vienāds ar (1).
NE = DA — (A*B)/RE
RE - izšķirošais elements (1), A un B - matricas elementi, kas veido taisnstūri ar elementiem STE un RE.
Iesniegsim katra elementa aprēķinu tabulas veidā:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Izšķirošais elements ir vienāds ar (3).
Izšķirošā elementa vietā mēs iegūstam 1, un pašā kolonnā ierakstām nulles.
Visus pārējos matricas elementus, ieskaitot B kolonnas elementus, nosaka taisnstūra noteikums.
Lai to izdarītu, mēs izvēlamies četrus skaitļus, kas atrodas taisnstūra virsotnēs un vienmēr ietver izšķirošo elementu RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Izšķirtspējas elements ir (-4).
Izšķirošā elementa vietā mēs iegūstam 1, un pašā kolonnā ierakstām nulles.
Visus pārējos matricas elementus, ieskaitot B kolonnas elementus, nosaka taisnstūra noteikums.
Lai to izdarītu, mēs izvēlamies četrus skaitļus, kas atrodas taisnstūra virsotnēs un vienmēr ietver izšķirošo elementu RE.
Iesniegsim katra elementa aprēķinu tabulas veidā:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Atbilde: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Gausa metodes ieviešana
Gausa metode tiek ieviesta daudzās programmēšanas valodās, jo īpaši: Pascal, C++, php, Delphi, un ir arī Gausa metodes tiešsaistes ieviešana.Izmantojot Gausa metodi
Gausa metodes pielietojums spēļu teorijā
Spēles teorijā, atrodot spēlētāja maksimāli optimālo stratēģiju, tiek sastādīta vienādojumu sistēma, kas tiek atrisināta ar Gausa metodi.Gausa metodes pielietojums diferenciālvienādojumu risināšanā
Lai atrastu konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, vispirms jāatrod atbilstošas pakāpes atvasinājumi uzrakstītajam daļējam risinājumam (y=f(A,B,C,D)), kurus aizstāj ar sākotnējais vienādojums. Tālāk, lai atrastu mainīgie A,B,C,D vienādojumu sistēma tiek sastādīta un atrisināta pēc Gausa metodes.Jordano-Gausa metodes pielietojums lineārajā programmēšanā
IN lineārā programmēšana, jo īpaši simpleksa metodē taisnstūra noteikums, kas izmanto Jordano-Gauss metodi, tiek izmantots, lai pārveidotu simpleksa tabulu katrā iterācijā.Gausa metodes definīcija un apraksts
Gausa transformācijas metode (pazīstama arī kā metode nezināmu mainīgo secīgai izslēgšanai no vienādojuma vai matricas) lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ir klasiskā metode om sistēmas risinājumi algebriskie vienādojumi(SLAU). Šo klasisko metodi izmanto arī tādu problēmu risināšanai kā iegūšana apgrieztās matricas un matricas ranga noteikšana.
Transformācija, izmantojot Gausa metodi, sastāv no nelielu (elementāru) secīgu izmaiņu veikšanas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmā, kas noved pie mainīgo izslēgšanas no tās no augšas uz leju, veidojot jaunu trīsstūrveida vienādojumu sistēmu, kas ir līdzvērtīga oriģinālajai. viens.
1. definīcija
Šo risinājuma daļu sauc gājiens uz priekšu Gausa risinājumi, jo viss process tiek veikts no augšas uz leju.
Pēc sākotnējās vienādojumu sistēmas samazināšanas līdz trīsstūrveida sistēmai mēs atrodam visu sistēmas mainīgie no apakšas uz augšu (tas ir, pirmie atrastie mainīgie aizņem tieši sistēmas vai matricas pēdējās rindiņas). Šī risinājuma daļa ir pazīstama arī kā Gausa risinājuma apgrieztā daļa. Viņa algoritms ir šāds: vispirms tiek aprēķināti mainīgie, kas ir vistuvāk vienādojumu sistēmas vai matricas apakšai, pēc tam iegūtās vērtības tiek aizstātas ar augstāku un tādējādi tiek atrasts cits mainīgais utt.
