1. Metodiskie pamatnoteikumi.

Vienkāršā eksponenciālās izlīdzināšanas metode izmanto visu iepriekšējo novērojumu datu svērto (eksponenciālo) mainīgo vidējo. Šis modelis visbiežāk tiek piemērots datiem, kuros nepieciešams novērtēt sakarības esamību starp analizētajiem rādītājiem (tendenci) vai analizējamo datu atkarību. Eksponenciālās izlīdzināšanas mērķis ir novērtēt pašreizējais stāvoklis, kuras rezultāti noteiks visas turpmākās prognozes.

Eksponenciālā izlīdzināšana nodrošina Pastāvīga modeļa atjaunināšana, izmantojot jaunākos datus. Šī metode ir balstīta uz pagātnes novērojumu laikrindu vidējās noteikšanas (izlīdzināšanas) aprēķināšanu dilstošā (eksponenciālā) virzienā. Tas ir, jaunākiem notikumiem tiek piešķirts lielāks svars. Svars tiek piešķirts šādi: pēdējam novērojumam svars būs α, priekšpēdējam - (1-α), tam, kas bija pirms tā - (1-α) 2 utt.

Izlīdzinātā veidā jaunu prognozi (laika periodam t+1) var attēlot kā lieluma pēdējā novērojuma laikā t un tā iepriekšējās prognozes tam pašam periodam t vidējo svērto vērtību. Turklāt novērotajai vērtībai tiek piešķirts svars α, bet prognozei tiek piešķirts svars (1- α); tiek pieņemts, ka 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Jauna prognoze = [α*(pēdējais novērojums)]+[(1–α)*pēdējā prognoze]

kur ir prognozētā vērtība nākamais periods;

α – izlīdzināšanas konstante;

Y t – vērtības novērošana priekš pašreizējais periods t;

Iepriekšējā izlīdzinātā šīs vērtības prognoze periodam t.

Eksponenciālā izlīdzināšana ir procedūra prognožu rezultātu nepārtrauktai pārskatīšanai, ņemot vērā jaunākos notikumus.

Izlīdzināšanas konstante α ir svērtais faktors. Tā reālo vērtību nosaka tas, cik lielā mērā pašreizējam novērojumam vajadzētu ietekmēt prognozēto vērtību. Ja α ir tuvu 1, tad prognozē būtiski tiek ņemts vērā pēdējās prognozes kļūdas lielums. Un otrādi, mazām α vērtībām paredzētā vērtība ir vistuvāk iepriekšējai prognozei. To var uzskatīt par visu pagātnes novērojumu vidējo svērto vērtību, un, datiem novecojot, svērumi eksponenciāli samazinās.

2.1. tabula

Dažādu izlīdzināšanas konstantu vērtību ietekmes salīdzinājums

Konstante α ir datu analīzes atslēga. Ja ir nepieciešams, lai prognozētās vērtības ir stabilas un nejaušās novirzes ir izlīdzinātas, ir jāizvēlas neliela α vērtība. Lielai konstantes α vērtībai ir jēga, ja nepieciešama ātra reakcija uz novērojumu spektra izmaiņām.

2. Eksponenciālās izlīdzināšanas praktisks piemērs.

Tiek uzrādīti uzņēmuma dati par pārdošanas apjomu (tūkst. vienību) par septiņiem gadiem, izlīdzināšanas konstante ņemta vienāda ar 0,1 un 0,6. Testa daļu veido dati par 7 gadiem; pamatojoties uz tiem, ir nepieciešams novērtēt katra modeļa efektivitāti. Sēriju eksponenciālai izlīdzināšanai sākotnējo vērtību ņem vienādu ar 500 (2.ceturkšņa izlīdzinātajā vērtībā ieraksta pirmo faktisko datu vērtību vai vidējo vērtību 3-5 periodiem).

2.2. tabula

Sākotnējie dati

Laiks	Reālā vērtība (faktiskā)	Izlīdzināta vērtība	Prognozes kļūda
gadā	ceturksnis	0,1	0,1
Excel	saskaņā ar formulu
			#N/A		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

Attēlā 2.1. attēlā ir parādīta prognoze, kuras pamatā ir eksponenciālā izlīdzināšana ar izlīdzināšanas konstanti, kas vienāda ar 0,1.

Rīsi. 2.1. Eksponenciālā izlīdzināšana

Risinājums programmā Excel.

1. Atlasiet izvēlni “Rīki” – “Datu analīze”. Sarakstā Analīzes rīki atlasiet Eksponenciālā izlīdzināšana. Ja izvēlnē “Pakalpojums” nav datu analīzes, jāinstalē “Analīzes pakotne”. Lai to izdarītu, sadaļā "Opcijas" atrodiet vienumu "Iestatījumi" un parādītajā dialoglodziņā atzīmējiet lodziņu "Analīzes pakotne" un noklikšķiniet uz Labi.

2. Ekrānā tiks atvērts dialoglodziņš, kas parādīts 1. attēlā. 2.2.

3. Laukā “Ievades intervāls” ievadiet avota datu vērtības (plus viena brīva šūna).

4. Atzīmējiet izvēles rūtiņu “iezīmes” (ja ievades diapazonā ir ietverti kolonnu nosaukumi).

5. Ievadiet vērtību (1-α) laukā “attenuation factor”.

6. Laukā “Ievades intervāls” ievadiet tās šūnas vērtību, kurā vēlaties redzēt iegūtās vērtības.

7. Atzīmējiet izvēles rūtiņu “Opcijas” — “Grafa izvade”, lai to automātiski izveidotu.

Rīsi. 2.2. Dialoglodziņš eksponenciālai izlīdzināšanai

3. Laboratorijas uzdevums.

Ir sākotnējie dati par naftas ieguves uzņēmuma ražošanas apjomiem par 2 gadiem, kas parādīti 2.3. tabulā:

2.3. tabula

Sākotnējie dati

Veiciet sērijas eksponenciālu izlīdzināšanu. Ņem eksponenciālo izlīdzināšanas koeficientu, kas vienāds ar 0,1; 0,2; 0.3. Komentējiet iegūtos rezultātus. Varat izmantot 1. pielikumā sniegto statistiku.

Prognozēšanas problēmas balstās uz izmaiņām noteiktos datos laika gaitā (pārdošanas apjoms, pieprasījums, piegādes, IKP, oglekļa emisijas, iedzīvotāju skaits...) un šo izmaiņu prognozēšanu nākotnē. Diemžēl tendences, kas noteiktas no vēsturiskajiem datiem, var izjaukt daudzi neparedzēti apstākļi. Tātad dati nākotnē var būtiski atšķirties no pagātnes. Tā ir prognozēšanas problēma.

Tomēr ir paņēmieni (ko sauc par eksponenciālo izlīdzināšanu), kas ļauj ne tikai mēģināt paredzēt nākotni, bet arī kvantitatīvi noteikt visa ar prognozi saistītā nenoteiktību. Skaitliski izteikt nenoteiktību, izveidojot prognožu intervālus, ir patiesi nenovērtējama, taču prognozēšanas pasaulē tā bieži tiek ignorēta.

Lejupielādējiet piezīmi formātā vai formātā, piemērus formātā

Sākotnējie dati

Pieņemsim, ka esat “Gredzenu pavēlnieka” cienītājs un jau trīs gadus ražojat un pārdodat zobenus (1. att.). Pārdošanu attēlosim grafiski (2. att.). Trīs gadu laikā pieprasījums ir dubultojies – varbūt tā ir tendence? Mēs atgriezīsimies pie šīs idejas nedaudz vēlāk. Diagrammā ir vairākas virsotnes un ielejas, kas var liecināt par sezonalitāti. Konkrēti, maksimumi notiek 12., 24. un 36. mēnešos, kas notiek decembrī. Bet varbūt tā ir tikai sakritība? Noskaidrosim.

