Rīsi. 4.2. Grafiks

Rīsi. 4.3. Grafiks

Funkcijas vertikālās asimptotes jāmeklē vai nu otrā veida pārtraukuma punktos (vismaz viena no funkcijas vienpusējām robežām punktā ir bezgalīga vai neeksistē), vai tās definīcijas apgabala galos.
, Ja
- galīgi skaitļi.

Ja funkcija
ir definēts visā skaitļu rindā, un tam ir ierobežots ierobežojums
, vai
, tad vienādojuma dotā taisne
, ir labās puses horizontāla asimptote un taisna līnija
- kreisās puses horizontālā asimptote.

Ja ir ierobežotas robežas

Un
,

tad ir taisni
ir funkcijas grafika slīpā asimptote. Slīpais asimptots var būt arī labās puses (
) vai kreilis (
).

Funkcija
sauc par palielināšanu komplektā
, ja par kādu
, tāds, ka >, nevienlīdzība ir spēkā:
>
(samazinās, ja:
<
). ķekars
šajā gadījumā sauc par funkcijas monotonitātes intervālu.

Funkcijas monotonitātei ir spēkā šāds pietiekams nosacījums: ja kopas iekšienē diferencējamas funkcijas atvasinājums.
ir pozitīvs (negatīvs), tad funkcija šajā kopā palielinās (samazinās).

Piemērs 4.5. Dota funkcija
. Atrodiet tā pieauguma un samazināšanās intervālus.

Risinājums. Atradīsim tā atvasinājumu
. Ir skaidrs, ka >0 plkst >3 un <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) un palielinās par (3;
).

Punkts sauc par punktu vietējais maksimums (minimums) funkcijas
, ja kādā punkta apkārtnē nevienlīdzība pastāv
(
) . Funkcijas vērtība punktā sauca maksimums (minimums). Maksimālo un minimālo funkciju apvieno kopīgs nosaukums ekstremitāte funkcijas.

Lai funkcija
punktā bija ekstremāls ir nepieciešams, lai tā atvasinājums šajā punktā būtu vienāds ar nulli (
) vai neeksistēja.

Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli stacionārs funkciju punkti. Stacionārā punktā nav jābūt funkcijas galējībai. Ekstrēmu atrašanai nepieciešams papildus pārbaudīt funkcijas stacionāros punktus, piemēram, izmantojot pietiekamus nosacījumus ekstremitātei.

Pirmais no tiem ir tāds, ka, izejot cauri stacionāram punktam No kreisās uz labo pusi diferencējamās funkcijas atvasinājums maina zīmi no plusa uz mīnusu, tad punktā tiek sasniegts lokālais maksimums. Ja zīme mainās no mīnusa uz plusu, tad tas ir funkcijas minimālais punkts.

Ja, ejot cauri pētāmajam punktam, atvasinājuma zīme nemainās, tad šajā punktā nav ekstrēma.

Otrais pietiekams nosacījums funkcijas ekstrēmam stacionārā punktā izmanto otro funkcijas atvasinājumu: ja
<0, тоir maksimālais punkts, un ja
>0, tad - minimālais punkts. Plkst
=0 jautājums par ekstrēma veidu paliek atklāts.

Funkcija
sauca izliekts (ieliekts) uzņemšanas laukumā
, ja jebkurām divām vērtībām
nevienlīdzība ir spēkā:

.

4.4.att. Izliektas funkcijas grafiks

Ja divreiz diferencējamas funkcijas otrais atvasinājums
pozitīvs (negatīvs) komplektā
, tad funkcija komplektā ir ieliekta (izliekta).
.

Nepārtrauktas funkcijas grafika lēciena punkts
sauc par punktu, kas atdala intervālus, kuros funkcija ir izliekta un ieliekta.

Otrais atvasinājums
divreiz diferencējama funkcija lēciena punktā ir vienāds ar nulli, tas ir
= 0.

Ja otrais atvasinājums, ejot cauri noteiktam punktam tad maina savu zīmi ir tā grafika lēciena punkts.

Pētot funkciju un veidojot tās grafiku, ieteicams izmantot šādu shēmu:

23. Diferenciālās funkcijas jēdziens. Īpašības. Diferenciāļa pielietošana apm.y aprēķini.

Diferenciālās funkcijas jēdziens

Pieņemsim, ka funkcijai y=ƒ(x) punktā x ir nulles atvasinājums.

