Funkcijas palielināšana, samazināšana un ekstrēma
Funkcijas pieauguma, samazināšanās un ekstremitāšu intervālu atrašana ir šāda: patstāvīgs uzdevums, un citu uzdevumu svarīgākā daļa, jo īpaši, pilnas funkcijas pētījums. Tiek sniegta sākotnējā informācija par funkcijas palielināšanos, samazināšanos un galējībām teorētiskā nodaļa par atvasinājumu, ko ļoti iesaku iepriekšējai izpētei (vai atkārtojums)– arī tāpēc, ka sekojošais materiāls ir balstīts uz pašu būtībā atvasināts, ir harmonisks šī raksta turpinājums. Lai gan, ja laika ir maz, tad ir iespējama arī tīri formāla piemēru prakse no šodienas nodarbības.
Un šodien gaisā virmo retas vienprātības gars, un es tieši jūtu, ka visi klātesošie deg vēlmē iemācīties izpētīt funkciju, izmantojot tās atvasinājumu. Tāpēc jūsu monitora ekrānos nekavējoties parādās saprātīga, laba, mūžīga terminoloģija.
Par ko? Viens no iemesliem ir vispraktiskākais: lai būtu skaidrs, kas no jums parasti tiek prasīts konkrētajā uzdevumā!
Funkcijas monotonitāte. Funkcijas ekstrēma punkti un ekstrēmi
Apskatīsim dažas funkcijas. Vienkārši sakot, mēs pieņemam, ka viņa nepārtraukts visā skaitļu rindā:
Katram gadījumam nekavējoties atbrīvosimies no iespējamām ilūzijām, īpaši tiem lasītājiem, kuri nesen ir iepazinušies funkcijas pastāvīgās zīmes intervāli. Tagad mēs NEESMU IEINTERESĒTS, kā funkcijas grafiks atrodas attiecībā pret asi (augšā, apakšā, kur ass krustojas). Lai būtu pārliecinošs, garīgi izdzēsiet asis un atstājiet vienu grafiku. Jo tieši tur slēpjas interese.
Funkcija palielinās uz intervālu, ja jebkuriem diviem šī intervāla punktiem, kas savienoti ar attiecību , nevienlīdzība ir patiesa. Tas nozīmē, ka lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai, un tās grafiks iet “no apakšas uz augšu”. Demonstrācijas funkcija laika gaitā pieaug.
Tāpat arī funkcija samazinās par intervālu, ja jebkuram diviem punktiem noteiktā intervālā tā, ka , Nevienlīdzība ir patiesa. Tas nozīmē, ka lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai, un tās grafiks iet “no augšas uz leju”. Mūsu funkcija periodiski samazinās 
.
Ja funkcija intervālā palielinās vai samazinās, tad to sauc stingri vienmuļššajā intervālā. Kas ir monotonija? Uztveriet to burtiski – vienmuļību.
Varat arī definēt nesamazinās funkcija (atslābināts stāvoklis pirmajā definīcijā) un nepalielinošs funkcija (mīkstināts stāvoklis 2. definīcijā). Funkciju, kas nesamazinās vai nepalielinās intervālā, sauc par monotonu funkciju noteiktā intervālā (stingra vienmuļība - īpašs gadījums"tikai" monotonija).
Teorijā aplūkotas arī citas pieejas funkcijas palielināšanas/samazināšanas noteikšanai, tajā skaitā uz pusintervāliem, segmentiem, bet, lai nelietu eļļa-eļļa-eļļa uz galvas, vienosimies darboties ar atvērtiem intervāliem ar kategoriskām definīcijām. - tas ir skaidrāks un pietiekami daudzu praktisku problēmu risināšanai.
Tādējādi manos rakstos gandrīz vienmēr būs paslēpts formulējums “funkcijas monotonitāte”. intervāli stingra vienmuļība(stingri palielinot vai stingri samazinot funkciju).