Vienkārša eksponenciāla izlīdzināšana

Eksponenciālās izlīdzināšanas metodes balstās uz nākotnes prognozēšanu no pagātnes datiem, kur jaunākiem novērojumiem ir lielāka ietekme nekā vecākiem. Šis svērums ir iespējams, pateicoties izlīdzināšanas konstantēm. Pirmā eksponenciālās izlīdzināšanas metode, ko mēs izmēģināsim, tiek saukta par vienkāršu eksponenciālo izlīdzināšanu (SES). Tas izmanto tikai vienu izlīdzināšanas konstanti.

Vienkāršā eksponenciālā izlīdzināšana pieņem, ka jūsu laikrindas dati sastāv no diviem komponentiem: līmeņa (vai vidējā) un dažas kļūdas ap šo vērtību. Nav tendenču vai sezonālu svārstību – vienkārši ir līmenis, ap kuru svārstās pieprasījums, ko šur tur ieskauj nelielas kļūdas. Dodot priekšroku jaunākiem novērojumiem, TEC var izraisīt izmaiņas šajā līmenī. Formulu valodā,

Pieprasījums laikā t = līmenis + nejauša kļūda ap līmeni laikā t

Tātad, kā atrast aptuveno līmeņa vērtību? Ja mēs pieņemam visas laika vērtības kā vienādas vērtības, tad mums vienkārši jāaprēķina to vidējā vērtība. Tomēr tā ir slikta ideja. Lielāka nozīme būtu jāpiešķir nesenajiem novērojumiem.

Izveidosim vairākus līmeņus. Aprēķināsim bāzes līnija pirmajā gadā:

0 līmenis = vidējais pieprasījums pirmajā gadā (1-12 mēneši)

Zobenu pieprasījumam tas ir 163. Kā pieprasījuma prognozi 1. mēnesim izmantojam 0 (163) līmeni. 1. mēneša pieprasījums ir 165, tas ir, tas ir 2 zobenus virs 0 līmeņa. Ir vērts atjaunināt bāzes tuvinājumu. Vienkāršas eksponenciālās izlīdzināšanas vienādojums ir:

1. līmenis = 0. līmenis + daži procenti × (1. pieprasījums – 0. līmenis)

2. līmenis = 1. līmenis + daži procenti × (2. pieprasījums – 1. līmenis)

utt. “Dažus procentus” sauc par izlīdzināšanas konstanti, un to apzīmē ar alfa. Tas var būt jebkurš skaitlis no 0 līdz 100% (no 0 līdz 1). Jūs uzzināsit, kā izvēlēties alfa vērtību vēlāk. Kopumā vērtība dažādiem laikiem ir:

Līmenis pašreizējais periods = līmenis iepriekšējais periods +
alfa × (pieprasījuma pašreizējais periods — iepriekšējā perioda līmenis)

Nākotnes pieprasījums ir vienāds ar pēdējo aprēķināto līmeni (3. att.). Tā kā jūs nezināt, kas ir alfa, vispirms iestatiet šūnu C2 uz 0,5. Pēc modeļa izveidošanas atrodiet tādu alfa, lai kļūdas kvadrātā E2 (vai standarta novirzes F2) summa būtu minimāla. Lai to izdarītu, palaidiet opciju Meklējot risinājumu. Lai to izdarītu, izejiet cauri izvēlnei DATI –> Meklējot risinājumu, un instalējiet logā Risinājumu meklēšanas opcijas nepieciešamās vērtības (4. att.). Lai prognožu rezultātus parādītu diagrammā, vispirms atlasiet diapazonu A6:B41 un izveidojiet vienkāršu līniju diagrammu. Pēc tam ar peles labo pogu noklikšķiniet uz diagrammas un atlasiet opciju Atlasiet datus. Atvērtajā logā izveidojiet otro rindu un ievietojiet tajā prognozes no diapazona A42:B53 (5. att.).

Varbūt jums ir tendence

Lai pārbaudītu šo pieņēmumu, pietiek ar to, lai tas atbilstu lineārā regresija zem pieprasījuma datiem un veiciet t testu šīs tendences līnijas pieaugumam (kā ). Ja līnijas slīpums nav nulle un statistiski nozīmīgs (pārbaudot, izmantojot Stjudenta t-testu, vērtība R mazāks par 0,05), datiem ir tendence (6. att.).

Mēs izmantojām funkciju LINEST, kas atgriež 10 aprakstošu statistiku (ja iepriekš šo funkciju neesi izmantojis, iesaku) un funkciju INDEX, kas ļauj “izvilkt” tikai trīs nepieciešamos statistikas datus, nevis visu komplektu. Izrādījās, ka slīpums ir 2,54, un tas ir nozīmīgs, jo Studenta tests parādīja, ka 0,000000012 ir ievērojami mazāks par 0,05. Tātad tendence ir, un atliek tikai to iekļaut prognozē.

Holta eksponenciālā izlīdzināšana ar tendenču pielāgošanu

To bieži sauc par dubulto eksponenciālo izlīdzināšanu, jo tai ir nevis viens izlīdzināšanas parametrs - alfa, bet divi. Ja laika secībai ir lineāra tendence, tad:

pieprasījums pēc laika t = līmenis + t × tendence + nejauša līmeņa novirze laikā t

Holta eksponenciālajai izlīdzināšanai ar tendenču pielāgošanu ir divi jauni vienādojumi — viens līmenim, kas pārvietojas laikā, un otrs tendencei. Līmeņa vienādojums satur izlīdzināšanas parametru alfa, un tendenču vienādojums satur gamma. Lūk, kā izskatās jaunā līmeņa vienādojums:

1. līmenis = 0 līmenis + tendence 0 + alfa × (pieprasījums 1 – (0 līmenis + tendence 0))

pieraksti to līmenis 0 + tendence 0 ir tikai viena posma prognoze no sākotnējām vērtībām līdz 1. mēnesim, tātad pieprasījums 1 – (0. līmenis + tendence 0)- tā ir viena soļa novirze. Tādējādi pamata līmeņa aproksimācijas vienādojums būs:

līmenis pašreizējais periods = līmenis iepriekšējais periods + tendence iepriekšējais periods + alfa × (pieprasījums pašreizējais periods – (līmenis iepriekšējais periods) + tendence iepriekšējais periods))

Tendenču atjaunināšanas vienādojums:

tendence pašreizējais periods = tendence iepriekšējais periods + gamma × alfa × (pieprasījuma pašreizējais periods – (līmenis iepriekšējais periods) + tendence iepriekšējais periods))

Holta izlīdzināšana programmā Excel ir līdzīga vienkārša izlīdzināšana(7. att.), un kā iepriekš, mērķis ir atrast divus koeficientus, minimizējot kļūdu kvadrātu summu (8. att.). Lai iegūtu sākotnējo līmeni un tendences vērtības (7. attēla šūnās C5 un D5), izveidojiet grafiku pirmajiem 18 pārdošanas mēnešiem un pievienojiet tai tendences līniju ar vienādojumu. Ievadiet sākotnējās tendences vērtību 0,8369 un sākotnējo līmeni 155,88 šūnās C5 un D5. Prognožu datus var attēlot grafiski (9. att.).

