Mēs bieži dzirdam izteicienus: “tas ir inerts”, “kustas pēc inerces”, “inerces moments”. Pārnestā nozīmē vārdu “inerce” var interpretēt kā iniciatīvas un rīcības trūkumu. Mūs interesē tiešā nozīme.
Kas ir inerce
Saskaņā ar definīciju inerce fizikā tā ir ķermeņu spēja saglabāt miera vai kustības stāvokli, ja nav ārēju spēku.
Ja ar pašu inerces jēdzienu intuitīvā līmenī viss ir skaidrs, tad inerces moments– atsevišķs jautājums. Piekrītu, ir grūti iedomāties, kas tas ir. Šajā rakstā jūs uzzināsit, kā atrisināt pamata problēmas par šo tēmu "Inerces moments".
Inerces momenta noteikšana
No skolas kursa ir zināms, ka masa – ķermeņa inerces mērs. Ja stumsim divus dažādas masas ratus, tad smagāko būs grūtāk apturēt. Tas ir, jo lielāka masa, jo lielāka ārējā ietekme nepieciešams mainīt ķermeņa kustību. Uzskatāmais attiecas uz translācijas kustību, kad ratiņi no piemēra pārvietojas taisnā līnijā.
Pēc analoģijas ar masu un translācijas kustību inerces moments ir ķermeņa inerces mērs rotācijas kustība ap asi.
Inerces moments– skalārais fiziskais lielums, ķermeņa inerces mērs, griežoties ap asi. Apzīmēts ar burtu Dž un sistēmā SI mēra kilogramos reizēs kvadrātmetrā.
Kā aprēķināt inerces momentu? Ēst vispārējā formula, ko izmanto fizikā, lai aprēķinātu jebkura ķermeņa inerces momentu. Ja ķermenis ar masu tiek sadalīts bezgalīgi mazos gabalos dm , tad inerces moments būs vienāds ar šo elementāru masu reizinājumu summu ar attāluma līdz griešanās asi kvadrātu.
Šī ir vispārējā inerces momenta formula fizikā. Materiālam masas punktam m , kas no attāluma griežas ap asi r no viņas, šī formula iegūst šādu formu:
Šteinera teorēma
No kā ir atkarīgs inerces moments? No masas, rotācijas ass stāvokļa, ķermeņa formas un izmēra.
Huigensa-Šteinera teorēma ir ļoti svarīga teorēma, ko bieži izmanto problēmu risināšanā.
Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide
Huigensa-Šteinera teorēma nosaka:
Ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta summu attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru paralēli patvaļīgai asij, un ķermeņa masas reizinājumu ar kvadrātu no attāluma starp asīm.
Tiem, kuri nevēlas pastāvīgi integrēties, risinot inerces momenta atrašanas problēmas, mēs piedāvājam zīmējumu, kurā norādīti dažu viendabīgu ķermeņu inerces momenti, kas bieži sastopami problēmās:
Problēmas risināšanas piemērs, lai atrastu inerces momentu
Apskatīsim divus piemērus. Pirmais uzdevums ir atrast inerces momentu. Otrs uzdevums ir izmantot Haigensa-Šteinera teorēmu.
1. uzdevums. Atrodiet viendabīga diska ar masu m un rādiusu R inerces momentu. Rotācijas ass iet caur diska centru.
Risinājums:
Sadalīsim disku bezgalīgi plānos gredzenos, kuru rādiuss mainās no 0 pirms tam R un apsveriet vienu šādu gredzenu. Lai tā rādiuss būtu r un masa - dm. Tad gredzena inerces moments ir:
Gredzena masu var attēlot šādi:
Šeit dz– gredzena augstums. Aizvietosim masu inerces momenta formulā un integrēsim:
Rezultātā tika iegūta absolūti plāna diska vai cilindra inerces momenta formula.
2. uzdevums. Atkal ir disks ar masu m un rādiusu R. Tagad jāatrod diska inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur viena tā rādiusa vidu.
Risinājums:
Diska inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru, ir zināms no iepriekšējās problēmas. Pielietosim Šteinera teorēmu un atradīsim:
Starp citu, mūsu emuārā varat atrast citus noderīgus materiālus par fiziku un.