Tad saskaņā ar teorēmu par saikni starp funkciju, tās robežu un bezgalīgi mazu funkciju, varam uzrakstīt  у/х=ƒ"(x)+α, kur α→0 pie ∆х→0, vai ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Tādējādi funkcijas ∆у inkrements ir divu terminu ƒ"(x) ∆x un a ∆x summa, kas ir bezgalīgi mazi ∆x→0. Turklāt pirmais vārds ir bezgalīgi maza funkcija, kas ir tāda pati kā ∆x, kopš un otrais termins ir bezgalīgi maza funkcija, kas ir augstāka par ∆x:

Tāpēc tiek izsaukts pirmais termins ƒ"(x) ∆x pieauguma galvenā daļa funkcijas ∆у.

Funkciju diferenciālis y=ƒ(x) punktā x sauc par tā pieauguma galveno daļu, kas ir vienāda ar funkcijas atvasinājuma un argumenta pieauguma reizinājumu, un tiek apzīmēta ar dу (vai dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

Dу diferenciālis tiek saukts arī par pirmās kārtas diferenciālis. Atradīsim neatkarīgā mainīgā x diferenciāli, t.i., funkcijas y=x diferenciāli.

Tā kā y"=x"=1, tad saskaņā ar formulu (1) mums ir dy=dx=∆x, t.i., neatkarīgā mainīgā diferenciālis ir vienāds ar šī mainīgā inkrementu: dx=∆x.

Tāpēc formulu (1) var uzrakstīt šādi:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

citiem vārdiem sakot, funkcijas diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma un neatkarīgā mainīgā diferenciāļa reizinājumu.

No formulas (2) izriet vienādība dy/dx=ƒ"(x). Tagad apzīmējums

atvasinājumu dy/dx var uzskatīt par diferenciāļu dy un dx attiecību.

Diferenciālsir šādas galvenās īpašības.

1. d(Ar)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(Aru)=Ard(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Diferenciāļa forma ir nemainīga (nemainīga): tā vienmēr ir vienāda ar funkcijas atvasinājuma un argumenta diferenciāļa reizinājumu neatkarīgi no tā, vai arguments ir vienkāršs vai sarežģīts.

Diferenciāļa piemērošana aptuveniem aprēķiniem

Kā jau zināms, funkcijas y=ƒ(x) pieaugumu ∆у punktā x var attēlot kā ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, kur α→0 pie ∆х→0, vai ∆у= dy+α ∆х Atmetot bezgalīgi mazo α ∆х, kas ir augstāka par ∆х, iegūstam aptuveno vienādību

∆y≈dy, (3)

Turklāt šī vienādība ir precīzāka, jo mazāks ∆х.

Šī vienādība ļauj mums ar lielu precizitāti aptuveni aprēķināt jebkuras diferencējamas funkcijas pieaugumu.

Diferenciāli parasti ir daudz vienkāršāk atrast nekā funkcijas pieaugumu, tāpēc formulu (3) plaši izmanto skaitļošanas praksē.

24. Antiderivatīvā funkcija un nenoteiktath integrālis.

PRIMITĪVAS FUNKCIJAS UN ATLĪDZĪBAS INTEGRĀLA JĒDZIENS

Funkcija F (X) tiek saukts antiderivatīvā funkcija šai funkcijai f (X) (vai īsi sakot, antiatvasinājums šī funkcija f (X)) noteiktā intervālā, ja šajā intervālā . Piemērs. Funkcija ir funkcijas antiatvasinājums uz visas skaitļu ass, jo jebkurai X. Ņemiet vērā, ka kopā ar funkciju antiatvasinājums ir jebkura funkcija no formas , kur AR- patvaļīgs konstantes skaitlis (tas izriet no tā, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli). Šis īpašums ir spēkā arī vispārīgā gadījumā.