Punkta apkārtne. Vārdi, pēc kuriem skolēni bēg kur vien var un šausmās slēpjas kaktos. ...Lai gan pēc ieraksta Cauchy robežas Viņi, iespējams, vairs neslēpjas, bet tikai nedaudz nodreb =) Neuztraucieties, tagad teorēmu pierādījumi nebūs matemātiskā analīze– Man vajadzēja, lai apkārtne stingrāk formulētu definīcijas ekstremālie punkti. Atcerēsimies:
Punkta apkārtne sauc par intervālu, kas satur šis punkts, savukārt ērtības labad intervāls bieži tiek pieņemts kā simetrisks. Piemēram, punkts un tā standarta apkārtne:
Patiesībā definīcijas:
Punktu sauc stingrs maksimālais punkts, Ja pastāv viņas apkārtne, visiem kuru vērtības, izņemot pašu punktu, nevienlīdzība . Mūsu konkrētajā piemērā tas ir punkts.
Punktu sauc stingrs minimālais punkts, Ja pastāv viņas apkārtne, visiem kuru vērtības, izņemot pašu punktu, nevienlīdzība . Zīmējumā ir punkts “a”.
Piezīme : apkaimes simetrijas prasība nemaz nav nepieciešama. Turklāt tas ir svarīgi pats eksistences fakts apkārtne (neliela vai mikroskopiska), kas atbilst noteiktajiem nosacījumiem
Punkti tiek saukti stingri ekstremāli punkti vai vienkārši ekstremālie punkti funkcijas. Tas ir, tas ir vispārināts maksimālo punktu un minimālo punktu termins.
Kā mēs saprotam vārdu “ekstrēms”? Jā, tikpat tieši kā vienmuļība. Amerikāņu kalniņu ekstrēmi punkti.
Tāpat kā monotonitātes gadījumā, pastāv vaļīgi postulāti, kas teorētiski ir vēl izplatītāki (uz kuriem, protams, attiecas stingri aplūkotie gadījumi!):
Punktu sauc maksimālais punkts, Ja pastāv tās apkārtne ir tāda, ka visiem
Punktu sauc minimālais punkts, Ja pastāv tās apkārtne ir tāda, ka visiemšīs apkārtnes vērtības, nevienlīdzība pastāv.
Ņemiet vērā, ka saskaņā ar pēdējām divām definīcijām jebkurš nemainīgas funkcijas punkts (vai funkcijas “plakanā daļa”) tiek uzskatīts gan par maksimālo, gan par minimālo punktu! Funkcija, starp citu, ir gan nepalielinoša, gan nesamazinoša, tas ir, monotoniska. Taču šos apsvērumus atstāsim teorētiķu ziņā, jo praksē gandrīz vienmēr tradicionālos “pakalnus” un “iedobumus” (skat. zīmējumu) apceram ar unikālu “kalna karali” vai “purva princesi”. Kā šķirne tas notiek tip, kas vērsta uz augšu vai uz leju, piemēram, funkcijas minimums punktā.
Ak, un runājot par honorāru:
– tiek saukta nozīme maksimums funkcijas;
– tiek saukta nozīme minimums funkcijas.
Parastais nosaukums - galējības funkcijas.
Lūdzu, esiet uzmanīgi ar saviem vārdiem!
Ekstrēma punkti– tās ir “X” vērtības.
Ekstrēmi– “spēļu” nozīmes.
! Piezīme : dažreiz uzskaitītie termini attiecas uz “X-Y” punktiem, kas atrodas tieši PAŠAS funkcijas GRAFIKĀ.
Cik ekstrēmu var būt funkcijai?
Nav, 1, 2, 3, ... utt. līdz bezgalībai. Piemēram, sinusam ir bezgalīgi daudz minimumu un maksimumu.