Rīsi. 7. Holta eksponenciālā izlīdzināšana ar tendences regulēšanu; Lai palielinātu attēlu, ar peles labo pogu noklikšķiniet uz tā un atlasiet Atvērt attēlu jaunā cilnē

Datu modeļu identificēšana

Ir veids, kā pārbaudīt paredzamā modeļa stiprumu - salīdziniet kļūdas ar pašām, kas ir nobīdītas par soli (vai vairākiem soļiem). Ja novirzes ir nejaušas, tad modeli nevar uzlabot. Tomēr pieprasījuma datos var būt sezonāls faktors. Kļūdas termina jēdzienu, kas ir korelēts ar cita perioda versiju par sevi, sauc par autokorelāciju (vairāk par autokorelāciju skatiet ). Lai aprēķinātu autokorelāciju, sāciet ar prognozes kļūdu datiem par katru periodu (7. attēla kolonna F tiek pārvietota uz B kolonnu 10. attēlā). Tālāk definējiet vidējā kļūda prognoze (10. att., šūna B39; formula šūnā: =VIDĒJS(B3:B38)). C ailē aprēķina prognozes kļūdas novirzi no vidējās; formula šūnā C3: =B3-B$39. Pēc tam secīgi pārvietojiet kolonnu C vienu kolonnu pa labi un rindu uz leju. Formulas šūnās D39: =SUMPRODUKTS($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

Ko nozīmē, ka viena no kolonnām D:O ir “sinhrona” ar C kolonnu Piemēram, ja kolonnas C un D ir sinhronas, tad skaitlim, kas vienā no tām ir negatīvs, ir jābūt negatīvam otrā, pozitīvam? vienā, pozitīvs draugā. Tas nozīmē, ka abu kolonnu reizinājumu summa būs nozīmīga (atšķirības uzkrājas). Vai, kas ir tas pats, nekā tuvāka vērtība diapazonā D41:O41 līdz nullei, jo zemāka ir kolonnas korelācija (attiecīgi no D līdz O) ar C kolonnu (11. att.).

Par vienu autokorelāciju augstāka kritiskā vērtība. Kļūda, kas nobīdīta par gadu, korelē pati ar sevi. Tas nozīmē 12 mēnešu sezonas ciklu. Un tas nav pārsteidzoši. Ja paskatās uz pieprasījuma grafiku (2. att.), tad izrādās, ka pieprasījuma maksimumi ir katros Ziemassvētkos un ieplakas aprīlī-maijā. Apskatīsim prognozēšanas paņēmienu, kas ņem vērā sezonalitāti.

Holta-Winters multiplikatīva eksponenciālā izlīdzināšana

Šo metodi sauc par reizināšanu (no reizināšanas - reizināt), jo tā izmanto reizināšanu, lai ņemtu vērā sezonalitāti:

Pieprasījums laikā t = (līmenis + t × tendence) × sezonālā korekcija laikam t × visas atlikušās neregulārās korekcijas, kuras mēs nevaram ņemt vērā

Holta-Vintera izlīdzināšanu sauc arī par trīskāršo eksponenciālo izlīdzināšanu, jo tai ir trīs izlīdzināšanas parametri (alfa, gamma un delta). Piemēram, ja ir 12 mēnešu sezonas cikls:

Prognoze 39. mēnesim = (36. līmenis + 3 × 36. tendence) x sezonalitāte 27

Analizējot datus, ir jānoskaidro, kas ir tendence datu rindā un kas ir sezonalitāte. Lai veiktu aprēķinus, izmantojot Holta-Vintersa metodi, jums ir:

• Vienmērīgi vēsturiskie dati, izmantojot mainīgā vidējā metode.
• Salīdziniet datu laikrindas izlīdzināto versiju ar sākotnējo versiju, lai iegūtu aptuvenu sezonalitātes aprēķinu.
• Iegūstiet jaunus datus bez sezonālā komponenta.
• Atrodiet līmeņa un tendenču tuvinājumus, pamatojoties uz šiem jaunajiem datiem.

Sāciet ar neapstrādātajiem datiem (12. attēlā A un B kolonnas) un pievienojiet C kolonnu ar mainīgajām vidējām izlīdzinātajām vērtībām. Tā kā sezonalitātei ir 12 mēnešu cikli, ir lietderīgi izmantot 12 mēnešu vidējo rādītāju. Ar šo vidējo rādītāju ir neliela problēma. 12 ir pāra skaitlis. Ja izlīdzināt 7. mēneša pieprasījumu, vai tas būtu jāuzskata par vidējo pieprasījumu no 1. līdz 12. mēnešiem vai no 2. līdz 13. mēnešiem? Lai pārvarētu šīs grūtības, jums ir jāizlīdzina pieprasījums, izmantojot "2x12 mainīgo vidējo". Tas ir, ņemiet pusi no diviem vidējiem rādītājiem no 1. līdz 12. mēnešiem un no 2. līdz 13. mēnešiem. Formula šūnā C8: =(VIDĒJS(B3:B14)+VIDĒJS(B2:B13))/2.

Izlīdzinātos datus par 1.–6. un 31.–36. mēnesi nevar iegūt, jo nav pietiekami daudz iepriekšējo un nākamo periodu. Skaidrības labad sākotnējos un izlīdzinātos datus var atspoguļot diagrammā (13. att.).

Tagad kolonnā D izdaliet sākotnējo vērtību ar izlīdzināto un iegūstiet aptuveno sezonālās korekcijas vērtību (12. att. D kolonna). Šūnas D8 formula ir =B8/C8. Ņemiet vērā, ka 12. un 24. mēnesī (decembrī) pieauga par 20% virs parastā pieprasījuma, savukārt zemākās vērtības tiek novērotas pavasarī. Šī izlīdzināšanas tehnika jums deva divus punktu aplēses par katru mēnesi (kopā 24 mēneši). Ailē E tiek atrasts šo divu faktoru vidējais lielums. Formula šūnā E1: =VIDĒJAIS(D14,D26). Skaidrības labad sezonālo svārstību līmeni var attēlot grafiski (14. att.).

Tagad var iegūt sezonāli izlīdzinātus datus. Šūnas G1 formula ir: =B2/E2. Sastādiet grafiku, pamatojoties uz G kolonnas datiem, papildiniet to ar tendences līniju, attēlojiet trenda vienādojumu diagrammā (15. att.) un izmantojiet koeficientus turpmākajos aprēķinos.

Izveidojiet jaunu lapu, kā parādīts attēlā. 16. Aizstājiet vērtības diapazonā E5:E16 no att. 12 apgabali E2:E13. Ņemiet C16 un D16 vērtības no tendenču līnijas vienādojuma attēlā. 15. Iestatiet izlīdzināšanas konstantes, lai tās sāktu ar 0,5. Izstiepiet vērtības 17. rindiņā, lai aptvertu diapazonu no 1. līdz 36. mēnešiem. Palaist Meklējot risinājumu lai optimizētu izlīdzināšanas koeficientus (18. att.). Šūnā B53 esošā formula ir: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Tagad ir jāpārbauda autokorelācijas veiktajā prognozē (18. att.). Tā kā visas vērtības atrodas starp augšējo un apakšējo robežu, jūs saprotat, ka modelis ir paveicis labu darbu, lai izprastu pieprasījuma vērtību struktūru.

Prognozes ticamības intervāla konstruēšana

Tātad mums ir pilnībā strādājoša prognoze. Kā jūs nosakāt augšējo un apakšējo robežu, ko var izmantot, lai izdarītu reālistiskus pieņēmumus? Montekarlo simulācija, ar kuru jau esat sastapies (skatiet arī), jums to palīdzēs. Ideja ir ģenerēt pieprasījuma uzvedības nākotnes scenārijus un noteikt grupu, kurā ietilpst 95% no tiem.

Izņemiet prognozi no Excel lapas šūnām B53:B64 (sk. 17. att.). Jūs ierakstīsit pieprasījumu tur, pamatojoties uz simulāciju. Pēdējo var ģenerēt, izmantojot funkciju NORMINV. Turpmākajiem mēnešiem jums vienkārši jānorāda vidējais (0), standarta sadalījums (10,37 no šūnas $H$2) un nejaušs skaitlis no 0 līdz 1. Funkcija atgriezīs novirzi ar varbūtību, kas atbilst zvanveida līknei. Ievietojiet vienpakāpes kļūdas simulāciju šūnā G53: =NORMIN(RAND(),0,H$2). Izstiepiet šo formulu līdz G64, un jūs saņemsiet prognožu kļūdu simulācijas 12 mēnešiem viena posma prognozei (19. attēls). Jūsu simulācijas vērtības atšķirsies no attēlā redzamajām (tāpēc tā ir simulācija!).

