Pēc vienkāršām pārvērtībām mēs iegūstam

(3.54)

Noteikums: sistēmas pārsūtīšanas funkcija ar negatīvs atgriezeniskā saite ir vienāda ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir tiešā kanāla pārsūtīšanas funkcija, bet saucējs ir sistēmas tiešā un reversā kanālu pārsūtīšanas funkciju vienības un reizinājuma summa.

Kad pozitīvs atsauksmes formula (3.54) iegūst formu

(3.55)

Praksē parasti tiek sastaptas sistēmas ar negatīvu atgriezenisko saiti, kurām pārnešanas funkcija tiek atrasta saskaņā ar sakarību (3.54).

3.3.4. Pārsūtīšanas noteikums

Dažos gadījumos, lai iegūtu sistēmas kopējo pārsūtīšanas funkciju, izmantojot strukturālās transformācijas, būtu ērtāk pārvietot signāla pielietojuma punktu caur saiti, kas ir tuvāk izejai vai ieejai. Ar šādu strukturālās diagrammas pārveidošanu vajadzētu ievērot noteikumi: sistēmas pārsūtīšanas funkcijai jāpaliek nemainīgai.

Apskatīsim situāciju, kad signāla pielietošanas punkts tiek pārsūtīts caur saiti, kas ir tuvāk izejai. Sistēmas sākotnējā struktūra ir parādīta attēlā. 3.31. Nosakīsim tam iegūto pārsūtīšanas funkciju

Pārvietosim signāla pielietojuma punktu pa saiti ar pārsūtīšanas funkciju, pievienojot šim kanālam kādu pārsūtīšanas funkciju Iegūstam pārveidotās sistēmas blokshēmu (3. 32. att.).

Rīsi. 3.32. Transformētās sistēmas blokshēma.

Tam pārsūtīšanas funkcijai ir forma

Tā kā, pārveidojot sistēmas struktūru, tās pārsūtīšanas funkcijai nevajadzētu mainīties, pielīdzinot izteiksmju (3.56) un (3.57) labās puses, nosakām nepieciešamo pārsūtīšanas funkciju.

Tādējādi, pārvietojot signāla pielietojuma punktu tuvāk sistēmas izejai, kanālam jāpievieno tās saites pārsūtīšanas funkcija, caur kuru tiek pārraidīts signāls.

Līdzīgi noteikums var formulēt, lai pārvietotu signāla pielietojuma punktu tuvāk sistēmas ieejai: atbilstošajam kanālam jāpievieno saites apgrieztā pārsūtīšanas funkcija, caur kuru tiek pārraidīts signāls.

Piemērs 3.1

Nosakiet sistēmas vispārējo pārsūtīšanas funkciju, kuras blokshēma parādīta att. 3.33.

Vispirms noteiksim tipisko saišu savienojumu pārsūtīšanas funkcijas: paralēlo saišu savienojumu pārsūtīšanas funkcijas

un sērijveidā savienotu saišu pārsūtīšanas funkcija

Rīsi. 3.33. Sistēmas blokshēma

Ņemot vērā ieviestos apzīmējumus, sistēmas struktūru var reducēt līdz attēlā redzamajai formai. 3.34.

Izmantojot strukturālās transformācijas, mēs pierakstām sistēmas vispārējo pārneses funkciju

Aizstājot viņu vērtības un, mēs beidzot saņemam

Piemērs 3.2

Noteikt radiolokācijas stacijas automātiskās mērķa izsekošanas sistēmas pārsūtīšanas funkciju, kuras blokshēma parādīta att. 3.35.

Rīsi. 3.35. Automātiskās mērķa izsekošanas sistēmas blokshēma

Šeit ir sistēmas uztvērēja pārsūtīšanas funkcija; - fāzes detektora pārsūtīšanas funkcija; - jaudas pastiprinātāja pārsūtīšanas funkcija; - dzinēja pārneses funkcija; - pārnesumkārbas pārsūtīšanas funkcija; - antenas griešanās ātruma sensora pārsūtīšanas funkcija; - koriģējošās ierīces pārsūtīšanas funkcija.

Izmantojot strukturālo pārveidojumu noteikumus, mēs rakstām

pārsūtīšanas funkcija

Nosakīsim iekšējās cilpas pārsūtīšanas funkciju

un tiešo kanālu sistēma

Noteiksim pilnu sistēmas pārsūtīšanas funkciju

Aizstājot sākotnējās vērtības starpposma pārsūtīšanas funkciju vietā, mēs beidzot iegūstam

3.4. Diferenciālvienādojumiem atbilstošās blokshēmas

Otrā blokshēmas sastādīšanas metode ir balstīta uz diferenciālvienādojumu izmantošanu. Vispirms apskatīsim to objektam, kura uzvedību apraksta vektoru matricas vienādojumi (2.1), (2.2):

(3.59)

Integrēsim stāvokļa vienādojumu (3.59) laika gaitā un definēsim stāvokļa un izejas mainīgos formā

(3.60)

Vienādojumi (3.60) ir pamata diagrammas sastādīšanai.

Rīsi. 3.36. Blokshēma, kas atbilst vienādojumiem
objekta stāvoklis

Ērtāk ir attēlot blokshēmu, kas atbilst vienādojumiem (3.60), sākot ar izvades mainīgajiem y, un objekta ievades un izvades mainīgos vēlams novietot uz vienas horizontālas līnijas (3.36. att.).

Viena kanāla objektam var sastādīt strukturālo diagrammu, izmantojot vienādojumu (2.3), atrisinot to attiecībā pret augstāko atvasinājumu

Pēc integrācijas (3.61) n vienreiz mēs saņemam

(3.62)

Vienādojumu sistēma (3.62) atbilst blokshēmai, kas parādīta att. 3.37.

Rīsi. 3.37. Blokshēma, kas atbilst vienādojumam (3.61.)

Kā redzam, vienkanāla vadības objektu, kura uzvedību apraksta vienādojums (3.61), vienmēr var strukturāli attēlot kā ķēdi n sērijveidā savienoti integratori ar atgriezenisko saiti.

Piemērs 3.3

Uzzīmējiet objekta blokshēmu, kura modelis ir dots šādu sistēmu diferenciālvienādojumi:

Vispirms integrēsim stāvokļu vienādojumus

Rīsi. 3.38. Blokshēmas sastādīšanas ilustrācija
pēc stāvokļu vienādojumiem

Saskaņā ar integrālvienādojumiem attēlā. 3.38 mēs attēlojam sistēmas blokshēmu.

3.5. Pāreja no pārsūtīšanas funkcijas uz kanonisko aprakstu

Apspriedīsim slavenākās konversijas metodes matemātiskais modelis objektu patvaļīgas pārsūtīšanas funkcijas veidā uz aprakstu stāvokļa mainīgajos. Šim nolūkam mēs izmantojam atbilstošas ​​strukturālās diagrammas. Pieraksti to šo uzdevumu ir neskaidrs, jo objekta stāvokļa mainīgos var atlasīt dažādos veidos (skat. 2.2. nodaļu).

Apskatīsim divas iespējas pārejai uz aprakstu stāvokļa mainīgajos no objekta pārsūtīšanas funkcijas

(3.63)

kur vispirms parādīsim (3.63) kā divu pārsūtīšanas funkciju reizinājumu:

Katrs no šiem attēlojumiem (3.63) atbilst savam vienkāršs modelis stāvokļa mainīgajos, ko sauc kanoniskā forma.

3.5.1. Pirmā kanoniskā forma

Apskatīsim sistēmas matemātiskā modeļa transformāciju ar pārneses funkciju (3.64). Tās blokshēmu var attēlot kā divas virknē savienotas saites
(3.39. att.).

Rīsi. 3.39. Sistēmas strukturālais attēlojums (3.64.)

Katrai sistēmas saitei rakstām atbilstošo operatora vienādojumu

(3.66)

No pirmā vienādojuma (3.66) noteiksim mainīgā augstāko atvasinājumu z, kas atbilst vērtībai operatora formā

Iegūtā izteiksme ļauj mums attēlot pirmo vienādojumu (3.66) kā ķēdi n integratori ar atgriezenisko saiti (sk. 3.5. sadaļu), un izvades mainīgais y tiek veidota saskaņā ar otro vienādojumu (3.66) kā mainīgā summa z un viņa m atvasinājumi (3.40. att.).

Rīsi. 3.40. Shēma, kas atbilst vienādojumiem (3.66.)

Izmantojot strukturālās transformācijas, iegūstam attēlā redzamās sistēmas blokshēmu. 3.41.

Rīsi. 3.41. Strukturālā diagramma, kas atbilst kanoniskajai formai

Ņemiet vērā, ka pārsūtīšanas funkcijai atbilstošā blokshēma (3.64.) sastāv no ķēdes n integratori, kur n- sistēmas secība. Turklāt atgriezeniskajā saitē ir sākotnējās pārsūtīšanas funkcijas saucēja koeficienti (raksturīgā polinoma koeficienti), un tiešā savienojumā ir tā skaitītāja polinoma koeficienti.

No iegūtās blokshēmas ir viegli pāriet uz sistēmas modeli stāvokļa mainīgajos. Šim nolūkam mēs ņemam katra integratora izvadi kā stāvokļa mainīgo

kas ļauj pierakstīt stāvokļa diferenciālvienādojumus un sistēmas izejas vienādojumu (3.63) formā

(3.67)

Vienādojumu sistēmu (3.67) var attēlot vektora matricas formā (2.1) ar šādām matricām:

Tiks izsaukts sistēmas modelis stāvokļa mainīgajos (3.67). pirmā kanoniskā forma.

3.5.2. Otrā kanoniskā forma

Apskatīsim otro metodi pārejai no pārsūtīšanas funkcijas (3.63) uz aprakstu stāvokļa mainīgajos, kam shematiski attēlojam sistēmas (3.65) struktūru attēlā. 3.42.

Rīsi. 3.42. Pārsūtīšanas funkcijas strukturālais attēlojums (3.65.)

Tā operatora vienādojumiem ir forma

(3.68)

Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, attēlosim pirmo vienādojumu (3.68) kā ķēdi no n integratoriem ar atgriezenisko saiti un ievades ietekmi z veidojam saskaņā ar otro vienādojumu (3.68) kontrolsummas veidā u Un m tā atvasinājumi (3.43. att.).

Strukturālo pārveidojumu rezultātā iegūstam attēlā redzamās sistēmas blokshēmu. 3.44. Kā redzam, šajā gadījumā pārsūtīšanas funkcijai atbilstošā blokshēma (3.65) sastāv no ķēdes n integratori. Atgriezeniskā saite satur arī raksturīgā polinoma koeficientus, un tiešā saite satur tā skaitītāja polinoma koeficientus.