SVARĪGS! Termins "maksimālā funkcija" nav identiski termins “maksimālā funkcijas vērtība”. Ir viegli pamanīt, ka vērtība ir maksimālā tikai vietējā apkaimē, un augšējā kreisajā stūrī ir “vēsāki biedri”. Tāpat “funkcijas minimums” nav tas pats, kas “funkcijas minimālā vērtība”, un zīmējumā redzam, ka vērtība ir minimāla tikai noteiktā apgabalā. Šajā sakarā tiek saukti arī ekstremālie punkti vietējie ekstrēma punkti, un galējība - vietējās galējības . Viņi staigā un klīst tuvumā un globāli brāļi. Tātad jebkurai parabolai ir tās virsotne globālais minimums vai globālais maksimums. Turklāt es nenošķiršu galējību veidus, un skaidrojums tiek izteikts vairāk vispārizglītojošos nolūkos - papildu īpašības vārdiem “lokāls”/“globāls” nevajadzētu pārsteigt.
Apkoposim savu īso ekskursiju teorijā ar testa šāvienu: ko nozīmē uzdevums “atrast funkcijas monotonitātes intervālus un ekstremālos punktus”?
Formulējums mudina jūs atrast:
– pieaugošās/samazinošās funkcijas intervāli (nesamazinās, nepalielinās daudz retāk);
– maksimālie un/vai minimālie punkti (ja tādi ir). Nu, lai izvairītos no neveiksmēm, labāk ir pašiem atrast minimumus/maksimumus ;-)
Kā to visu noteikt? Izmantojot atvasināto funkciju!
Kā atrast pieauguma, samazināšanās intervālus,
funkcijas ekstremālie punkti un galējības?
Patiesībā daudzi noteikumi jau ir zināmi un saprotami nodarbība par atvasinājuma nozīmi.
Pieskares atvasinājums 
sniedz priecīgas ziņas, ka funkcija visā pasaulē palielinās definīcijas joma.
Ar kotangensu un tā atvasinājumu 
situācija ir tieši pretēja.
Arksīns palielinās intervālā - atvasinājums šeit ir pozitīvs: 
.
Kad funkcija ir definēta, bet nav diferencējama. Taču kritiskajā punktā ir labās puses atvasinājums un labās puses tangenss, bet otrā malā ir to kreisās puses līdzinieki.
Es domāju, ka jums nebūs pārāk grūti veikt līdzīgu argumentāciju loka kosinusam un tā atvasinājumam.
Visi iepriekš minētie gadījumi, no kuriem daudzi ir tabulas atvasinājumi, Atgādinu, sekojiet tieši no atvasinātās definīcijas.
Kāpēc izpētīt funkciju, izmantojot tās atvasinājumu?
Lai labāk saprastu, kā izskatās šīs funkcijas grafiks: kur iet “no apakšas uz augšu”, kur “no augšas uz leju”, kur sasniedz minimumus un maksimumus (ja vispār sasniedz). Ne visas funkcijas ir tik vienkāršas – vairumā gadījumu mums vispār nav ne jausmas par konkrētas funkcijas grafiku.
Ir pienācis laiks pāriet pie jēgpilnākiem piemēriem un apsvērt algoritms funkcijas monotonitātes un ekstrēmu intervālu atrašanai:
1. piemērs
Atrodiet funkcijas palielināšanas/samazināšanas un galējības intervālus
Risinājums:
1) Pirmais solis ir atrast funkcijas domēns, kā arī ņemiet vērā pārtraukuma punktus (ja tādi ir). IN šajā gadījumā funkcija ir nepārtraukta visā skaitļu rindā, un šī darbība zināmā mērā ir formāla. Taču daudzos gadījumos šeit uzliesmo nopietnas kaislības, tāpēc izturēsimies pret rindkopu bez nicinājuma.
2) Algoritma otrais punkts ir saistīts ar
obligāts nosacījums ekstremitātei:
Ja punktā ir ekstrēmums, tad vai nu vērtība neeksistē.
Apjukusi beigas? Funkcijas “modulus x” galējība .
Nosacījums ir nepieciešams, bet nepietiekami, un otrādi ne vienmēr ir taisnība. Tātad no vienādības vēl neizriet, ka funkcija sasniedz maksimumu vai minimumu punktā . Klasisks piemērs jau tika izcelts iepriekš - tā ir kubiskā parabola un tās kritiskais punkts.
