Pieskares metodes piemēra risinājums. Kursa darbs: Ņūtona metode nelineāru vienādojumu risināšanai



Atslēgvārdi:

Darba mērķis: pētīt metodes nelineāru vienādojumu risināšanai ar vienu nezināmo un pārbaudīt tās eksperimentālā darbā.

Darba mērķi:

1. Analizēt speciālā literatūra un izvēlēties racionālākās metodes nelineāru vienādojumu risināšanai, ļaujot padziļināti pētīt un asimilēties šī tēma visi vidusskolas absolventi.
2. Izstrādāt dažus metodoloģijas aspektus nelineāru vienādojumu risināšanai, izmantojot IKT.
3. Izpētiet nelineāro vienādojumu risināšanas metodes:

‒ Step metode

‒ Pusēšanas metode

‒ Ņūtona metode

Ievads.

Bez matemātiskās pratības nav iespējams sekmīgi apgūt problēmas risināšanas metodes fizikā, ķīmijā, bioloģijā un citos priekšmetos. Viss dabaszinātņu komplekss ir veidots un attīstīts, pamatojoties uz matemātikas zināšanām. Piemēram, pētot vairākas aktuālas problēmas matemātiskajā fizikā, rodas nepieciešamība atrisināt nelineārus vienādojumus. Nelineāro vienādojumu risinājums ir nepieciešams nelineārajā optikā, plazmas fizikā, supravadītspējas teorijā un zemas temperatūras fizikā. Literatūras par šo tēmu ir pietiekami daudz, taču daudzas mācību grāmatas un raksti vidusskolniekam ir grūti saprotami. Šajā rakstā aplūkotas metodes nelineāru vienādojumu risināšanai, ko var izmantot, lai atrisinātu lietišķās problēmas fizikā un ķīmijā. Interesants aspekts ir lietojumprogramma informācijas tehnoloģijas vienādojumu un uzdevumu risināšanai matemātikā.

Pakāpju metode.

Jāatrisina nelineārs vienādojums formā F(x)=0. Pieņemsim arī, ka mums ir dots noteikts meklēšanas intervāls. Jāatrod h garuma intervāls [a,b], kas satur vienādojuma pirmo sakni, sākot no meklēšanas intervāla kreisās robežas.

Rīsi. 1. Pakāpju metode

Ir vairāki veidi, kā atrisināt šādu problēmu. Pakāpju metode ir vienkāršākā no skaitliskajām metodēm nevienādību risināšanai, taču, lai sasniegtu augstu precizitāti, ir būtiski jāsamazina solis, un tas ievērojami palielina aprēķina laiku. Algoritms vienādojumu risināšanai, izmantojot šī metode sastāv no diviem posmiem.

esposms. Sakņu atdalīšana.

Šajā posmā tiek noteiktas sadaļas, no kurām katra satur tikai vienu vienādojuma sakni. Šī posma īstenošanai ir vairākas iespējas:

• Mēs aizstājam X vērtības (vēlams ar kādu diezgan mazu soli) un redzam, kur funkcija maina zīmi. Ja funkcija ir mainījusi zīmi, tas nozīmē, ka apgabalā starp iepriekšējo un pašreizējo X vērtību ir sakne (ja funkcija nemaina tās pieauguma/samazinājuma raksturu, tad var teikt, ka ir tikai viena sakne šajā intervālā).
• Grafiskā metode. Mēs veidojam grafiku un novērtējam, uz kuriem intervāliem atrodas viena sakne.
• Izpētīsim konkrētas funkcijas īpašības.

IIposms. Sakņu pilnveidošana.

Šajā posmā tiek noskaidrota iepriekš noteiktā vienādojuma sakņu nozīme. Parasti šajā posmā tiek izmantotas iteratīvas metodes. Piemēram, metode pusdivīzija(dihotomijas) vai Ņūtona metodi.

Pusdalīšanas metode

Ātra un diezgan vienkārša skaitliska metode vienādojumu risināšanai, kas balstās uz intervāla secīgu sašaurināšanos, kas satur vienīgo vienādojuma sakni F(x) = 0, līdz tiek sasniegta norādītā precizitāte E. Šo metodi parasti izmanto, risinot kvadrātvienādojumi un augstāku pakāpju vienādojumi. Tomēr šai metodei ir būtisks trūkums - ja segmentā [a,b] ir vairāk nekā viena sakne, tad ar to nevarēs sasniegt labus rezultātus.

Rīsi. 2. Dihotomijas metode

Šīs metodes algoritms ir šāds:

‒ Nosakiet jaunu saknes x tuvinājumu segmenta [a;b] vidū: x=(a+b)/2.

‒ Atrodiet funkcijas vērtības punktos a un x: F(a) un F(x).

‒ Pārbaudiet nosacījumu F(a)*F(x)

‒ Pārejiet uz 1. darbību un vēlreiz sadaliet segmentu uz pusēm. Turpiniet algoritmu līdz nosacījumam |F(x)|

Ņūtona metode

Precīzākā no skaitliskā risinājuma metodēm; piemērots ļoti sarežģītu vienādojumu risināšanai, taču to sarežģī nepieciešamība katrā solī aprēķināt atvasinājumus. ir tas, ka, ja x n ir kāds tuvinājums vienādojuma saknei , tad nākamā aproksimācija tiek definēta kā funkcijas f(x) pieskares sakne, kas novilkta punktā x n.

Funkcijas f(x) pieskares vienādojumam punktā x n ir šāda forma:

Pieskares vienādojumā ievietojam y = 0 un x = x n +1.

Tad secīgo aprēķinu algoritms Ņūtona metodē ir šāds:

Tangences metodes konverģence ir kvadrātiska, konverģences secība ir 2.

Tādējādi Ņūtona tangences metodes konverģence ir ļoti ātra.

Bez jebkādām izmaiņām metode tiek vispārināta sarežģītajam gadījumam. Ja sakne x i ir otrā vai augstāka daudzuma sakne, tad konverģences secība samazinās un kļūst lineāra.

Ņūtona metodes trūkumi ietver tās atrašanās vietu, jo tā tiek garantēta patvaļīgai sākuma tuvināšanai tikai tad, ja nosacījums ir izpildīts visur , pretējā situācijā konverģence notiek tikai noteiktā saknes apkārtnē.

Ņūtona metodi (tangences metodi) parasti izmanto, kad vienādojums f(x) = 0 ir sakne, un ir izpildīti šādi nosacījumi:

1) funkcija y=f(x) definēts un nepārtraukts pie ;

2) f(a) f(b) (funkcija segmenta galos ņem dažādu zīmju vērtības [ a;b]);

3) atvasinājumi f"(x) Un f""(x) saglabāt zīmi uz intervāla [ a;b] (t.i., funkcija f(x) segmentā palielinās vai samazinās [ a;b], saglabājot izliekuma virzienu);

Metodes nozīme ir šāda: segmentā [ a;b] šāds numurs ir izvēlēts x 0, pie kura f(x 0) ir tāda pati zīme kā f""(x 0), i., nosacījums ir izpildīts f(x 0) f""(x) > 0. Tādējādi tiek izvēlēts punkts ar abscisu x 0, kurā līknes pieskare y=f(x) segmentā [ a;b] krustojas ar asi Vērsis. Par punktu x 0 Vispirms ir ērti izvēlēties vienu no segmenta galiem.

Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot konkrētu piemēru.

Dosim mums pieaugošu funkciju y = f(x) = x 2–2, nepārtraukts segmentā (0;2), un kam f "(x) =2x>0 Un f ""(x) = 2> 0.

Mūsu gadījumā pieskares vienādojumam ir šāda forma: y-y 0 =2x 0 · (x-x 0). IN kā punktu x 0 mēs izvēlamies punktu B 1 (b; f(b)) = (2,2). Uzzīmējiet funkcijas tangensu y = f(x) punktā B 1 un apzīmē pieskares un ass krustošanās punktu Vērsis punkts x 1. Mēs iegūstam pirmās pieskares vienādojumu: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Vērsis: x 1 =

Rīsi. 3. Funkcijas f(x) grafika pirmās pieskares konstruēšana

y=f(x) Vērsis caur punktu x 1, mēs sapratām būtību B 2 =(1,5; 0,25). Vēlreiz uzzīmējiet funkcijas tangensu y = f(x) punktā B 2, un apzīmē pieskares un krustošanās punktu Vērsis punkts x 2.

Otrās pieskares vienādojums: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x-4,25. Pieskares un ass krustpunkts Vērsis: x 2 =.

Tad atrodam funkcijas krustpunktu y=f(x) un asij novilkts perpendikuls Vērsis caur punktu x 2 mēs iegūstam punktu B 3 un tā tālāk.

Rīsi. 4. Funkcijas f(x) grafika otrās pieskares konstruēšana

Pirmo saknes tuvinājumu nosaka pēc formulas:

= 1.5.

Otro saknes tuvinājumu nosaka pēc formulas:

=

Trešo saknes tuvinājumu nosaka pēc formulas:

Tādējādi ,t.i Saknes tuvinājumu nosaka pēc formulas:

Aprēķini tiek veikti, līdz atbilst atbildei nepieciešamās decimāldaļas vai tiek sasniegta noteiktā precizitāte e - līdz tiek izpildīta nevienādība |xi-xi-1|

Mūsu gadījumā salīdzināsim trešajā solī iegūto tuvinājumu ar reālo atbildi. Kā redzat, jau trešajā solī mēs saņēmām kļūdu, kas mazāka par 0,000002.

Vienādojuma atrisināšana, izmantojot CADMathCAD

Formas vienkāršākajiem vienādojumiem f(x) = 0 risinājums MathCAD tiek atrasts, izmantojot funkciju sakne.

sakne(f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - atgriež vērtību X 1 , kas pieder segmentam [ a, b ] , kurā izteiksme vai funkcija f (X ) iet uz 0. Abiem šīs funkcijas argumentiem ir jābūt skalāriem. Funkcija atgriež skalāru.

Rīsi. 5. Nelineāra vienādojuma atrisināšana programmā MathCAD (saknes funkcija)

Ja šīs funkcijas lietošanas rezultātā rodas kļūda, tas var nozīmēt, ka vienādojumam nav sakņu vai vienādojuma saknes atrodas tālu no sākotnējās aproksimācijas, izteiksmei ir lokāls maks Un min starp sākotnējo tuvinājumu un saknēm.

Lai noteiktu kļūdas cēloni, ir jāpārbauda funkcijas grafiks f(x). Tas palīdzēs noskaidrot vienādojuma sakņu klātbūtni f(x) = 0 un, ja tādas pastāv, tad aptuveni noteikt to vērtības. Jo precīzāk tiek izvēlēts saknes sākotnējais tuvinājums, jo ātrāk tiks atrasta tā precīzā vērtība.

Ja sākotnējā aproksimācija nav zināma, tad ieteicams izmantot funkciju atrisināt . Turklāt, ja vienādojumā ir vairāki mainīgie, jums jānorāda pēc atslēgvārds atrisināt ir mainīgo lielumu saraksts, kuriem vienādojums ir atrisināts.

Rīsi. 6. Nelineāra vienādojuma atrisināšana programmā MathCAD (risināšanas funkcija)

Secinājums

Pētījumā tika pārbaudīts, kā matemātiskās metodes, un vienādojumu risināšana, izmantojot programmēšanu CAD sistēmā MathCAD. Dažādas metodes ir savas priekšrocības un trūkumi. Jāņem vērā, ka konkrētas metodes izmantošana ir atkarīga no dotā vienādojuma sākotnējiem nosacījumiem. Tos vienādojumus, kurus var labi atrisināt ar skolā zināmām faktorizācijas metodēm utt., nav jēgas vairāk risināt sarežģītos veidos. Lietišķās matemātikas uzdevumi, kas ir svarīgi fizikā un ķīmijā un prasa sarežģītas skaitļošanas operācijas, risinot vienādojumus, tiek veiksmīgi atrisinātas, piemēram, izmantojot programmēšanu. Ir labi tos atrisināt, izmantojot Ņūtona metodi.

Lai noskaidrotu saknes, viena un tā paša vienādojuma risināšanai varat izmantot vairākas metodes. Tieši šis pētījums bija šī darba pamatā. Tajā pašā laikā ir viegli redzēt, kura metode ir visveiksmīgākā, risinot katru vienādojuma posmu, un kuru metodi šajā posmā labāk neizmantot.

Izpētītais materiāls, no vienas puses, palīdz paplašināt un padziļināt matemātiskās zināšanas un rosināt interesi par matemātiku. Savukārt tiem, kuri plāno apgūt tehniskās un inženierzinātnes profesijas, ir svarīgi spēt atrisināt reālus matemātikas uzdevumus. Tāpēc Šis darbs ir svarīgi tālākizglītība(piemēram, augstākās izglītības iestādē).

Literatūra:

1. Mitjakovs S. N. Informātika. Komplekss izglītojoši materiāli. - N. Novgoroda: Ņižņijnovgoroda. Valsts tech. universitāte, 2006
2. Vainbergs M. M., Trenogins V. A. Nelineāru vienādojumu sazarojumu atrisinājumu teorija. M.: Nauka, 1969. - 527 lpp.
3. Bronšteins I. N., Semendjajevs K. A. Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un tehnisko koledžu studentiem - M.: Nauka, 1986.
4. Omeļčenko V. P., Kurbatova E. V. Matemātika: pamācība. - Rostova n/d.: Fēnikss, 2005.
5. Savin A.P. enciklopēdiskā vārdnīca jaunais matemātiķis. - M.: Pedagoģija, 1989.
6. Korn G., Korn T. Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem. - M.: Nauka, 1973. gads.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sanktpēterburga: BHV-Petersburg, 2012. gads.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu Augstākā matemātika, pamatojoties uz Mathcad. Vispārējais kurss. - Sanktpēterburga: BHV-Petersburg, 2004. gads.
9. Poršņevs S., Belenkova I. Skaitliskās metodes, kuru pamatā ir Mathcad. - Sanktpēterburga: BHV-Petersburg, 2012. gads.

Atslēgvārdi: nelineārie vienādojumi, lietišķā matemātika, CAD MathCAD, Ņūtona metode, soļu metode, dihotomijas metode..

