Parabola ir bezgalīga līkne, kas sastāv no punktiem, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktas līnijas, ko sauc par parabolas virzienu, un dotā punkta, parabolas fokusa. Parabola ir konusa griezums, tas ir, tas attēlo plaknes un apļveida konusa krustpunktu.
IN vispārējs skats parabolas matemātiskajam vienādojumam ir šāda forma: y=ax^2+bx+c, kur a nav vienāds ar nulli, b atspoguļo funkcijas grafika horizontālo nobīdi attiecībā pret izcelsmi, un c ir funkcijas grafika vertikālā nobīde. funkciju grafiks attiecībā pret izcelsmi. Turklāt, ja a>0, tad, veidojot grafiku, tie tiks vērsti uz augšu, un, ja parabolas īpašības
Parabola ir otrās kārtas līkne, kurai ir simetrijas ass, kas iet caur parabolas fokusu un ir perpendikulāra parabolas virzienam.
Parabolai ir īpaša optiskā īpašība, kas sastāv no gaismas staru fokusēšanas paralēli tās simetrijas asij, kas vērsti uz parabolu parabolas virsotnē, un defokusējot gaismas staru, kas vērsts uz parabolas virsotni, paralēlos gaismas staros attiecībā pret viena un tā pati ass.
Ja jūs atspoguļojat parabolu attiecībā pret jebkuru tangensu, tad parabolas attēls parādīsies uz tās virziena. Visas parabolas ir līdzīgas viena otrai, tas ir, katriem diviem vienas parabolas punktiem A un B ir punkti A1 un B1, kuriem apgalvojums |A1,B1| = |A,B|*k, kur k ir līdzības koeficients, kas skaitliskā vērtībā vienmēr ir lielāks par nulli.
Parabolas izpausme dzīvē
Daži kosmiskie ķermeņi, piemēram, komētas vai asteroīdi, kas virzās blakus lieliem kosmosa objektiem liels ātrums ir trajektorija parabolas formā. Šo mazo kosmisko ķermeņu īpašību izmanto kosmosa kuģu gravitācijas manevros.
Lai apmācītu topošos kosmonautus, uz zemes pa parabolisku trajektoriju tiek veikti īpaši lidmašīnu lidojumi, tādējādi panākot bezsvara efektu zemes gravitācijas laukā.
Ikdienā parabolas var atrast dažādos apgaismes ķermeņos. Tas ir saistīts ar parabolas optisko īpašību. Viens no jaunākajiem parabolas izmantošanas veidiem, pamatojoties uz tā gaismas staru fokusēšanas un defokusēšanas īpašībām, ir saules paneļi, kas arvien vairāk tiek iekļauti energoapgādes sektorā Krievijas dienvidu reģionos.
Formas kur funkcija tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.
Kvadrātfunkcijas grafiks - parabola.
Apskatīsim gadījumus:
I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA
Tas ir , ,
Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:
Atzīmē punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (in šajā gadījumā solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemsim, jo vienmērīgāka būs līkne), mēs iegūstam parabolu:
Ir viegli saprast, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, mēs iegūstam parabolu, kas ir simetriska pret asi (oh). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:
II GADĪJUMS, “a” ATŠĶIRAS NO VIENĪBAS
Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Pirmajā attēlā (skatīt augstāk) ir skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi mēs domājam arī 2. un 3. attēla gadījumā.
Un kad parabola “kļūst platāka” par parabolu:
Apkoposim:
1)Koeficienta zīme nosaka zaru virzienu. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos” un “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola; jo mazāka |a|, jo platāka parabola.
III GADĪJUMS, PARĀDĀS “C”.
Tagad ievadīsim spēli (tas ir, apsvērsim gadījumu, kad), mēs apsvērsim formas parabolas. Nav grūti uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola virzīsies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:
IV LIETAS, PARĀDĀS “b”.
Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstās būt vienāds?
Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .
Tātad šajā brīdī (kā punktā (0;0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, ko jau varam izdarīt. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.
Piemēram, parabolas virsotne:
Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas parauga, jo mūsu gadījumā.
Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordināšu atrašanas ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:
1) parabola noteikti izies cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas ar asi (oy) krustošanās punkta ordināta ir . Mūsu piemērā (iepriekš), parabola šķērso ordinātu punktā , jo .
2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs nekavējoties ņemam punktu (0; -2) un izveidojam to simetriski attiecībā pret parabolas simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.
