Kā konkrētu piemēru tam, ka ķermenis griežas ap asi, apsveriet svārstu kustību.
Tiek saukts fiziskais svārsts ciets, kam horizontālā ass rotācija, ap kuru tā sava svara ietekmē veic svārstīgas kustības (119. att.).
Svārsta stāvokli pilnībā nosaka tā novirzes leņķis no līdzsvara stāvokļa, un tāpēc, lai noteiktu svārsta kustības likumu, pietiek atrast šī leņķa atkarību no laika.
Formas vienādojums:
sauc par svārsta kustības vienādojumu (likumu). Tas ir atkarīgs no sākotnējiem apstākļiem, t.i., no leņķa un leņķiskā ātruma.
Fiziskā svārsta ierobežojošais gadījums ir matemātisks svārsts, kas attēlo (kā minēts iepriekš - 2. nodaļas 3. punkts) materiālu punktu, kas savienots ar horizontālo asi, ap kuru tas griežas ar stingru bezsvara stieni (120. att.). Materiāla punkta attālumu no rotācijas ass sauc par matemātiskā svārsta garumu.
Fizikālo un matemātisko svārstu kustības vienādojumi
Izvēlēsimies koordinātu asu sistēmu tā, lai xy plakne iet caur ķermeņa C smaguma centru un sakrīt ar svārsta šūpošanās plakni, kā parādīts zīmējumā (119. att.). Novirzīsim asi perpendikulāri zīmēšanas plaknei pret mums. Pēc tam, pamatojoties uz iepriekšējās rindkopas rezultātiem, mēs rakstām fiziskā svārsta kustības vienādojumu formā:
kur caur apzīmē svārsta inerces momentu attiecībā pret tā griešanās asi un
Tāpēc jūs varat rakstīt:
Aktīvais spēks, kas iedarbojas uz svārstu, ir tā svars, kura moments attiecībā pret svara asi būs:
kur ir attālums no svārsta rotācijas ass līdz tā masas centram C.
Rezultātā mēs nonākam pie šāda fiziskā svārsta kustības vienādojuma:
Tā kā matemātiskais svārsts ir īpašs fiziskais svārsts, rakstīts iepriekš diferenciālvienādojums Tas attiecas arī uz matemātisko svārstu. Ja matemātiskā svārsta garums ir vienāds ar un tā svars, tad tā inerces moments attiecībā pret griešanās asi ir vienāds ar
Tā kā matemātiskā svārsta smaguma centra attālums no ass ir vienāds, matemātiskā svārsta kustības galīgo diferenciālvienādojumu var uzrakstīt šādā formā:
Samazināts fiziskā svārsta garums
Salīdzinot (16.8) un (16.9) vienādojumus, varam secināt, ka, ja fizikālās un matemātiskās svārsta parametrus saista sakarība
tad fizikālo un matemātisko svārstu kustības likumi ir vienādi (pie tiem pašiem sākuma nosacījumiem).
Pēdējā attiecība norāda garumu, kādam jābūt matemātiskajam svārstam, lai tas kustētos tāpat kā atbilstošais fiziskais svārsts. Šo garumu sauc par fiziskā svārsta samazināto garumu. Šī jēdziena nozīme ir tāda, ka fizikālā svārsta kustības izpēti var aizstāt ar matemātiskā svārsta kustības izpēti, kas ir vienkārša mehāniska ķēde.
Svārsta kustības vienādojuma pirmais integrālis
Fizikālo un matemātisko svārstu kustības vienādojumiem ir vienāda forma, tāpēc to kustības vienādojums būs
Tā kā vienīgais spēks, kas tiek ņemts vērā šajā vienādojumā, ir gravitācijas spēks, kas pieder potenciālajam spēka laukam, mehāniskās enerģijas nezūdamības likums ir spēkā.
Pēdējo var iegūt vienkāršs triks, reizinosim vienādojumu (16.10) ar to
Integrējot šo vienādojumu, mēs iegūstam
Nosakot integrācijas konstanti Cu no sākotnējiem nosacījumiem, mēs atrodam
Atrisinot pēdējo relatīvo vienādojumu, mēs iegūstam
Šī sakarība attēlo diferenciālvienādojuma (16.10) pirmo integrāli.
