Matricu sistēmu risināšana, izmantojot Gausa metodi. Gausa metode jeb kāpēc bērni nesaprot matemātiku

Gausa metode lieliski piemērots lineāru sistēmu risināšanai algebriskie vienādojumi(SLAU). Tam ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar citām metodēm:

• pirmkārt, nav nepieciešams vispirms pārbaudīt vienādojumu sistēmas konsekvenci;
• otrkārt, ar Gausa metodi var atrisināt ne tikai SLAE, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenā matrica ir nevienskaitlīga, bet arī vienādojumu sistēmas, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaits vai galvenās matricas determinants ir vienāds ar nulli;
• treškārt, Gausa metode rada rezultātus ar salīdzinoši nelielu skaitļošanas operāciju skaitu.

Īss pārskats par rakstu.

Pirmkārt, mēs sniedzam nepieciešamās definīcijas un ieviešam apzīmējumus.

Tālāk aprakstīsim Gausa metodes algoritmu vienkāršākajam gadījumam, tas ir, lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vienādojumu skaits, kuros sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants ir nav vienāds ar nulli. Risinot šādas vienādojumu sistēmas, visskaidrāk ir redzama Gausa metodes būtība, kas ir nezināmu mainīgo secīga likvidēšana. Tāpēc Gausa metodi sauc arī par nezināmo secīgas likvidēšanas metodi. Mēs parādīsim vairāku piemēru detalizētus risinājumus.

Noslēgumā aplūkosim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risinājumu ar Gausa metodi, kuru galvenā matrica ir taisnstūrveida vai vienskaitļa. Šādu sistēmu risinājumam ir dažas funkcijas, kuras mēs detalizēti izpētīsim, izmantojot piemērus.

Lapas navigācija.

Pamatdefinīcijas un apzīmējumi.

Apsveriet sistēmu p lineārie vienādojumi ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n):

Kur ir nezināmi mainīgie, ir skaitļi (reāli vai kompleksi) un ir brīvi termini.

Ja , tad sauc lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Tiek saukta nezināmu mainīgo vērtību kopa, kurai visi sistēmas vienādojumi kļūst par identitātēm SLAU lēmumu.

Ja lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu, citādi - nav locītavu.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti. Ja ir vairāki risinājumi, tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts.

Viņi saka, ka sistēma ir ierakstīta koordinātu forma, ja tam ir forma
.

Šī sistēma iekšā matricas forma ierakstiem ir forma kur - SLAE galvenā matrica, - nezināmo mainīgo kolonnas matrica, - brīvo terminu matrica.

Ja matricai A kā (n+1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo terminu kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir,

Kvadrātmatricu A sauc deģenerēts, ja tā determinants ir nulle. Ja , tad tiek izsaukta matrica A nav deģenerēts.

Jāņem vērā sekojošais punkts.

Ja veicam ar lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu šādas darbības

• apmainīt divus vienādojumus,
• reiziniet jebkura vienādojuma abas puses ar patvaļīgu reālo (vai komplekso) skaitli k, kas nav nulle,
• abām jebkura vienādojuma pusēm pievienojiet cita vienādojuma atbilstošās daļas, kas reizinātas ar patvaļīgu skaitli k,

tad jūs iegūstat līdzvērtīgu sistēmu, kurai ir vienādi risinājumi (vai, tāpat kā oriģinālajai, tai nav risinājumu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas paplašinātai matricai šīs darbības nozīmēs elementāru transformāciju veikšanu ar rindām:

• nomainot divas rindas,
• reizinot visus T matricas rindas elementus ar skaitli, kas nav nulle, k,
• pievienojot jebkuras matricas rindas elementiem atbilstošos citas rindas elementus, kas reizināti ar patvaļīgu skaitli k.

Tagad mēs varam turpināt Gausa metodes aprakstu.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un sistēmas galvenā matrica ir nevienskaitlīga, izmantojot Gausa metodi.

Ko mēs darītu skolā, ja mums tiktu dots uzdevums atrast risinājumu vienādojumu sistēmai? .

Daži tā darītu.

Ņemiet vērā, ka pievienojot otrā vienādojuma kreisajai pusei kreisā puse vispirms un labajā pusē - labajā pusē, jūs varat atbrīvoties no nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 3 un nekavējoties atrast x 1:

Atrasto vērtību x 1 =1 aizstājam sistēmas pirmajā un trešajā vienādojumā:

Ja sistēmas trešā vienādojuma abas puses reizinām ar -1 un saskaitām tās ar pirmā vienādojuma attiecīgajām daļām, mēs atbrīvojamies no nezināmā mainīgā x 3 un varam atrast x 2:

Mēs aizstājam iegūto vērtību x 2 = 2 ar trešo vienādojumu un atrodam atlikušo nezināmo mainīgo x 3:

Citi būtu rīkojušies savādāk.

