HOMOGĒNO LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMA

Viendabīga sistēma lineārie vienādojumi sauc par formu sistēmu

Skaidrs, ka šajā gadījumā , jo visi vienas kolonnas elementi šajos determinantos ir vienādi ar nulli.

Tā kā nezināmie tiek atrasti pēc formulām , tad gadījumā, ja Δ ≠ 0, sistēmai ir unikāls nulles risinājums x = y = z= 0. Tomēr daudzās problēmās interesants jautājums ir par to, vai viendabīgai sistēmai ir citi risinājumi, nevis nulle.

Teorēma. Lai lineārajai sistēmai viendabīgi vienādojumi bija risinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ ≠ 0.

Tātad, ja determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums. Ja Δ ≠ 0, tad lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Piemēri.

Matricas īpašvektori un īpatnējās vērtības

Dota kvadrātveida matrica , X– kāda matrica-kolonna, kuras augstums sakrīt ar matricas secību A. .

Daudzās problēmās mums ir jāņem vērā vienādojums X

kur λ ir noteikts skaitlis. Ir skaidrs, ka jebkuram λ šim vienādojumam ir nulles risinājums.

Tiek izsaukts skaitlis λ, kuram šim vienādojumam ir nulles atrisinājumi īpašvērtība matricas A, A X par šādu λ sauc īpašvektors matricas A.

Atradīsim matricas īpašvektoru A. Tāpēc ka E∙X = X, tad matricas vienādojumu var pārrakstīt kā vai . Izvērstā formā šo vienādojumu var pārrakstīt kā lineāru vienādojumu sistēmu. Tiešām .

Un tāpēc

Tātad, mēs esam ieguvuši viendabīgu lineāru vienādojumu sistēmu koordinātu noteikšanai x 1, x 2, x 3 vektors X. Lai sistēmai būtu risinājumi, kas atšķiras no nulles, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas determinants būtu vienāds ar nulli, t.i.

Šis ir λ trešās pakāpes vienādojums. To sauc raksturīgais vienādojums matricas A un kalpo λ īpašvērtību noteikšanai.

Katra īpašvērtība λ atbilst īpašvektoram X, kuras koordinātas tiek noteiktas no sistēmas pie atbilstošās λ vērtības.

Piemēri.

VEKTORS ALGEBRA. VEKTORA JĒDZIENS

Pētot dažādas fizikas nozares, ir lielumi, kurus pilnībā nosaka, norādot to skaitliskās vērtības, piemēram, garumu, laukumu, masu, temperatūru u.c. Šādus lielumus sauc par skalāriem. Taču papildus tiem ir arī lielumi, kuru noteikšanai papildus skaitliskajai vērtībai ir jāzina arī to virziens telpā, piemēram, spēks, kas iedarbojas uz ķermeni, kustības ātrums un paātrinājums. ķermenis, kad tas pārvietojas telpā, spriedze magnētiskais lauks noteiktā telpas punktā utt. Šādus lielumus sauc par vektora lielumiem.

Ieviesīsim stingru definīciju.

Režisēts segments Sauksim segmentu, attiecībā pret kura galiem ir zināms, kurš no tiem ir pirmais un kurš otrais.

Vektors sauc par virzītu segmentu ar noteiktu garumu, t.i. Šis ir noteikta garuma segments, kurā viens no to ierobežojošajiem punktiem tiek ņemts par sākumu, bet otrs - kā beigas. Ja A- vektora sākums, B ir tā beigas, tad vektoru apzīmē ar simbolu, turklāt vektoru bieži apzīmē ar vienu burtu. Attēlā vektors ir norādīts ar segmentu, bet tā virziens ar bultiņu.

Modulis vai garums Vektoru sauc par virzītā segmenta garumu, kas to nosaka. Apzīmē ar || vai ||.

Kā vektorus iekļausim arī tā saukto nulles vektoru, kura sākums un beigas sakrīt. Tas ir norādīts. Nulles vektoram nav noteikta virziena, un tā modulis ir nulle ||=0.

Vektorus sauc kolineārs, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām. Turklāt, ja vektori un atrodas vienā virzienā, mēs rakstīsim , pretēji.

Tiek saukti vektori, kas atrodas uz taisnēm, kas ir paralēlas tai pašai plaknei koplanārs.

Abi vektori tiek saukti vienāds, ja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds virziens un vienāds garums. Šajā gadījumā viņi raksta.

No vektoru vienādības definīcijas izriet, ka vektoru var transportēt paralēli sev, novietojot tā sākumu jebkurā telpas punktā.

Piemēram.