3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (oh). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mūsu diskriminanta sakne nav vesels skaitlis; konstruējot, mums nav lielas jēgas atrast saknes, taču mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar asi (oh) (kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Tātad izdomāsim
Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā
1) noteikt zaru virzienu (a>0 – uz augšu, a<0 – вниз)
2) mēs atrodam parabolas virsotnes koordinātas, izmantojot formulu , .
3) atrodam parabolas krustpunktu ar asi (oy), izmantojot brīvo terminu, konstruējam punktu, kas ir simetrisks šim punktam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka gadās, ka atzīmēt ir neizdevīgi šis punkts, piemēram, jo vērtība ir liela... mēs izlaižam šo punktu...)
4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) konstruējam parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu
1. piemērs
2. piemērs
1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to konstruēt būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?
Ņemsim kvadrātveida trinomu un izolēsim tajā visu kvadrātu: Skaties, mēs sapratām, ka , . Mēs ar jums iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.
Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (attiecībā pret ). Tas ir, mēs veicam 1. punktu; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).
2. piezīme. Ja parabolu uzrāda līdzīgā formā (tas ir, uzrāda kā divu lineāru faktoru reizinājumu), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Šajā gadījumā – (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.
Parabola ir plaknes punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta F un noteiktas taisnes d, kas neiet cauri dots punkts. Šī ģeometriskā definīcija izsaka parabolas režisora īpašums.
Parabolas direktorijas īpašums
Punktu F sauc par parabolas fokusu, līnija d ir parabolas virziens, no fokusa uz virzienu pazeminātā perpendikula viduspunkts O ir parabolas virsotne, attālums p no fokusa līdz virzienam. ir parabolas parametrs, un attālums \frac(p)(2) no parabolas virsotnes līdz tās fokusam ir fokusa attālums (3.45.a att.). Taisni, kas ir perpendikulāra virzienam un iet cauri fokusam, sauc par parabolas asi (parabolas fokusa asi). Segmentu FM, kas savieno patvaļīgu parabolas punktu M ar tā fokusu, sauc par punkta M fokusa rādiusu. Nozaru, kas savieno divus parabolas punktus, sauc par parabolas akordu.
Patvaļīgam parabolas punktam attāluma līdz fokusam attiecība pret attālumu līdz virzienam ir vienāda ar vienu. Salīdzinot , un parabolu direktorijas īpašības, mēs secinām, ka parabolas ekscentriskums pēc definīcijas vienāds ar vienu (e=1).
Parabolas ģeometriskā definīcija, kas izsaka tā direktorijas īpašumu, ir līdzvērtīgs tā analītiskajai definīcijai - līnijai, ko dod kanoniskais vienādojums parabolas:
Patiešām, ieviesīsim taisnstūra koordinātu sistēmu (3.45. att., b). Par koordinātu sistēmas sākumpunktu ņemam parabolas virsotni O; par abscisu asi ņemam taisnu līniju, kas iet caur fokusu perpendikulāri virzienam (pozitīvais virziens uz tās ir no punkta O līdz punktam F); Par ordinātu asi pieņemsim taisni, kas ir perpendikulāra abscisu asij un iet cauri parabolas virsotnei (virziens uz ordinātu ass ir izvēlēts tā, lai taisnstūra koordinātu sistēma Oxy būtu pareiza).
Izveidosim parabolas vienādojumu, izmantojot tās ģeometrisko definīciju, kas izsaka parabolas direktorijas īpašību. Izvēlētajā koordinātu sistēmā mēs nosakām fokusa koordinātas F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) un virziena vienādojums x=-\frac(p)(2) . Patvaļīgam punktam M(x,y), kas pieder pie parabolas, mums ir:
FM=MM_d,
Kur M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - ortogrāfiskā projekcija norāda M(x,y) uz virzienu. Mēs rakstām šo vienādojumu koordinātu formā:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Mēs izlīdzinām abas vienādojuma puses kvadrātā: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Apvienojot līdzīgus nosacījumus, mēs iegūstam kanoniskais parabolas vienādojums
y^2=2\cdot p\cdot x, tie. izvēlētā koordinātu sistēma ir kanoniska.
Ar argumentāciju iekšā apgrieztā secībā, var parādīt, ka visi punkti, kuru koordinātas atbilst vienādojumam (3.51), un tikai tie pieder punktu lokusam, ko sauc par parabolu. Tādējādi parabolas analītiskā definīcija ir līdzvērtīga tās ģeometriskajai definīcijai, kas izsaka parabolas direktorijas īpašību.