Fizikālo un matemātisko svārstu atbalsta reakciju noteikšana
Kustības vienādojumu pirmais integrālis ļauj noteikt svārsta atbalsta reakcijas. Kā norādīts iepriekšējā punktā, atbalsta reakcijas nosaka pēc vienādojumiem (16.5.). Fiziskā svārsta gadījumā aktīvā spēka komponenti gar koordinātu asīm un tā momenti attiecībā pret asīm būs:
Masas centra koordinātas nosaka pēc formulas:
Tad atbalsta reakciju noteikšanas vienādojumi ir šādi:
Atbilstoši uzdevuma apstākļiem ir jāzina ķermeņa centrbēdzes inerces momenti un attālumi starp balstiem. Leņķiskais paātrinājums un leņķiskais ātrumsс nosaka no vienādojumiem (16.9) un (16.4) šādā formā:
Tādējādi vienādojumi (16.12) pilnībā nosaka fizikālā svārsta atbalsta reakciju sastāvdaļas.
Vienādojumi (16.12.) tiek vēl vairāk vienkāršoti, ja aplūkojam matemātisko svārstu. Patiešām, tā kā matemātiskā svārsta materiālais punkts atrodas plaknē, tad Turklāt, tā kā viens punkts ir fiksēts, tad vienādojumi (16.12) pārvēršas par formas vienādojumiem:
No vienādojumiem (16.13), izmantojot vienādojumu (16.9), izriet, ka atbalsta reakcija ir vērsta pa vītni I (120. att.). Pēdējais ir acīmredzams rezultāts. Līdz ar to, projicējot vienādību komponentus (16.13) uz vītnes virzienu, atrodam vienādojumu formas balsta reakcijas noteikšanai (120. att.):
Šeit aizvietojot vērtību un ņemot vērā to, ka mēs rakstām:
Pēdējā attiecība nosaka matemātiskā svārsta dinamisko reakciju. Ņemiet vērā, ka tā statiskā reakcija būs
Svārsta kustības rakstura kvalitatīva izpēte
Svārsta kustības vienādojuma pirmais integrālis ļauj mums veikt kvalitatīvu tā kustības rakstura izpēti. Proti, mēs rakstām šo integrāli (16.11) formā:
Kustības laikā radikālai izteiksmei dažos punktos jābūt vai nu pozitīvai, vai arī jāpazūd. Pieņemsim, ka sākotnējie nosacījumi ir tādi, ka
Šajā gadījumā radikālā izteiksme nekur nepazūd. Līdz ar to, kustoties, svārsts iet cauri visām leņķa vērtībām un leņķiskais ātrums no svārsta ir ar tādu pašu zīmi, ko nosaka sākotnējā leņķiskā ātruma virziens, vai arī leņķis vai nu palielinās visas leņķa vērtības. laiku vai visu laiku samazināsies, t.i., svārsts griezīsies vienā pusē.
Kustības virzieni atbildīs vienai vai otrai zīmei izteiksmē (16.11). Nepieciešams nosacījumsŠādas kustības realizācija ir sākotnējā leņķiskā ātruma klātbūtne, jo no nevienādības (16.14) ir skaidrs, ka, ja tad jebkurā sākotnējā novirzes leņķī nav iespējams iegūt šādu svārsta kustību.
Lai tagad sākotnējie nosacījumi ir tādi
Šajā gadījumā ir divas šādas leņķa vērtības, pie kurām radikālā izteiksme kļūst par nulli. Ļaujiet tiem atbilst vienādības definētajiem leņķiem
Turklāt tas būs kaut kur diapazonā no 0 līdz . Turklāt ir skaidrs, kad
radikālā izteiksme (16.11) būs pozitīva un patvaļīgi mazai pārsniegšanai būs negatīva.
