Vienādojumi kopumā, lineārie algebriskie vienādojumi un to sistēmas, kā arī to risināšanas metodes ieņem īpašu vietu gan teorētiskajā, gan lietišķajā matemātikā.
Tas ir saistīts ar faktu, ka lielāko daļu fizisko, ekonomisko, tehnisko un pat pedagoģisko problēmu var aprakstīt un atrisināt, izmantojot dažādus vienādojumus un to sistēmas. IN pēdējā laikā ir ieguvusi īpašu popularitāti pētnieku, zinātnieku un praktiķu vidū matemātiskā modelēšana gandrīz visās mācību priekšmetu jomās, kas skaidrojams ar tā acīmredzamajām priekšrocībām salīdzinājumā ar citām zināmām un pārbaudītām dažāda rakstura objektu izpētes metodēm, jo īpaši t.s. sarežģītas sistēmas. Zinātnieki ir devuši daudz dažādu matemātiskā modeļa definīciju dažādi laiki, taču, mūsuprāt, visveiksmīgākais ir šāds apgalvojums. Matemātiskais modelis- šī ir ideja, izteikts ar vienādojumu. Tādējādi prasme sastādīt un risināt vienādojumus un to sistēmas ir mūsdienu speciālista neatņemama īpašība.
Risināt lineārās sistēmas algebriskie vienādojumi Visbiežāk izmantotās metodes ir Cramer, Jordan-Gauss un matricas metode.
Matricas risināšanas metode ir metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai ar determinantu, kas nav nulle, izmantojot apgriezto matricu.
Ja izrakstīt koeficientus nezināmajiem lielumiem xi matricā A, nezināmos lielumus apkopot vektora kolonnā X un brīvos vārdus vektora kolonnā B, tad lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu var uzrakstīt formā pēc matricas vienādojuma A · X = B, kuram ir unikāls risinājums tikai tad, ja matricas A determinants nav vienāds ar nulli. Šajā gadījumā vienādojumu sistēmas risinājumu var atrast šādi X = A-1 · B, Kur A -1 - apgrieztā matrica.
Matricas risinājuma metode ir šāda.
Lai sistēma ir dota lineārie vienādojumi Ar n nezināms:
To var pārrakstīt matricas formā: AX = B, Kur A- sistēmas galvenā matrica, B Un X- attiecīgi sistēmas brīvo terminu un risinājumu kolonnas:
Sareizināsim šo matricas vienādojums atstāts ieslēgts A-1 - matricas apgrieztā matrica A: A -1 (AX) = A -1 B
Jo A -1 A = E, saņemam X=A -1 B. Labā puse no šī vienādojuma dos sākotnējās sistēmas risinājumu kolonnu. Piemērojamības nosacījums šī metode(kā arī risinājuma esamība kopumā viendabīga sistēma lineāri vienādojumi ar vienādojumu skaitu, kas vienāds ar nezināmo skaitu) ir matricas nedeģenerācija A. Nepieciešams un pietiekamā stāvoklī Tas nozīmē, ka matricas determinants nav vienāds ar nulli A:det A≠ 0.
Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai, tas ir, kad vektors B = 0 , ir spēkā pretējs noteikums: sistēma AX = 0 ir netriviāls (tas ir, nulles atrisinājums) tikai tad, ja det A= 0. Šādu saikni starp viendabīgu un nehomogēnu lineāro vienādojumu sistēmu atrisinājumiem sauc par Fredholma alternatīvu.
Piemērs nehomogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumi.
Pārliecināsimies, ka matricas determinants, kas sastāv no lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas nezināmo koeficientiem, nav vienāds ar nulli.
Nākamais solis ir aprēķināt algebriskie papildinājumi matricas elementiem, kas sastāv no nezināmo koeficientiem. Tie būs nepieciešami, lai atrastu apgriezto matricu.
(dažreiz šo metodi sauc arī matricas metode vai apgrieztās matricas metode) prasa iepriekšēju iepazīšanos ar tādu jēdzienu kā SLAE apzīmējuma matricas forma. Apgrieztās matricas metode ir paredzēta tādu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās sistēmas matricas determinants atšķiras no nulles. Protams, tas pieņem, ka sistēmas matrica ir kvadrātveida (determinanta jēdziens pastāv tikai kvadrātveida matricām). Apgrieztās matricas metodes būtību var izteikt trīs punktos:
- Pierakstiet trīs matricas: sistēmas matricu $A$, nezināmo matricu $X$, brīvo terminu matricu $B$.
- Atrodiet apgriezto matricu $A^(-1)$.
- Izmantojot vienādību $X=A^(-1)\cdot B$, iegūstiet dotā SLAE risinājumu.
Jebkuru SLAE var uzrakstīt matricas formā kā $A\cdot X=B$, kur $A$ ir sistēmas matrica, $B$ ir brīvo terminu matrica, $X$ ir nezināmo matrica. Ļaujiet pastāvēt matricai $A^(-1)$. Sareizināsim abas vienādības $A\cdot X=B$ malas ar matricu $A^(-1)$ kreisajā pusē:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Tā kā $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ir identitātes matrica), iepriekš uzrakstītā vienādība kļūst:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Tā kā $E\cdot X=X$, tad:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Piemērs Nr.1
Atrisiniet SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$, izmantojot apgriezto matricu.
$$ A=\left(\begin(masīvs) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(masīvs)\right);\; B=\left(\begin(masīvs) (c) 29\\ -11 \end(masīvs)\right);\; X=\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(masīvs)\labais). $$
Atradīsim sistēmas matricai apgriezto matricu, t.i. Aprēķināsim $A^(-1)$. Piemērā Nr.2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(masīvs)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(masīvs)\labais) . $$
Tagad aizstāsim visas trīs matricas ($X$, $A^(-1)$, $B$) vienādībā $X=A^(-1)\cdot B$. Pēc tam veicam matricas reizināšanu
$$ \left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(masīvs)\right)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 29\\ -11 \end(masīvs)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(masīvs)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(masīvs) (c) -3\\ 2\end(masīvs)\pa labi). $$
Tātad, mēs saņēmām vienādību $\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(masīvs) (c) -3\\ 2\end( masīvs )\right)$. No šīs vienādības mums ir: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Atbilde: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Piemērs Nr.2
Atrisiniet SLAE $ \left\(\begin(līdzināts) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(līdzināts)\right .$ izmantojot apgrieztās matricas metodi.
