Šis raksts sākas ar materiālu veselu skaitļu dalāmības teorija. Šeit mēs iepazīstinām ar dalāmības jēdzienu un norādām pieņemtos terminus un apzīmējumus. Tas ļaus uzskaitīt un pamatot galvenās dalāmības īpašības.
Lapas navigācija.
Dalāmības jēdziens
Dalāmības jēdziens ir viens no aritmētikas un skaitļu teorijas pamatjēdzieniem. Mēs runāsim par dalāmību un īpašos gadījumos - par dalāmību. Tātad, sniegsim priekšstatu par dalāmību veselu skaitļu kopā.
Vesels skaitlis a akcijas ar veselu skaitli b, kas atšķiras no nulles, ja ir tāds vesels skaitlis (apzīmē to ar q), ka vienādība a=b·q ir patiesa. Šajā gadījumā mēs arī sakām, ka b sadala a. Šajā gadījumā tiek izsaukts vesels skaitlis b sadalītājs skaitļi a, tiek izsaukts vesels skaitlis a daudzkārtēji skaitlis b (plašāku informāciju par dalītājiem un reizinātājiem skatiet rakstā Dalītāji un reizinātāji), un veselo skaitli q sauc Privāts.
Ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b iepriekš minētajā nozīmē, tad var teikt, ka a dalās ar b pilnībā. Vārds “pilnībā” šajā gadījumā vēl vairāk uzsver, ka veselā skaitļa a dalījums ar veselu skaitli b ir vesels skaitlis.
Dažos gadījumos dotajiem veseliem skaitļiem a un b nav vesela skaitļa q, kuram būtu patiesa vienādība a=b·q. Šādos gadījumos mēs sakām, ka vesels skaitlis a nedalās ar veselu skaitli b (tas nozīmē, ka a nedalās ar b). Tomēr šajos gadījumos viņi izmanto.
Sapratīsim dalāmības jēdzienu, izmantojot piemērus.
Jebkurš vesels skaitlis a dalās ar skaitli a, ar skaitli −a, a, ar vienu un ar skaitli −1.
Pierādīsim šo dalāmības īpašību.
Jebkuram veselam skaitlim a ir spēkā vienādības a=a·1 un a=1·a, no kurām izriet, ka a dalās ar a, un koeficients ir vienāds ar vienu un ka a dalās ar 1, un koeficients ir vienāds ar a. Jebkuram veselam skaitlim a ir spēkā arī vienādības a=(−a)·(−1) un a=(−1)·(−a), no kā izriet, ka a dalās ar skaitli, kas ir pretējs a, kā kā arī a dalās ar mīnus vienību.
Ņemiet vērā, ka vesela skaitļa a dalāmības īpašību pati par sevi sauc par refleksivitātes īpašību.
Nākamā dalāmības īpašība nosaka, ka nulle dalās ar jebkuru veselu skaitli b.
Patiešām, tā kā 0=b·0 jebkuram veselam skaitlim b, tad nulle dalās ar jebkuru veselu skaitli.
Jo īpaši nulle dalās arī ar nulli. Tas apstiprina vienādību 0=0·q, kur q ir jebkurš vesels skaitlis. No šīs vienādības izriet, ka nulles koeficients, kas dalīts ar nulli, ir jebkurš vesels skaitlis.
Jāņem vērā arī tas, ka neviens cits vesels skaitlis, izņemot nulli, nedalās ar 0. Paskaidrosim šo. Ja nulle dala veselu skaitli, kas atšķiras no nulles, tad vienādībai a=0·q jābūt patiesai, kur q ir kāds vesels skaitlis, un pēdējā vienādība ir iespējama tikai tad, ja a=0.
Ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b un a ir mazāks par b moduli, tad a ir vienāds ar nulli. Literālā formā šo dalāmības īpašību raksta šādi: ja ab un , tad a=0.
Pierādījums.
Tā kā a dalās ar b, tad ir vesels skaitlis q, kuram ir patiesa vienādība a=b·q. Tad arī vienlīdzībai ir jābūt patiesai, un līdz ar to arī formas vienlīdzībai ir jābūt patiesai. Ja q nav vienāds ar nulli, tad no tā izriet, ka . Ņemot vērā iegūto nevienādību, no vienādības izriet, ka . Bet tas ir pretrunā ar nosacījumu. Tādējādi q var būt vienāds tikai ar nulli, un mēs iegūstam a=b·q=b·0=0, kas mums bija jāpierāda.
Ja vesels skaitlis a nav nulle un dalās ar veselu skaitli b, tad a modulis nav mazāks par b moduli. Tas ir, ja a≠0 un ab, tad . Šī dalāmības īpašība izriet tieši no iepriekšējās.
Vienīgie vienības dalītāji ir veseli skaitļi 1 un −1.
Vispirms parādīsim, ka 1 dalās ar 1 un −1. Tas izriet no vienādībām 1=1·1 un 1=(−1)·(−1) .
Atliek pierādīt, ka neviens cits vesels skaitlis nav vienotības dalītājs.
Pieņemsim, ka vesels skaitlis b, kas atšķiras no 1 un −1, ir vienotības dalītājs. Tā kā vienotība dalās ar b, tad iepriekšējās dalāmības īpašības dēļ ir jāapmierina nevienādība, kas ir ekvivalenta nevienādībai. Šo nevienādību apmierina tikai trīs veseli skaitļi: 1, 0 un −1. Tā kā mēs pieņēmām, ka b atšķiras no 1 un −1, tad paliek tikai b=0. Bet b=0 nevar būt vienības dalītājs (kā mēs parādījām, aprakstot otro dalāmības īpašību). Tas pierāda, ka citi skaitļi, izņemot 1 un −1, nav vienības dalītājs.
Lai vesels skaitlis a būtu dalīts ar veselu skaitli b, ir nepieciešams un pietiekami, ka skaitļa a modulis dalās ar skaitļa b moduli.
Vispirms pierādīsim nepieciešamību.
Dalīsim a ar b, tad ir tāds vesels skaitlis q, ka a=b·q. Tad 
. Tā kā tas ir vesels skaitlis, vienādība nozīmē, ka skaitļa a modulis dalās ar skaitļa b moduli.
Tagad pietiek.
Ļaujiet skaitļa a moduli dalīt ar skaitļa b moduli, tad pastāv tāds vesels skaitlis q, ka . Ja skaitļi a un b ir pozitīvi, tad ir patiesa vienādība a=b·q, kas pierāda a dalāmību ar b. Ja a un b ir negatīvi, tad vienādība −a=(−b)·q ir patiesa, ko var pārrakstīt kā a=b·q. Ja - negatīvs skaitlis, un b ir pozitīvs, tad mums ir −a=b·q, šī vienādība ir ekvivalenta vienādībai a=b·(−q) . Ja a ir pozitīvs un b ir negatīvs, tad mums ir a=(−b)·q , un a=b·(−q) . Tā kā gan q, gan −q ir veseli skaitļi, iegūtās vienādības pierāda, ka a dalās ar b.
Secinājums 1.
Ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b, tad a dalās arī ar pretējo skaitli −b.
Secinājums 2.
Ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b, tad −a arī dalās ar b.
Tikko apspriestās dalāmības īpašības nozīmi ir grūti pārvērtēt – dalāmības teoriju var aprakstīt uz pozitīvo veselo skaitļu kopas, un šī dalāmības īpašība to attiecina arī uz negatīviem veseliem skaitļiem.
Dalāmībai ir tranzitivitātes īpašība: ja vesels skaitlis a dalās ar kādu veselu skaitli m, bet skaitli m savukārt dala ar kādu veselu skaitli b, tad a dalās ar b. Tas ir, ja am un mb, tad ab.
Dosim šīs dalāmības īpašības pierādījumu.
Tā kā a dalās ar m, ir kāds vesels skaitlis a 1, lai a=m·a 1. Tāpat, tā kā m dalās ar b, ir kāds vesels skaitlis m 1, lai m=b·m 1. Tad a=m a 1 = (b m 1) a 1 = b (m 1 a 1). Tā kā divu veselu skaitļu reizinājums ir vesels skaitlis, tad m 1 ·a 1 ir kāds vesels skaitlis. Apzīmējot to q, nonākam pie vienādības a=b·q, kas pierāda aplūkojamo dalāmības īpašību.
Dalāmībai piemīt antisimetrijas īpašība, tas ir, ja a dala ar b un tajā pašā laikā b dala ar a, tad vai nu veseli skaitļi a un b, vai skaitļi a un −b ir vienādi.
No a dalāmības ar b un b ar a var runāt par tādu veselu skaitļu q 1 un q 2 esamību, ka a=b·q 1 un b=a·q 2. Aizvietojot b·q 1 a vietā otrajā vienādībā vai aizstājot a·q 2, nevis b pirmajā vienādībā, mēs iegūstam, ka q 1 ·q 2 =1, un, ņemot vērā, ka q 1 un q 2 ir veseli skaitļi, šis ir iespējama tikai tad, ja q 1 =q 2 =1 vai ja q 1 =q 2 =−1. No tā izriet, ka a=b vai a=−b (vai, kas ir tas pats, b=a vai b=−a ).