1. teorēma. Ja un ir divi funkcijas antiatvasinājumi f (X) noteiktā intervālā, tad starpība starp tām šajā intervālā ir vienāda ar konstantu skaitli. No šīs teorēmas izriet, ka, ja ir zināms kāds antiderivatīvs F (X) šīs funkcijas f (X), tad viss antiatvasinājumu komplekts par f (X) ir izsmelts ar funkcijām F (X) + AR. Izteiksme F (X) + AR, Kur F (X) - funkcijas antiatvasinājums f (X) Un AR- patvaļīga konstante, ko sauc nenoteikts integrālis no funkcijas f (X) un tiek apzīmēts ar simbolu un f (X) tiek saukts integrand funkcija ; - integrand , X - integrācijas mainīgais ; ∫ - nenoteiktā integrāļa zīme . Tādējādi pēc definīcijas Ja . Rodas jautājums: ikvienam funkcijas f (X) pastāv antiatvasinājums, tātad nenoteikts integrālis? 2. teorēma. Ja funkcija f (X) nepārtraukts uz [ a ; b], tad šajā funkcijas segmentā f (X) ir antiatvasinājums . Tālāk mēs runāsim par antiderivatīviem tikai nepārtrauktām funkcijām. Tāpēc integrāļi, kurus mēs aplūkojam vēlāk šajā sadaļā, pastāv.

25. Beztermiņa īpašībasUnneatņemama. Integrālss no pamatelementārajām funkcijām.

Nenoteiktā integrāļa īpašības

Tālāk sniegtajās formulās f Un g- mainīgas funkcijas x, F- funkcijas antiatvasinājums f, a, k, C- nemainīgas vērtības.







Elementāro funkciju integrāļi

Racionālo funkciju integrāļu saraksts

(nulles antiatvasinājums ir konstante; jebkurā integrācijas robežās nulles integrālis ir vienāds ar nulli)

Logaritmisko funkciju integrāļu saraksts

Eksponenciālo funkciju integrāļu saraksts

Iracionālo funkciju integrāļu saraksts

("garais logaritms")

trigonometrisko funkciju integrāļu saraksts , apgriezto trigonometrisko funkciju integrāļu saraksts

26.Aizvietošanas metodes mainīgais, integrācijas metode pa daļām nenoteiktā integrālā.

Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)

Integrācijas metode ar aizstāšanu ietver jauna integrācijas mainīgā (tas ir, aizstāšanas) ieviešanu. Šajā gadījumā dotais integrālis tiek reducēts uz jaunu integrāli, kas ir tabulas veidā vai reducējams uz to. Nav vispārīgu aizvietotāju izvēles metožu. Prasme pareizi noteikt aizstāšanu tiek iegūta praksē.

Aptuvenie aprēķini, izmantojot diferenciāli

Šajā nodarbībā mēs apskatīsim izplatītu problēmu par aptuvenu funkcijas vērtības aprēķinu, izmantojot diferenciāli. Šeit un tālāk mēs runāsim par pirmās kārtas diferenciāļiem; īsuma labad es bieži teikšu vienkārši “diferenciālis”. Aptuveno aprēķinu problēmai, izmantojot diferenciāļus, ir stingrs risinājuma algoritms, un tāpēc nevajadzētu rasties īpašām grūtībām. Vienīgais, ka ir nelielas slazdas, kuras arī tiks sakoptas. Tāpēc jūtieties brīvi nirt ar galvu pa priekšu.

Turklāt lapā atrodamas formulas aprēķinu absolūtās un relatīvās kļūdas atrašanai. Materiāls ir ļoti noderīgs, jo kļūdas ir jāaprēķina citos uzdevumos. Fiziķi, kur ir jūsu aplausi? =)

Lai veiksmīgi apgūtu piemērus, jums ir jāspēj atrast funkciju atvasinājumi vismaz vidējā līmenī, tādēļ, ja esat pilnīgi neveiksmīgi ar diferenciāciju, lūdzu, sāciet ar nodarbību Kā atrast atvasinājumu? Iesaku arī izlasīt rakstu Vienkāršākās problēmas ar atvasinājumiem, proti, rindkopas par atvasinājuma atrašanu punktā Un Atšķirības atrašana punktā. No tehniskajiem līdzekļiem būs nepieciešams mikrokalkulators ar dažādām matemātiskām funkcijām. Varat izmantot Excel, taču šajā gadījumā tas ir mazāk ērti.

