Piecu izliekto regulāro daudzskaldņu nosaukumi ir tetraedrs, kubs, oktaedrs, dodekaedrs un ikosaedrs. Daudzskaldnis ir nosaukts Platona vārdā, kurš op. Timejs (4. gadsimts pirms mūsu ēras) piešķīra viņiem misticismu. nozīme; bija zināmi pirms Platona... Matemātiskā enciklopēdija
Tas pats, kas parastais daudzskaldnis... Liels Padomju enciklopēdija
- ... Vikipēdija
Fedons jeb Par dvēseles nemirstību, kas nosaukts Sokrata skolnieka Fedona vārdā (sk.), Platona dialogs ir viens no izcilākajiem. Šis ir vienīgais Platona dialogs, ko nosauc Aristotelis, un viens no retajiem, ko par autentisku atzīst... ...
enciklopēdiskā vārdnīca F. Brokhauss un I.A. Efrons
Viens no labākajiem Platona mākslinieciskajiem un filozofiskajiem dialogiem, par autentisku atzīts gan senatnes, gan mūsdienu zinātnes vienprātīgā spriedumā. Jaunākajā platoniskajā kritikā viņi strīdējās tikai par tās rakstīšanas laiku: daži liek... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons
Filozofiskās idejas Platona rakstos- īsumā Platona filozofiskais mantojums ir plašs, tas sastāv no 34 darbiem, kas gandrīz pilnībā ir saglabājušies un nonākuši līdz mums. Šie darbi ir rakstīti galvenokārt dialoga formā, un tajos galvenais varonis lielākoties ir... ... Mazais pasaules filozofijas tēzaurs
Dodekaedrs Regulārais daudzskaldnis jeb platoniskā cietviela ir izliekts daudzskaldnis ar vislielāko iespējamo simetriju. Daudzskaldnis tiek saukts par regulāru, ja: tas ir izliekts; visas tā skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri katrā tā... ... Wikipedia
Platoniskas cietvielas, izliekti daudzskaldņi, kuru visas skaldnes ir identiski regulāri daudzstūri un visi daudzskaldņu leņķi virsotnēs ir regulāri un vienādi (1.a 1.e att.). Eiklīda telpā E 3 ir pieci P. m., par kuriem dati ir doti ... Matemātiskā enciklopēdija
DVĒSELES- [Grieķi ψυχή] kopā ar ķermeni veido cilvēka sastāvu (sk. rakstus Dihotomisms, Antropoloģija), vienlaikus būdams patstāvīgs princips; Cilvēka tēls satur Dieva tēlu (pēc dažu Baznīcas tēvu domām, pēc citu domām, Dieva tēls ir ietverts it visā... ... Pareizticīgo enciklopēdija
Grāmatas
- Timejs (2011. gada izd.), Platons. Platona Tīmejs ir vienīgais Platona kosmoloģijas sistemātiskais izklāsts, kas līdz šim parādījās tikai izkaisītā un nejaušā veidā. Tas radīja Timaja slavu ar...
- Diskusijas jautājumi par dvēseli. Studies 6, Aquinas F.. 'Disputācijas jautājumu' (quaestiones disputatae) žanrs ir īpašs skolas žanrs, ko izmantoja viduslaiku universitātēs. 'Apspriežamie jautājumi par dvēseli' ir viens no...
Vadītājs: Rustamova R.M.
Platona cietvielu rotācijas skaitļi
Pētījuma problēma: vai platonisko cietvielu rotācija vienmēr rada labi zināmas rotācijas figūras: konusu, cilindru, lodi.
Pētījuma objekts: daudzi telpiskie ķermeņi un figūras.
Studiju priekšmets: Platoniskas cietvielas.
Pētījuma mērķis: identificēt regulāru daudzskaldņu (platonisko cietvielu) rotācijas figūru grupas.
Hipotēze:Ja atrodat simetrijas asis platoniskajās cietajās ķermeņos, tad, griežot ap šīm asīm, varat iegūt labi zināmos rotācijas skaitļus. Pētījuma mērķi:
- Izpētiet platoniskās cietās vielas un to īpašības.
- Eksperimentāli pārbaudiet regulāru daudzskaldņu (platonisko cietvielu) rotāciju, mainot to rotācijas asis.
- Atrodiet un identificējiet platonisko cietvielu rotācijas asis, kas ļauj šiem ķermeņiem "pārvērsties" par identiskām rotācijas figūrām.
- Noteikt rotācijas figūru grupas, kas iegūtas, rotējot platoniskas cietvielas.
Pētījuma posmi:
Pirmais posms ir teorētisks.Šajā posmā es pētīju Platona cietās vielas un to īpašības.
Otrā fāze- eksperimentāls. Tas sastāvēja no eksperimenta par platonisku cietvielu rotāciju, izvēloties regulāru daudzskaldņu rotācijas asis
Trešais posms - galīgais. Tas bija veltīts eksperimenta rezultātu vispārināšanai, tika izveidotas identisku rotācijas figūru grupas, kuras iegūtas, rotējot regulārus daudzskaldņus.
Rotācijas figūras: konuss, cilindrs, vienas loksnes hiperboloīds.
Platoniskas cietvielas: tetraedrs, oktaedrs, heksaedrs (kubs), ikosaedrs, dodekaedrs.
Kubam un ikosaedram ir kopīgas simetrijas asis: taisne, kas iet cauri pretējām virsotnēm; ikosaedram un dodekaedram - taisna līnija, kas iet caur pretējo virsmu centriem, pie kuras iegūst identiskus rotācijas skaitļus.
Līdz ar to tetraedram izvēlamies rotācijas asis: taisnu līniju, kas iet cauri tetraedra virsotnei ar pretējās skaldnes centru; taisna līnija, kas iet caur pretējo malu viduspunktiem. Visām platoniskām cietām vielām, izņemot tetraedru, ir vienādas rotācijas asis: taisne, kas iet caur pretējām virsotnēm; taisna līnija, kas iet caur pretējo virsmu centriem; taisna līnija, kas iet cauri divu pretējo malu viduspunktiem.
Ja taisne (ģenerē virsmu) ir perpendikulāra griešanās asij, tad iegūst plakni.
Ja taisne (radošā virsma) ir paralēla griešanās asij, tad iegūst cilindrisku virsmu.
Ja taisna līnija (veidojot virsmu) krustojas ar rotācijas asi, tad iegūst konisku virsmu.
Ja taisne (ģenerē virsmu) krustojas ar rotācijas asi, tad iegūst vienas loksnes apgriezienu hiperboloīdu.
Pagriežot platoniskās cietvielas, varat iegūt tādus pašus rotācijas skaitļus:
- pēc tetraedra un oktaedra rotācijas rotācijas figūra ir vienas loksnes hiperboloīds un arī divi konusi ar kopīgu pamatni;
- pēc ikosaedra un dodekaedra rotācijas– divu nošķeltu konusu un vienas loksnes hiperboloīda sistēma;
- pagriežot ikosaedru un kubu- divu konusu sistēma un vienas loksnes hiperboloīds.
PLATONIJAS CIEVIELU ĢEOMETRIJA
mainīt no 24.06.2013 - (pievienots)
Galvenās piecas platoniskās cietās vielas ir: oktaedrs, zvaigžņu tetraedrs, kubs, dodekaedrs, ikosaedrs.
Katrs no ģeometriskajiem rakstiem, neatkarīgi no tā, vai tas ir atomu kodols, mikroklasteri, globālais režģis vai attālumi starp planētām, zvaigznēm, galaktikām, ir viena no piecām galvenajām "platoniskajām cietajām vielām".
Kāpēc līdzīgi modeļi tik bieži sastopami dabā? Viens no pirmajiem padomiem: matemātiķi zināja, ka šīm formām ir vairāk "simetrijas" nekā jebkurai trīsdimensiju ģeometrijai, ko mēs varam izveidot.
No Roberta Lolora grāmatas "Svētā ģeometrija" mēs varam uzzināt, ka hinduisti platonisko cietvielu ģeometriju samazināja oktāvas struktūrā, ko mēs redzam skaņai un gaismai (notis un krāsas). Grieķu matemātiķis un filozofs Pitagors, secīgi dalot frekvenci ar pieciem, vispirms izstrādāja astoņus “tīrus” oktāvas toņus, kas pazīstami kā diatoniskā skala. Viņš paņēma vienas stīgas “monohordu” un izmērīja precīzus viļņu garumus, spēlējot dažādas notis. Pitagors parādīja, ka katras nots frekvenci (vai vibrācijas ātrumu) var attēlot kā attiecību starp divām virknes daļām vai diviem skaitļiem, tāpēc termins "diatoniskā attiecība".
Tālāk esošajā tabulā ir norādītas ģeometrijas noteiktā secībā, saistot tās ar spirāles numuru fi(). Tas sniedz pilnīgu un pilnīgu priekšstatu par to, kā dažādas vibrācijas darbojas kopā. Tas ir balstīts uz kuba malu garuma piešķiršanu, kas vienāds ar " 1 " Pēc tam mēs salīdzinām visu pārējo formu malas ar šo vērtību neatkarīgi no tā, vai tās ir lielākas vai mazākas. Mēs zinām, ka platoniskajās cietajās daļās katrai sejai ir vienāda forma, katrs leņķis ir identisks, katrs mezgls atrodas vienādā attālumā no jebkura cita mezgla un katra līnija ir vienāda garuma.
1 sfēra (bez sejām) 2 Centrālais ikosaedrs 1/phi 2 3 Oktaedrs 1/ √2 4 zvaigžņu tetraedrs √2 5 Kubs 1 6 Dodekaedrs 1/phi 7 Ikozaedrs phi 8. sfēra (bez sejām)Tas palīdzēs saprast, kā ar phi spirāles vibrāciju palīdzību platoniskās cietās vielas pamazām ieplūst viena otrā.
VISUMA DAUDZDIMENSIONALITĀTE
Pati koncepcija par platonisko ģeometriju saistību ar augstākām plaknēm rodas tāpēc, ka zinātnieki zina: tur ir jābūt ģeometrijai; viņi to atrada vienādojumos. Lai nodrošinātu “vairāk vietas” neredzamām papildu asīm, kas parādās “slēptos” 90° pagriezienos, ir nepieciešamas platoniskas ģeometrijas. Datu analīzes metodē katra ģeometriskās formas seja apzīmē citu asi vai plakni, kurā tā varētu griezties. Kad mēs sākam aplūkot Fullera un Dženijas darbus, mēs redzam, ka ideja par citām plaknēm, kas eksistē "slēptos" 90° pagriezienos, ir vienkārši nepareizs skaidrojums, kas balstīts uz zināšanu trūkumu par "svētajām" saiknēm starp ģeometriju. un vibrācija.
Ļoti iespējams, ka tradicionālie zinātnieki nekad nesapratīs, ka senajām kultūrām varētu būt bijusi “izlaists savienojums”, kas būtiski vienkāršo un apvieno visas mūsdienu kosmosa fizikas teorijas. Lai gan var šķist neticami, ka “primitīvai” kultūrai būtu bijusi piekļuve šāda veida informācijai, pierādījumi ir skaidri. Izlasiet Prasada klasisko grāmatu, pagaidām var redzēt, ka Vēdiskajai kosmoloģijai ir zinātniska meistarība.
Ko jūs domājat, ka redzat? - šī ir sprāgstoša zvaigzne, no kuras izplūst putekļi... Bet šeit skaidri redzams kaut kāds enerģijas lauks, kas strukturē putekļus, izplešoties ļoti precīzā ģeometriskā zīmējumā:
Problēma ir tāda, ka tradicionālajos fizikas modeļos tipiskie magnētiskie lauki vienkārši nepieļauj šādu ģeometrisku precizitāti. Zinātnieki īsti nemāk tādas lietas saprast!
Zemāk redzamajā attēlā ir JAUNAIS miglājs, kas ir ideāls "kvadrāts". Tomēr tā joprojām ir divdimensiju domāšana. Kas ir kvadrāts trīs dimensijās?
Protams, kubs!
Novērots infrasarkanajā gaismā, miglājs atgādina milzu mirdzošu kastīti debesīs ar spilgti baltu iekšējo kodolu. Mirstošā zvaigzne MWC 922 atrodas sistēmas centrā un izspiež iekšas telpā no pretējiem poliem. Pēc tam, kad MWC 922 ir izplatījis lielāko daļu sava materiāla kosmosā, tas sabruks blīvā zvaigžņu ķermenī, kas pazīstams kā baltais punduris, paslēpts gružu mākoņos.
