Taisnes līnijas īpašības Eiklīda ģeometrijā.
Caur jebkuru punktu var novilkt bezgalīgu skaitu taisnu līniju.
Caur jebkuriem diviem punktiem, kas nesakrīt, var novilkt vienu taisnu līniju.
Divas atšķirīgas līnijas plaknē vai nu krustojas vienā punktā, vai ir
paralēli (seko no iepriekšējā).
IN trīsdimensiju telpa Divu līniju relatīvajam novietojumam ir trīs iespējas:
- līnijas krustojas;
- līnijas ir paralēlas;
- taisnas līnijas krustojas.
Taisni līniju— pirmās kārtas algebriskā līkne: taisne Dekarta koordinātu sistēmā
plaknē ir dots ar pirmās pakāpes vienādojumu (lineārais vienādojums).
Vispārīgais taisnes vienādojums.
Definīcija. Jebkuru plaknes taisni var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu
Ax + Wu + C = 0,
un nemainīgs A, B tajā pašā laikā nav vienādi ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc ģenerālis
taisnas līnijas vienādojums. Atkarībā no konstantu vērtībām A, B Un AR Ir iespējami šādi īpaši gadījumi:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- taisna līnija iet caur izcelsmi
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (no + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij Ak
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij Ak
. B = C = 0, A ≠0- taisne sakrīt ar asi Ak
. A = C = 0, B ≠0- taisne sakrīt ar asi Ak
Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādās formās atkarībā no dotā
sākotnējie nosacījumi.
Taisnes līnijas vienādojums no punkta un normālvektora.
Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B)
perpendikulāri taisnei, kas dota vienādojumā
Ax + Wu + C = 0.
Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2) perpendikulāri vektoram (3, -1).
Risinājums. Ja A = 3 un B = -1, izveidosim taisnes vienādojumu: 3x - y + C = 0. Lai atrastu koeficientu C
Iegūtajā izteiksmē aizvietosim dotā punkta A koordinātas. Iegūsim: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Kopā: nepieciešamais vienādojums: 3x - y - 1 = 0.
Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem.
Telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Un M2 (x 2, y 2, z 2), Tad līnijas vienādojums,
iet cauri šiem punktiem:
Ja kāds no saucējiem ir nulle, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli. Ieslēgts
plaknē, iepriekš uzrakstītais taisnes vienādojums ir vienkāršots:
Ja x 1 ≠ x 2 Un x = x 1, Ja x 1 = x 2 .
Frakcija = k sauca slīpums tiešā veidā.
Piemērs. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).
Risinājums. Izmantojot iepriekš uzrakstīto formulu, mēs iegūstam:
Taisnas līnijas vienādojums, izmantojot punktu un slīpumu.
Ja līnijas vispārīgais vienādojums Ax + Wu + C = 0 noved pie:
un iecelt 
, tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums
taisnas līnijas ar slīpumu k vienādojums.
Taisnas līnijas vienādojums no punkta un virziena vektora.
Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, varat ievadīt uzdevumu
taisne caur punktu un taisnes virzošais vektors.
Definīcija. Katrs vektors, kas nav nulle (α 1 , α 2), kuras sastāvdaļas atbilst nosacījumam
Aα 1 + Bα 2 = 0 sauca taisnas līnijas virzošais vektors.
Ax + Wu + C = 0.
Piemērs. Atrodiet taisnes vienādojumu ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).
Risinājums. Mēs meklēsim vajadzīgās līnijas vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju,
koeficientiem jāatbilst šādiem nosacījumiem:
1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.
Tad taisnās līnijas vienādojumam ir šāda forma: Ax + Ay + C = 0, vai x + y + C / A = 0.
plkst x = 1, y = 2 mēs saņemam C/A = -3, t.i. nepieciešamais vienādojums:
x + y - 3 = 0
Taisnas līnijas vienādojums segmentos.