Gausa metodes algoritma apraksts
Darbību secība vienādojumu sistēmas vispārējam risinājumam, izmantojot Gausa metodi, sastāv no matricas, kuras pamatā ir SLAE, pārmaiņus piemērojot virzienus uz priekšu un atpakaļ. Ļaujiet sākotnējai vienādojumu sistēmai būt šādā formā:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$
Lai atrisinātu SLAE, izmantojot Gausa metodi, ir jāuzraksta sākotnējā vienādojumu sistēma matricas veidā:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matricu $A$ sauc par galveno matricu un attēlo secībā uzrakstīto mainīgo koeficientus, bet $b$ sauc par tās brīvo terminu kolonnu. Matricu $A$, kas uzrakstīta caur joslu ar brīvu terminu kolonnu, sauc par paplašināto matricu:
$A = \begin(masīvs)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(masīvs)$
Tagad ir nepieciešams, izmantojot elementāras transformācijas vienādojumu sistēmā (vai matricā, jo tas ir ērtāk), lai to izveidotu šādā formā:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \beigas(gadījumi)$ (1)
Matricu, kas iegūta no transformētās vienādojuma sistēmas (1) koeficientiem, sauc par soļu matricu; šādi parasti izskatās soļu matricas:
$A = \begin(masīvs)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(masīvs)$
Šīs matricas raksturo šāds īpašību kopums:
- Visas tā nulles līnijas nāk pēc rindām, kas nav nulles
- Ja kāda matricas rinda ar skaitli $k$ nav nulle, tad tās pašas matricas iepriekšējā rindā ir mazāk nulles nekā šajā rindā ar skaitli $k$.
Pēc soļu matricas iegūšanas iegūtie mainīgie ir jāaizstāj ar atlikušajiem vienādojumiem (sākot no beigām) un jāiegūst mainīgo atlikušās vērtības.
Pamatnoteikumi un atļautās transformācijas, izmantojot Gausa metodi
Vienkāršojot matricu vai vienādojumu sistēmu, izmantojot šo metodi, ir jāizmanto tikai elementāras transformācijas.
Šādas transformācijas tiek uzskatītas par operācijām, kuras var pielietot matricai vai vienādojumu sistēmai, nemainot tās nozīmi:
- vairāku līniju pārkārtošana,
- pievienojot vai atņemot no vienas matricas rindas citu rindu,
- virknes reizināšanu vai dalīšanu ar konstanti, kas nav vienāda ar nulli,
- rinda, kas sastāv tikai no nullēm, kas iegūta sistēmas aprēķināšanas un vienkāršošanas procesā, ir jāsvītro,
- Tāpat ir jānoņem nevajadzīgās proporcionālās līnijas, izvēloties sistēmai vienīgo ar koeficientiem, kas ir piemērotāki un ērtāki turpmākiem aprēķiniem.
Visas elementārās pārvērtības ir atgriezeniskas.
Trīs galveno gadījumu analīze, kas rodas, risinot lineāros vienādojumus, izmantojot vienkāršu Gausa transformāciju metodi
Ir trīs gadījumi, kas rodas, izmantojot Gausa metodi sistēmu atrisināšanai:
- Ja sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav risinājumu
- Vienādojumu sistēmai ir risinājums un unikāls, un rindu un kolonnu skaits, kas nav nulles, matricā ir vienāds.
- Sistēmai ir noteikts daudzums vai komplekts iespējamie risinājumi, un rindu skaits tajā ir mazāks par kolonnu skaitu.
Risinājuma rezultāts ar nekonsekventu sistēmu
Šim variantam, risinot matricas vienādojums Gausa metodi raksturo noteiktas līnijas iegūšana ar vienādības izpildes neiespējamību. Tāpēc, ja rodas vismaz viena nepareiza vienādība, iegūtajām un sākotnējām sistēmām nav atrisinājumu neatkarīgi no citiem tajās esošajiem vienādojumiem. Nekonsekventas matricas piemērs:
$\begin(masīvs)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(masīvs)$
Pēdējā rindā radās neiespējama vienādība: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1 $.
Vienādojumu sistēma, kurai ir tikai viens risinājums
Pēc reducēšanas uz soļu matricu un rindu ar nullēm noņemšanas šīm sistēmām galvenajā matricā ir vienāds rindu un kolonnu skaits. Šeit vienkāršākais piemērs tāda sistēma:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
Rakstīsim to matricas formā:
$\begin(masīvs)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(masīvs)$
Lai otrās rindas pirmo šūnu nolīdzinātu līdz nullei, mēs reizinim augšējo rindu ar $-2$ un atņemam to no matricas apakšējās rindas un atstājam augšējo rindu sākotnējā formā, kā rezultātā mums ir šāds :
$\begin(masīvs)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(masīvs)$
Šo piemēru var uzrakstīt kā sistēmu:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
Apakšējais vienādojums dod šādu vērtību $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Aizstājiet šo vērtību augšējā vienādojumā: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, iegūstam $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Sistēma ar daudziem iespējamiem risinājumiem
Šai sistēmai raksturīgs mazāks nozīmīgo rindu skaits nekā tajā esošo kolonnu skaits (tiek ņemtas vērā galvenās matricas rindas).