Bet lai kā arī būtu, nepieciešamais nosacījums extremum nosaka nepieciešamību atrast aizdomīgus punktus. Lai to izdarītu, atrodiet atvasinājumu un atrisiniet vienādojumu:
Pirmā raksta sākumā par funkciju grafikiem Es jums pastāstīju, kā ātri izveidot parabolu, izmantojot piemēru 
: “...ņemam pirmo atvasinājumu un pielīdzinām to nullei: ...Tātad, mūsu vienādojuma atrisinājums: - tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne...”. Tagad, manuprāt, visi saprot, kāpēc parabolas virsotne atrodas tieši šajā punktā =) Kopumā šeit vajadzētu sākt ar līdzīgu piemēru, bet tas ir pārāk vienkārši (pat tējkannai). Turklāt nodarbības pašā beigās ir analogs par funkcijas atvasinājums. Tāpēc paaugstināsim pakāpi:
2. piemērs
Atrodiet funkcijas monotonitātes un ekstrēmu intervālus
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilnīgs risinājums un aptuveno galīgo uzdevuma paraugu nodarbības beigās.
Ir pienācis ilgi gaidītais tikšanās brīdis ar daļracionālajām funkcijām:
3. piemērs
Izpētiet funkciju, izmantojot pirmo atvasinājumu
Pievērsiet uzmanību tam, cik dažādi var pārformulēt vienu un to pašu uzdevumu.
Risinājums:
1) Funkcija punktos cieš no bezgalīgiem pārtraukumiem.
2) Mēs atklājam kritiskos punktus. Atradīsim pirmo atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei: 
Atrisināsim vienādojumu. Daļa ir nulle, ja tās skaitītājs ir nulle:
Tādējādi mēs iegūstam trīs kritiskos punktus: 
3) Mēs uzzīmējam VISUS atklātos punktus uz skaitļu līnijas un intervāla metode mēs definējam ATvasinājuma pazīmes:
Es atgādinu, ka jums ir jāņem kāds punkts intervālā un jāaprēķina atvasinājuma vērtība tajā 
un nosaka tā zīmi. Izdevīgāk ir pat neskaitīt, bet “novērtēt” mutiski. Ņemsim, piemēram, punktu, kas pieder intervālam, un veiksim aizstāšanu: 
. 
Divi “plusi” un viens “mīnuss” dod “mīnusu”, kas nozīmē, ka atvasinājums ir negatīvs visā intervālā.
Darbība, kā jūs saprotat, ir jāveic katram no sešiem intervāliem. Starp citu, ņemiet vērā, ka skaitītāja faktors un saucējs ir stingri pozitīvi jebkuram punktam jebkurā intervālā, kas ievērojami vienkāršo uzdevumu.
Tātad atvasinājums mums teica, ka PATI FUNKCIJA palielinās par 
un samazinās par . Ir ērti savienot viena veida intervālus ar pievienošanās ikonu.
Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu:
Tajā brīdī funkcija sasniedz minimumu: 
Padomājiet, kāpēc jums nav jāpārrēķina otrā vērtība ;-)
Ejot cauri punktam, atvasinājums zīmi nemaina, tāpēc funkcijai tur NAV EXTREMUM - tas gan samazinājās, gan palika dilstošs.
! Atkārtosim svarīgs punkts : punkti netiek uzskatīti par kritiskiem - tie satur funkciju nav noteikts. Attiecīgi šeit Principā galējības nevar būt(pat ja atvasinājums maina zīmi).
Atbilde: funkcija palielinās par 
un samazinās par Brīdī, kad tiek sasniegts funkcijas maksimums: 
, un punktā – minimums: .
Zināšanas par monotoniskuma intervāliem un galējībām, kopā ar noteikto asimptoti jau sniedz ļoti labu priekšstatu par izskats funkciju grafika. Vidējas sagatavotības cilvēks spēj verbāli noteikt, ka funkcijas grafikā ir divas vertikālās asimptotes un slīpā asimptote. Šeit ir mūsu varonis: 
Mēģiniet vēlreiz korelēt pētījuma rezultātus ar šīs funkcijas grafiku.