Lai gan ir attāli iespējams, ka zvaigznes sprādziens virzās tikai vienā virzienā, veidojot vairāk piramīdas formas, redzamais ir ideāls kubs kosmosā. Tā kā visas četras kuba malas ir vienāda garuma un ideāli 90° leņķī viena pret otru, un atkal kubam ir strukturēti “soļi”, ko redzējām iepriekšējā attēlā, zinātnieki ir pilnīgā neizpratnē. Kubam ir vēl VAIRĀK SIMETRIJĀS nekā “taisnstūrveida” miglājam!
Šādi raksti parādās ne tikai kosmosa plašumos. Tie rodas arī vismazākajā atomu un molekulu līmenī, piemēram, parastā galda sāls kubiskajā struktūrā vai nātrija hlorīds. Pang Tsaya (Japāna) nofotografēja alumīnija-vara-dzelzs sakausējuma kvazikristālus dodekaedra formā un alumīnija-niķeļa-kobalta sakausējumu desmitstūra (desmit šķautņu) prizmas formā (skatiet fotoattēlu). Problēma ir tāda Jūs nevarat izveidot šādus kristālus, izmantojot atsevišķus atomus, kas savienoti kopā.
Vēl viens piemērs ir Bozes-Einšteina kondensāts. Īsāk sakot, Bozes-Einšteina kondensāts ir liela atomu grupa, kas darbojas kā viena "daļiņa", kurā katrs to veidojošais atoms vienlaikus aizņem visu telpu un visu laiku visā struktūrā. Tiek mērīts, ka visi atomi vibrē ar tādu pašu frekvenci, pārvietojas ar tādu pašu ātrumu un atrodas vienā un tajā pašā telpas reģionā. Tas ir paradoksāli, bet dažādas sistēmas daļas darbojas kā vienots veselums, zaudējot visas individualitātes pazīmes. Tas ir tieši tas īpašums, kas nepieciešams “supravadītājam”. Parasti Bose-Einšteina kondensāti var veidoties ļoti zemā temperatūrā. Tomēr tieši šos procesus mēs novērojam mikroklasteros un kvazikristālos, kuriem nav individuālas atomu identitātes.
Vēl viens līdzīgs process ir lāzera gaismas darbība, kas pazīstama kā “koherenta” gaisma. Telpā un laikā viss lāzera stars darbojas kā viens "fotons", tas ir, nav iespējams atdalīt atsevišķus fotonus lāzera starā.
Turklāt 60. gadu beigās angļu fiziķis Herberts Frēlihs to ierosināja dzīvās sistēmas bieži uzvedas kā Bozes-Einšteina kondensāti, tikai plašā mērogā.
Miglāja fotoattēli sniedz satriecošus, redzamus pierādījumus tam, ka spēlē ģeometrija. O lielāka loma Visuma spēkos, nekā vairums cilvēku varētu ticēt. Mūsu zinātnieki var tikai cīnīties, lai izprastu šo fenomenu esošo tradicionālo modeļu ietvaros.
Stahovs A.P.
“Da Vinči kods”, platoniskās un arhimēdiskās cietvielas, kvazikristāli, fullerēni, Penrouza režģi un mātes Teijas Krašekas mākslinieciskā pasaule
anotācija
Slovēņu mākslinieces Matjuškas Tejas Krašekas darbs krievvalodīgajam lasītājam ir maz zināms. Tajā pašā laikā Rietumos to sauc par “Austrumeiropas Escher” un “Slovēnijas dāvanu” pasaules kultūras sabiedrībai. Viņas mākslinieciskās kompozīcijas ir iedvesmotas no jaunākajiem zinātnes atklājumiem (fullerēni, Dena Šetmana kvazikristāli, Penrouza flīzes), kuru pamatā savukārt ir regulāri un pusregulāri daudzstūri (Platona un Arhimēda cietvielas), Zelta attiecība un Fibonači skaitļi.
Kas ir Da Vinči kods?
Protams, katrs cilvēks ne reizi vien ir domājis par jautājumu, kāpēc daba spēj radīt tik pārsteidzošas harmoniskas struktūras, kas priecē un priecē aci. Kāpēc mākslinieki, dzejnieki, komponisti, arhitekti rada pārsteidzošus mākslas darbus no gadsimta līdz gadsimtam. Kāds ir viņu harmonijas noslēpums un kādi likumi ir šo harmonisko radījumu pamatā?
Šo likumu, "Visuma harmonijas likumu" meklēšana sākās senajā zinātnē. Tieši šajā cilvēces vēstures periodā zinātnieki nonāca pie vairākiem pārsteidzošiem atklājumiem, kas caurstrāvo visu zinātnes vēsturi. Pirmais no tiem pamatoti tiek uzskatīts par brīnišķīgu matemātisko proporciju, kas izsaka harmoniju. To sauc savādāk: “zelta proporcija”, “zelta skaitlis”, “zelta vidējais”, “zelta attiecība” un pat "dievišķā proporcija" Zelta attiecība ko sauc arī par PHI numurs par godu izcilajam sengrieķu tēlniekam Fidiasam, kurš izmantoja šo skaitli savās skulptūrās.
Trilleris "Da Vinči kods", ko sarakstījis populārais angļu rakstnieks Dens Brauns, kļuvis par 21. gadsimta bestselleru. Bet ko nozīmē Da Vinči kods? Uz šo jautājumu ir dažādas atbildes. Ir zināms, ka slavenā “Zelta sekcija” bija Leonardo da Vinči uzmanības un aizraušanās objekts. Turklāt pašu nosaukumu “Zelta griezums” Eiropas kultūrā ieviesa Leonardo da Vinči. Pēc Leonardo iniciatīvas slavenais itāļu matemātiķis un zinātniskais mūks Luka Pacioli, Leonardo da Vinči draugs un zinātniskais padomnieks, izdeva grāmatu “Divina Proportione”, pirmo matemātisko darbu pasaules literatūrā par Zelta griezumu, ko autors nosauca par “Dievišķo”. Proporcija”. Ir arī zināms, ka Leonardo pats ilustrēja šo slaveno grāmatu, uzzīmējot tai 60 brīnišķīgus zīmējumus. Tieši šie fakti, kas vispārējai zinātnieku aprindai nav ļoti labi zināmi, dod mums tiesības izvirzīt hipotēzi, ka “Da Vinči kods” ir nekas cits kā “Zelta attiecība”. Un apstiprinājumu šai hipotēzei var atrast lekcijā studentiem Hārvardas Universitātē, kas atgādina galvenais varonis grāmatas "Da Vinči kods" prof. Lengdons:
“Neskatoties uz tā gandrīz mistisko izcelsmi, PHI numuram bija unikāla loma savā veidā. Ķieģeļa loma visas dzīvības uz zemes veidošanā. Visi augi, dzīvnieki un pat cilvēki ir apveltīti ar fiziskām proporcijām, kas aptuveni vienādas ar PHI skaitļa attiecības sakni ar 1. Šī PHI visuresamība dabā... norāda uz visu dzīvo būtņu saistību. Iepriekš tika uzskatīts, ka PHI numuru iepriekš noteica Visuma Radītājs. Senatnes zinātnieki vienu punktu seši simti astoņpadsmit tūkstošdaļas sauca par “dievišķo proporciju”.
Tādējādi slavenais iracionālais skaitlis PHI = 1,618, ko Leonardo da Vinči nosauca par “Zelta koeficientu”, ir “Da Vinči kods”!
Vēl viens senās zinātnes matemātiskais atklājums ir regulāri daudzskaldnis kas tika nosaukti "Platoniskas cietvielas" Un "pusregulārs daudzskaldnis", zvanīja "Arhimēda cietās vielas". Tieši šīs pārsteidzoši skaistās telpiskās ģeometriskās figūras ir pamatā diviem no lielākajiem 20. gadsimta zinātniskajiem atklājumiem - kvazikristāli(atklājuma autors ir Izraēlas fiziķis Dens Šehmans) un fullerēni(Nobela prēmija 1996). Šie divi atklājumi ir nozīmīgākais apstiprinājums tam, ka tieši Zelta proporcija ir Universālais dabas kods (“Da Vinči kods”), kas ir Visuma pamatā.
Kvazikristālu un fullerēnu atklāšana ir iedvesmojusi daudzus mūsdienu māksliniekus radīt darbus, kas mākslinieciskā formā attēlo svarīgākos 20. gadsimta fiziskos atklājumus. Viens no šiem māksliniekiem ir slovēņu mākslinieks Māte Teia Krašeka.Šis raksts iepazīstina ar mātes Teijas Krašekas māksliniecisko pasauli caur jaunāko zinātnisko atklājumu prizmu.
Platoniskas cietvielas
Cilvēks izrāda interesi par regulāriem daudzstūriem un daudzstūriem visas savas apzinātās darbības laikā - no plkst divus gadus vecs bērns no spēlēšanās ar koka klucīšiem līdz nobriedušam matemātiķim. Daļa regulāro un pusregulāro ķermeņu dabā sastopami kristālu veidā, citi – vīrusu veidā, kurus var izmeklēt ar elektronu mikroskopu.
Kas ir regulārs daudzskaldnis? Parasts daudzskaldnis ir tāds daudzstūris, kura visas skaldnes ir vienādas (vai kongruentas) viena ar otru un tajā pašā laikā ir regulāri daudzstūri. Cik regulāru daudzskaldņu ir? No pirmā acu uzmetiena atbilde uz šo jautājumu ir ļoti vienkārša – regulāru daudzstūru ir tik daudz, cik ir. Tomēr tā nav. Eiklida elementos mēs atrodam stingru pierādījumu tam, ka ir tikai pieci izliekti regulāri daudzstūri, un to skaldnes var būt tikai trīs veidu regulāri daudzstūri: trijstūri, kvadrāti Un piecstūri (parastie piecstūri).
Daudzskaldņu teorijai ir veltītas daudzas grāmatas. Viena no slavenākajām ir angļu matemātiķa M. Vennigera grāmata “Models of Polyhedra”. Šo grāmatu krievu valodā tulkoja izdevniecība Mir 1974. gadā. Grāmatas epigrāfs ir Bertrāna Rasela paziņojums: "Matemātikai piemīt ne tikai patiesība, bet arī augsts skaistums - skaistums, kas ir asināts un stingrs, cildeni tīrs un tiecas pēc patiesas pilnības, kas raksturīgs tikai izcilākajiem mākslas paraugiem."
Grāmata sākas ar aprakstu par t.s regulāri daudzskaldnis, tas ir, daudzskaldnis, ko veido vienkāršākie tāda paša veida regulārie daudzstūri. Šos daudzskaldņus parasti sauc Platoniskas cietvielas(1. att.) ,
nosaukts sengrieķu filozofa Platona vārdā, kurš izmantoja regulārus daudzskaldņus savā kosmoloģija.
1. attēls. Platoniskas cietvielas: a) oktaedrs (“Uguns”), b) heksaedrs vai kubs (“Zeme”),
(c) oktaedrs (“gaiss”), d) ikosaedrs (“Ūdens”), (e) dodekaedrs (“universālais prāts”).
Mēs sāksim savu izskatīšanu ar regulāri daudzskaldnis, kuru sejas ir vienādmalu trijstūri. Pirmais ir tetraedrs(1-a att.). Tetraedrā trīs vienādmalu trijstūri satiekas vienā virsotnē; tajā pašā laikā to pamatnes veido jaunu vienādmalu trīsstūri. Tetraedram ir vismazākais skalu skaits starp platoniskām cietām vielām, un tas ir plakana regulāra trijstūra trīsdimensiju analogs, kuram ir vismazākais malu skaits starp parastajiem daudzstūriem.
Tiek saukts nākamais ķermenis, kuru veido vienādmalu trijstūri oktaedrs(1.-b att.). Oktaedrā četri trīsstūri satiekas vienā virsotnē; rezultāts ir piramīda ar četrstūrainu pamatni. Ja jūs savienojat divas šādas piramīdas ar to pamatiem, jūs iegūstat simetrisks ķermenis ar astoņām trīsstūrveida sejām - oktaedrs.
Tagad jūs varat mēģināt savienot piecus vienādmalu trīsstūrus vienā punktā. Rezultāts būs figūra ar 20 trīsstūrveida sejām - ikosaedrs(Zīm.1-d).
Nākamais pareiza forma daudzstūris - kvadrāts. Ja vienā punktā savienojam trīs kvadrātus un pēc tam pievienojam vēl trīs, mēs iegūstam perfektu formu ar sešām malām sešskaldnis vai kubs(1.-c att.).
Visbeidzot, pastāv vēl viena iespēja izveidot regulāru daudzskaldni, pamatojoties uz šāda regulāra daudzstūra izmantošanu - Pentagons. Ja savāc 12 piecstūrus tā, ka katrā punktā satiekas trīs piecstūri, iegūstam vēl vienu platonisku cietvielu, t.s. dodekaedrs(Zīm.1-d).