Anotācija: Raksts ir veltīts nelineāru vienādojumu risināšanas metožu izpētei, tostarp izmantojot MathCAD datorizētās projektēšanas sistēmu. Aplūkota soļu metode, pusītes un Ņūtona metodes, sniegti detalizēti šo metožu pielietošanas algoritmi un salīdzinošā analīze norādītajām metodēm.

Ņūtona metode (pazīstama arī kā tangentes metode) ir iteratīva skaitliska metode noteiktas funkcijas saknes (nulles) atrašanai. Šo metodi pirmais ierosināja angļu fiziķis, matemātiķis un astronoms Īzaks Ņūtons (1643-1727), ar kura vārdu tā kļuva slavena.

Šo metodi aprakstīja Īzaks Ņūtons manuskriptā De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Par analīze ar bezgalīgu rindu vienādojumiem), kas 1669. gadā adresēta Barrovam, un darbā De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latīņu: plūsmas un bezgalīgu sēriju metode) vai Geometria analytica ( lat.Analītiskaisģeometrija) apkopotajos Ņūtona darbos, kas sarakstīti 1671. gadā. Tomēr metodes apraksts būtiski atšķīrās no tās pašreizējā izklāsta: Ņūtons savu metodi izmantoja tikai polinomiem. Viņš aprēķināja nevis secīgus x n tuvinājumus, bet gan polinomu secību un rezultātā ieguva aptuvenu x atrisinājumu.

Pirmo reizi šī metode tika publicēta Džona Volisa traktātā Algebra 1685. gadā, pēc viņa lūguma to īsi aprakstīja pats Ņūtons. 1690. gadā Džozefs Rafsons publicēja vienkāršotu aprakstu savā darbā Analysis aequationum universalis (lat. Vispārīga analīze vienādojumi). Rafsons Ņūtona metodi uzskatīja par tīri algebrisku un aprobežoja tās izmantošanu ar polinomiem, taču viņš aprakstīja metodi secīgu tuvinājumu x n izteiksmē, nevis Ņūtona izmantoto grūtāk saprotamo polinomu secību.

Visbeidzot, 1740. gadā Tomass Simpsons Ņūtona metodi aprakstīja kā pirmās kārtas iteratīvu metodi nelineāru vienādojumu risināšanai, izmantojot šeit aprakstītos atvasinājumus. Tajā pašā publikācijā Simpsons vispārināja metodi divu vienādojumu sistēmas gadījumā un atzīmēja, ka Ņūtona metodi var izmantot arī optimizācijas problēmu risināšanai, atrodot atvasinājuma vai gradienta nulli.

Saskaņā ar šo metodi funkcijas saknes atrašanas uzdevums tiek reducēts līdz uzdevumam atrast krustpunktu ar pieskares x-asi, kas attēlota funkcijas grafikā.

1. att . Funkciju maiņas grafiks

Funkcijas grafika jebkurā punktā novilktu pieskares līniju nosaka šīs funkcijas atvasinājums aplūkojamajā punktā, ko savukārt nosaka leņķa α () tangenss. Pieskares krustpunktu ar abscisu asi nosaka, pamatojoties uz šādu attiecību in taisnleņķa trīsstūris: leņķa tangensataisnleņķa trijstūrī nosaka trijstūra pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu. Tādējādi katrā solī nākamās aproksimācijas punktā tiek konstruēta funkcijas grafika pieskare. . Pieskares krustpunkts ar asi Vērsis būs nākamais pieejas punkts. Saskaņā ar aplūkojamo metodi, aprēķinot aptuveno saknes vērtībui-iterācijas tiek veiktas pēc formulas:

Taisnes slīpums katrā solī tiek regulēts pēc iespējas labāk, tomēr ir jāpievērš uzmanība tam, ka algoritms neņem vērā grafikas izliekumu un līdz ar to aprēķina procesā tas paliek nezināms kādā virzienā grafiks var novirzīties.

Iteratīvā procesa beigu nosacījums ir šāda nosacījuma izpilde:

Kur ˗ pieļaujamā kļūda saknes noteikšanā.

Metodei ir kvadrātiskā konverģence. Kvadrātiskais konverģences ātrums nozīmē, ka pareizo zīmju skaits tuvinājumā dubultojas ar katru iterāciju.

Matemātiskais pamatojums

Dota reāla funkcija, kas ir noteikta un nepārtraukta aplūkojamajā apgabalā. Ir jāatrod attiecīgās funkcijas īstā sakne.

Vienādojuma atvasināšana balstās uz metodi vienkāršas iterācijas, saskaņā ar kuru vienādojums tiek reducēts līdz ekvivalentam vienādojumam jebkurai funkcijai. Ieviesīsim kontrakciju kartēšanas jēdzienu, ko definē attiecība .

Metodes vislabākajai konverģencei nosacījums ir jāizpilda nākamās tuvināšanas punktā. Šī prasība nozīmē, ka funkcijas saknei jāatbilst funkcijas galējībai.

Kontrakcijas kartes atvasinājumsir definēts šādi:

Izteiksim mainīgo no šīs izteiksmesievērojot iepriekš pieņemto paziņojumu, ka, ja nepieciešams nodrošināt stāvokli. Rezultātā mēs iegūstam izteiksmi mainīgā definēšanai:

Ņemot to vērā, saspiešanas funkcija ir šāda:

Tādējādi vienādojuma skaitliskā risinājuma atrašanas algoritms tiek reducēts uz iteratīvu aprēķina procedūru:

Algoritms nelineāra vienādojuma saknes atrašanai, izmantojot metodi

1. Iestatiet funkcijas saknes aptuvenās vērtības sākumpunktu, kā arī aprēķina kļūdu (mazs pozitīvs skaitlis) un sākotnējo iterācijas soli ().

2. Aprēķiniet funkcijas saknes aptuveno vērtību saskaņā ar formulu:

3. Mēs pārbaudām aptuveno saknes vērtību norādītajai precizitātei, ja:

Ja starpība starp diviem secīgiem tuvinājumiem kļūst mazāka par norādīto precizitāti, iteratīvais process beidzas.

Ja starpība starp diviem secīgiem tuvinājumiem nesasniedz nepieciešamo precizitāti, tad jāturpina iteratīvais process un jādodas uz aplūkojamā algoritma 2. soli.

Vienādojumu risināšanas piemērs

pēc metodesŅūtons vienādojumam ar vienu mainīgo

Piemēram, apsveriet iespēju atrisināt nelineāru vienādojumu, izmantojot šo metodiŅūtons vienādojumam ar vienu mainīgo. Sakne ir jāatrod ar precizitāti kā pirmais tuvinājums.

Nelineāra vienādojuma risināšanas iespēja programmatūras pakotnēMathCADparādīts 3. attēlā.

Aprēķinu rezultāti, proti, saknes aptuvenās vērtības izmaiņu dinamika, kā arī aprēķinu kļūdas atkarībā no iterācijas soļa, ir attēloti grafiskā veidā (skat. 2. att.).

2. att. Aprēķinu rezultāti, izmantojot Ņūtona metodi vienādojumam ar vienu mainīgo

Lai nodrošinātu norādīto precizitāti, meklējot aptuvenu vienādojuma saknes vērtību diapazonā, ir jāveic 4 iterācijas. Pēdējā iterācijas solī nelineārā vienādojuma saknes aptuveno vērtību noteiks vērtība: .