Ar prognozes nenoteiktību jums ir viss nepieciešamais, lai atjauninātu līmeni, tendenci un sezonas koeficientu. Tāpēc atlasiet šūnas C52:F52 un izstiepiet tās līdz 64. rindai. Tā rezultātā jums ir simulēta prognozes kļūda un pati prognoze. Balstoties uz pretējo, mēs varam prognozēt pieprasījuma vērtības. Ievietojiet formulu šūnā B53: =F53+G53 un izstiepiet to līdz B64 (20. att., diapazons B53:F64). Tagad varat nospiest pogu F9, katru reizi atjauninot prognozi. Ievietojiet 1000 simulāciju rezultātus šūnās A71:L1070, katru reizi transponējot vērtības no diapazona B53:B64 uz diapazonu A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Ja tas jūs traucē, uzrakstiet kādu VBA kodu.

Tagad jums ir 1000 scenāriju katram mēnesim, un varat izmantot funkciju PERCENTILE, lai iegūtu augšējo un apakšējo robežu 95% ticamības intervāla vidū. Šūnā A66 formula ir: =PROCENTĪLE(A71:A1070,0,975) un šūnā A67: =PROCENTĪLE(A71:A1070,0,025).

Kā parasti, skaidrības labad datus var attēlot grafiski (21. att.).

Diagrammā ir divi interesanti punkti:

• Laika gaitā kļūda kļūst plašāka. Tam ir jēga. Nenoteiktība uzkrājas ar katru mēnesi.
• Tādā pašā veidā kļūda palielinās daļās, kas samazinās sezonālā pieprasījuma pieauguma periodos. Ar turpmāko kritumu kļūda samazinās.

Rakstīts, pamatojoties uz Džona Formena grāmatu. – M.: Apgāds Alpina, 2016. – Lpp. 329–381

Eksponenciālā izlīdzināšana ir sarežģītāka vidējā svērtā metode. Katra jauna prognoze ir balstīta uz iepriekšējo prognozi, pieskaitot procentuālo starpību starp šo prognozi un sērijas faktisko vērtību attiecīgajā brīdī.

F t = F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

Kur: Ft – prognoze periodam t

F t -1– prognoze periodam t-1

– izlīdzināšanas konstante

A t - 1 – faktiskais pieprasījums vai pārdošanas apjoms attiecīgajā periodā t-1

Izlīdzināšanas konstante ir procentuālā daļa no prognozētās kļūdas. Katra jauna prognoze ir vienāda ar iepriekšējo prognozi plus procentuālā daļa no iepriekšējās kļūdas.

Prognozes korekcijas jutību pret kļūdu nosaka izlīdzināšanas konstante, jo tuvāk tās vērtība ir 0, jo lēnāk prognoze pielāgosies prognožu kļūdām (t.i., jo lielāka ir izlīdzināšanas pakāpe). Un otrādi, jo tuvāk vērtība ir 1,0, jo augstāka ir jutība un mazāka izlīdzināšana.

Izlīdzināšanas konstantes izvēle lielā mērā ir brīvas izvēles vai izmēģinājumu un kļūdu jautājums. Mērķis ir izvēlēties tādu izlīdzināšanas konstanti, lai, no vienas puses, prognoze būtu pietiekami jutīga pret reālajām izmaiņām laikrindu datos, no otras puses, tā labi izlīdzinātu nejaušu faktoru radītos lēcienus. Parasti lietotās vērtības svārstās no 0,05 līdz 0,50.

Eksponenciālā izlīdzināšana ir viena no visplašāk izmantotajām prognozēšanas metodēm, daļēji tāpēc, ka tai ir minimālas datu uzglabāšanas prasības un ērta aprēķināšana, un daļēji tāpēc, ka nozīmīguma koeficientu sistēmu var mainīt, vienkārši mainot vērtību.

3. tabula. Eksponenciālā izlīdzināšana

Periods	Faktiskais pieprasījums	α= 0,1	α = 0,4
prognoze	kļūda	prognoze	kļūda
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

Metodes tendencei

Ir divi svarīgas metodes, ko var izmantot, lai izstrādātu prognozes, ja ir tendence. Viens no tiem ietver tendenču vienādojuma izmantošanu; cits – eksponenciālās izlīdzināšanas paplašināšana.

Tendences vienādojums:

Lineārais vienādojums tendences izskatās šādi:

Y t = a + δ∙ t (3)

Kur: t - noteikti periodu skaits laiku pa laikam t = 0;

Yt– perioda prognoze t;

α - nozīme Yt plkst t=0

δ – līnijas slīpums.

Tiešie koeficienti α Un δ , var aprēķināt no statistikas datiem par noteiktu periodu, izmantojot šādus divus vienādojumus:

δ= , (4)

α = , (5)

Kur: n - periodu skaits,

y– laikrindas vērtība

3. tabula. Tendenču līmenis.

Periods (t)	gads	Pārdošanas līmenis (y)	t∙y	t 2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
Kopā:		-	60 400	192 200

Aprēķināsim tendenču līnijas koeficientus:

δ=

Tātad tendences līnija Y t = α + δ ∙ t

Mūsu gadījumā Y t = 43 900+1 100 ∙t,

Kur t = 0 periodam 0.

Izveidosim vienādojumu periodam 6 (2015) un 7 (2016):

– prognoze 2015. gadam.

Y 7 = 43 900+1 100*7 = 51 600

Izveidosim grafiku:

Tendenču eksponenciāla izlīdzināšana

Vienkāršas eksponenciālās izlīdzināšanas veidu var izmantot, ja laikrindas atklāj tendenci. Šo variāciju sauc par tendenču eksponenciālo izlīdzināšanu vai dažreiz dubultu izlīdzināšanu. Tas atšķiras no vienkāršas eksponenciālās izlīdzināšanas, ko izmanto tikai tad, ja dati atšķiras ap kādu vidējo vērtību vai pēkšņas vai pakāpeniskas izmaiņas.

Ja sērija parāda tendenci un tiek izmantota vienkārša eksponenciāla izlīdzināšana, visas prognozes atpaliks no tendences. Piemēram, ja dati palielinās, tad katra prognoze tiks novērtēta par zemu. Gluži pretēji, datu samazināšana dod pārāk augstu prognozi. Grafiski attēlojot datus, var parādīt, kad dubultā izlīdzināšana būtu vēlama, nevis vienreizēja izlīdzināšana.

Trends koriģētā prognoze (TAF) sastāv no diviem elementiem: izlīdzinātās kļūdas un tendences faktora.

TAF t +1 = S t + T t, (6)

Kur: S t – izlīdzināta prognoze;

T t – pašreizējās tendences novērtējums

UN S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t = T t-1 + α 2 (TAF t –TAF t-1 – T t-1) (8)

Kur α 1, α 2– izlīdzināšanas konstantes.

Lai izmantotu šo metodi, jums jāizvēlas α 1, α 2 vērtības (ar parasto atlasi) un sākotnējā prognoze un tendenču novērtēšanu.

4. tabula. Eksponenciālās izlīdzināšanas tendence.

Vienkāršs un loģiski skaidrs laikrindu modelis izskatās šādi:

Kur b ir konstante, un ε - nejauša kļūda. Pastāvīgi b ir relatīvi stabils katrā laika intervālā, taču laika gaitā var arī lēnām mainīties. Viens no intuitīviem veidiem, kā izcelt nozīmi b no datiem ir izmantot slīdošā vidējā izlīdzināšanu, kurā pēdējiem novērojumiem tiek piešķirti lielāki svērumi nekā priekšpēdējiem, priekšpēdējiem - vairāk nekā priekšpēdējiem utt. Vienkāršā eksponenciālā izlīdzināšana ir izstrādāta tieši šādi. Šeit vecākiem novērojumiem tiek piešķirti eksponenciāli dilstoši svari, un atšķirībā no mainīgā vidējā tiek ņemti vērā visi iepriekšējie sērijas novērojumi, nevis tikai tie, kas iekrita noteiktā logā. Precīza formula vienkāršai eksponenciālai izlīdzināšanai ir:

Lietojot šo formulu rekursīvi, katra jauna izlīdzinātā vērtība (kas arī ir prognoze) tiek aprēķināta kā pašreizējā novērojuma un izlīdzinātās sērijas vidējā svērtā vērtība. Acīmredzot izlīdzināšanas rezultāts ir atkarīgs no parametra α . Ja α vienāds ar 1, tad iepriekšējie novērojumi tiek pilnībā ignorēti. Ja a ir 0, tad pašreizējie novērojumi tiek ignorēti. Vērtības α no 0 līdz 1 dod starprezultātus. Empīriskie pētījumi parādīja, ka vienkārša eksponenciālā izlīdzināšana bieži vien dod pietiekami daudz precīza prognoze.