Nākamais regulārais daudzstūris ir sešstūris. Taču, ja vienā punktā savienojam trīs sešstūrus, iegūstam virsmu, proti, no sešstūriem nav iespējams uzbūvēt trīsdimensiju figūru. Jebkuri citi regulāri daudzstūri virs sešstūra nevar veidot cietvielas. No šiem apsvērumiem izriet, ka ir tikai pieci regulāri daudzskaldņi, kuru skaldnes var būt tikai vienādmalu trīsstūri, kvadrāti un piecstūri.
Starp visiem ir pārsteidzoši ģeometriski savienojumi regulāri daudzskaldnis. Piemēram, kubs(1.-b att.) un oktaedrs(1.-c att.) ir duāli, t.i. tiek iegūti viens no otra, ja vienas skaldnes smaguma centrus pieņem par otras virsotnēm un otrādi. Līdzīgi duāli ikosaedrs(1.-d att.) un dodekaedrs(1. -d att.) .
Tetraedrs(1-a att.) ir duāls pats par sevi. Dodekaedrs tiek iegūts no kuba, veidojot “jumtus” uz tā skaldnēm (Eiklīda metode); tetraedra virsotnes ir jebkuras četras kuba virsotnes, kas nav pa pāriem blakus malai, tas ir, var būt visi pārējie regulārie daudzskaldņi. iegūts no kuba. Pats fakts par tikai piecu patiesi regulāru daudzskaldņu esamību ir pārsteidzošs - galu galā plaknē ir bezgalīgi daudz regulāru daudzstūru!
Platona cietvielu skaitliskās īpašības
Galvenie skaitliskie raksturlielumi Platoniskas cietvielas ir sejas sānu skaits m, seju skaits, kas satiekas katrā virsotnē, m, seju skaits G, virsotņu skaits IN, ribu skaits R un plakano leņķu skaits U uz daudzskaldņa virsmas Eilers atklāja un pierādīja slaveno formulu
B P + G = 2,
jebkura izliekta daudzskaldņa virsotņu, malu un skaldņu savienojošais skaits. Iepriekš minētie skaitliskie raksturlielumi ir doti tabulā. 1.
1. tabula
Platona cietvielu skaitliskās īpašības
|
Daudzskaldnis |
Malu malu skaits m |
To seju skaits, kas satiekas virsotnē n |
Seju skaits |
Virsotņu skaits |
Ribu skaits |
Plakano leņķu skaits uz virsmas |
|
Tetraedrs |
||||||
|
Heksaedrs (kubs) |
||||||
|
Ikozaedrs |
||||||
|
Dodekaedrs |
Zelta attiecība dodekaedrā un ikosaedrā
Dodekaedrs un tā dubultais ikosaedrs (1.-d, e att.) ieņem īpašu vietu starp Platoniskas cietvielas. Pirmkārt, jāuzsver, ka ģeometrija dodekaedrs Un ikosaedrs tieši saistīta ar zelta griezumu. Patiešām, malas dodekaedrs(Zīm.1-d) ir piecstūri, t.i. regulāri piecstūri, kuru pamatā ir zelta attiecība. Ja paskatās cieši uz ikosaedrs(1-d att.), tad var redzēt, ka katrā tā virsotnē saplūst pieci trīsstūri, kuru ārējās malas veido piecstūris. Ar šiem faktiem vien ir pietiekami, lai pārliecinātu mūs, ka zelta griezumam ir nozīmīga loma šo divu dizainā. Platoniskas cietvielas.
Bet ir dziļāki matemātiski pierādījumi par zelta griezuma fundamentālo lomu ikosaedrs Un dodekaedrs. Ir zināms, ka šiem ķermeņiem ir trīs īpašas sfēras. Pirmā (iekšējā) sfēra ir ierakstīta ķermenī un pieskaras tā sejām. Apzīmēsim šīs iekšējās sfēras rādiusu ar R i. Otrā vai vidējā sfēra pieskaras tās ribām. Apzīmēsim šīs sfēras rādiusu ar Rm. Visbeidzot, trešā (ārējā) sfēra ir aprakstīta ap ķermeni un iet cauri tā virsotnēm. Apzīmēsim tā rādiusu ar R c. Ģeometrijā ir pierādīts, ka norādīto sfēru rādiusu vērtības ir dodekaedrs Un ikosaedrs, kam ir vienības garuma mala, tiek izteikta ar zelta proporciju t (2. tabula).
2. tabula
Zelta attiecība dodekaedra un ikosaedra sfērās
|
Ikozaedrs |
|||
|
Dodekaedrs |
Ņemiet vērā, ka rādiusu attiecība = ir tāda pati kā ikosaedrs, un priekš dodekaedrs. Tādējādi, ja dodekaedrs Un ikosaedrs kurām ir identiskas ierakstītas sfēras, tad arī to norobežotās sfēras ir vienādas viena ar otru. Šī matemātiskā rezultāta pierādījums ir dots Sākums Eiklīds.
Ģeometrijā ir zināmas citas attiecības dodekaedrs Un ikosaedrs, apstiprinot to saistību ar zelta griezumu. Piemēram, ja mēs ņemam ikosaedrs Un dodekaedrs kuru malas garums ir vienāds ar vienu, un aprēķina to ārējo laukumu un tilpumu, tad tos izsaka ar zelta proporciju (3. tabula).
3. tabula
Zelta attiecība dodekaedra un ikosaedra ārējā laukumā un tilpumā
|
Ikozaedrs |
Dodekaedrs |
|
|
Ārējā zona |
||
Tādējādi ir milzīgs skaits sakarību, ko ieguvuši senie matemātiķi, kas apstiprina ievērojamo faktu, ka tieši Zelta griezums ir dodekaedra un ikosaedra galvenā proporcija, un šis fakts ir īpaši interesants no t.s "dodekaedra-ikosaedra doktrīna" ko mēs apskatīsim tālāk.
Platona kosmoloģija
Iepriekš apspriestie regulārie daudzskaldņi tiek saukti Platoniskas cietvielas, jo tie ieņēma nozīmīgu vietu Platona filozofiskajā priekšstatā par Visuma uzbūvi.
Platons (427-347 BC)
Četri daudzskaldņi tajā personificēja četras būtības jeb “elementus”. Tetraedrs simbolizē Uguns, jo tā augšdaļa ir vērsta uz augšu; Ikozaedrs Ūdens, jo tas ir “racionalizētākais” daudzskaldnis; Kubs Zeme, kā “stabilākais” daudzskaldnis; Oktaedrs Gaiss, kā “gaisīgākais” daudzskaldnis. Piektais daudzskaldnis Dodekaedrs, kas iemiesoja "visu, kas pastāv", "universālo prātu", simbolizēja visu Visumu un tika uzskatīts Visuma galvenā ģeometriskā figūra.
Senie grieķi uzskatīja harmoniskas attiecības par Visuma pamatu, tāpēc to četrus elementus savienoja šāda proporcija: zeme/ūdens = gaiss/uguns. “Elementu” atomus Platons noskaņoja ideālā līdzskaņā, kā četras liras stīgas. Atcerēsimies, ka līdzskaņa ir patīkama līdzskaņa. Saistībā ar šiem ķermeņiem būtu vietā teikt, ka šādu elementu sistēmu, kas ietvēra četrus elementus – zemi, ūdeni, gaisu un uguni, kanonizēja Aristotelis. Šie elementi daudzus gadsimtus palika par četriem Visuma stūrakmeņiem. Ir pilnīgi iespējams tos identificēt ar četriem mums zināmajiem matērijas stāvokļiem: cieto, šķidro, gāzveida un plazmas.
Tādējādi senie grieķi saistīja ideju par eksistences harmoniju “no gala līdz galam” ar tās iemiesojumu platoniskajās cietajās vielās. Ietekmēja arī slavenā grieķu domātāja Platona ietekme Sākums Eiklīds. Šajā grāmatā, kas gadsimtiem ilgi bija vienīgā ģeometrijas mācību grāmata, ir aprakstītas “ideālās” līnijas un “ideālās” figūras. “Ideālākā” līnija ir taisni, un “ideālākais” daudzstūris ir regulārs daudzstūris, kam vienādas puses un vienādi leņķi. Var uzskatīt vienkāršāko regulāro daudzstūri vienādmalu trīsstūris, jo tam ir vismazākais malu skaits, kas var ierobežot daļu plaknes. Nez ko Sākums Eiklīds sākas ar konstrukcijas aprakstu regulārs trīsstūris un beidzas ar piecu pētījumu Platoniskas cietvielas. ievērojiet, tas Platoniskas cietvielas noslēguma, tas ir, 13. grāmata ir veltīta Sākās Eiklīds. Starp citu, šis fakts, tas ir, regulāro daudzskaldņu teorijas izvietošana pēdējā (tas ir, it kā vissvarīgākajā) grāmatā Sākās Eiklīds, lika seno grieķu matemātiķim Proklam, kurš bija Eiklida komentētājs, izvirzīt interesantu hipotēzi par patiesajiem mērķiem, kurus Eiklīds tiecās, veidojot savu Sākums. Saskaņā ar Proklu, Eiklīds radīja Sākums nevis lai parādītu ģeometriju kā tādu, bet gan lai sniegtu pilnīgu sistematizētu teoriju par “ideālu” figūru, jo īpaši piecu Platoniskas cietvielas, vienlaikus izceļot dažus jaunākos sasniegumus matemātikā!
Nav nejaušība, ka viens no fullerēnu atklājuma autoriem, Nobela prēmijas laureāts Harolds Kroto savā Nobela lekcijā sāk savu stāstu par simetriju kā “mūsu fiziskās pasaules uztveres pamatu” un tās “lomu mēģinājumos izskaidrot. to vispusīgi” precīzi ar Platoniskas cietvielas un “visu lietu elementi”: “Strukturālās simetrijas jēdziens aizsākās senos laikos...” Visvairāk slaveni piemēri var, protams, atrast Platona dialogā Timejs, kur 53. sadaļā, kas attiecas uz elementiem, viņš raksta: “Pirmkārt, visiem ir skaidrs (!), protams, ka uguns un zeme, ūdens un gaiss ir ķermeņi. , un katrs ķermenis ir ciets” (!!) Platons apspriež ķīmijas problēmas šo četru elementu valodā un saista tās ar četrām platoniskajām cietvielām (tolaik tikai četrām, līdz Hiparhs atklāja piekto – dodekaedru). Lai gan no pirmā acu uzmetiena šāda filozofija var šķist nedaudz naiva, tā liecina par dziļu izpratni par to, kā daba patiesībā darbojas.
Arhimēda cietās vielas
Pusregulāri daudzskaldņi
Ir zināmi daudzi perfektāki ķermeņi, saukti pusregulāri daudzskaldņi vai Arhimēda ķermeņi. Viņiem arī ir vienādi daudzskaldņu leņķi, un visas skaldnes ir regulāri daudzstūri, taču dažādu veidu. Ir 13 pusregulāri daudzskaldņi, kuru atklāšana tiek attiecināta uz Arhimēdu.
Arhimēds (287. g. p.m.ē. – 212. g. pmē.)