LINEĀRĀS OPERĀCIJAS UZ VEKTORIEM

1. Vektora reizināšana ar skaitli.

   Vektora un skaitļa λ reizinājums ir jauns vektors, kurā:

   Vektora un skaitļa λ reizinājumu apzīmē ar .

   

   Piemēram, ir vektors, kas vērsts tajā pašā virzienā kā vektors un kura garums ir uz pusi mazāks nekā vektora garums.

   Ieviestajai darbībai ir sekojošs īpašības:

2. Vektoru pievienošana.

   Ļaut un ir divi patvaļīgi vektori. Ņemsim patvaļīgu punktu O un izveidojiet vektoru. Pēc tam no punkta A noliksim malā vektoru. Tiek izsaukts vektors, kas savieno pirmā vektora sākumu ar otrā vektora beigām summa no šiem vektoriem un ir apzīmēts .

   

   Tiek saukta formulētā vektoru saskaitīšanas definīcija paralelograma noteikums, jo vienu un to pašu vektoru summu var iegūt šādi. Atliksim no punkta O vektori un . Konstruēsim uz šiem vektoriem paralelogramu OABC. Tā kā vektori, tad vektors, kas ir no virsotnes novilkta paralelograma diagonāle O, acīmredzot būs vektoru summa.

   

   Ir viegli pārbaudīt tālāk norādīto vektoru pievienošanas īpašības.

3. Vektoru atšķirība.

   Tiek izsaukts vektors, kas ir kolineārs noteiktam vektoram, vienāda garuma un pretējā virzienā pretī vektors vektoram un tiek apzīmēts ar . Pretējo vektoru var uzskatīt par vektora reizināšanas ar skaitli λ = –1 rezultātu: .

Pašvērtības (skaitļi) un īpašvektori.
Risinājumu piemēri

Esi tu pats

No abiem vienādojumiem izriet, ka .

Tad liksim: .

Rezultātā: – otrais īpašvektors.

Atkārtosim svarīgi punkti risinājumi:

– noteikti ir izveidotā sistēma kopīgs lēmums(vienādojumi ir lineāri atkarīgi);

– “y” izvēlamies tā, lai tas būtu vesels skaitlis un pirmā “x” koordināte būtu vesels skaitlis, pozitīva un pēc iespējas mazāka.

– pārbaudām, vai konkrētais risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Atbilde .

vidējais " kontroles punkti" bija diezgan pietiekami, tāpēc vienlīdzību pārbaude principā nav nepieciešama.

Dažādos informācijas avotos īpašvektoru koordinātas bieži raksta nevis kolonnās, bet rindās, piemēram: (un, godīgi sakot, es pats esmu pieradis tos rakstīt rindās). Šī iespēja ir pieņemama, taču, ņemot vērā tēmu lineārās transformācijas tehniski ērtāk lietojams kolonnu vektori.

Iespējams, risinājums jums šķita ļoti garš, bet tas ir tikai tāpēc, ka es ļoti detalizēti komentēju pirmo piemēru.

2. piemērs

Matricas

Trenēsimies paši! Aptuvens gala uzdevuma piemērs nodarbības beigās.

Dažreiz jums ir jādara papildu uzdevums, proti:

uzrakstiet kanoniskās matricas dekompozīcijas

Kas tas ir?

Ja matricas īpašvektori veido pamata, tad to var attēlot šādi:

Kur ir matrica, kas sastāv no īpašvektoru koordinātām, - diagonāli matrica ar atbilstošām īpašvērtībām.

Šo matricas sadalīšanu sauc kanonisks vai diagonāli.

Apskatīsim pirmā piemēra matricu. Tās īpašvektori lineāri neatkarīgs(nekolineārs) un veido pamatu. Izveidosim to koordinātu matricu:

Ieslēgts galvenā diagonāle matricas atbilstošā secībāīpašvērtības atrodas, un pārējie elementi ir vienādi ar nulli:
– Vēlreiz uzsveru kārtības nozīmi: “divi” atbilst 1. vektoram un tāpēc atrodas 1. ailē, “trīs” – 2. vektoram.

Autors pēc parastā algoritma atrašana apgrieztā matrica vai Gausa-Jordānas metode mēs atradām . Nē, tā nav drukas kļūda! - pirms jums ir rets notikums, piemēram, saules aptumsums, kad otrādi sakrita ar sākotnējo matricu.

Atliek pierakstīt matricas kanonisko sadalījumu:

Sistēmu var atrisināt, izmantojot elementāras transformācijas, un turpmākajos piemēros mēs to izmantosim šī metode. Bet šeit “skolas” metode darbojas daudz ātrāk. No 3. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar otro vienādojumu:

Tā kā pirmā koordināta ir nulle, mēs iegūstam sistēmu, no kuras katra vienādojuma izriet, ka .