Līdz ar to, kad svārsts kustas, tā leņķis mainās diapazonā:
Kad svārsta leņķiskais ātrums sasniedz nulli un leņķis sāk samazināties līdz vērtībai . Šajā gadījumā mainīsies leņķiskā ātruma zīme vai zīme radikāļa priekšā izteiksmē (16.11). Kad svārsta leņķiskais ātrums atkal sasniedz nulli un leņķis atkal sāk palielināties līdz vērtībai
Tādējādi svārsts veiks svārstīgas kustības
Svārsta svārstību amplitūda
Kad svārsts svārstās, tā maksimālo novirzes vērtību no vertikāles sauc par svārstību amplitūdu. Tas ir vienāds ar kuru tiek noteikts no vienādības
Kā izriet no pēdējās formulas, svārstību amplitūda ir atkarīga no svārsta vai tā samazinātā garuma galveno raksturlielumu sākotnējiem datiem.
Konkrētajā gadījumā, kad svārsts tiek novirzīts no līdzsvara stāvokļa un atlaists bez sākuma ātruma, tad tas būs vienāds ar , tāpēc amplitūda nav atkarīga no samazinātā garuma.
Svārsta kustības vienādojums galīgajā formā
Pieņemsim, ka svārsta sākotnējais ātrums ir nulle, tad tā kustības vienādojuma pirmais integrālis būs:
Integrējot šo vienādojumu, mēs atklājam
Mēs skaitīsim laiku no svārsta stāvokļa, kas atbilst tad
Pārveidosim integrandu, izmantojot formulu:
Tad mēs iegūstam:
Iegūto integrāli sauc par pirmā veida eliptisku integrāli. To nevar izteikt, izmantojot ierobežotu skaitu elementāru funkciju.
Eliptiskā integrāļa (16.15) inversija attiecībā pret tā augšējo robežu attēlo svārsta kustības vienādojumu:
Tā būs labi izpētītā Jacobi eliptiskā funkcija.
Svārsta svārstību periods
Laiku, kas nepieciešams vienai pilnīgai svārsta svārstībai, sauc par tā svārstību periodu. Apzīmēsim to T. Tā kā svārsta kustības laiks no pozīcijas uz pozīciju ir tāds pats kā kustības laiks no tā brīža T tiks noteikts pēc formulas:
Veiksim mainīgo maiņu, liekot
Mainot no 0 līdz mainīsies no 0 uz . Tālāk,
un tāpēc
Pēdējo integrāli sauc par pilnu pirmā veida eliptisku integrāli (tā vērtības ir norādītas īpašās tabulās).
Kad integrands tiecas uz vienotību un .
Aptuvenās formulas mazām svārsta svārstībām
Gadījumā, ja svārsta svārstībām ir maza amplitūda (praktiski nedrīkst pārsniegt 20°), var likt
Tad svārsta kustības diferenciālvienādojums iegūst šādu formu:
Matemātikas svārsts
Ievads
Svārstību periods
secinājumus
Literatūra
Ievads
Tagad vairs nav iespējams pārbaudīt leģendu par to, kā Galilejs, stāvot lūgšanā katedrālē, uzmanīgi vērojis bronzas lustru šūpošanos. Es novēroju un noteicu laiku, ko lustras pavada kustībā uz priekšu un atpakaļ. Šo laiku vēlāk sauca par svārstību periodu. Galileo nebija pulksteņa, un, lai salīdzinātu uz dažāda garuma ķēdēm piekārtu lustru svārstību periodu, viņš izmantoja sava pulsa frekvenci.
Svārstus izmanto, lai regulētu pulksteņu ātrumu, jo jebkuram svārstam ir ļoti specifisks svārstību periods. Svārsts arī atrod svarīgs pielietojumsģeoloģiskajā izpētē. Ir zināms, ka dažādās vietās visā pasaulē vērtības g ir dažādas. Tie atšķiras, jo Zeme nav pilnīgi regulāra sfēra. Turklāt apgabalos, kur sastopami blīvi ieži, piemēram, dažas metāla rūdas, vērtība g nenormāli augsts. Precīzi mērījumi g ar matemātiskā svārsta palīdzību dažreiz ir iespējams noteikt šādus nogulsnes.