Atrisināsim sistēmas pirmo vienādojumu attiecībā pret nezināmo mainīgo x 1 un aizstāsim iegūto izteiksmi sistēmas otrajā un trešajā vienādojumā, lai izslēgtu no tiem šo mainīgo:

Tagad atrisināsim sistēmas otro vienādojumu x 2 un aizstāsim iegūto rezultātu ar trešo vienādojumu, lai no tā izslēgtu nezināmo mainīgo x 2:

No sistēmas trešā vienādojuma ir skaidrs, ka x 3 =3. No otrā vienādojuma mēs atrodam , un no pirmā vienādojuma mēs iegūstam .

Pazīstami risinājumi, vai ne?

Interesantākais šeit ir tas, ka otrā risinājuma metode būtībā ir nezināmo secīgas likvidēšanas metode, tas ir, Gausa metode. Kad mēs izteicām nezināmos mainīgos (pirmais x 1, nākamajā posmā x 2) un aizstājām tos atlikušajos sistēmas vienādojumos, mēs tos izslēdzām. Mēs veicām elimināciju, līdz pēdējā vienādojumā bija palicis tikai viens nezināms mainīgais. Tiek saukts nezināmo secīgu likvidēšanas process tiešā Gausa metode. Pēc pabeigšanas gājiens uz priekšu mums tagad ir iespēja aprēķināt nezināmo mainīgo pēdējā vienādojumā. Ar tās palīdzību mēs atrodam nākamo nezināmo mainīgo no priekšpēdējā vienādojuma utt. Tiek saukts nezināmu mainīgo secīgas atrašanas process, pārejot no pēdējā vienādojuma uz pirmo atpakaļgaitā Gausa metode.

Jāatzīmē, ka, ja pirmajā vienādojumā izsakām x 1 ar x 2 un x 3 un pēc tam aizstājam iegūto izteiksmi otrajā un trešajā vienādojumā, šādas darbības rada tādu pašu rezultātu:

Patiešām, šāda procedūra ļauj arī izslēgt nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma:

Nianses ar nezināmu mainīgo izslēgšanu, izmantojot Gausa metodi, rodas, ja sistēmas vienādojumi nesatur dažus mainīgos.

Piemēram, SLAU pirmajā vienādojumā nav nezināma mainīgā x 1 (citiem vārdiem sakot, koeficients tā priekšā ir nulle). Tāpēc mēs nevaram atrisināt sistēmas pirmo vienādojumu x 1, lai izslēgtu šo nezināmo mainīgo no atlikušajiem vienādojumiem. Izeja no šīs situācijas ir apmainīt sistēmas vienādojumus. Tā kā mēs aplūkojam lineāro vienādojumu sistēmas, kuru galveno matricu determinanti atšķiras no nulles, vienmēr ir vienādojums, kurā ir klāt vajadzīgais mainīgais, un mēs varam pārkārtot šo vienādojumu vajadzīgajā pozīcijā. Mūsu piemēram, pietiek ar sistēmas pirmo un otro vienādojumu apmaiņu , tad varat atrisināt pirmo vienādojumu x 1 un izslēgt to no pārējiem sistēmas vienādojumiem (lai gan otrajā vienādojumā x 1 vairs nav).

Mēs ceram, ka jūs sapratāt būtību.

Aprakstīsim Gausa metodes algoritms.

Pieņemsim, ka mums jāatrisina n lineāru algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem formas mainīgie , un lai tās galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un .

Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja mēs būtu izteikuši x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem sistēmas pirmajā vienādojumā un aizvietojuši iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un . Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam apgrieztu Gausa metodi: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma, un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma. .

Apskatīsim algoritmu, izmantojot piemēru.

Piemērs.

Gausa metode.

Risinājums.