3. att . Programmu sarakstsMathCad

Ņūtona metodes modifikācijas vienādojumam ar vienu mainīgo

Ir vairākas Ņūtona metodes modifikācijas, kuru mērķis ir vienkāršot skaitļošanas procesu.

Vienkāršota Ņūtona metode

Saskaņā ar Ņūtona metodi katrā iterācijas solī ir jāaprēķina funkcijas f(x) atvasinājums, kas noved pie skaitļošanas izmaksu pieauguma. Lai samazinātu izmaksas, kas saistītas ar atvasinājuma aprēķināšanu katrā aprēķina posmā, jūs varat aizstāt atvasinājumu f’(x n) punktā x n formulā ar atvasinājumu f’(x 0) punktā x 0. Saskaņā ar šo aprēķina metodi saknes aptuveno vērtību nosaka pēc šādas formulas:Modificēta Ņūtona metode

Ņūtona atšķirības metode

Rezultātā funkcijas f(x) saknes aptuveno vērtību noteiks Ņūtona atšķirības metodes izteiksme:

Ņūtona divpakāpju metode

Saskaņā ar Ņūtona metodi katrā iterācijas solī ir jāaprēķina funkcijas f(x) atvasinājums, kas ne vienmēr ir ērti un dažreiz praktiski neiespējami. Šī metodeļauj funkcijas atvasinājumu aizstāt ar starpības koeficientu (aptuveno vērtību):

Rezultātā funkcijas f(x) saknes aptuvenā vērtība tiks noteikta ar šādu izteiksmi:

Kur

5. att . Ņūtona divpakāpju metode

Sekanta metode ir divpakāpju metode, tas ir, jauna tuvināšananosaka divas iepriekšējās iterācijas Un . Metodei jānorāda divi sākotnējie tuvinājumi Un . Metodes konverģences ātrums būs lineārs.

• Atpakaļ
• Uz priekšu

Lai rakstam pievienotu savu komentāru, lūdzu, reģistrējieties vietnē.

2. Ņūtona metode nelineāru vienādojumu sistēmu risināšanai.

Šai metodei ir daudz ātrāka konverģence nekā vienkāršajai iterācijas metodei. Ņūtona metode vienādojumu sistēmai (1.1) balstās uz funkcijas paplašināšanas izmantošanu

, Kur
(2.1)

Teilora sērijā ar terminiem, kas satur otro vai vairāk augsti pasūtījumi atvasinājumi tiek izmesti. Šī pieeja ļauj atrisināt vienu nelineāra sistēma(1.1) aizstāj ar vairāku lineāru sistēmu risinājumu.

Tātad, sistēmu (1.1) atrisināsim pēc Ņūtona metodes. Reģionā D izvēlieties jebkuru punktu
un sauc to par nulles tuvinājumu sākotnējās sistēmas precīzam risinājumam. Tagad izvērsīsim funkcijas (2.1) Teilora sērijā punkta tuvumā. Būs

Jo (2.2) kreisajām pusēm ir jāpazūd saskaņā ar (1.1), tad (2.2) labajām pusēm ir jāpazūd arī. Tāpēc no (2.2) mums ir

Visi (2.3) daļējie atvasinājumi ir jāaprēķina punktā .

(2.3) ir lineāra sistēma algebriskie vienādojumi attiecībā pret nezināmajiem Šo sistēmu var atrisināt ar Krāmera metodi, ja tās galvenais determinants nav nulle un lielumus var atrast

Tagad mēs varam precizēt nulles aproksimāciju, konstruējot pirmo tuvinājumu ar koordinātām

tie.
. (2.6)

Noskaidrosim, vai aproksimācija (2.6) ir iegūta ar pietiekamu precizitātes pakāpi. Lai to izdarītu, pārbaudīsim stāvokli

,
(2.7)

Kur iepriekš noteikts neliels pozitīvs skaitlis (precizitāte, ar kādu sistēma (1.1.) jāatrisina). Ja nosacījums (2.7) ir izpildīts, tad izvēlamies (2.6) kā aptuvenu sistēmas (1.1) risinājumu un pabeidzam aprēķinus. Ja nosacījums (2.7) nav izpildīts, mēs veicam šādu darbību. Sistēmā (2.3), nevis
pieņemsim atjauninātās vērtības

, (2.8)

tie. darīsim to šādas darbības

. (2.9)

Pēc tam sistēma (2.3) būs lielumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēma Pēc šo lielumu noteikšanas nākamā otrā tuvināšana
sistēmas (1.1) risinājumam atrodam, izmantojot formulas

Tagad pārbaudīsim stāvokli (2.7)

Ja šis nosacījums ir izpildīts, mēs pabeidzam aprēķinus, ņemot otro tuvinājumu kā aptuvenu sistēmas (1.1) risinājumu.
. Ja šis nosacījums nav izpildīts, mēs turpinām konstruēt nākamo tuvinājumu, ņemot vērā (2.3)
Ir nepieciešams veidot tuvinājumus, līdz nosacījums nav izpildīts.

Ņūtona metodes darba formulas sistēmas (1.1) atrisināšanai var ierakstīt formā.

Aprēķināt secību

Šeit
ir sistēmas risinājums

Formulēsim aprēķinu algoritmu, izmantojot formulas (2.11)-(2.13).

1. Izvēlēsimies apgabalam D piederošu nulles aproksimāciju.

2. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmā (2.13) uzstādām
,A.

3. Atrisināsim sistēmu (2.13) un atrodam lielumus
.

4. Formulās (2.12) ievietojam
un aprēķināt nākamās tuvinājuma sastāvdaļas.

5. Pārbaudīsim nosacījumu (2.7): (Skatiet vairāku daudzumu maksimālā aprēķināšanas algoritmu.)

6. Ja šis nosacījums ir izpildīts, tad aprēķinus pabeidzam, izvēloties aproksimāciju kā aptuveno risinājumu sistēmai (1.1). Ja šis nosacījums nav izpildīts, pārejiet uz 7. darbību.

7. Liekam
visiem .

8. Izpildīsim 3. soli, likšanu
.

Ģeometriski šo algoritmu var uzrakstīt šādi:

Algoritms. Vairāku daudzumu maksimālā aprēķins.

Piemērs. Apsvērsim Ņūtona metodes izmantošanu, lai atrisinātu divu vienādojumu sistēmu.

Atrisiniet, izmantojot Ņūtona metodi līdz precizitātei šādu sistēmu nelineārie vienādojumi

, (2.14)

Šeit
. Izvēlēsimies nulles tuvinājumu
, kas pieder domēnam D. Konstruēsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (2.3). Viņa izskatīsies

(2.15)

Apzīmēsim

Atrisināsim sistēmu (2.15) attiecībā uz nezināmajiem
, piemēram, Cramer metode. Mēs rakstām Krāmera formulas formā

(2.17)

kur ir sistēmas galvenais determinants (2.15.)

(2.18)

un sistēmas (2.15.) palīgdeterminantiem ir forma

.

Atrastās vērtības aizstājam ar (2.16) un atrodam pirmās tuvinājuma sastāvdaļas
sistēmas (2.15.) risinājumam.