Matemātiskā svārsta kustības vienādojums
Matemātiskais svārsts ir smags materiāla punkts, kas pārvietojas pa vertikālu apli (plakans matemātiskais svārsts) vai pa sfēru (sfērisks svārsts). Pirmajā tuvinājumā matemātisko svārstu var uzskatīt par nelielu slodzi, kas piekārta uz nepaplašināma elastīga pavediena.
Apskatīsim plakana matemātiskā svārsta kustību pa rādiusa apli l centrēts punktā PAR(1. att.). Mēs noteiksim punkta pozīciju M(svārsta) novirzes leņķis j rādiuss OM no vertikāles. Pieskares virzīšana M t virzienā uz pozitīvo leņķi j, mēs sastādīsim dabisku kustības vienādojumu. Šis vienādojums ir izveidots no kustības vienādojuma
mW=F+N, (1)
Kur F ir aktīvais spēks, kas iedarbojas uz punktu, un N- komunikācijas reakcija.
1. attēls
Mēs ieguvām vienādojumu (1) saskaņā ar otro Ņūtona likumu, kas ir dinamikas pamatlikums un nosaka, ka materiāla punkta impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar spēku, kas uz to iedarbojas, t.i.
Pieņemot, ka masa ir nemainīga, mēs varam attēlot iepriekšējo vienādojumu formā
Kur W ir punkta paātrinājums.
Tātad vienādojums (1) projekcijā uz t asi dos mums vienu no dabiskajiem vienādojumiem punkta kustībai pa noteiktu fiksētu gludu līkni:
Mūsu gadījumā mēs iegūstam projekciju uz t asi
,
Kur m ir svārsta masa.
Kopš vai , no šejienes mēs atrodam
.
Samazinot par m un ticot
, (3)
mums beidzot būs:
,
,
,
. (4)
Vispirms apskatīsim mazu svārstību gadījumu. Ielaist sākuma moments svārsts ir novirzīts no vertikāles ar leņķi j un nolaists bez sākuma ātruma. Tad sākotnējie nosacījumi būs:
plkst t= 0, 
. (5)
No enerģijas integrāļa:
, (6)
Kur V- potenciālā enerģija un h ir integrācijas konstante, no tā izriet, ka šajos apstākļos jebkurā brīdī leņķis jЈj 0 . Pastāvīga vērtība h nosaka pēc sākotnējiem datiem. Pieņemsim, ka leņķis j 0 ir mazs (j 0 Ј1); tad arī leņķis j būs mazs un varam aptuveni iestatīt sinj»j. Šajā gadījumā vienādojumam (4) būs šāda forma
. (7)
Vienādojums (7) ir vienkāršas harmoniskas svārstības diferenciālvienādojums. Kopīgs lēmumsšim vienādojumam ir forma
, (8)
Kur A Un B vai a un e ir integrācijas konstantes.
No šejienes mēs uzreiz atrodam periodu ( T) nelielas matemātiskā svārsta svārstības (periods - laika periods, kurā punkts ar tādu pašu ātrumu atgriežas iepriekšējā pozīcijā)
Un 
,
jo grēkam ir periods, kas vienāds ar 2p, tad w T=2p Yu
(9)
Lai atrastu kustības likumu sākotnējos apstākļos (5), mēs aprēķinām:
. (10)
Aizstājot vērtības (5) vienādojumos (8) un (10), mēs iegūstam:
j 0 = A, 0 = w B,
tie. B=0. Līdz ar to kustības likums nelielām svārstībām apstākļos (5) būs šāds:
j = j 0 cos wt. (vienpadsmit)
Tagad atradīsim precīzu plakana matemātiskā svārsta problēmas risinājumu. Vispirms noteiksim kustības vienādojuma (4) pirmo integrāli. Jo
,
tad (4) var attēlot kā
.
Tādējādi, reizinot abas vienādojuma puses ar d j un integrējot, mēs iegūstam:
. (12)
Apzīmēsim šeit j 0 svārsta maksimālās novirzes leņķi; tad j = j 0 mums būs, no kurienes C= w 2 cosj 0 . Rezultātā integrālis (12) dod:
, (13)
kur w nosaka vienādība (3).