Praksē parasti ir ieteicams lietot α mazāks par 0,30. Tomēr, izvēloties lielāku par 0,30, dažkārt tiek sniegta precīzāka prognoze. Tas nozīmē, ka labāk ir novērtēt optimālā vērtība α pamatojoties uz reāliem datiem, nevis izmantojot vispārīgus ieteikumus.

Praksē optimālais izlīdzināšanas parametrs bieži tiek atrasts, izmantojot režģa meklēšanas procedūru. Iespējamais parametru vērtību diapazons ir sadalīts režģī ar noteiktu soli. Piemēram, apsveriet vērtību režģi no α =0,1 līdz α = 0,9 ar soli 0,1. Pēc tam tiek atlasīta šī vērtība α , kurai atlikuma kvadrātu (vai vidējo kvadrātu) summa (novērotās vērtības mīnus soli uz priekšu prognozes) ir minimāla.

Microsoft Excel ir eksponenciālās izlīdzināšanas funkcija, ko parasti izmanto, lai izlīdzinātu empīriskas laikrindas līmeņus, pamatojoties uz vienkāršu eksponenciālās izlīdzināšanas metodi. Lai izsauktu šo funkciju, izvēlņu joslā atlasiet komandu Rīki — datu analīze. Ekrānā tiks atvērts datu analīzes logs, kurā jāizvēlas eksponenciālās izlīdzināšanas vērtība. Rezultātā parādīsies dialoglodziņš Eksponenciālā izlīdzināšana, parādīts attēlā. 11.5.

Dialoglodziņā Eksponenciālā izlīdzināšana ir iestatīti gandrīz tādi paši parametri kā iepriekš apskatītajā dialoglodziņā Moving Average.

1. Ievades diapazons - šajā laukā tiek ievadīts šūnu diapazons, kurā ir pētāmā parametra vērtības.

2. Etiķetes — šī opcijas izvēles rūtiņa ir atzīmēta, ja ievades diapazona pirmajā rindā (kolonnā) ir virsraksts. Ja nosaukuma nav, izvēles rūtiņa ir jānotīra. Šajā gadījumā izvades diapazona datiem tiks automātiski izveidoti standarta nosaukumi.

3. Amortizācijas koeficients - šajā laukā tiek ievadīta izvēlētā eksponenciālā izlīdzināšanas koeficienta vērtība α . Noklusējuma vērtība ir α = 0,3.

4. Izvades opcijas - šajā grupā papildus izvaddatu šūnu diapazona norādīšanai laukā Output Range varat arī pieprasīt, lai diagramma tiktu automātiski ģenerēta, atzīmējot opciju Diagrammas izvade, un aprēķināt standarta kļūdas, atzīmējot opciju Standarta kļūdas.

Izmantosim funkciju Eksponenciālā izlīdzināšana lai atkārtoti atrisinātu iepriekš apspriesto problēmu, bet izmantojot vienkāršas eksponenciālās izlīdzināšanas metodi. Izvēlētās izlīdzināšanas parametru vērtības ir parādītas attēlā. 11.5. Attēlā 11.6. parādīti aprēķinātie rādītāji, un att. 11.7 - konstruēti grafiki.

3. tēma. Laika rindu izlīdzināšana un prognozēšana, pamatojoties uz tendenču modeļiem

Mērķis pētot šo tēmu ir izveidot pamatbāzi vadītāju apmācībai specialitātē 080507 modeļu veidošanas jomā dažādi uzdevumi ekonomikas jomā, attīstot studentos sistemātisku pieeju prognozēšanas problēmu noteikšanai un risināšanai. Piedāvātais kurss ļaus speciālistiem ātri pielāgoties praktiskajam darbam, labāk orientēties zinātniskajā un tehniskajā informācijā un literatūrā savā specialitātē un būt pārliecinātākiem, pieņemot darbā radušos lēmumus. Galvenā uzdevumus apgūst tēmu: studenti iegūst padziļinātas teorētiskās zināšanas par prognožu modeļu izmantošanu, to ilgtspējīgu prasmju apguvi pētnieciskā darba veikšanā, spēju risināt sarežģītas zinātniskas problēmas, kas saistītas ar modeļu konstruēšanu, tajā skaitā daudzdimensionālas, prasmes loģiski analizēt iegūtos rezultātus un noteikt veidus, kā atrast pieņemamus lēmumus.

Pietiekami vienkārša metode attīstības tendenču noteikšana ir laikrindu izlīdzināšana, t.i., faktisko līmeņu aizstāšana ar aprēķinātajiem, kuriem ir mazākas variācijas nekā sākotnējie dati. Tiek izsaukta atbilstošā transformācija filtrēšana. Apskatīsim vairākas izlīdzināšanas metodes.

3.1. Vienkārši vidējie rādītāji

Izlīdzināšanas mērķis ir izveidot prognozēšanas modeli nākamajiem periodiem, pamatojoties uz pagātnes novērojumiem. Izmantojot vienkāršu vidējo rādītāju metodi, mainīgā lieluma vērtības tiek ņemtas par sākotnējiem datiem Y brīžos laikā t, un prognozes vērtība ir definēta kā vienkārša vidējā vērtība nākamajam laika periodam. Aprēķina formula izskatās kā

Kur n novērojumu skaits.

Kad kļūst pieejams jauns novērojums, tad, prognozējot nākamo periodu, jāņem vērā jauniegūtā prognoze. Izmantojot šo metodi, prognoze tiek veidota, vidēji aprēķinot visus iepriekšējos datus, tomēr šādas prognozēšanas trūkums ir grūtības to izmantot tendenču modeļos.

3.2. Slīdošā vidējā metode

Šīs metodes pamatā ir sērijas attēlošana kā diezgan vienmērīgas tendences un nejaušas sastāvdaļas summa. Metodes pamatā ir ideja aprēķināt teorētisko vērtību, pamatojoties uz lokālu tuvinājumu. Tendences aplēses izveidošana punktā t pamatojoties uz sērijas vērtībām no laika intervāla aprēķināt sērijas teorētisko vērtību. Visizplatītākais gadījums izlīdzināšanas sēriju praksē ir tad, kad visi atsvari intervāla elementiem ir vienādi viens ar otru. Šī iemesla dēļ šo metodi sauc mainīgā vidējā metode, kopš, veicot procedūru, logs ar platumu (2 m + 1) pa visu rindu. Loga platums parasti tiek pieņemts nepāra, jo tiek aprēķināta teorētiskā vērtība centrālā nozīme: terminu skaits k = 2m + 1 ar vienādu līmeņu skaitu pa kreisi un pa labi no brīža t.