Un atkal pievērsiet uzmanību obligātai lineāras attiecības klātbūtnei. Ja tiek iegūts tikai triviāls risinājums , tad vai nu īpašvērtība tika atrasta nepareizi, vai arī sistēma tika apkopota/atrisināta ar kļūdu.

Vērtību dod kompaktās koordinātas

Pašvektors:

Un vēlreiz pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu. Nākamajos punktos un turpmākajos uzdevumos iesaku šo vēlmi uzskatīt par obligātu noteikumu.

2) Pašvērtībai, izmantojot to pašu principu, iegūstam šādu sistēmu:

No sistēmas 2. vienādojuma izsakām: – aizstājam ar trešo vienādojumu:

Tā kā “zeta” koordināte ir vienāda ar nulli, no katra vienādojuma iegūstam sistēmu, no kuras izriet lineāra atkarība.

Ļaujiet

Pārbaudot, vai risinājums apmierina katru sistēmas vienādojumu.

Tādējādi īpašvektors ir: .

3) Un visbeidzot, sistēma atbilst īpašvērtībai:

Otrais vienādojums izskatās visvienkāršākais, tāpēc izteiksim to un aizvietosim ar 1. un 3. vienādojumu:

Viss ir kārtībā - ir izveidojusies lineāra sakarība, ko mēs aizstājam ar izteiksmi:

Rezultātā “x” un “y” tika izteikti ar “z”: . Praksē nav nepieciešams precīzi panākt šādas attiecības, dažos gadījumos ir ērtāk izteikt gan caur, gan caur. Vai pat “vilciens” — piemēram, no “X” līdz “I” un “I” līdz “Z”

Tad liksim:

Mēs pārbaudām, vai risinājums ir atrasts apmierina katru sistēmas vienādojumu un raksta trešo īpašvektoru

Atbilde: īpašvektori:

Ģeometriski šie vektori definē trīs dažādus telpiskos virzienus ("Tur un atkal atpakaļ"), saskaņā ar kuru lineārā transformācija pārvērš nulles vektorus (pašvektorus) kolineāros vektoros.

Ja nosacījums prasīja atrast kanonisko sadalījumu, tad šeit tas ir iespējams, jo dažādas īpašvērtības atbilst dažādiem lineāri neatkarīgiem īpašvektoriem. Matricas veidošana no to koordinātām diagonālā matrica no atbilstošsīpašvērtības un atrast apgrieztā matrica .

Ja pēc nosacījuma jums ir jāraksta lineārās transformācijas matrica īpašvektoru bāzē, tad sniedzam atbildi formā . Ir atšķirība, un atšķirība ir būtiska! Tā kā šī matrica ir “de” matrica.

Problēma ar vairāk vienkārši aprēķini Priekš neatkarīgs lēmums:

5. piemērs

Atrodiet matricas dotās lineārās transformācijas īpašvektorus

Atrodot savus skaitļus, mēģiniet nepāriet līdz 3. pakāpes polinomam. Turklāt jūsu sistēmas risinājumi var atšķirties no maniem risinājumiem - šeit nav pārliecības; un atrastie vektori var atšķirties no parauga vektoriem līdz to attiecīgo koordinātu proporcionalitātei. Piemēram, un. Estētiskāk ir sniegt atbildi veidlapā, taču ir pareizi, ja apstājaties pie otrās iespējas. Tomēr visam ir saprātīgi ierobežojumi; versija vairs neizskatās īpaši laba.

Aptuvenais galīgais uzdevuma paraugs nodarbības beigās.

Kā atrisināt problēmu vairāku īpašvērtību gadījumā?

Vispārējs algoritms paliek nemainīgs, taču tam ir savas īpašības, un dažas risinājuma daļas ieteicams saglabāt stingrākā akadēmiskā stilā:

6. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Risinājums

Protams, rakstīsim ar lielo burtu pasakaino pirmo kolonnu:

Un pēc sadalīšanās kvadrātveida trinomāls pēc reizinātājiem:

Rezultātā tiek iegūtas īpašvērtības, no kurām divas ir daudzkārtējas.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Tiksim galā ar vientuļo karavīru pēc “vienkāršotas” shēmas:

No pēdējiem diviem vienādojumiem ir skaidri redzama vienādība, kas, protams, ir jāaizvieto ar sistēmas 1. vienādojumu:

Jūs neatradīsit labāku kombināciju:
Pašvektors:

2-3) Tagad mēs noņemam pāris sargsargus. IN šajā gadījumā tas varētu izdoties vai nu divi vai viensīpašvektors. Neatkarīgi no sakņu daudzveidības mēs vērtību aizstājam ar determinantu kas mums nes nākamo viendabīga lineāro vienādojumu sistēma:

Pašvektori ir tieši vektori
pamata risinājumu sistēma

Patiesībā visas nodarbības laikā mēs neko nedarījām, kā tikai atradām pamatsistēmas vektorus. Vienkārši pagaidām šis termins nebija īpaši pieprasīts. Starp citu, tie gudrie skolēni, kuri palaida garām tēmu kamuflāžas uzvalkos viendabīgi vienādojumi, tagad būs spiests to uzpīpēt.