Pierakstīsim sistēmas $A$ matricu, brīvo terminu matricu $B$ un nezināmo matricu $X$.
$$ A=\left(\begin(masīvs) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(masīvs)\right);\; B=\left(\begin(masīvs) (c) -1\\0\\6\end(masīvs)\right);\; X=\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\labais). $$
Tagad ir kārta atrast sistēmas matricai apgriezto matricu, t.i. atrast $A^(-1)$. Piemērā Nr.3 lapā, kas veltīta apgriezto matricu atrašanai, apgrieztā matrica jau ir atrasta. Izmantosim gatavo rezultātu un ierakstīsim $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(masīvs)\pa labi). $$
Tagad aizstāsim visas trīs matricas ($X$, $A^(-1)$, $B$) vienādībā $X=A^(-1)\cdot B$ un pēc tam veiksim matricas reizināšanu labajā pusē. šīs vienlīdzības.
$$ \left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masīvs) \right)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) -1\\0\ \6\end(masīvs)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(masīvs)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 0\\-104\\234\end(masīvs)\right)=\left( \begin(masīvs) (c) 0\\-4\\9\end(masīvs)\labais) $$
Tātad, mēs saņēmām vienādību $\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\right)=\left(\begin(masīvs) (c) 0\\-4 \ \9\end(masīvs)\right)$. No šīs vienādības mums ir: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Apsvērsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAU) relatīvi n nezināms x 1 , x 2 , ..., x n :
Šo sistēmu “sakļautā” formā var uzrakstīt šādi:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Atbilstoši matricas reizināšanas likumam apskatāmo lineāro vienādojumu sistēmu var ierakstīt matricas forma Ax=b, Kur
,
,.
Matrica A, kuras kolonnas ir koeficienti attiecīgajiem nezināmajiem, bet rindas ir koeficienti nezināmajiem attiecīgajā vienādojumā tiek saukti sistēmas matrica. Kolonnu matrica b, kuras elementi ir sistēmas vienādojumu labās puses, sauc par labās puses matricu jeb vienkārši sistēmas labajā pusē. Kolonnu matrica x , kuras elementi ir nezināmie nezināmie, sauc sistēmas risinājums.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas uzrakstīta formā Ax=b, ir matricas vienādojums.
Ja sistēmas matrica nedeģenerēts, tad tai ir apgrieztā matrica un tad sistēmas risinājums ir Ax=b tiek dota pēc formulas:
x=A -1 b.
Piemērs Atrisiniet sistēmu 
matricas metode.
Risinājums atradīsim sistēmas koeficientu matricas apgriezto matricu
Aprēķināsim determinantu, izvēršot pa pirmo rindiņu:
Kopš Δ ≠ 0 , Tas A -1 pastāv.
Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi.
Meklēsim risinājumu sistēmai 
Tāpēc x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pārbaude: 
7. Kronecker-Capelli teorēma par lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamību.
Lineāro vienādojumu sistēma ir šāda forma:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1.)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Šeit ir doti a i j un b i (i = ; j = ), un x j ir nezināmi reāli skaitļi. Izmantojot matricu reizinājuma jēdzienu, sistēmu (5.1) varam pārrakstīt šādā formā:
kur A = (a i j) ir matrica, kas sastāv no koeficientiem sistēmas (5.1) nezināmajiem, ko sauc sistēmas matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ir kolonnu vektori, kas sastāv attiecīgi no nezināmajiem x j un brīvajiem terminiem b i .
Pasūtīta kolekcija n tiek izsaukti reālie skaitļi (c 1, c 2,..., c n). sistēmas risinājums(5.1), ja šo skaitļu aizvietošanas rezultātā atbilstošo mainīgo x 1, x 2,..., x n vietā katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par aritmētisko identitāti; citiem vārdiem sakot, ja ir vektors C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tāds, ka AC B.
Tiek izsaukta sistēma (5.1). locītava, vai atrisināms, ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai neatrisināms, ja tam nav risinājumu.
,
kas izveidota, piešķirot brīvo terminu kolonnu matricai A labajā pusē tiek izsaukta sistēmas paplašinātā matrica.
Sistēmas (5.1) saderības jautājums tiek atrisināts ar sekojošu teorēmu.
Kronekera-Kapella teorēma . Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja matricu A unA rindas sakrīt, t.i. r(A) = r(A) = r.