Jebkuram veselam skaitlim un skaitlim b, kas nav nulle, ir vesels skaitlis a, kas nav vienāds ar b un dalās ar b.
Šis skaitlis būs jebkurš no skaitļiem a=b·q, kur q ir jebkurš vesels skaitlis, kas nav vienāds ar vienu. Mēs varam pāriet uz nākamo dalāmības īpašību.
Ja katrs no diviem veseliem skaitļiem a un b dalās ar veselu skaitli c, tad arī summa a+b dalās ar c.
Tā kā a un b dalās ar c, varam uzrakstīt a=c·q 1 un b=c·q 2. Tad a+b=c q 1 + c q 2 =c (q 1 + q 2)(pēdējā pāreja iespējama, pateicoties ). Tā kā divu veselu skaitļu summa ir vesels skaitlis, tad vienādība a+b=c·(q 1 +q 2) pierāda summas a+b dalāmību ar c.
Šo īpašumu var paplašināt līdz trīs, četru vai vairāku termiņu summai.
Ja atceramies arī to, ka vesela skaitļa b atņemšana no vesela skaitļa a ir skaitļa a saskaitīšana ar skaitli −b (sk.), tad šī dalāmības īpašība attiecas arī uz skaitļu starpību. Piemēram, ja veseli skaitļi a un b dalās ar c, tad starpība a−b arī dalās ar c.
Ja zināms, ka vienādībā k+l+…+n=p+q+…+s visi termini, izņemot vienu, dalās ar kādu veselu skaitli b, tad arī šis viens vārds dalās ar b.
Pieņemsim, ka šis termins ir p (var pieņemt jebkuru no vienādības nosacījumiem, kas neietekmēs argumentāciju). Tad p=k+l+…+n−q−…−s . Izteiksme, kas iegūta vienādības labajā pusē, tiek dalīta ar b iepriekšējās īpašības dēļ. Tāpēc arī skaitlis p dalās ar b.
Ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b, tad reizinājumu a·k, kur k ir patvaļīgs vesels skaitlis, dala ar b.
Tā kā a dalās ar b, tad vienādība a=b·q ir patiesa, kur q ir kāds vesels skaitlis. Tad a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (pēdējā pāreja tika veikta sakarā ar ). Tā kā divu veselu skaitļu reizinājums ir vesels skaitlis, tad vienādība a·k=b·(q·k) pierāda reizinājuma a·k dalāmību ar b.
Secinājums: ja vesels skaitlis a dalās ar veselu skaitli b, tad reizinājums a·k 1 ·k 2 ·…·k n, kur k 1, k 2, …, k n ir daži veseli skaitļi, dalās ar b.
Ja veseli skaitļi a un b dalās ar c, tad reizinājumu a·u un b·v summu formā a·u+b·v, kur u un v ir patvaļīgi veseli skaitļi, dala ar c.
Šīs dalāmības īpašības pierādījums ir līdzīgs iepriekšējiem diviem. No nosacījuma mums ir a=c·q 1 un b=c·q 2. Tad a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Tā kā summa q 1 ·u+q 2 ·v ir vesels skaitlis, tad formas vienādība a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) pierāda, ka a·u+b·v dalās ar c.
Tas noslēdz mūsu dalāmības pamatīpašību apskatu.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N.Ya. un citi.. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
- Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
- Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
- Kuļikovs L.Ja. un citi. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu apkopojums: Apmācība fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.
Nosauciet skaitīšanai izmantotos skaitļus. Katrs saskaitāmo vienību skaits atbilst noteiktam naturālam skaitlim. Ja nav objektu, ko skaitīt, tad tiek izmantots skaitlis 0, bet, saskaitot objektus, mēs nekad nesākam no 0, un attiecīgi skaitli 0 nevar klasificēt kā dabisku. Ir skaidrs, ka mazākais naturālais skaitlis ir viens. Nav lielākā naturālā skaitļa, jo neatkarīgi no tā, cik liels ir skaitlis, tam vienmēr var pievienot 1 un uzrakstīt nākamo naturālo skaitli.
Sakārtosim to vienkāršākais piemērs dalīšana: sadaliet skaitli 30 ar skaitli 5 (atlikušais, dalot skaitli 30 ar skaitli 5, ir 0), jo 30 = 5. 6. Tātad skaitlis 30 dalās ar skaitli 5. Skaitlis 5 ir sadalītājs skaitlis ir 30, un skaitlis 30 ir vairākas numurs 5.
Dabiskais skaitlis k n, ja ir šāds naturāls skaitlis m, uz kuriem attiecas vienlīdzība k = n . m.
Vai citiem vārdiem sakot , lai dalītu vienu skaitli ar citu, jāatrod trešais skaitlis, kas, reizinot ar otro, iegūst pirmo
Ja naturāls skaitlis k dalās ar naturālu skaitli n, tad numurs k sauca skaitļa reizinātāji,
numuru n — skaitļa dalītājs k.
Skaitļi 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 arī ir 30 dalītāji, un 30 ir katra no šiem skaitļiem reizināts. Ņemiet vērā, ka skaitlis 30 nedalās, piemēram, ar skaitli 7. Tāpēc skaitlis 7 nav skaitļa 30 dalītājs, un skaitlis 30 nav skaitļa 7 reizinātājs.
Pēc sadalīšanas operāciju veikšanas viņi saka: “Numurs k dalās ar skaitli n", "Numurs n ir skaitļa dalītājs k", "Numurs k skaitļa daudzkārtējs n", "Numurs k ir skaitļa daudzkārtnis n».
Ir viegli pierakstīt visus skaitļa 6 dalītājus. Tie ir skaitļi 1, 2, 3 un 6. Vai ir iespējams uzskaitīt visus skaitļus, kas ir skaitļa 6 reizinātāji? Skaitļi 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 utt. ir skaitļa 6 reizinātāji. Mēs atklājam, ka ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas ir skaitļa 6 reizinātāji. Tāpēc nav iespējams tos visus uzskaitīt.
Kopumā jebkuram naturālam skaitlim k katrs no cipariem
k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...
ir skaitļa daudzkārtnis k.
Mazākais dalītājs jebkurš naturāls skaitlis k ir skaitlis 1, un lielākais dalītājs- pats numurs k.
Starp skaitļiem, kas ir daudzkārtni k, nav lielākais, bet mazākais ir - tas ir pats skaitlis k.
Katrs no skaitļiem 21 un 36 dalās ar skaitli 3, un to summa, skaitlis 57, arī dalās ar skaitli 3. Kopumā, ja katrs no skaitļiem k Un n dalās ar skaitli m, tad summa k+n dalās arī ar skaitli m.
Katrs no skaitļiem 4 un 8 nav akcijas ir vesels skaitlis ar skaitli 3, un to summa, skaitlis 12, nedalās vienmērīgi ar skaitli 3. Katrs no skaitļiem 9 un 7 nedalās vienmērīgi ar skaitli 5, un to summa, skaitlis 16, ir nedalās vienmērīgi ar skaitli 5. Kopumā, ja ne skaitlis k, nav numura n nav vienmērīgi dalāmi ar skaitli m, tad summa k + n var dalīt vai nedalīt ar veselu skaitli m.
Skaitlis 35 dalās ar skaitli 7 bez atlikuma, bet skaitlis 17 nedalās ar skaitli 7. Summa 35 + 17 arī nedalās ar skaitli 7. Kopumā, ja numurs k dalās ar skaitli m un numurs n nav dalāms ar skaitli m, tad summa k + n nav dalāms ar skaitli m.
Reģionālās pētniecības konference Lakhdenpohas pašvaldības rajona skolēniem
"Solis nākotnē"
Matemātikas projekts par tēmu:
Pabeidza: Galkina Natālija
7. klases skolnieks
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Vadītājs: Vasiļjeva
Larisa Vladimirovna
matemātikas skolotājs
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i) 5 – 6 lpp.
Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa: 6 lapas.
Skaitļu dalāmību nosaka pēc dažu darbību veikšanas ar skaitļa cipariem 6 - 9 lappuses.
Lai noteiktu skaitļa dalāmību, izmanto citas zīmes 9 – 10 lpp.
Ievads 3 lpp
No matemātikas vēstures 4 lpp.
Pamatjēdzieni 4 lpp.
Dalāmības zīmju klasifikācija: 5 lpp.
Dalāmības kritēriju piemērošana praksē 10 – 11 lpp.
Secinājums 11 lpp
Bibliogrāfija 12 lpp.