Koeficients a 11 nav nulle, tāpēc pāriesim pie Gausa metodes tiešās progresēšanas, tas ir, izslēdzot nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, izņemot pirmo. Lai to izdarītu, otrā, trešā un ceturtā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojiet pirmā vienādojuma kreiso un labo pusi, attiecīgi reizinot ar . Un :

Nezināmais mainīgais x 1 ir likvidēts, pāriesim pie x 2 likvidēšanas. Sistēmas trešā un ceturtā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojam otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, kas attiecīgi reizināta ar Un :

Lai pabeigtu Gausa metodes progresēšanu uz priekšu, mums ir jāizslēdz nezināmais mainīgais x 3 no pēdējā sistēmas vienādojuma. Pievienosim ceturtā vienādojuma kreiso un labo pusi attiecīgi kreiso un labā puse trešais vienādojums, kas reizināts ar :

Varat sākt pretējo Gausa metodi.

No pēdējā vienādojuma, kas mums ir ,
no trešā vienādojuma mēs iegūstam,
no otrā,
no pirmās.

Lai pārbaudītu, iegūtās nezināmo mainīgo vērtības var aizstāt sākotnējā vienādojumu sistēmā. Visi vienādojumi pārvēršas identitātēs, kas norāda, ka risinājums ar Gausa metodi atrasts pareizi.

Atbilde:

Tagad sniegsim risinājumu šim pašam piemēram, izmantojot Gausa metodi matricas pierakstā.

Piemērs.

Atrodiet vienādojumu sistēmas risinājumu Gausa metode.

Risinājums.

Sistēmas paplašinātajai matricai ir forma . Katras kolonnas augšpusē ir nezināmie mainīgie, kas atbilst matricas elementiem.

Gausa metodes tiešā pieeja šeit ietver sistēmas paplašinātās matricas samazināšanu līdz trapecveida formai, izmantojot elementāras transformācijas. Šis process ir līdzīgs nezināmu mainīgo izslēgšanai, ko veicām ar sistēmu koordinātu formā. Tagad jūs to redzēsit.

Pārveidosim matricu tā, lai visi elementi pirmajā kolonnā, sākot no otrās, kļūtu par nulli. Lai to izdarītu, otrās, trešās un ceturtās rindas elementiem pievienojam atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar , un attiecīgi:

Tālāk mēs pārveidojam iegūto matricu tā, lai otrajā kolonnā visi elementi, sākot no trešā, kļūtu par nulli. Tas atbilstu nezināmā mainīgā x 2 likvidēšanai. Lai to izdarītu, trešās un ceturtās rindas elementiem pievienojam atbilstošos matricas pirmās rindas elementus, kas attiecīgi reizināti ar Un :

Atliek izslēgt nezināmo mainīgo x 3 no pēdējā sistēmas vienādojuma. Lai to izdarītu, iegūtās matricas pēdējās rindas elementiem pievienojam atbilstošos priekšpēdējās rindas elementus, kas reizināti ar :

Jāņem vērā, ka šī matrica atbilst lineāro vienādojumu sistēmai

kas tika iegūts agrāk pēc gājiena uz priekšu.

Ir pienācis laiks pagriezties atpakaļ. Matricas apzīmējumā Gausa metodes apgrieztā metode ietver iegūtās matricas pārveidošanu tā, lai matrica, kas atzīmēta attēlā

kļuva pa diagonāli, tas ir, ieguva formu

kur ir daži cipari.

Šīs transformācijas ir līdzīgas Gausa metodes pārveidojumiem uz priekšu, taču tiek veiktas nevis no pirmās rindas uz pēdējo, bet gan no pēdējās uz pirmo.

Pievienojiet trešās, otrās un pirmās rindas elementiem atbilstošos pēdējās rindas elementus, kas reizināti ar , ieslēgts un turpināts attiecīgi:

Tagad pievienosim otrās un pirmās rindas elementiem atbilstošos trešās rindas elementus, kas attiecīgi reizināti ar un ar:

Apgrieztās Gausa metodes pēdējā solī pirmās rindas elementiem pievienojam atbilstošos otrās rindas elementus, kas reizināti ar:

Iegūtā matrica atbilst vienādojumu sistēmai , no kurienes mēs atrodam nezināmos mainīgos.

Atbilde:

PIEZĪME.

Lietojot Gausa metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, jāizvairās no aptuveniem aprēķiniem, jo ​​tas var novest pie pilnīgi nepareiziem rezultātiem. Mēs iesakām nenoapaļot decimāldaļas. Labāk no decimāldaļas pāriet uz parastajām daļām.

Piemērs.

Atrisiniet trīs vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi .

Risinājums.