Sistēmas (5.1) risinājumu kopai M ir trīs iespējas:
1) M = (šajā gadījumā sistēma ir nekonsekventa);
2) M sastāv no viena elementa, t.i. sistēmai ir unikāls risinājums (šajā gadījumā sistēmu sauc noteikti);
3) M sastāv no vairāk nekā viena elementa (tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts). Trešajā gadījumā sistēmai (5.1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Sistēmai ir unikāls risinājums tikai tad, ja r(A) = n. Šajā gadījumā vienādojumu skaits nav mazāks par nezināmo skaitu (mn); ja m>n, tad m-n vienādojumi ir citu sekas. Ja 0 Lai atrisinātu patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu, ir jāspēj atrisināt sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo - t.s. Cramer tipa sistēmas: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3.) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistēmas (5.3.) risina kādā no šādiem veidiem: 1) Gausa metode jeb nezināmo likvidēšanas metode; 2) pēc Krāmera formulām; 3) matricas metode. Piemērs 2.12. Izpētiet vienādojumu sistēmu un atrisiniet to, ja tā ir konsekventa: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Risinājums. Mēs izrakstām sistēmas paplašināto matricu:
Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas rangu. Ir skaidrs, ka, piemēram, otrās kārtas minors augšējā kreisajā stūrī = 7 0; trešās kārtas nepilngadīgie, kas to satur, ir vienādi ar nulli: Līdz ar to sistēmas galvenās matricas rangs ir 2, t.i. r(A) = 2. Lai aprēķinātu paplašinātās matricas A rangu, apsveriet robežojošo minoru tas nozīmē, ka paplašinātās matricas rangs r(A) = 3. Tā kā r(A) r(A), sistēma ir nekonsekventa. 2. tēma. LINEĀRO ALGEBRĀKO VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS. Pamatjēdzieni. 1. definīcija. Sistēma m lineāri vienādojumi ar n nezināmie ir formas sistēma: kur un ir skaitļi. 2. definīcija. Sistēmas (I) risinājums ir nezināmo lietu kopums, kurā katrs šīs sistēmas vienādojums kļūst par identitāti. 3. definīcija. Sistēmu (I) sauc locītavu, ja tam ir vismaz viens risinājums un nav locītavu, ja tam nav risinājumu. Savienojumu sistēmu sauc noteikti, ja tam ir unikāls risinājums, un nenoteikts citādi. 4. definīcija. Formas vienādojums sauca nulle, un vienādojumam ir forma sauca nesaderīgi. Acīmredzot vienādojumu sistēma, kas satur nekonsekventu vienādojumu, ir nekonsekventa. 5. definīcija. Tiek sauktas divas lineāro vienādojumu sistēmas ekvivalents, ja katrs vienas sistēmas risinājums kalpo kā risinājums citai un, otrādi, katrs otrās sistēmas risinājums ir risinājums pirmajai. Lineāro vienādojumu sistēmas matricas attēlojums. Apskatīsim sistēmu (I) (sk. §1). Apzīmēsim: Koeficientu matrica nezināmajiem Matrica - brīvo terminu kolonna Matrica – nezināmo kolonna 1. definīcija. Matricu sauc sistēmas galvenā matrica(I), un matrica ir sistēmas (I) paplašinātā matrica. Pēc matricu vienādības definīcijas sistēma (I) atbilst matricas vienādībai: Šīs vienādības labā puse pēc matricu reizinājuma definīcijas ( skatīt 3. definīcijas 5. punkta 1. nodaļu) var faktorizēt: Vienlīdzība (2)
sauca sistēmas (I) matricas apzīmējums. Lineāro vienādojumu sistēmas risināšana, izmantojot Krāmera metodi. Ielaist sistēmu (I) (sk. §1) m=n, t.i. vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu, un sistēmas galvenā matrica ir nevienskaitlīga, t.i. . Tad sistēmai (I) no §1 ir unikāls risinājums kur Δ = det A sauc par galveno sistēmas noteicējs(I), Δ i tiek iegūts no determinanta Δ, aizstājot i kolonnu uz sistēmas brīvo dalībnieku kolonnu (I). Piemērs: atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera metodi: Pēc formulām (3)
Mēs aprēķinām sistēmas noteicošos faktorus: Lai iegūtu determinantu, mēs aizstājām determinanta pirmo kolonnu ar brīvo terminu kolonnu; aizstājot determinantā 2. aili ar brīvo terminu kolonnu, iegūstam ; līdzīgā veidā, aizstājot determinanta 3. kolonnu ar brīvo terminu kolonnu, iegūstam . Sistēmas risinājums: Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot apgriezto matricu. Ielaist sistēmu (I) (sk. §1) m=n un sistēmas galvenā matrica nav vienskaitlī. Rakstīsim sistēmu (I) matricas formā ( skatīt §2): jo matrica A nav vienskaitlis, tad tai ir apgrieztā matrica ( skat. 1. nodaļas 1. teorēmu 6. paragrāfu). Sareizināsim abas vienādības puses (2)
uz matricu, tad Pēc apgrieztās matricas definīcijas. No vienlīdzības (3)
mums ir Atrisiniet sistēmu, izmantojot apgriezto matricu Apzīmēsim Piemērā (3. §) mēs aprēķinājām determinantu, tātad matricu A ir apgriezta matrica. Tad spēkā (4)