Ievads
Pētījuma atbilstība: Dalāmības pazīmes vienmēr ir interesējušas dažādu laiku un tautu zinātniekus. Studējot matemātikas stundās tēmu “Ciparu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9, 10”, man radās interese par skaitļu dalāmību. Tika pieņemts, ka, ja ir iespējams noteikt skaitļu dalāmību ar šiem skaitļiem, tad ir jābūt zīmēm, pēc kurām var noteikt dalāmību naturālie skaitļi un citiem numuriem. Dažos gadījumos, lai noskaidrotu, vai kāds naturāls skaitlis ir dalāms a uz naturālu skaitli b bez atlikuma šos skaitļus nav nepieciešams dalīt. Pietiek zināt dažas dalāmības pazīmes.
Hipotēze– ja ir naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9 un 10, tad ir citas zīmes, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību.
Pētījuma mērķis – papildināt jau zināmās naturālo skaitļu dalāmības zīmes kopumā, skolā apgūtās un sistematizēt šīs dalāmības zīmes.
Lai sasniegtu šo mērķi, ir jāatrisina sekojošais uzdevumi:
Patstāvīgi izpētīt skaitļu dalāmību.
Izpētiet papildu literatūru, lai iepazītos ar citām dalāmības pazīmēm.
Apvienojiet un apkopojiet dažādu avotu funkcijas.
Izdariet secinājumu.
Pētījuma objekts– visu iespējamo dalāmības pazīmju izpēte.
Studiju priekšmets– dalāmības pazīmes.
Pētījuma metodes– materiālu vākšana, datu apstrāde, salīdzināšana, analīze, sintēze.
Jaunums: Projekta gaitā paplašināju zināšanas par naturālu skaitļu dalāmības zīmēm.
No matemātikas vēstures
Blēzs Paskāls(dzimis 1623. gadā) - viens no visvairāk slaveni cilvēki cilvēces vēsturē. Pascalumer, kad viņam bija 39 gadi, bet neskatoties uz to īss mūžs, iegāja vēsturē kā izcils matemātiķis, fiziķis, filozofs un rakstnieks. Viņa vārdā nosaukta spiediena mērvienība (paskāls) un mūsdienās ļoti populārā programmēšanas valoda. Blēzs Paskāls atrada kopīgu
Paskāla tests ir metode, kas ļauj iegūt testus dalīšanai ar jebkuru skaitli. Sava veida “universāla dalāmības zīme”.
Paskāla dalāmības tests: Dabiskais skaitlis A tiks dalīts ar citu naturālu skaitli b tikai tad, ja skaitļa ciparu reizinājumu summa A atbilstošajos atlikumos, kas iegūti, dalot ciparu vienības ar skaitli b, tiek dalīts ar šo skaitli.
Piemēram : skaitlis 2814 dalās ar 7, jo 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 dalās ar 7. (Šeit 6 ir 1000 dalījuma ar 7 atlikums, 2 ir atlikums, dalot 100 ar 7 un 3 ir atlikums no 10 dalīšanas ar 7).
Pamatjēdzieni
Atcerēsimies dažus matemātiskus jēdzienus, kas mums būs nepieciešami, pētot šo tēmu.
Dalāmības pārbaude ir noteikums, pēc kura, neveicot dalīšanu, var noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu.
Dalītājs dabiskais skaitlis A nosauciet naturālo skaitli, uz kuru A sadalīts bez atlikuma.
Vienkārši sauc par naturāliem skaitļiem, kuriem nav citu dabisku atšķirīgu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
Kompozīts ir skaitļi, kuriem ir citi dabiskie dalītāji, nevis 1 un paši.
Dalāmības pazīmes
Visas šajā darbā aplūkotās naturālo skaitļu dalāmības pazīmes var iedalīt 4 grupās:
Apskatīsim sīkāk katru no šīm grupām.
Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i)
Pirmā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupa, kuru es aplūkoju, ietver dalāmības zīmes ar 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 un ciparu vienības 10, 100 utt.
Pārbaudi dalāmību ar 2: skaitlis dalās ar 2, ja šī skaitļa pēdējais cipars dalās ar 2 (t.i., pēdējais cipars ir pāra skaitlis).
Piemēram: 32217864 : 2
Pārbaudiet dalāmību ar 4 : skaitlis dalās ar 4, ja tā pēdējie divi cipari ir nulles vai ja divciparu skaitlis, ko veido tā pēdējie divi cipari, dalās ar 4.
Piemēram, 35324 : 4; 6600 : 4
Dalāmības pārbaude ar 5 : skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir 5 vai 0.
Piemēram: 36780 : 5 vai 12326 5 : 5
Pārbaude dalāmību ar 8: skaitlis dalās ar 8, ja tas dalās ar 8 trīsciparu skaitlis, kas izveidots no šī skaitļa pēdējiem trim cipariem.
Piemēram: 432240 : 8
Pārbaude dalāmību ar 20: skaitlis dalās ar 20, ja skaitlis, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 20. (Cits formulējums: skaitlis dalās ar 20, ja skaitļa pēdējais cipars ir 0 un priekšpēdējais ir pāra cipars).
Piemēram: 59640 : 20
Pārbaude dalāmību ar 25: Skaitļi, kuru pēdējie divi cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 25, dalās ar 25.
Piemēram: 667975 : 25 vai 77689 00 : 25
Pārbaude dalāmību ar 50: Skaitlis dalās ar 50, ja skaitlis, ko veido tā divi mazākie cipari aiz komata, dalās ar 50.
Piemēram: 564350 :50 vai 5543 00 :50
Dalāmības pārbaude ar 125: Skaitlis dalās ar 125, ja tā pēdējie trīs cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 125.
Piemēram: 32157000 :125 vai 3216 250 :125
Tos naturālos skaitļus, kuru nullju skaits ir lielāks vai vienāds ar ciparu vienības nulles skaitu, sadala ciparu vienībā.
Piemēram, 12 000 dalās ar 10, 100 un 1000.
Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar 3, 9, 11, kuras es apsvēru.
Pārbaude dalāmību ar 3: Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
Pārbaude dalāmību ar 9: Skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemēram: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
Pārbaude dalāmību ar 11:Šie skaitļi dalās ar 11, ja nepāra vietās esošo ciparu summa ir vienāda ar ciparu summu pāra vietās vai atšķiras no tās ar skaitļa 11 reizinājumu.
Piemēram: 865948732:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
Skaitļu dalāmība tiek noteikta pēc dažu darbību veikšanas ar šī skaitļa cipariem
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101
Pārbaude dalāmību ar 6:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 6, ja rezultāts, atņemot divkāršu simtnieku skaitu no skaitļa pēc simtiem, dalās ar 6.
Piemēram, 138: 6, jo 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 jo 44 — 7,2 = 30, (30:6)
2. zīme: Skaitlis dalās ar 6 tad un tikai tad, ja četrkāršojot vienību skaitam pievienoto desmitnieku skaitu, dalās ar 6.
Piemēram, 768:6 jo 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)
Dalāmība ar 7:
1. zīme: skaitlis dalās ar 7 kad trīskāršot, vienību skaitam pievienoto desmitnieku skaits dalās ar 7.
Piemēram, numurs 154:7, jo 15 3 + 4 = 49 (49:7) tiek dalīts ar 7
2. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja skaitļu, kas veido trīs ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniniekiem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “-” dalās ar 7.
Piemēram, 138689257:7, jo ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Dalāmība ar 11:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 11, ja starpības modulis starp ciparu summu, kas ieņem nepāra pozīcijas, un to ciparu summu, kas ieņem pāra pozīcijas, dalās ar 11.
Piemēram, 9163627:11, jo ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
2. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 11.
Piemēram, 103785:11, jo 10+37+85=132 un 01+32=33 (33:11)
Dalāmība ar 13:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 13, ja desmitu skaitļu summa plus četras reizes vieninieki dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
2. zīme: Skaitlis dalās ar 13, ja starpība starp desmitiem un deviņas reizes vieninieku skaitu dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84-5 9=39 (39:13)
Pārbaude dalāmību ar 17: skaitlis dalās ar 17, ja starpības modulis starp desmitiem un piecreiz lielāku skaitu vieninieku dalās ar 17.
Piemēram, 221:17, jo ǀ22-5·1ǀ=17
Ar 19 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 19, ja desmitnieku skaits, kas pievienots divkāršam vienību skaitam, dalās ar 19.
Piemēram, 646:19, jo 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Testi dalīšanai ar 23:
1. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaitlis, kas pievienots, lai trīskāršotu skaitli, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 23.
Piemēram, 28842:23, jo 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
2. zīme: skaitlis dalās ar 23 kad desmitnieku skaits, kas pievienots septiņkāršajam vieninieku skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3 9+7 1=46 (46:23)
3. zīme: skaitlis dalās ar 23 kad simtu skaits, kas pievienots septiņkāršajam desmitnieku skaitam, un trīskāršais vienību skaits dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Pārbaude dalāmību ar 27: skaitlis dalās ar 27, ja skaitļu summa, kas veido trīs ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 27.