Parabolas vienādojums polāro koordinātu sistēmā
Parabolas vienādojumam polārajā koordinātu sistēmā Fr\varphi (3.45. att., c) ir forma
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p ir parabolas parametrs, un e=1 ir tās ekscentriskums.
Faktiski par polāro koordinātu sistēmas polu izvēlamies parabolas fokusu F, bet par polāro asi - staru ar sākumu punktā F, kas ir perpendikulārs virzienam un nekrusto to (3.45. att., c). . Tad patvaļīgam punktam M(r,\varphi), kas pieder pie parabolas, saskaņā ar parabolas ģeometrisko definīciju (virziena īpašību) mums ir MM_d=r. Tāpēc ka MM_d=p+r\cos\varphi, mēs iegūstam parabolas vienādojumu koordinātu formā:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightbarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Ņemiet vērā, ka polārajās koordinātēs elipses, hiperbolas un parabolas vienādojumi sakrīt, bet apraksta dažādas līnijas, jo tās atšķiras pēc ekscentricitātēm (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 par ).
Parabola vienādojuma parametra ģeometriskā nozīme
Paskaidrosim ģeometriskā nozīme parametrs p kanoniskajā parabolas vienādojumā. Aizvietojot x=\frac(p)(2) vienādojumā (3.51), iegūstam y^2=p^2, t.i. y=\pm p . Tāpēc parametrs p ir puse no parabolas horda garuma, kas iet caur tās fokusu perpendikulāri parabolas asij.
Parabolas fokusa parametrs, kā arī elipsei un hiperbolai, sauc par pusi no hordas garuma, kas iet caur tās fokusu perpendikulāri fokusa asij (sk. 3.45. att., c). No parabolas vienādojuma polārajās koordinātēs plkst \varphi=\frac(\pi)(2) iegūstam r=p, t.i. parabolas parametrs sakrīt ar tās fokusa parametru.
Piezīmes 3.11.
1. Parabolas parametrs p raksturo tās formu. Jo lielāks p, jo platāki parabolas zari, jo p ir tuvāk nullei, jo šaurāki ir parabolas zari (3.46. att.).
2. Vienādojums y^2=-2px (p>0) definē parabolu, kas atrodas pa kreisi no ordinātu ass (3.47.att.,a). Šis vienādojums tiek reducēts līdz kanoniskajam, mainot x ass virzienu (3.37). Attēlā 3.47,a parāda doto koordinātu sistēmu Oxy un kanonisko Ox"y".
3. Vienādojums (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definē parabolu ar virsotni O"(x_0,y_0), kuras ass ir paralēla abscisu asij (3.47. att.,6). Šis vienādojums tiek reducēts uz kanonisko, izmantojot paralēlo tulkošanu (3.36).
Vienādojums (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, definē arī parabolu ar virsotni O"(x_0,y_0), kuras ass ir paralēla ordinātu asij (3.47. att., c). Šis vienādojums tiek reducēts uz kanonisko, izmantojot paralēlo tulkošanu (3.36) un pārdēvējot koordinātu asis (3.38.) 3.47,b,c attēlā attēlo dotās koordinātu sistēmas Oxy un kanoniskās koordinātu sistēmas Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ir parabola ar virsotni punktā O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), kuras ass ir paralēla ordinātu asij, parabolas atzari ir vērsti uz augšu (ja a>0) vai uz leju (ja<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftright bultiņa \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
kas ir reducēts līdz kanoniskajai formai (y")^2=2px" , kur p=\left|\frac(1)(2a)\right|, izmantojot nomaiņu y"=x+\frac(b)(2a) Un x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Zīme tiek izvēlēta tā, lai tā sakristu ar vadošā koeficienta a zīmi. Šī aizstāšana atbilst sastāvam: paralēla pārnešana (3.36) ar x_0=-\frac(b)(2a) Un y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pārdēvējot koordinātu asis (3.38), un a gadījumā<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 un a<0 соответственно.
5. Kanoniskās koordinātu sistēmas x ass ir parabolas simetrijas ass, jo, aizstājot mainīgo y ar -y, vienādojums (3.51) nemainās. Citiem vārdiem sakot, parabolai piederošā punkta M(x,y) koordinātas un punkta M"(x,-y) koordinātas, kas ir simetriskas punktam M attiecībā pret x asi, atbilst vienādojumam. (3.S1).Kanoniskās koordinātu sistēmas asis tiek sauktas parabolas galvenās asis.