Seminārs sastāv no divām daļām:

– Aptuvenie aprēķini, izmantojot viena mainīgā funkcijas diferenciāli.

– Aptuveni aprēķini, izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli.

Kam ko vajag? Faktiski bagātību bija iespējams sadalīt divās kaudzēs, jo otrais punkts attiecas uz vairāku mainīgo funkciju pielietojumiem. Bet ko lai dara, man patīk gari raksti.

Aptuvenie aprēķini
izmantojot viena mainīgā funkcijas diferenciāli

Attiecīgais uzdevums un tā ģeometriskā nozīme jau tika apskatīts nodarbībā Kas ir atvasinājums? , un tagad mēs aprobežosimies ar formālu piemēru apsvēršanu, kas ir pilnīgi pietiekami, lai uzzinātu, kā tos atrisināt.

Pirmajā rindkopā noteikumi viena mainīgā funkcija. Kā visi zina, to apzīmē ar vai ar . Šim uzdevumam ir daudz ērtāk izmantot otro apzīmējumu. Pāriesim tieši uz populāru piemēru, kas bieži sastopams praksē:

1. piemērs

Risinājums: Lūdzu, iekopējiet savā piezīmju grāmatiņā darba formulu aptuvenam aprēķinam, izmantojot diferenciālu:

Sāksim to izdomāt, šeit viss ir vienkārši!

Pirmais solis ir izveidot funkciju. Atbilstoši nosacījumam tiek piedāvāts aprēķināt skaitļa kuba sakni: , tāpēc atbilstošajai funkcijai ir forma: . Lai atrastu aptuveno vērtību, mums ir jāizmanto formula.

Apskatīsim kreisā puse formulas, un prātā nāk doma, ka formā ir jāattēlo skaitlis 67. Kāds ir vienkāršākais veids, kā to izdarīt? Es iesaku šādu algoritmu: aprēķiniet šo vērtību kalkulatorā:
– izrādījās 4 ar asti, tā ir svarīga risinājuma vadlīnija.

Mēs izvēlamies “labu” vērtību kā lai sakne tiktu pilnībā noņemta. Protams, šai vērtībai jābūt pēc iespējas tuvāk līdz 67. Šajā gadījumā: . Tiešām: .

Piezīme: ja joprojām rodas grūtības ar atlasi, vienkārši apskatiet aprēķināto vērtību (šajā gadījumā ), paņemiet tuvāko veselo skaitļa daļu (šajā gadījumā 4) un paaugstiniet to līdz vajadzīgajai pakāpei (šajā gadījumā ). Rezultātā tiks veikta vēlamā atlase: .

Ja , tad argumenta pieaugums: .

Tātad skaitlis 67 tiek attēlots kā summa

Vispirms aprēķināsim funkcijas vērtību punktā. Patiesībā tas jau ir darīts iepriekš:

Atšķirību punktā nosaka pēc formulas:
- Varat arī iekopēt to savā piezīmju grāmatiņā.

No formulas izriet, ka jums ir jāņem pirmais atvasinājums:

Un atrodiet tā vērtību punktā:

Tādējādi:

Viss ir gatavs! Pēc formulas:

Atrastā aptuvenā vērtība ir diezgan tuvu vērtībai , kas aprēķināts, izmantojot mikrokalkulatoru.

Atbilde:

2. piemērs

Aprēķiniet aptuveni, aizstājot funkcijas soli ar tās diferenciāli.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Aptuvenais gala noformējuma paraugs un atbilde nodarbības beigās. Iesācējiem es iesaku vispirms aprēķināt precīzu vērtību mikrokalkulatorā, lai uzzinātu, kurš skaitlis tiek pieņemts kā , bet kurš skaitlis tiek pieņemts kā . Jāatzīmē, ka šajā piemērā tas būs negatīvs.