Mēs ceram, ka rakstā atradīsit kaut ko noderīgu sev. Ja inerces tenzora aprēķināšanas procesā rodas grūtības, neaizmirstiet par studentu apkalpošanu. Mūsu speciālisti konsultēs par jebkuru jautājumu un palīdzēs atrisināt problēmu dažu minūšu laikā.
Attiecībā pret fiksēto asi (“aksiālais inerces moments”) ir daudzums J a, vienāds ar summu visu masu darbi n Sistēmas materiālie punkti pēc to attāluma līdz asij kvadrātiem:
- m i- svars i punkts,
- r i- attālums no i punkts uz asi.
Aksiāls inerces momentsķermeni J a ir ķermeņa inerces mērs rotācijas kustībā ap asi, tāpat kā ķermeņa masa ir tā inerces mērs translācijas kustībā.
Ja ķermenis ir viendabīgs, tas ir, tā blīvums visur ir vienāds, tad
Huigensa-Šteinera teorēma
Inerces moments ciets attiecībā pret jebkuru asi ir atkarīgs ne tikai no ķermeņa masas, formas un izmēra, bet arī no ķermeņa stāvokļa attiecībā pret šo asi. Saskaņā ar Šteinera teorēmu (Haigensa-Šteinera teorēma), inerces momentsķermeni Dž attiecībā pret patvaļīgu asi ir vienāda ar summu inerces momentsšis ķermenis J c attiecībā pret asi, kas iet caur ķermeņa masas centru paralēli apskatāmajai asij, un ķermeņa masas reizinājumu m uz attāluma kvadrātu d starp asīm:
kur ir kopējā ķermeņa masa.
Piemēram, stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā galu, ir vienāds ar:
Dažu ķermeņu aksiālie inerces momenti
| Ķermenis | Apraksts | Ass pozīcija a | Inerces moments J a |
|---|---|---|---|
 |
Materiāla punktu masa m | Uz attālumu r no punkta, stacionārs | |
 |
Dobs plānsienu cilindrs vai rādiusa gredzens r un masas m | Cilindra ass | |
 |
Ciets cilindrs vai rādiusa disks r un masas m | Cilindra ass | |
 |
Dobs biezsienu masas cilindrs m ar ārējo rādiusu r 2 un iekšējais rādiuss r 1 | Cilindra ass | |
 |
Ciets cilindra garums l, rādiuss r un masas m | ||
 |
Dobu plānsienu cilindra (gredzena) garums l, rādiuss r un masas m | Ass ir perpendikulāra cilindram un iet caur tā masas centru | |
 |
Taisns, tievs garums l un masas m | Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā masas centru | |
 |
Taisns, tievs garums l un masas m | Ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā galu | |
 |
Plānsienu rādiusa sfēra r un masas m | Ass iet caur sfēras centru | |
 |
Rādiusa bumba r un masas m | Ass iet caur bumbas centru | |
 |
Rādiusa konuss r un masas m | Konusa ass | |
| Vienādsānu trīsstūris ar augstumu h, pamats a un masa m | Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur virsotni | ||
| Regulārs trīsstūris ar malu a un masa m | Ass ir perpendikulāra trijstūra plaknei un iet caur masas centru | ||
| Kvadrāts ar sāniem a un masa m | Ass ir perpendikulāra kvadrāta plaknei un iet caur masas centru |
Formulu atvasināšana
Plānsienu cilindrs (gredzens, stīpa)
Formulas atvasināšana
Ķermeņa inerces moments ir vienāds ar tā sastāvdaļu inerces momentu summu. Plānsienu cilindru sadaliet elementos ar masu dm un inerces momenti dJ i. Tad
Tā kā visi plānsienu cilindra elementi atrodas vienādā attālumā no rotācijas ass, formula (1) tiek pārveidota formā
Cilindrs ar biezām sienām (gredzens, stīpa)
Formulas atvasināšana
Lai ir viendabīgs gredzens ar ārējo rādiusu R, iekšējais rādiuss R 1, biezs h un blīvums ρ. Salaužam to plānos gredzenos biezi dr. Plāna rādiusa gredzena masa un inerces moments r būs
Atradīsim biezā gredzena inerces momentu kā integrāli