Rīsi. 3.43. Shēma, kas atbilst vienādojumiem (3.68.)

Rīsi. 3.44. Blokshēma, kas atbilst pārsūtīšanas funkcijai (3.65.)

Atkal mēs izvēlamies integratoru izejas vērtības kā stāvokļa mainīgos un pierakstām stāvokļa diferenciālvienādojumus un izejas vienādojumus tiem

(3.69)

Izmantojot vienādojumus (3.69), nosakām matricas

Tiks izsaukts sistēmas modelis (3.69) tipa stāvokļa mainīgajos otrā kanoniskā forma.

Ņemiet vērā, ka matrica A ir nemainīgs pirmajai vai otrajai kanoniskajai formai un satur sākotnējās pārsūtīšanas funkcijas (3.63.) saucēja koeficientus. Pārneses funkcijas (3.63) skaitītāja koeficienti satur matricu C(pirmās kanoniskās formas gadījumā) vai matricu B(otrās kanoniskās formas gadījumā). Tāpēc stāvokļa vienādojumus, kas atbilst diviem sistēmas kanoniskajiem attēlojumiem, var ierakstīt tieši, izmantojot pārsūtīšanas funkciju (3.63), nepārejot uz blokshēmām, kas parādītas attēlā. 3.40 un 3.43.

Kā redzam, pāreja no pārsūtīšanas funkcijas uz aprakstu stāvokļa mainīgajos ir neskaidrs uzdevums. Mēs izskatījām iespējas pārejai uz kanonisko aprakstu, kas visbiežāk tiek izmantotas automātiskās vadības teorijā.

Piemērs 3.4

Iegūstiet divas kanoniskā apraksta versijas un atbilstošās blokshēmas sistēmai, kuras modelim ir forma

Mēs izmantojam pārsūtīšanas funkcijas attēlojumu formā (3.64) un uzrakstām tai operatora vienādojumus

no kuras mēs pārejam uz blokshēmu, kas parādīta attēlā. 3.45.

Rīsi. 3.45. Strukturālā diagramma, kas atbilst pirmajai kanoniskajai formai

Pamatojoties uz šo blokshēmu, formā ierakstām pirmās kanoniskās formas vienādojumus

Lai pārietu uz otro kanonisko formu, attēlosim sistēmas pārsūtīšanas funkciju formā (3.65) un uzrakstīsim tai šādus operatora vienādojumus:

kas atbilst blokshēmai, kas parādīta attēlā. 3.46.

Rīsi. 3.46. Strukturālā diagramma, kas atbilst otrajai kanoniskajai formai

Tagad rakstīsim sistēmas modeli otrās kanoniskās formas formā

3.6. Strukturālās metodes pielietošanas joma

Strukturālā metode ir ērta lineāro automātisko sistēmu aprēķināšanai, taču tai ir savi ierobežojumi. Metode ietver pārsūtīšanas funkciju izmantošanu, tāpēc to parasti var izmantot nulles sākuma apstākļos.

Izmantojot strukturālo metodi, jums jāievēro sekojošais noteikumiem: jebkuras sistēmas transformācijas laikā tās secībai nevajadzētu samazināties, t.i., identisku faktoru samazināšana pārsūtīšanas funkcijas skaitītājā un saucējā nav pieļaujama. Samazinot identiskus faktorus, mēs tādējādi izmetam no sistēmas faktiski esošās saites. Ilustrēsim šo apgalvojumu ar piemēru.

Piemērs 3.5

Apskatīsim sistēmu, kas sastāv no integrējošām un diferencējošām saitēm, kuras ir savienotas virknē.

Pirmā saišu savienošanas iespēja ir parādīta attēlā. 3.47.

Izmantojot strukturālās transformācijas, atrodam vispārīgo pārneses funkciju

No tā izriet, ka šāds saišu savienojums ir līdzvērtīgs saitei bez inerces, tas ir, signāls sistēmas izejā atkārto signālu savā ieejā. Mēs to parādīsim, apsverot atsevišķu saišu vienādojumus. Integrējošās saites izejas signālu nosaka attiecība

kur ir integratora sākotnējais nosacījums. Signālam diferencējošās saites izejā un līdz ar to visai sistēmai ir forma

kas atbilst secinājumam, kas izdarīts, pamatojoties uz saišu kopējās pārsūtīšanas funkcijas analīzi.

Otrā saišu savienošanas iespēja ir parādīta attēlā. 3.48, t.i., saites tika samainītas. Sistēmas pārsūtīšanas funkcija ir tāda pati kā pirmajā gadījumā,

Tomēr tagad sistēmas izeja neseko ieejas signālam. To var pārbaudīt, apsverot saišu vienādojumus. Signāls diferencējošā elementa izejā atbilst vienādojumam

un sistēmas izejā nosaka attiecība

Kā redzam, otrajā gadījumā izejas signāls atšķiras no signāla pirmās sistēmas izejā ar sākotnējās vērtības vērtību, neskatoties uz to, ka abām sistēmām ir viena un tā pati pārsūtīšanas funkcija.

Secinājums

Šajā sadaļā ir aplūkotas tipisku saišu dinamiskās īpašības, kas veido patvaļīgas konfigurācijas vadības sistēmas. Aplūkotas strukturālo diagrammu pazīmes, kas veidotas, pamatojoties uz pārneses funkcijām un diferenciālvienādojumiem. Dotas divas metodes pārejai no sistēmas pārsūtīšanas funkcijas caur strukturālajām diagrammām uz tās modeļiem stāvokļa mainīgo formā, kas atbilst dažādām kanoniskām formām.

Jāpiebilst, ka sistēmas attēlošana strukturālās diagrammas veidā atsevišķos gadījumos ļauj novērtēt tās statiku un dinamiku un būtībā sniedz sistēmas strukturālu portretu.

3.1. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, kuras diferenciālvienādojuma forma ir šāda:

A)

V)

3.2. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, kuras modelis ir attēlots stāvokļa mainīgajos:

A) b)

V) G)

3.3. Nosakiet sistēmu pārsūtīšanas funkcijas, ja to strukturālajām diagrammām ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 3.49.

Rīsi. 3.49. Blokshēmas uzdevumam 3.3

3.4. Sistēmas blokshēmas ir zināmas (3.50. att.). Ierakstiet to modeļus stāvokļa mainīgajos.

Rīsi. 3.50. Blokshēmas uzdevumam 3.4

3.5. Sistēmas blokshēma ir zināma (3.51. att.).

Rīsi. 3.51.

1. Nosakiet pārsūtīšanas funkciju, pieņemot, ka

2. Nosakiet pārneses funkciju, pieņemot

3. Pierakstiet sistēmas modeli stāvokļa mainīgajos.

4. Atkārtojiet rindkopas. 1 un 2 sistēmai, kuras blokshēma ir parādīta att. 3.52.

Rīsi. 3.52. Blokshēma uzdevumam 3.5

3.6 .

3.7. Uzzīmējiet blokshēmu, kas atbilst pirmajai kanoniskajai sistēmas apraksta formai ar pārsūtīšanas funkciju

1. Pierakstiet pirmo kanonisko formu.

2. Uzzīmējiet blokshēmu, kas atbilst sistēmas apraksta otrajai kanoniskajai formai.

3. Pierakstiet otro kanonisko formu.

3.8. Uzzīmējiet blokshēmu, kas atbilst pirmajai kanoniskajai sistēmas apraksta formai ar pārsūtīšanas funkciju

1. Pierakstiet pirmo kanonisko formu.

2. Uzzīmējiet blokshēmu, kas atbilst sistēmas apraksta otrajai kanoniskajai formai.

3. Pierakstiet otro kanonisko formu.

Literatūra

1. Andrejevs Ju.N. Galīgo dimensiju lineāro objektu kontrole. - M.: Nauka, 1978. gads.

2. Besekerskis V.A..,Popovs E.P.. Automātiskās regulēšanas teorija. - M.: Nauka, 1974. gads.

3. Erofejevs A. A. Automātiskās vadības teorija. - Sanktpēterburga: Poly-technika, 1998. gads.

4. Ivaščenko N.N. Automātiska regulēšana. - M.: Mashinostroenie, 1978.

5. Pervozvanskis A.A. Automātiskās vadības teorijas kurss. - M.: Augstāk. skola, 1986.

6. Popovs E.P. Teorija lineārās sistēmas automātiska regulēšana un kontrole. - M.: Augstāk. skola, 1989.

7. Konovalovs G.F. Radio automātika. - M.: Augstāk. skola, 1990.

8. Filipss H.,Harbor R. Atgriezeniskās saites kontroles sistēmas. - M.: Pamatzināšanu laboratorija, 2001.g.

LINEĀRĀS SISTĒMAS

AUTOMĀTISKĀ VADĪBA

Izdevniecība Omskas Valsts tehniskā universitāte

Izglītības un zinātnes ministrija Krievijas Federācija

Valsts izglītības iestāde

augstāks profesionālā izglītība

"Omskas Valsts tehniskā universitāte"

LINEĀRĀS SISTĒMAS

AUTOMĀTISKĀ VADĪBA

Praktiskā darba vadlīnijas

Izdevniecība Omskas Valsts tehniskā universitāte

Sastādījis E. V. Šendaļeva, Ph.D. tech. zinātnes

Publikācija satur vadlīnijas veikt praktisko darbu pie automātiskās vadības teorijas.

Paredzēts specialitātes 200503 „Standartizācija un sertifikācija” studentiem, kuri apgūst disciplīnu „Automātiskās vadības pamati”.

Publicēts ar redakcijas un izdevniecības padomes lēmumu

Omskas Valsts tehniskā universitāte

© GOU VPO "Omskas štats

Tehniskā universitāte", 2011

Nepieciešamība izmantot vadības teorijas metodoloģiju standartizācijas un sertifikācijas speciālistiem rodas, nosakot:

1) pārbaudāmā objekta īpašību kvantitatīvie un (vai) kvalitatīvie raksturlielumi ietekmes uz to rezultātā tā darbības laikā, modelējot objektu un (vai) ietekmes, kuru izmaiņu likums ir jānodrošina, izmantojot automātisko kontroles sistēma;

2) mērījumu un testa objekta dinamiskās īpašības;

3) mērīšanas līdzekļu dinamisko īpašību ietekme uz objekta mērījumu un testu rezultātiem.

Praktiskajos darbos apskatītas objektu izpētes metodes.