Pārbaudīsim stāvokli

, (2.19)

ja šis nosacījums ir izpildīts, tad aprēķinus pabeidzam, pirmo tuvinājumu ņemot par aptuvenu sistēmas (2.15) risinājumu, t.i.
. Ja nosacījums (2.19) nav izpildīts, mēs uzstādām
,
un mēs būvēsim jauna sistēma lineārie algebriskie vienādojumi (2.15). Atrisinot to, mēs atrodam otro tuvinājumu
. Pārbaudīsim to. Ja šis nosacījums ir izpildīts, mēs izvēlamies kā aptuvenu sistēmas (2.15) risinājumu.
. Ja nosacījums nav izpildīts, mēs iestatām
,
un izveidojiet šādu sistēmu (2.15), lai atrastu
utt.

Uzdevumi

Visiem uzdevumiem ir nepieciešams:

Sastādiet programmu metodes skaitliskai realizācijai pēc piedāvātā algoritma.

Iegūstiet aprēķinu rezultātus.

Pārbaudiet rezultātus.

Ir dota divu nelineāru vienādojumu sistēma.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

3. nodaļa. Skaitliskās metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai.

Darba mērķis. Ievads dažās aptuvenās SLAE risināšanas metodēs un to skaitliskās realizācijas datorā.

Iepriekšējas piezīmes. Visas SLAE risināšanas metodes parasti iedala divās daļās lielas grupas. Pirmajā grupā ietilpst metodes, kuras parasti sauc par precīzām. Šīs metodes ļauj mums atrast jebkurai sistēmai precīzas vērtības nezināmie pēc ierobežota skaita aritmētisko darbību, no kurām katra tiek veikta precīzi.

Otrajā grupā ietilpst visas metodes, kas nav precīzas. Tos sauc par iteratīviem, skaitliskiem vai aptuveniem. Precīzs risinājums, izmantojot šādas metodes, tiek iegūts nebeidzama aproksimācijas procesa rezultātā. Šādu metožu pievilcīga iezīme ir to paškorekcija un ērta ieviešana datorā.

Apskatīsim dažas aptuvenas metodes SLAE risināšanai un izveidosim algoritmus to skaitliskai ieviešanai. Mēs iegūsim aptuvenu SLAE risinājumu ar precizitāti , kur ir kāds ļoti mazs pozitīvs skaitlis.

1. Iterācijas metode.

Ļaujiet SLAE norādīt formā

(1.1)

Šo sistēmu var uzrakstīt matricas formā

, (1.2)

Kur
- koeficientu matrica nezināmajiem sistēmā (1.1.),
- brīvo dalībnieku kolonna,
- sistēmas nezināmo kolonna (1.1.).

. (1.3)

Atrisināsim sistēmu (1.1), izmantojot iterācijas metodi. Lai to izdarītu, mēs veiksim šādas darbības.

Pirmkārt. Izvēlēsimies nulles tuvinājumu

(1.4)

uz precīzu sistēmas (1.1.) risinājumu (1.3.). Nulles tuvinājuma komponenti var būt jebkuri skaitļi. Bet nulles tuvinājuma komponentiem ērtāk ir ņemt vai nu nulles
, vai bezmaksas sistēmas noteikumi (1.1)

Otrkārt. Mēs aizstājam nulles tuvinājuma komponentus ar labā puse sistēmu (1.1) un aprēķināt

(1.5)

Kreisajā pusē esošie daudzumi (1.5) ir pirmās tuvinājuma sastāvdaļas
Darbības, kuru rezultātā tika iegūta pirmā tuvināšana, sauc par iterāciju.

Trešais. Pārbaudīsim nulli un pirmo tuvinājumu

(1.6)

Ja ir izpildīti visi nosacījumi (1.6), tad sistēmas (1.1) aptuvenajam risinājumam izvēlamies vai nu , vai arī tam nav nozīmes, jo tie atšķiras viens no otra ne vairāk kā ar un pabeigsim aprēķinus. Ja nav izpildīts vismaz viens no nosacījumiem (1.6), mēs pārejam pie nākamās darbības.

Ceturtkārt. Veiksim nākamo iterāciju, t.i. sistēmas (1.1) labajā pusē aizvietojam pirmās aproksimācijas sastāvdaļas un aprēķinām otrās aproksimācijas sastāvdaļas
, Kur

Piektkārt. Pārbaudīsim
un uz , t.i. Pārbaudīsim šo tuvinājumu nosacījumu (1.6). Ja ir izpildīti visi nosacījumi (1.6), tad sistēmas (1.1) aptuvenajam risinājumam izvēlēsimies vai nu , vai arī tam nav nozīmes, jo tie atšķiras viens no otra ne vairāk kā par . Pretējā gadījumā mēs izveidosim nākamo iterāciju, aizstājot otrās aproksimācijas komponentus sistēmas labajā pusē (1.1).

Iterācijas jāveido līdz diviem blakus esošajiem tuvinājumiem
un atšķirsies viens no otra ne vairāk kā par .

Iterācijas metodes darba formulu sistēmas (1.1) risināšanai var uzrakstīt kā

Formulas (1.7) skaitliskās realizācijas algoritms var būt šāds.

Pietiekami nosacījumi iterācijas metodes konverģencei sistēmai (1.1) ir formā

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Vienkārša iterācijas metode.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma (SLAE) ir dota formā

(2.1)

Lai atrisinātu sistēmu (2.1), izmantojot vienkāršās iterācijas metodi, tā vispirms ir jāsamazina līdz formai

(2.2)

Sistēmā (2.2) -. vienādojums ir sistēmas (2.1.) -tais vienādojums, kas atrisināts attiecībā pret -. nezināmo (
).

Sistēmas (2.1.) atrisināšanas metodi, kas sastāv no tās reducēšanas līdz sistēmai (2.2.), kam seko sistēmas (2.2.) atrisināšana, izmantojot iterācijas metodi, sauc par sistēmas (2.1.) vienkāršo iterācijas metodi.

Tādējādi sistēmas (2.1) risināšanas vienkāršās iterācijas metodes darba formulas iegūs formu

(2.3)

Formulas (2.3) var ierakstīt formā

Vienkāršās iterācijas metodes skaitliskās realizācijas algoritms sistēmai (2.1) pēc formulām (2.4) var būt šāds.

Šo algoritmu var uzrakstīt ģeometriski.

Pietiekami nosacījumi vienkāršās iterācijas metodes konverģencei sistēmai (2.1) ir formā

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacionārā Seidela metode.

Seidel metode SLAE risināšanai atšķiras no iterācijas metodes ar to, ka, atraduši kādu tuvinājumu --ajam komponentam, mēs to nekavējoties izmantojam, lai atrastu nākamo.
,
, …, -tā sastāvdaļa. Šī pieeja ļauj sasniegt vairāk liels ātrums Seidela metodes konverģence salīdzinājumā ar iterācijas metodi.

Ļaujiet SLAE norādīt formā

(3.1)

Ļaujiet
- nulles tuvinājums precīzam risinājumam
sistēmas (3.1.). Un lai tas tiek atrasts tuvinājums
. Definēsim sastāvdaļas
tuvināšana, izmantojot formulas

(3.2)

Formulas (3.2) var rakstīt kompaktā formā

,
,
(3.3)

Seidela metodes skaitliskās realizācijas algoritms sistēmas (3.1) risināšanai, izmantojot formulas (3.3), var būt šāds.