, t.i. Atradīsim matricu ( skatīt 6. § 1. nodaļu) Gausa metode. Dota lineāro vienādojumu sistēma: Ir jāatrod visi sistēmas (I) risinājumi vai jāpārbauda, vai sistēma nav konsekventa. 1. definīcija.Sauksim to par elementāru sistēmas transformāciju(I) jebkura no trim darbībām: 1) nulles vienādojuma izsvītrošana; 2) abām vienādojuma pusēm saskaitot cita vienādojuma atbilstošās daļas, kas reizinātas ar skaitli l; 3) terminu apmaiņu sistēmas vienādojumos tā, lai nezināmie ar vienādiem skaitļiem visos vienādojumos ieņemtu vienādas vietas, t.i. ja, piemēram, 1. vienādojumā mainījām 2. un 3. vārdu, tad tas pats jādara visos sistēmas vienādojumos. Gausa metode sastāv no tā, ka sistēma (I) ar elementāru pārveidojumu palīdzību tiek reducēta līdz ekvivalentai sistēmai, kuras risinājums tiek atrasts tieši vai konstatēta tās neatrisināmība. Kā aprakstīts 2. punktā, sistēmu (I) unikāli nosaka tās paplašinātā matrica, un jebkura sistēmas (I) elementārā transformācija atbilst paplašinātās matricas elementārai transformācijai: Transformācija 1) atbilst nulles rindas dzēšanai matricā, transformācija 2) ir līdzvērtīga vēl vienas rindas pievienošanai atbilstošajai matricas rindai, kas reizināta ar skaitli l, transformācija 3) ir līdzvērtīga kolonnu pārkārtošanai matricā. Ir viegli redzēt, ka, gluži pretēji, katra matricas elementārā transformācija atbilst sistēmas (I) elementārai transformācijai. Sakarā ar iepriekš minēto darbību ar sistēmu (I) vietā mēs strādāsim ar šīs sistēmas paplašināto matricu. Matricā 1. kolonna sastāv no koeficientiem par x 1, 2. ailē - no koeficientiem par x 2 utt. Ja kolonnas tiek pārkārtotas, jāņem vērā, ka šis nosacījums tiek pārkāpts. Piemēram, ja mēs apmainīsim 1. un 2. kolonnu, tad tagad 1. kolonnā būs koeficienti x 2, un 2. ailē - koeficienti par x 1. Sistēmu (I) atrisināsim, izmantojot Gausa metodi. 1. Izsvītrojiet visas nulles rindas matricā, ja tādas ir (t.i., izsvītrojiet visus nulles vienādojumus sistēmā (I). 2. Pārbaudīsim, vai starp matricas rindām ir rinda, kurā visi elementi, izņemot pēdējo, ir vienādi ar nulli (sauksim šādu rindu par nekonsekventu). Acīmredzot šāda līnija atbilst nekonsekventam vienādojumam sistēmā (I), tāpēc sistēmai (I) nav atrisinājumu, un ar to process beidzas. 3. Lai matrica nesatur nekonsekventas rindas (sistēmā (I) nav nekonsekventu vienādojumu). Ja a 11 = 0, tad 1. rindā atrodam kādu elementu (izņemot pēdējo), kas nav nulle, un pārkārtojam kolonnas tā, lai 1. rindā 1. vietā nebūtu nulles. Tagad pieņemsim, ka (t.i., mēs apmainīsim atbilstošos terminus sistēmas (I) vienādojumos). 4. Reiziniet 1. rindu ar un pievienojiet rezultātu ar 2. rindu, pēc tam reiziiniet 1. rindu ar un pievienojiet rezultātu ar 3. rindu utt. Acīmredzot šis process ir līdzvērtīgs nezināmā likvidēšanai x 1 no visiem sistēmas (I) vienādojumiem, izņemot 1. Jaunajā matricā mēs iegūstam nulles 1. kolonnā zem elementa a 11: 5. Izsvītrosim matricā visas nulles rindas, ja tādas ir, un pārbaudīsim, vai nav nekonsekventas rindas (ja tāda ir, tad sistēma ir nekonsekventa un risinājums ar to arī beidzas). Pārbaudīsim, vai būs a 22 / =0, ja jā, tad 2. rindā atrodam elementu, kas nav nulle, un pārkārtojam kolonnas tā, lai . Pēc tam reiziniet 2. rindas elementus ar Veiktās darbības ir līdzvērtīgas nezināmā likvidēšanai x 2 no visiem sistēmas (I) vienādojumiem, izņemot 1. un 2.. Tā kā rindu skaits ir ierobežots, tad pēc ierobežota soļu skaita mēs iegūstam, ka vai nu sistēma ir nekonsekventa, vai arī mēs iegūstam soļu matricu ( skatīt definīcijas 2. §7 1. nodaļu) : Izrakstīsim matricai atbilstošo vienādojumu sistēmu . Šī sistēma ir līdzvērtīga sistēmai (I) No pēdējā vienādojuma mēs izsakām; aizstājiet ar iepriekšējo vienādojumu, atrodiet utt., līdz iegūstam . 1. piezīme. Tādējādi, risinot sistēmu (I), izmantojot Gausa metodi, mēs nonākam pie viena no šādiem gadījumiem. 1. Sistēma (I) ir nekonsekventa. 2. Sistēmai (I) ir unikāls risinājums, ja rindu skaits matricā ir vienāds ar nezināmo skaitu (). 3. Sistēmai (I) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, ja rindu skaits matricā ir mazāks par nezināmo skaitu (). Līdz ar to ir spēkā sekojošā teorēma. Teorēma. Lineāro vienādojumu sistēma ir vai nu nekonsekventa, tai ir unikāls risinājums, vai arī bezgalīgs atrisinājumu skaits. Piemēri. Atrisiniet vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi vai pierādiet tās nekonsekvenci: b) a) Pārrakstīsim doto sistēmu šādā formā: Mēs esam samainījuši sākotnējās sistēmas 1. un 2. vienādojumu, lai vienkāršotu aprēķinus (daļskaitļu vietā mēs darbosimies tikai ar veseliem skaitļiem, izmantojot šo pārkārtojumu). Izveidosim paplašinātu matricu: Nav nulles līniju; nav nesaderīgu līniju, ; Izslēgsim 1. nezināmo no visiem sistēmas vienādojumiem, izņemot 1.. Lai to izdarītu, matricas 1. rindas elementus reiziniet ar "-2" un pievienojiet tos ar atbilstošajiem 2. rindas elementiem, kas ir līdzvērtīgi 1. vienādojuma reizināšanai ar "-2" un pievienošanai ar 2. vienādojums. Tad 1. rindas elementus reizinām ar “-3” un saskaitām ar atbilstošajiem trešās rindas elementiem, t.i. reiziniet dotās sistēmas 2. vienādojumu ar "-3" un pievienojiet to 3. vienādojumam. Mēs saņemam Matrica atbilst vienādojumu sistēmai). - (skatīt definīciju 1. nodaļas 3.