Vienīgā darbība bija papildu līniju noņemšana. Rezultāts ir matrica pa vienam ar trīs ar formālu “soli” vidū.
– pamata mainīgais, – brīvie mainīgie. Tāpēc ir divi brīvi mainīgie ir arī divi pamatsistēmas vektori.

Izteiksim pamatmainīgo brīvo mainīgo izteiksmē: . Nulles reizinātājs “X” priekšā ļauj tam iegūt absolūti jebkuras vērtības (kas ir skaidri redzams no vienādojumu sistēmas).

Šīs problēmas kontekstā vispārīgo risinājumu ērtāk ir rakstīt nevis rindā, bet kolonnā:

Pāris atbilst īpašvektoram:
Pāris atbilst īpašvektoram:

Piezīme : sarežģīti lasītāji var atlasīt šos vektorus mutiski – vienkārši analizējot sistēmu , taču šeit ir vajadzīgas dažas zināšanas: ir trīs mainīgie, sistēmas matricas rangs- viens, kas nozīmē pamata lēmumu sistēma sastāv no 3 – 1 = 2 vektoriem. Taču atrastie vektori ir skaidri redzami arī bez šīm zināšanām, tīri intuitīvā līmenī. Šajā gadījumā trešais vektors tiks uzrakstīts vēl “skaistāk”: . Tomēr brīdinu, ka citā piemērā vienkārša atlase var nebūt iespējama, tāpēc klauzula ir paredzēta pieredzējušiem cilvēkiem. Turklāt, kāpēc neņemt, teiksim, trešo vektoru? Galu galā arī tās koordinātas apmierina katru sistēmas vienādojumu un vektorus lineāri neatkarīgs. Šī opcija principā ir piemērota, taču “greiza”, jo “cits” vektors ir lineāra pamatsistēmas vektoru kombinācija.

Atbilde: īpašvērtības: , īpašvektori:

Līdzīgs piemērs neatkarīgam risinājumam:

7. piemērs

Atrodiet īpašvērtības un īpašvektorus

Aptuvenais gala dizaina paraugs nodarbības beigās.

Jāatzīmē, ka gan 6., gan 7. piemērā tiek iegūts lineāri neatkarīgu īpašvektoru trīskāršs, un tāpēc sākotnējā matrica ir attēlojama kanoniskajā sadalīšanā. Bet šādas avenes nenotiek visos gadījumos:

8. piemērs

Risinājums: Izveidosim un atrisināsim raksturīgo vienādojumu:

Izvērsīsim determinantu pirmajā kolonnā:

Mēs veicam turpmākus vienkāršojumus saskaņā ar aplūkoto metodi, izvairoties no trešās pakāpes polinoma:

- īpašvērtības.

Atradīsim īpašvektorus:

1) Ar sakni nav grūtību:

Nebrīnieties, papildus komplektam tiek izmantoti arī mainīgie - šeit nav nekādas atšķirības.

No 3. vienādojuma mēs to izsakām un aizstājam ar 1. un 2. vienādojumu:

No abiem vienādojumiem izriet:

Ļaujiet tad:

2-3) Vairākām vērtībām mēs iegūstam sistēmu .

Pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

www.vietneļauj atrast. Vietne veic aprēķinu. Pēc dažām sekundēm serveris sniegs pareizo risinājumu. Matricai raksturīgais vienādojums būs algebriskā izteiksme, ko nosaka determinanta aprēķināšanas noteikums matricas matricas, savukārt gar galveno diagonāli būs atšķirības diagonālo elementu un mainīgā vērtībās. Aprēķinot raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē, katrs elements matricas tiks reizināts ar atbilstošiem citiem elementiem matricas. Atrast režīmā tiešsaistē iespējams tikai kvadrātā matricas. Meklēšanas operācija raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē samazina līdz elementu reizinājuma algebriskās summas aprēķināšanai matricas noteicēja atrašanas rezultātā matricas, tikai ar mērķi noteikt raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē. Šī operācija teorētiski ieņem īpašu vietu matricas, ļauj atrast īpašvērtības un vektorus, izmantojot saknes. Uzdevums atrast raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē sastāv no vairojošiem elementiem matricas kam seko šo produktu summēšana saskaņā ar noteiktu noteikumu. www.vietne atrod matricas raksturīgo vienādojumu dotā dimensija režīmā tiešsaistē. Aprēķins raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistēņemot vērā tā dimensiju, tas ir polinoma atrašana ar skaitliskiem vai simboliskiem koeficientiem, kas atrasti saskaņā ar determinanta aprēķināšanas noteikumu matricas- kā atbilstošo elementu reizinājumu summa matricas, tikai ar mērķi noteikt raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē. Polinoma atrašana attiecībā pret kvadrātveida mainīgo matricas, kā definīcija matricas raksturīgo vienādojumu, teorētiski izplatīts matricas. Polinoma sakņu nozīme raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē izmanto, lai noteiktu īpašvektorus un īpašvērtības matricas. Turklāt, ja noteicošais matricas būs vienāds ar nulli, tad matricas raksturīgais vienādojums joprojām pastāvēs, atšķirībā no otrādi matricas. Lai aprēķinātu matricas raksturīgo vienādojumu vai atrodiet vairākus uzreiz matricu raksturīgie vienādojumi, jums jāpavada daudz laika un pūļu, savukārt mūsu serveris atradīs dažu sekunžu laikā raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē. Šajā gadījumā atbilde uz atrašanu raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē būs pareizi un ar pietiekamu precizitāti, pat ja skaitļus atrodot raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē būs neracionāli. Vietnē www.vietne rakstzīmju ieraksti ir atļauti elementos matricas, tas ir raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē aprēķinot var attēlot vispārīgā simboliskā formā matricas raksturīgs vienādojums tiešsaistē. Iegūto atbildi ir lietderīgi pārbaudīt, risinot atrašanas problēmu raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē izmantojot vietni www.vietne. Veicot polinoma aprēķināšanas operāciju - matricas raksturīgais vienādojums, jums jābūt uzmanīgam un ļoti koncentrētam, risinot šo problēmu. Savukārt mūsu vietne palīdzēs jums pārbaudīt jūsu lēmumu par tēmu matricas raksturīgs vienādojums tiešsaistē. Ja jums nav laika ilgām atrisināto problēmu pārbaudēm, tad www.vietne noteikti būs ērts rīks pārbaudei, atrodot un aprēķinot raksturīgs vienādojums matricai tiešsaistē.

Kvadrātveida matricas īpašvektors ir tāds, kas, reizinot ar doto matricu, rada kolineāru vektoru. Vienkāršiem vārdiem sakot, reizinot matricu ar īpašvektoru, pēdējais paliek nemainīgs, bet reizināts ar noteiktu skaitli.

Definīcija

Īpatnējs vektors ir vektors V, kas atšķiras no nulles, kas, reizinot ar kvadrātmatricu M, pats kļūst palielināts ar kādu skaitli λ. Algebriskajā apzīmējumā tas izskatās šādi:

M × V = λ × V,

kur λ ir matricas M īpašvērtība.

Apsvērsim skaitlisks piemērs. Lai atvieglotu ierakstīšanu, skaitļi matricā tiks atdalīti ar semikolu. Ļaujiet mums izveidot matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Sareizināsim to ar kolonnas vektoru:

• V = -2;

Reizinot matricu ar kolonnas vektoru, mēs iegūstam arī kolonnas vektoru. Stingri matemātiskā valoda formula 2 × 2 matricas reizināšanai ar kolonnas vektoru izskatītos šādi:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 ir matricas M elements, kas atrodas pirmajā rindā un pirmajā kolonnā, un M22 ir elements, kas atrodas otrajā rindā un otrajā kolonnā. Mūsu matricai šie elementi ir vienādi ar M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Kolonnas vektoram šīs vērtības ir vienādas ar V11 = –2, V21 = 1. Saskaņā ar šo formulu, mēs iegūstam šādu kvadrātmatricas reizinājuma rezultātu ar vektoru:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Ērtības labad ierakstīsim kolonnas vektoru rindā. Tātad, mēs reizinām kvadrātveida matricu ar vektoru (-2; 1), iegūstot vektoru (4; -2). Acīmredzot tas ir tas pats vektors, kas reizināts ar λ = -2. Lambda šajā gadījumā apzīmē matricas īpašvērtību.

Matricas īpašvektors ir kolineārs vektors, tas ir, objekts, kas nemaina savu pozīciju telpā, reizinot ar matricu. Kolinearitātes jēdziens vektoru algebrā ir līdzīgs paralēlisma terminam ģeometrijā. Ģeometriskā interpretācijā kolineārie vektori ir dažāda garuma paralēli virzīti segmenti. Kopš Eiklida laikiem mēs zinām, ka vienai taisnei ir bezgalīgs skaits tai paralēlu līniju, tāpēc ir loģiski pieņemt, ka katrai matricai ir bezgalīgs skaits īpašvektoru.