Tā kā gredzena tilpums un masa ir vienādi
iegūstam gredzena inerces momenta galīgo formulu
Homogēns disks (ciets cilindrs)
Formulas atvasināšana
Uzskatot cilindru (disku) par gredzenu ar nulles iekšējo rādiusu ( R 1 = 0), iegūstam cilindra (diska) inerces momenta formulu:
Ciets konuss
Formulas atvasināšana
Salaužam konusu plānos diskos ar biezumu dh, perpendikulāri konusa asij. Šāda diska rādiuss ir vienāds ar
Kur R– konusa pamatnes rādiuss, H- konusa augstums, h– attālums no konusa augšdaļas līdz diskam. Šāda diska masa un inerces moments būs
Integrējot, mēs iegūstam
Cieta viendabīga bumbiņa
Formulas atvasināšana
Sadaliet bumbiņu plānos biezuma diskos dh, perpendikulāri rotācijas asij. Šāda diska rādiuss atrodas augstumā h no sfēras centra mēs to atrodam, izmantojot formulu
Šāda diska masa un inerces moments būs
Sfēras inerces momentu mēs atrodam ar integrāciju:
Plānsienu sfēra
Formulas atvasināšana
Lai to iegūtu, mēs izmantojam homogēnas rādiusa lodes inerces momenta formulu R:
Aprēķināsim, cik ļoti mainīsies lodes inerces moments, ja pie nemainīga blīvuma ρ tās rādiuss palielināsies par bezgalīgi mazu dR.
Plāns stienis (ass iet caur centru)
Formulas atvasināšana
Sadaliet stieni mazos garuma fragmentos dr. Šāda fragmenta masa un inerces moments ir vienādi ar
Integrējot, mēs iegūstam
Plāns stienis (ass iet caur galu)
Formulas atvasināšana
Kad rotācijas ass virzās no stieņa vidus līdz tā galam, stieņa smaguma centrs pārvietojas attiecībā pret asi par attālumu l/2. Saskaņā ar Šteinera teorēmu jauns brīdis inerce būs vienāda
Planētu un to pavadoņu bezizmēra inerces momenti
Lieliska vērtība pētniecībai iekšējā struktūra planētām un to pavadoņiem ir bezizmēra inerces momenti. Rādiusa ķermeņa bezizmēra inerces moments r un masas m ir vienāds ar tā inerces momenta attiecību pret griešanās asi un tādas pašas masas materiāla punkta inerces momentu attiecībā pret fiksētu griešanās asi, kas atrodas attālumā r(vienāds ar Mr 2). Šī vērtība atspoguļo masas sadalījumu dziļumā. Viena no metodēm tā mērīšanai planētu un satelītu tuvumā ir noteiktas planētas vai satelīta tuvumā lidojošā AMS raidītā radiosignāla Doplera nobīdes noteikšana. Plānsienu lodei bezizmēra inerces moments ir 2/3 (~0,67), viendabīgai lodei tas ir 0,4, un vispār, jo mazāks, jo lielāka ķermeņa masa ir koncentrēta tās centrā. Piemēram, Mēness bezdimensijas inerces moments ir tuvu 0,4 (vienāds ar 0,391), tāpēc tiek pieņemts, ka tas ir samērā viendabīgs, tā blīvums maz mainās līdz ar dziļumu. Zemes bezizmēra inerces moments ir mazāks par viendabīgas sfēras inerces momentu (vienāds ar 0,335), kas ir arguments par labu blīva kodola pastāvēšanai.
Centrbēdzes inerces moments
Ķermeņa centrbēdzes inerces momenti attiecībā pret taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas asīm ir šādi lielumi:
Kur x, y Un z- neliela ķermeņa elementa koordinātas ar tilpumu dV, blīvums ρ un masa dm.
OX asi sauc ķermeņa galvenā inerces ass, ja centrbēdzes inerces momenti J xy Un J xz vienlaikus ir vienādi ar nulli. Caur katru ķermeņa punktu var izvilkt trīs galvenās inerces asis. Šīs asis ir savstarpēji perpendikulāras viena otrai. Ķermeņa inerces momenti attiecībā pret trim galvenajām inerces asīm, kas novilktas patvaļīgā punktā Oķermeņus sauc galvenie ķermeņa inerces momenti.