Ekstrēma kritiskajā punktā nav, bet ir grafika locīšana(kas, kā likums, notiek līdzīgos gadījumos).
4. piemērs
Atrodiet funkcijas galējību
5. piemērs
Atrodiet funkcijas monotonitātes intervālus, maksimumus un minimumus
...šodien ir gandrīz kā "X kubā" svētki...
Nu, kurš galerijā par šo piedāvāja iedzert? =)
Katram uzdevumam ir savas būtiskās nianses un tehniskie smalkumi, kas tiek komentēti nodarbības beigās.
Funkcija y=f(x) sauca pieaug uz intervālu (a;b), ja par kādu x 1 Un x 2 x 1
Palielinošās funkcijas grafiks
· Funkcija y = f(x) sauca samazinās intervālā (a;b), ja tāds ir x 1 Un x 2 no šī intervāla tāds, ka x 1
Samazinošas funkcijas grafiks
Samazinošas un pieaugošas funkcijas kopā veido klasi vienmuļš funkcijas. Monotonām funkcijām ir vairākas īpašas īpašības.
Funkcija f(x), monotons uz intervālu [ a, b], ierobežots šajā segmentā;
· pieaugošo (samazinošo) funkciju summa ir pieaugoša (samazinoša) funkcija;
· ja funkcija f palielinās (samazinās) un n– nepāra skaitlis, tas arī palielinās (samazinās);
· Ja f"(x)>0 visiem xО(a,b), tad funkcija y=f(x) intervālā palielinās (a, b);
· Ja f"(x)<0 visiem xО(a,b), tad funkcija y=f(x) intervālā samazinās (a, b);
· Ja f(x) – nepārtraukta un monotoniska funkcija uz komplekta X, tad vienādojums f(x)=C, Kur AR– var būt šī konstante X ne vairāk kā viens risinājums;
· ja vienādojuma definīcijas jomā f(x)=g(x) funkciju f(x) palielinās, un funkcija g(x) samazinās, tad vienādojumā nevar būt vairāk par vienu risinājumu.
Teorēma. (pietiekams nosacījums funkcijas monotonitātei). Ja nepārtraukti segmentā [ a, b] funkciju y = f(X) katrā intervāla punktā ( a, b) ir pozitīvs (negatīvs) atvasinājums, tad šī funkcija palielinās (samazinās) segmentā [ a, b].
Pierādījums. Lai visiem >0 xО(a, b). Apsveriet divas patvaļīgas vērtības x 2 > x 1, pieder [ a, b]. Pēc Lagranža formulas x 1<с < х 2 . (Ar) > 0 Un x 2 – x 1 > 0, tāpēc > 0, no kurienes > , tas ir, funkcija f(x) palielinās intervālā [ a, b]. Teorēmas otrā daļa ir pierādīta līdzīgā veidā.
3. teorēma (nepieciešama funkcijas ekstrēma esamības pazīme). Ja funkcija ir diferencējama punktā c plkst=f(X) šajā brīdī ir galējība, tad .
Pierādījums. Ļaujiet, piemēram, funkcijai plkst= f(X) ir maksimums punktā c. Tas nozīmē, ka punkta c apkārtne ir caurdurta tā, ka visiem punktiem xšī apkārtne ir apmierināta f(x) < f (c), tas ir f(c) ir lielākā funkcijas vērtība šajā apkaimē. Tad pēc Fermā teorēmas.
Līdzīgi tiek pierādīts arī minimuma gadījums punktā c.
komentēt. Funkcijai var būt ekstrēmums punktā, kurā tās atvasinājums nepastāv. Piemēram, funkcijai punktā x ir minimums = 0, lai gan tas neeksistē. Punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē, sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem. Tomēr funkcijai nav ekstrēma visos kritiskajos punktos. Piemēram, funkcija y = x 3 nav ekstrēmu, lai gan tā atvasinājums =0.