Kāds varbūt ir aizdomājies, kāpēc vajadzīgs šis uzdevums, ja visu mierīgāk un precīzāk var izrēķināt uz kalkulatora? Piekrītu, uzdevums ir stulbs un naivs. Bet es mēģināšu to nedaudz attaisnot. Pirmkārt, uzdevums ilustrē diferenciālās funkcijas nozīmi. Otrkārt, senatnē kalkulators mūsdienās bija kaut kas līdzīgs personīgajam helikopteram. Pats redzēju, kā no vietējā politehniskā institūta kaut kur 1985.-86.gadā tika izmests dators istabas lielumā (radio amatieri skraidīja no visas pilsētas ar skrūvgriežiem, un pēc pāris stundām no vienība). Mūsu fizikas un matemātikas nodaļā bija arī senlietas, lai gan tās bija mazākas - apmēram rakstāmgalda lielumā. Tā mūsu senči cīnījās ar aptuveno aprēķinu metodēm. Arī zirgu pajūgs ir transports.

Tā vai citādi problēma paliek augstākās matemātikas standarta kursā, un tā būs jāatrisina. Šī ir galvenā atbilde uz tavu jautājumu =)

3. piemērs

punktā. Aprēķināt precīzāku funkcijas vērtību punktā, izmantojot mikrokalkulatoru, novērtēt aprēķinu absolūto un relatīvo kļūdu.

Faktiski tas pats uzdevums, to var viegli pārformulēt šādi: “Aprēķiniet aptuveno vērtību izmantojot diferenciāli"

Risinājums: Mēs izmantojam pazīstamo formulu:
Šajā gadījumā jau ir dota gatava funkcija: . Vēlreiz vēlos vērst jūsu uzmanību uz to, ka to ir ērtāk lietot.

Vērtība jāuzrāda formā . Nu, šeit ir vieglāk, mēs redzam, ka skaitlis 1,97 ir ļoti tuvu “divi”, tāpēc tas liecina par sevi. Un tāpēc: .

Izmantojot formulu , aprēķināsim diferenciāli tajā pašā punktā.

Mēs atrodam pirmo atvasinājumu:

Un tā vērtība brīdī:

Tādējādi atšķirība punktā:

Rezultātā saskaņā ar formulu:

Otrā uzdevuma daļa ir atrast aprēķinu absolūto un relatīvo kļūdu.

Aprēķinu absolūtā un relatīvā kļūda

Absolūtā aprēķina kļūda tiek atrasts pēc formulas:

Moduļa zīme parāda, ka mums ir vienalga, kura vērtība ir lielāka un kura mazāka. Svarīgs, cik tālu aptuvenais rezultāts vienā vai otrā virzienā novirzījās no precīzas vērtības.

Relatīvā aprēķina kļūda tiek atrasts pēc formulas:
, vai tas pats:

Relatīvā kļūda parāda par cik procentiem aptuvenais rezultāts atšķīrās no precīzās vērtības. Ir formulas versija bez reizināšanas ar 100%, bet praksē es gandrīz vienmēr redzu iepriekš minēto versiju ar procentiem.

Pēc īsas atsauces atgriezīsimies pie mūsu problēmas, kurā mēs aprēķinājām funkcijas aptuveno vērtību izmantojot diferenciāli.

Aprēķināsim precīzu funkcijas vērtību, izmantojot mikrokalkulatoru:
, stingri runājot, vērtība joprojām ir aptuvena, taču mēs to uzskatīsim par precīzu. Tādas problēmas gadās.

Aprēķināsim absolūto kļūdu:

Aprēķināsim relatīvo kļūdu:
, tika iegūtas procentu tūkstošdaļas, tāpēc diferenciālis sniedza tikai lielisku tuvinājumu.

Atbilde: , absolūtā aprēķina kļūda, relatīvā aprēķina kļūda

Šis neatkarīga risinājuma piemērs:

4. piemērs

Aprēķiniet aptuveni funkcijas vērtību, izmantojot diferenciāli punktā. Aprēķināt precīzāku funkcijas vērtību dotajā punktā, novērtēt aprēķinu absolūto un relatīvo kļūdu.

Aptuvenais gala noformējuma paraugs un atbilde nodarbības beigās.

Daudzi cilvēki ir pamanījuši, ka saknes parādās visos aplūkotajos piemēros. Tas nav nejaušs; vairumā gadījumu aplūkotā problēma faktiski piedāvā funkcijas ar saknēm.