Piemēram, 2705427:27 jo 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Dalamības ar 29 pārbaude: Skaitlis dalās ar 29, ja desmitnieku skaits, kas pievienots trīskāršam vienību skaitam, dalās ar 29.
Piemēram, 261:29, jo 26+3·1=29 (29:29)
Dalamības ar 31 pārbaude: Skaitlis dalās ar 31, ja starpības modulis starp skaitļu desmitiem un trīskāršu vieninieku skaitu dalās ar 31.
Piemēram, 217:31, jo ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Testi dalīšanai ar 33: Ja summa, kas iegūta, dalot skaitli no labās puses uz kreiso divu ciparu grupās, dalās ar 33, tad skaitlis dalās ar 33.
Piemēram, 396:33, jo 96+3=99 (99:33)
Testi dalīšanai ar 37:
1. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja, sadalot skaitli trīs ciparu grupās (sākot ar vieniniekiem), šo grupu summa ir 37 daudzkārtņa.
Piemēram, numurs 100048:37, jo 100+048=148, (148:37)
2. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja modulis, kurā trīskāršojas simtu skaits, kas pievienots, lai četrkāršotu desmitnieku skaitu, mīnus vienību skaits, reizināts ar septiņi, tiek dalīts ar 37.
Piemēram, skaitlis ir 481:37, jo tas dalās ar 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37
Dalamības kritēriji ar 41:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 41, ja starpības modulis starp desmitiem un četrkārtīgu vienību skaitu dalās ar 41.
Piemēram, 369:41, jo ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
2. zīme: Lai pārbaudītu, vai skaitlis dalās ar 41, tas jāsadala no labās puses uz kreiso grupās pa 5 cipariem. Pēc tam katrā grupā reiziniet pirmo ciparu labajā pusē ar 1, reiziniet otro ciparu ar 10, trešo ar 18, ceturto ar 16, piekto ar 37 un pievienojiet visus iegūtos produktus. Ja rezultātsdalās ar 41, tad pats skaitlis dalīsies ar 41.
Dalamības ar 59 pārbaude: Skaitlis dalās ar 59, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 6, dalās ar 59.
Piemēram, 767:59, jo 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Pārbaude dalāmību ar 79: Skaitlis dalās ar 79, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 8, dalās ar 79.
Piemēram, 711:79, jo 71+8·1=79, (79:79)
Dalāmības pārbaude ar 99: Skaitlis dalās ar 99, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 99.
Piemēram, 12573:99, jo 1+25+73=99, (99:99)
Dalāmības pārbaude ar 101: skaitlis dalās ar 101, ja skaitļu, kas veido divu ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “–” dalās ar 101.
Piemēram
Lai noteiktu skaitļa dalāmību, tiek izmantoti citi dalāmības kritēriji
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 utt. Tie visi ir salikti skaitļi. Salikto skaitļu dalāmības kritēriji ir balstīti uz pirmskaitļu dalāmības kritērijiem, kuros var sadalīt jebkuru salikto skaitli.
Pārbaude dalāmību ar 6:
1. zīme: Skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās gan ar 2, gan ar 3, tas ir, ja tas ir pāra un tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 768:6, jo 7+6+8=21 (21:3) un skaitļa 768 pēdējais cipars ir pāra.
Dalāmības pārbaude ar 12: Skaitlis dalās ar 12, ja tas vienlaikus dalās ar 3 un 4.
Piemēram, 408:12, jo 4+0+8=12 (12:3) un pēdējie divi cipari dalās ar 4 (08:4)
Pārbaude dalāmību ar 14: Skaitlis dalās ar 14, ja tas dalās ar 2 un 7.
Piemēram, skaitlis 45612:14, jo tas dalās gan ar 2, gan ar 7, kas nozīmē, ka tas dalās ar 14.
Pārbaude dalāmību ar 15: Skaitlis dalās ar 15, ja tas dalās ar 3 un 5.
Piemēram, 1146795:15 jo Šis skaitlis dalās gan ar 3, gan ar 5.
Testi dalīšanai ar 27: Skaitlis dalās ar 27, ja tas dalās ar 3 un 9.
Piemēram, 511704:27 jo 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 un 18:9)
Ar 30 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 30, ja tas beidzas ar 0 un visu ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 510:30 jo 5+1+0=6 (6:3) un ciparā 510 (pēdējais cipars 0)
Ar 60 dalāmības pazīmes: Lai skaitlis dalītos ar 60, ir nepieciešams un pietiekami, ka tas dalās ar 4, 3 vai 5.
Piemēram, 1620:60 jo 1+6+2+0=9 (9:3), skaitlis 1620 beidzas ar 0, t.i. dalās ar 5 un 1620: 4, jo pēdējie divi cipari 20:4
Darbam ir praktisks pielietojums. To var izmantot skolēni un pieaugušie, risinot reālas situācijas; skolotājiem, gan vadot matemātikas stundas, gan izvēles kursos un papildu nodarbības atkārtošanai.
Šis pētījums studentiem noderēs, kad pašmācības gala un iestājeksāmeniem. Noderēs arī skolēniem, kuru mērķis ir augstas vietas pilsētu olimpiādēs.
Uzdevums Nr.1 . Vai ir iespējams, izmantojot tikai ciparus 3 un 4, rakstīt:
skaitlis, kas dalās ar 10;
pāra skaitlis;
skaitlis, kas reizināts ar 5;
nepāra skaitlis
Problēma Nr.2
Uzrakstiet kādu deviņu ciparu skaitli, kuram nav atkārtotu ciparu (visi cipari ir atšķirīgi) un dalās ar 1 bez atlikuma.
Uzrakstiet lielāko no šiem skaitļiem.
Uzrakstiet mazāko no šiem skaitļiem.
Atbilde: 987652413; 102347586
Problēma Nr.3
Atrodiet lielāko četrciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi un dalās ar 2, 5, 9, 11.
Atbilde: 8910
Problēma Nr.4
Olya nāca klajā ar vienkāršu trīsciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi. Ar kādu ciparu tas var beigties, ja tā pēdējais cipars ir vienāds ar pirmo divu summu. Sniedziet šādu skaitļu piemērus.
Atbilde: tikai par 7. Ir 4 skaitļi, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: 167, 257, 347, 527
Problēma Nr.5
Abās klasēs kopā mācās 70 skolēni. Vienā klasē uz stundām neieradās 7/17 skolēni, citā matemātikā teicamus vērtējumus saņēma 2/9. Cik skolēnu ir katrā klasē?
Risinājums: Pirmajā no šīm klasēm varētu būt: 17, 34, 51... - skaitļi, kas ir 17 reizinātāji. Otrajā klasē: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - skaitļi, kas ir reizinātāji. no 9. Mums ir jāizvēlas 1 skaitlis no pirmās virknes , un 2 ir skaitlis no otrās, lai tie kopā iegūtu 70. Turklāt šajās secībās tikai neliels terminu skaits var izteikt iespējamo bērnu skaitu klasē. Šis apsvērums ievērojami ierobežo iespēju izvēli. Vienīgais iespējamais variants bija pāris (34, 36).
Problēma Nr.6
9. klasē par pārbaude 1/7 skolēnu saņēma A, 1/3 - B, ½ - C. Pārējais darbs izrādījās neapmierinošs. Cik tādu darbu bija?
Risinājums: Uzdevuma risinājumam ir jābūt skaitlim, kas ir skaitļu reizināts: 7, 3, 2. Vispirms atradīsim mazāko no šiem skaitļiem. LCM (7, 3, 2) = 42. Varat izveidot izteiksmi atbilstoši uzdevuma nosacījumiem: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 neveiksmīgs. Matemātiskās attiecību problēmas pieņem, ka skolēnu skaits klasē ir 84, 126 utt. Cilvēks. Taču veselais saprāts liecina, ka vispieņemamākā atbilde ir skaitlis 42.
Atbilde: 1 darbs.
Secinājums:
Šī darba rezultātā es uzzināju, ka bez man zināmajām dalāmības ar 2, 3, 5, 9 un 10 zīmēm pastāv arī citas naturālu skaitļu dalāmības zīmes. Iegūtās zināšanas ievērojami paātrina daudzu problēmu risināšanu. Un es varu izmantot šīs zināšanas savā izglītojošas aktivitātes, gan matemātikas stundās, gan iekš ārpusklases pasākumi. Jāņem vērā arī tas, ka dažu dalāmības kritēriju formulējumi ir sarežģīti. Varbūt tāpēc viņus skolā nemāca. Nākotnē ceru turpināt darbu pie naturālo skaitļu dalāmības zīmju izpētes.
enciklopēdiskā vārdnīca jaunais matemātiķis. Savin A.P. Maskavas "Pedagoģija" 1989.