Piemērs 3.22. Uzzīmējiet parabolu y^2=2x kanoniskajā koordinātu sistēmā Oxy. Atrodiet fokusa parametru, fokusa koordinātas un virziena vienādojumu.
Risinājums. Konstruējam parabolu, ņemot vērā tās simetriju attiecībā pret abscisu asi (3.49. att.). Ja nepieciešams, nosakiet dažu parabolas punktu koordinātas. Piemēram, parabolas vienādojumā aizstājot x=2, mēs iegūstam y^2=4~\Kreisā labā bultiņa~y=\pm2. Līdz ar to punkti ar koordinātām (2;2),\,(2;-2) pieder pie parabolas.
Salīdzinot doto vienādojumu ar kanonisko (3.S1), nosakām fokusa parametru: p=1. Fokusa koordinātas x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, t.i. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Sastādām virziena vienādojumu x=-\frac(p)(2) , t.i. x=-\frac(1)(2) .
Elipses, hiperbolas, parabolas vispārīgās īpašības
1. Rekvizītu direktorija var izmantot kā vienu elipses, hiperbolas, parabolas definīciju (sk. 3.50. att.): punktu lokuss plaknē, katram no kuriem attāluma līdz noteiktam punktam F (fokuss) attiecība pret attālumu līdz noteiktai taisnei d (virziens), kas neiet cauri dotajam punktam, ir nemainīga un vienāda ar ekscentriskumu e , tiek saukts:
a) ja 0\leqslant e<1 ;
b) ja e>1;
c) parabolu, ja e=1.
2. Elipse, hiperbola un parabola tiek iegūtas kā plaknes riņķveida konusa griezumos un tāpēc tiek sauktas konusveida sekcijas. Šis īpašums var kalpot arī kā elipses, hiperbolas un parabolas ģeometriskā definīcija.
3. Elipses, hiperbolas un parabolas kopīgās īpašības ietver bisektorālais īpašums to pieskares. Zem pieskares uz taisni kādā punktā K saprot sekanta KM ierobežojošo pozīciju, kad punkts M, kas paliek uz apskatāmās taisnes, tiecas uz punktu K. Tiek saukta taisne, kas ir perpendikulāra līnijas pieskarei un iet caur pieskares punktu normāli uz šo līniju.
Elipses, hiperbolas un parabolas tangenšu (un normālu) bisektorālā īpašība ir formulēta šādi: elipses vai hiperbolas tangenss (normāls) veido vienādus leņķus ar pieskares punkta fokusa rādiusiem(3.51. att., a, b); parabolas pieskare (normālā) veido vienādus leņķus ar pieskares punkta fokusa rādiusu un perpendikulu, kas no tā nomests uz virzienu(3.51. att., c). Citiem vārdiem sakot, elipses pieskare punktā K ir trijstūra F_1KF_2 ārējā leņķa bisektrise (un normālā ir trijstūra iekšējā leņķa F_1KF_2 bisektrise); hiperbolas pieskare ir trijstūra F_1KF_2 iekšējā leņķa bisektrise (un normālā ir ārējā leņķa bisektrise); parabolas pieskare ir trijstūra FKK_d iekšējā leņķa bisektrise (un normālā ir ārējā leņķa bisektrise). Parabolas pieskares bisektorālo īpašību var formulēt tāpat kā elipsei un hiperbolai, ja pieņemam, ka parabolai ir otrs fokuss bezgalības punktā.
4. No bisektorālajām īpašībām izriet elipses, hiperbolas un parabolas optiskās īpašības, izskaidrojot termina "fokuss" fizisko nozīmi. Iedomāsimies virsmas, kas veidojas, pagriežot elipsi, hiperbolu vai parabolu ap fokusa asi. Ja uz šīm virsmām uzklāj atstarojošu pārklājumu, tiek iegūti eliptiski, hiperboliski un paraboliski spoguļi. Saskaņā ar optikas likumu gaismas stara krišanas leņķis uz spoguļa ir vienāds ar atstarošanas leņķi, t.i. krītošie un atstarotie stari veido vienādus leņķus ar normālu pret virsmu, un abi stari un rotācijas ass atrodas vienā plaknē. No šejienes mēs iegūstam šādas īpašības:
– ja gaismas avots atrodas vienā no elipsveida spoguļa fokusiem, tad no spoguļa atstarotie gaismas stari tiek savākti citā fokusā (3.52. att., a);
– ja gaismas avots atrodas kādā no hiperboliskā spoguļa fokusiem, tad no spoguļa atstarotie gaismas stari novirzās tā, it kā nāktu no cita fokusa (3.52. att., b);
– ja gaismas avots atrodas paraboliska spoguļa fokusā, tad no spoguļa atstarotie gaismas stari iet paralēli fokusa asij (3.52. att., c).