Slīdošā vidējā aprēķināšanas formula šajā gadījumā ir šāda:

Slīdošā vidējā dispersija ir definēta kā σ 2/k, kur cauri σ 2 apzīmē sērijas sākotnējo nosacījumu izkliedi, un k izlīdzināšanas intervāls, tāpēc, jo lielāks ir izlīdzināšanas intervāls, jo spēcīgāka ir datu vidējā vērtība un mazāk mainīga ir identificētā tendence. Visbiežāk izlīdzināšana tiek veikta, izmantojot trīs, piecus un septiņus oriģinālās sērijas dalībniekus. Šajā gadījumā jāņem vērā šādas mainīgā vidējā iezīmes: ja ņemam vērā virkni ar periodiskām nemainīga garuma svārstībām, tad, veicot izlīdzināšanu, pamatojoties uz mainīgo vidējo ar izlīdzināšanas intervālu, kas vienāds ar periodu vai tā daudzkārtnis, svārstības tiks pilnībā novērstas. Bieži vien izlīdzināšana, pamatojoties uz slīdošo vidējo vērtību, sēriju pārveido tik spēcīgi, ka identificētā attīstības tendence parādās tikai lielākajā daļā. vispārīgs izklāsts, un pazūd mazākas, bet analīzei svarīgas detaļas (viļņi, līkumi utt.); pēc izlīdzināšanas mazi viļņi dažkārt var mainīt virzienu, lai "pīķu" vietā parādās pretēji "caurumi" un otrādi. Tas viss prasa piesardzību vienkārša mainīgā vidējā lietošanā un liek mums meklēt smalkākas apraksta metodes.

Slīdošā vidējā metode nesniedz tendenču vērtības pirmajai un pēdējai m seriāla dalībnieki. Šis trūkums ir īpaši pamanāms, ja rindas garums ir īss.

3.3. Eksponenciālā izlīdzināšana

Eksponenciālais vidējais y t ir asimetriskas svērtā mainīgā vidējā piemērs, kurā ņemta vērā datu novecošanas pakāpe: vecāka informācija ar mazāku svaru ir iekļauta sērijas līmeņa izlīdzinātās vērtības aprēķināšanas formulā.

Šeit — eksponenciālais vidējais, aizstājot novēroto sērijas vērtību y t(izlīdzināšana ietver visus līdz šim saņemtos datus t), α izlīdzināšanas parametrs, kas raksturo pašreizējā (jaunākā) novērojuma svaru; 0< α <1.

Metode tiek izmantota, lai prognozētu nestacionāras laikrindas ar nejaušām līmeņa un slīpuma izmaiņām. Virzoties tālāk pagātnē no pašreizējā laika momenta, atbilstošā rindas dalībnieka svars ātri (eksponenciāli) samazinās un praktiski vairs neietekmē vērtību.

Ir viegli iegūt, ka pēdējā sakarība ļauj sniegt šādu eksponenciālā vidējā interpretāciju: ja — sērijas vērtību prognoze y t, tad atšķirība ir prognozes kļūda. Tādējādi prognoze nākamajam laika punktam t+1ņem vērā to, kas kļuva zināms šobrīd t prognozes kļūda.

Izlīdzināšanas parametrs α ir svēršanas faktors. Ja α ir tuvu vienībai, tad prognozē būtiski ņemts vērā pēdējās prognozes kļūdas lielums. Pie mazām vērtībām α prognozētā vērtība ir tuvu iepriekšējai prognozei. Izlīdzināšanas parametra izvēle ir diezgan sarežģīta problēma. Vispārīgi apsvērumi ir šādi: metode ir piemērota diezgan gludu sēriju prognozēšanai. Šajā gadījumā varat izvēlēties izlīdzināšanas konstanti, samazinot vienu soli uz priekšu prognozēto kļūdu, kas aprēķināta no sērijas pēdējās trešdaļas. Daži eksperti neiesaka izmantot lielas izlīdzināšanas parametra vērtības. Attēlā 3.1. attēlā parādīts izlīdzinātas sērijas piemērs, izmantojot eksponenciālās izlīdzināšanas metodi ar α= 0,1.

Rīsi. 3.1. Eksponenciālās izlīdzināšanas rezultāts plkst α =0,1
(1 oriģinālā sērija; 2 izlīdzinātās sērijas; 3 atlikumi)

3.4. Eksponenciālā izlīdzināšana
ņemot vērā tendenci (Holta metode)

Šī metode ņem vērā laika rindās esošo lokālo lineāro tendenci. Ja laikrindā ir tendence uz augšu, tad kopā ar pašreizējā līmeņa novērtējumu ir nepieciešams arī slīpuma novērtējums. Holta tehnikā līmeņa un slīpuma vērtības tiek izlīdzinātas tieši, katram parametram izmantojot dažādas konstantes. Pastāvīga izlīdzināšana ļauj novērtēt pašreizējo līmeni un slīpumu, precizējot tos ikreiz, kad parādās jauni novērojumi.

Holta metode izmanto trīs aprēķina formulas:

1. Eksponenciāli izlīdzinātas sērijas (pašreizējā līmeņa aprēķins)

(3.2)

1. Tendenču novērtējums

(3.3)

1. Prognoze par R periodi priekšā

(3.4)

Kur α, β izlīdzināšanas konstantes no intervāla.

Vienādojums (3.2) ir līdzīgs (3.1) vienādojumam vienkāršai eksponenciālai izlīdzināšanai, izņemot tendences terminu. Pastāvīgi β nepieciešams, lai izlīdzinātu tendences novērtējumu. Prognozes vienādojumā (3.3.) tendences novērtējums tiek reizināts ar periodu skaitu R, uz kuru balstās prognoze, un pēc tam šis produkts tiek pievienots pašreizējam izlīdzināto datu līmenim.

Pastāvīgs α Un β tiek atlasīti subjektīvi vai līdz minimumam samazinot prognozēšanas kļūdu. Jo lielāki svari tiek ņemti, jo ātrāk notiks reakcija uz izmaiņām un dati būs vienmērīgāki. Mazāks svars padara izlīdzināto vērtību struktūru mazāk gludu.

Attēlā 3.2 parādīts piemērs sērijas izlīdzināšanai, izmantojot Holta metodi ar vērtībām α Un β , vienāds ar 0,1.

Rīsi. 3.2. Nogludināšanas rezultāts ar Holta metodi
plkst α = 0,1 Un β = 0,1

3.5. Eksponenciālā izlīdzināšana, ņemot vērā tendences un sezonālās izmaiņas (Winters metode)

Ja datu struktūrā ir sezonālas izmaiņas, lai samazinātu prognožu kļūdas, tiek izmantots Vinters piedāvātais trīs parametru eksponenciālās izlīdzināšanas modelis. Šī pieeja ir Holta iepriekšējā modeļa paplašinājums. Lai ņemtu vērā sezonālās izmaiņas, šeit tiek izmantots papildu vienādojums, un šo metodi pilnībā apraksta četri vienādojumi:

1. Eksponenciāli izlīdzinātas sērijas

(3.5)

1. Tendenču novērtējums

(3.6)

1. Sezonalitātes novērtējums

.

(3.7)

1. Prognoze par R periodi priekšā

(3.8)

Kur α, β, γ pastāvīga izlīdzināšana atbilstoši līmenim, tendencei un sezonalitātei; s- sezonas svārstību perioda ilgums.

Vienādojums (3.5) koriģē izlīdzinātās sērijas. Termins šajā vienādojumā ņem vērā sezonalitāti avota datos. Pēc sezonalitātes un tendenču ņemšanas vērā vienādojumos (3.6), (3.7), aplēses tiek izlīdzinātas un (3.8) vienādojumā tiek veidota prognoze.

Tāpat kā iepriekšējā metodē, atsvari α, β, γ var atlasīt subjektīvi vai samazinot prognozēšanas kļūdu. Pirms (3.5) vienādojuma piemērošanas ir jānosaka izlīdzinātās sērijas sākotnējās vērtības Lt, tendence T t, sezonalitātes koeficienti S t. Parasti izlīdzinātās sērijas sākotnējā vērtība tiek uzskatīta par vienādu ar pirmo novērojumu, tad tendence ir vienāda ar nulli, un sezonalitātes koeficienti tiek iestatīti vienādi ar vienu.

Attēlā 3.3. attēlā parādīts sērijas izlīdzināšanas piemērs, izmantojot Vintersa metodi.