Ja iekšā vispārējais vienādojums taisne Ах + Ву + С = 0 С≠0, tad, dalot ar -С, iegūstam:
vai kur
Ģeometriskā nozīme koeficienti ir tas, ka koeficients a ir krustošanās punkta koordināte
taisni ar asi Ak, A b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar asi Ak.
Piemērs. Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums x - y + 1 = 0. Atrodiet šīs līnijas vienādojumu segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normāls taisnes vienādojums.
Ja vienādojuma abas puses Ax + Wu + C = 0 dalīt ar skaitli 
ko sauc
normalizējošais faktors, tad mēs saņemam
xcosφ + ysinφ - p = 0 -taisnes normāls vienādojums.
Normalizējošā koeficienta zīme ± jāizvēlas tā, lai μ*C< 0.
r- perpendikula garums, kas samazināts no sākuma līdz taisnei,
A φ - leņķis, ko veido šis perpendikuls ar ass pozitīvo virzienu Ak.
Piemērs. Ir dots līnijas vispārīgais vienādojums 12x - 5g - 65 = 0. Nepieciešams rakstīt dažādi veidi vienādojumi
šī taisnā līnija.
Šīs līnijas vienādojums segmentos:
Šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dalīt ar 5)
Līnijas vienādojums:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes,
paralēli asīm vai iet caur izcelsmi.
Leņķis starp taisnām līnijām plaknē.
Definīcija. Ja dotas divas rindas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad akūts leņķis starp šīm līnijām
tiks definēts kā
Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas līnijas ir perpendikulāras
Ja k 1 = -1/ k 2 .
Teorēma.
Tieša Ax + Wu + C = 0 Un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralēli, ja koeficienti ir proporcionāli
A 1 = λA, B 1 = λB. Ja arī С 1 = λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnes krustošanās punkta koordinātas
tiek atrasti kā risinājums šo līniju vienādojumu sistēmai.
Caur ejošas līnijas vienādojums šis punkts perpendikulāri šai līnijai.
Definīcija. Līnija, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un perpendikulāri līnijai y = kx + b
attēlots ar vienādojumu:
Attālums no punkta līdz līnijai.
Teorēma. Ja tiek dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz taisnei Ax + Wu + C = 0 definēts kā:
Pierādījums. Ļaujiet punktu M 1 (x 1, y 1)- perpendikula pamatne, kas nokritusi no punkta M par doto
tiešā veidā. Tad attālums starp punktiem M Un M 1:
(1)
Koordinātas x 1 Un plkst.1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:
Otrais sistēmas vienādojums ir līnijas vienādojums, kas iet cauri dotais punkts M 0 perpendikulāri
dota taisna līnija. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,
tad, atrisinot, mēs iegūstam:
Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:
Teorēma ir pierādīta.
Definīcija. Jebkuru plaknes taisni var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu
Ax + Wu + C = 0,
Turklāt konstantes A un B vienlaikus nav vienādas ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc taisnas līnijas vispārējais vienādojums. Atkarībā no vērtībām konstante A, B un C ir iespējami šādi īpaši gadījumi:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – taisne iet caur sākuma punktu
A = 0, B ≠0, C ≠0 (ar + C = 0) — taisna līnija, kas ir paralēla Ox asij
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – taisna līnija, kas ir paralēla Oy asij
B = C = 0, A ≠0 – taisne sakrīt ar Oy asi
A = C = 0, B ≠0 – taisne sakrīt ar Ox asi
Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādās formās atkarībā no jebkuriem sākotnējiem nosacījumiem.
Taisnas līnijas vienādojums no punkta un normālvektora
Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B) ir perpendikulārs taisnei, kas dota ar vienādojumu Ax + By + C = 0.
Piemērs. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2), kas ir perpendikulāra (3, -1).
Risinājums. Ja A = 3 un B = -1, sastādām taisnes vienādojumu: 3x – y + C = 0. Lai atrastu koeficientu C, iegūtajā izteiksmē aizvietojam dotā punkta A koordinātas. 3 – 2 + C = 0, tāpēc C = -1 . Kopā: nepieciešamais vienādojums: 3x – y – 1 = 0.
Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem
Ja telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnes, kas iet caur šiem punktiem, vienādojums ir:
Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošajam skaitītājam jābūt vienādam ar nulli. Plaknē iepriekš uzrakstītās līnijas vienādojums ir vienkāršots:
ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2.
Tiek izsaukta daļa = k slīpums tiešā veidā.
Piemērs. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).
Risinājums. Izmantojot iepriekš uzrakstīto formulu, mēs iegūstam:
Taisnas līnijas vienādojums no punkta un slīpuma
Ja kopējais Ax + Bu + C = 0, atveriet formu:
un iecelt 
, tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums taisnas līnijas ar slīpumu vienādojumsk.
Taisnas līnijas vienādojums no punkta un virziena vektora
Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, jūs varat ievadīt taisnas līnijas definīciju caur punktu un taisnes virzošo vektoru.
Definīcija. Katru nulles vektoru (α 1, α 2), kura sastāvdaļas apmierina nosacījumu A α 1 + B α 2 = 0, sauc par taisnes virzošo vektoru.
Ax + Wu + C = 0.
Piemērs. Atrodiet taisnes vienādojumu ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).
Risinājums. Mēs meklēsim vajadzīgās līnijas vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju koeficientiem jāatbilst nosacījumiem:
1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.
Tad taisnes vienādojumam ir forma: Ax + Ay + C = 0 vai x + y + C / A = 0. ja x = 1, y = 2 iegūstam C/ A = -3, t.i. nepieciešamais vienādojums:
Līnijas vienādojums segmentos
Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ах + Ву + С = 0 С≠0, tad, dalot ar –С, iegūstam: 
vai
Koeficientu ģeometriskā nozīme ir tāda, ka koeficients A ir taisnes krustpunkta koordināte ar Vērša asi un b– taisnes krustošanās punkta koordināta ar Oy asi.
Piemērs. Dots taisnes x – y + 1 = 0 vispārīgais vienādojums. Atrodi šīs taisnes vienādojumu segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normāls taisnes vienādojums
Ja abas vienādojuma puses Ax + By + C = 0 reizina ar skaitli 
ko sauc normalizējošais faktors, tad mēs saņemam
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
taisnes normāls vienādojums. Normalizējošā faktora zīme ± jāizvēlas tā, lai μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Piemērs. Ir dots taisnes 12x – 5y – 65 = 0 vispārīgais vienādojums. Šai rindai ir nepieciešams uzrakstīt dažāda veida vienādojumus.
šīs līnijas vienādojums segmentos: 
šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dala ar 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes, kas ir paralēlas asīm vai iet caur koordinātu sākumpunktu.
Piemērs. Taisne nogriež vienādus pozitīvos segmentus uz koordinātu asīm. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, ja trīsstūra laukums, ko veido šie segmenti, ir 8 cm 2.
Risinājums. Taisnes vienādojumam ir šāda forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Piemērs. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(-2, -3) un sākuma punktu.
Risinājums.
Taisnās līnijas vienādojums ir: 
, kur x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.
Leņķis starp taisnām līnijām plaknē
Definīcija. Ja divām līnijām ir dota y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad akūto leņķi starp šīm līnijām definēs kā
.
Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2.
Teorēma. Taisnes Ax + Bу + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = λC, tad taisnes sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.
Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri noteiktai taisnei
Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y = kx + b, attēlo ar vienādojumu:
Attālums no punkta līdz līnijai
Teorēma. Ja dots punkts M(x 0, y 0), tad attālumu līdz taisnei Ax + Bу + C = 0 nosaka kā
.
Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:
(1)
Koordinātas x 1 un y 1 var atrast, atrisinot vienādojumu sistēmu:
Sistēmas otrais vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,
tad, atrisinot, mēs iegūstam:
Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:
Teorēma ir pierādīta.
Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x – 5y + 7 = 0 un 10x + 6y – 3 = 0 ir perpendikulāras.
Risinājums. Mēs atrodam: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.