Praktiskais darbs 1

Dinamiskās funkcijas

Vingrinājums 1.1

Atrodiet svēršanas funkciju w(t) saskaņā ar zināmo pārejas funkciju

h(t) = 2(1–e –0,2 t).

Risinājums

w(t)=h¢( t), tādēļ, diferencējot sākotnējo izteiksmi

w(t)=0,4e –0,2 t .

Vingrinājums 1.2

Atrodiet sistēmas pārsūtīšanas funkciju, izmantojot diferenciālvienādojumu 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Sākotnējie nosacījumi ir nulle.

Risinājums

Diferenciālvienādojumu pārvērš standarta formā, dalot ar termina koeficientu y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Iegūtais vienādojums tiek pārveidots pēc Laplasa

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

un pēc tam rakstīts kā pārsūtīšanas funkcija:

Kur s= a + i w ir Laplasa operators.

Vingrinājums 1.3

Atrodiet pārsūtīšanas funkciju W(s) sistēmas, kas izmanto zināmu svara funkciju w(t)=5–t.

Risinājums

Laplasa transformācija

. (1.1)

Izmantojot attiecības starp pārsūtīšanas funkciju un svēršanas funkciju W(s) = w(s), mēs saņemam

.

Laplasa transformāciju var iegūt ar aprēķinu (1.1), izmantojot Laplasa transformācijas tabulas vai izmantojot pakotni programmatūra Matlab. Programma Matlab ir dota zemāk.

syms s t

x=5-t% laika funkcija

y=laplass(x)% Laplasa transformētā funkcija.

Vingrinājums 1.4

Izmantojot sistēmas pārsūtīšanas funkciju, atrodiet tās reakciju uz viena soļa darbību (pārejas funkcija)

.

Risinājums

Apgrieztā Laplasa transformācija

, (1.2)

kur c ir konverģences abscisa x(s).

Saskaņā ar superpozīcijas principu, derīgs lineārām sistēmām

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

Kur h(t) – visas sistēmas pārejas funkcija;

h 1 (t) – integrējošās saites pārejas funkcija

;

h 2 (t) – pastiprinātāja sekcijas pārejoša funkcija

.

Ir zināms, ka h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Tad h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).

Apgriezto Laplasa transformāciju var iegūt ar aprēķinu (1.2), izmantojot Laplasa transformācijas tabulas vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni. Programma Matlab ir dota zemāk.

syms s k1 k2% simboliskā mainīgā apzīmējuma

y=k1/s+k2% Laplasa transformētā funkcija

x=ilavieta(y)% laika funkcija.

Vingrinājums 1.5

Atrodiet amplitūdas-frekvences un fāzes-frekvences raksturlielumus, izmantojot zināmo sistēmas pārsūtīšanas funkciju

.

Risinājums

Lai noteiktu amplitūdas-frekvences (AFC) un fāzes-frekvences raksturlielumus (PFC), ir jāpāriet no pārsūtīšanas funkcijas uz amplitūdas-fāzes raksturlielumu W(i w), kāpēc mainīt argumentu s → i w

.

Pēc tam veidlapā attēlojiet AFC W(i w)= P(w)+ iQ(w), kur P(w) – reālā daļa, J(w) ir AFC iedomātā daļa. Lai iegūtu AFC reālo un iedomāto daļu, skaitītājs un saucējs jāreizina ar komplekso skaitli, kas konjugēts ar izteiksmi saucējā:

Frekvences reakcija un fāzes reakcija tiek noteikta attiecīgi ar formulām

, ;

,

Amplitūdas-fāzes raksturlielums W(j w) var attēlot formā

.

Vingrinājums 1.6

Definējiet signālu y(t) sistēmas izejā, pamatojoties uz zināmu ieejas signālu un sistēmas pārsūtīšanas funkciju

x(t)=2sin10 t; .

Ir zināms, ka, pakļaujoties ieejas signālam x(t)=B sinw t izejas signālu sistēmai y(t) arī būs harmoniska, taču atšķirsies no ievades amplitūdas un fāzes

y(t) = B× A(w) grēks

Kur A w) – sistēmas frekvences reakcija; j(w) – sistēmas fāzes reakcija.

Izmantojot pārsūtīšanas funkciju, mēs nosakām frekvences reakciju un fāzes reakciju

j(w)=–arctg0.1w.

Pie frekvences w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 un j(10) = –arctg1=–0,25p.

Tad y(t) = 2 × 2 grēks(10 t–0,25 p) = 4 grēks(10 t–0,25p).

Kontroles jautājumi:

1. Definējiet svara funkcijas jēdzienu.

2. Definējiet pārejas funkcijas jēdzienu.

3. Kādam nolūkam Laplasa transformācija tiek izmantota, aprakstot dinamiskās saites?

4. Kādus vienādojumus sauc par lineārajiem diferenciāliem?

5. Kādam nolūkam, pārejot uz vienādojumu operatora formā, sākotnējais diferenciālvienādojums tiek pārveidots standarta formā?

6. Kā izteiksme ar iedomātu skaitli tiek izslēgta no amplitūdas-fāzes raksturlieluma saucēja?

7. Matlab programmatūras pakotnē norādiet tiešo Laplasa transformācijas komandu.

8. Matlab programmatūras pakotnē norādiet apgriezto Laplasa transformācijas komandu.

Praktiskais darbs 2

Pārsūtīšanas funkcijas

Vingrinājums 2.1

Atrodiet sistēmas pārsūtīšanas funkciju, pamatojoties uz tās strukturālo diagrammu.

Risinājums

Galvenās saišu savienošanas metodes blokshēmās ir: paralēlās, seriālās un savienojošās saites ar atgriezenisko saiti (tipiskas saišu sadaļas).

Paralēli savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar atsevišķu saišu pārsūtīšanas funkciju summu (2.1. att.)

. (2.1)

Rīsi. 2.1. Saišu paralēlais savienojums

Sērijveidā savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar atsevišķu saišu pārsūtīšanas funkciju reizinājumu (2.2. att.)

(2.2)

Rīsi. 2.2. Saišu sērijveida savienojums

Atgriezeniskā saite ir signāla pārnešana no saites izejas uz tās ieeju, kur atgriezeniskās saites signāls tiek algebriski summēts ar ārēju signālu (2.3. att.).

Rīsi. 2.3 Saikne ar atgriezenisko saiti: a) pozitīva, b) negatīva

Pozitīvas atgriezeniskās saites savienojuma pārsūtīšanas funkcija

, (2.3)

negatīvas atgriezeniskās saites savienojuma pārsūtīšanas funkcija

. (2.4)

Pārneses funkcijas definīcija sarežģīta sistēma vadība tiek veikta pa posmiem. Lai to izdarītu, tiek identificētas sadaļas, kurās ir seriālie, paralēlie savienojumi un savienojumi ar atgriezenisko saiti (tipiskas saišu sadaļas) (2.4. att.)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Rīsi. 2.4. Vadības sistēmas blokshēma

Pēc tam izvēlētā tipiskā saišu sadaļa tiek aizstāta ar vienu saiti ar aprēķināto pārsūtīšanas funkciju un aprēķina procedūru atkārto (2.5. - 2.7. att.).

Rīsi. 2.5. Paralēlo un slēgtā cikla savienojumu nomaiņa ar vienu saiti

Rīsi. 2.6. Atsauksmes savienojuma aizstāšana ar vienu saiti

Rīsi. 2.7. Seriālā savienojuma aizstāšana ar vienu saiti

(2.5)

Vingrinājums 2.2

Nosakiet pārsūtīšanas funkciju, ja tās sastāvdaļu pārsūtīšanas funkcijas ir:

Risinājums

Aizvietojot ar (2.5) saišu pārsūtīšanas funkcijas

Blokshēmas transformāciju attiecībā pret ievades vadības darbību (2.7., 2.11. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.5) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni. Programma Matlab ir dota zemāk.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums ( W 3 + W 4)

W25 = atsauksmes (W2, W5)

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

W12345 = sērija (W134, W25)% seriālais savienojums ( W 134× W 25)

W=atgriezeniskā saite (W12345,1)

Vingrinājums 2.3.

Atrodiet slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkciju, kuras pamatā ir traucējumi

Risinājums

Lai noteiktu sarežģītas sistēmas pārneses funkciju no traucējošās ietekmes, ir nepieciešams to vienkāršot un aplūkot attiecībā pret traucējošo ieejas ietekmi (2.8. - 2.12. att.).

2.8.att. Automātiskās sistēmas sākotnējā blokshēma

Rīsi. 2.9. Blokshēmas vienkāršošana

Rīsi. 2.10. Vienkāršota blokshēma

Rīsi. 2.11. Blokshēma attiecībā pret ievades vadības darbību

Rīsi. 2.12. Sistēmas blokshēma attiecībā pret traucējošo ietekmi

Pēc strukturālās diagrammas savienošanas ar vienas ķēdes shēmu, traucējošās ietekmes pārnešanas funkcija f(t)

(2.6)

Strukturālās diagrammas transformāciju attiecībā uz traucējošo ietekmi (2.12. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.6) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums

W25 = atsauksmes (W2, W5)% negatīvu atsauksmju

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

Wf=atgriezeniskā saite (W25, W134)% negatīvu atsauksmju.

Vingrinājums 2. 4

Nosakiet kļūdas slēgtā cikla sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

Risinājums

Blokshēma slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcijas noteikšanai vadības kļūdai ir parādīta attēlā. 2.13.

Rīsi. 2.13. Sistēmas blokshēma attiecībā uz vadības kļūdu

Slēgtā cikla pārsūtīšanas funkcija kļūdai

(2.7)

Aizstājot skaitliskās vērtības

Blokshēmas transformāciju attiecībā pret vadības kļūdas signālu (2.13. att.) var iegūt ar aprēķinu (2.7) vai izmantojot Matlab programmatūras pakotni.

W1=tf(,)% Pārraides funkcija W 1

W2=tf(,)% Pārraides funkcija W 2

W3=tf(,)% Pārraides funkcija W 3

W4=tf(,)% Pārraides funkcija W 4

W5=tf(,)% Pārraides funkcija W 5

W34=paralēli(W3,W4)% paralēlais savienojums)

W25 = atsauksmes (W2, W5)% negatīvu atsauksmju

W134=atsauksmes (W1, W34)% negatīvu atsauksmju

Mēs=atsauksmes (1,W134*W25)% negatīvu atsauksmju

Kontroles jautājumi:

1. Blokshēmās uzskaitiet galvenos saišu savienošanas veidus.

2. Noteikt paralēli savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

3. Noteikt sērijveidā savienotu saišu sistēmas pārsūtīšanas funkciju.

4. Definējiet pozitīvās atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju.

5. Definējiet negatīvās atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju.

6. Noteikt sakaru līnijas pārsūtīšanas funkciju.

7. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu divu paralēli savienotu saišu pārsūtīšanas funkciju?

8. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu divu virknē savienotu saišu pārsūtīšanas funkciju?

9. Kuru Matlab komandu izmanto, lai noteiktu atgriezeniskās saites pārsūtīšanas funkciju?

10. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, lai noteiktu vadības darbības pārsūtīšanas funkciju.

11. Uzrakstiet pārsūtīšanas funkciju vadības darbībai.

12. Uzzīmējiet sistēmas blokshēmu, lai noteiktu pārsūtīšanas funkciju, pamatojoties uz traucējošo parametru.

13. Uzrakstiet traucējošā parametra pārneses funkciju.

14. Uzzīmējiet vadības kļūdas pārsūtīšanas funkcijas noteikšanas sistēmas blokshēmu.

15. Uzrakstiet vadības kļūdas pārsūtīšanas funkciju.

Praktiskais darbs 3

Sarežģītas pārneses funkcijas dekompozīcija

DE Laplasa transformācija ļauj ieviest ērtu pārsūtīšanas funkcijas koncepciju, kas raksturo sistēmas dinamiskās īpašības.

Piemēram, operatora vienādojums

3 s 2 Y(s) + 4 sY(s) + Y = 2 sX(s) + 4 X(s)

var pārveidot, izņemot X(s) un Y(s) no iekavām un dalot vienu ar otru:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Iegūto izteiksmi sauc par pārsūtīšanas funkciju.

Pārsūtīšanas funkcija sauc par izejas efekta Y attēla attiecību pret ievades X attēlu nulles sākuma apstākļos.

(2.4)

Pārsūtīšanas funkcija ir sarežģīta mainīgā daļēja racionāla funkcija:

,

kur B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - skaitītāja polinoms,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - saucēja polinoms.

Pārsūtīšanas funkcijai ir secība, ko nosaka saucēja polinoma (n) secība.

No (2.4) izriet, ka izejas signāla attēlu var atrast kā

Y(s) = W(s)*X(s).

Tā kā sistēmas pārsūtīšanas funkcija pilnībā nosaka tās dinamiskās īpašības, sākotnējais ASR aprēķināšanas uzdevums tiek samazināts līdz tās pārsūtīšanas funkcijas noteikšanai.

Tipisku saišu piemēri

Sistēmas saite ir sistēmas elements, kam ir noteiktas dinamiskas īpašības. Vadības sistēmu saitēm var būt atšķirīgs fiziskais raksturs (elektriskās, pneimatiskās, mehāniskās u.c. saites), taču tās apraksta viena un tā pati tālvadības pults, un ieejas un izejas signālu attiecību saitēs apraksta ar vienādām pārsūtīšanas funkcijām. .

TAU izšķir vienkāršāko vienību grupu, kuras parasti sauc par tipiskām. Tipisko saišu statiskās un dinamiskās īpašības ir izpētītas diezgan pilnībā. Standarta saites tiek plaši izmantotas vadības objektu dinamisko raksturlielumu noteikšanā. Piemēram, zinot pārejas reakciju, kas konstruēta, izmantojot ierakstīšanas ierīci, bieži vien ir iespējams noteikt, pie kāda veida saitēm pieder vadības objekts, un līdz ar to tā pārsūtīšanas funkcija, diferenciālvienādojums utt., t.i. objekta modelis. Tipiskas saites Jebkuru sarežģītu saiti var attēlot kā vienkāršāku saišu savienojumu.

Vienkāršākās tipiskās saites ietver:

· pastiprinās,

· inerciāls (pirmās kārtas periodisks),

integrācija (reāla un ideāla),

diferencēšana (reāla un ideāla),

· periodiska 2. kārta,

· svārstīgs,

· kavējas.

1) Pastiprinošā saite.

Saite pastiprina ieejas signālu K reizes. Saites vienādojums y = K*x, pārsūtīšanas funkcija W(s) = K. Tiek izsaukts parametrs K iegūt .

Šādas saites izejas signāls precīzi atkārto ieejas signālu, kas tiek pastiprināts par K reizes (sk. 1.18. attēlu).

Ar pakāpenisku darbību h(t) = K.

Šādu saišu piemēri ir: mehāniskās transmisijas, sensori, bezinerces pastiprinātāji utt.

2) Integrēšana.

2.1) Ideāla integrācija.

Ideālās integrējošās saites izejas vērtība ir proporcionāla ievades vērtības integrālim:

; W(s) =

Ja ieejai tiek pielietota soļu darbības saite x(t) = 1, izejas signāls pastāvīgi palielinās (sk. 1.19. attēlu):

Šī saite ir astatiska, t.i. nav līdzsvara stāvokļa.

Šādas saites piemērs ir tvertne, kas piepildīta ar šķidrumu. Ievades parametrs ir ienākošā šķidruma plūsmas ātrums, izejas parametrs ir līmenis. Sākotnēji tvertne ir tukša un, ja nav plūsmas, līmenis ir nulle, bet, ieslēdzot šķidruma padevi, līmenis sāk vienmērīgi pieaugt.

2.2) Reāla integrācija.

Šīs saites pārsūtīšanas funkcijai ir forma

Pārejas reakcija, atšķirībā no ideālas saites, ir līkne (sk. 1.20. att.):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

Integrējošās saites piemērs ir līdzstrāvas motors ar neatkarīgu ierosmi, ja statora barošanas spriegums tiek ņemts par ieejas efektu un rotora griešanās leņķis tiek ņemts par izejas efektu. Ja motoram netiek piegādāts spriegums, tad rotors nekustas, un tā griešanās leņķi var uzskatīt par vienādu ar nulli. Kad tiek pielikts spriegums, rotors sāk griezties, un tā griešanās leņķis vispirms ir lēns inerces dēļ, un pēc tam palielinās ātrāk, līdz tiek sasniegts noteikts griešanās ātrums.

3) Diferencēšana.

3.1) Ideāls diferenciators.

Izvades daudzums ir proporcionāls ievades laika atvasinājumam:

Ar pakāpenisku ieejas signālu izejas signāls ir impulss (d-funkcija): h(t) = K. d(t).

3.2) Reāla diferencēšana.

Ideālas atšķirības saites nav fiziski realizējamas. Lielākā daļa objektu, kas attēlo diferencējošās saites, pieder pie reālām diferencējošām saitēm, kuru pārsūtīšanas funkcijām ir forma

Pārejas raksturlielums: .

Saites piemērs: elektriskais ģenerators. Ievades parametrs ir rotora griešanās leņķis, izejas parametrs ir spriegums. Ja rotoru pagriež noteiktā leņķī, spailēs parādīsies spriegums, bet, ja rotoru negriež tālāk, spriegums samazināsies līdz nullei. Tas nevar strauji samazināties, jo tinumā ir induktivitāte.

4) Aperiodisks (inerciāls).

Šī saite atbilst veidlapas DE un PF

; W(s) = .

Noteiksim šīs saites izejas vērtības izmaiņu raksturu, kad ievadei tiek piemērots pakāpenisks vērtības x 0 efekts.

Soļa efekta attēls: X(s) = . Tad izvades daudzuma attēls ir:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Sadalīsim daļu galvenajās daļās:

= + = = - = -

Pirmās daļas oriģināls saskaņā ar tabulu: L -1 ( ) = 1, otrais:

Tad beidzot saņemamies

y(t) = K x 0 (1 - ).

Tiek saukta konstante T laika konstante.

Lielākā daļa termisko objektu ir periodiskas saites. Piemēram, pieliekot spriegumu elektriskās krāsns ieejai, tās temperatūra mainīsies saskaņā ar līdzīgu likumu (sk. 1.22. attēlu).

5) Otrās kārtas saites

Saitēm ir tālvadības pults un veidlapas PF

,

W(s) = .

Ja ievadei tiek piemērots soļa efekts ar amplitūdu x 0, pārejas līknei būs viens no diviem veidiem: periodiska (pie T 1 ³ 2T 2) vai svārstīga (pie T 1< 2Т 2).

Šajā sakarā izšķir otrās kārtas saites:

· periodiska 2. kārta (T 1 ³ 2T 2),

· inerciālā (T 1< 2Т 2),

· konservatīvs (T 1 = 0).

6) Kavējas.

Ja objekta ievadei pievadot noteiktu signālu, tas nereaģē uz šo signālu uzreiz, bet pēc kāda laika, tad tiek teikts, ka objektam ir aizkave.

Lag– tas ir laika intervāls no ieejas signāla maiņas brīža līdz izejas signāla maiņai.

Atpaliekoša saite ir saite, kurā izvades vērtība y precīzi atkārto ievades vērtību x ar zināmu aizkavi t:

y(t) = x(t - t).

Saites pārsūtīšanas funkcija:

W(s) = e - t s .

Kavēšanās piemēri: šķidruma kustība pa cauruļvadu (cik daudz šķidruma tika sūknēts cauruļvada sākumā, tik daudz no tā iznāks beigās, bet pēc kāda laika, kamēr šķidrums pārvietojas pa cauruli), kustība kravas pa konveijeru (kavēšanos nosaka konveijera garums un lentes ātrums) utt. .d.

Saites savienojumi

Tā kā pētāmais objekts, lai vienkāršotu tā funkcionēšanas analīzi, ir sadalīts saitēs, tad pēc pārsūtīšanas funkciju noteikšanas katrai saitei rodas uzdevums tās apvienot vienā objekta pārsūtīšanas funkcijā. Objekta pārsūtīšanas funkcijas veids ir atkarīgs no saišu savienojumu secības:

1) Seriālais savienojums.

W apgr. = W 1. W2. W 3...

Kad saites ir savienotas virknē, to pārsūtīšanas funkcijas vairoties.

2) Paralēlais savienojums.

W apv. = W 1 + W 2 + W 3 + …

Ja saites ir savienotas paralēli, to pārsūtīšanas funkcijas salocīt.

3) Atsauksmes

Pārsūtīšanas funkcija pēc atsauces (x):

“+” atbilst negatīvai OS,

"-" - pozitīvs.

Lai noteiktu objektu ar sarežģītākiem saišu savienojumiem pārsūtīšanas funkcijas, tiek izmantota vai nu ķēdes secīga palielināšana, vai arī tās tiek pārveidotas, izmantojot Mezona formulu.