Bet cietējiem lasītājiem es izraku nelielu piemēru ar arcsīnu:

5. piemērs

Aprēķiniet aptuveni funkcijas vērtību, izmantojot diferenciāli punktā

Šis īsais, bet informatīvais piemērs ir arī jums, lai to atrisinātu pašiem. Un es mazliet atpūtos, lai ar jaunu sparu varētu apsvērt īpašo uzdevumu:

6. piemērs

Aprēķiniet aptuveni, izmantojot diferenciāli, noapaļojiet rezultātu līdz divām zīmēm aiz komata.

Risinājums: Kas jauns uzdevumā? Nosacījums prasa rezultātu noapaļot līdz divām zīmēm aiz komata. Bet ne par to ir runa; es domāju, ka skolas noapaļošanas problēma jums nav grūta. Fakts ir tāds, ka mums ir dota tangenss ar argumentu, kas izteikts grādos. Kas jums jādara, ja jums tiek lūgts atrisināt trigonometrisko funkciju ar grādiem? Piemēram, utt.

Risinājuma algoritms būtībā ir vienāds, tas ir, tāpat kā iepriekšējos piemēros, ir jāpiemēro formula

Uzrakstīsim acīmredzamu funkciju

Vērtība jāuzrāda formā . Sniegs nopietnu palīdzību trigonometrisko funkciju vērtību tabula. Starp citu, tiem, kas to nav izdrukājuši, iesaku to izdarīt, jo tur būs jāmeklē visa augstākās matemātikas studiju kursa garumā.

Analizējot tabulu, mēs novērojam “labu” pieskares vērtību, kas ir tuvu 47 grādiem:

Tādējādi:

Pēc sākotnējās analīzes grādi jāpārvērš radiānos. Jā, un tikai šādā veidā!

Šajā piemērā jūs varat uzzināt tieši no trigonometriskās tabulas, ka . Izmantojot formulu grādu pārvēršanai radiānos: (formulas var atrast tajā pašā tabulā).

Tālāk ir formulēts:

Tādējādi: (mēs izmantojam vērtību aprēķiniem). Rezultāts, kā to prasa nosacījums, tiek noapaļots līdz divām zīmēm aiz komata.

Atbilde:

7. piemērs

Aprēķiniet aptuveni, izmantojot diferenciāli, noapaļojiet rezultātu līdz trim zīmēm aiz komata.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kā redzat, nekas sarežģīts nav, mēs pārvēršam grādus radiānos un pieturamies pie ierastā risinājuma algoritma.

Aptuvenie aprēķini
izmantojot divu mainīgo funkcijas pilno diferenciāli

Viss būs ļoti, ļoti līdzīgi, tāpēc, ja uz šo lapu atnācāt speciāli šim uzdevumam, tad vispirms iesaku apskatīt vismaz pāris iepriekšējās rindkopas piemērus.

Lai izpētītu rindkopu, jums jāspēj atrast otrās kārtas daļēji atvasinājumi, kur mēs būtu bez viņiem? Iepriekš minētajā nodarbībā es apzīmēju divu mainīgo funkciju, izmantojot burtu . Saistībā ar aplūkojamo uzdevumu ērtāk ir izmantot līdzvērtīgu apzīmējumu.

Tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, problēmas nosacījumu var formulēt dažādos veidos, un es mēģināšu aplūkot visus formulējumus, ar kuriem saskaras.

8. piemērs

Risinājums: Neatkarīgi no tā, kā nosacījums ir rakstīts, pašā risinājumā, lai apzīmētu funkciju, es atkārtoju, labāk ir izmantot nevis burtu “z”, bet gan .

Un šeit ir darba formula:

Tas, kas mums ir priekšā, patiesībā ir iepriekšējās rindkopas formulas vecākā māsa. Mainīgais ir tikai palielinājies. Ko es varu teikt, pats risinājuma algoritms būtībā būs vienāds!

Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod aptuvenā funkcijas vērtība punktā.

Attēlosim skaitli 3,04 kā . Pati bulciņa lūdz apēst:
,

Attēlosim skaitli 3,95 kā . Pienākusi kārta Kolobok otrajai pusei:
,

Un neskatieties uz visiem lapsas trikiem, ir Koloboks - jums tas ir jāēd.