No iepriekšējā piemēra ir skaidrs, ka īpašvektori var būt (-8; 4), un (16; -8) un (32, -16). Tie visi ir kolineārie vektori, kas atbilst īpašvērtībai λ = -2. Reizinot sākotnējo matricu ar šiem vektoriem, mēs tik un tā iegūsim vektoru, kas no sākotnējās atšķiras 2 reizes. Tāpēc, risinot īpašvektora atrašanas uzdevumus, ir jāatrod tikai lineāri neatkarīgi vektoru objekti. Visbiežāk n × n matricai ir n skaits īpašvektoru. Mūsu kalkulators ir paredzēts otrās kārtas kvadrātveida matricu analīzei, tāpēc gandrīz vienmēr rezultāts atradīs divus īpašvektorus, izņemot gadījumus, kad tie sakrīt.

Iepriekš minētajā piemērā mēs iepriekš zinājām sākotnējās matricas īpašvektoru un skaidri noteicām lambda skaitli. Tomēr praksē viss notiek otrādi: vispirms tiek atrastas īpašvērtības un tikai pēc tam īpašvektori.

Risinājuma algoritms

Vēlreiz apskatīsim sākotnējo matricu M un mēģināsim atrast abus tās īpašvektorus. Tātad matrica izskatās šādi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Vispirms mums ir jānosaka īpašvērtība λ, kam nepieciešams aprēķināt šādas matricas determinantu:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Šo matricu iegūst, atņemot nezināmo λ no elementiem galvenajā diagonālē. Determinantu nosaka, izmantojot standarta formulu:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Tā kā mūsu vektoram nav jābūt nullei, mēs pieņemam iegūto vienādojumu kā lineāri atkarīgu un pielīdzinām mūsu determinantu detA ar nulli.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Atvērsim iekavas un iegūstam matricas raksturīgo vienādojumu:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

Tas ir standarts kvadrātvienādojums, kas jāatrisina, izmantojot diskriminantu.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminanta sakne ir sqrt(D) = 14, tāpēc λ1 = -2, λ2 = 12. Tagad katrai lambda vērtībai jāatrod īpašvektors. Izteiksim sistēmas koeficientus λ = -2.

• M – λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Šajā formulā E ir identitātes matrica. Pamatojoties uz iegūto matricu, mēs izveidojam lineāro vienādojumu sistēmu:

2x + 4g = 6x + 12g,

kur x un y ir īpašvektora elementi.

Apkoposim visus X kreisajā pusē un visus Y labajā pusē. Acīmredzot - 4x = 8g. Sadaliet izteiksmi ar - 4 un iegūstiet x = -2y. Tagad mēs varam noteikt pirmo matricas īpašvektoru, ņemot jebkuras nezināmo vērtības (atcerieties lineāri atkarīgo īpašvektoru bezgalību). Pieņemsim, ka y = 1, tad x = –2. Tāpēc pirmais īpašvektors izskatās kā V1 = (–2; 1). Atgriezties uz raksta sākumu. Tieši ar šo vektora objektu mēs reizinājām matricu, lai parādītu īpašvektora jēdzienu.

Tagad atradīsim īpašvektoru λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Izveidosim tādu pašu lineāro vienādojumu sistēmu;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6 gadi
• 3x = y.

Tagad mēs ņemam x = 1, tāpēc y = 3. Tādējādi otrais īpašvektors izskatās kā V2 = (1; 3). Reizinot sākotnējo matricu ar doto vektoru, rezultāts vienmēr būs tas pats vektors, kas reizināts ar 12. Šeit beidzas risinājuma algoritms. Tagad jūs zināt, kā manuāli noteikt matricas īpašvektoru.

• noteicējs;
• izsekot, tas ir, elementu summa galvenajā diagonālē;
• rangs, tas ir, maksimālais lineāri neatkarīgo rindu/kolonnu skaits.

Programma darbojas pēc iepriekšminētā algoritma, pēc iespējas saīsinot risinājuma procesu. Svarīgi norādīt, ka programmā lambda tiek apzīmēta ar burtu “c”. Apskatīsim skaitlisko piemēru.