ASR pārsūtīšanas funkcijas

Pētījumiem un aprēķiniem ASR strukturālā diagramma, izmantojot līdzvērtīgas transformācijas, tiek samazināta līdz vienkāršākajam standarta skats“objekts - regulators” (skat. 1.27. attēlu). Šādai standarta struktūrai tiek piemērotas gandrīz visas regulatora iestatījumu aprēķināšanas un noteikšanas inženierijas metodes.

IN vispārējs gadījums jebkuru viendimensionālu ASR ar galveno atgriezenisko saiti var ievietot šajā formā, pakāpeniski palielinot saites.

Ja sistēmas y izeja netiek ievadīta tās ieejā, tad tiek iegūta atvērtā cikla vadības sistēma, kuras pārsūtīšanas funkcija tiek definēta kā reizinājums:

W ¥ = W p . G g

(W p - regulatora PF, W y - vadības objekta PF).

plkst

X

1.28.attēls

Tas ir, saišu secību W p un W y var aizstāt ar vienu saiti ar W ¥ . Slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcija parasti tiek apzīmēta kā Ф(s). To var izteikt ar W ¥:

Šī pārsūtīšanas funkcija Фз(s) nosaka y atkarību no x un tiek saukta par slēgtas cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkciju pa atsauces darbības kanālu (pēc atsauces).

ASR ir arī pārsūtīšanas funkcijas, izmantojot citus kanālus:

Ф e (s) = = - kļūdas dēļ,

Ф in (s) = = - traucējumu dēļ,

kur V (s) – vadības objekta pārsūtīšanas funkcija pa traucējumu pārraides kanālu.

Attiecībā uz traucējumu ņemšanu vērā ir iespējamas divas iespējas:

Traucējumam ir aditīva ietekme uz vadības darbību (sk. 1.29.a attēlu);

Traucējumi ietekmē kontrolētā parametra mērījumus (sk. 1.29.b attēlu).

Pirmā varianta piemērs varētu būt tīkla sprieguma svārstību ietekme uz spriegumu, ko regulators piegādā objekta sildelementam. Otrās iespējas piemērs: kļūdas kontrolēta parametra mērīšanā temperatūras izmaiņu dēļ vidi. W u.v. – vides ietekmes uz mērījumiem modelis.

1.30. attēls

Parametri K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.

ASR blokshēmā vadības ierīcei atbilstošās saites atrodas vadības objekta saišu priekšā un ģenerē vadības darbību uz objektu u. Diagramma parāda, ka regulatora ķēdē ir 1., 2. un 3. saite, un objekta ķēdē ir 4. un 5. saite.

Ņemot vērā, ka saites 1, 2 un 3 ir savienotas paralēli, mēs iegūstam kontroliera pārsūtīšanas funkciju kā saišu pārsūtīšanas funkciju summu:

Saites 4 un 5 ir savienotas virknē, tāpēc vadības objekta pārsūtīšanas funkcija tiek definēta kā saišu pārsūtīšanas funkciju reizinājums:

Atvērtās cilpas pārsūtīšanas funkcija:

no kura ir skaidrs, ka skaitītājs B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, saucējs (arī atvērtās cilpas sistēmas raksturīgais polinoms) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Tad slēgtās sistēmas raksturīgais polinoms ir vienāds ar:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.

Slēgtā cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcijas:

uz uzdevumu ,

kļūdas dēļ .

Nosakot pārraides funkciju no traucējuma, tiek ņemts W a.v. = W ou. Tad

. ¨

ACS analīzes galvenais mērķis ir atrisināt (ja iespējams) vai izpētīt sistēmas diferenciālvienādojumu kopumā. Parasti ir zināmi atsevišķo saišu vienādojumi, kas veido ACS, un rodas starpuzdevums iegūt sistēmas diferenciālvienādojumu no zināmajiem tās saišu DE. Klasiskajā DE pārstāvības formā šis uzdevums ir pilns ar ievērojamām grūtībām. Pārsūtīšanas funkcijas jēdziena izmantošana to ievērojami vienkāršo.

Ļaujiet kādu sistēmu aprakstīt ar formas diferenciālvienādojumu.

Ieviešot apzīmējumu = p, kur p tiek saukts par diferenciācijas operatoru vai simbolu, un tagad apstrādājot šo simbolu kā parastu algebriskais skaitlis, pēc x izņemšanas un x izņemšanas iekavās mēs iegūstam šīs sistēmas diferenciālvienādojumu operatora formā:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)

Polinoms p izvades vērtībā ir

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

tiek saukts par īpašoperatoru, un polinomu pie ievades vērtības sauc par ietekmes operatoru

K(p) = b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3,40)

Pārsūtīšanas funkcija ir ietekmes operatora attiecība pret savs operators:

W(p) = K(p)/D(p) = x ārā / x iekšā. (3,41)

Tālāk mēs gandrīz visur izmantosim diferenciālvienādojumu rakstīšanas operatora formu.

Saišu savienojumu veidi un pārneses funkciju algebra.

Lai iegūtu automātiskās vadības sistēmas pārsūtīšanas funkciju, ir jāzina noteikumi, kā atrast saišu grupu pārsūtīšanas funkcijas, kurās saites ir noteiktā veidā savienotas viena ar otru. Ir trīs veidu savienojumi.

1. Secīgs, kurā iepriekšējās saites izvade ir ieeja nākamajai (3.12. att.):

x ārā

Rīsi. 3.14. Back-to-back – paralēlais savienojums.

Atkarībā no tā, vai atgriezeniskās saites signāls x tiek pievienots ieejas signālam xin vai atņemts no tā, izšķir pozitīvo un negatīvo atgriezenisko saiti.

Tomēr, pamatojoties uz pārsūtīšanas funkcijas īpašību, mēs varam rakstīt

W 1 (p) =x ārā / (x in ±x); W 2 (p) = x/x ārā; W c =x out / x in. (3,44)

Izslēdzot iekšējo koordinātu x no pirmajiem diviem vienādojumiem, mēs iegūstam šāda savienojuma pārsūtīšanas funkciju:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3,45)

Jāpatur prātā, ka pēdējā izteiksmē atbilst plus zīme negatīvs atsauksmes.

Gadījumā, ja saitei ir vairākas ievades (piemēram, vadības objekts), tiek ņemtas vērā vairākas šīs saites pārsūtīšanas funkcijas, kas atbilst katrai ievadei, piemēram, ja saites vienādojumam ir forma

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

kur K x (p) un K z (p) ir operatori, kas ietekmē attiecīgi ieejas x un z, tad šai saitei ir pārsūtīšanas funkcijas uz ieejām x un z:

W x (p) = K x (p)/D (p); W z (p) = K z (p)/D (p). (3,47)

Turpmāk, lai samazinātu ierakstus pārsūtīšanas funkciju un atbilstošo operatoru izteiksmēs, argumentu “p” izlaidīsim.

Kopīgi aplūkojot izteiksmes (3.46) un (3.47), izriet, ka

y = W x x + W z , (3,48)

tas ir, vispārīgā gadījumā jebkuras saites ar vairākām ieejām izejas vērtība ir vienāda ar ievades vērtību un attiecīgo ievades pārsūtīšanas funkciju produktu summu.

ACS pārsūtīšanas funkcija, pamatojoties uz traucējumiem.

Parastā ACS struktūras forma, kas darbojas ar kontrolētā mainīgā novirzi, ir šāda:

W o z =K z /D objekts W o x =K x /D

W p y

z

y

-x

3.15.att. Slēgts ATS.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka regulējošā ietekme tiek piemērota objektam ar mainītu zīmi. Savienojumu starp objekta izvadi un tā ievadi caur regulatoru sauc par galveno atgriezenisko saiti (atšķirībā no iespējamās papildu atgriezeniskās saites pašā regulatorā). Atbilstoši regulējuma pašai filozofiskajai nozīmei regulatora darbība ir vērsta uz novirzes samazināšana kontrolēts mainīgais, un tāpēc galvenās atsauksmes vienmēr ir negatīvas. Attēlā 3.15:

W o z - objekta pārnešanas funkcija ar traucējumiem;

W o x - objekta pārneses funkcija atbilstoši regulējošajai ietekmei;

W p y - regulatora pārsūtīšanas funkcija atbilstoši novirzei y.

Iekārtas un regulatora diferenciālvienādojumi izskatās šādi:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3,49)

Aizvietojot x no otrā vienādojuma pirmajā un veicot grupēšanu, mēs iegūstam ATS vienādojumu:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3,50)

Līdz ar to ACS pārsūtīšanas funkcija traucējumiem

W c z = y/z = W o z /(1+W o x W p y) . (3,51)

Līdzīgā veidā jūs varat iegūt ACS pārsūtīšanas funkciju vadības darbībai:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3,52)

kur W p u ir kontroliera pārsūtīšanas funkcija atbilstoši vadības darbībai.

3.4. ACS piespiedu svārstības un frekvences raksturlielumi.

Reālos darbības apstākļos ACS bieži tiek pakļauts periodiskiem traucējošiem spēkiem, ko pavada periodiskas kontrolētu daudzumu izmaiņas un regulējoša ietekme. Tās ir, piemēram, kuģa vibrācijas, braucot nelīdzenā jūrā, dzenskrūves griešanās ātruma svārstības un citi lielumi. Dažos gadījumos sistēmas izvades daudzumu svārstību amplitūdas var sasniegt nepieņemami lielas vērtības, un tas atbilst rezonanses fenomenam. Rezonanses sekas bieži vien ir postošas ​​sistēmai, kas to piedzīvo, piemēram, kuģa apgāšanās, dzinēja iznīcināšana. Vadības sistēmās šādas parādības ir iespējamas, kad elementu īpašības mainās nodiluma, nomaiņas, pārkonfigurācijas vai kļūmju dēļ. Pēc tam ir jānosaka droši darbības apstākļu diapazoni vai pareizi jākonfigurē ATS. Šie jautājumi tiks aplūkoti šeit, jo tie attiecas uz lineārajām sistēmām.

Ļaujiet kādai sistēmai izveidot šādu struktūru:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

3.16.att. ACS piespiedu svārstību režīmā.

Ja sistēma ir pakļauta periodiskai ietekmei x ar amplitūdu A x un apļveida frekvenci w, tad pēc pārejas procesa beigām tādas pašas frekvences svārstības ar amplitūdu A y un nobīdītas attiecībā pret ieejas svārstībām par fāzes leņķi j jāizveido pie izejas. Izejas svārstību parametri (amplitūda un fāzes nobīde) ir atkarīgi no virzošā spēka frekvences. Uzdevums ir noteikt izejas svārstību parametrus no zināmajiem svārstību parametriem ieejā.