§7). Apgrieztās matricas metode ir īpašs gadījums matricas vienādojums Atrisiniet sistēmu, izmantojot matricas metodi Risinājums: Mēs rakstām sistēmu matricas formā Mēs atrodam sistēmas risinājumu, izmantojot formulu (skatiet pēdējo formulu). Mēs atrodam apgriezto matricu, izmantojot formulu: Vispirms apskatīsim determinantu: Šeit determinants ir izvērsts pirmajā rindā. Uzmanību! Ja, tad apgrieztā matrica neeksistē, un ar matricas metodi sistēmu nav iespējams atrisināt. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar nezināmo izslēgšanas metodi (Gausa metode). Tagad mums ir jāaprēķina 9 nepilngadīgie un jāieraksta tie nepilngadīgo matricā Atsauce: Lineārajā algebrā ir noderīgi zināt dubulto indeksu nozīmi. Pirmais cipars ir rindas numurs, kurā atrodas elements. Otrais cipars ir kolonnas numurs, kurā atrodas elements: Risinājuma laikā labāk ir detalizēti aprakstīt nepilngadīgo aprēķinu, lai gan ar zināmu pieredzi jūs varat pierast pie to aprēķināšanas ar kļūdām mutiski. Nepilngadīgo aprēķinu secība ir pilnīgi nesvarīga, šeit es tos aprēķināju no kreisās uz labo pusi. Nepilngadīgos varēja aprēķināt pēc kolonnām (tas ir vēl ērtāk). Tādējādi: – algebrisko saskaitījumu matrica. – transponētā algebrisko saskaitījumu matrica. Es atkārtoju, mēs nodarbībā detalizēti apspriedām veiktās darbības. Kā atrast matricas apgriezto vērtību? Tagad mēs rakstām apgriezto matricu: Nekādā gadījumā nevajadzētu to ievadīt matricā, tas nopietni sarežģīs turpmākos aprēķinus. Dalīšana būtu jāveic, ja visi skaitļi matricā dalās ar 60 bez atlikuma. Bet šajā gadījumā ir ļoti nepieciešams pievienot mīnusu matricai, gluži pretēji, tas vienkāršos turpmākos aprēķinus. Atliek tikai veikt matricas reizināšanu. Jūs varat uzzināt, kā reizināt matricas klasē. Darbības ar matricām. Starp citu, tur tiek analizēts tieši tas pats piemērs. Ņemiet vērā, ka tiek veikta dalīšana ar 60 pēdējais no visiem. Atbilde: 12. piemērs Atrisiniet sistēmu, izmantojot apgriezto matricu. Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam (gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās). Universālākais veids, kā atrisināt sistēmu, ir Nezināmo novēršanas metode (Gausa metode). Skaidri izskaidrot algoritmu nav tik vienkārši, bet es mēģināju! Es novēlu jums panākumus! Atbildes: 3. piemērs:
6. piemērs:
8. piemērs:
,
. Varat apskatīt vai lejupielādēt šī piemēra risinājuma paraugu (saite tālāk). 10., 12. piemēri: Mēs turpinām apsvērt lineāro vienādojumu sistēmas. Šī ir trešā nodarbība par šo tēmu. Ja jums ir neskaidrs priekšstats par to, kas vispār ir lineāro vienādojumu sistēma, ja jūtaties kā tējkanna, tad iesaku sākt ar pamatiem lapā Tālāk, ir lietderīgi izpētīt stundu. Gausa metode ir vienkārša! Kāpēc? Slavenais vācu matemātiķis Johans Kārlis Frīdrihs Gauss savas dzīves laikā saņēma atzinību kā visu laiku lielākais matemātiķis, ģēnijs un pat iesauku “matemātikas karalis”. Un viss ģeniālais, kā zināms, ir vienkāršs! Starp citu, naudu dabū ne tikai piesūcekņi, bet arī ģēniji - Gausa portrets bija uz 10 Vācijas marku banknotes (pirms eiro ieviešanas), un Gauss joprojām mistiski smaida vāciešiem no parastām pastmarkām. Gausa metode ir vienkārša ar to, ka, lai to apgūtu, PIETIEK PIEKKTĀS KLASES SKOLĒNA ZINĀŠANĀS. Jums jāzina, kā pievienot un reizināt! Nav nejaušība, ka skolotāji skolas matemātikas izvēles priekšmetos bieži apsver nezināmo vielu secīgas izslēgšanas metodi. Tas ir paradokss, bet studentiem Gausa metode šķiet visgrūtākā. Nekas pārsteidzošs - tas viss attiecas uz metodoloģiju, un es mēģināšu pieejamā veidā runāt par metodes algoritmu. Pirmkārt, sistematizēsim nedaudz zināšanas par lineāro vienādojumu sistēmām. Lineāro vienādojumu sistēma var: 1) ir unikāls risinājums. Gausa metode ir visspēcīgākais un universālākais līdzeklis risinājuma atrašanai jebkura lineāro vienādojumu sistēmas. Kā mēs atceramies, Krāmera noteikums un matricas metode nav piemēroti gadījumos, kad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa. Un nezināmo secīgas likvidēšanas metode Vienalga novedīs mūs pie atbildes! Šajā nodarbībā vēlreiz aplūkosim Gausa metodi gadījumam Nr.1 (vienīgais sistēmas risinājums), raksts ir veltīts 2.-3.punktu situācijām. Es atzīmēju, ka pašas metodes algoritms visos trīs gadījumos darbojas vienādi. Atgriezīsimies pie vienkāršākās sistēmas no nodarbības Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu? Pirmais solis ir pierakstīt paplašināta sistēmas matrica: Atsauce:
Iesaku atcerētiesnoteikumiem
lineārā algebra.Sistēmas matrica
ir matrica, kas sastāv tikai no nezināmo faktoru koeficientiem, šajā piemērā sistēmas matrica:
.