Mainīgie lielumi šādā sistēmā ir sadalīti divos veidos: pamata un bezmaksas. Pārveidojot šādu sistēmu, tajā esošie galvenie mainīgie ir jāatstāj kreisajā apgabalā līdz zīmei “=”, bet atlikušie mainīgie jāpārnes uz labā puse vienlīdzība.
Šādai sistēmai ir tikai noteikts vispārīgs risinājums.
Sakārtosim to šādu sistēmu vienādojumi:
$\begin(gadījumi) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(gadījumi)$
Rakstīsim to matricas formā:
$\begin(masīvs)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(masīvs)$
Mūsu uzdevums ir rast vispārēju sistēmas risinājumu. Šai matricai bāzes mainīgie būs $y_1$ un $y_3$ ($y_1$ — jo tas ir pirmais, un $y_3$ gadījumā — tas atrodas aiz nullēm).
Kā bāzes mainīgos mēs izvēlamies tieši tos, kas rindā ir pirmie un nav vienādi ar nulli.
Pārējie mainīgie tiek saukti par brīviem; caur tiem mums ir jāizsaka pamata mainīgie.
Izmantojot tā saukto apgriezto gājienu, mēs analizējam sistēmu no apakšas uz augšu; lai to izdarītu, vispirms mēs izsakām $y_3$ no sistēmas apakšējās rindas:
5 g._3–4 g. $ = 1 $
$5 g_3 = 4 g_4 + 1 $
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Tagad mēs aizstājam izteikto $y_3$ ar sistēmas $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ augšējo vienādojumu: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $
Mēs izsakām $y_1$ kā bezmaksas mainīgos $y_2$ un $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4) (5)y_4 - \frac(1) (5) + y_4 = 1 $
$2y_1 = 1–3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1) (5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $
Risinājums ir gatavs.
1. piemērs
Atrisiniet slough, izmantojot Gausa metodi. Piemēri. Lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas piemērs, kas dota ar matricu 3:3, izmantojot Gausa metodi
$\begin(gadījumi) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(gadījumi)$
Rakstīsim mūsu sistēmu paplašinātas matricas veidā:
$\begin(masīvs)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masīvs)$
Tagad ērtībai un praktiskumam matrica ir jāpārveido tā, lai 1 $ būtu visattālākās kolonnas augšējā stūrī.
Lai to izdarītu, pirmajai rindai jāpievieno rinda no vidus, reizināta ar $-1$, un jāuzraksta pati vidējā rinda tāda, kāda tā ir, izrādās:
$\begin(masīvs)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masīvs)$
$\begin(masīvs)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(masīvs) $
Reiziniet augšējo un pēdējo rindu ar $-1 $, kā arī samainiet pēdējo un vidējo rindu:
$\begin(masīvs)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(masīvs)$
$\begin(masīvs)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(masīvs)$
Un sadaliet pēdējo rindu ar $ 3 $:
$\begin(masīvs)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(masīvs)$
Mēs iegūstam šādu vienādojumu sistēmu, kas ir līdzvērtīga sākotnējai:
$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(gadījumi)$
No augšējā vienādojuma mēs izsakām $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.
2. piemērs
Piemērs sistēmas risināšanai, kas definēta, izmantojot matricu 4 x 4, izmantojot Gausa metodi
$\begin(masīvs)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 un 37 \\ \end(masīvs)$.
Sākumā mēs apmainām augšējās rindas pēc tam, lai augšējā kreisajā stūrī iegūtu $ 1:
$\begin(masīvs)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 un 37 \\ \end(masīvs)$.
Tagad reiziniet augšējo rindiņu ar $-2 $ un pievienojiet 2. un 3. daļai. 4. pieskaitām 1. rindu, kas reizināta ar $-3$:
$\begin(masīvs)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(masīvs)$
Tagad 3. rindiņai pievienojam 2. rindu, kas reizināta ar 4 $, un 4. rindiņai pievieno 2. rindu, kas reizināta ar $-1.
$\begin(masīvs)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(masīvs)$
Mēs reizinām 2. rindu ar $-1 $, 4. rindu dalām ar $3 $ un aizstājam 3. rindu.
$\begin(masīvs)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 un 10 \\ \end(masīvs)$
Tagad mēs pievienojam pēdējai rindai priekšpēdējo, kas reizināts ar $-5 $.
$\begin(masīvs)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 un 0 \\ \end(masīvs)$
Mēs atrisinām iegūto vienādojumu sistēmu:
$\begin(gadījumi) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(gadījumi)$