Saskaņā ar ACS pārsūtīšanas funkciju, kas parādīta 3.14. attēlā, tās diferenciālvienādojumam ir forma

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)

Aizvietosim ar (3.53) x un y izteiksmes, kas parādītas attēlā. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)

Ja ņemam vērā, ka svārstību modelis ir nobīdīts par ceturtdaļu perioda, tad vienādojumā (3.54) sinusa funkcijas tiks aizstātas ar kosinusa funkcijām:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)

Reizināsim vienādojumu (3.54) ar i = un saskaitīsim rezultātu ar (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)

Izmantojot Eilera formulu

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Reducēsim vienādojumu (3.56) līdz formai

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)

Veiksim diferenciācijas operāciju attiecībā pret laiku, ko nodrošina operators p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3,58)

Pēc vienkāršām transformācijām, kas saistītas ar samazināšanu ar exp(iwt), iegūstam

Izteiksmes labā puse (3.59) ir līdzīga ACS pārsūtīšanas funkcijas izteiksmei, un to var iegūt, aizstājot p=iw. Pēc analoģijas to sauc par komplekso pārneses funkciju W(iw) vai amplitūdas fāzes raksturlielumu (APC). Bieži tiek lietots arī termins frekvences reakcija. Ir skaidrs, ka šī daļa ir sarežģīta argumenta funkcija un to var attēlot arī šādā formā:

W(iw) = M(w) + iN(w), (3,60)

kur M(w) un N(w) ir attiecīgi reāli un iedomāti frekvences raksturlielumi.

Attiecība A y / A x ir AFC modulis un ir frekvences funkcija:

A y/A x = R (w)

un to sauc par amplitūdas-frekvences reakciju (AFC). Fāze

nobīde j =j (w) ir arī frekvences funkcija, un to sauc par fāzes frekvences reakciju (PFC). Aprēķinot R(w) un j(w) frekvenču diapazonam (0…¥), ir iespējams izveidot AFC grafiku kompleksajā plaknē koordinātās M(w) un iN(w) (3.17. att.).

ω

R(ω)

ω cp

ω rez

3.18.att. Amplitūdas-frekvences raksturlielumi.

1. sistēmas frekvences reakcija parāda rezonanses maksimumu, kas atbilst lielākajai piespiedu svārstību amplitūdai. Darbs zonā, kas atrodas rezonanses frekvences tuvumā, var būt postošs un bieži vien ir pilnīgi nepieņemams saskaņā ar konkrēta regulējamā objekta ekspluatācijas noteikumiem. Frekvences reakcijas tipam 2 nav rezonanses maksimuma, un tas ir vairāk ieteicams mehāniskām sistēmām. Tāpat var redzēt, ka, palielinoties frekvencei, izejas svārstību amplitūda samazinās. Fiziski tas ir viegli izskaidrojams: jebkura sistēma tai raksturīgo inerciālo īpašību dēļ ir vieglāk pakļauta zemu, nevis augstu frekvenču svārstībām. Sākot ar noteiktu frekvenci, izejas svārstības kļūst nenozīmīgas, un šo frekvenci sauc par nogriešanas frekvenci, un frekvenču diapazonu, kas ir zem robežfrekvences, sauc par joslas platumu. Automātiskās vadības teorijā par izslēgšanas frekvenci tiek uzskatīta tāda, pie kuras frekvences reakcijas vērtība ir 10 reizes mazāka nekā pie nulles frekvences. Sistēmas īpašību slāpēt augstfrekvences vibrācijas sauc par zemas caurlaidības filtra īpašību.

Apskatīsim frekvenču reakcijas aprēķināšanas metodi, izmantojot otrās kārtas saites piemēru, kura diferenciālvienādojums

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3,62)

Piespiedu svārstību problēmās bieži tiek izmantota vizuālāka vienādojuma forma

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

kur sauc par dabisku svārstību frekvenci, ja nav slāpēšanas, x =T 1 w 0 /2 ir slāpēšanas koeficients.

Pārsūtīšanas funkcija izskatās šādi:

Aizstājot p = iw, iegūstam amplitūdas-fāzes raksturlielumu

Izmantojot dalīšanas noteikumu kompleksie skaitļi, mēs iegūstam frekvenču reakcijas izteiksmi:

Noteiksim rezonanses frekvenci, pie kuras frekvences reakcija ir maksimums. Tas atbilst izteiksmes minimālajam saucējam (3.66). Pielīdzinot saucēja atvasinājumu attiecībā pret frekvenci w ar nulli, mēs iegūstam:

2(w 0 2 - w 2) (-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

no kurienes mēs iegūstam rezonanses frekvences vērtību, kas nav vienāda ar nulli:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3,68)

Analizēsim šo izteiksmi, kurai mēs uzskatām atsevišķus gadījumus, kas atbilst dažādām vājinājuma koeficienta vērtībām.

1. x = 0. Rezonanses frekvence ir vienāda ar dabisko frekvenci, un frekvences reakcijas lielums pagriežas līdz bezgalībai. Šis ir tā saucamās matemātiskās rezonanses gadījums.

2. . Tā kā frekvence tiek izteikta kā pozitīvs skaitlis un no (68) šajā gadījumā tiek iegūta nulle vai iedomāts skaitlis, no tā izriet, ka pie šādām vājinājuma koeficienta vērtībām frekvences reakcijai nav rezonanses maksimuma (līkne 2 3.18. attēlā).

3. . Frekvences reakcijai ir rezonanses maksimums, un, samazinoties vājinājuma koeficientam, rezonanses frekvence tuvojas savai un rezonanses maksimums kļūst augstāks un asāks.

1. Pārraides funkcijas un frekvences raksturlielumi. Analogo sakaru iekārtu iekārtas

1. Pārraides funkcijas un frekvences raksturlielumi

Sakaru tehnoloģijā tiek saukta jebkuras sarežģītības elektriskā ķēde, kurai ir divi spaiļu pāri savienošanai ar elektriskās enerģijas avotu un uztvērēju. četrstūris. Tiek izsaukti termināļi, kuriem ir pievienots avots ievade, un spailes, kurām ir pievienots uztvērējs (slodze), ir izejas spailes (stabi).

IN vispārējs skats Kvadripols ir attēlots, kā parādīts attēlā. 1.1. Elektroenerģijas avots ar sarežģītu efektīvo sprieguma vērtību un iekšējo pretestību ir pieslēgts četru spaiļu tīkla ieejai 1–1". Uz izejas spailēm 2–2" pievienota slodze ar pretestību. Uz ieejas spailēm tiek pielikts spriegums ar sarežģītu efektīvo vērtību, bet uz izejas spailēm – spriegums ar sarežģītu efektīvo vērtību. Caur ieejas spailēm plūst strāva ar sarežģītu efektīvo vērtību, bet caur izejas spailēm plūst strāva ar sarežģītu efektīvo vērtību. Ņemiet vērā, ka citi četru termināļu tīkli var darboties kā elektriskās enerģijas avots un uztvērējs.

Attēlā 1.1 izmanto simboliskus spriegumu un strāvu apzīmējumus. Tas nozīmē, ka elektriskās ķēdes analīze tiek veikta noteiktas frekvences harmoniskai vibrācijai. Noteiktai harmoniskai svārstībai var noteikt noslogota četru portu tīkla pārsūtīšanas funkcija, kas būs izejas elektriskā daudzuma kompleksās efektīvās vērtības attiecība pret ieejas elektriskā daudzuma komplekso efektīvo vērtību.

Ja ieejas ietekmi uzskata par ģeneratora spriegumu ar sarežģītu efektīvo vērtību un divu termināļu tīkla reakcija uz šo ietekmi ir spriegums ar kompleksu efektīvo vērtību vai strāva ar kompleksu efektīvo vērtību , tad mēs iegūstam vispārējas formas sarežģītas pārsūtīšanas funkcijas:

, (1.1)

. (1.2)

Atsevišķos gadījumos, kad norādītās ietekmes ir spriegums kvadripola ieejas spailēs vai strāva, kas plūst caur šiem spailēm, tiek iegūti šādi četri pārvades funkciju veidi:

– kompleksais sprieguma pārneses koeficients (aktīviem divu terminālu tīkliem, piemēram, pastiprinātājiem, to sauc par sprieguma pastiprinājumu);

– kompleksais strāvas pārneses koeficients (aktīvajām shēmām – strāvas pastiprinājums);

– sarežģītas pārneses pretestība;

– kompleksā pārneses vadītspēja.

Bieži izmanto ķēdes teorijā normalizēta vai darba pārsūtīšanas funkcijačetrstūris:

, (1.3)

ko iegūst, normalizējot (1.1) ar koeficientu .

Tāpat kā jebkurš sarežģīts daudzums N var attēlot demonstratīvā formā:

, (1.4)

kur ir kompleksās pārsūtīšanas funkcijas modulis, un j ir tās arguments.

Apsveriet sarežģīto sprieguma pārneses funkciju

Komplekso efektīvo vērtību apzīmējumu aizstāšana ar (1.5).

.

Salīdzinot šo izteiksmi ar (1.4), ir skaidrs, ka

,

i., kompleksās sprieguma pārvades funkcijas (jeb kompleksā sprieguma pastiprinājuma) modulis parāda, cik reižu harmoniskā sprieguma svārstību efektīvā vērtība (amplitūda) ķēdes izejā mainās, salīdzinot ar to pašu vērtību ķēdes ieejā, un šīs funkcijas arguments nosaka fāzes nobīdi starp harmoniskām sprieguma svārstībām ieejā un izejā.

Tādā pašā veidā jūs varat atrast:

.

Viss iepriekš teiktais par sprieguma pārneses koeficientu attiecas arī uz strāvas pārvades koeficientu.

Ja mainām harmonisko svārstību frekvenci, tad izteiksme (1.4) jāraksta šādā formā:

. (1.6)

Frekvences funkciju sauc ķēdes amplitūdas-frekvences raksturlielums(AFC). Tas parāda, kādas izmaiņas ķēde veic harmonisko svārstību amplitūdās katrā frekvencē.

Frekvences funkciju sauc ķēdes fāzes-frekvences raksturlielums(FCHH). Attiecīgi šis raksturlielums parāda, kādu fāzes nobīdi iegūst katras frekvences harmoniskās svārstības, izplatoties ķēdē.

Sarežģīto pārsūtīšanas funkciju var attēlot arī algebriskā formā:

kur Re un Im apzīmē kompleksā lieluma reālās un iedomātās daļas.

No sarežģīto lielumu teorijas ir zināms, ka

Piemērs 1.1

Nosakiet attēlā parādītās ķēdes sprieguma pārraides koeficientu, frekvences reakciju un fāzes reakciju. 1,2, A.