Piemērs. Dotas ir trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.
Risinājums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Nepieciešamajam augstuma vienādojumam ir šāda forma: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: 
no kur b = 17. Kopā: . 
Atbilde: 3 x + 2 g – 34 = 0.
Kanoniskie līnijas vienādojumi telpā ir vienādojumi, kas definē līniju, kas iet caur noteiktu punktu kolineāri virziena vektoram.
Ir dots punkts un virziena vektors. Patvaļīgs punkts atrodas uz taisnes l tikai tad, ja vektori un ir kolineāri, t.i., tiem ir izpildīts nosacījums:
.
Iepriekš minētie vienādojumi ir kanoniskie vienādojumi tiešā veidā.
Skaitļi m , n Un lpp ir virziena vektora projekcijas uz koordinātu asīm. Tā kā vektors nav nulle, tad visi skaitļi m , n Un lpp nevar vienlaikus būt vienāds ar nulli. Bet viens vai divi no tiem var izrādīties nulle. Piemēram, analītiskajā ģeometrijā ir atļauts šāds ieraksts:
,
kas nozīmē, ka vektora projekcijas uz asi Oy Un Oz ir vienādi ar nulli. Tāpēc gan vektors, gan taisne, ko nosaka kanoniskie vienādojumi, ir perpendikulāri asīm Oy Un Oz, t.i., lidmašīnas yOz .
1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumus līnijai telpā, kas ir perpendikulāra plaknei 
un iet caur šīs plaknes krustošanās punktu ar asi Oz
.
Risinājums. Atradīsim šīs plaknes krustošanās punktu ar asi Oz. Tā kā jebkurš punkts atrodas uz ass Oz, ir koordinātas , Tad, pieņemot, ka dotajā plaknes vienādojumā x = y = 0, mēs iegūstam 4 z- 8 = 0 vai z= 2. Tāpēc šīs plaknes krustošanās punkts ar asi Oz ir koordinātas (0; 0; 2) . Tā kā vēlamā līnija ir perpendikulāra plaknei, tā ir paralēla tās parastajam vektoram. Tāpēc taisnes virzošais vektors var būt parastais vektors 
dotā lidmašīna.
Tagad pierakstīsim vajadzīgos taisnes vienādojumus, kas iet caur punktu A= (0; 0; 2) vektora virzienā:
Taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem
Taisni var noteikt ar diviem punktiem, kas atrodas uz tās 
Un 
Šajā gadījumā taisnes virzošais vektors var būt vektors . Tad līnijas kanoniskie vienādojumi iegūst formu
.
Iepriekš minētie vienādojumi nosaka līniju, kas iet caur diviem dotajiem punktiem.
2. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu līnijai telpā, kas iet caur punktiem un .
Risinājums. Pierakstīsim nepieciešamos taisnlīniju vienādojumus tādā formā, kas norādīta iepriekš teorētiskajā atsaucē:
.
Tā kā , Tad vēlamā taisne ir perpendikulāra asij Oy .
Taisna kā plakņu krustošanās līnija
Taisni telpā var definēt kā divu neparalēlu plakņu krustošanās līniju un, t.i., kā punktu kopu, kas apmierina divu lineāru vienādojumu sistēmu
Sistēmas vienādojumus sauc arī par taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem telpā.
3. piemērs. Sastādiet telpas līnijas kanoniskos vienādojumus, kas doti ar vispārīgiem vienādojumiem
Risinājums. Lai rakstītu taisnes kanoniskos vienādojumus vai, kas ir tas pats, vienādojumus tai taisnei, kas iet cauri diviem dotiem punktiem, jāatrod jebkuru divu taisnes punktu koordinātas. Tie var būt, piemēram, taisnas līnijas krustošanās punkti ar jebkurām divām koordinātu plaknēm yOz Un xOz .