1. Izvēlēsimies, piemēram,
,

2. Liksim .

3. Parēķināsim katram.

4. Mēs pārbaudīsim nosacījumus visiem
.

5. Ja ir izpildīti visi 4.punkta nosacījumi, tad izvēlēsimies vai nu vai kā aptuvenu risinājumu sistēmai (3.1) un pabeigsim aprēķinus. Ja nav izpildīts vismaz viens nosacījums 4. darbībā, pārejiet uz 6. darbību.

6. Noliksim to un pārejam uz 3. darbību.

Šo algoritmu var uzrakstīt ģeometriski.

Pietiekamajam nosacījumam Seidela metodes konverģencei sistēmai (3.1) ir forma
, .

4. Nestacionārā Seidela metode.

Šī SLAE risināšanas metode (3.1) nodrošina vēl lielāku Seidel metodes konverģences ātrumu.

Ļaujiet mums kaut kā atrast th aproksimācijas komponentus un th aproksimāciju sistēmai (3.1).

Aprēķināsim korekcijas vektoru

Aprēķināsim vērtības

, (4.2)

Sakārtosim daudzumus
, dilstošā secībā.

Tādā pašā secībā mēs pārrakstām vienādojumus sistēmā (3.1) un nezināmos šajā sistēmā: Lineārsalgebra Un nelineārs ... VadībaPriekš laboratorija darbojasAutors ... metodoloģiski instrukcijas PriekšpraktiskidarbojasAutors Priekšstudenti ...

Mācību literatūra (dabas zinātnes un tehnika) 2000-2011 DP cikls – 10 gadi CD cikls – 5 gadi

Literatūra

... DabiskiZinātnes vispārīgi 1. Astronomija [Teksts]: rokasgrāmata Priekš ... Skaitlisksmetodes: Lineārsalgebra Un nelineārs ... VadībaPriekš laboratorija darbojasAutors ... metodoloģiski instrukcijas PriekšpraktiskidarbojasAutors disciplīna "Transporta ekonomika" Priekšstudenti ...

- dabaszinātnes (1)

Apmācība

... vadībaPriekšstudenti un skolotājiem, paredzēts Priekš izmantot ne tikai mācībām metodesstrādāt... ražošana praktiski prasmes izmantot reālus datus. Metodisks ieteikumus Autors testa izpilde strādātAutorsšis...

- dabaszinātnes - fiziskās un matemātikas zinātnes - ķīmijas zinātnes - zemes zinātnes (ģeodēziskās ģeofizikālās ģeoloģijas un ģeogrāfijas zinātnes)

Dokuments

... Priekšstudentidabiski- ... darbojasAutors disciplīna "Ģenētika un selekcija", kas veltīta pašreizējās problēmasšis Zinātnes. Sistematizēta neatkarīga DarbsstudentiAutors teorētiskās un praktiski ... lineārs, nelineārs, dinamisks. Visi metodes ...

- dabaszinātnes - fiziskās un matemātikas zinātnes - ķīmijas zinātnes - zemes zinātnes (ģeodēziskās ģeofizikālās ģeoloģijas un ģeogrāfijas zinātnes) (7)

Mācību grāmatu saraksts

Eremīna noteicējs lineārs Un nelineārsalgebra : lineārs Un nelineārs programmēšana: jauns metodi/Eremins, Mihails... Priekšstudenti un augstskolu ģeoloģijas specialitāšu pasniedzēji. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktiskivadībaAutors ...

Nelineāru vienādojumu atrisināšana pēc Ņūtona metodes

Elektroenerģijas problēmu risināšanai ir vairākas metodes modifikācijas. Tie ļauj palielināt iteratīvā procesa konverģences ātrumu un samazināt aprēķina laiku.

Pamati cieņu metode - tai ir ātra konverģence.

Metodes ideja sastāv no secīgas aizstāšanas katrā sākotnējās nelineārās vienādojumu sistēmas aprēķina iterācijā ar kādu lineāro vienādojumu palīgsistēmu, kuras risinājums ļauj iegūt nākamo nezināmo tuvinājumu, tuvāk vēlamajam risinājumam ( linearizācija).

Apsveriet nelineāro vienādojumu vispārējs skats:

Nepieciešamais vienādojuma risinājums ir punkts, kurā līkne krustojas ar x asi.

Mēs iestatām nezināmā sākotnējo tuvinājumu x (0). Nosakiet funkcijas vērtību šajā punktā w(x(0)) un uzzīmējiet pieskares līknei punktā B. Šīs pieskares krustpunkts ar x asi nosaka nākamo nezināmā tuvinājumu. x (1) utt.

Izvērsīsim vienādojumu (1) Teilora sērijā punkta tuvumā x (0). Apskatīsim paplašināšanas nosacījumus, kas satur tikai 1. atvasinājumu:

(2)

x – x (0) = Δx- grozījums nezināmajā. Ja mēs to definējam, mēs varam noteikt nākamo tuvinājumu.

No (2) mēs nosakām grozījumu (3)

Tad šāds tuvinājums: (5)

Līdzīgi mēs saņemam Uz-e tuvinājumi:

Šis Ņūtona metodes atkārtota formula nelineāru vienādojumu risināšanai. Tas ļauj noteikt nākamos nezināmo tuvinājumus.

Formulu (6) var iegūt citā veidā no attēla:

Iteratīvais process saplūst, ja tas samazinās un tuvojas 0 . Rezultāts tiek sasniegts, ja.

Komentārs par ģeometrisko interpretāciju

Metodes iteratīvais solis tiek reducēts līdz līknes aizstāšanai ar taisnu līniju, ko apraksta vienādojuma (2) kreisā puse. Tas ir pieskares līknei punktā . Šo procesu sauc linearizācija. Līknes pieskares krustpunkts ar asi X dod citu nezināmā tuvinājumu. Tāpēc šo metodi sauc tangentes metode.

Piemērs:

Piemērs:

Lai ar šo metodi noteiktu visas nelineārā vienādojuma saknes, ir jānosaka jebkādā veidā aptuvensšo sakņu atrašanās vietu un iestatiet sākotnējos tuvinājumus to tuvumā.

Vienkāršs veids, kā noteikt vietu, kur atrodas saknes, ir tabulēšana.

Ņūtona iterācijas process nesaplūst, ja sākotnējie tuvinājumi ir izvēlēti tā, lai:

Process vai nu nesaplūst, vai saplūst ļoti slikti.

Ņūtona-Rafsona metode SNAU risināšanai

Rafsons parādīja, ka risināšanai piedāvāta Ņūtona iteratīvā metode viens nelineārs vienādojumi, var izmantot, lai atrisinātu sistēmas nelineārie vienādojumi.

Tajā pašā laikā, lai atrisinātu nelineāro vienādojumu sistēmas, ir jāņem vērā kopa (vektors), nevis viens nezināms nezināms:

viena atlikušā vienādojuma vietā mēs uzskatām atlikumu vektors sistēmas vienādojumi:

Viens (6) atvasinājums tiek aizstāts atvasinājumu matrica. Dalīšanas darbība punktā (6) tiek aizstāta ar reizināšanu ar otrādi atvasinājumu matrica. Šajā gadījumā Ņūtona-Rafsona metode atšķiras no Ņūtona metodes ar pāreju no viendimensijas problēmas uz daudzdimensionāls.