ķekars Arhimēda cietās vielas var iedalīt vairākās grupās. Pirmais no tiem sastāv no pieciem daudzskaldņiem, kas iegūti no Platoniskas cietvielas viņu rezultātā saīsināšana. Nocirsts ķermenis ir ķermenis ar nogrieztu augšdaļu. Priekš Platoniskas cietvielas apcirpšanu var veikt tā, lai gan iegūtās jaunās skaldnes, gan atlikušās veco seju daļas būtu regulāri daudzstūri. Piemēram, tetraedrs(Att. 1-a) var saīsināt tā, lai tās četras trīsstūrveida skaldnes pārvēršas par četrām sešstūra formām, un tām tiek pievienotas četras regulāras trīsstūrveida skaldnes. Tādā veidā var iegūt piecus Arhimēda cietās vielas: nošķelts tetraedrs, nošķelts heksaedrs (kubs), nošķelts oktaedrs, nošķelts dodekaedrs Un nošķelts ikosaedrs(2. att.).
 |
 |
|
| (A) | b) | (V) |
 |
 |
| (G) | (d) |
2. attēls. Arhimēda cietās vielas: (a) nošķelts tetraedrs, (b) nošķelts kubs, (c) nošķelts oktaedrs, (d) nošķelts dodekaedrs, (e) nošķelts ikozaedrs
Amerikāņu zinātnieks Smalley, viens no fullerēnu eksperimentālā atklājuma autoriem, savā Nobela lekcijā runā par Arhimēdu (287-212 BC) kā pirmo nošķelto daudzskaldņu pētnieku, jo īpaši nošķelts ikosaedrs tomēr ar piebildi, ka, iespējams, Arhimēds par to ir atbildīgs, un, iespējams, ikosaedri tika saīsināti ilgi pirms viņa. Pietiek pieminēt tos, kas atrasti Skotijā un datēti ap 2000. gadu pirms mūsu ēras. simtiem akmens priekšmetu (acīmredzot rituāliem nolūkiem) sfēru un dažādu daudzskaldnis(ķermeņi no visām pusēm ierobežoti ar plakanu malām), ieskaitot ikosaedrus un dodekaedrus. Arhimēda oriģinālais darbs diemžēl nav saglabājies, un tā rezultāti ir nonākuši pie mums, kā saka, “nolietoti”. Renesanses laikā viss Arhimēda cietās vielas viens pēc otra tika “atklāti” no jauna. Galu galā Keplers 1619. gadā savā grāmatā "Pasaules harmonija" ("Harmonice Mundi") sniedza visaptverošu aprakstu par visu Arhimēda cieto vielu kopumu - daudzskaldni, kuru katra seja attēlo regulārs daudzstūris, un viss virsotnes atrodas līdzvērtīgā stāvoklī (kā oglekļa atomi C 60 molekulā). Arhimēda cietās vielas sastāv no vismaz diviem dažādu veidu daudzstūriem pretstatā 5 Platoniskas cietvielas, kuru visas virsmas ir identiskas (kā, piemēram, C 20 molekulā).
3. attēls. Arhimēda nošķeltā ikosaedra uzbūve
no Platona ikosaedra
Tātad, kā noformēt Arhimēda nošķelts ikosaedrs no Platoniskais ikosaedrs? Atbilde ir ilustrēta, izmantojot att. 3. Patiešām, kā redzams no tabulas. 1, 5 skaldnes saplūst jebkurā no 12 ikosaedra virsotnēm. Ja katrā virsotnē ar plakni nogriež 12 ikosaedra daļas, tad veidojas 12 jaunas piecstūra skalas. Kopā ar esošajām 20 skaldnēm, kuras pēc šādas griešanas no trīsstūrveida kļuva par sešstūrainu, tās veidos 32 nogrieztā ikozaedra skaldnes. Šajā gadījumā būs 90 malas un 60 virsotnes.
Vēl viena grupa Arhimēda cietās vielas sastāv no diviem ķermeņiem, ko sauc gandrīz regulāri daudzskaldnis. "Kvazi" daļiņa uzsver, ka šo daudzskaldņu skaldnes ir tikai divu veidu regulāri daudzstūri, un katru viena veida virsmu ieskauj cita veida daudzstūri. Šos divus ķermeņus sauc rombikuboktaedrs Un ikozidodekaedrs(4. att.).
5. attēls. Arhimēda cietās vielas: (a) rombokuboktaedrs, (b) rombikozidodekaedrs
Visbeidzot, ir divas tā sauktās “snub” modifikācijas - viena kubam ( snuba kubs), otrs dodekaedram ( snub dodekaedrs) (6. att.).
| (A) | b) |
6. attēls. Arhimēda cietās vielas: (a) snub kubs, (b) snub dodekaedrs
Iepriekš minētajā Vennigera grāmatā “Daudzskaldņu modeļi” (1974) lasītājs var atrast 75 dažādi modeļi regulāri daudzskaldnis. "Daudzskaldņu teorija, jo īpaši izliektie daudzskaldņi, ir viena no aizraujošākajām ģeometrijas nodaļām" tā uzskata krievu matemātiķis L.A. Lyusternak, kurš daudz paveica šajā matemātikas jomā. Šīs teorijas attīstība ir saistīta ar izcilu zinātnieku vārdiem. Johanness Keplers (1571-1630) sniedza lielu ieguldījumu daudzskaldņu teorijas attīstībā. Savulaik viņš uzrakstīja skici “Par sniegpārsliņu”, kurā izteica šādu piezīmi: "Starp parastajiem ķermeņiem pats pirmais, pārējo sākums un priekštecis ir kubs, un tā laulātais, ja tā drīkst teikt, ir oktaedrs, jo oktaedram ir tik daudz leņķu, cik kubam ir skaldnes." Keplers bija pirmais, kas publicēja pilns saraksts trīspadsmit Arhimēda cietās vielas un deva viņiem vārdus, ar kādiem viņi ir pazīstami mūsdienās.
Keplers pirmais pētīja t.s zvaigžņu daudzskaldnis, kas atšķirībā no Platona un Arhimēda cietām vielām ir regulāri izliekti daudzskaldņi. Pagājušā gadsimta sākumā franču matemātiķis un mehāniķis L. Puanso (1777-1859), kura ģeometriskie darbi bija saistīti ar zvaigžņu daudzskaldņiem, izstrādāja Keplera darbu un atklāja vēl divu veidu regulāru neizliektu daudzskaldni. Tātad, pateicoties Keplera un Puanzo darbam, kļuva zināmi četri šādu figūru veidi (7. att.). 1812. gadā O. Košī pierādīja, ka citu regulāru zvaigžņu daudzskaldņu nav.
7. attēls. Regulāri zvaigžņu daudzskaldņi (Puansota cietvielas)
Daudzi lasītāji var jautāt: “Kāpēc vispār studēt parastos daudzskaldņus? Kāds no tiem labums? Uz šo jautājumu var atbildēt: “Kāds labums no mūzikas vai dzejas? Vai viss skaistais ir noderīgs? Daudzskaldņu modeļi, kas parādīti attēlā. 1-7, pirmkārt, atstāj uz mums estētisku iespaidu un var tikt izmantoti kā dekoratīvi rotājumi. Bet patiesībā parasto daudzskaldņu plaši izplatītā parādīšanās dabiskajās struktūrās ir izraisījusi milzīgu interesi par šo ģeometrijas nozari. mūsdienu zinātne.
Ēģiptes kalendāra noslēpums
Kas ir kalendārs?
Krievu sakāmvārds saka: "Laiks ir vēstures acs." Visam, kas eksistē Visumā: Saulei, Zemei, zvaigznēm, planētām, zināmām un nezināmām pasaulēm un visam, kas eksistē dzīvo un nedzīvo būtņu dabā, visam ir telpas-laika dimensija. Laiks tiek mērīts, periodiski novērojot noteiktu ilguma procesus.
Jau senos laikos cilvēki ievēroja, ka diena vienmēr dod vietu naktij, un gadalaiki rit stingrā secībā: pēc ziemas nāk pavasaris, pēc pavasara nāk vasara, pēc vasaras nāk rudens. Meklējot risinājumu šīm parādībām, cilvēks pievērsa uzmanību debesu ķermeņiem – Saulei, Mēnesim, zvaigznēm – un to stingrai kustības periodiskumam pa debesīm. Tie bija pirmie novērojumi, kas notika pirms vienas no senākajām zinātnēm - astronomijas - dzimšanas.
Astronomija laika mērīšanu pamato ar debess ķermeņu kustību, kas atspoguļo trīs faktorus: Zemes griešanos ap savu asi, Mēness apgriezienu ap Zemi un Zemes kustību ap Sauli. Dažādie laika jēdzieni ir atkarīgi no tā, uz kuru no šīm parādībām balstās laika mērīšana. Astronomija zina zvaigžņu laiks, saulains laiks, vietējā laiks, viduklis laiks, grūtniecības un dzemdību atvaļinājums laiks, atomu laiks utt.
Saule, tāpat kā visi citi spīdekļi, piedalās kustībā pa debesīm. Papildus ikdienas kustībai Saulei ir tā saucamā ikgadējā kustība, un viss Saules ikgadējās kustības ceļš pa debesīm tiek saukts ekliptika. Ja, piemēram, mēs pamanām zvaigznāju atrašanās vietu noteiktā vakara stundā un pēc tam atkārtojam šo novērojumu katru mēnesi, tad mūsu priekšā parādīsies cita debess aina. Zvaigžņoto debesu izskats mainās nepārtraukti: katrai sezonai ir savs vakara zvaigznāju modelis, un katrs šāds raksts atkārtojas katru gadu. Līdz ar to pēc gada Saule atgriežas savā sākotnējā vietā attiecībā pret zvaigznēm.
Lai atvieglotu orientēšanos zvaigžņotajā pasaulē, astronomi visas debesis sadalīja 88 zvaigznājos. Katram no tiem ir savs nosaukums. No 88 zvaigznājiem īpašu vietu astronomijā ieņem tie, caur kuriem iet ekliptika. Šiem zvaigznājiem papildus saviem nosaukumiem ir arī vispārīgs nosaukums - zodiaks(no grieķu vārda “zoop” dzīvnieks), kā arī visā pasaulē plaši pazīstami simboli (zīmes) un dažādi kalendāru sistēmās iekļauti alegoriski attēli.
Ir zināms, ka, virzoties pa ekliptiku, Saule šķērso 13 zvaigznājus. Tomēr astronomi uzskatīja par nepieciešamu Saules ceļu sadalīt nevis 13, bet 12 daļās, apvienojot Skorpiona un Ophiuchus zvaigznājus vienā. parastais nosaukums Skorpions (kāpēc?).
Laika mērīšanas problēmas risina īpaša zinātne, ko sauc hronoloģija. Tas ir visu cilvēces radīto kalendāru sistēmu pamatā. Kalendāru veidošana senatnē bija viena no svarīgākajiem uzdevumiem astronomija.
Kas ir “kalendārs” un kādi veidi pastāv? kalendāru sistēmas? Vārds kalendārs nāk no latīņu vārda kalendārs, kas burtiski nozīmē "parādu grāmata"; šādās grāmatās tika norādītas katra mēneša pirmās dienas - Kalends, kurā Senajā Romā parādnieki maksāja procentus.
Kopš seniem laikiem Austrumu un Dienvidaustrumāzijas valstīs, sastādot kalendārus liela nozīme piešķīra periodiskumu Saules, Mēness un arī kustībām Jupiters Un Saturns, divas milzu planētas Saules sistēma. Ir pamats uzskatīt, ka ideja par radīšanu Jovijas kalendārs ar 12 gadu dzīvnieka cikla debesu simboliku, kas saistīts ar rotāciju Jupiters ap Sauli, kas veic pilnīgu apgriezienu ap Sauli aptuveni 12 gados (11 862 gados). No otras puses, Saules sistēmas otrā milzu planēta ir Saturns aptuveni 30 gados (29 458 gados) veic pilnīgu apgriezienu ap Sauli. Vēloties saskaņot milzu planētu kustības ciklus, senie ķīnieši nāca klajā ar ideju ieviest Saules sistēmas 60 gadu ciklu. Šī cikla laikā Saturns veic 2 pilnus apgriezienus ap Sauli, bet Jupiters 5 apgriezienus.
Veidojot gada kalendārus, tiek izmantotas astronomiskas parādības: dienas un nakts maiņa, maiņa Mēness fāzes un gadalaiku maiņa. Dažādu astronomisko parādību izmantošana ļāva izveidot trīs veidu kalendārus dažādām tautām: mēness, pamatojoties uz Mēness kustību, saulains, pamatojoties uz Saules kustību, un lunisolārs.
Ēģiptes kalendāra struktūra
Viens no pirmajiem saules kalendāriem bija ēģiptietis, radīts 4. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras. Sākotnējais Ēģiptes kalendārais gads sastāvēja no 360 dienām. Gads tika sadalīts 12 mēnešos, katrs pa 30 dienām. Taču vēlāk atklājās, ka šis kalendārā gada garums neatbilst astronomiskajam. Un tad ēģiptieši pievienoja kalendārajam gadam vēl 5 dienas, kas tomēr nebija mēneša dienas. Tas bija 5 brīvdienas, kas savieno kaimiņu kalendāros gadus. Tādējādi Ēģiptes kalendārajam gadam bija šāda struktūra: 365 = 12ґ 30 + 5. Ņemiet vērā, ka Ēģiptes kalendārs ir mūsdienu kalendāra prototips.