5. Diametriskā īpašība elipsi, hiperbolu un parabolu var formulēt šādi:
– elipses (hiperbolas) paralēlo akordu viduspunkti atrodas uz vienas taisnas līnijas, kas iet caur elipses centru (hiperbola);
– parabolas paralēlo akordu viduspunkti atrodas uz taisnās, kolineārās parabolas simetrijas ass.
Visu elipses paralēlo akordu (hiperbolas, parabolas) viduspunktu ģeometrisko lokusu sauc elipses diametrs (hiperbola, parabola), konjugējiet ar šiem akordiem.
Šī ir diametra definīcija šaurā nozīmē (sk. 2.8. piemēru). Iepriekš diametra definīcija tika dota plašā nozīmē, kur elipses, hiperbolas, parabolas un citu otrās kārtas līniju diametrs ir taisna līnija, kas satur visu paralēlo hordu viduspunktus. Šaurā nozīmē elipses diametrs ir jebkura horda, kas iet caur tās centru (3.53.att.,a); hiperbolas diametrs ir jebkura taisne, kas iet caur hiperbolas centru (izņemot asimptotus), vai šādas taisnes daļa (3.53.,6. att.); Parabolas diametrs ir jebkurš stars, kas izplūst no noteikta parabolas punkta un ir kolineārs pret simetrijas asi (3.53. att., c).
Divus diametrus, no kuriem katrs sadala visas hordas paralēli otram diametram, sauc par konjugātiem. 3.53. attēlā treknās līnijas parāda elipses, hiperbolas un parabolas konjugāta diametrus.
Elipses pieskare (hiperbola, parabola) punktā K var tikt definēta kā paralēlo sekantu M_1M_2 robežpozīcija, kad punkti M_1 un M_2, kas paliek uz aplūkojamās taisnes, tiecas uz punktu K. No šīs definīcijas izriet, ka tangenss, kas ir paralēls hordām, iet caur diametra konjugāta galu ar šīm akordām.
6. Elipsei, hiperbolai un parabolai papildus iepriekš minētajām ir vairākas ģeometriskas īpašības un fiziski pielietojumi. Piemēram, 3.50. attēls var kalpot kā ilustrācija kosmosa objektu trajektorijām, kas atrodas smaguma centra F tuvumā.
Apsveriet līniju plaknē un punktu, kas neatrodas uz šīs līnijas. UN elipse, Un hiperbola var definēt unificētā veidā kā punktu ģeometrisko lokusu, kuriem attāluma līdz noteiktam punktam attiecība pret attālumu līdz noteiktai taisnei ir nemainīga vērtība
rangs ε. Pie 0 1 - hiperbola. Parametrs ε ir gan elipses, gan hiperbolas ekscentriskums. No parametra ε iespējamām pozitīvajām vērtībām viena, proti, ε = 1, izrādās neizmantota. Šī vērtība atbilst punktu ģeometriskajam lokusam, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta un no noteiktas līnijas.
Definīcija 8.1. Tiek saukts punktu lokuss plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no fiksēta punkta un no fiksētas līnijas parabola.
Fiksēto punktu sauc parabolas fokuss, un taisna līnija - parabolas virziens. Tajā pašā laikā tiek uzskatīts, ka parabolas ekscentriskums vienāds ar vienu.
No ģeometriskiem apsvērumiem izriet, ka parabola ir simetriska attiecībā pret taisni, kas ir perpendikulāra virzienam un iet caur parabolas fokusu. Šo taisno līniju sauc par parabolas simetrijas asi vai vienkārši parabolas ass. Parabola krusto savu simetrijas asi vienā punktā. Šo punktu sauc parabolas virsotne. Tas atrodas segmenta vidū, kas savieno parabolas fokusu ar tās ass krustpunktu ar virzienu (8.3. att.).