Šis integrālis ir enerģijas integrālis, un to var tieši iegūt no vienādojuma
, (14)
kur ir darbs pie pārvietošanas M 0 M aktīvs spēks F, ja mēs to ņemam vērā mūsu gadījumā v 0 =0 un (skatiet attēlu).
No (13) vienādojuma ir skaidrs, ka, svārstam kustoties, leņķis j mainīsies starp vērtībām +j 0 un -j 0 (|j|Јj 0, since), t.i. svārsts veiks svārstīgo kustību. Vienosimies par laika atskaiti t no brīža, kad svārsts iet cauri vertikālei O.A. kad tas pārvietojas pa labi (skat. attēlu). Tad mums būs sākotnējais nosacījums:
plkst t=0, j=0. (15)
Turklāt, pārvietojoties no punkta A griba ; no abām pusēm izriet vienādības (13) Kvadrātsakne, mēs iegūstam:
.
Šeit atdalot mainīgos, mums ir:
. (16)
, 
,
Tas
.
Aizvietojot šo rezultātu vienādojumā (16), mēs iegūstam.
Svārstību kustība- ķermeņa periodiska vai gandrīz periodiska kustība, kuras koordināte, ātrums un paātrinājums vienādos laika intervālos iegūst aptuveni vienādas vērtības.
Mehāniskās vibrācijas rodas, kad, kad ķermenis tiek izņemts no līdzsvara stāvokļa, parādās spēks, kam ir tendence atgriezt ķermeni atpakaļ.
Nobīde x ir ķermeņa novirze no līdzsvara stāvokļa.
Amplitūda A ir ķermeņa maksimālās nobīdes modulis.
Svārstību periods T - vienas svārstības laiks:
Svārstību frekvence
Ķermeņa veikto svārstību skaits laika vienībā: Svārstību laikā periodiski mainās ātrums un paātrinājums. Līdzsvara stāvoklī ātrums ir maksimālais un paātrinājums ir nulle. Maksimālās nobīdes punktos paātrinājums sasniedz maksimumu un ātrums kļūst nulle.
HARMONISKĀS VIBRĀCIJAS GRAFIKS
Harmonisks Vibrācijas, kas rodas saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu, sauc:
kur x(t) ir sistēmas pārvietojums laikā t, A ir amplitūda, ω ir svārstību cikliskā frekvence.
Ja jūs attēlojat ķermeņa novirzi no līdzsvara stāvokļa pa vertikālo asi, bet laiku - pa horizontālo asi, jūs iegūsit svārstību grafiku x = x(t) - ķermeņa pārvietošanās atkarību no laika. Brīvām harmoniskām svārstībām tas ir sinusa vilnis vai kosinusa vilnis. Attēlā parādīti nobīdes x, ātruma V x un paātrinājuma a x atkarības no laika grafiki.
Kā redzams no grafikiem, pie maksimālās nobīdes x svārstošā ķermeņa ātrums V ir nulle, paātrinājums a un līdz ar to spēks, kas iedarbojas uz ķermeni, ir maksimāls un vērsts pretēji pārvietojumam. Līdzsvara stāvoklī pārvietojums un paātrinājums kļūst par nulli, un ātrums ir maksimālais. Paātrinājuma projekcijai vienmēr ir novirzei pretēja zīme.
VIBRĀCIJAS KUSTĪBAS ENERĢIJA
Svārstoša ķermeņa kopējā mehāniskā enerģija ir vienāda ar tā kinētiskās un potenciālās enerģijas summu, un, ja nav berzes, tā paliek nemainīga:
Brīdī, kad pārvietojums sasniedz maksimumu x = A, ātrums un līdz ar to arī kinētiskā enerģija iet uz nulli.
Šajā gadījumā kopējā enerģija ir vienāda ar potenciālo enerģiju:
Svārstoša ķermeņa kopējā mehāniskā enerģija ir proporcionāla tā svārstību amplitūdas kvadrātam.