Ņemiet vērā, ka šajā piemērā nezināmajiem mainīgajiem ir atšķirīgs apzīmējums (nevis x 1, x 2, x 3, bet gan x, y, z). Pāriesim pie parastajām daļskaitļiem:

Izslēgsim nezināmo x no sistēmas otrā un trešā vienādojuma:

Iegūtajā sistēmā nezināmā mainīgā y otrajā vienādojumā nav, bet y ir trešajā vienādojumā, tāpēc apmainīsim otro un trešo vienādojumu:

Tas pabeidz tiešo Gausa metodes progresēšanu (nav nepieciešams izslēgt y no trešā vienādojuma, jo šis nezināmais mainīgais vairs nepastāv).

Sāksim apgriezto kustību.

No pēdējā vienādojuma mēs atrodam ,
no priekšpēdējās


no pirmā vienādojuma, kas mums ir

Atbilde:

X = 10, y = 5, z = -20.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir vienskaitlī, izmantojot Gausa metodi.

Vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir taisnstūrveida vai kvadrātveida vienskaitlis, var nebūt atrisinājumu, var būt viens atrisinājums vai arī bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Tagad mēs sapratīsim, kā Gausa metode ļauj noteikt lineāro vienādojumu sistēmas saderību vai nekonsekvenci un tās saderības gadījumā noteikt visus risinājumus (vai vienu atsevišķu risinājumu).

Principā nezināmo mainīgo likvidēšanas process šādu SLAE gadījumā paliek nemainīgs. Tomēr ir vērts detalizēti aplūkot dažas situācijas, kas var rasties.

Pārejam uz vissvarīgāko posmu.

Tātad, pieņemsim, ka lineāro algebrisko vienādojumu sistēma pēc Gausa metodes progresēšanas pabeigšanas iegūst formu un neviens vienādojums netika reducēts uz (šajā gadījumā mēs secinātu, ka sistēma nav savietojama). Rodas loģisks jautājums: “Ko darīt tālāk”?

Pierakstīsim nezināmos mainīgos, kas ir pirmajā vietā visos iegūtās sistēmas vienādojumos:

Mūsu piemērā tie ir x 1, x 4 un x 5. Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam tikai tos terminus, kas satur rakstītos nezināmos mainīgos x 1, x 4 un x 5, atlikušie vārdi tiek pārnesti uz vienādojumu labo pusi ar pretēju zīmi:

Nezināmajiem mainīgajiem, kas atrodas vienādojumu labajā pusē, dosim patvaļīgas vērtības, kur - patvaļīgi skaitļi:

Pēc tam visu mūsu SLAE vienādojumu labajā pusē ir skaitļi, un mēs varam pāriet pie Gausa metodes apgrieztās puses.

No pēdējā sistēmas vienādojuma, kas mums ir, no priekšpēdējā vienādojuma, ko mēs atrodam, no pirmā vienādojuma mēs iegūstam

Vienādojumu sistēmas risinājums ir nezināmu mainīgo vērtību kopa

Skaitļu došana dažādas vērtības, iegūsim dažādus vienādojumu sistēmas risinājumus. Tas ir, mūsu vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Atbilde:

Kur - patvaļīgi skaitļi.

Lai konsolidētu materiālu, mēs detalizēti analizēsim vēl vairāku piemēru risinājumus.

Piemērs.

Izlemiet viendabīga sistēma lineārie algebriskie vienādojumi Gausa metode.

Risinājums.

Izslēgsim nezināmo mainīgo x no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, otrā vienādojuma kreisajā un labajā pusē mēs pievienojam attiecīgi pirmā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar , un trešā vienādojuma kreisajā un labajā pusē pievienojam kreiso un pirmā vienādojuma labās puses, kas reizinātas ar:

Tagad izslēgsim y no iegūtās vienādojumu sistēmas trešā vienādojuma:

Iegūtais SLAE ir līdzvērtīgs sistēmai .

Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam tikai vārdus, kas satur nezināmos mainīgos x un y, un pārvietosim terminus ar nezināmo mainīgo z uz labo pusi:

Dota lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas jāatrisina (atrodiet tādas nezināmo xi vērtības, kas katru sistēmas vienādojumu pārvērš vienādībā).

Mēs zinām, ka lineāro algebrisko vienādojumu sistēma var:

1) Nav risinājumu (esiet nav locītavu).
2) Ir bezgalīgi daudz risinājumu.
3) Ir viens risinājums.