Aprēķināsim funkcijas vērtību punktā:

Mēs atrodam funkcijas diferenciāli punktā, izmantojot formulu:

No formulas izriet, ka mums ir jāatrod daļēji atvasinājumi pirmais pasūtījums un aprēķiniet to vērtības punktā .

Aprēķināsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā:

Kopējā atšķirība punktā:

Tādējādi, saskaņā ar formulu, aptuvenā funkcijas vērtība punktā:

Aprēķināsim precīzu funkcijas vērtību punktā:

Šī vērtība ir absolūti precīza.

Kļūdas tiek aprēķinātas, izmantojot standarta formulas, kas jau tika apspriestas šajā rakstā.

Absolūtā kļūda:

Relatīvā kļūda:

Atbilde:, absolūtā kļūda: , relatīvā kļūda:

9. piemērs

Aprēķiniet funkcijas aptuveno vērtību punktā, izmantojot kopējo diferenciāli, novērtējiet absolūto un relatīvo kļūdu.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ikviens, kurš aplūko šo piemēru tuvāk, ievēros, ka aprēķinu kļūdas izrādījās ļoti, ļoti pamanāmas. Tas notika šāda iemesla dēļ: piedāvātajā uzdevumā argumentu pieaugumi ir diezgan lieli: . Vispārējā shēma ir šāda: jo lielāki šie pieaugumi absolūtajā vērtībā, jo zemāka ir aprēķinu precizitāte. Tātad, piemēram, līdzīgam punktam pieaugumi būs nelieli: , un aptuveno aprēķinu precizitāte būs ļoti augsta.

Šī funkcija attiecas arī uz viena mainīgā funkcijas gadījumu (nodarbības pirmā daļa).

10. piemērs

Risinājums: Aprēķināsim šo izteiksmi aptuveni, izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli:

Atšķirība no 8.–9. piemēriem ir tāda, ka vispirms ir jākonstruē divu mainīgo funkcija: . Es domāju, ka visi intuitīvi saprot, kā funkcija tiek veidota.

Vērtība 4,9973 ir tuvu “pieci”, tāpēc: , .
Vērtība 0,9919 ir tuvu “vienam”, tāpēc mēs pieņemam: , .

Aprēķināsim funkcijas vērtību punktā:

Mēs atrodam diferenciālu punktā, izmantojot formulu:

Lai to izdarītu, mēs aprēķinām pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā.

Šeit minētie atvasinājumi nav no vienkāršākajiem, un jums jābūt uzmanīgiem:

;

.

Kopējā atšķirība punktā:

Tādējādi šīs izteiksmes aptuvenā vērtība ir:

Aprēķināsim precīzāku vērtību, izmantojot mikrokalkulatoru: 2.998899527

Atradīsim relatīvo aprēķina kļūdu:

Atbilde: ,

Tikai ilustrācija iepriekšminētajam, aplūkotajā problēmā argumentu pieaugums ir ļoti mazs, un kļūda izrādījās fantastiski niecīga.

11. piemērs

Izmantojot divu mainīgo funkcijas pilno diferenciāli, aprēķiniet aptuveni šīs izteiksmes vērtību. Aprēķiniet to pašu izteiksmi, izmantojot mikrokalkulatoru. Novērtējiet relatīvo aprēķina kļūdu procentos.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Aptuvenais gala dizaina paraugs nodarbības beigās.

Kā jau minēts, visizplatītākais viesis šāda veida uzdevumos ir sava veida saknes. Bet laiku pa laikam ir arī citas funkcijas. Un pēdējais vienkāršs piemērs atpūtai:

12. piemērs

Izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli, aprēķiniet aptuveni funkcijas if vērtību

Risinājums ir tuvāk lapas apakšai. Vēlreiz pievērsiet uzmanību nodarbības uzdevumu formulējumam, dažādos piemēros praksē formulējums var atšķirties, taču tas būtiski nemaina risinājuma būtību un algoritmu.

Godīgi sakot, biju nedaudz noguris, jo materiāls bija mazliet garlaicīgs. Raksta sākumā to teikt nebija pedagoģiski, bet tagad tas jau ir iespējams =) Patiešām, problēmas skaitļošanas matemātikā parasti nav īpaši sarežģītas, nav īpaši interesantas, galvenais, iespējams, ir nekļūdīties parastos aprēķinos.