4. teorēma (pietiekama ekstrēma esamības pazīme). Ja nepārtraukta funkcija y = f(x) ir atvasinājums visos noteikta intervāla punktos, kas satur kritisko punktu C (izņemot, iespējams, pašu šo punktu), un ja atvasinājums, argumentam pārejot no kreisās puses uz labo caur kritisko punktu C, maina zīmi no plus. uz mīnusu, tad funkcijai punktā C ir maksimums, un, kad zīme mainās no mīnusa uz plusu, tad minimums.
Pierādījums. Ļaujiet c būt kritiskam punktam un pieņemsim, piemēram, kad arguments iet caur punktu c, maina zīmi no plusa uz mīnusu. Tas nozīmē, ka noteiktā intervālā (c–e; c) funkcija palielinās, un uz intervālu (c; c+e)– samazinās (pie e>0). Tāpēc punktā c funkcijai ir maksimums. Minimuma gadījums tiek pierādīts līdzīgi.
komentēt. Ja atvasinājums nemaina zīmi, argumentam šķērsojot kritisko punktu, tad funkcijai šajā punktā nav galējības.
Tā kā robežas un nepārtrauktības definīcijas vairāku mainīgo funkcijai praktiski sakrīt ar atbilstošajām definīcijām viena mainīgā funkcijai, tad vairāku mainīgo funkcijām tiek saglabātas visas robežu un nepārtraukto funkciju īpašības.
©2015-2019 vietne
Visas tiesības pieder to autoriem. Šī vietne nepretendē uz autorību, bet nodrošina bezmaksas lietošana.
Lapas izveides datums: 2016-02-12
Skaitliskais komplekts X skaitās simetrisks attiecībā pret nulli, ja tāda ir xЄ X nozīme - X arī pieder komplektam X.
Funkcija y = f(XX, skaitās pat X xЄ X, f(X) = f(-X).
Vienmērīgai funkcijai grafiks ir simetrisks pret Oy asi.
Funkcija y = f(X), kas ir definēts komplektā X, skaitās nepāra, ja tas ir izpildīts šādiem nosacījumiem a) daudzi X simetrisks ap nulli; b) jebkuram xЄ X, f(X) = -f(-X).
Nepāra funkcijai grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Funkcija plkst = f(x), xЄ X, zvanīja periodiski ieslēgts X, ja ir numurs T (T ≠ 0) (periodā funkcijas), ja ir izpildīti šādi nosacījumi:
- X - T Un X + T no daudziem X jebkuram XЄ X;
- jebkuram XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).
Gadījumā T ir funkcijas periods, tad jebkurš formas skaitlis mT, Kur mЄ Z, m≠ 0, tas ir arī šīs funkcijas periods. Dotās funkcijas mazāko pozitīvo periodu (ja tāds pastāv) sauc par tās galveno periodu.
Gadījumā T ir funkcijas galvenais periods, tad, lai izveidotu tās grafiku, daļu no grafika var attēlot uz jebkura garuma noteikšanas domēna intervāla T, un pēc tam veiciet šīs diagrammas sadaļas paralēlu pārsūtīšanu pa O asi X ar ± T, ±2 T, ....
Funkcija y = f(X), ierobežota zemāk komplektā X A ka jebkuram XЄ X, A ≤ f(X). Funkcijas grafiks, kas ir ierobežots zemāk par kopu X, atrodas pilnībā virs taisnes plkst = A(šī ir horizontāla līnija).
Funkcija plkst = f(x), ierobežota no augšas komplektā X(tas ir jādefinē šajā komplektā), ja ir skaitlis IN ka jebkuram XЄ X, f(X) ≤ IN. Funkcijas grafiks, kas ir ierobežots no augšas uz kopas X, pilnībā atrodas zem līnijas plkst = IN(šī ir horizontāla līnija).