Rīsi. 3.3. Izlīdzināšanas rezultāts pēc Winters metodes
plkst α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1(1 - oriģinālā sērija; 2 izlīdzinātās sērijas; 3 atlikumi)

3.6. Prognozēšana, pamatojoties uz tendenču modeļiem

Diezgan bieži laikrindām ir lineāra tendence (tendence). Pieņemot lineāru tendenci, ir jākonstruē taisne, kas visprecīzāk atspoguļotu dinamikas izmaiņas aplūkojamajā periodā. Ir vairākas metodes taisnas līnijas izveidošanai, taču no formālā viedokļa visobjektīvākā būs konstrukcija, kuras pamatā ir sērijas sākotnējo vērtību negatīvo un pozitīvo noviržu summas samazināšana no taisnes.

Taisne divu koordinātu sistēmā (x,y) var noteikt pēc vienas koordinātu krustpunkta plkst un slīpuma leņķis pret asi X.Šādas līnijas vienādojums izskatīsies Kur a- krustojuma punkts; b slīpuma leņķis.

Lai taisne atspoguļotu dinamikas gaitu, ir jāsamazina vertikālo noviržu summa. Izmantojot vienkāršu noviržu summu kā kritēriju minimizēšanas novērtēšanai, rezultāts nebūs īpaši labs, jo negatīvās un pozitīvās novirzes savstarpēji kompensē viena otru. Absolūto vērtību summas samazināšana arī nesniedz apmierinošus rezultātus, jo parametru aplēses šajā gadījumā ir nestabilas, un šādas novērtēšanas procedūras ieviešanā ir arī skaitļošanas grūtības. Tāpēc visbiežāk izmantotā procedūra ir samazināt noviržu kvadrātā summu vai mazāko kvadrātu metode(MNC).

Tā kā sākotnējo vērtību sērijai ir svārstības, sērijas modelī būs kļūdas, kuru kvadrāti ir jāsamazina līdz minimumam

kur y i novērotā vērtība; y i * modeļa teorētiskās vērtības; novērojuma numurs.

Modelējot sākotnējās laikrindas tendenci, izmantojot lineāro tendenci, mēs pieņemam, ka

Dalot pirmo vienādojumu ar n, mēs nonākam pie nākamā

Iegūto izteiksmi aizstājot ar koeficientu sistēmas (3.10) otrajā vienādojumā b* mēs iegūstam:

3.7. Modeļa atbilstības pārbaude

Kā piemērs attēlā. 3.4 parāda lineārās regresijas grafiku starp automašīnas jaudu X un tā izmaksas plkst.

Rīsi. 3.4. Lineārās regresijas grafiks

Šī gadījuma vienādojums ir: plkst=1455,3 + 13,4 X. Šī attēla vizuālā analīze parāda, ka vairākiem novērojumiem ir būtiskas novirzes no teorētiskās līknes. Atlikušais grafiks ir parādīts attēlā. 3.5.

Rīsi. 3.5. Bilances diagramma

Regresijas līnijas atlikuma analīze var sniegt noderīgu mērījumu tam, cik labi aplēstā regresija atspoguļo faktiskos datus. Laba regresija ir tāda, kas izskaidro nozīmīgu dispersijas daļu, un, gluži pretēji, slikta regresija neizseko lielu sākotnējo datu variāciju apjomu. Ir intuitīvi skaidrs, ka jebkura papildu informācija uzlabos modeli, t.i., samazinās mainīgā lieluma variācijas neizskaidrojamo daļu. plkst. Lai analizētu regresiju, mēs sadalīsim dispersiju komponentos. Ir skaidrs, ka

Pēdējais loceklis būs vienāds ar nulli, jo tas atspoguļo atlikumu summu, tāpēc mēs nonākam pie šāda rezultāta

Kur SS 0, SS 1, SS 2 nosaka attiecīgi kvadrātu kopējo, regresijas un atlikušās summas.

Kvadrātu regresijas summa mēra dispersijas daļu, ko izskaidro lineāra sakarība; dispersijas atlikušā daļa, kas nav izskaidrojama ar lineāru sakarību.

Katrai no šīm summām ir raksturīgs atbilstošs brīvības pakāpju skaits (DOF), kas nosaka viena no otras neatkarīgu datu vienību skaitu. Citiem vārdiem sakot, sirdsdarbība ir saistīta ar novērojumu skaitu n un parametru skaits, kas aprēķināts no datu kopuma. Izskatāmajā gadījumā, lai aprēķinātu SS 0 tiek noteikta tikai viena konstante (vidējā vērtība), tāpēc sirdsdarbības ātrums par SS 0 būs (n– 1), Sirdsdarbības ātrums par SS 2 — (n — 2) un sirdsdarbības ātrumu SS 1 būs n – (n – 1)=1, jo regresijas vienādojumā ir n – 1 nemainīgs punkts. Tāpat kā kvadrātu summas, sirdsdarbības ātrums ir saistīts ar attiecību

Ar dispersijas sadalīšanos saistītās kvadrātu summas kopā ar atbilstošajiem HR var ievietot tā sauktajā dispersijas analīzes tabulā (ANOVA tabula ANalysis Of Variance) (3.1. tabula).

3.1. tabula

ANOVA tabula

Avots	Kvadrātu summa		Vidējais laukums
Regresija			SS 2/(n-2)

Izmantojot ieviesto saīsinājumu kvadrātu summām, mēs definējam determinācijas koeficients kā regresijas kvadrātu summas attiecība pret kopējo kvadrātu summu formā

(3.13)

Determinācijas koeficients mēra mainīgā mainīguma proporciju Y, ko var izskaidrot, izmantojot informāciju par neatkarīgā mainīgā mainīgumu X. Determinācijas koeficients mainās no nulles, kad X neietekmē Y, uz vienu, kad izmaiņas Y pilnībā izskaidrots ar izmaiņām X.

3.8. Regresijas prognožu modelis

Vislabākā prognoze ir tā, kuras novirze ir minimāla. Mūsu gadījumā parastais OLS nodrošina vislabāko prognozi no visām metodēm, kas rada objektīvus aprēķinus, pamatojoties uz lineāriem vienādojumiem. Prognozes kļūda, kas saistīta ar prognozēšanas procedūru, var nākt no četriem avotiem.

Pirmkārt, ar lineāro regresiju apstrādāto aditīvo kļūdu nejaušais raksturs nodrošina, ka prognoze novirzīsies no patiesajām vērtībām, pat ja modelis ir pareizi norādīts un tā parametri ir precīzi zināmi.

Otrkārt, pats novērtēšanas process ievieš kļūdas parametru novērtējumā, tie reti var būt vienādi ar patiesajām vērtībām, lai gan tie ir vienādi ar tiem.

Treškārt, nosacītās prognozes gadījumā (ja ir precīzi nezināmas neatkarīgo mainīgo vērtības), tiek ieviesta kļūda ar skaidrojošo mainīgo prognozi.

Ceturtkārt, var rasties kļūda, jo modeļa specifikācija ir neprecīza.

Rezultātā kļūdu avotus var klasificēt šādi:

1. mainīgā lieluma būtība;
2. modeļa būtība;
3. kļūda, ko rada neatkarīgu gadījuma lielumu prognoze;
4. specifikācijas kļūda.

Mēs izskatīsim beznosacījumu prognozi, kad neatkarīgie mainīgie ir viegli un precīzi prognozējami. Sāksim apsvērt prognožu kvalitātes problēmu ar pāra regresijas vienādojumu.

Problēmas formulējumu šajā gadījumā var formulēt šādi: kāda būs labākā prognoze y T+1, ja modelī y = a + bx iespējas A Un b tiek precīzi novērtētas, un vērtība x T+1 zināms.

Tad paredzamo vērtību var definēt kā

Prognozes kļūda būs

.

Prognozes kļūdai ir divas īpašības:

Iegūtā dispersija ir minimāla starp visiem iespējamajiem aprēķiniem, kuru pamatā ir lineāri vienādojumi.