Parabolas vienādojums. Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies plaknē izcelsmi parabolas virsotnē, as x-ass- parabolas ass, uz kuras pozitīvo virzienu nosaka fokusa novietojums (sk. 8.3. att.). Šo koordinātu sistēmu sauc kanonisks attiecīgajai parabolai, un attiecīgie mainīgie ir kanonisks.
Attālumu no fokusa līdz virzienam apzīmēsim ar p. Viņu sauc parabolas fokusa parametrs.
Tad fokusā ir koordinātas F(p/2; 0), un virzienu d apraksta ar vienādojumu x = - p/2. Punktu M(x; y) atrašanās vietu, kas atrodas vienādā attālumā no punkta F un no taisnes d, nosaka vienādojums
Apskatīsim (8.2) vienādojumu kvadrātā un parādīsim līdzīgus. Mēs iegūstam vienādojumu
ko sauc kanoniskais parabolas vienādojums.
Ņemiet vērā, ka kvadrātošana šajā gadījumā ir līdzvērtīga vienādojuma (8.2) transformācija, jo abas vienādojuma puses nav negatīvas, tāpat kā izteiksme zem radikāļa.
Parabolas veids. Ja parabolu y 2 = x, kuras formu uzskatām par zināmu, saspiež ar koeficientu 1/(2р) pa abscisu asi, tad iegūst vispārīgas formas parabolu, kuru apraksta ar vienādojumu (8.3).
Piemērs 8.2. Atradīsim fokusa koordinātas un parabolas virziena vienādojumu, ja tā iet caur punktu, kura kanoniskās koordinātas ir (25; 10).
Kanoniskajās koordinātēs parabolas vienādojumam ir forma y 2 = 2px. Tā kā punkts (25; 10) atrodas uz parabolas, tad 100 = 50p un tāpēc p = 2. Tāpēc y 2 = 4x ir parabolas kanoniskais vienādojums, x = - 1 ir tā virziena vienādojums, un fokuss ir punktā (1; 0 ).
Parabolas optiskā īpašība. Parabolai ir šādas īpašības optiskā īpašība. Ja parabolas fokusā novieto gaismas avotu, tad visi gaismas stari pēc atstarošanas no parabolas būs paralēli parabolas asij (8.4. att.). Optiskā īpašība nozīmē, ka jebkurā parabolas punktā M normāls vektors pieskare veido vienādus leņķus ar fokusa rādiusu MF un abscisu asi.
1. definīcija. Parabola ir visu plaknes punktu kopa, no kuriem katrs atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc fokuss, un no dotas taisnes, kas neiet cauri dotajam punktam un izsauc direktore.
Izveidosim vienādojumu parabolai ar fokusu noteiktā punktā F un kura virziens ir līnija d, neiet cauri F. Izvēlēsimies taisnstūra koordinātu sistēmu šādi: ass Ak iesim cauri fokusam F perpendikulāri režisoram d virzienā no d Uz F, un izcelsme PAR Novietosim to vidū starp fokusu un virzienu (1. att.).
2. definīcija. Fokusa attālums F pie direktores d sauca parabolas parametrs un tiek apzīmēts ar p (lpp> 0).
No att. 1 tas ir skaidrs p = FK, tāpēc fokusam ir koordinātas F (p/2; 0), un virziena vienādojumam ir forma X= – r/2, vai
Ļaujiet M(x;y) ir patvaļīgs parabolas punkts. Savienosim punktus M Ar F un iztērēsim MN d. Tieši no att. 1 tas ir skaidrs
un saskaņā ar formulu attālumam starp diviem punktiem 
Saskaņā ar parabolas definīciju, MF = MN, (1)
tātad, 
(2)
Vienādojums (2) ir nepieciešamais parabolas vienādojums. Lai vienkāršotu (2) vienādojumu, mēs to pārveidojam šādi:
tie.,
Koordinātas X Un plkst punktus M parabolas atbilst nosacījumam (1) un līdz ar to (3) vienādojumam.
3. definīcija. Vienādojumu (3) sauc parabolas kanoniskais vienādojums.
2. Parabolas formas izpēte, izmantojot tās vienādojumu. Noteiksim parabolas formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu (3).
1) Punkta koordinātas O (0; 0) atbilst (3) vienādojumam, tāpēc ar šo vienādojumu definētā parabola iet caur izcelsmi.