Rodas jautājums: kāpēc ēģiptieši kalendāro gadu sadalīja 12 mēnešos? Galu galā bija kalendāri ar atšķirīgu mēnešu skaitu gadā. Piemēram, maiju kalendārā gads sastāvēja no 18 mēnešiem ar 20 dienām mēnesī. Nākamais jautājums par Ēģiptes kalendāru: kāpēc katrā mēnesī bija tieši 30 dienas (precīzāk, dienas)? Dažus jautājumus var uzdot arī par Ēģiptes laika mērīšanas sistēmu, jo īpaši attiecībā uz tādu laika vienību izvēli kā stunda, minūte, sekunde. Jo īpaši rodas jautājums: kāpēc stundu mērvienība tika izvēlēta tā, lai tā ietilptu tieši 24 reizes dienā, tas ir, kāpēc 1 diena = 24 (2½ 12) stundas? Nākamais: kāpēc 1 stunda = 60 minūtes un 1 minūte = 60 sekundes? Tie paši jautājumi attiecas uz leņķisko lielumu vienību izvēli, jo īpaši: kāpēc aplis ir sadalīts 360°, tas ir, kāpēc 2p =360° =12ґ 30°? Šiem jautājumiem tiek pievienoti citi, jo īpaši: kāpēc astronomi uzskatīja par lietderīgu uzskatīt, ka ir 12 zodiaks zīmes, lai gan patiesībā tās kustības laikā pa ekliptiku Saule šķērso 13 zvaigznājus? Un vēl viens “dīvains” jautājums: kāpēc Babilonijas skaitļu sistēmai bija ļoti neparasta bāze - skaitlis 60?
Saikne starp Ēģiptes kalendāru un dodekaedra skaitliskajām īpašībām
Analizējot Ēģiptes kalendāru, kā arī Ēģiptes laika un leņķisko vērtību mērīšanas sistēmas, mēs atklājam, ka četri skaitļi atkārtojas ar pārsteidzošu noturību: 12, 30, 60 un no tiem iegūtais skaitlis 360 = 12ґ 30. Rodas jautājums: vai Vai tad ir kāda fundamentāla zinātniska ideja, kas varētu sniegt vienkāršu un loģisku skaidrojumu šo skaitļu izmantošanai Ēģiptes sistēmās?
Lai atbildētu uz šo jautājumu, pievērsīsimies vēlreiz dodekaedrs, parādīts attēlā. 1. d. Atcerēsimies, ka visas dodekaedra ģeometriskās attiecības ir balstītas uz zelta griezumu.
Vai ēģiptieši pazina dodekaedru? Matemātikas vēsturnieki atzīst, ka senajiem ēģiptiešiem bija informācija par regulāriem daudzskaldņiem. Bet vai viņi pazina visus piecus regulāros daudzskaldņus, jo īpaši dodekaedrs Un ikosaedrs Kas ir grūtākie? Sengrieķu matemātiķis Prokls regulāru daudzskaldņu uzbūvi piedēvē Pitagoram. Bet daudzas matemātikas teorēmas un rezultāti (jo īpaši Pitagora teorēma) Pitagors aizņēmās no senajiem ēģiptiešiem savā ļoti garajā “biznesa braucienā” uz Ēģipti (pēc dažām ziņām Pitagors Ēģiptē dzīvoja 22 gadus!). Tāpēc varam pieņemt, ka Pitagors zināšanas par regulārajiem daudzskaldņiem varētu būt aizguvis arī no senajiem ēģiptiešiem (un, iespējams, arī no senajiem babiloniešiem, jo saskaņā ar leģendu Pitagors dzīvoja senā Babilonija 12 gadus vecs). Taču ir arī citi, pārliecinošāki pierādījumi, ka ēģiptiešiem bija informācija par visiem pieciem regulārajiem daudzskaldņiem. Konkrēti, Britu muzejā atrodas Ptolemaja laikmeta matrica, kurai ir tāda forma ikosaedrs, tas ir, “platoniskā cietviela”, dubultā dodekaedrs. Visi šie fakti dod mums tiesības izvirzīt hipotēzi, ka Dodekaedrs bija zināms ēģiptiešiem. Un, ja tas tā ir, tad no šīs hipotēzes izriet ļoti harmoniska sistēma, kas ļauj izskaidrot Ēģiptes kalendāra izcelsmi un vienlaikus arī Ēģiptes laika intervālu un ģeometrisko leņķu mērīšanas sistēmas izcelsmi.
Iepriekš mēs noskaidrojām, ka dodekaedram uz tā virsmas ir 12 skaldnes, 30 malas un 60 plakani leņķi (1. tabula). Pamatojoties uz hipotēzi, ko ēģiptieši zināja dodekaedrs un tā skaitliskie raksturlielumi ir 12, 30. 60, tad kāds bija viņu pārsteigums, kad viņi atklāja, ka tie paši skaitļi izsaka Saules sistēmas ciklus, proti, 12 gadu Jupitera ciklu, 30 gadu Saturna ciklu un, visbeidzot, Saules sistēmas 60 gadu vasaras cikls. Tādējādi starp tik perfektu telpisku figūru kā dodekaedrs, un Saules sistēma, pastāv dziļa matemātiska saikne! Šo secinājumu izdarīja senie zinātnieki. Tas noveda pie tā, ka dodekaedrs tika pieņemts kā "galvenā figūra", kas simbolizēja Visuma harmonija. Un tad ēģiptieši nolēma, ka visām viņu galvenajām sistēmām (kalendāra sistēma, laika mērīšanas sistēma, leņķa mērīšanas sistēma) jāatbilst skaitliskiem parametriem. dodekaedrs! Tā kā, pēc seno cilvēku domām, Saules kustība pa ekliptiku bija stingri apļveida, tad, izvēloties 12 Zodiaka zīmes, kuru loka attālums bija tieši 30°, ēģiptieši pārsteidzoši skaisti saskaņoja Saules ikgadējo kustību. gar ekliptiku ar kalendārā gada struktūru: viens mēnesis atbilda Saules kustībai pa ekliptiku starp divām kaimiņu zodiaka zīmēm! Turklāt Saules kustība par vienu grādu atbilda vienai dienai Ēģiptes kalendārajā gadā! Šajā gadījumā ekliptika tika automātiski sadalīta 360°. Sadalot katru dienu divās daļās, sekojot dodekaedram, ēģiptieši katru dienas pusi sadalīja 12 daļās (12 sejas dodekaedrs) un tādējādi ieviests stunda- vissvarīgākā laika vienība. Vienu stundu sadalot 60 minūtēs (60 plaknes leņķi uz virsmas dodekaedrs), ēģiptieši ieviesa šādā veidā minūte– nākamā svarīgā laika vienība. Tādā pašā veidā viņi iepazīstināja dod man mirklīti- mazākā laika vienība šim periodam.
Tādējādi izvēloties dodekaedrs kā Visuma galvenā “harmoniskā” figūra un stingri ievērojot dodekaedra 12, 30, 60 skaitliskos raksturlielumus, ēģiptiešiem izdevās izveidot ārkārtīgi harmonisku kalendāru, kā arī laika un leņķisko vērtību mērīšanas sistēmas. Šīs sistēmas pilnībā atbilda to “harmonijas teorijai”, kuras pamatā ir zelta proporcija, jo šī proporcija ir pamatā. dodekaedrs.
Šie ir pārsteidzošie secinājumi, kas izriet no salīdzinājuma: dodekaedrs ar Saules sistēmu. Un ja mūsu hipotēze ir pareiza (lai kāds mēģina to atspēkot), tad no tā izriet, ka cilvēce ir dzīvojusi daudzus gadu tūkstošus zem zelta griezuma zīmes! Un katru reizi mēs skatāmies uz mūsu pulksteņa ciparnīcu, kas arī ir veidota, izmantojot skaitliskos raksturlielumus dodekaedrs 12, 30 un 60, mēs pieskaramies galvenajam “Visuma noslēpumam” - zelta griezumam, pat to nezinot!
Dan Shekhtman kvazikristāli
1984. gada 12. novembrī Izraēlas fiziķa Dena Šetmena īss raksts, kas publicēts prestižajā žurnālā Physical Review Letters, sniedza eksperimentālus pierādījumus par metālu sakausējuma ar izcilām īpašībām eksistenci. Pētot ar elektronu difrakcijas metodēm, šis sakausējums parādīja visas kristāla pazīmes. Tā difrakcijas modeli veido spilgti un regulāri izvietoti punktiņi, gluži kā kristāls. Tomēr šim attēlam ir raksturīga “ikosaedriska” vai “piecstūra” simetrija, kas kristālā ir stingri aizliegta ģeometrisku iemeslu dēļ. Tādus neparastus sakausējumus sauca kvazikristāli. Mazāk nekā gada laikā tika atklāti daudzi citi šāda veida sakausējumi. Viņu bija tik daudz, ka kvazikristāliskais stāvoklis izrādījās daudz izplatītāks, nekā varētu iedomāties.
Izraēlas fiziķis Dens Šetmens
Kvazikristāla jēdziens ir ļoti svarīgs, jo tas vispārina un pabeidz kristāla definīciju. Teorija, kas balstīta uz šo koncepciju, aizstāj mūžseno ideju par " struktūrvienība, kas telpā atkārtojas stingri periodiski”, galvenais jēdziens tālsatiksmes pasūtījums. Kā uzsvērts slavenā fiziķa D. Gratia rakstā “Kvazikristāli”, "Šī koncepcija izraisīja kristalogrāfijas paplašināšanos, kuras jaunatklātās bagātības mēs tikai sākam izpētīt. Tās nozīmi minerālu pasaulē var pielīdzināt neracionālo skaitļu jēdziena pievienošanai racionālajiem skaitļiem matemātikā.
Kas ir kvazikristāls? Kādas ir tās īpašības un kā to raksturot? Kā minēts iepriekš, saskaņā ar Kristalogrāfijas pamatlikums Kristāla struktūrai ir noteikti stingri ierobežojumi. Saskaņā ar klasiskajiem jēdzieniem kristāls ad infinitum sastāv no vienas šūnas, kurai ir cieši (aci pret aci) “jānosedz” visa plakne bez ierobežojumiem.
Kā zināms, plaknes blīvu piepildīšanu var veikt, izmantojot trijstūri(7-a att.), kvadrāti(7.-b att.) un sešstūri(Zīm.7-d). Izmantojot piecstūri (Piecstūri) šāda pildīšana nav iespējama (7.-c att.).
 |
 |
 |
|
| A) | b) | V) | G) |
7. attēls. Plaknes blīvu aizpildīšanu var veikt, izmantojot trīsstūrus (a), kvadrātus (b) un sešstūrus (d)
Tie bija tradicionālās kristalogrāfijas kanoni, kas pastāvēja pirms neparastā alumīnija un mangāna sakausējuma, ko sauc par kvazikristālu, atklāšanas. Šāds sakausējums veidojas, īpaši ātri atdzesējot kausējumu ar ātrumu 10 6 K sekundē. Turklāt šāda sakausējuma difrakcijas pētījuma laikā uz ekrāna parādās sakārtots raksts, kas raksturīgs ikosaedra simetrijai, kuram ir slavenās aizliegtās 5. kārtas simetrijas asis.
Dažu nākamo gadu laikā vairākas zinātniskās grupas visā pasaulē pētīja šo neparasto sakausējumu elektronu mikroskopija augstas izšķirtspējas. Visi no tiem apstiprināja vielas ideālo viendabīgumu, kurā makroskopiskos apgabalos, kuru izmēri ir tuvu atomu izmēriem (vairāki desmiti nanometru), tika saglabāta 5. kārtas simetrija.
Saskaņā ar mūsdienu uzskatiem ir izstrādāts šāds kvazikristāla kristāliskās struktūras iegūšanas modelis. Šis modelis ir balstīts uz “pamata elementa” jēdzienu. Saskaņā ar šo modeli iekšējo alumīnija atomu ikosaedru ieskauj ārējais mangāna atomu ikosaedrs. Ikozaedrus savieno mangāna atomu oktaedri. "Bāzes elements" satur 42 alumīnija atomus un 12 mangāna atomus. Sacietēšanas procesā notiek strauja “pamatelementu” veidošanās, ko ātri savieno viens ar otru ar stingriem oktaedriskiem “tiltiem”. Atcerieties, ka ikosaedra skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Lai veidotos oktaedrisks mangāna tilts, ir nepieciešams, lai divi šādi trīsstūri (pa vienam katrā šūnā) nonāktu pietiekami tuvu viens otram un sastātos paralēli. Šāda fizikāla procesa rezultātā veidojas kvazikristāliska struktūra ar “ikosaedrisku” simetriju.
Pēdējās desmitgadēs ir atklāti daudzi kvazikristālisko sakausējumu veidi. Papildus tiem, kuriem ir “ikosaedriska” simetrija (5. kārta), ir arī sakausējumi ar desmitstūra simetriju (10. kārta) un divstūra simetriju (12. kārta). Kvazikristālu fizikālās īpašības ir sāktas pētīt tikai nesen.