Apskatīsim reālo nelineāro algebrisko vienādojumu sistēmu:

(7)

To var uzrakstīt matricas formā:

Kur X= x 2 – vektors – nezināmo kolonna;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektora funkcija.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Ļaujiet - nezināmo sākotnējie tuvinājumi. Izvērsīsim katru sistēmas (7) vienādojumu par Teilora sēriju punkta tuvumā X (0), proti, veiksim sākotnējo nelineāro vienādojumu aptuveno aizstāšanu ar lineārajiem, kuros ir saglabāts tikai 1.atvasinājums (linearizācija). Rezultātā vienādojumu sistēma (7) iegūst šādu formu:

(9)

Rezultātā mēs saņēmām lineāro vienādojumu sistēma(linearizēta sistēma), kurā nezināmie ir labojumi. Koeficienti nezināmajiem šajā sistēmā ir pirmie vienādojumu atvasinājumi w j sākotnējās nelineārās sistēmas visiem nezināmajiem Sji.. Tie veido koeficientu matricu - Jacobi matrica:

=

Katra matricas rinda sastāv no nelineārās sistēmas nākamā vienādojuma pirmajiem atvasinājumiem attiecībā pret visiem nezināmajiem.

Rakstīsim linearizēto sistēmu (9) matricas formā:

(10)

Šeit ir sākotnējās sistēmas vienādojumu atlikumu vektors. Tās elementus iegūst, aizvietojot secīgus nezināmo tuvinājumus nelineārās sistēmas vienādojumos;

- Jakoba matrica. Tās elementi ir visu sākotnējās sistēmas vienādojumu pirmie daļējie atvasinājumi attiecībā pret visiem nezināmajiem;

- korekcijas vektors uz vēlamajiem nezināmajiem. Katrā iterācijā var rakstīt:

Sistēmu (10), ņemot vērā pieņemto apzīmējumu, var rakstīt:

(12)

Šī sistēma lineārs par grozījumiem ΔХ (k).

Sistēma (13) ir linearizēta vienādojumu sistēma, kas aizstāj sākotnējo SNAU katrā iteratīvā procesa posmā.

Sistēma (13) tiek atrisināta ar jebkuru zināmu metodi, kā rezultātā atrodam korekcijas vektoru . Tad no (11) mēs varam atrast nākamās pieejas nezināms:

Tas. katrs iteratīvs solis process sastāv no lineārās sistēmas (13) atrisināšanas un nākamās aproksimācijas noteikšanas no (14).

No (11) un (12) mēs varam iegūt vispārīgo atkārtošanās formula(matricas formā), kas atbilst Ņūtona–Rafsona metodei:

(15)

Tā struktūra atbilst formulai (6).

Praktiskajos aprēķinos tiek izmantota formula (15). reti, jo šeit katrā aprēķinu iterācijā ir jāapgriež Jakoba matrica (lielas dimensijas). Reālos aprēķinos korekcijas nosaka lineārās sistēmas (13) risināšanas rezultātā.

Pabeigšanas kontrole Mēs veicam iteratīvo procesu, izmantojot atlikumu vektoru:

Šis nosacījums ir jāizpilda attiecībā uz atlikumiem visi sistēmas vienādojumi.

Algoritms SNAU risināšanai, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi

1. Nezināmo sākotnējo tuvinājumu vektora norādīšana.

Aprēķinu precizitātes iestatīšana є , citi aprēķina parametri

2. Nelineāro vienādojumu atlikumu noteikšana aproksimācijas punktā;

2.3. Jakoba matricas elementu noteikšana nākamās nezināmo aproksimācijas punktā;

2.4. Linearizētas sistēmas (13) risinājums ar jebkuru zināmu metodi. Nezināmo grozījumu noteikšana.

2.5. Nākamā nezināmo tuvinājuma noteikšana saskaņā ar (14).

2.6. Iterācijas procesa pabeigšanas uzraudzība saskaņā ar (16). Ja nosacījums nav izpildīts, atgriezieties pie 2. darbības.

Piemērs:

Atrisiniet SLAE, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi:

(risinājums X 1 = X 2 = 2)

Uzrakstīsim vienādojumus atlikumu veidā:

Mēs definējam Jacobian matricas elementus:

Jakoba matrica:

Ieviesīsim Ņūtona-Rafsona metodes algoritmu:

1) Pirmā iterācija:

Sākotnējie tuvinājumi

Atlikumi

Jakoba matrica:

Linearizēta vienādojumu sistēma:

1. nezināmo tuvinājums:

2) Otrā iterācija

3) Trešā iterācija:

… ……… …… …… …… ……..

Līdzsvara stāvokļa vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi

Līdzsvara stāvokļa nelineārajam vienādojumam jaudas līdzsvara formā mezglam ir šāda forma:

(17)

Šis ir vienādojums ar sarežģītiem nezināmajiem un koeficientiem. Lai šādi (17) formas vienādojumi bija iespējams izlemt izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi, tās tiek pārveidotas: tiek atdalītas reālās un iedomātās daļas. Tā rezultātā katrs kompleksais vienādojums forma (17) sadalās divos reālos vienādojumos, kas atbilst aktīvās un reaktīvās jaudas līdzsvaram mezglā:

Šeit ir norādītas mezglā norādītās pilnvaras;

Nezināmas sprieguma sastāvdaļas mezglos. Tie ir vajadzīgi

nosaka aprēķina rezultātā.

Vienādojuma (18) labajā pusē ir aprēķinātā plūsmas kopējā jauda zaros, kas tuvojas th mezglam.

Ierakstīsim šos vienādojumus (18) formā atlikumi:

(19) vienādojumu atlikumi atbilst aprēķinātajam nelīdzsvarotība aktīvā un reaktīvā jauda th mezglā.

Atlikumi apraksta mezgla režīmu і un ir nezināmu spriegumu nelineāras funkcijas mezglos. Ir nepieciešams, lai -> 0.

Sistēmu atrisināsim pēc Ņūtona-Rafsona metodes 2n formas (19) vienādojumi, tas ir, lai atrisinātu elektrības tīkla līdzsvara stāvokļa aprēķināšanas problēmu, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi, jums ir nepieciešams:

1) veido sistēmu 2n formas (19) vienādojumi visiem elektrotīkla mezgliem, izņemot balansējošos;

2) organizēt Ņūtona-Rafsona metodes iteratīvo procesu

lai atrisinātu šo vienādojumu sistēmu. Lēmuma rezultātā

mezglos iegūstam nepieciešamās sprieguma komponentes.

Uzrakstīsim šo vienādojumu sistēmu vispārīgā formā:

(20)

Mēs saņēmām 2 nelineāru sistēmu atlikušie vienādojumi ar 2 nezināmajiem, kas. Nezināmās sastāvdaļas tajā ir sprieguma komponentes - moduļi un leņķi.