Saskaņā ar (1.5) mēs rakstām

Mēs atradīsim sarežģīta funkcijaķēdes izejā:

Aizvietojot formulu ar , mēs iegūstam sarežģītu pārsūtīšanas funkciju:

;

Mainot frekvenci w no 0 uz Ґ, varam attēlot shēmas frekvences reakcijas un fāzes reakcijas grafikus (1.2. att., b Un V).

Ķēdes frekvences raksturlīkni un fāzes reakciju var attēlot ar vienu grafiku, ja kompleksajā plaknē attēlo kompleksās pārneses funkcijas atkarību no frekvences w. Šajā gadījumā vektora beigas aprakstīs noteiktu līkni, ko sauc hodogrāfs kompleksā pārneses funkcija (1.3. att.).

Eksperti bieži izmanto šo jēdzienu logaritmiskais amplitūdas-frekvences raksturlielums(LAH):

.

Vērtības UZ mēra decibelos (dB). Aktīvās ķēdēs, kas satur pastiprinātājus, vērtība UZ ko sauc arī par logaritmiskais pieaugums. Pasīvām shēmām pastiprinājuma koeficienta vietā tiek ieviests jēdziens ķēdes atslābināšana:

, (1.7)

ko arī mēra decibelos.

Piemērs 1.2

Ir zināms, ka ķēdes sprieguma pārraides koeficienta modulim ir šādas vērtības:

f= 0 kHz N(f) = 1

f= 1 kHz N(f) = 0,3

f= 2 kHz N(f) = 0,01

f= 4 kHz N(f) = 0,001

f= 8 kHz N(f) = 0,0001

Uzzīmējiet shēmas vājināšanās grafiku.

Ķēdes vājināšanas vērtības, kas aprēķinātas saskaņā ar (1.7) ir norādītas tabulā:

f, kHz
A(f), dB

Grafiks A(f) ir parādīts attēlā. 1.4.

Ja sarežģīto kapacitātes un induktivitātes pretestību vietā mēs aplūkojam operatora kapacitātes un induktivitātes pretestības pL, tad izteiksmē tas jāaizstāj ar R.

Ķēdes operatora pārsūtīšanas funkciju var uzrakstīt vispārīgā formā kā daļēju-racionālu funkciju ar reāliem koeficientiem:

vai formā

Kur – nulles; – pārneses funkcijas stabi; .

Operatora nomaiņa (1.8.) R ieslēgts jw, mēs atkal iegūstam ķēdes sarežģīto pārsūtīšanas funkciju

,

kur ir ķēdes frekvences reakcija

Ņemot vērā, kas ir iracionāla funkcija, parasti, analizējot un sintezējot ķēdes, mēs strādājam ar frekvences reakcijas kvadrātu:

kur koeficientus iegūst, kombinējot koeficientus ar vienādām mainīgā w pakāpēm.

Piemērs 1.3

Atrodiet attēlā redzamās ķēdes sprieguma pārneses koeficientu un frekvences reakcijas kvadrātu. 1,5, A.

Šīs ķēdes sprieguma pārneses koeficients ir vienāds ar

Kur N = 1, , .

Šīs racionālās daļas skaitītāja saknes, t.i., pārsūtīšanas funkcijas nulles,

.

saucēja saknes vai pārneses funkcijas stabi,

.

Attēlā 1,5, b parāda funkcijas nulles un polu atrašanās vietu pie .

Pēc Vietas teorēmas

.

Amplitūdas-frekvences reakciju nosaka no, aizstājot R uz un iegūtās funkcijas moduļa aprēķināšana

.

Frekvences reakcijas kvadrāts tiks ierakstīts formā

Kur ; ;

.

Ķēdes frekvences reakcija ir parādīta attēlā. 1,5, V.

Uzskaitīsim galvenās operatora pārsūtīšanas funkciju īpašības un pasīvo ķēžu frekvences reakcijas kvadrātā:

1. Pārneses funkcija ir daļēja-racionāla funkcija ar reāliem koeficientiem. Koeficientu būtiskums ir izskaidrojams ar to, ka tos nosaka ķēdes elementi.

2. Pārneses funkcijas stabi atrodas kompleksā mainīgā kreisajā pusplaknē R. Nulles atrašanās vietai nav ierobežojumu. Pierādīsim šo īpašību, kā piemēru izmantojot pārsūtīšanas funkciju. Ļaujiet mums izvēlēties ievades darbību vai operatora formā. Izejas sprieguma attēls šajā gadījumā ir skaitliski vienāds, t.i.

kur ir pārsūtīšanas funkcijas skaitītāja polinoms; – daļskaitļu racionālas funkcijas izplešanās koeficienti vienkāršu daļskaitļu summā.

Pārejam no attēla uz oriģinālu:

kur vispārējā gadījumā .

Pasīvos un stabilos aktīvajos kvadripolos svārstībām pie kvadripola izejas pēc ietekmes izbeigšanās ir jābūt slāpētām. Tas nozīmē, ka punktā (1.13) polu reālajām daļām jābūt negatīvām, t.i., poliem jāatrodas mainīgā kreisajā pusplaknē R.

3. Pārneses funkcijas skaitītāju polinomu pakāpes un frekvences raksturlīknes kvadrāts nepārsniedz saucēju polinomu pakāpes, t.i. n F m. Ja šī īpašība netiktu izpildīta, tad bezgalīgi augstās frekvencēs frekvences reakcija būtu bezgalīgi liela nozīme(tā kā skaitītājs augtu ar pieaugošo frekvenci ātrāk nekā saucējs), t.i., ķēdei būtu bezgalīgs pieaugums, kas ir pretrunā ar fizisko nozīmi.

4. Frekvences reakcija kvadrātā ir mainīgā w vienmērīga racionāla funkcija ar reāliem koeficientiem. Šī īpašība skaidri izriet no metodes, kā iegūt kvadrātveida frekvences reakciju no pārsūtīšanas funkcijas.

5. Frekvences reakcija kvadrātā nevar iegūt negatīvas un bezgala lielas vērtības, ja w > 0. Nenegatīvisms izriet no kompleksa lieluma kvadrātā moduļa īpašībām. Frekvences reakcijas vērtību galīgums reālajās frekvencēs ir izskaidrots tāpat kā 3. īpašībā.

Lielākajai daļai atkarīgo avota ķēžu ir vismaz divi signāla ceļi: uz priekšu (no ieejas uz izeju) un atpakaļgaitā (no izejas uz ieeju). Reversā signāla ceļš tiek realizēts, izmantojot īpašu ķēdi atsauksmes(OS). Var būt vairāki šādi ceļi un līdz ar to arī OS shēmas. OS klātbūtne shēmās ar atkarīgiem avotiem piešķir tām jaunas vērtīgas īpašības, kuru shēmām bez OS nepiemīt. Piemēram, izmantojot OS shēmas, ir iespējams panākt ķēdes darbības režīma temperatūras stabilizāciju, samazināt nelineāros kropļojumus, kas rodas ķēdēs ar nelineāriem elementiem utt.

Jebkuru ķēdi ar atgriezenisko saiti var attēlot kā tādu, kas sastāv no diviem četru terminālu tīkliem (1.6. att.).

Aktīvs lineārs divu portu tīkls ar sprieguma pārvades funkciju ir pastiprinātājs. To dažreiz sauc par ķēdes galveno elementu un tiek uzskatīts, ka tas veido tiešo pastiprināšanas kanālu.

Pasīvo četru terminālu tīklu ar sprieguma pārvades funkciju sauc par atgriezeniskās saites ķēdi. Ķēdes ieejā tiek summēts ieejas spriegums un atgriezeniskās saites spriegums.

Atvasināsim pārsūtīšanas funkcijas formulu ķēdes spriegumam, kas parādīts attēlā. 1.6. Ļaujiet ieejai pievienot spriegumu. Viņa kameras attēls. Ķēdes izejā parādās spriegums. Saskaņā ar att. 1.6 viņa kameras attēls

Operatora attēlu var ierakstīt, izmantojot atgriezeniskās saites ķēdes pārsūtīšanas funkciju

Tad izteiksmi (1.14) var pārrakstīt kā

Operatora pārsūtīšanas funkcija ķēdes spriegumam ar OS (skat. 1.6. att.).

. (1.16)

Piemērs 1.4

Attēlā 1.7. attēlā parādīta operacionālā pastiprinātāja (OPA) ķēde, kas paredzēta sprieguma mērogošanai. Atrodiet šīs ķēdes pārsūtīšanas funkciju.

Iegūsim šīs ķēdes pārsūtīšanas funkciju kā atgriezeniskās saites ķēdi, izmantojot formulu (1.16).

Atgriezeniskās saites ķēde diagrammā attēlā. 1.7 kalpo kā L-veida sprieguma dalītājs, kas sastāv no pretestības pretestībām un. Pastiprinātāja izejas spriegums tiek piegādāts OS ķēdes ieejai; OS spriegums tiek noņemts no rezistora. Pārsūtīšanas funkcija OS ķēdes spriegumam

Izmantosim formulu (1.16) un ņemsim vērā, ka ieejas spriegums un atgriezeniskās saites spriegums netiek summēti, bet gan atņemti. Tad mēs iegūstam skalas pastiprinātāja pārsūtīšanas funkciju:

.

Ņemot vērā, ka reālos darbības pastiprinātājos vērtība >> 1, mums beidzot ir:

Piemērs 1.5

Saite uz op-amp ar frekvences atkarīgu atgriezenisko saiti ir parādīta attēlā. 1.8. Atrodiet šīs saites pārsūtīšanas funkciju.

Lai analizētu tiešo signāla ceļu un OS signāla ceļu, ir jāizmanto superpozīcijas metode. Lai to izdarītu, pārmaiņus jānovērš ieejas sprieguma un atgriezeniskās saites sprieguma avoti, aizstājot tos ar iekšējo pretestību. Ideālu sprieguma avotu gadījumā to iekšējā pretestība ir nulle. Saitei pievadīto spriegumu vājina ieejas ķēde, kas ir L-veida sprieguma dalītājs ar pretestībām plecos. Šāda dalītāja sprieguma pārvades funkcija ir vienāda ar

Atgriezeniskās saites ķēde ir arī L-veida četru portu tīkls ar pārsūtīšanas funkciju.

Op-amp pastiprinājums.

Saskaņā ar formulu (1.16) mēs iegūstam saites pārsūtīšanas funkciju:

Ņemot vērā, ka >> 1, mēs iegūstam:

.