Kad sistēma šķērso līdzsvara stāvokli, pārvietojums un potenciālā enerģija ir nulle: x = 0, E p = 0. Tāpēc kopējā enerģija ir vienāda ar kinētisko enerģiju:
Svārstoša ķermeņa kopējā mehāniskā enerģija ir proporcionāla tā ātruma kvadrātam līdzsvara stāvoklī. Tātad:
MATEMĀTISKĀ Svārsts
1. Matemātikas svārsts ir materiāls punkts, kas piekārts uz bezsvara nestiepjama pavediena.
Līdzsvara stāvoklī gravitācijas spēku kompensē vītnes spriegojums. Ja svārsts tiek novirzīts un atlaists, spēki pārstās viens otru kompensēt, un radīsies rezultējošais spēks, kas vērsts uz līdzsvara stāvokli. Otrais Ņūtona likums:
Mazām svārstībām, kad pārvietojums x ir daudz mazāks par l, materiālais punkts pārvietosies gandrīz pa horizontālo x asi. Tad no trīsstūra MAB mēs iegūstam:
Jo sin a = x/l, tad iegūtā spēka R projekcija uz x asi ir vienāda ar
Mīnusa zīme parāda, ka spēks R vienmēr ir vērsts pretī pārvietojumam x.
2. Tātad matemātiskā svārsta svārstību laikā, kā arī atsperes svārsta svārstību laikā atjaunojošais spēks ir proporcionāls pārvietojumam un ir vērsts pretējā virzienā.
Salīdzināsim matemātisko un atsperu svārstu atjaunojošā spēka izteiksmes:
Var redzēt, ka mg/l ir k analogs. Atsperes svārsta perioda formulā k aizstāšana ar mg/l
iegūstam matemātiskā svārsta perioda formulu:
Matemātiskā svārsta mazo svārstību periods nav atkarīgs no amplitūdas.
Lai mērītu laiku un noteiktu gravitācijas paātrinājumu noteiktā vietā uz zemes virsmas, izmanto matemātisko svārstu.
Matemātiskā svārsta brīvās svārstības pie maziem novirzes leņķiem ir harmoniskas. Tie rodas gravitācijas spēka un vītnes stiepes spēka, kā arī slodzes inerces rezultātā. Šo spēku rezultāts ir atjaunojošais spēks.
Piemērs. Nosakiet gravitācijas paātrinājumu uz planētas, kur 6,25 m garam svārsta brīvās svārstības periods ir 3,14 s.
Matemātiskā svārsta svārstību periods ir atkarīgs no vītnes garuma un gravitācijas paātrinājuma:
Saliekot kvadrātā abas vienādības puses, mēs iegūstam:
Atbilde: gravitācijas paātrinājums ir 25 m/s 2 .
Problēmas un testi par tēmu "4. tēma. "Mehānika. Svārstības un viļņi."
- Šķērsvirziena un garenviļņi. Viļņa garums
Nodarbības: 3 Uzdevumi: 9 Pārbaudījumi: 1
- Skaņas viļņi. Skaņas ātrums - Mehāniskās vibrācijas un viļņi. Skaņa 9. klase
Kas ir matemātiskais svārsts?
No iepriekšējām nodarbībām jums jau vajadzētu zināt, ka svārsts, kā likums, nozīmē ķermeni, kas svārstās gravitācijas mijiedarbības ietekmē. Tas ir, mēs varam teikt, ka fizikā šis jēdziens parasti tiek uzskatīts par cietu ķermeni, kas gravitācijas ietekmē veic svārstības kustības, kas notiek ap fiksētu punktu vai asi.
Matemātiskā svārsta darbības princips
Tagad apskatīsim matemātiskā svārsta darbības principu un uzzināsim, kas tas ir.
Matemātiskā svārsta darbības princips ir tāds, ka materiālam punktam novirzoties no līdzsvara stāvokļa par nelielu leņķi a, tas ir, leņķi, kurā būtu izpildīts nosacījums sina=a, tad spēks F = -mgsina = - mga iedarbosies uz ķermeni.