Lai atrisinātu sistēmu (20), izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi, jums jāraksta palīgierīce formas (13) linearizēta vienādojumu sistēma, kuru risinot katrā iterācijā, nosaka nezināmo korekcijas:

(21)

Ņemot vērā pieņemto apzīmējumu, sistēmu (21) var rakstīt:

(22)

kur ir Jakoba matrica, tās elementi ir sistēmas (20) vienādojumu daļēji atvasinājumi attiecībā pret visiem nezināmajiem - sprieguma komponentiem

Sistēmas (20) vienādojumu atlikumu vektors. To vērtības tiek iegūtas, vienādojumos aizstājot secīgus nezināmo tuvinājumus;

Nezināmo labojumu vektors:

; ΔӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Lai noteiktu Jacobian matricas elementus, ko mēs izmantojam analītiskā diferenciācija, t.i. Atšķiram katru sistēmas (20) vienādojumu pēc nepieciešamajiem lielumiem – leņķiem un sprieguma moduļiem. Lai izveidotu Jakoba matricu, jums jāiegūst analītiskas izteiksmes sekojošo atvasinājumiem sugas:

1) th mezgla aktīvās jaudas atlikuma vienādojuma atvasinājums attiecībā pret tā paša mezgla sprieguma leņķi: ;

2) th mezgla aktīvās jaudas atlikuma vienādojuma atvasinājums attiecībā pret blakus esošā sprieguma leņķi. j- th mezgls: ;

3) th mezgla aktīvās jaudas atlikuma atvasinājums modulo tā paša mezgla spriegumu: ;

4) Atvasinājums no th mezgla aktīvās jaudas atlikuma modulo blakus esošā mezgla spriegumam: ;

Līdzīgi tiek noteikti vēl četri atvasinājumu veidi - atvasinājumi no mezgla reaktīvās jaudas atlikuma vienādojumiem visiem nezināmajiem:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Ņemot vērā šos atvasinājumus, Jacobi matricu var uzrakstīt vispārīgā formā:

(23)

Definēsim analītiskās izteiksmes atvasinājumiem, diferencējot sistēmas (20) vienādojumus attiecībā uz nezināmiem lielumiem. Tie izskatās šādi:

(24)

Jakoba matrica V vispārējs gadījums- kvadrātveida matrica, simetriska, ar dimensiju , tās elementi ir vienādojumu atlikumu (jaudas nelīdzsvarotības) daļēji atvasinājumi attiecībā pret visiem nezināmajiem.

Ja mezgli nav savstarpēji savienoti, tad atbilstošie matricas atvasinājumi Jakoba matrica, kas atrodas ārpus diagonāles, būs vienādi ar nulli (līdzīgi vadītspējas matricai) - jo atbilstošajās formulās (24) savstarpējā vadītspēja y ij ir faktors un. y ij =0.

Katra matricas rinda ir nākamā sistēmas (20) vienādojuma atvasinājumi.

Īpašu mezglu klātbūtne modelētajā tīkla diagrammā (atbalsta un balansēšanas mezgli, FM mezgli) ietekmē struktūra līdzsvara stāvokļa vienādojumu sistēma un par Jakoba matricas struktūru:

1. Mezglu ar moduļa nostiprināšana spriegumi (FM), kuros dotais un nezināmais ir un , no Jakoba matricas izslēgts atvasinājumu līnija (kopš Q i nav norādīts, tad nevar sastādīt reaktīvās jaudas bilances vienādojumu (18), (19) un atvasinājumu kolonnu (kopš sprieguma moduļa Ui zināms un tas ir izslēgts no nezināmo saraksta).

2. Atbalsta un balansēšanas mezgliem atbilstošās matricas rindas un kolonnas ir izslēgtas;

3. Ja mezgli nav tieši savienoti, attiecīgie atvasinājumi matricā ir vienādi ar nulli.

Jakoba matricu var iedalīt četrās bloķēt:

1) - nelīdzsvarotības vienādojumu atvasinājumi aktīvs jauda (20) ar stūriem stress;

2) - nelīdzsvarotības vienādojumu atvasinājumi aktīvs jauda ar moduļi stress;

3) - nelīdzsvarotības vienādojumu atvasinājumi reaģējošs jauda (20) ar stūriem stress;

4) - nelīdzsvarotības vienādojumu atvasinājumi reaģējošs jauda ar moduļi stress.

Tās ir aktīvās un reaktīvo jaudu nelīdzsvarotības daļēju atvasinājumu matricas šūnas nezināmos leņķos un sprieguma moduļos. Kopumā tās ir izmēru kvadrātveida matricas n × n.

Ņemot to vērā, Jakoba matricu var attēlot kā bloķēt matricas:

Kur nezināmu lielumu apakšvektors.

Ņemot to vērā, linearizēto vienādojumu sistēmu (22) var uzrakstīt šādā formā:

. (25)

Atrisinot šo lineārā sistēma vienādojumi (ar jebkuru zināmu metodi) ieslēgti

Katrai metodes iterācijai mēs atrodam nezināmo labojumus un pēc tam

regulāri tuvojas nezināms:

(26)

Nākamo nezināmo tuvinājumu var iegūt arī, izmantojot iterācijas formulaŅūtona-Rafsona metode, līdzīga (15):

- · (27)

Tas prasa apgriezt Jakoba matricu katrā iterācijā - apgrūtinoša skaitļošanas darbība.

Algoritms līdzsvara stāvokļa vienādojumu sistēmu risināšanai, izmantojot Ņūtona-Rafsona metodi

1. Nezināmu spriegumu sākotnējo vērtību iestatīšana. Kā sākotnējos tuvinājumus pieņemam: , t.i. mezglu nominālie spriegumi;

2. Aprēķinu nosacījumu iestatīšana: precizitāte ε , iterāciju skaita ierobežošana, paātrināšanas koeficienti utt.

3. Vienādojumu atlikumu noteikšana saskaņā ar vienādojumiem (20) ar secīgiem nezināmo tuvinājumiem;

4. Jakobi matricas elementu noteikšana saskaņā ar (24) ar secīgiem nezināmo tuvinājumiem;

5. Linearizētās vienādojumu sistēmas (25) atrisināšana un nezināmo labojumu noteikšana;

6. Nākamo nezināmo tuvinājumu noteikšana saskaņā ar (26);

7. Iterācijas procesa pabeigšanas pārbaude:

Visu mezglu vienādojumu atlikušajām vērtībām jābūt mazākām par norādīto precizitāti.

Ja nosacījums nav izpildīts, atgriezieties pie 3. punkta un atkārtojiet aprēķinu ar jauniem nezināmo tuvinājumiem.

Ir vairāki Ņūtona-Rafsona metodes modifikācijas. Tostarp:

1. Modificēta Ņūtona-Rafsona metode.

Jakoba matrica tiek aprēķināta vienreiz nezināmo sākotnējām vērtībām. Turpmākajās iterācijās tas tiek pieņemts nemainīgs. Tas ievērojami samazina aprēķinu apjomu katrā iterācijā, bet palielina iterāciju skaitu.

2. Sadalītā Ņūtona-Rafsona metode.

Formas atvasinājumi ir ļoti mazi, un to vērtības var ignorēt. Rezultātā Jēkaba ​​matricā paliek divi bloki - 1. un 4. un sistēma (25), kas sastāv no vienādojumiem sadalās divās neatkarīgās dimensiju sistēmās. Katra no šīm sistēmām tiek atrisināta atsevišķi no otras. Tas noved pie aprēķinu apjoma un nepieciešamās datora atmiņas samazināšanās.