Kāda ir kvazikristālu atklāšanas praktiskā nozīme? Kā minēts iepriekš minētajā Gratia rakstā, “kvazikristālisko sakausējumu mehāniskā izturība strauji palielinās; periodiskuma trūkums izraisa dislokāciju izplatīšanās palēnināšanos salīdzinājumā ar parastajiem metāliem... Šai īpašībai ir liela praktiska nozīme: ikozaedriskās fāzes izmantošana ļaus iegūt vieglus un ļoti stiprus sakausējumus, ieviešot tajā nelielas daļiņas. kvazikristāli alumīnija matricā."
Kāda ir kvazikristālu atklāšanas metodoloģiskā nozīme? Pirmkārt, kvazikristālu atklāšana ir „dodekaedra-ikosaedriskās doktrīnas” lielā triumfa brīdis, kas caurstrāvo visu dabaszinātņu vēsturi un ir dziļu un noderīgu zinātnisku ideju avots. Otrkārt, kvazikristāli iznīcināja tradicionālo ideju par nepārvaramu plaisu starp minerālu pasauli, kurā bija aizliegta "piecstūra" simetrija, un dzīvās dabas pasauli, kur "piecstūra" simetrija ir viena no visizplatītākajām. Un nevajadzētu aizmirst, ka galvenā ikosaedra proporcija ir “zelta attiecība”. Un kvazikristālu atklāšana ir vēl viens zinātnisks apstiprinājums tam, ka, iespējams, tieši “zelta proporcija”, kas izpaužas gan dzīvās dabas pasaulē, gan minerālu pasaulē, ir galvenā Visuma proporcija.
Penrose flīzes
Kad Dan Shekhtman sniedza eksperimentālu pierādījumu par kvazikristālu esamību ar ikosaedriskā simetrija, fiziķi, meklējot teorētisku izskaidrojumu kvazikristālu fenomenam, vērsa uzmanību uz matemātisko atklājumu, ko 10 gadus iepriekš veica angļu matemātiķis Rodžers Penrouzs. Mēs izvēlējāmies kā kvazikristālu “plakanu analogu”. Penrose flīzes, kas ir aperiodiskas regulāras struktūras, ko veido “biezie” un “plānie” rombi, ievērojot “zelta griezuma” proporcijas. Tieši tā Penrose flīzes tos pieņēma kristalogrāfi, lai izskaidrotu šo fenomenu kvazikristāli. Tajā pašā laikā loma Penrose dimanti trīs dimensiju telpā sāka spēlēt ikosaedri, ar kuras palīdzību tiek veikta trīsdimensiju telpas blīva aizpildīšana.
Apskatīsim tuvāk piecstūri attēlā. 8.
8. attēls. Pentagons
Pēc diagonāļu zīmēšanas tajā oriģinālo piecstūri var attēlot kā trīs veidu ģeometrisku figūru kopu. Centrā ir jauns piecstūris, ko veido diagonāļu krustošanās punkti. Turklāt Pentagons attēlā. 8 ietver piecus vienādsānu trīsstūrus, iekrāsotus dzeltens, un pieci vienādsānu trīsstūri sarkanā krāsā. Dzelteni trīsstūri ir "zelta", jo gūžas un pamatnes attiecība ir vienāda ar zelta griezumu; tiem ir akūti leņķi 36° virsotnē un akūti leņķi 72° pie pamatnes. Sarkanie trīsstūri ir arī “zelta”, jo gūžas un pamatnes attiecība ir vienāda ar zelta attiecību; tiem ir strups leņķis 108° virsotnē un akūts leņķis 36° pie pamatnes.
Tagad savienosim divus dzeltenus trīsstūrus un divus sarkanus trīsstūrus ar to pamatnēm. Rezultātā mēs iegūstam divus "zelta" rombs. Pirmā no tām (dzeltenā) ir akūts leņķis 36° un strups leņķis 144° (9. att.).
 |
|
| (A) | b) |
9. attēls. Zelta" rombi: a) "plāns" rombs; b) “biezs” rombs
Dimants attēlā. Mēs to sauksim par 9 plāns rombs, un rombs attēlā. 9-b – biezs rombs.
Angļu matemātiķis un fiziķis Rodžers Penrouzs izmantoja “zelta” dimantus attēlā. 9 “zelta” parketa izbūvei, ko sauca Penrose flīzes. Penrose flīzes ir biezu un plānu dimantu kombinācija, kas parādīta attēlā. 10.
10. attēls. Penrose flīzes
Ir svarīgi to uzsvērt Penrose flīzes ir "piecstūra" simetrija vai 5. kārtas simetrija, un resno un tievo rombu skaita attiecība tiecas uz zelta proporciju!
Fullerēni
Tagad parunāsim par vēl vienu izcilu mūsdienu atklājumu ķīmijas jomā. Šis atklājums tika veikts 1985. gadā, tas ir, vairākus gadus pēc kvazikristāliem. Mēs runājam par tā sauktajiem "fullerēniem". Termins “fullerēni” attiecas uz C 60, C 70, C 76, C 84 tipa slēgtām molekulām, kurās visi oglekļa atomi atrodas uz sfēriskas vai sfēriskas virsmas. Šajās molekulās oglekļa atomi ir izvietoti regulāru sešstūru vai piecstūru virsotnēs, kas pārklāj sfēras vai sfēras virsmu. Centrālo vietu fullerēnu vidū ieņem C 60 molekula, kurai raksturīga vislielākā simetrija un līdz ar to arī vislielākā stabilitāte. Šajā riepas formas molekulā futbola bumba un kam ir regulāra nošķelta ikosaedra struktūra (2.-e un 3. att.), oglekļa atomi atrodas uz sfēriskas virsmas 20 regulāru sešstūru un 12 regulāru piecstūru virsotnēs tā, ka katrs sešstūris robežojas ar trim sešstūriem un trim piecstūriem. , un katrs piecstūris robežojas ar sešstūriem.
Termins “fullerēns” cēlies no amerikāņu arhitekta Bakminstera Fullera vārda, kurš, izrādās, šādas konstrukcijas izmantojis, būvējot ēku kupolus (vēl viens nošķeltā ikozaedra lietojums!).
"Fullerenes" būtībā ir "cilvēku radītas" struktūras, kas rodas fundamentālo fizikas pētījumu rezultātā. Pirmo reizi tos sintezēja zinātnieki G. Croto un R. Smalley (kurš par šo atklājumu saņēma Nobela prēmiju 1996. gadā). Bet tie negaidīti tika atklāti prekembrija perioda iežos, tas ir, fullerēni izrādījās ne tikai “cilvēku radīti”, bet arī dabiski veidojumi. Tagad fullerēnus intensīvi pēta dažādu valstu laboratorijās, mēģinot noteikt to veidošanās apstākļus, uzbūvi, īpašības un iespējamās pielietošanas jomas. Pilnīgāk izpētītais fullerēnu dzimtas pārstāvis ir fullerēns-60 (C 60) (to dažkārt dēvē par Bakminstera fullerēnu. Ir zināmi arī fulerēni C 70 un C 84. Fullerēnu C 60 iegūst, iztvaicējot grafītu hēlija atmosfērā. Tā veidojas. smalks, kvēpiem līdzīgs pulveris, kas satur 10% oglekļa, izšķīdinot benzolā, pulveris rada sarkanu šķīdumu, no kura izaug C 60 kristāli.Fulerēniem piemīt neparastas ķīmiskās un fizikālās īpašības. Jā, kad augsts asinsspiediens No 60 tas kļūst ciets kā dimants. Tās molekulas veido kristālisku struktūru, it kā sastāvētu no perfekti gludām bumbiņām, kas brīvi rotē uz sejas centrētā kubiskā režģī. Pateicoties šai īpašībai, C 60 var izmantot kā cietu smērvielu. Fullerēniem ir arī magnētiskas un supravadošas īpašības.
Krievu zinātnieki A.V. Eletskis un B.M. Smirnovs rakstā “Fullerenes”, kas publicēts žurnālā “Uspekhi Fizicheskikh Nauk” (1993, 163. sējums, nr. 2), atzīmē, ka "fullerenes, kuru esamība ir konstatēta 80. gadu vidū un efektīva tehnoloģija kura izolācija tika izstrādāta 1990. gadā, tagad ir kļuvusi par desmitiem zinātnisku grupu intensīvu pētījumu objektu. Šo pētījumu rezultātus rūpīgi uzrauga pieteikumu uzņēmumi. Tā kā šī oglekļa modifikācija ir sagādājusi zinātniekiem vairākus pārsteigumus, nebūtu prātīgi apspriest fullerēnu izpētes prognozes un iespējamās sekas nākamajā desmitgadē, taču jābūt gataviem jauniem pārsteigumiem.
Slovēņu mākslinieces Matjuškas Tejas Krašekas mākslinieciskā pasaule
Matjuska Teja Krasek ir ieguvusi bakalaura grādu glezniecībā Vizuālās mākslas koledžā (Ļubļana, Slovēnija) un ir ārštata māksliniece. Dzīvo un strādā Ļubļanā. Viņas teorētiskais un praktiskais darbs koncentrējas uz simetriju kā jēdzienu, kas savieno mākslu un zinātni. Viņas mākslas darbi ir prezentēti daudzos starptautiskajām izstādēm un publicēts starptautiskos žurnālos (Leonardo Journal, Leonardo on-line).
M.T. Krašeks savā izstādē “Kaleidoskopiskās smaržas”, Ļubļanā, 2005.
Mātes Teijas Krašekas mākslinieciskā jaunrade ir saistīta ar dažāda veida simetriju, Penrose flīzēm un rombiem, kvazikristāliem, zelta griezumu kā galveno simetrijas elementu, Fibonači skaitļiem utt. Ar refleksijas, iztēles un intuīcijas palīdzību viņa cenšas atlasīt jaunas attiecības, jaunus struktūras līmeņus, jaunus un Dažādi kārtību šajos elementos un struktūrās. Savā darbā viņa plaši izmanto datorgrafiku kā ļoti noderīgu instrumentu mākslas darbu radīšanai, kas ir saikne starp zinātni, matemātiku un mākslu.
Attēlā 11 redzams sastāvs T.M. Krashek saistīts ar Fibonači skaitļiem. Ja šajā jūtami nestabilajā kompozīcijā Penrouza dimanta sānu garumam izvēlamies kādu no Fibonači skaitļiem (piemēram, 21 cm), var novērot, kā dažu kompozīcijas segmentu garumi veido Fibonači secību.
 |
 |
11. attēls. Māte Teia Krašeka “Fibonači skaitļi”, audekls, 1998.
Liela daļa mākslinieka māksliniecisko kompozīciju ir veltītas Šetmana kvazikristāliem un Penrouza režģiem (12. att.).
 |
 |
| (A) | b) |
 |
 |
| (V) | (G) |
12. attēls. Teijas Krašekas pasaule: (a) Kvazikristālu pasaule. Datorgrafika, 1996.
b) zvaigznes. Datorgrafika, 1998 (c) 10/5. Audekls, 1998 (d) Kvazi-kubs. Audekls, 1999
Mātes Teijas Krašekas un Kliforda Pikovera skaņdarbā Bioģenēze, 2005 (13. att.) redzams desmitstūris, kas sastāv no Penrouza dimantiem. Var novērot attiecības starp Petroses rombiem; Katrs divi blakus esošie Penrose dimanti veido piecstūra zvaigzni.
13. attēls. Māte Teija Krašeka un Klifords Pikovers. Bioģenēze, 2005.
Attēlā Double Star GA(14. attēls) mēs redzam, kā Penrose flīzes apvienojas, veidojot potenciāli hiperdimensionāla objekta divdimensiju attēlojumu ar desmitstūra pamatni. Attēlojot gleznu, mākslinieks izmantoja Leonardo da Vinči piedāvāto stingrās malas metodi. Tieši šī attēlojuma metode ļauj attēla projekcijā uz plakni saskatīt lielu skaitu piecstūru un piecstūru, ko veido Penrouza rombu atsevišķu šķautņu projekcijas. Turklāt attēla projekcijā uz plakni mēs redzam desmitstūri, ko veido 10 blakus esošu Penrose rombu malas. Būtībā šajā attēlā māte Teia Krašeka atrada jaunu regulāru daudzskaldni, kas, iespējams, patiešām pastāv dabā.
14. attēls. Māte Teia Krašeka. Double Star GA
Krašeka skaņdarbā “Zvaigznes Donaldam” (15. att.) var novērot Penrouza rombu, pentagrammu, piecstūru nebeidzamu mijiedarbību, samazinoties skaņdarba centrālajam punktam. Zelta proporcijas tiek attēlotas dažādos veidos un dažādās skalās.
15. attēls. Māte Teija Krašeka “Zvaigznes Donaldam”, datorgrafika, 2005.