Jūs un es redzam, ka spēks F ir negatīvs rādītājs, un no tā izriet, ka mīnusa zīme norāda, ka šis spēks ir vērsts virzienā, kas ir pretējs pārvietojumam. Un, tā kā spēks F ir proporcionāls pārvietojumam S, no tā izriet, ka šāda spēka ietekmē materiālais punkts veiks harmoniskas svārstības.
Svārsta īpašības
Ja ņemam jebkuru citu svārstu, tā svārstību periods ir atkarīgs no daudziem faktoriem. Šie faktori ietver:
Pirmkārt, ķermeņa izmērs un forma;
Otrkārt, attālums, kas pastāv starp balstiekārtas punktu un smaguma centru;
Treškārt, arī ķermeņa masas sadalījums attiecībā pret doto punktu.
Saistībā ar šiem dažādajiem svārsta apstākļiem, nokarenā ķermeņa perioda noteikšana ir diezgan sarežģīta.
Un, ja mēs ņemam matemātisko svārstu, tad tam ir visas tās īpašības, kuras var pierādīt, izmantojot zināmus fiziskie likumi un tā periodu var viegli aprēķināt, izmantojot formulu.
Veicot daudz dažādu novērojumu šādām mehāniskām sistēmām, fiziķi spēja noteikt šādus modeļus:
Pirmkārt, svārsta darbības laiks nav atkarīgs no slodzes masas. Tas ir, ja ar vienādu svārsta garumu mēs no tā apturam svarus, kuriem ir atšķirīga masa, tad to svārstību periods joprojām būs vienāds, pat ja to masām ir diezgan pārsteidzošas atšķirības.
Otrkārt, ja, iedarbinot sistēmu, novirzīsim svārstu par maziem, bet atšķirīgiem leņķiem, tad tā svārstībām būs vienāds periods, bet amplitūdas būs atšķirīgas. Ar nelielām novirzēm no līdzsvara centra vibrācijām to formā būs gandrīz harmonisks raksturs. Tas ir, mēs varam teikt, ka šāda svārsta periods nav atkarīgs no svārstību amplitūdas. Tulkojumā no grieķu valodas šo mehāniskās sistēmas īpašību sauc par izohronismu, kur “isos” nozīmē vienāds, bet “chronos” nozīmē laiku.
Svārsta svārstību praktiska izmantošana
Matemātiskais svārsts priekš dažādi pētījumi izmanto fiziķi, astronomi, mērnieki un citi zinātnieki. Ar šāda svārsta palīdzību viņi meklē minerālus. Vērojot matemātiskā svārsta paātrinājumu un saskaitot tā svārstību skaitu, mūsu Zemes zarnās var atrast ogļu un rūdas atradnes.
Slavenais franču astronoms un dabaszinātnieks K. Flamarons apgalvoja, ka ar matemātiskā svārsta palīdzību viņam izdevies paveikt daudz svarīgi atklājumi, tostarp Tunguskas meteorīta parādīšanos un jaunas planētas atklāšanu.
Mūsdienās daudzi ekstrasensi un okultisti izmanto šādu mehānisku sistēmu, lai meklētu pazudušus cilvēkus un veiktu pravietiskas prognozes.
Definīcija
Matemātikas svārsts-Šo īpašs gadījums fiziskais svārsts, kura masa atrodas vienā punktā.
Parasti matemātisko svārstu uzskata par mazu lodīšu (materiāla punktu) ar lielu masu, kas ir piekārta uz gara nepaplašināma vītnes (suspensijas). Šī ir idealizēta sistēma, kas svārstās gravitācijas ietekmē. Tikai leņķiem no 50 līdz 100 matemātiskais svārsts ir harmonisks oscilators, tas ir, tas veic harmoniskas svārstības.
Pētot lustras šūpošanos uz garas ķēdes, Galileo pētīja matemātiskā svārsta īpašības. Viņš saprata, ka dotās sistēmas svārstību periods nav atkarīgs no amplitūdas pie maziem novirzes leņķiem.