Šī saite var veikt dažādas funkcijas atkarībā no pretestības veida un. Pie un saite pārvēršas par invertējošā mēroga pastiprinātāju; pie un – pie integratora; pie un – diferencētājā.

Piemērs 1.6

Otrās kārtas saite ar regulējamu pastiprinājumu ir parādīta attēlā. 1,9, A. Atrodiet šīs saites pārsūtīšanas funkciju.

Ievades signāla un signāla pārejas analīze OS ķēdē parāda, ka saitei ir ieejas ķēde, kas parādīta attēlā. 1,9, b un OS ķēde, kas parādīta attēlā. 1,9, V. Šo ķēžu pārsūtīšanas funkcijas var iegūt matricas metode, piemēram, uzskatot katru ķēdi par atbilstošo L formas četrpolu kaskādes savienojumu.

Ievades ķēdei

OS shēmai

. (1.18)

Ņemot vērā (1.16), iegūstam saites pārsūtīšanas funkciju

. (1.19)

Pastiprinātāja pastiprinājums. Pēc tam, aizstājot (1.17) un (1.18) ar (1.19), pēc transformācijas mums ir

.

Pāreja uz (1.16) no operatora R operatoram mēs iegūstam sarežģītu pārsūtīšanas funkciju

. (1.20)

Produkts ir pastiprinātāja un atgriezeniskās saites ķēdes kompleksā pārsūtīšanas funkcija, ja atgriezeniskā saite ir pārtraukta (1.10. att.). Funkciju sauc par OS cilpas pārsūtīšanas funkciju vai cilpas pieaugums. Iepazīstinām ar pozitīvas un negatīvas atsauksmes jēdzieniem. Šiem jēdzieniem ir nozīmīga loma atgriezeniskās saites ķēžu teorijā.

Vispirms pieņemsim, ka pārsūtīšanas funkcijas , , nav atkarīgas no frekvences un ir reāli skaitļi. Šī situācija ir iespējama, ja nav L.C.- elementi. Tas var būt gan pozitīvs, gan negatīvs skaitlis. Pirmajā gadījumā fāzes nobīde starp ieejas un izejas spriegumiem vai, citiem vārdiem sakot, fāzes nobīde gar atgriezeniskās saites cilpu ir nulle vai . k= 0, 1, 2, ... Otrajā gadījumā, kad , fāzes nobīde pa šo cilpu ir vienāda ar vai .

Ja ķēdē ar atgriezenisko saiti fāzes nobīde gar cilpu ir nulle, tad tiek izsaukta atgriezeniskā saite pozitīvs, ja fāzes nobīde ir vienāda ar , tad šādu atgriezenisko saiti sauc negatīvs.

Pārsūtīšanas funkciju var attēlot kā vektorus un parādīt kompleksajā plaknē. Ar pozitīvu atgriezenisko saiti vektors atrodas uz pozitīvās reālās pusass, bet ar negatīvām atsauksmēm uz negatīvās reālās pusass.

Līkni, kuru vektora beigas apraksta, mainoties frekvencei w (1.11. att.), kā zināms, sauc par hodogrāfu.

Attēlojums hodogrāfa formā ļauj noteikt atgriezeniskās saites veidu no frekvences atkarīgas atgriezeniskās saites gadījumā.

Iepazīstinām ar stabilu un nestabilu ķēžu jēdzieniem. Ķēdi sauc ilgtspējīga, ja brīvajām svārstībām laika gaitā ir tendence uz nulli. Citādi ķēde tiek saukta nestabils. No pārejošo procesu teorijas izriet, ka ķēde ir stabila, ja raksturīgā vienādojuma saknes atrodas kompleksā mainīgā p kreisajā pusplaknē. Ja šāda vienādojuma saknes atrodas labajā pusplaknē, tad ķēde ir nestabila, tas ir, tā atrodas pašiermes režīmā. Tādējādi, lai noteiktu ķēdes stabilitātes nosacījumus, pietiek ar to atrast raksturīgais vienādojums un tās saknes. Kā redzam, stabilitātes nosacījumus var noteikt, neieviešot atgriezeniskās saites jēdzienu. Tomēr šeit rodas vairākas problēmas. Fakts ir tāds, ka raksturīgā vienādojuma atvasināšana un tā sakņu noteikšana ir apgrūtinoša procedūra, īpaši shēmām augsta kārtība. Atgriezeniskās saites jēdziena ieviešana atvieglo raksturīgā vienādojuma iegūšanu vai pat ļauj iztikt bez tā. Ir arī ārkārtīgi svarīgi, lai atgriezeniskās saites jēdziens būtu adekvāts ķēdē notiekošajiem fiziskajiem procesiem, lai tie kļūtu skaidrāki. Dziļa fizisko procesu izpratne veicina pašoscilatoru, pastiprinātāju u.c. izveidi.

Apskatīsim ķēdi (skat. 1.6. att.) un atvasināsim tai raksturīgo vienādojumu. Ļaujiet un tāpēc . Tad no (1.15.) izriet:

. (1.22)

Ja galvenās ķēdes pārsūtīšanas funkciju ierakstām formā , un OS shēmas ir , tad vienādojums (1.22) tiks pārrakstīts šādi:

Šī vienlīdzība ir spēkā, kad

Izteiksme šīs vienādības kreisajā pusē ir polinoms, tāpēc (1.23) var uzrakstīt vispārīgā formā:

Šis ir ķēdes raksturīgais vienādojums.

Vienādojuma (1.24) saknes vispārējā gadījumā ir sarežģīti lielumi

Kur . Zinot raksturīgā vienādojuma saknes, mēs varam uzrakstīt izejas spriegumu:

Lai spriedze nepalielinātos neierobežoti, visas saknes Raksturīgajam vienādojumam jābūt ar negatīvām reālajām daļām, tas ir, saknēm jāatrodas kompleksā mainīgā kreisajā pusplaknē. Ķēdi ar operētājsistēmu, kurai ir šādas īpašības, sauc par absolūti stabilu.

Pētot slēgtā cikla ķēdes, var rasties divas problēmas. Ja projektētajai shēmai jābūt stabilai, tad ir nepieciešams kritērijs, kas pēc funkciju veida ļautu spriest par raksturlieluma vienādojuma sakņu neesamību labajā pusplaknē R. Ja atgriezeniskā saite tiek izmantota, lai izveidotu nestabilu pašoscilējošu ķēdi, tad jums jāpārliecinās, ka vienādojuma (1.24) saknes atrodas, gluži pretēji, labajā pusplaknē. Šajā gadījumā ir nepieciešams tāds sakņu izkārtojums, kurā pašaizraušanās notiktu vajadzīgajā frekvencē.

Apskatīsim ķēdes stabilitātes kritēriju, ko sauc par Nyquist kritēriju, kas ļauj spriest par ķēdes stabilitāti ar atgriezenisko saiti, pamatojoties uz atvērtas ķēdes īpašībām (1.10. att.).

Atvērtās ķēdes pārsūtīšanas funkcija jeb cilpas pastiprinājums ir iekļauta raksturīgā vienādojumā (1.22):

, (1.26)

Ja ir frekvence w, kurai vektora beigas iekrīt punktā ar koordinātām (1, j 0), tad tas nozīmēs, ka nosacījums (1.26) ir izpildīts, t.i., ķēdē ar šo frekvenci notiks pašiedrošanās. Tas nozīmē, ka ar hodogrāfu var noteikt, vai ķēde ir stabila vai nē. Šim nolūkam tiek izmantots Nyquist kritērijs, kas formulēts šādi: ja atvērtās ķēdes pārneses funkcijas hodogrāfs nenosedz punktu ar koordinātām(1, j 0), tad ar slēgtu atgriezeniskās saites ķēdi ķēde ir stabila. Gadījumā, ja hodogrāfs pārklāj punktu (1, j X 1 var uzrakstīt divu nosacījumu formā: stacionārajā režīmā. UZ= 2, līkne 1) un nestabila ( UZ= 3, līkne 2; UZ= 4, ķēdes līkne 3).

Pašpārbaudes jautājumi un uzdevumi

1. Kas ir sarežģīta pārsūtīšanas funkcija? Kādi ir zināmi četrpolu tīkla sarežģīto pārsūtīšanas funkciju veidi?

2. Nosakiet attēlā redzamās ķēdes sprieguma pārvades koeficientu, frekvences reakciju un fāzes reakciju. 1,2, A, ja izejas spriegums ir spriegums pāri rezistoram R. Izveidojiet frekvences reakcijas un fāzes reakcijas grafikus.

Atbilde: ; ; 90° – arctan w R.C..

3. Noteikt sprieguma pārneses koeficientu tukšgaitā un strāvas pārvades koeficientu īssavienojuma laikā U veida četru portu tīklam, kurā induktivitāte ir iekļauta garenzarā. L, un šķērseniskajos zaros - ietilpība AR. Atbilde: .

4. Noteikt vājinājumu, ko ievada ķēde Fig. 1,2, A, plkst R= 31,8 kOhm un = 10 kOhm.

Atbilde: 12 dB.

5. Kas ir operatora pārsūtīšanas funkcija? Kā tas ir saistīts ar sarežģīto pārsūtīšanas funkciju? Kā noteikt operatora pārsūtīšanas funkcijas nulles un polus?

6. Noteikt att. att. parādītās virknes svārstību ķēdes operatora pārvades funkciju, komplekso sprieguma pārneses koeficientu, frekvences raksturlīkni un frekvences raksturlīknes kvadrātu. 1,5, A, ja izejas spriegums ir spriegums pāri kondensatoram AR. Uzzīmējiet shēmas frekvences reakcijas grafiku.

Atbilde: ; .

7. Uzskaitiet pasīvo ķēžu operatoru pārsūtīšanas funkciju galvenās īpašības.

8. Kā tiek aprēķināta slēgta cikla ķēdes pārneses funkcija?

9. Pierādīt, ka operacionālā pastiprinātāja diferenciatora operatora pārsūtīšanas funkcija ir vienāda ar (– pRC). Izveidojiet šāda diferenciatora frekvences reakcijas grafiku.

11. Nosakiet attēlā redzamā filtra pārneses funkciju. 1.13.

Atbilde: .

12. Kas ir cilpas pastiprinājuma hodogrāfs? Kā noteikt atgriezeniskās saites veidu, izmantojot hodogrāfu?

13. Kā tiek formulēts Nyquist stabilitātes kritērijs? Kādām shēmām to izmanto?

14. Nosakiet att. att. att. att. atv. sh. komplekso prneses funkciju. 1.13. Izpētiet ķēdes stabilitātes atkarību no pastiprinājuma vērtības UZ.