Matemātika. Papildmateriāli matemātikas stundām 5.-11.kl. Rjazanovskis A.R., Zaicevs E.A. Maskavas "Bustard" 2002.
Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Viļenkins N.Ya., Depmans I.Ja. M.: Izglītība, 1989.
Ārpusstundu darbs matemātikā 6.-8.klasē. Maskava. “Apgaismība” 1984 V. A. Gusevs, A. I. Orlovs, A. L. Rozentāls.
“1001 jautājums un atbilde. Lielā zināšanu grāmata" Maskava. "Grāmatu pasaule" 2004.
Izvēles kurss matemātikā. Nikolskaya I.L. - Maskava. Apgaismība 1991.
Olimpiādes uzdevumi matemātikā un to risināšanas metodes. Farkovs A.V. - Maskava. 2003. gads
Interneta resursi.
Skatīt prezentācijas saturu
"Naturālo skaitļu dalāmības zīmes"
Novadpētniecības konference skolēniem
Lakhdenpohas pašvaldības rajons “Solis nākotnē”
"Naturālo skaitļu dalāmības zīmes"
Pabeidza: Galkina Natālija
7. klases skolnieks
MKOU "Elisenvaara vidusskola"
Vadītājs: Vasiļjeva Larisa Vladimirovna
matemātikas skolotājs MKOU "Elisenvaarskaya" Vidusskola"
2014. gads
Pētījuma atbilstība : Dalāmības pazīmes vienmēr ir interesējušas dažādu laiku un tautu zinātniekus. Studējot matemātikas stundās tēmu “Ciparu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9, 10”, man radās interese par skaitļu dalāmību. Tika pieņemts, ka, ja ir iespējams noteikt skaitļu dalāmību ar šiem skaitļiem, tad ir jābūt zīmēm, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību ar citiem skaitļiem. Dažos gadījumos, lai noskaidrotu, vai kāds naturāls skaitlis ir dalāms a uz naturālu skaitli b bez atlikuma šos skaitļus nav nepieciešams dalīt. Pietiek zināt dažas dalāmības pazīmes. Hipotēze – ja ir naturālu skaitļu dalāmības zīmes ar 2, 3, 5, 9 un 10, tad ir citas zīmes, pēc kurām var noteikt naturālo skaitļu dalāmību. Pētījuma mērķis – papildināt jau zināmās naturālo skaitļu dalāmības zīmes kopumā, skolā apgūtās un sistematizēt šīs dalāmības zīmes. Lai sasniegtu šo mērķi, ir jāatrisina sekojošais uzdevumi:
- Patstāvīgi izpētīt skaitļu dalāmību.
- Izpētiet papildu literatūru, lai iepazītos ar citām dalāmības pazīmēm.
- Apvienojiet un apkopojiet dažādu avotu funkcijas.
- Izdariet secinājumu. Pētījuma objekts – naturālu skaitļu dalāmība. Studiju priekšmets – dalāmības pazīmes. Pētījuma metodes – materiālu vākšana, datu apstrāde, salīdzināšana, analīze, vispārināšana. Jaunums : Projekta laikā papildināju savas zināšanas par naturālo skaitļu dalāmības kritērijiem.
No matemātikas vēstures
Blēzs Paskāls (dzimis 1623. gadā) - viens no slavenākajiem cilvēkiem cilvēces vēsturē. Paskāls nomira, kad viņam bija 39 gadi, taču, neskatoties uz tik īsu mūžu, viņš iegāja vēsturē kā izcils matemātiķis, fiziķis, filozofs un rakstnieks. Viņa vārdā nosaukta spiediena mērvienība (paskāls) un mūsdienās ļoti populārā programmēšanas valoda. Blēzs Paskāls atrada kopīgu algoritms jebkura vesela skaitļa dalāmības pazīmju atrašanai ar jebkuru citu veselu skaitli.
Paskāla tests ir metode, kas ļauj iegūt testus dalīšanai ar jebkuru skaitli. Sava veida “universāla dalāmības zīme”.
Paskāla dalāmības tests: Naturāls skaitlis a tiks dalīts ar citu naturālu skaitli b tikai tad, ja skaitļa a ciparu reizinājumu summa ar atbilstošajiem atlikumiem, kas iegūta, dalot ciparu vienības ar skaitli b, dalās ar šo skaitli.
Piemēram : skaitlis 2814 dalās ar 7, jo 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 dalās ar 7. (Šeit 6 ir 1000 dalījuma ar 7 atlikums, 2 ir atlikums, dalot 100 ar 7 un 3 ir atlikums no 10 dalīšanas ar 7).
Pamatjēdzieni
Atcerēsimies dažus matemātiskus jēdzienus, kas mums būs nepieciešami, pētot šo tēmu:
- Dalāmības pārbaude ir noteikums, pēc kura, neveicot dalīšanu, var noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu.
- Dalītājs dabiskais skaitlis A zvaniet uz naturālo numuru b , uz kuru A sadalīts bez atlikuma.
- Vienkārši sauc par naturāliem skaitļiem, kuriem nav citu dabisku atšķirīgu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
- Kompozīts ir skaitļi, kuriem ir citi dabiskie dalītāji, nevis 1 un paši.
Dalāmības pazīmes
Visas šajā darbā aplūkotās naturālo skaitļu dalāmības pazīmes var iedalīt 4 grupās:
es
- es . Skaitļu dalāmību nosaka pēdējais cipars(-i)
Pirmā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupa, kuru es aplūkoju, ietver dalāmības zīmes ar 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 un ciparu vienības 10, 100 utt.
- Pārbaudi dalāmību ar 2 : skaitlis dalās ar 2, ja šī skaitļa pēdējais cipars dalās ar 2 (t.i., pēdējais cipars ir pāra skaitlis).
Piemēram : 3221786 4 : 2
- Pārbaudiet dalāmību ar 4 : skaitlis dalās ar 4, ja tā pēdējie divi cipari ir nulles vai ja divciparu skaitlis, ko veido tā pēdējie divi cipari, dalās ar 4.
Piemēram: 353 24 : 4; 66 00 : 4
- Dalāmības pārbaude ar 5 : skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir 5 vai 0.
Piemēram: 3678 0 : 5 vai 12326 5 : 5
- Pārbaude dalāmību ar 8: Skaitlis dalās ar 8, ja trīsciparu skaitlis, kas izveidots no šī skaitļa pēdējiem trim cipariem, dalās ar 8.
Piemēram: 432 240 : 8
- Pārbaude dalāmību ar 20: skaitlis dalās ar 20, ja skaitli veido divi Pēdējais skaitļi, kas dalās ar 20. (Cits formulējums: skaitlis dalās līdz 20, kad skaitļa pēdējais cipars ir 0, bet no otra līdz pēdējam cipars ir pāra cipars).
Piemēram: 596 40 : 20
- Pārbaude dalāmību ar 25: Skaitļi, kuru pēdējie divi cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 25, dalās ar 25.
Piemēram: 6679 75 : 25 vai 77689 00 : 25
- Pārbaude dalāmību ar 50: Skaitlis dalās ar 50, ja skaitlis, ko veido tā divi mazākie cipari aiz komata, dalās ar 50.
Piemēram : 5643 50 : 50 vai 5543 00 : 50
- Dalāmības pārbaude ar 125: Skaitlis dalās ar 125, ja tā pēdējie trīs cipari ir nulles vai veido skaitli, kas dalās ar 125.
Piemēram: 32157 000 : 125 vai 3216 250 : 125
- Dalāmības zīmes ar ciparu vienību 10, 100, 1000 utt.: Tos naturālos skaitļus, kuru nullju skaits ir lielāks vai vienāds ar ciparu vienības nulles skaitu, sadala ciparu vienībā.
Piemēram, 12 000 dalās ar 10, 100 un 1000
II
- II . Skaitļu dalāmību nosaka skaitļa ciparu summa
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar 3, 9, 11, kuras es apsvēru.
- Pārbaude dalāmību ar 3: Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
- Pārbaude dalāmību ar 9: Skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemēram: 653022: 9 jo 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
- Pārbaude dalāmību ar 11: Šie skaitļi dalās ar 11, ja nepāra vietās esošo ciparu summa ir vienāda ar ciparu summu pāra vietās vai atšķiras no tās ar skaitļa 11 reizinājumu.
Piemēram: 865948732:11, jo 8+5+4+7+2=26 un 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 jo 8+5+4+7+2=26 un 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
III . Skaitļu dalāmība tiek noteikta pēc dažu darbību veikšanas
virs šī numura cipariem
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101
Pārbaude dalāmību ar 6:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 6, ja rezultāts, atņemot divkāršu simtnieku skaitu no skaitļa pēc simtiem, dalās ar 6.