Mātes Teijas Krašekas mākslinieciskās kompozīcijas piesaistīja lielu zinātnes un mākslas pārstāvju uzmanību. Viņas māksla tiek pielīdzināta Maurita Ešera mākslai un slovēņu māksliniece tiek dēvēta par “Austrumeiropas Ešeru” un “Slovēnijas dāvanu” pasaules mākslai.
Stahovs A.P. “Da Vinči kods”, platoniskās un arhimēdiskās cietvielas, kvazikristāli, fullerēni, Penrouza režģi un mātes Teijas Krašekas mākslinieciskā pasaule // “Trinitārisma akadēmija”, M., El Nr. 77-6567, pub. 12561, 07.11. 2005. gads
Platoniskas cietvielas
Pastāv šokējoši maz parasto daudzskaldņu, taču šim ļoti pieticīgajam pulkam izdevās iekļūt dažādu zinātņu dziļumos.
L. Kerola
Cilvēks vienmēr ir izrādījis interesi par daudzskaldni. Daļa regulāro un pusregulāro ķermeņu dabā sastopami kristālu veidā, citi – vīrusu veidā, kurus var izmeklēt ar elektronu mikroskopu. Kas ir daudzskaldnis? Daudzskaldnis ir telpas daļa, ko ierobežo ierobežota skaita plakanu daudzstūru kopums.
Zinātniekus jau sen interesē “ideālie” jeb regulāri daudzstūri, tas ir, daudzstūri ar vienādām malām un vienādiem leņķiem. Vienkāršāko regulāro daudzstūri var uzskatīt par vienādmalu trīsstūri, jo tam ir vismazākais malu skaits, kas var ierobežot daļu plaknes. Mūs interesējošo regulāro daudzstūru vispārīgais attēls kopā ar vienādmalu trīsstūri ir: kvadrāts (četras malas), piecstūris (piecas malas), sešstūris (sešas malas), astoņstūris (astoņas malas), desmitstūris (desmit malas) utt. Acīmredzot teorētiski Regulāra daudzstūra malu skaitam nav ierobežojumu, tas ir, regulāro daudzstūru skaits ir bezgalīgs.
Kas ir regulārs daudzskaldnis? Parasts daudzskaldnis ir tāds daudzstūris, kura visas skaldnes ir vienādas (vai kongruentas) viena ar otru un tajā pašā laikā ir regulāri daudzstūri. Cik regulāru daudzskaldņu ir? XIII grāmatā Eiklida elementi, kas veltīta regulārajiem daudzstūriem jeb platoniskām cietām vielām (Platons tos apspriež dialogā Timejs), mēs atrodam stingru pierādījumu tam, ka pastāv tikai pieci regulāri daudzstūri, un to sejas var būt tikai trīs veidu regulāri daudzstūri: trijstūri, kvadrāti un piecstūri.
Pierādījums, ka pastāv tieši pieci regulāri izliekti daudzskaldņi, ir ļoti vienkāršs.
Acīmredzot katra daudzskaldņa virsotne var piederēt trim vai vairākām skaldnēm. Pirmkārt, apsveriet gadījumu, kad daudzskaldņa skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tā kā vienādmalu trīsstūra iekšējais leņķis ir 60°, trīs šādi plaknē novietoti leņķi kopā veidos 180°. Ja tagad šos stūrus izliecam gar iekšējām malām un salīmējam kopā gar ārējām malām, iegūstam tetraedra daudzskaldņu stūri - regulāru daudzskaldni, kura katrā virsotnē satiekas trīs regulāras trīsstūra skaldnes. Trīs regulāri trīsstūri ar kopējā virsotne sauc par tetraedra virsotnes attīstību. Ja virsotnes attīstībai pievienojat vēl vienu trīsstūri, kopējais leņķis ir 240°. Tā ir oktaedra virsotnes attīstība. Pievienojot piekto trīsstūri, iegūsim 300° leņķi – iegūstam ikosaedra virsotnes attīstību. Ja mēs pievienojam vēl vienu, sesto trīsstūri, leņķu summa kļūst vienāda ar 360° - šī attīstība, acīmredzot, nevar atbilst nevienam izliektam daudzskaldnim.
Tagad pāriesim pie kvadrātveida sejām. Trīs kvadrātveida skaldņu attīstībai ir leņķis 3 x 90° = 270° - tas rada kuba virsotni, ko sauc arī par heksaedru. Pievienojot vēl vienu kvadrātu, leņķis palielināsies līdz 360° – šī attīstība vairs neatbilst nevienam izliektam daudzskaldnim.
Trīs piecstūrveida skaldnes nodrošina skenēšanas leņķi 3 x 108° = 324° - dodekaedra virsotne. Ja pievienojam vēl vienu piecstūri, mēs iegūstam vairāk nekā 360°.
Sešstūriem jau trīs skaldnes dod skenēšanas leņķi 3 x 120° = 360°, tāpēc nav regulāra izliekta daudzskaldņa ar sešstūra skaldnēm. Ja sejai ir vēl vairāk leņķu, tad skenēšanai būs vēl lielāks leņķis. Tas nozīmē, ka nav regulāru izliektu daudzskaldņu ar virsmām ar sešiem vai vairāk leņķiem.
Tādējādi mēs esam pārliecināti, ka ir tikai pieci izliekti regulāri daudzskaldņi - tetraedrs, oktaedrs un ikosaedrs ar trīsstūrveida skaldnēm, kubs (heksaedrs) ar kvadrātveida skaldnēm un dodekaedrs ar piecstūrveida skaldnēm.
Piecas regulārās daudzskaldņa jeb platoniskās cietvielas tika izmantotas un zināmas jau ilgi pirms Platona laikiem. Kate Crichlow savā grāmatā Time Stands Still sniedz pārliecinošus pierādījumus, ka Lielbritānijas neolīta cilvēki tos pazina vismaz 1000 gadus pirms Platona. Šis apgalvojums ir balstīts uz vairāku sfērisku akmeņu klātbūtni, kas atrodas Ashmolean muzejā Oksfordā. Šie akmeņi, kuru izmērs ietilptu rokā, tika pārklāti ar ģeometriski precīzām sfēriskām kuba, tetraedra, oktaedra, ikosaedra un dodekaedra figūrām, kā arī dažām papildu saliktām un pseidoregulārām cietvielām, piemēram, kuboktaedru un iko-dodekaedru. Kričlovs saka: “Mums ir objekti, kas neapšaubāmi norāda uz pakāpi matemātiskās spējas, ko daži arheologi vai matemātikas vēsturnieki līdz šim ir nolieguši saistībā ar neolīta cilvēku."
Atēnu Theaetetus (417–369 BC), Platona laikabiedrs, sniedza regulāru daudzskaldņu matemātisko aprakstu un pirmo zināmo pierādījumu, ka tie ir tieši pieci.
Timejā, kas pēc rakstura ir visspēcīgākais no citiem Platona darbiem, viņš norāda, ka četri pasaules pamatelementi ir zeme, gaiss, uguns un ūdens un ka katrs no šiem elementiem ir saistīts ar kādu no telpiskajiem elementiem. skaitļi. Tradīcija saista kubu ar zemi, tetraedru ar uguni, oktaedru ar gaisu un ikosaedru ar ūdeni. Platons piemin "noteiktu piekto struktūru", ko radītājs izmantoja, veidojot Visumu. Tādējādi dodekaedrs kļuva saistīts ar piekto elementu: ēteri. Visuma organizētājs Platons ar fundamentālu formu un skaitļu palīdzību ieviesa kārtību no šo elementu primitīvā haosa. Sakārtojums pēc skaita un formas vairāk augsts līmenis noveda pie piecu elementu izkārtojuma fiziskajā Visumā. Pamatformas un skaitļi pēc tam sāka darboties kā robežšķirtne starp augstāko un zemāko pasauli. Paši paši un pēc analoģijas ar citiem elementiem viņiem bija spēja veidot materiālo pasauli.
Tie paši pieci regulārie ķermeņi saskaņā ar klasisko tradīciju ir novilkti tā, ka tie atrodas deviņās koncentriskās bumbiņās, un katrs ķermenis saskaras ar sfēru, kas aprakstīta ap nākamo ķermeni, kas atrodas tās iekšpusē. Šī kompozīcija parāda daudzas svarīgas attiecības, un tā ir aizgūta no disciplīnas, ko sauc corpo caurspīdīgs, kas attiecas uz sfēru uztveri, kas izgatavotas no caurspīdīga materiāla un novietotas viena otrā. Šos norādījumus Fra Luka Pačioli sniedza daudziem renesanses izcilākajiem cilvēkiem, tostarp Leonardo un Brunulleschi.
Savā grāmatā "Pasaules noslēpums" (Mysterium Cosmographicum), kas tika publicēts 1596. gadā. Johanness Keplers ierosināja, ka pastāv saikne starp piecām platoniskām cietām vielām un sešām Saules sistēmas planētām, kas tika atklātas līdz tam laikam. Saskaņā ar šo pieņēmumu Saturna orbītas sfērā var ierakstīt kubu, kurā iekļaujas Jupitera orbītas sfēra. Tajā savukārt iederas netālu no Marsa orbītas sfēras aprakstītais tetraedrs. Dodekaedrs iekļaujas Marsa orbītas sfērā, kurā iekļaujas Zemes orbītas sfēra. Un tas ir aprakstīts netālu no ikosaedra, kurā ir ierakstīta Veneras orbītas sfēra. Šīs planētas sfēra ir aprakstīta ap oktaedru, kurā iekļaujas Merkura sfēra. Šo Saules sistēmas modeli sauca par Keplera "kosmisko kausu". Neatbilstību starp Keplera modeli un orbītu faktiskajiem izmēriem (vairāku procentu kārtu) I. Keplers skaidroja kā “matērijas ietekmi”.
20. gadsimtā teorētiski tika izmantotas platoniskas cietvielas elektronu apvalka modelis Roberts Mūns, kas pazīstams arī kā Mēness teorija. Mēness pamanīja, ka protonu un neitronu ģeometriskais izvietojums atoma kodolā ir saistīts ar ligzdoto platonisko cietvielu virsotņu stāvokli. Šo koncepciju iedvesmojusi J. Keplera grāmata Mysterium Cosmographicum.
Ir Eilera daudzskaldņu formula:
F + V = E + 2
Šajā formulā F- seju skaits, V- virsotņu skaits, E– ribu skaits. Šie platona cietvielu skaitliskie raksturlielumi ir doti tabulā.
Platonisko cietvielu kvantitatīvās iezīmes
Svarīgas attiecības starp malām, ierakstīto un ierobežoto sfēru diametriem, regulāru daudzskaldņu laukumiem un tilpumiem tiek izteiktas ar iracionāliem skaitļiem. Zemāk esošajā tabulā parādīta katras no piecām platona cietvielām malas garuma attiecība pret ierobežoto sfēras diametru.
Katrs iegūtais rezultāts ir neracionāls skaitlis, ko var atrast tikai ar ekstrakcijas palīdzību kvadrātsakne. Mēs redzam, ka šeit parādās skaitļi, kas ir svarīgi un īpaši sakrālajā matemātikā.
Dodekaedra un ikosaedra ģeometrija ir saistīta ar zelta attiecību. Patiešām, dodekaedra sejas ir piecstūri, t.i., regulāri piecstūri, kuru pamatā ir zelta attiecība. Uzmanīgi aplūkojot ikosaedru, var redzēt, ka katrā ikosaedra virsotnē sastopas pieci trīsstūri, kuru ārējās malas veido piecstūri. Šie fakti vien ir pietiekami, lai pārliecinātu mūs, ka zelta attiecībai ir nozīmīga loma šo divu platonisko cietvielu izstrādē. Šīs divas figūras ir apgrieztas viena otrai: abas sastāv no 30 malām, taču, neskatoties uz to, ikosaedram ir 20 skaldnes un 12 virsotnes, bet dodekaedram ir 12 skalas un 20 virsotnes. Arī apgriezti viens otram ir oktaedrs un heksaedrs, un teatraedrs pats pret sevi.
Starp visiem ir pārsteidzoši ģeometriski savienojumi regulāri daudzskaldnis. Piemēram, kubs Un oktaedrs ir duāli, tas ir, tie tiek iegūti viens no otra, ja vienas virsmas smaguma centrus pieņem par otras virsotnēm un otrādi. Līdzīgi duāli ikosaedrs Un dodekaedrs. Tetraedrs duāls pret sevi. Dodekaedrs tiek iegūts no kuba, veidojot “jumtus” uz tā skaldnēm (Eiklīda metode); tetraedra virsotnes ir jebkuras četras kuba virsotnes, kas nav pa pāriem blakus malai, tas ir, var būt visi pārējie regulārie daudzskaldņi. iegūts no kuba.