Lai gan A un b ir zināmi, prognozes kļūda parādās tādēļ, ka pie T+1 kļūdas dēļ var neatrasties uz regresijas taisnes ε T+1, kas pakļauts normālam sadalījumam ar nulles vidējo un dispersiju σ 2. Lai pārbaudītu prognozes kvalitāti, mēs ieviešam normalizētu vērtību

Pēc tam varat definēt 95% ticamības intervālu šādi:

Kur β 0,05 normālā sadalījuma kvantiles.

95% intervāla robežas var definēt kā

Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā platums ticamības intervāls nav atkarīgs no izmēra X, un intervāla robežas ir taisnes, kas ir paralēlas regresijas taisnei.

Biežāk, konstruējot regresijas taisni un pārbaudot prognozes kvalitāti, ir jāizvērtē ne tikai regresijas parametri, bet arī prognozes kļūdas dispersija. Var parādīt, ka šajā gadījumā kļūdas dispersija ir atkarīga no vērtības (), kur ir neatkarīgā mainīgā vidējā vērtība. Turklāt, jo garāka ir sērija, jo precīzāka ir prognoze. Prognozes kļūda samazinās, ja X T+1 vērtība ir tuvu neatkarīgā mainīgā vidējai vērtībai, un, otrādi, attālinoties no vidējās vērtības, prognoze kļūst mazāk precīza. Attēlā 3.6. attēlā parādīti prognozes rezultāti, izmantojot lineārās regresijas vienādojumu 6 laika intervāliem uz priekšu kopā ar ticamības intervāliem.

Rīsi. 3.6. Prognoze pēc lineārās regresijas vienādojuma

Kā redzams no att. 3.6, šī regresijas līnija neapraksta sākotnējos datus pietiekami labi: ir lielas atšķirības attiecībā pret pielāgošanas līniju. Par modeļa kvalitāti var spriest arī pēc atlikumiem, kas, ja modelis ir apmierinošs, būtu jāsadala aptuveni pēc parastā likuma. Attēlā 3.7. attēlā parādīts atlikumu grafiks, kas izveidots, izmantojot varbūtības skalu.

Att.3.7. Bilances diagramma

Izmantojot šādu skalu, datiem, kas atbilst parastajam likumam, jāatrodas uz taisnas līnijas. Kā izriet no iepriekš minētā attēla, punkti novērošanas perioda sākumā un beigās nedaudz atšķiras no taisnes, kas norāda, ka izvēlētais modelis lineārās regresijas vienādojuma veidā nav pietiekami kvalitatīvs.

Tabulā 3.2. tabulā parādīti prognožu rezultāti (otrā kolonna) kopā ar 95% ticamības intervāliem (attiecīgi apakšējā trešā un augšējā ceturtā kolonna).

3.2. tabula

Prognozes rezultāti

3.9. Daudzfaktoru regresijas modelis

Daudzfaktoru regresijā katra gadījuma dati ietver atkarīgā mainīgā un katra neatkarīgā mainīgā vērtības. Atkarīgais mainīgais y tas ir nejaušs mainīgais, kas saistīts ar neatkarīgiem mainīgajiem ar šādu attiecību:

kur jānosaka regresijas koeficienti; ε kļūdas komponents, kas atbilst atkarīgā mainīgā vērtību novirzei no patiesās attiecības (tiek pieņemts, ka kļūdas ir neatkarīgas un tām ir normāls sadalījums ar nulles matemātisko cerību un nezināmu dispersiju σ ).

Noteiktai datu kopai regresijas koeficientu aprēķinus var atrast, izmantojot OLS. Ja OLS aprēķini ir apzīmēti ar , tad atbilstošajai regresijas funkcijai būs šāda forma:

Atlikumi ir kļūdas komponentes aprēķini un ir līdzīgi atlikumiem vienkāršas lineārās regresijas gadījumā.

Daudzfaktoru regresijas modeļa statistiskā analīze tiek veikta līdzīgi vienkāršai lineārās regresijas analīzei. Standarta statistikas programmatūras pakotnes ļauj iegūt OLS aplēses modeļa parametriem un to standarta kļūdu aplēses. Alternatīvi, jūs varat iegūt vērtību t-statistika, lai pārbaudītu regresijas modeļa atsevišķu terminu nozīmīgumu un vērtību F-statistika, lai pārbaudītu regresijas atkarības nozīmīgumu.

Kvadrātu summu sadalīšanas forma daudzfaktoru regresijas gadījumā ir līdzīga izteiksmei (3.13), bet sirdsdarbības ātruma attiecība būs šāda

Uzsvērsim to vēlreiz n apzīmē novērojumu apjomu un k mainīgo lielumu skaits modelī. Atkarīgā mainīgā kopējā variācija sastāv no divām sastāvdaļām: variācijas, ko izskaidro neatkarīgie mainīgie, izmantojot regresijas funkciju, un neizskaidrojamās variācijas.

ANOVA tabulai daudzfaktoru regresijas gadījumā būs tāda forma, kā parādīts tabulā. 3.3.

3.3. tabula

ANOVA tabula

Avots	Kvadrātu summa		Vidējais laukums
Regresija			SS 2/(n-k-1)

Kā daudzfaktoru regresijas piemēru mēs izmantosim datus no pakotnes Statistica (datu fails Nabadzība.Sta) Iesniegtie dati ir balstīti uz 1960. un 1970. gada tautas skaitīšanas rezultātu salīdzinājumu. izlases veidam no 30 valstīm. Valstu nosaukumi tika ievadīti kā virkņu nosaukumi, un tālāk ir norādīti visu mainīgo nosaukumi šajā failā:

POP_CHNG iedzīvotāju skaita izmaiņas 1960.-1970.gadā;

N_EMPLD lauksaimniecībā nodarbināto skaits;

PT_POOR ģimeņu procents, kas dzīvo zem nabadzības līmeņa;

TAX_RATE nodokļa likme;

PT_PHONE procentuālā daļa dzīvokļu ar telefonu;

PT_LAUKI procenti no lauku iedzīvotājiem;

AGE pusmūžs.

Kā atkarīgo mainīgo mēs izvēlamies zīmi Pt_Poor, un kā neatkarīgs - viss pārējais. Aprēķinātie regresijas koeficienti starp atlasītajiem mainīgajiem ir doti tabulā. 3.4

3.4. tabula

Regresijas koeficienti

Šajā tabulā parādīti regresijas koeficienti ( IN) un standartizētie regresijas koeficienti ( Beta). Izmantojot koeficientus IN tiek noteikta regresijas vienādojuma forma, kurai šajā gadījumā ir šāda forma:

Tikai šo mainīgo iekļaušana labajā pusē ir saistīta ar to, ka tikai šīm zīmēm ir varbūtības vērtība R mazāks par 0,05 (skatīt 3.4. tabulas ceturto kolonnu).

Bibliogrāfija

1. Basovskis L.E. Prognozēšana un plānošana tirgus apstākļos. – M.: Infra - M, 2003.
2. Bokss Dž., Dženkinss G. Laika rindu analīze. 1. izdevums. Prognoze un vadība. – M.: Mir, 1974.
3. Borovikovs V.P., Ivčenko G.I. Prognozēšana Statistica sistēmā Windows vidē. – M.: Finanses un statistika, 1999.
4. Hercogs V. Datu apstrāde datorā piemēros. – Sanktpēterburga: Pēteris, 1997.
5. Ivčenko B. P., Martiščenko L. A., Ivancovs I. B. Informācijas mikroekonomika. 1. daļa. Analīzes un prognozēšanas metodes. – Sanktpēterburga: Nordmed-Izdat, 1997. gads.
6. Kričevskis M. L. Ievads mākslīgajos neironu tīklos: mācību grāmata. pabalstu. – SPb.: SPb. Valsts jūras tehnika. Universitāte, 1999.
7. Soshnikova L. A., Tamashevich V. N., Uebe G. et al. Daudzfaktoru statistiskā analīze ekonomikā. – M.: Vienotība-Dana, 1999.