Tiek sauktas galvenās inerces asis, kas iet caur ķermeņa masas centru ķermeņa galvenās centrālās inerces asis, un inerces momenti attiecībā uz šīm asīm ir tā galvenais centrālie punkti inerce. Viendabīga ķermeņa simetrijas ass vienmēr ir viena no tā galvenajām centrālajām inerces asīm.
Ģeometriskais inerces moments
Ģeometriskais inerces moments - formas griezuma ģeometriskais raksturlielums
kur ir attālums no centrālās ass līdz jebkurai elementārai zonai attiecībā pret neitrālo asi.
Ģeometriskais inerces moments nav saistīts ar materiāla kustību, tas tikai atspoguļo sekcijas stingrības pakāpi. Izmanto, lai aprēķinātu griešanās rādiusu, staru novirzi, siju šķērsgriezumu izvēli, kolonnas utt.
SI mērvienība ir m4. Konstrukciju aprēķinos, literatūrā un jo īpaši velmēto metālu sortimentā tas norādīts cm 4.
No tā tiek izteikts sekcijas pretestības moments:
.| Dažu figūru ģeometriskie inerces momenti | |
|---|---|
| Taisnstūra augstums un platums: | |
| Taisnstūra kastes sekcija ar augstumu un platumu gar ārējām kontūrām un , un gar iekšējām kontūrām un attiecīgi | |
| Apļa diametrs | |
Centrālais inerces moments
Centrālais inerces moments(vai inerces moments attiecībā pret punktu O) ir daudzums
Centrālo inerces momentu var izteikt ar galvenajiem aksiālajiem vai centrbēdzes inerces momentiem: .
Inerces tenzors un inerces elipsoīds
Ķermeņa inerces momentu attiecībā pret patvaļīgu asi, kas iet caur masas centru un kuras virziens ir norādīts ar vienības vektoru, var attēlot kvadrātiskās (bilineāras) formas veidā:
(1),kur ir inerces tenzors. Inerces tenzora matrica ir simetriska, tai ir izmēri un sastāv no centrbēdzes momentu sastāvdaļām:
.
Izvēloties atbilstošu koordinātu sistēmu, inerces tenzora matricu var reducēt līdz diagonālai formai. Lai to izdarītu, jums jāatrisina tenzoru matricas īpašvērtības problēma:
,
kur ir ortogonālās pārejas matrica uz inerces tenzora īpašbāzi. Pareizā pamatā koordinātu asis ir vērstas gar inerces tenzora galvenajām asīm, kā arī sakrīt ar inerces tenzora elipsoīda galvenajām pusasīm. Daudzumi ir galvenie inerces momenti. Izteiksmei (1) savā koordinātu sistēmā ir šāda forma:
no kurienes nāk vienādojums
Spēka moments un inerces moments
Materiāla punkta translācijas kustības dinamikā papildus kinemātiskajiem raksturlielumiem tika ieviesti spēka un masas jēdzieni. Pētot rotācijas kustības dinamiku, tiek ieviesti fizikālie lielumi - griezes moments Un inerces moments, fiziskā nozīme ko mēs atklāsim tālāk.
Ļaujiet kādam ķermenim kādā punktā pieliktā spēka ietekmē A, nonāk rotācijā ap OO asi" (5.1. attēls).
5.1. attēls – Spēka momenta jēdziena noslēgumam
Spēks darbojas plaknē, kas ir perpendikulāra asij. Perpendikulāri R, nokrita no punkta PAR(guļus uz ass) uz spēka virzienu sauc spēka plecu. Spēka reizinājums ar roku nosaka moduli spēka moments attiecībā pret punktu PAR:
(5.1)
Spēka mirklis ir vektors, ko nosaka spēka pielikšanas punkta rādiusa vektora un spēka vektora reizinājums:
(5.2)
Spēka momenta mērvienība - ņūtonmetrs(N . m). Spēka momenta vektora virzienu var atrast, izmantojot labās dzenskrūves noteikumi.