Taisnes un plaknes krustpunkts yOz ir abscisa x= 0. Tāpēc, pieņemot, ka šajā vienādojumu sistēmā x= 0, mēs iegūstam sistēmu ar diviem mainīgajiem:
Viņas lēmums y = 2 , z= 6 kopā ar x= 0 definē punktu A(0; 2; 6) vēlamā rinda. Tad pieņemot dotajā vienādojumu sistēmā y= 0, mēs iegūstam sistēmu
Viņas lēmums x = -2 , z= 0 kopā ar y= 0 definē punktu B(-2; 0; 0) taisnes krustpunkts ar plakni xOz .
Tagad pierakstīsim līnijas vienādojumus, kas iet caur punktiem A(0; 2; 6) un B (-2; 0; 0) :
,
vai pēc saucēju dalīšanas ar -2:
,
Lai taisne iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu M 1, ir forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Kur k - joprojām nav zināms koeficients.
Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Šeit mēs atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k
vienādojumā (10.6) iegūstam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2: 
Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ja x 1 = x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1,y I) un M 2 (x 2,y 2), ir paralēla ordinātu asij. Tā vienādojums ir x = x 1 .
Ja y 2 = y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y = y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla abscisu asij.
Līnijas vienādojums segmentos
Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0) un Oy asi punktā M 2 (0; b). Vienādojumam būs šāda forma: 
tie. 
. Šo vienādojumu sauc taisnes vienādojums segmentos, jo cipari a un b norāda, kurus posmus līnija nogriež uz koordinātu asīm.
Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri noteiktam vektoram
Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur doto punktu Mo (x O; y o), kas ir perpendikulāra dotajam nulles vektoram n = (A; B).
Ņemsim patvaļīgu punktu M(x; y) uz taisnes un aplūkosim vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. att.). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: tas ir
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Tiek izsaukts vienādojums (10.8). taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram .
Vektoru n= (A; B), kas ir perpendikulārs taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .
Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C = -Ax o - Vu o ir brīvais termins. Vienādojums (10.9) ir līnijas vispārējais vienādojums(skat. 2. att.).
1. att. 2. att
Taisnes kanoniskie vienādojumi
,
Kur 
- punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un 
- virziena vektors.
Otrās kārtas līknes Aplis
Aplis ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.
Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums
R centrēts punktā 
:
Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar koordinātu izcelsmi, vienādojums izskatīsies šādi: 
Elipse
Elipse ir plaknes punktu kopa, kuru attālumu summa no katra līdz diviem dotajiem punktiem
Un 
, ko sauc par perēkļiem, ir nemainīgs daudzums 
, lielāks par attālumu starp perēkļiem 
.
Elipses kanoniskajam vienādojumam, kura fokuss atrodas uz Vērša ass, un koordinātu izcelsmei vidū starp fokusiem ir šāda forma 
G 
de a daļēji galvenās ass garums; b – pusmazās ass garums (2. att.).
Vispārīgais taisnes vienādojums:
Īpaši taisnas līnijas vispārējā vienādojuma gadījumi:
a) Ja C= 0, vienādojumam (2) būs forma
Ax + Autors = 0,
un šī vienādojuma definētā taisne iet caur sākumpunktu, jo sākuma koordinātas ir x = 0, y= 0 atbilst šim vienādojumam.
b) Ja taisnes (2) vispārējā vienādojumā B= 0, tad vienādojums iegūst formu
Ax + AR= 0 vai .
Vienādojums nesatur mainīgo y, un šī vienādojuma definētā taisne ir paralēla asij Oy.
c) Ja taisnes (2) vispārējā vienādojumā A= 0, tad šis vienādojums iegūs formu
Autors + AR= 0 vai ;
vienādojums nesatur mainīgo x, un tā definētā taisne ir paralēla asij Vērsis.
Jāatceras: ja taisne ir paralēla kādai koordinātu asij, tad tās vienādojumā nav neviena vārda, kas satur koordinātu ar tādu pašu nosaukumu kā šai asij.
d) Kad C= 0 un A= 0 vienādojums (2) iegūst formu Autors= 0 vai y = 0.