Programmas darbības piemērs

Mēģināsim noteikt īpašvektorus šādai matricai:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Ievadīsim šīs vērtības kalkulatora šūnās un saņemsim atbildi šādā formā:

• Matricas rangs: 2;
• Matricas determinants: 18;
• Matricas trase: 19;
• Īpašvektora aprēķins: c 2 − 19,00c + 18,00 (raksturojošs vienādojums);
• Pašvektora aprēķins: 18 (pirmā lambda vērtība);
• Pašvektora aprēķins: 1 (otrā lambda vērtība);
• Vienādojumu sistēma vektoram 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vienādojumu sistēma vektoram 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• 1. pašvektors: (1; 1);
• 2. īpašvektors: (-3,25; 1).

Tādējādi mēs ieguvām divus lineāri neatkarīgus īpašvektorus.

Secinājums

Lineārā algebra un analītiskā ģeometrija ir standarta priekšmeti jebkuram inženierzinātņu pirmkursniekam. Lielais vektoru un matricu skaits ir biedējošs, un šādos apgrūtinošos aprēķinos ir viegli kļūdīties. Mūsu programma ļaus studentiem pārbaudīt savus aprēķinus vai automātiski atrisināt īpašvektora atrašanas problēmu. Mūsu katalogā ir arī citi lineārās algebras kalkulatori; izmantojiet tos mācībās vai darbā.

Diagonālajām matricām ir visvienkāršākā struktūra. Rodas jautājums, vai ir iespējams atrast bāzi, kurā lineārā operatora matricai būtu diagonāla forma. Tāds pamats pastāv.
Dota mums lineāra telpa R n un tajā darbojas lineārs operators A; šajā gadījumā operators A ņem R n sevī, tas ir, A:R n → R n .

Definīcija. Nenulles vektoru sauc par operatora A īpašvektoru, ja operators A pārvēršas kolineārā vektorā, tas ir. Skaitli λ sauc par operatora A īpašvērtību vai īpašvērtību, kas atbilst īpašvektoram.
Atzīmēsim dažas īpašvērtību un īpašvektoru īpašības.
1. Jebkura lineāra īpašvektoru kombinācija operators A, kas atbilst vienai un tai pašai īpašvērtībai λ, ir īpašvektors ar tādu pašu īpašvērtību.
2. Pašvektori operators A ar pa pāriem atšķirīgām īpašvērtībām λ 1 , λ 2 , …, λ m ir lineāri neatkarīgi.
3. Ja īpašvērtības λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tad īpašvērtība λ atbilst ne vairāk kā m lineāri neatkarīgiem īpašvektoriem.

Tātad, ja ir n lineāri neatkarīgi īpašvektori , kas atbilst dažādām īpašvērtībām λ 1, λ 2, ..., λ n, tad tās ir lineāri neatkarīgas, tāpēc tās var ņemt par pamatu telpai R n. Atradīsim lineārā operatora A matricas formu uz tā īpašvektoru bāzes, kurai mēs darbosimies ar operatoru A uz bāzes vektoriem: Tad .
Tādējādi lineārā operatora A matricai tās īpašvektoru pamatā ir diagonāla forma, un operatora A īpašvērtības atrodas pa diagonāli.
Vai ir kāds cits pamats, kurā matricai ir diagonāla forma? Atbildi uz šo jautājumu sniedz šāda teorēma.

Teorēma. Lineārā operatora A matricai bāzē (i = 1..n) ir diagonāla forma tad un tikai tad, ja visi bāzes vektori ir operatora A īpašvektori.

Noteikums īpašvērtību un īpašvektoru atrašanai

Ļaujiet dot vektoru , kur x 1, x 2, …, x n ir vektora koordinātas attiecībā pret bāzi un ir lineārā operatora A īpašvektors, kas atbilst īpašvērtībai λ, tas ir. Šīs attiecības var uzrakstīt matricas formā

. (*)

Vienādojumu (*) var uzskatīt par vienādojumu, lai atrastu , un, tas ir, mūs interesē netriviāli risinājumi, jo īpašvektors nevar būt nulle. Ir zināms, ka viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas netriviālie risinājumi pastāv tad un tikai tad, ja det(A - λE) = 0. Tātad, lai λ būtu operatora A īpašvērtība, ir nepieciešams un pietiek, ka det(A - λE) ) = 0.
Ja vienādojums (*) ir detalizēti uzrakstīts koordinātu formā, mēs iegūstam lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu:

(1)
Kur - lineārā operatora matrica.

Sistēmai (1) ir atrisinājums, kas atšķiras no nulles, ja tās determinants D ir vienāds ar nulli

Mēs saņēmām vienādojumu īpašvērtību atrašanai.
Šo vienādojumu sauc par raksturīgo vienādojumu un tā kreisā puse- matricas (operatora) A raksturīgais polinoms. Ja raksturīgajam polinomam nav reālu sakņu, tad matricai A nav īpašvektoru un to nevar reducēt līdz diagonālajai formai.
Pieņemsim, ka λ 1, λ 2, …, λ n ir raksturīgā vienādojuma reālās saknes, un starp tām var būt daudzkārtņi. Pēc kārtas šīs vērtības aizstājot sistēmā (1), mēs atrodam īpašvektorus.