2) Tā kā vienādojumā (3) mainīgais plkst iekļauts tikai vienmērīgs grāds, tad parabolu y 2 = 2 pikseļi simetriski attiecībā pret abscisu asi.
3) Kopš p > 0, tad no (3) izriet x ≥ 0. Līdz ar to parabola y 2 = 2 pikseļi atrodas pa labi no ass OU.
4) Palielinoties abscisai X no 0 uz +∞ ordinātu plkst atšķiras no 0 pirms tam ± ∞, t.i. parabolas punkti neierobežoti attālinās no ass Ak, un no ass OU.
Parabola y 2 = 2 pikseļi ir tāda forma, kas parādīta attēlā. 2.
4. definīcija. Ass Ak sauca parabolas simetrijas ass. Punkts O (0; 0) sauc parabolas krustpunktu ar simetrijas asi parabolas virsotne. Līnijas segments FM sauca fokusa rādiuss punktus M.
komentēt. Izveidot formas parabolas vienādojumu y 2 = 2 pikseļi speciāli izvēlējāmies taisnstūra koordinātu sistēmu (skat. 1. punktu). Ja koordinātu sistēma ir izvēlēta citā veidā, tad parabolas vienādojumam būs cita forma.
A
Tā, piemēram, ja virzāt asi Ak no fokusa uz režisoru (3. att., A
y 2 = –2 pikseļi. (4)
F(–р/2; 0), un direktore d ko dod vienādojums x = p/2.
Ja ass OU iesim cauri fokusam F d virzienā no d Uz F un izcelsmi PAR novietojiet to vidū starp fokusu un virzienu (3. att., b), tad parabolas vienādojums ir formas piemērs
x 2 = 2ru . (5)
Šādas parabolas fokusam ir koordinātas F (0; p/2), un direktore d ko dod vienādojums y=–p/2.
Ja ass OU iesim cauri fokusam F perpendikulāri režisoram d virzienā no F Uz d(3. att. V), tad parabolas vienādojums iegūst formu
x 2 = –2ru (6)
Tā fokusa koordinātas būs F (0; –р/2), un virziena vienādojums d gribu y = p/2.
Tiek uzskatīts, ka vienādojumiem (4), (5), (6) ir visvienkāršākā forma.
3. Parabolas paralēla pārnešana. Dota parabola ar tās virsotni punktā O" (a; b), kuras simetrijas ass ir paralēla asij OU, un zari ir vērsti uz augšu (4. att.). Jums ir jāizveido parabolas vienādojums.
(9)
5. definīcija. Vienādojumu (9) sauc parabolas vienādojums ar pārvietotu virsotni.
Pārveidosim šo vienādojumu šādi:
Liekot 
būs 
(10)
Nav grūti nevienam to parādīt A, B, C grafiks kvadrātveida trinomāls(10) ir parabola 1. definīcijas izpratnē. Formas (10) parabolas vienādojums tika pētīts skolas algebras kursā.
VINGRINĀJUMI NEATKARĪGAM RISINĀJUMAM
Nr.1. Uzrakstiet apļa vienādojumu:
a. ar centru izcelsmē un rādiusu 7;
b. ar centru punktā (-1;4) un rādiusu 2.
Konstruējiet apļa datus taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā.
Nr.2. Sastādiet elipses ar virsotnēm kanonisko vienādojumu
un triki 
Nr.3. Konstruējiet elipsi, kas dota ar kanonisko vienādojumu:
1) 2) 
Nr.4. Sastādiet elipses ar virsotnēm kanonisko vienādojumu
un triki 
Nr.5. Sastādiet kanonisko vienādojumu hiperbolai ar virsotnēm
un triki
Nr.6. Sastādiet kanonisko hiperbolas vienādojumu, ja:
1. attālums starp perēkļiem un starp virsotnēm
2. reālā pusass un ekscentriskums;
3. fokusējas uz asi, reālā ass ir 12, un iedomātā ass ir 8.
Nr.7. Izveidojiet hiperbolu, kas dota ar kanonisko vienādojumu:
1) 2) 
.
Nr.8. Uzrakstiet parabolas kanonisko vienādojumu, ja:
1) parabola atrodas labajā pusplaknē simetriski attiecībā pret asi un tās parametru;
2) parabola atrodas kreisajā pusplaknē simetriski attiecībā pret asi un tās parametrs ir .
Konstruējiet šīs parabolas, to perēkļus un virzienus.