Šis ir ass vienādojums Vērsis.
d) Kad C= 0 un B= 0 vienādojums (2) tiks ierakstīts formā Ax= 0 vai x = 0.
Šis ir ass vienādojums Oy.
Savstarpēja pozīcija taisnas līnijas plaknē. Leņķis starp taisnām līnijām plaknē. Nosacījums paralēlām līnijām. Līniju perpendikulitātes nosacījums.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Vektorus S 1 un S 2 sauc par to līniju vadotnēm.
Leņķi starp taisnēm l 1 un l 2 nosaka leņķis starp virziena vektoriem.
1. teorēma: cos leņķim starp l 1 un l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
2. teorēma: Lai 2 rindas būtu vienādas, ir nepieciešams un pietiekami:
3. teorēma: Lai 2 taisnes būtu perpendikulāras, ir nepieciešams un pietiek:
L 1 l 2 — A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Vispārējā plaknes vienādojums un tā īpašie gadījumi. Plaknes vienādojums segmentos.
Vispārējais plaknes vienādojums:
Ax + By + Cz + D = 0
Īpaši gadījumi:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – plakne iet caur sākuma punktu
2. С=0 Ax+By+D = 0 – plakne || OZ
3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plakne || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – plakne || VĒRSIS
5. A=0 un D=0 By+Cz = 0 – plakne iet cauri OX
6. B=0 un D=0 Ax+Cz = 0 – plakne iet cauri OY
7. C=0 un D=0 Ax+By = 0 – plakne iet cauri OZ
Plakņu un taisnu līniju relatīvais novietojums telpā:
1. Leņķis starp taisnēm telpā ir leņķis starp to virziena vektoriem.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = = 
2. Leņķi starp plaknēm nosaka caur leņķi starp to normāliem vektoriem.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = = 
3. Leņķa starp taisni un plakni kosinusu var atrast caur leņķa starp taisnes virziena vektoru un plaknes normālvektoru sin.
4. 2 taisni || telpā, kad viņu || vektoru vadotnes
5. 2 lidmašīnas || kad || normālie vektori
6. Līdzīgi tiek ieviesti līniju un plakņu perpendikulitātes jēdzieni.
Jautājums Nr.14
Dažādi veidi plaknes taisnes vienādojumi (taisnes vienādojums segmentos, ar leņķa koeficientu utt.)
Taisnas līnijas vienādojums segmentos:
Pieņemsim, ka taisnās līnijas vispārējā vienādojumā:
1. C = 0 Ах + Ву = 0 – taisne iet caur sākuma punktu.
2. a = 0 Vu + C = 0 y =
3. b = 0 Ax + C = 0 x =
4. b=C=0 Ax = 0 x = 0
5. a=C=0 Ву = 0 у = 0
Taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums:
Jebkuru taisnu līniju, kas nav vienāda ar op-amp asi (B nav = 0), var pierakstīt nākamajā rindā. forma:
k = tanα α – leņķis starp taisni un pozitīvi virzītu līniju OX
b – taisnes krustošanās punkts ar operētājsistēmas pastiprinātāja asi
Dokuments:
Ax+By+C = 0
Wu= -Ah-S |:B
Taisnas līnijas vienādojums, pamatojoties uz diviem punktiem:
16. jautājums
Funkcijas galīgā robeža punktā un x→∞
Beigu ierobežojums pie x0:
Skaitli A sauc par funkcijas y = f(x) robežu x→x 0, ja jebkuram E > 0 eksistē b > 0 tā, ka pie x ≠x 0, kas apmierina nevienādību |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Ierobežojumu norāda ar: = A
Beigu robeža punktā +∞:
Skaitli A sauc par funkcijas y = f(x) robežu pie x → + ∞ , ja jebkuram E > 0 eksistē C > 0 tā, ka x > C nevienādība |f(x) - A|< Е
Ierobežojumu norāda ar: = A
Beigu ierobežojums punktā -∞:
Skaitli A sauc par funkcijas y = f(x) robežu x→-∞, ja par kādu E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