Apsvērtā funkcija ierobežots komplektā X(tas ir jādefinē šajā kopā), ja tas ir ierobežots uz šo kopu no augšas un apakšas, t.i., ir šādi skaitļi A Un IN ka jebkuram XЄ X nevienlīdzības ir apmierinātas A ≤ f(x) ≤ B. Funkcijas grafiks, kas ir ierobežota ar kopu X, pilnībā atrodas starp taisnām līnijām plkst = A Un plkst = IN(tās ir horizontālas līnijas).
Funkcija plkst = f (X), tiek uzskatīts par ierobežotu komplektā X(tas ir jādefinē šajā komplektā), ja ir skaitlis AR> 0, kas jebkuram xЄ X, │f(X)│≤ AR.
Funkcija plkst = f(X), XЄ X, zvanīja pieaug (nesamazinās) apakškopā M AR X kad visiem X 1 un X 2 no M tāds, ka X 1 < X 2, godīgi f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). Vai arī tiek izsaukta funkcija y pieaug komplektā UZ, ja lielāka argumenta vērtība no šīs kopas atbilst lielākai funkcijas vērtībai.
Funkcija plkst = f(X), XЄX, sauc samazinās (nepalielinās) apakškopā M AR X kad visiem X 1 un X 2 no M tāds, ka X 1 < X 2, godīgi f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). Vai funkcija plkst tiek saukta par samazināšanos komplektā UZ, ja argumenta lielākā vērtība no šīs kopas atbilst mazākajai funkcijas vērtībai.
Funkcija plkst = f(x), XЄ X, zvanīja vienmuļš apakškopā M AR X, ja tas samazinās (nepalielinās) vai palielinās (nesamazinās) par M.
Ja funkcija plkst = f(X), XЄ X, samazinās vai palielinās apakškopā M AR X, tad šādu funkciju sauc stingri vienmuļš komplektā M.
Numurs M sauca funkcijas lielākā vērtība y uzņemšanas laikā UZ, ja šis skaitlis ir funkcijas vērtība pie noteiktas x vērtības 0 arguments no kopasUZ, un citām argumenta vērtībām no kopas K funkcijas y vērtība nav lielāka par skaitliM.
Numurs m sauca zemākā vērtība funkcijas y uz komplekta UZ, ja šis skaitlis ir funkcijas vērtība noteiktā vērtībā X 0 argumentu no kopas UZ, un citām argumenta x vērtībām no kopas UZ funkcijas y vērtība nav mazāka par skaitli m.
Funkcijas pamatīpašības , no kuras labāk sākt savu izpēti un izpēti, šī ir tā definīcijas un nozīmes joma. Jums vajadzētu atcerēties, kā tiek attēloti grafiki elementāras funkcijas. Tikai pēc tam jūs varat pāriet uz sarežģītāku grafiku veidošanu. Tēmai "Funkcijas" ir plašs pielietojums ekonomikā un citās zināšanu jomās. Funkcijas tiek pētītas visā matemātikas kursā un tiek turpinātas augstākās izglītības iestādēm . Tur funkcijas tiek pētītas, izmantojot pirmo un otro atvasinājumu.
Pirmo reizi tikāmies 7. klases algebras kursā. Apskatot funkcijas grafiku, mēs noņēmām atbilstošo informāciju: ja, pārvietojoties pa grafiku no kreisās puses uz labo, mēs vienlaikus virzāmies no apakšas uz augšu (it kā kāpjot kalnā), tad funkciju deklarējām par būt pieaugošam (124. att.); ja virzāmies no augšas uz leju (kāpjam lejā no kalna), tad funkciju pasludinājām par samazinošu (125. att.).
Tomēr matemātiķiem šī funkcijas īpašību izpētes metode ļoti nepatīk. Viņi uzskata, ka jēdzienu definīcijas nedrīkst balstīties uz zīmējumu - zīmējumam ir tikai ilustrēta viena vai otra funkcijas īpašība uz tā. grafikas. Sniegsim stingras pieaugošo un samazinošo funkciju jēdzienu definīcijas.