Paplašinātās sistēmas matrica
– šī ir tā pati sistēmas matrica plus brīvo terminu kolonna, šajā gadījumā:
. Īsuma labad jebkuru no matricām var vienkārši saukt par matricu. Pēc paplašinātās matricas sistēmas uzrakstīšanas ar to ir jāveic dažas darbības, kuras arī sauc elementāras pārvērtības. Pastāv šādas elementāras transformācijas: 1) Stīgas matricas var pārkārtot dažās vietās. Piemēram, aplūkojamajā matricā jūs varat nesāpīgi pārkārtot pirmo un otro rindu: 2) Ja matricā ir (vai ir parādījušās) proporcionālas (īpašā gadījumā - identiskas) rindas, tad dzēst no matricas visas šīs rindas, izņemot vienu. Apsveriet, piemēram, matricu 3) Ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad tai arī jābūt dzēst. Es, protams, nezīmēšu, nulles līnija ir līnija, kurā visas nulles. 4) Matricas rinda var būt reizināt (dalīt) uz jebkuru numuru kas nav nulle. Apsveriet, piemēram, matricu. Šeit pirmo rindu ieteicams dalīt ar –3 un otro rindiņu reizināt ar 2: 5) Šī transformācija sagādā visvairāk grūtību, bet patiesībā arī nav nekā sarežģīta. Uz matricas rindu jūs varat pievienojiet citu virkni, kas reizināta ar skaitli, atšķiras no nulles. Apskatīsim mūsu matricu no praktiska piemēra: . Vispirms es ļoti detalizēti aprakstīšu transformāciju. Reiziniet pirmo rindu ar -2: Protams, praksē viņi to neraksta tik detalizēti, bet raksta īsi: "Es pārrakstu matricu un pārrakstu pirmo rindiņu: " "Pirmā kolonna. Apakšā man jāsaņem nulle. Tāpēc es reizinu augšpusē esošo ar –2: , un pirmo pievienoju otrajai rindai: 2 + (–2) = 0. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: “Tagad otrā kolonna. Augšpusē es reizinu -1 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: 1 + 2 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: " "Un trešā kolonna. Augšpusē es reizinu -5 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: –7 + 10 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: Lūdzu, rūpīgi izprotiet šo piemēru un izprotiet secīgo aprēķinu algoritmu, ja jūs to saprotat, tad Gausa metode ir praktiski jūsu kabatā. Bet, protams, mēs joprojām strādāsim pie šīs transformācijas. Elementārie pārveidojumi nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu ! UZMANĪBU: apsvērtas manipulācijas nevar izmantot, ja jums tiek piedāvāts uzdevums, kurā matricas tiek dotas “pašas”. Piemēram, ar “klasisko” operācijas ar matricām Nekādā gadījumā nedrīkst neko pārkārtot matricu iekšienē! Atgriezīsimies pie mūsu sistēmas. Tas jau ir gandrīz atrisināts. Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, reducēsim to uz pakāpju skats: (1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Starp citu, kāpēc mēs pirmo rindu reizinām ar –2? Lai apakšā iegūtu nulli, kas nozīmē atbrīvoties no viena mainīgā otrajā rindā. (2) Sadaliet otro rindu ar 3. Elementāro pārveidojumu mērķis–
samaziniet matricu pakāpeniski: Elementāru pārveidojumu rezultātā ieguvām ekvivalents sākotnējā vienādojumu sistēma: Tagad sistēma ir “jāatritina” pretējā virzienā - no apakšas uz augšu, šo procesu sauc apgrieztā Gausa metode. Apakšējā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts: . Apskatīsim pirmo sistēmas vienādojumu un aizvietosim tajā jau zināmo “y” vērtību: Apskatīsim visizplatītāko situāciju, kad Gausa metode prasa atrisināt trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem. 1. piemērs Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi: Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu: Tagad es uzreiz uzzīmēšu rezultātu, pie kura nonāksim risinājuma laikā: Vispirms apskatiet augšējo kreiso numuru: Tagad pirmā rinda paliks nemainīga līdz risinājuma beigām. Tas jau ir vieglāk. Vienība augšējā kreisajā stūrī ir sakārtota. Tagad šajās vietās jāiegūst nulles: Mēs iegūstam nulles, izmantojot “sarežģītu” transformāciju. Vispirms tiekam galā ar otro rindu (2, –1, 3, 13). Kas jādara, lai pirmajā pozīcijā būtu nulle? Vajag otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –2: (–2, –4, 2, –18). Un mēs konsekventi veicam (atkal garīgi vai pēc projekta) papildinājumu, otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas jau reizināta ar –2: Mēs ierakstām rezultātu otrajā rindā: Ar trešo rindiņu tiekam galā tādā pašā veidā (3, 2, –5, –1). Lai pirmajā pozīcijā iegūtu nulli, jums ir nepieciešams trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –3: (–3, –6, 3, –27). UN trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –3: Mēs ierakstām rezultātu trešajā rindā: Praksē šīs darbības parasti veic mutiski un pieraksta vienā solī: Nav nepieciešams skaitīt visu uzreiz un vienlaikus. Aprēķinu secība un rezultātu “ievadīšana”. konsekventi un parasti tas ir šādi: vispirms pārrakstām pirmo rindiņu un pamazām uzpūšam sev virsū - KONSEKTENI un UZMANĪGI: Šajā piemērā to ir viegli izdarīt, mēs dalām otro rindu ar –5 (jo visi skaitļi dalās ar 5 bez atlikuma). Tajā pašā laikā mēs dalām trešo rindu ar –2, jo jo mazāki skaitļi, jo vienkāršāks risinājums: Elementāro pārveidojumu pēdējā posmā šeit ir jāiegūst vēl viena nulle: Šim nolūkam trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –2: Pēdējā veiktā darbība ir rezultāta frizūra, trešo rindiņu sadaliet ar 3. Elementāro pārveidojumu rezultātā tika iegūta līdzvērtīga lineāro vienādojumu sistēma: Tagad tiek izmantota Gausa metodes otrādi. Vienādojumi “atritina” no apakšas uz augšu. Trešajā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts: Apskatīsim otro vienādojumu: . Vārda "zet" nozīme jau ir zināma, tāpēc: Un visbeidzot pirmais vienādojums: . “Igrek” un “zet” ir zināmi, runa ir tikai par sīkumiem: Atbilde: Kā jau vairākkārt minēts, jebkurai vienādojumu sistēmai ir iespējams un nepieciešams pārbaudīt atrasto risinājumu, par laimi, tas ir viegli un ātri. 2. piemērs Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās. Jāpiebilst, ka jūsu lēmuma virzību var nesakrist ar manu lēmumu pieņemšanas procesu, un tā ir Gausa metodes iezīme. Bet atbildēm jābūt vienādām! 3. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā: Mēs skatāmies uz augšējo kreiso “soli”. Mums tur vajadzētu būt vienībai. Problēma ir tāda, ka pirmajā kolonnā vispār nav vienību, tāpēc rindu pārkārtošana neko neatrisinās. Šādos gadījumos vienība jāorganizē, izmantojot elementāru transformāciju. Parasti to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: (1) Pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –1. Tas ir, otro rindu mēs prātīgi reizinājām ar –1 un pievienojām pirmo un otro rindu, savukārt otrā rinda nemainījās. Tagad augšā pa kreisi ir -1, kas mums ir lieliski piemērots. Ikviens, kurš vēlas iegūt +1, var veikt papildu kustību: reiziniet pirmo rindiņu ar –1 (mainiet tās zīmi). (2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 5, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai. (3) Pirmā rinda tika reizināta ar –1, principā tas ir skaistumam. Tika nomainīta arī trešās līnijas zīme un tā pārcelta uz otro vietu, lai otrajā “solī” būtu vajadzīgā vienība. (4) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar 2. (5) Trešā rinda tika dalīta ar 3. Slikta zīme, kas norāda uz kļūdu aprēķinos (retāk par drukas kļūdu), ir “slikta” būtība. Tas ir, ja mēs iegūtu kaut ko līdzīgu , zemāk un attiecīgi Mēs maksājam otrādi, piemēru noformējumā viņi bieži nepārraksta pašu sistēmu, bet vienādojumi tiek “ņemti tieši no dotās matricas”. Atgādinu, ka apgrieztā kustība darbojas no apakšas uz augšu: Atbilde: 4. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi Šis ir piemērs, ko varat atrisināt pašam, tas ir nedaudz sarežģītāk. Tas nekas, ja kāds apjūk. Pilns risinājums un dizaina paraugs nodarbības beigās. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma. Pēdējā daļā apskatīsim dažas Gausa algoritma iezīmes. Otrā iezīme ir šī. Visos aplūkotajos piemēros uz “soļiem” novietojām vai nu –1, vai +1. Vai tur varētu būt citi skaitļi? Dažos gadījumos viņi var. Apsveriet sistēmu: Šeit augšējā kreisajā “solī” mums ir divi. Bet mēs pamanām faktu, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2 bez atlikuma - un otrs ir divi un seši. Un abi augšā pa kreisi mums derēs! Pirmajā solī ir jāveic šādas transformācijas: otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –1; trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Tādā veidā mēs iegūsim vajadzīgās nulles pirmajā kolonnā. Vai cits parasts piemērs: Gausa metode ir universāla, taču ir viena īpatnība. Jūs varat droši iemācīties atrisināt sistēmas, izmantojot citas metodes (Cramer metodi, matricas metodi) burtiski pirmo reizi - tām ir ļoti stingrs algoritms. Bet, lai justos pārliecināts par Gausa metodi, jums vajadzētu "ievilkt zobus" un atrisināt vismaz 5-10 desmit sistēmas. Tāpēc sākumā aprēķinos var rasties neskaidrības un kļūdas, un tajā nav nekā neparasta vai traģiska. Aiz loga lietains rudens laiks.... Tāpēc visiem, kas vēlas sarežģītāku piemēru pašu risināšanai: 5. piemērs Atrisiniet 4 lineāru vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem, izmantojot Gausa metodi. Šāds uzdevums praksē nav tik reti sastopams. Es domāju, ka pat tējkanna, kas ir rūpīgi izpētījis šo lapu, intuitīvi sapratīs šādas sistēmas risināšanas algoritmu. Principā viss ir vienāds - ir tikai vairāk darbību. Nodarbībā tiek apspriesti gadījumi, kad sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi) vai ir bezgalīgi daudz risinājumu Nesaderīgas sistēmas un sistēmas ar kopīgu risinājumu. Tur jūs varat salabot aplūkoto Gausa metodes algoritmu. Es novēlu jums panākumus! Risinājumi un atbildes: 2. piemērs: pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā. Reverss:
4. piemērs: pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā: Veiktie reklāmguvumi: Ar otro “soli” viss pasliktinās
, tā “kandidāti” ir skaitļi 17 un 23, un mums vajag vai nu vienu, vai –1. Transformācijas (3) un (4) būs vērstas uz vēlamās vienības iegūšanu (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1.