Ķermeņu inerces mērs translācijas kustības laikā ir masa. Ķermeņu inerce rotācijas kustības laikā ir atkarīga ne tikai no masas, bet arī no tās sadalījuma telpā attiecībā pret rotācijas asi. Inerces mērs rotācijas kustības laikā ir lielums, ko sauc ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi.
Materiāla punkta inerces moments attiecībā pret griešanās asi - šī punkta masas reizinājums ar attāluma no ass kvadrātu:
Ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi - materiālo punktu inerces momentu summa, kas veido šo ķermeni:
(5.4)
IN vispārējs gadījums, ja ķermenis ir ciets un attēlo punktu kopumu ar mazām masām dm, inerces momentu nosaka integrācija:
, (5.5)
Kur r- attālums no rotācijas ass līdz d masas elementam m.
Ja ķermenis ir viendabīgs un tā blīvums ρ = m/V, tad ķermeņa inerces moments
(5.6)
Ķermeņa inerces moments ir atkarīgs no tā, ap kuru asi tas griežas un kā ķermeņa masa tiek sadalīta visā tilpumā.
Regulāras ģeometriskas formas ķermeņu inerces moments un vienmērīgs sadalījums masa pēc tilpuma.
Viendabīga stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur inerces centru un ir perpendikulāra stienim,
Viendabīga cilindra inerces moments attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra tās pamatnei un iet caur inerces centru,
(5.8)
Plānsienu cilindra vai stīpas inerces moments attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra tās pamatnes plaknei un iet caur tās centru,
Bumbiņas inerces moments attiecībā pret diametru
(5.10)
Noteiksim diska inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur inerces centru un ir perpendikulāra griešanās plaknei. Ļaujiet diska masai būt m, un tā rādiuss ir R.
Gredzena laukums (5.2. attēls), kas norobežots starp r un , ir vienāds ar .
Attēls 5.2 – Diska inerces momenta atvasināšana
Diska apgabals. Ar nemainīgu gredzena biezumu,
no kurienes vai 
.
Tad diska inerces moments,
Skaidrības labad 5.3. attēlā parādītas viendabīgas cietvielas dažādas formas un norādīti šo ķermeņu inerces momenti attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru.
5.3. attēls – Inerces momenti es Dažu viendabīgu cietvielu C.
Šteinera teorēma
Iepriekš minētās ķermeņu inerces momentu formulas ir dotas ar nosacījumu, ka rotācijas ass iet caur inerces centru. Lai noteiktu ķermeņa inerces momentus attiecībā pret patvaļīgu asi, jāizmanto Šteinera teorēma : ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu griešanās asi ir vienāds ar inerces momenta J 0 summu attiecībā pret asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa inerces centru, un vērtība md 2:
(5.12)
Kur m- ķermeņa masa, d- attālums no masas centra līdz izvēlētajai griešanās asij. Inerces momenta mērvienība - kilograms metrs kvadrātā (kg . m 2).
Tādējādi viendabīga garuma stieņa inerces moments l attiecībā pret asi, kas iet caur tās galu, saskaņā ar Šteinera teorēmu ir vienāds ar
Pieteikums. Inerces moments un tā aprēķināšana.
Ļaujiet cietajam korpusam griezties ap Z asi (6. attēls). To var attēlot kā dažādu materiālu punktu m i sistēmu, kas laika gaitā nemainās un katrs pārvietojas pa apli ar rādiusu r i, kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra Z asij. Leņķiskie ātrumi visi materiālie punkti ir vienādi. Ķermeņa inerces moments attiecībā pret Z asi ir lielums:
Kur 
– atsevišķa materiāla punkta inerces moments attiecībā pret OZ asi. No definīcijas izriet, ka inerces moments ir piedevas daudzums, t.i., ķermeņa, kas sastāv no atsevišķām daļām, inerces moments ir vienāds ar daļu inerces momentu summu.
6. attēls
Acīmredzot [ es] = kg × m 2. Inerces momenta jēdziena nozīme ir izteikta trīs formulās:
; 
; 
.