1. definīcija.
Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f(x) pieaug intervālā X, ja no nevienādības x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
2. definīcija. Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f(x) samazinās intervālā X, ja nevienādība x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nevienlīdzība f(x 1) > f(x 2).
Praksē ērtāk ir izmantot šādus formulējumus:
funkcija palielinās, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai;
funkcija samazinās, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
Izmantojot šīs definīcijas un 33.§ noteikto skaitlisko nevienādību īpašības, varēsim pamatot secinājumus par iepriekš pētīto funkciju palielināšanos vai samazināšanos.
1. Lineārā funkcija y = kx +m
Ja k > 0, tad funkcija visā garumā palielinās (126. att.); ja k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Pierādījums. Pieņemsim, ka f(x) = kx + m. Ja x 1< х 2 и k >Ak, tad saskaņā ar 3 skaitlisko nevienādību īpašību (sk. 33. §) kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineārs funkcijas y = kx+ m.
Ja x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , un atbilstoši 2. īpašībai no kx 1 > kx 2 izriet, ka kx 1 + m> kx 2 + t.i.
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Tas nozīmē funkcijas y = f(x) samazināšanos, t.i. lineārā funkcija y = kx + m.
Ja funkcija palielinās (samazinās) visā tās definīcijas jomā, tad to var saukt par pieaugošu (samazinošu), nenorādot intervālu. Piemēram, par funkciju y = 2x - 3 mēs varam teikt, ka tā palielinās pa visu skaitļu līniju, bet mēs varam to pateikt arī īsāk: y = 2x - 3 - pieaug.
funkciju.
2. Funkcija y = x2
1. Aplūkosim funkciju y = x 2 uz stara. Ņemsim divus nepozitīvus skaitļus x 1 un x 2, lai x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Tā kā skaitļi - x 1 un - x 2 ir nenegatīvi, tad, izliekot kvadrātā abas pēdējās nevienādības puses, iegūstam tādas pašas nozīmes nevienādību (-x 1) 2 > (-x 2) 2, t.i. Tas nozīmē, ka f(x 1) > f(x 2).
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Tāpēc funkcija y = x 2 uz stara samazinās (- 00, 0] (128. att.).
1. Apsveriet funkciju intervālā (0, + 00).
Ļaujiet x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Tas nozīmē, ka funkcija samazinās uz atvērtā stara (0, + 00) (129. att.).
2. Apsveriet funkciju intervālā (-oo, 0). Ļaujiet x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negatīvi skaitļi. Tad - x 1 > - x 2, un abas pēdējās nevienādības puses ir pozitīvi skaitļi, un tāpēc (mēs atkal izmantojām nevienādību, kas pierādīta 1. piemērā no 33. §). Tālāk mums ir, no kurienes mēs iegūstam.
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) t.i. funkcija samazinās uz atvērtā stara (- 00 , 0)
Parasti termini “palielinošā funkcija” un “samazinošā funkcija” tiek apvienoti parastais nosaukums monotoniskā funkcija, un palielināšanas un samazināšanas funkcijas izpēti sauc par monotonības funkcijas izpēti.
Risinājums.
1) Atzīmēsim funkciju y = 2x2 un ņemsim šīs parabolas atzaru pie x< 0 (рис. 130).
2) Konstruēt un atlasīt tā daļu uz segmenta (131. att.).
3) Konstruēsim hiperbolu un atlasīsim tās daļu uz atvērtā stara (4, + 00) (132. att.).
4) Attēlosim visus trīs “gabalus” vienā koordinātu sistēmā - tas ir funkcijas y = f(x) grafiks (133. att.).
Nolasīsim funkcijas y = f(x) grafiku.
1. Funkcijas definīcijas domēns ir visa skaitļa līnija.
2. y = 0 pie x = 0; y > 0, ja x > 0.
3. Funkcija samazinās uz stara (-oo, 0], palielinās uz segmenta, samazinās uz staru, ir izliekta uz augšu uz segmentu, izliekta uz leju uz stara)