Nr.9. Nosakiet līnijas veidu, ja tās vienādojums ir:
PAŠPĀRBAUDES JAUTĀJUMI
1. Vektori telpā.
1.1. Kas ir vektors?
1.2. Kāds ir vektora absolūtais lielums?
1.3. Kādus vektoru veidus kosmosā jūs zināt?
1.4. Kādas darbības jūs varat veikt ar viņiem?
1.5. Kas ir vektora koordinātas? Kā tos atrast?
2. Darbības uz vektoriem, kas noteikti pēc to koordinātām.
2.1. Kādas darbības var veikt ar vektoriem, kas doti koordinātu formā (noteikumi, vienādības, piemēri); kā atrast šāda vektora absolūto vērtību.
2.2. Īpašības:
2.2.1 kolineārs;
2.2.2. perpendikulāri;
2.2.3 koplanārs;
2.2.4 vienādi vektori.
(formulācijas, vienādības).
3. Taisnas līnijas vienādojums. Lietišķās problēmas.
3.1. Kādus taisnes vienādojumu veidus zināt (proti rakstīt un interpretēt no ieraksta);
3.2. Kā pārbaudīt paralēlismu - perpendikularitāti divas taisnes, kas noteiktas ar vienādojumiem ar leņķa koeficientu vai vispārīgie vienādojumi?
3.3. Kā atrast attālumu no punkta līdz līnijai starp diviem punktiem?
3.4. Kā atrast leņķi starp taisnēm, ko nosaka vispārīgie taisnvienādojumi vai slīpuma vienādojumi?
3.5. Kā atrast segmenta viduspunkta koordinātas un šī posma garumu?
4. Plaknes vienādojums. Lietišķās problēmas.
4.1. Kādus plakņu vienādojumu veidus jūs zināt (protat rakstīt un interpretēt no ieraksta)?
4.2. Kā pārbaudīt taisnu līniju paralēlismu un perpendikularitāti telpā?
4.3. Kā atrast attālumu no punkta līdz plaknei un leņķi starp plaknēm?
4.4. Kā izpētīt savstarpēja vienošanās taisna līnija un plakne telpā?
4.5. Taisnes vienādojumu veidi telpā: vispārīgs, kanonisks, parametrisks, kas iet caur diviem dotiem punktiem.
4.6. Kā atrast leņķi starp taisnēm un attālumu starp punktiem telpā?
5. Otrās kārtas rindas.
5.1. Elipse: definīcija, fokuss, virsotnes, galvenās un mazās asis, fokusa rādiusi, ekscentricitāte, virziena vienādojumi, vienkāršākie (vai kanoniskie) elipses vienādojumi; zīmējums.
5.2. Hiperbola: definīcija, perēkļi, virsotnes, reālās un iedomātās asis, fokusa rādiusi, ekscentriskums, virziena vienādojumi, vienkāršākie (vai kanoniskie) hiperbolu vienādojumi; zīmējums.
5.3. Parabola: definīcija, fokuss, virziens, virsotne, parametrs, simetrijas ass, vienkāršākie (vai kanoniskie) parabolas vienādojumi; zīmējums.
Piezīme par 4.1., 4.2., 4.3. Katrai 2. kārtas rindai jāprot aprakstīt konstrukciju.
PAŠPĀRBAUDES UZDEVUMI
1. Dotie punkti: 
, kur N ir studenta numurs sarakstā.
3) atrodiet attālumu no punkta M līdz plaknei P.
4. Izveidojiet otrās kārtas līniju, ko nosaka tās kanoniskais vienādojums:
.
LITERATŪRA
1. Augstākā matemātika ekonomistiem - Mācību grāmata universitātēm, izd. N.Sh. Krēmers et al., Maskava, VIENOTĪBA, 2003.
2. Barkovskis V.V., Barkovska N.V. - Vischa matemātika ekonomistiem – Kijeva, TsUL, 2002.g.
3. Suvorovs I.F. - Augstākās matemātikas kurss. - M., Augstskola, 1967. g.
4. Tarasovs N.P. - Augstākās matemātikas kurss tehnikumiem. - M.; Zinātne, 1969.
5. Zaicevs I.L. - Augstākās matemātikas elementi tehnikumiem. - M.; Zinātne, 1965.
6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Matemātika tehnikumiem. - M.; Zinātne, 1990.
7. Šipačovs V.S. - Augstākā matemātika. Mācību grāmata augstskolām - M.: Augstskola, 2003.g.