Piemēram: 138: 6, jo 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 jo 44 — 7,2 = 30, (30:6)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 6 tad un tikai tad, ja četrkāršais desmitnieku skaits, kas pievienots vieninieku skaitam, dalās ar 6.
Piemēram: 768:6, jo 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)
Dalāmība ar 7:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja trīskāršais desmitnieku skaits, kas pievienots vieninieku skaitam, dalās ar 7.
Piemēram: skaitlis 154:7, jo 15 3 + 4 = 49 (49:7) tiek dalīts ar 7
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 7, ja to skaitļu algebriskās summas modulis, kas veido trīs ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniniekiem), ņemtas ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “-” dalās ar 7.
Piemēram, 138689257:7, jo ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Dalāmība ar 11:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja starpības modulis starp nepāra pozīcijām esošo ciparu summu un pāra pozīcijās esošo ciparu summu dalās ar 11.
Piemēram, 9163627:11, jo ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 11, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 11.
Piemēram, 103785:11, jo 10+37+85=132 un 01+32=33 (33:11)
Dalāmība ar 13:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 13, ja desmitnieku un vieninieku četrkāršā summa dalās ar 13
Piemēram, 845:13, jo 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 13, ja starpība starp desmitiem un deviņas reizes vieninieku dalās ar 13.
Piemēram, 845:13, jo 84-5 9=39 (39:13)
Pārbaude dalāmību ar 17: skaitlis dalās ar 17, ja starpības modulis starp desmitiem un piecreiz lielāku skaitu vieninieku dalās ar 17.
Piemēram, 221:17, jo ǀ22-5·1ǀ=17
Ar 19 dalāmības pazīmes: skaitlis dalās ar 19, ja skaitlis ir desmiti, ar nepatiess ar divkāršs vienību skaits, kas dalās ar 19.
Piemēram, 646:19, jo 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Testi dalīšanai ar 23:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaits, kas pievienots, lai trīskāršotu skaitli, ko veido pēdējie divi cipari, dalās ar 23.
Piemēram, 28842:23, jo 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja desmitnieku skaits, kas pievienots septiņkāršam vienību skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 39+7·1=46 (46:23)
- 3. zīme: skaitlis dalās ar 23, ja simtu skaits tiek pievienots septiņkāršam desmitu skaitam un trīskāršots vienību skaitam, dalās ar 23.
Piemēram, 391:23, jo 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Pārbaude dalāmību ar 27: skaitlis dalās ar 27, ja skaitļu summa, kas veido trīs ciparu grupas (sākot ar vieniniekiem), dalās ar 27.
Piemēram, 2705427:27, jo 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Dalamības ar 29 pārbaude: skaitlis dalās ar 29, ja desmitnieku skaits, kas pievienots trīskāršam vieninieku skaitam, dalās ar 29
Piemēram, 261:29, jo 26+3·1=29 (29:29)
Dalamības ar 31 pārbaude: skaitlis dalās ar 31, ja skaitļa desmitnieku starpības modulis un trīskāršu vienību skaitu dala ar 31.
Piemēram, 217:31, jo ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Testi dalīšanai ar 33: Ja summa, kas iegūta, dalot skaitli no labās puses uz kreiso divu ciparu grupās, dalās ar 33, tad skaitlis dalās ar 33.
Piemēram, 396:33, jo 96+3=99 (99:33)
Testi dalīšanai ar 37:
- 1. zīme : skaitlis dalās ar 37, ja, sadalot skaitli trīs ciparu grupās (sākot ar vieniniekiem), šo grupu summa ir 37 daudzkārtņa.
Piemēram , numurs 100048:37, jo 100+048=148, (148:37)
- 2. zīme: skaitlis dalās ar 37, ja simtu trīskāršā skaitļa modulis, ko pieskaita, lai četrkāršot desmitnieku skaitu, atskaitot vienību skaitu, kas reizināts ar septiņiem, dalās ar 37.
Piemēram, skaitlis 481:37, jo ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 dalās ar 37
Dalamības kritēriji ar 41:
- 1. zīme: skaitlis dalās ar 41, ja starpības modulis starp desmitnieku skaitu un četrkārtīgu vieninieku skaitu dalās ar 41.
Piemēram, 369:41, jo ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
- 2. zīme: lai pārbaudītu, vai skaitlis dalās ar 41, tas jāsadala no labās puses uz kreiso grupās pa 5 cipariem katrā. Pēc tam katrā grupā reiziniet pirmo ciparu labajā pusē ar 1, reiziniet otro ciparu ar 10, trešo ar 18, ceturto ar 16, piekto ar 37 un pievienojiet visus iegūtos produktus. Ja rezultāts dalās ar 41, tad pats skaitlis dalās ar 41.
Dalamības ar 59 pārbaude: Skaitlis dalās ar 59, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 6, dalās ar 59.
Piemēram, 767:59, jo 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Pārbaude dalāmību ar 79: Skaitlis dalās ar 79, ja desmitnieku skaits, kas pieskaitīts vieninieku skaitam, kas reizināts ar 8, dalās ar 79.
Piemēram, 711:79, jo 71+8·1=79, (79:79)
Dalāmības pārbaude ar 99: Skaitlis dalās ar 99, ja skaitļu summa, kas veido divu ciparu grupas (sākot ar vieniem), dalās ar 99.
Piemēram, 12573:99, jo 1+25+73=99, (99:99)
Dalāmības pārbaude ar 101: skaitlis dalās ar 101, ja skaitļu, kas veido divu ciparu nepāra grupas (sākot ar vieniem), algebriskās summas modulis, kas ņemts ar zīmi “+”, un pāra skaitļiem ar zīmi “–” dalās ar 101.
Piemēram, 590547:101, jo ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)
IV . Lai noteiktu skaitļa dalāmību, tiek izmantoti citi dalāmības kritēriji
Šajā naturālo skaitļu dalāmības zīmju grupā ietilpst dalāmības zīmes ar: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 utt. Tie visi ir salikti skaitļi. Salikto skaitļu dalāmības kritēriji ir balstīti uz pirmskaitļu dalāmības kritērijiem, kuros var sadalīt jebkuru salikto skaitli.
Pārbaude dalāmību ar 6: Skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās gan ar 2, gan ar 3, tas ir, ja tas ir pāra un tā ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 768:6, jo 7+6+8=21 (21:3) un skaitļa 768 pēdējais cipars ir pāra.
Dalāmības pārbaude ar 12 : Skaitlis dalās ar 12, ja tas vienlaikus dalās ar 3 un 4.
Piemēram, 408:12, jo 4+0+8=12 (12:3) un pēdējie divi cipari dalās ar 4 (08:4)
Pārbaude dalāmību ar 14: Skaitlis dalās ar 14, ja tas dalās ar 2 un 7.
Piemēram, skaitlis 45612:14, jo tas dalās gan ar 2, gan ar 7, kas nozīmē, ka tas dalās ar 14
Pārbaude dalāmību ar 15: Skaitlis dalās ar 15, ja tas dalās ar 3 un 5.
Piemēram, 1146795:15, jo šis skaitlis dalās gan ar 3, gan ar 5
Testi dalīšanai ar 27: Skaitlis dalās ar 27, ja tas dalās ar 3 un 9. Piemēram, 511704:27, jo 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 un 18:9)
Ar 30 dalāmības pazīmes: Skaitlis dalās ar 30, ja tas beidzas ar 0 un visu ciparu summa dalās ar 3.
Piemēram, 510:30, jo 5+1+0=6 (6:3) un ciparā 510 (pēdējais cipars 0)
Ar 60 dalāmības pazīmes: Lai skaitlis dalītos ar 60, ir nepieciešams un pietiekami, ka tas dalās ar 4, 3 vai 5.
Piemēram, 1620:60, jo 1+6+2+0=9 (9:3), skaitlis 1620 beidzas ar 0, t.i. dalās ar 5 un 1620: 4, jo pēdējie divi cipari 20:4
Dalāmības kritēriju piemērošana praksē
Darbam ir praktisks pielietojums. To var izmantot skolēni un pieaugušie, risinot reālas situācijas; skolotājiem gan matemātikas stundās, gan izvēles kursos un papildu revīzijas stundās.
Šis pētījums noderēs studentiem patstāvīgi gatavojoties gala un iestājeksāmeniem. Noderēs arī skolēniem, kuru mērķis ir augstas vietas pilsētu olimpiādēs.
Uzdevums Nr.1 . Vai ir iespējams, izmantojot tikai ciparus 3 un 4, rakstīt:
- skaitlis, kas dalās ar 10;
- pāra skaitlis;
- skaitlis, kas reizināts ar 5;
- nepāra skaitlis
Problēma Nr.3 : atrodiet lielāko četrciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi un kas dalās ar 2, 5, 9, 11.