.
.
.
, t.i.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (es) .
.
un pievieno ar atbilstošajiem 3. rindas elementiem, pēc tam - 2. rindas elementus un pievieno ar atbilstošajiem 4. rindas elementiem utt., līdz iegūstam nulles zem a 22/
.
,
.
;
.
.
.
, kur ir matricas atbilstošo elementu algebrisko komplementu transponētā matrica.
Tas ir, dubultais apakšindekss norāda, ka elements atrodas pirmajā rindā, trešajā kolonnā un, piemēram, elements atrodas 3 rindā, 2 kolonnā.
– atbilstošo matricas elementu nepilngadīgo matrica.
Dažreiz tas var neatdalīties pilnībā, t.i. var radīt “sliktās” frakcijas. Es jau teicu, kā rīkoties šādos gadījumos, kad apskatījām Krāmera likumu.
2) Ir bezgalīgi daudz risinājumu.
3) Nav risinājumu (esiet nav locītavu).
un atrisināt to, izmantojot Gausa metodi.
. Es domāju, ka katrs var redzēt, pēc kāda principa tiek rakstīti koeficienti. Vertikālajai līnijai matricas iekšpusē nav nekādas matemātiskas nozīmes - tas ir vienkārši pārsvītrojums dizaina ērtībai.
. Šajā matricā pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, tāpēc pietiek atstāt tikai vienu no tām: 
.
. Šī darbība ir ļoti noderīga, jo tā vienkāršo turpmākās matricas transformācijas.
, Un otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –2: . Tagad pirmo rindu var dalīt “atpakaļ” ar –2: . Kā redzat, līnija, kas ADD LI – nav mainījies. Vienmēr mainās rinda, KURAM IR PIEVIENOTS UT.
Vēlreiz: uz otro rindu pievienoja pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Rinda parasti tiek reizināta mutiski vai uz melnraksta, un garīgās aprēķina process notiek apmēram šādi:
» »
. Uzdevuma noformējumā viņi vienkārši atzīmē “kāpnes” ar vienkāršu zīmuli, kā arī apvelk ciparus, kas atrodas uz “pakāpēm”. Pats jēdziens “pakāpju skats” zinātniskajā un mācību literatūrā nav gluži teorētisks; trapecveida skats vai trīsstūrveida skats.
Un es atkārtoju, mūsu mērķis ir panākt matricas pakāpenisku formu, izmantojot elementāras transformācijas. Kur sākt?
Gandrīz vienmēr vajadzētu būt šeit vienība. Vispārīgi runājot, der –1 (un dažreiz arī citi skaitļi), bet kaut kā tradicionāli ir sanācis, ka tur parasti liek vienu. Kā organizēt vienību? Mēs skatāmies uz pirmo kolonnu - mums ir gatava vienība! Pirmā transformācija: apmainiet pirmo un trešo rindu: 
Un es jau iepriekš apspriedu pašu aprēķinu garīgo procesu.
Mēģiniet pats izdomāt šo darbību - garīgi reiziniet otro rindiņu ar –2 un veiciet saskaitīšanu.
Forši.
, tad ar lielu varbūtības pakāpi varam teikt, ka elementāru pārveidojumu laikā tika pieļauta kļūda.
Jā, šeit ir dāvana: 
.
Pirmā iezīme ir tāda, ka dažreiz sistēmas vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: 
Kā pareizi uzrakstīt paplašināto sistēmas matricu? Es jau runāju par šo jautājumu klasē. Krāmera likums. Matricas metode. Sistēmas paplašinātajā matricā trūkstošo mainīgo vietā ievietojam nulles: 
Starp citu, šis ir diezgan vienkāršs piemērs, jo pirmajā kolonnā jau ir viena nulle, un ir jāveic mazāk elementāru pārveidojumu. .
. Šeit mums der arī trīs uz otrā “soļa”, jo 12 (vieta, kur jāiegūst nulle) dalās ar 3 bez atlikuma. Ir nepieciešams veikt šādu pārveidošanu: pievienojiet otro rindu trešajai rindai, reizinot ar –4, kā rezultātā tiks iegūta mums nepieciešamā nulle.
Veiktās elementārās pārvērtības:
(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1.Uzmanību!
Šeit jums var rasties kārdinājums atņemt pirmo no trešās rindas. Es ļoti iesaku to neatņemt - kļūdas risks ievērojami palielinās. Vienkārši salokiet to!
(2) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Otrā un trešā rinda ir apmainīta.Lūdzu, ņemiet vērā
, ka uz “soļiem” mūs apmierina ne tikai viens, bet arī –1, kas ir vēl ērtāk.
(3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 5.
(4) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Trešā rinda tika dalīta ar 14.
Atbilde: 
.
(1) Pirmajai rindai tika pievienota otrā rinda. Tādējādi vajadzīgā vienība tiek organizēta augšējā kreisajā “solī”.
(2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 7, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 6, tika pievienota trešajai rindai.
(4) Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –3.
Nepieciešamā prece otrajā solī ir saņemta.
.
(5) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 6.
(6) Otrā rinda tika reizināta ar –1, trešā rinda tika dalīta ar –83. Ir acīmredzams, ka plakni unikāli nosaka trīs dažādi punkti, kas neatrodas vienā taisnē. Tāpēc diezgan populāri ir plakņu trīsburtu apzīmējumi - pēc tiem piederošajiem punktiem, piemēram, ; .Ja bezmaksas biedri