Pirmais no tiem izsaka ķermeņa leņķisko impulsu, kas griežas ap fiksētu asi Z (šo formulu ir lietderīgi salīdzināt ar ķermeņa impulsa izteiksmi P = mVc, Kur V c– masas centra ātrums). Otro formulu sauc par pamata vienādojumu ķermeņa rotācijas kustības dinamikai ap fiksētu asi, t.i., citiem vārdiem sakot, Ņūtona otro rotācijas kustības likumu (salīdzināt ar masas centra kustības likumu: 
). Trešā formula izsaka ķermeņa kinētisko enerģiju, kas rotē ap fiksētu asi (salīdziniet ar daļiņas kinētiskās enerģijas izteiksmi 
). Formulu salīdzinājums ļauj secināt, ka inerces momentam rotācijas kustībā ir masai līdzīga loma tādā nozīmē, ka, jo lielāks ir ķermeņa inerces moments, jo mazāks ir leņķiskais paātrinājums, jo visas pārējās lietas ir vienādas ( ķermeni, tēlaini izsakoties, ir grūtāk griezt). Patiesībā inerces momentu aprēķināšana ir trīskāršā integrāļa aprēķināšana, un to var veikt tikai ierobežotam skaitam simetriski ķermeņi un tikai simetrijas asīm. Asu skaits, ap kurām ķermenis var griezties, ir bezgalīgi liels. Starp visām asīm izceļas tā, kas iet cauri ievērojamam ķermeņa punktam - masas centrs
(punkts, lai aprakstītu kustību, kura kustību pietiek iedomāties, ka visa sistēmas masa ir koncentrēta masas centrā un šim punktam tiek pielikts spēks, kas vienāds ar visu spēku summu). Bet ir arī bezgalīgi daudz asu, kas iet caur masas centru. Izrādās, ka jebkuram patvaļīgas formas cietam ķermenim ir trīs savstarpēji perpendikulāras asis C x, C y, C z, zvanīja brīvās rotācijas asis
, kam piemīt kāda ievērojama īpašība: ja ķermenis ir savīts ap kādu no šīm asīm un izmests uz augšu, tad turpmākās ķermeņa kustības laikā ass paliks sev paralēla, t.i. negāzīsies. Griešanās ap jebkuru citu asi nepiemīt šī īpašība. Zemāk ir norādītas tipisku ķermeņu inerces momentu vērtības par norādītajām asīm. Ja ass iet caur masas centru, bet ar asīm veido leņķus a, b, g C x, C y, C z Attiecīgi inerces moments ap šādu asi ir vienāds ar
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
Īsi aplūkosim inerces momenta aprēķinu vienkāršākajiem ķermeņiem.
1.Gara plāna viendabīga stieņa inerces moments ap asi, kas iet caur stieņa masas centru un ir tai perpendikulāra.
Ļaujiet T - stieņa masa, l - tā garums.
, 
Rādītājs " Ar» inerces momentā Ic nozīmē, ka tas ir inerces moments ap asi, kas iet caur masas centra punktu (ķermeņa simetrijas centru), C(0,0,0).
2. Tievas taisnstūra plāksnes inerces moments.
; 
;
3. Taisnstūra paralēlskaldņa inerces moments.
, t. C(0,0,0)
4. Plāna gredzena inerces moments.
;
, t. C(0,0,0)
5. Plāna diska inerces moments.
Simetrijas dēļ
; 
;
6. Cieta cilindra inerces moments.
;
Simetrijas dēļ:
7. Cietas sfēras inerces moments.
, t. C(0,0,0)
8. Cieta konusa inerces moments.
, t. C(0,0,0)
Kur R- pamatnes rādiuss, h– konusa augstums.
Atgādinām, ka cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Visbeidzot, ja O ass neiet cauri masas centram, tad ķermeņa inerces momentu var aprēķināt, izmantojot Haigensa Šteinera teorēmu.
I o = I s + md 2, (**)
Kur es o– ķermeņa inerces moments attiecībā pret patvaļīgu asi, Es s– inerces moments ap tai paralēlu asi, kas iet caur masas centru,
m- ķermeņa masa, d- attālums starp asīm.
Standarta formas ķermeņu inerces momentu aprēķināšanas procedūra attiecībā pret patvaļīgu asi ir samazināta līdz šādai.