Atbilde: 8910
4. uzdevums: Olya nāca klajā ar vienkāršu trīsciparu skaitli, kura visi cipari ir atšķirīgi. Ar kādu ciparu tas var beigties, ja tā pēdējais cipars ir vienāds ar pirmo divu summu. Sniedziet šādu skaitļu piemērus.
Atbilde: tikai par 7. Ir 4 skaitļi, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: 167, 257, 347, 527
Problēma Nr.5 : Divās klasēs kopā mācās 70 skolēni. Vienā klasē uz stundām neieradās 7/17 skolēni, citā matemātikā teicamus vērtējumus saņēma 2/9. Cik skolēnu ir katrā klasē?
Risinājums: Pirmajā no šīm klasēm varētu būt: 17, 34, 51... - skaitļi, kas ir 17 reizinātāji. Otrajā klasē: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - skaitļi, kas ir reizinātāji. no 9. Mums ir jāizvēlas 1 skaitlis no pirmās virknes , un 2 ir skaitlis no otrās, lai tie kopā iegūtu 70. Turklāt šajās secībās tikai neliels terminu skaits var izteikt iespējamo bērnu skaitu klasē. Šis apsvērums ievērojami ierobežo iespēju izvēli. Vienīgais iespējamais variants bija pāris (34, 36).
Problēma Nr.6 : 9. klasē 1/7 skolēni par ieskaiti saņēma A, 1/3 saņēma četrinieki, ½ - trīs. Pārējais darbs izrādījās neapmierinošs. Cik tādu darbu bija?
Risinājums: Problēmas risinājumam ir jābūt skaitlim, kas ir skaitļu reizināts: 7, 3, 2. Vispirms atradīsim mazākais no šiem skaitļiem. LCM (7, 3, 2) = 42. Varat izveidot izteiksmi atbilstoši uzdevuma nosacījumiem: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 neveiksmīgs. Matemātiskās attiecību problēmas pieņem, ka skaitlis skolēni 84., 126. klasē utt. Cilvēks. Bet veselā saprāta dēļ No tā izriet, ka vispieņemamākā atbilde ir skaitlis 42.
Atbilde: 1 darbs.
Secinājums:
Šī darba rezultātā es uzzināju, ka bez man zināmajām dalāmības ar 2, 3, 5, 9 un 10 zīmēm pastāv arī citas naturālu skaitļu dalāmības zīmes. Iegūtās zināšanas ievērojami paātrina daudzu problēmu risināšanu. Un šīs zināšanas varēšu izmantot savās izglītojošajās aktivitātēs gan matemātikas stundās, gan ārpusstundu nodarbībās. Jāņem vērā arī tas, ka dažu dalāmības kritēriju formulējumi ir sarežģīti. Varbūt tāpēc viņus skolā nemāca. Nākotnē ceru turpināt darbu pie naturālo skaitļu dalāmības zīmju izpētes.
- Jauna matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca. Savin A.P. Maskavas "Pedagoģija" 1989.
- Matemātika. Papildmateriāli matemātikas stundām 5.-11.kl. Rjazanovskis A.R., Zaicevs E.A. Maskavas "Bustard" 2002.
- Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Viļenkins N.Ya., Depmans I.Ja. M.: Izglītība, 1989.
- Ārpusstundu darbs matemātikā 6.-8.klasē. Maskava. “Apgaismība” 1984 V. A. Gusevs, A. I. Orlovs, A. L. Rozentāls.
- “1001 jautājums un atbilde. Lielā zināšanu grāmata" Maskava. "Grāmatu pasaule" 2004.
- Izvēles kurss matemātikā. Nikolskaya I.L. - Maskava. Apgaismība 1991.
- Olimpiādes uzdevumi matemātikā un to risināšanas metodes. Farkovs A.V. - Maskava. 2003. gads
- Interneta resursi.
Veseli skaitļi
Dabisku skaitļu kopa, ko izmanto skaitīšanai vai pārsūtīšanai.
Formāli naturālo skaitļu kopu var definēt, izmantojot Peano aksiomu sistēmu.
ARPeano aksiomu sistēma
1. Vienība 
- naturāls skaitlis, kas neseko nevienam skaitlim.
2. Jebkuram naturālam skaitlim 
pastāv vienskaitlis 
kas tūlīt seko .
3. Katrs naturāls skaitlis 
uzreiz seko tikai viens cipars.
4. Ja daži noteikti 
satur un kopā ar katru naturālo skaitli satur skaitli tieši aiz tā tad 
(indukcijas aksioma).
Operācijas komplektā
Reizināšana
|
Atņemšana :
Atņemšanas īpašības: Ja 
Tas
Ja 
Tas
Naturālo skaitļu dalāmība
Divīzija
:
dalīts ar 
tāds, ka 
Īpašībasoperācijas:
1. Ja 
tiek sadalīti 
Tas 
dalīts ar 
2. Ja 
Un 
tiek sadalīti 
Tas 
dalīts ar 
3. Ja 
Un 
ir dalāmi ar, kas dalās ar
4. Ja dalās ar to 
dalīts ar
5. Ja 
dalās ar a 
nav sadalīti šajā un tajā 
nav dalāms ar
6. Ja vai 
dalīts ar to 
dalīts ar
7. Ja dalās ar 
tad tas tiek dalīts ar 
un tiek dalīts ar
Teorēmapar dalīšanu ar atlikumu Jebkuriem naturāliem skaitļiem 
ir tikai pozitīvi skaitļi 
tāds, ka 
un 
Pierādījums. Ļaujiet 
Apsveriet šādu algoritmu:
| Ja Ja Mēs turpinām atņemšanas procesu, līdz atlikums ir mazāks par skaitli Ir numurs |
| Saskaitīsim visas šī algoritma rindas un iegūstam vajadzīgo izteiksmi, kur
|
tad veiksim vēl vienu atņemšanu
tāds, ka 
Attēlojuma unikalitāti pierādīsim ar pretrunu.
Pieņemsim, ka ir divi attēlojumi
Un 
Atņemiet vienu izteiksmi no otras un 
Pēdējā veselo skaitļu vienādība ir iespējama tikai gadījumā kopš 
plkst 
□
Secinājums 1. Jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā: 
vai vai
Secinājums 2. Ja 
secīgi naturāli skaitļi, tad viens no tiem dalās ar 
Secinājums 3. Ja 
divus secīgus pāra skaitļus, tad viens no tiem dalās ar 
Definīcija.
Dabiskais skaitlis 
tiek saukts par pirmskaitli, ja tam nav citu dalītāju, izņemot vienu un sevi.
Sekas4.
Katram pirmskaitļam ir forma 
vai 
Patiešām, formā var attēlot jebkuru skaitli, taču visi šīs sērijas skaitļi, izņemot 
noteikti ir saliktas. □
Sekas5
. Ja 
tad pirmskaitlis 
dalīts ar 
Tiešām, 
trīs secīgi naturāli skaitļi un 
pat, un 
nepāra pirmskaitlis. Tāpēc viens no pāra skaitļiem 
Un 
dalās ar 4, un viens arī dalās ar 
□
2. piemērs . Patiesi ir šādi apgalvojumi:
1. Nepāra skaitļa kvadrāts, dalīts ar 8, dod atlikumu 
2. Nevienam naturālam skaitlim n skaitlis n 2 +1 nedalās ar 3.
3. Izmantojot tikai skaitļus 2, 3, 7, 8 (iespējams, vairākas reizes), naturālu skaitli nav iespējams izlikt kvadrātā.
Pierādījums1.
Jebkuru nepāra skaitli var attēlot kā 
vai 
Salīdzināsim katru no šiem skaitļiem kvadrātā un iegūstam vajadzīgo apgalvojumu.
2. pierādījums. Katru naturālo skaitli var attēlot kā 
Tad izteiksme 
būs vienāds ar kādu no izteiksmēm 
kuras nav sadalītas 
Pierādījums3. Patiešām, dabiska skaitļa kvadrāta pēdējais cipars nevar beigties ne ar vienu no šiem cipariem.
Dalāmības pazīmes
Definīcija. Dabiska skaitļa decimālā atveide ir skaitļa attēlojums formā
Īsraksts apzīmējums 
Dalāmības pazīmes
Apstiprināts 6Ļaujiet 
skaitļa decimālais attēlojums Pēc tam:
1. Skaitlis dalās ar 
kad numurs 
- pat;
2. Skaitlis dalās ar 
ja skaitlis ir divi cipari 
dalīts ar 
3. Skaitlis dalās ar 
Kad 
vai 
4. Skaitlis dalās ar 
Kad 
5. Skaitlis dalās ar 
ja skaitlis ir divi cipari 
- dalīts ar 
6. Skaitlis dalās ar 
7. Skaitlis dalās ar 
kad skaitļa ciparu summu dala ar 
8. Skaitlis dalās ar 
kad skaitļa ar mainīgām zīmēm ciparu summu dala ar 
Pierādījums. 1)-5) zīmju pierādījums ir viegli iegūstams no decimālzīme skaitļi Pierādīsim 6) un 7). Tiešām,
No tā izriet, ka, ja dalāms (vai 
tad arī skaitļa ciparu summa dalās ar 
Pierādīsim 11). Ļaujiet tam dalīties ar Ļaujiet mums attēlot skaitli formā
Tā kā visas pievienotās summas dalās ar 
tad arī summa tiek dalīta ar □
3. piemērs
.