Lai jūsu kalkulatora atslēgas netiek izdzēstas!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā: , ,

Tādējādi:
Atbilde:

4. piemērs: Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā: , ,

BetΔ y = Δ f(X 0) ir funkcijas pieaugums un f (X 0) Δ x = df(X 0) – diferenciālā funkcija.

Tāpēc mēs beidzot saņemam

1. teorēma. Lai funkcija y = f(X) punktā x 0 ir galīgs atvasinājums f (X 0)≠0. Tad par pietiekami mazām vērtībām Δ x ir aptuvenā vienādība (1), kas kļūst patvaļīgi precīza Δ x→ 0.

Tādējādi funkcijas diferenciālis punktā X 0 ir aptuveni vienāds ar funkcijas pieaugumu šajā punktā.

Jo tad no vienādības (1) iegūstam

plkst Δ x→ 0 (2)

plkst x→ X 0 (2  )

Tā kā funkcijas grafika pieskares vienādojums y= f(x) punktā X 0 izskatās

, Tas aptuvenās vienādības (1)-(2) ģeometriski nozīmē, ka tuvu punktam x=x 0 funkcijas y=f grafiks(X) ir aptuveni aizstāts ar pieskari līknei y = f(X).

Pietiekami mazām vērtībām kopējais funkcijas un diferenciāļa pieaugums nedaudz atšķiras, t.i. . Šo apstākli izmanto aptuveniem aprēķiniem.

1. piemērs. Aprēķiniet aptuveni .

Risinājums. Apsveriet funkciju un ielieciet X 0 = 4, X= 3,98. Tad Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Kopš , tad f (X 0)=1/4=0,25. Tāpēc, izmantojot formulu (2), mēs beidzot iegūstam: .

2. piemērs. Izmantojot funkcijas diferenciāli, nosakiet, kā aptuveni mainīsies funkcijas vērtība y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x kad tā argumenta vērtība samazinās X 0 = 0 ar 0,01.

Risinājums. Sakarā ar (1) funkciju izmaiņām y = f(X) punktā X 0 ir aptuveni vienāds ar funkcijas diferenciāli šajā punktā pietiekami mazām D vērtībām x:

Aprēķināsim funkcijas diferenciāli df(0). Mums ir D x= –0,01. Jo f (X)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 24 x)∙4, tad f (0)=5∙4=20 un df(0)=f (0)∙Δ x= 20·(–0,01) = –0,2.

Tāpēc Δ f(0) ≈ –0,2, t.i. samazinot vērtību X 0 = 0 funkcijas arguments 0,01 pašai funkcijas vērtībai y=f(X) samazināsies aptuveni par 0,2.

3. piemērs. Lai produkta pieprasījuma funkcijai ir forma . Jums ir jāatrod produktam pieprasītais daudzums par cenu lpp 0 =3 naudas vienības un noteikt, cik aptuveni palielināsies pieprasījums, preces cenai samazinoties par 0,2 naudas vienībām.

Risinājums. Par cenu lpp 0 =3 naudas vienības pieprasījuma apjoms J 0 =D(lpp 0) = 270/9 = 30 vienības. preces. Cenas izmaiņas Δ lpp= –0,2 den. vienības Sakarā ar (1) Δ J (lpp 0) ≈ dQ (lpp 0). Aprēķināsim produkta pieprasījuma apjoma starpību.

Kopš tā laika D (3) = –20 un

pieprasījuma apjoma starpība dQ(3) = D  (3)∙Δ lpp= –20·(–0,2) = 4. Tāpēc Δ J(3) ≈ 4, t.i. kad preces cena samazinās lpp 0 =3 uz 0,2 naudas vienībām preces pieprasījuma apjoms palielināsies par aptuveni 4 preces vienībām un kļūs vienāds ar aptuveni 30 + 4 = 34 preces vienībām.

Pašpārbaudes jautājumi

1. Ko sauc par funkcijas diferenciāli?

2. Kāda ir funkcijas diferenciāļa ģeometriskā nozīme?

3. Uzskaitiet diferenciālās funkcijas galvenās īpašības.

3. Uzrakstiet formulas, kas ļauj atrast funkcijas aptuveno vērtību, izmantojot tās diferenciāli.