12. piemērs. Lineārais operators A darbojas R 3 saskaņā ar likumu, kur x 1, x 2, .., x n ir bāzes vektora koordinātas. , , . Atrodiet šī operatora īpašvērtības un īpašvektorus.
Risinājums. Mēs veidojam šī operatora matricu:
.
Mēs izveidojam sistēmu īpašvektoru koordinātu noteikšanai:

Mēs sastādām raksturīgo vienādojumu un atrisinām to:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Sistēmā aizstājot λ = -1, mēs iegūstam:
vai
Jo , tad ir divi atkarīgi mainīgie un viens brīvais mainīgais.
Tad lai x 1 ir brīvs nezināmais Mēs risinām šo sistēmu jebkurā veidā un atrodam šīs sistēmas vispārējo risinājumu: Fundamentālā sistēma Risinājumi sastāv no viena risinājuma, jo n - r = 3 - 2 = 1.
Īpašo vektoru kopai, kas atbilst īpašvērtībai λ = -1, ir forma: , kur x 1 ir jebkurš skaitlis, kas nav nulle. Izvēlēsimies vienu vektoru no šīs kopas, piemēram, liekot x 1 = 1: .
Līdzīgi spriežot, mēs atrodam īpašvektoru, kas atbilst īpašvērtībai λ = 3: .
Telpā R3 bāze sastāv no trim lineāriem neatkarīgi vektori, mēs saņēmām tikai divus lineāri neatkarīgus īpašvektorus, no kuriem nevar izveidot bāzi R3. Līdz ar to mēs nevaram reducēt lineārā operatora matricu A līdz diagonālajai formai.

13. piemērs. Dota matrica .
1. Pierādīt, ka vektors ir matricas A īpašvektors. Atrodiet šim īpašvektoram atbilstošo īpašvērtību.
2. Atrast bāzi, kurā matricai A ir diagonāla forma.
Risinājums.
1. Ja , tad ir īpašvektors

.
Vektors (1, 8, -1) ir īpašvektors. Pašvērtība λ = -1.
Matricai ir diagonāla forma bāzē, kas sastāv no īpašvektoriem. Viens no tiem ir slavens. Atradīsim pārējo.
Mēs meklējam īpašvektorus no sistēmas:

Raksturīgais vienādojums: ;
(3 + λ) [-2 (2-λ) (2 + λ) + 3] = 0; (3+λ)(λ 2–1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Atradīsim īpašvektoru, kas atbilst īpašvērtībai λ = -3:

Šīs sistēmas matricas rangs ir divi un vienāds ar nezināmo skaitu, tāpēc šai sistēmai ir tikai nulles risinājums x 1 = x 3 = 0. x 2 šeit var būt jebkas, kas nav nulle, piemēram, x 2 = 1. Tādējādi vektors (0 ,1,0) ir īpašvektors, kas atbilst λ = -3. Pārbaudīsim:
.
Ja λ = 1, tad iegūstam sistēmu
Matricas rangs ir divi. Mēs izsvītrojam pēdējo vienādojumu.
Lai x 3 ir brīvs nezināmais. Tad x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Pieņemot, ka x 3 = 1, mums ir (-3,-9,1) - īpašvektors, kas atbilst īpašvērtībai λ = 1. Pārbaudiet:

.
Tā kā īpašvērtības ir reālas un atšķirīgas, tām atbilstošie vektori ir lineāri neatkarīgi, tāpēc tos var ņemt par pamatu R 3 . Tādējādi pamatā , , matricai A ir šāda forma:
.
Ne katru lineārā operatora A:R n → R n matricu var reducēt līdz diagonālai formai, jo dažiem lineārie operatori Var būt mazāk par n lineāri neatkarīgi īpašvektori. Tomēr, ja matrica ir simetriska, tad daudzkārtības m raksturīgā vienādojuma sakne atbilst tieši m lineāri neatkarīgiem vektoriem.

Definīcija. Simetriskā matrica ir kvadrātveida matrica, kurā elementi, kas ir simetriski ap galveno diagonāli, ir vienādi, tas ir, kurā .
Piezīmes. 1. Visas simetriskas matricas īpašvērtības ir reālas.
2. Simetriskas matricas īpašvektori, kas atbilst pa pāriem dažādām īpašvērtībām, ir ortogonāli.
Kā vienu no daudzajiem pētītā aparāta pielietojumiem mēs uzskatām otrās kārtas līknes veida noteikšanas problēmu.