Atrodiet visus veidlapas piecciparu skaitļus 
, kas dalās ar 45.
Pierādījums.
Tāpēc skaitlis dalās ar 5, un tā pēdējais cipars ir 0 vai 5, t.i. 
vai 
Sākotnējais skaitlis arī dalās ar 9, tātad dalās ar 9, t.i. 
vai dalās ar 9, t.i. 
Atbilde:
Dalāmības pārbaude ieslēgts 
Un 
Apstiprināts 7 Lai skaitļa decimālais attēlojums Skaitlis Skaitlis dalās ar 
ja starpību starp skaitli bez pēdējiem trim cipariem un skaitli, kas sastāv no pēdējiem trim cipariem, dala ar 
Pierādījums. Atveidosim to formā Kopš skaitļa 
dalīts ar un 
Tas 
dalās ar un □
Piemērs
4
.
Ļaujiet 
Tad 
dalās ar un līdz ar to arī skaitli 
dalīts ar 
Ļaujiet 
Tad 
dalās ar Tad skaitli 
dalīts ar
pirmskaitļi
Eratostena siets
(Vienkāršs algoritms visu pirmskaitļu iegūšanai)
Algoritms. Mēs pierakstām visus skaitļus no 1 līdz 100 un vispirms izsvītrojam visus pāra skaitļus. Tad no atlikušajiem mēs izsvītrojam tos, kas dalās ar 3, 5, 7 utt. Rezultātā paliks tikai pirmskaitļi.
Eiklida teorēma. Pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.
Pierādījums"pretrunīgi." Lai pirmskaitļu skaits ir ierobežots - 
Apsveriet skaitli 
Jautājums: numurs 
- vienkāršs vai salikts?
Ja ir salikts skaitlis, tad tas dalās ar kādu pirmskaitli 
un tāpēc viens tiek dalīts ar šo pirmskaitli. Pretruna.
Ja ir pirmskaitlis, tad tas ir lielāks par jebkuru pirmskaitli 
un mēs izrakstījām un numurējām visus pirmskaitļus. Atkal pretruna. □
Apstiprināts 8 Ja skaitlis ir salikts, tad tam ir tāds galvenais dalītājs 
Pierādījums. If ir saliktā skaitļa mazākais pirmdalītājs 
Tas 
Sekas. Lai noteiktu, vai skaitlis ir pirmskaitļi, jums ir jānosaka, vai tam ir pirmskaitļi 
Piemērs
5
. Ļaujiet 
Lai pārbaudītu, vai numurs ir 
vienkārši, jums jāpārbauda, vai tas dalās ar pirmskaitļiem. Atbilde: skaitlis 
vienkārši.
Pirmskaitļu ģeneratori
Hipotēze: Visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
- tie ir pirmskaitļi 
Priekš 
Manuāli un ar datora palīdzību ir pierādīts, ka visi skaitļi ir salikti.
Piemēram, (Euler)
Hipotēze: Visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
tā ir taisnība, eh 
dalās ar 17.
Hipotēze: visi veidlapas numuri 
vienkārši.
Plkst 
tā ir taisnība, eh 
Hipotēze: Visi formas skaitļi ir pirmskaitļi. Plkst 
tā ir taisnība, eh 
Teorēma.(Fermata faktoringa metode) Nepāra vesels skaitlis nav primārais skaitlis 
ir tādi naturāli skaitļi, ka 
Pierādījums.
□
Piemērs
6
.
Faktoru skaitļi pirmfaktoros 
Piemērs
7
.
Koeficients skaitlis 
Šis skaitlis dalās ar 3 
Turklāt atkarībā no faktoru atlases metodes 
Piemērs
8
. Pie kādiem veseliem skaitļiem ir skaitlis 
vienkārši?
Ņemiet vērā, ka kopš 
vienkārši, tad nu 
vai 
Atbilde: 
Apstiprināts 10 Vai naturālam skaitlim ir nepāra skaits dalītāju, ja tas ir ideāls kvadrāts?
Pierādījums. Ja 
skaitļa dalītājs 
tad ir divi dažādi dalītāju pāri 
Un 
un tad, kad 
abi pāri būs vienādi.
Piemērs 9 . Skaitļiem ir tieši 99 dalītāji. Vai skaitlim var būt tieši 100 dalītāji?
Atbilde: nē. Derīgs ar iepriekšējo īpašumu un - ideāli kvadrāti, bet viņu darbs nav.
Piemērs
10
.
Skaitļi 
vienkārši. Atrast 
Risinājums. Jebkuru skaitli var attēlot kā 
Ja 
tad jūs iegūstat trīs pirmskaitļus 
atbilst problēmas nosacījumiem. Ja 
Tas 
salikts. Ja 
tas numurs 
dalīts ar 
un ja 
tas numurs 
dalās ar Tādējādi visos aplūkotajos variantos nevar iegūt trīs pirmskaitļus. Atbilde: 
Definīcija.
Numurs 
sauc par lielāko kopējo skaitļu dalītāju un, ja tas dala un un ir lielākais no šādiem skaitļiem.
Apzīmējums: 
Definīcija
.
Tiek uzskatīts, ka skaitļi un ir relatīvi pirmskaitļi, ja 
1. piemērs
2
.
Atrisiniet vienādojumu naturālajos skaitļos 
Risinājums.Ļaujiet 
Tāpēc vienādojums izskatās šādi: Atbilde: nav risinājumu.
PARaritmētikas pamatteorēma
Teorēma. Jebkurš naturāls skaitlis, kas ir lielāks par, ir vai nu pirmskaitlis, vai to var uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu, un šis reizinājums ir unikāls līdz faktoru secībai.
Secinājums 1.Ļaujiet 
Tad 
ir vienāds ar visu kopējo primāro faktoru reizinājumu ar mazākajām pakāpēm.
Secinājums 2.Ļaujiet 
Tad 
ir vienāds ar visu dažādo primāro faktoru reizinājumu ar vislielāko jaudu. dalīts ar
10. Atrast pēdējais cipars numuri 7 2011 + 9 2011.
11. Atrodiet visus naturālos skaitļus, kas palielinās par 9 reizēm, ja starp mērvienību ciparu un desmitnieku ievietota nulle.
12. Kādam divciparu skaitlim tika pievienots viens pa kreisi un pa labi. Rezultāts bija 23 reizes lielāks nekā oriģināls. Atrodiet šo numuru.
Jautājumus par teoriju vai vingrinājumiem var uzdot Valērijam Petrovičam Čuvakovam
chv @ uriit . ru
papildu literatūra
1. Vilenkin N.Ya. un citi.Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Aritmētika. Algebra. –M.: Izglītība, 2008.
2. Sevrjukovs P.F. Sagatavošanās olimpiādes uzdevumu risināšanai matemātikā. –M.: Ilexa, 2009. gads.
3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldži A.K. Kā viņi izlemj nestandarta uzdevumi. – M. MCNMO, 2009.
4. Agahanovs N.A., Podlipskis O.K. Maskavas apgabala matemātikas olimpiādes. –M.: Fizmatkniga, 2006
5. Gorbačovs Ņ.V. Olimpiādes uzdevumu krājums, –M.:MCNMO, 2004.g
LekcijaLekciju konspekti kursam “Ciparu teorija”
LekcijaSekojošās teorijas sadaļas cipariem: teorija dalāmība, vienkāršs un salikts... Teorēma. Pieņemsim x>0, xR, dN. Daudzums dabiskscipariem, d daudzkārtni un nepārsniedz x, ir vienāds ar... Lekcija 12 13 Lekcija 13 15 Literatūra. 17 Abstraktslekcijas kursā "Teorijas" cipari" ...
Lekciju piezīmes par ulturoloģiju
AbstraktsPavļučenkovs Abstraktslekcijas kultūras studijās... nevienmērīgi un pastāvēja iekšā dabisks saimniecības. Tas ir polisā... bezgalīgo mazo pētniecībā cipariem lielā mērā ir pabeiguši radīšanu... kamēr materiāls dalāms līdz bezgalībai. Garīgais...
D A Shadrin Logic lekciju piezīmes
AbstraktsPārstāv abstraktslekcijas disciplīnā "Loģika". Abstraktslekcijas apkopots... šī ir definīcija dabiskscipariem. Tātad, ja 1 - dabisks numurs un n - dabisks numurs, tad 1 ... izsmeļ visu apjomu dalāms jēdzieni, tātad...