Roberts Lolors savā darbā parāda, ka platoniskas cietvielas var konstruēt, pamatojoties uz ikosaedru. Viņš raksta: “Ja mēs savienojam visas ikozaedra iekšējās virsotnes, no katras novelkot trīs līnijas, savienojot katru virsotni ar tās pretējo, un tad no abām augšējām virsotnēm novilkt četras līnijas uz divām pretējām virsotnēm, lai šīs līnijas satiekas centrā, mēs, rīkojoties saskaņā ar teikto, mēs dabiski konstruēsim dodekaedra malas. Šī konstrukcija notiek automātiski, kad ikosaedra iekšējās līnijas krustojas. Pēc dodekaedra izveidošanas mēs varam vienkārši izmantot sešas tā virsotnes un centru, lai izveidotu kubu. Izmantojot kuba diagonāles, mēs varam uzbūvēt zvaigznes formas vai savītu tetraedru. Zvaigznes tetraedra krustojumi ar kubu dod mums precīzu vietu, kur izveidot ierakstīto oktaedru. Tad pašā oktaedrā, izmantojot ikosaedra iekšējās līnijas un oktaedra virsotnes, iegūst otru ikosaedru. Mēs esam izgājuši visu pilno ciklu, piecus posmus no sēklas līdz sēklai. Un šādas darbības atspoguļo nebeidzamu secību.
Tetraedrs
Vienkāršākais no parastajiem daudzskaldņiem ir tetraedrs. Platonam tas atbilst Uguns stihijai. Fizikā “uguns” var būt saistīta ar plazmas stāvokli. Tetraedram ir vismazākais skalu skaits starp platoniskām cietām vielām, un tas ir plakana regulāra trijstūra trīsdimensiju analogs, kuram ir vismazākais malu skaits starp parastajiem daudzstūriem. Tās četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Četri ir mazākais malu skaits, kas atdala trīsdimensiju telpas daļu. Katra tā virsotne ir trīs trīsstūru virsotne. Visi tetraedra daudzskaldņu leņķi ir vienādi viens ar otru. Plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180°. Tādējādi tetraedram ir 4 skaldnes, 4 virsotnes un 6 malas.
Oktaedrs
Oktaedrs sastāv no astoņiem vienādmalu trijstūriem. Platonam tas atbilst Gaisa stihijai. Fizikā “gaisu” var saistīt ar vielas gāzveida stāvokli. Katra no tās virsotnēm ir četru trīsstūru virsotne. Pretējās sejas atrodas paralēlās plaknēs. Plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 240°. Tādējādi oktaedram ir 8 skaldnes, 6 virsotnes un 12 malas.
Ikozaedrs
Ikozaedrs ir viena no piecām platoniskām cietām vielām, vienkāršības ziņā nākamais aiz tetraedra un oktaedra. Platonam tas atbilst Ūdens stihijai. Fizikā “ūdeni” var saistīt ar vielas šķidro stāvokli. Ikozaedrs sastāv no divdesmit vienādmalu trijstūriem. Katra no tās virsotnēm ir piecu trīsstūru virsotne. Plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 300°. Tādējādi ikosaedram ir 20 skaldnes, 12 virsotnes un 30 malas.
Sešskaldnis
Sešskaldnis vai kubs sastāv no sešiem kvadrātiem. Platonam tas atbilst Zemes stihijai. Fizikā “zemi” var korelēt ar vielas cieto stāvokli. Katra tā virsotne ir trīs kvadrātu virsotne. Plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 270°. Tādējādi kubam ir 6 skaldnes, 8 virsotnes un 12 malas.
Dodekaedrs
Dodekaedrs sastāv no divpadsmit vienādmalu piecstūriem. Platonam tas atbilst piektajam elementam – ēteram. Katra tā virsotne ir trīs piecstūru virsotne. Plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 324°. Tādējādi dodekaedram ir 12 skaldnes, 20 virsotnes un 30 malas.
Regulāri daudzskaldņi ir sastopami dzīvajā dabā. 20. gadsimta sākumā Ernsts Hekels ( Ernsts Hekels) aprakstīja vairākus organismus, kuru skeleta formas ir līdzīgas dažādiem regulāriem daudzskaldņiem. Piemēram: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus un Circorrhegma dodecahedra. Šo organismu skeleta formas atspoguļojas to nosaukumos.
Vienšūnu organisma skelets Feodari ( Circogoniaicosahedra) ir ikosaedra forma. Lielākā daļa feodariju dzīvo jūras dziļumos un kalpo par upuri koraļļu zivīm. Bet vienkāršākais dzīvnieks cenšas sevi pasargāt: no 12 skeleta virsotnēm iznirst 12 dobas adatas. Adatu galos ir dzeloņstieņi, kas padara adatu vēl efektīvāku aizsardzību.
Daudzi vīrusi, piem. herpes, tiem ir regulāra ikosaedra forma. Vīrusu struktūras tiek veidotas no atkārtotām proteīna apakšvienībām, un ikosaedrs ir vispiemērotākā forma šo struktūru reproducēšanai.
Daudzu minerālu kristāliskajiem režģiem ir platonisku cietvielu forma.
Sērskābes, dzelzs un īpašu cementa veidu ražošana nav pilnīga bez sēra pirītiem ( FeS). Šī kristāli ķīmiskā viela ir dodekaedra forma. Minerālam silvītam ir kubveida kristāla režģis. Pirīta kristāliem ir dodekaedra forma, bet kuprīts veido kristālus oktaedra formā.
Platoniskās cietvielas ir ļoti nozīmīgs izpētes objekts gan no sakrālās matemātikas, gan no dabaszinātņu viedokļa. Platoniskas cietvielas parādās visur, sākot no vīrusiem, no kuriem daudzi ir ikosaedriskas formas, līdz sarežģītām makrostruktūrām, piemēram, Saules sistēmai.
Antons Muhins
No grāmatas Piezīmju grāmatiņas autors Čehovs Antons Pavlovičsķermeņa daļa. 2 [Arhipriesteris raud kā slims bērnībā, kad māte viņu žēlojusi; Es raudāju vienkārši no vispārējā garīgā saguruma, pūlis raudāja. Viņš ticēja, sasniedza visu, kas bija [dots (?)] pieejams cilvēkam viņa amatā, bet tik un tā dvēsele sāpēja: ne viss bija skaidrs, kaut kas cits
No grāmatas Viss ir kontrolēts: Kas un kā tevi vēro autors Garfinkels Simeons No grāmatas Neiedomājama nākotne autors Krīgers BorissĶīlnieki pašu ķermeni Veselības un labsajūtas stāvoklī cilvēks pilnībā aizmirst par sava ķermeņa esamību. Viņu netraucē sāpes un citas diskomforta izpausmes, piemēram, aukstuma, karstuma, bada un citas sajūtas. Tomēr dzīves realitātes izjūta ir taisnīga
No grāmatas “Matrica” kā filozofija autors Irvins ViljamsĶERMEŅI, PRĀTI, DZIMUMI "Matricas" "zvaigznes" izskatās pēc noteikta standarta. Virtuālajā pasaulē viņu miesa ir paslēpta zem līdzīgs draugs viens uz otra uzvalkos no spīdīgi melnas ādas vai lateksa. “Esamība” ir piepildīta ar miesu, asiņu un svaigu asiņu mitrumu. Tādas
No grāmatas Japānas laika sejas. Mentalitāte un tradīcijas mūsdienīgā interjerā. autors Prasols Aleksandrs Fedorovičs17. nodaļa ĶERMEŅA DINAMIKA — JAPĀŅU KUSTĪBU ĪPAŠĪBAS Klimats, uzturs un dzīvesveids, kas atšķiras no Eiropas, gadsimtiem ilgi ir veidojuši Japānas ķermeņa uzbūvi un kustību raksturu. Šajā jomā joprojām ir daudz neizpētīta, tāpēc mēģināsim to izdomāt
No grāmatas Citu cilvēku mācības - 2008 autors Golubitskis Sergejs MihailovičsKAILĀ ĶERMEŅA ESTĒTIKA Vēsturiski japāņu attieksme pret daudziem aspektiem izskats cilvēki arī ļoti atšķīrās no eiropiešiem. Tas ir īpaši pamanāms attiecībā uz kailu ķermeni. Eiropas kultūrā kailums ir atļauts divos gadījumos: līdz
No grāmatas Literārais Avīze 6300 (Nr. 45 2010) autors Literārais AvīzeAtslābināta ķermeņa valoda Publicēts žurnālā "Biznesa Žurnāls" Nr.15 2008.gada 8.augustā. Associated Press, 2008. gada 4. jūlijs: “Bijušajam Refco Inc. vadītājam Filipam Benetam tika piespriests 16 gadu cietumsods par finanšu krāpšanu, kuras rezultātā sabruka viens no pasaulē lielākajiem uzņēmumiem.
No grāmatas Kā pārspēt ķīniešus autors Maslovs Aleksejs AleksandrovičsĶermeņa noslēpumi Bibliomaniaks. Grāmata ducis Ķermeņa noslēpumi LASĪŠANA MASKAVA A.A. Kamenskis, M.V. Maslova, A.V. Grafiks. Hormoni valda pār pasauli: populārā endokrinoloģija. – M.: AST-PRESS, 2010. – 192 lpp.: ill. – (Zinātne un miers). – 5000 eksemplāru. Pašlaik netiek izdots daudz populārzinātniskās literatūras,
No grāmatas Netīrā prāta kritika autors Silajevs Aleksandrs Jurijevičs No grāmatas Paredzot sevi. No attēla līdz stilam autors Khakamada Irina MitsuovnaĪsti ķermeņi Īsi sakot: nepietiek zināt patiesību, tā ir jāizdzīvo savā ķermenī. Lai ķermenis uzvestos patiesi. Un tas ir jāmāca atsevišķi, speciālajos priekšmetos-disciplīnās. Visi zina, neviens
No grāmatas Piektā dimensija. Uz laika un telpas robežas [kolekcija] autors Bitovs Andrejs4.nodaļa. Ķermeņa spiritualizācija Pret ķermeni var izturēties dažādi. Jūs varat viņu dievināt un veltīt viņam savu dzīvi. Džeina Fonda par to rakstīja savos memuāros. Izveidojusi aerobiku, viņa spīdzināja sevi ar diētām un fitnesu, novedot savu psihi destruktīvā stāvoklī. Iespējams plkst
No grāmatas Parīzes attēli. II sējums autors Mersjē Luiss-SebastjēnsSmalkie ķermeņi(personīgi) 1964. GADĀ, tūlīt pēc filmēšanas, Ļeņingradas māksliniece Gaga Kovenčuka sapņoja par Ņikitu Sergejeviču. Viņi satikās metro. Gaga bija ļoti priecīga. "Kā tā? – viņš uzreiz izteica līdzjūtību. "Viss gāja tik labi!" Ņikita Sergejevičs teica īsi:
No grāmatas Mūrniecība un mašīnas (kolekcija) autors Bajkovs Eduards Arturovičs226. Corpus Christi svētki (57) Corpus Christi diena ir vissvinīgākie no visiem katoļu svētkiem. Šajā dienā Parīze ir tīra, jautra, droša, lieliska. Šajā dienā var redzēt, cik daudz sudraba lietu ir baznīcās, nemaz nerunājot par zeltu un dimantiem, cik grezna baznīca
No grāmatas Krievija. Vēl nav vakars autors Muhins Jurijs IgnatjevičsBody cult Bodybuilding (no angļu body - body and building - construction, t.i. Body-Building - body building, body building) vai bodibildings (no franču culturisme - audzināšana, veidošana) nav tikai fizisku vingrinājumu sistēma, kas veicina veidojot muskuļu masa Un,
No grāmatas Šoka doktrīna [Katastrofu kapitālisma uzplaukums] autors Naomi KleinDvēseles izceļošana no ķermeņa Es domāju, ka jūs nepārsteigs, ka, kad cilvēks ir nāves stāvoklī, ķermenis dara visu, lai glābtu smadzenes. Tas ir, ja ķermenis zaudē asinis, tad ķermenis (Gars) noņems visus orgānus no asins piegādes un atlikušās asinis cirkulēs tikai pa apli:
No autora grāmatasŠoks ķermenim Pretestība pieauga, un okupanti atbildēja, arvien vairāk izmantojot šoku jaunā formā. Vēlu vakarā vai agrā rītā karavīri ielauzās durvīs, spīdot laternām tumšās telpās un piepildot māju ar kliedzieni, no kuriem vietējie iedzīvotāji varēja pamanīt tikai dažus