Inerces moments
Lai aprēķinātu inerces momentu, ķermenis garīgi jāsadala pietiekami mazos elementos, kuru punktus var uzskatīt par tādiem, kas atrodas vienādā attālumā no rotācijas ass, pēc tam jāatrod katra elementa masas reizinājums ar kvadrātu. no tā attāluma no ass un, visbeidzot, summējiet visus iegūtos produktus. Acīmredzot tas ir ļoti laikietilpīgs uzdevums. Saskaitīt
ķermeņu inerces momenti pareizi ģeometriskā forma Dažos gadījumos varat izmantot integrālrēķina metodes.
Ķermeņa elementu galīgās inerces momentu summas noteikšanu aizstāsim, summējot bezgalīgi lielu inerces momentu skaitu, kas aprēķināts bezgalīgi maziem elementiem:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (pie Δm → 0).
Aprēķināsim viendabīga diska vai cieta cilindra ar augstumu inerces momentu h attiecībā pret tās simetrijas asi
Sadalīsim disku elementos plānu koncentrisku gredzenu veidā ar centriem uz tā simetrijas ass. Iegūtajiem gredzeniem ir iekšējais diametrs r un ārējo r+dr, un augstums h. Jo dr<< r
, tad varam pieņemt, ka visu gredzena punktu attālums no ass ir vienāds r.
Katram atsevišķam gredzenam inerces moments
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Kur ΣΔm− visa gredzena masa.
Zvana skaļums 2πrhdr. Ja diska materiāla blīvums ρ
, tad gredzena masa
ρ2πrhdr.
Gredzena inerces moments
i = 2πρh 3 dr.
Lai aprēķinātu visa diska inerces momentu, ir jāapkopo gredzenu inerces momenti no diska centra ( r = 0) līdz tā malai ( r = R), t.i., aprēķiniet integrāli:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
vai
I = (1/2)πρhR 4.
Bet diska masa m = ρπhR 2, tātad,
I = (1/2) mR 2.
Iesniegsim (bez aprēķina) inerces momentus dažiem regulāras ģeometriskas formas ķermeņiem, kas izgatavoti no viendabīgiem materiāliem 
1.
Plāna gredzena inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā centru perpendikulāri tā plaknei (vai plānsienu doba cilindra attiecībā pret tā simetrijas asi):
I = mR 2.
2.
Biezu sienu cilindra inerces moments attiecībā pret simetrijas asi:
I = (1/2) m(R 1 2 − R 2 2)
Kur R 1− iekšējās un R 2− ārējie rādiusi.
3.
Diska inerces moments attiecībā pret asi, kas sakrīt ar vienu no tā diametriem:
I = (1/4) mR 2.
4.
Cieta cilindra inerces moments attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra ģeneratoram un iet caur tās vidu:
I = m (R 2/4 + h 2/12)
Kur R- cilindra pamatnes rādiuss, h− cilindra augstums.
5.
Tieva stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā vidu:
I = (1/12) ml 2,
Kur l− stieņa garums.
6.
Tieva stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur vienu no tā galiem:
I = (1/3) ml 2
7. Lodes inerces moments attiecībā pret asi, kas sakrīt ar vienu no tās diametriem:
I = (2/5) mR 2.
Ja ķermeņa inerces moments ir zināms par asi, kas iet caur tā masas centru, tad inerces momentu par jebkuru citu asi, kas ir paralēla pirmajai, var atrast, pamatojoties uz tā saukto Huigensa-Šteinera teorēmu.
Ķermeņa inerces moments es attiecībā pret jebkuru asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momentu Es s attiecībā pret asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, plus ķermeņa masa m, reizināts ar attāluma kvadrātu l starp asīm:
I = I c + ml 2.
Kā piemēru aprēķināsim rādiusa lodītes inerces momentu R un masa m, piekārts uz vītnes, kuras garums ir l, attiecībā pret asi, kas iet caur piekares punktu PAR. Vītnes masa ir maza, salīdzinot ar lodītes masu. Kopš lodītes inerces momenta attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru Ic = (2/5) mR 2 un attālums
starp asīm ( l+R), tad inerces moments ap asi, kas iet caur balstiekārtas punktu:
I = (2/5) mR 2 + m (l + R) 2.
Inerces momenta izmērs:
[I] = [m] × = ML 2.