Matemātiskā svārsta svārstību perioda formula
Ļaujiet svārsta piekares punktam būt nekustīgam. No svārsta vītnes piekārtā slodze pārvietojas pa apļveida loku (1. att. a)) ar paātrinājumu, un uz to iedarbojas noteikts atjaunojošs spēks ($\overline(F)$). Šis spēks mainās, pārvietojoties slodzei. Rezultātā kustības aprēķins kļūst sarežģīts. Ieviesīsim dažus vienkāršojumus. Lai svārsts svārstās nevis plaknē, bet apraksta konusu (1. att. (b)). Šajā gadījumā slodze pārvietojas pa apli. Mūs interesējošo svārstību periods sakritīs ar slodzes koniskās kustības periodu. Koniskā svārsta apgrieziena periods ap apli ir vienāds ar laiku, ko slodze pavada vienā apgriezienā ap apli:
kur $L$ ir apkārtmērs; $v$ ir kravas kustības ātrums. Ja vītnes novirzes leņķi no vertikāles ir mazi (mazas vibrāciju amplitūdas), tad pieņem, ka atjaunojošais spēks ($F_1$) ir vērsts pa apļa rādiusu, kuru raksturo slodze. Tad šis spēks ir vienāds ar centripetālo spēku:
Apsvērsim līdzīgi trīsstūri: AOB un DBC (1. att. (b)).
Mēs pielīdzinām izteiksmes (2) un (3) labās puses un izsakām kravas kustības ātrumu:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Mēs aizstājam iegūto ātrumu formulā (1), mums ir:
\ \
No formulas (5) redzam, ka matemātiskā svārsta periods ir atkarīgs tikai no tā balstiekārtas garuma (attāluma no piekares punkta līdz slodzes smaguma centram) un brīvā kritiena paātrinājuma. Formulu (5) matemātiskā svārsta periodam sauc par Haigensa formulu; tā tiek izpildīta, ja svārsta piekares punkts nekustas.
Izmantojot matemātiskā svārsta svārstību perioda atkarību no gravitācijas paātrinājuma, nosaka šī paātrinājuma lielumu. Lai to izdarītu, izmēra svārsta garumu, ņemot vērā lielu skaitu svārstību, atrodiet periodu $T$, pēc tam aprēķiniet gravitācijas paātrinājumu.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
1. piemērs
Vingrinājums. Kā zināms, gravitācijas izraisītā paātrinājuma lielums ir atkarīgs no platuma. Kāds ir gravitācijas paātrinājums Maskavas platuma grādos, ja matemātiskā svārsta ar garumu $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m svārstību periods ir vienāds ar T=1 s?\textit()
Risinājums. Kā pamatu problēmas risināšanai ņemam matemātiskā svārsta perioda formulu:
Izteiksim no (1.1) brīvā kritiena paātrinājumu:
Aprēķināsim nepieciešamo paātrinājumu:
Atbilde.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
2. piemērs
Vingrinājums. Kāds būs matemātiskā svārsta svārstību periods, ja tā balstiekārtas punkts virzās vertikāli uz leju 1) ar nemainīgs ātrums? 2) ar paātrinājumu $a$? Šī svārsta vītnes garums ir $l.$
Risinājums. Uztaisīsim zīmējumu.
1) Matemātiskā svārsta periods, kura atsperes punkts kustas vienmērīgi, ir vienāds ar svārsta periodu ar fiksētu atsperes punktu:
2) Svārsta piekares punkta paātrinājumu var uzskatīt par papildu spēka parādīšanos, kas vienāda ar $F=ma$, kas ir vērsta pret paātrinājumu. Tas ir, ja paātrinājums ir vērsts uz augšu, tad papildu spēks ir vērsts uz leju, kas nozīmē, ka tas summējas līdz gravitācijas spēkam ($mg$). Ja piekares punkts pārvietojas ar lejupvērstu paātrinājumu, tad papildu spēks tiek atņemts no gravitācijas spēka.
Mēs atrodam matemātiskā svārsta periodu, kas svārstās un kura piekares punkts pārvietojas ar paātrinājumu šādi:
Atbilde. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