Kā atceramies, Krāmera likums un matricas metode nav piemēroti gadījumos, kad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa. Gausa metode – jaudīgākais un daudzpusīgākais rīks, lai atrastu risinājumus jebkurai lineāro vienādojumu sistēmai, kas katrā gadījumā novedīs mūs pie atbildes! Pats metodes algoritms kopumā trīs gadījumi darbojas tāpat. Ja Krāmera un matricas metodes prasa zināšanas par determinantiem, tad Gausa metodes pielietošanai nepieciešamas tikai zināšanas aritmētiskās darbības, kas padara to pieejamu pat sākumskolas skolēniem.

Papildinātās matricas transformācijas ( šī ir sistēmas matrica - matrica, kas sastāv tikai no nezināmo koeficientu plus brīvo terminu kolonnas) lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas pēc Gausa metodes:

1) Ar troki matricas Var pārkārtot dažās vietās.

2) ja matricā parādījās (vai pastāv) proporcionālie (kā īpašs gadījums– identiskas) līnijas, tad tas seko dzēst Visas šīs rindas ir no matricas, izņemot vienu.

3) ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad tai arī jābūt dzēst.

4) matricas rinda var būt reizināt (dalīt) uz jebkuru skaitli, kas nav nulle.

5) uz matricas rindu varat pievienojiet citu virkni, kas reizināta ar skaitli, atšķiras no nulles.

Gausa metodē elementāras pārvērtības nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu.

Gausa metode sastāv no diviem posmiem:

1. “Tieša pārvietošana” - izmantojot elementāras transformācijas, novietojiet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas paplašināto matricu “trīsstūrveida” soļu formā: paplašinātās matricas elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli (kustība no augšas uz leju). Piemēram, šim tipam:

Lai to izdarītu, veiciet tālāk norādītās darbības.

1) Apskatīsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas pirmo vienādojumu, un koeficients x 1 ir vienāds ar K. Otrais, trešais utt. vienādojumus pārveidojam šādi: sadalām katru vienādojumu (nezināmo, ieskaitot brīvos vārdus) ar nezināmā x 1 koeficientu, kas ir katrā vienādojumā, un reizinim ar K. Pēc tam pirmo atņemam no otrā vienādojums (nezināmo un brīvo terminu koeficienti). Otrajā vienādojumā x 1 iegūstam koeficientu 0. No trešā pārveidotā vienādojuma mēs atņemam pirmo vienādojumu, līdz visiem vienādojumiem, izņemot pirmo, nezināmam x 1 ir koeficients 0.

2) Pārejam pie nākamā vienādojuma. Lai šis ir otrais vienādojums un koeficients x 2 ir vienāds ar M. Mēs rīkojamies ar visiem “zemākajiem” vienādojumiem, kā aprakstīts iepriekš. Tādējādi “zem” nezināmā x 2 visos vienādojumos būs nulles.

3) Pārejiet uz nākamo vienādojumu un tā tālāk, līdz paliek pēdējais nezināmais un pārveidotais brīvais termins.

1. Gausa metodes “apgrieztā kustība” ir iegūt risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai (“kustība no apakšas uz augšu”). No pēdējā “apakšējā” vienādojuma iegūstam vienu pirmo atrisinājumu - nezināmo x n. Lai to izdarītu, mēs atrisinām elementāro vienādojumu A * x n = B. Iepriekš dotajā piemērā x 3 = 4. Atrasto vērtību aizstājam ar “augšējo” nākamo vienādojumu un atrisinām to attiecībā pret nākamo nezināmo. Piemēram, x 2 – 4 = 1, t.i. x 2 = 5. Un tā tālāk, līdz atrodam visus nezināmos.

Piemērs.

Atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi, kā daži autori iesaka:

Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Mēs skatāmies uz augšējo kreiso “soli”. Mums tur vajadzētu būt vienam. Problēma ir tāda, ka pirmajā kolonnā vispār nav vienību, tāpēc rindu pārkārtošana neko neatrisinās. Šādos gadījumos vienība jāorganizē, izmantojot elementāru transformāciju. Parasti to var izdarīt vairākos veidos. Darām to:
1 solis . Pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –1. Tas ir, otro rindu mēs prātīgi reizinājām ar –1 un pievienojām pirmo un otro rindu, savukārt otrā rinda nemainījās.

Tagad augšā pa kreisi ir “mīnus viens”, kas mums der diezgan labi. Ikviens, kurš vēlas iegūt +1, var veikt papildu darbību: reiziniet pirmo rindiņu ar –1 (mainiet tās zīmi).

2. darbība . Pirmā rinda, kas reizināta ar 5, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.

3. darbība . Pirmā rinda tika reizināta ar –1, principā tas ir skaistumam. Tika nomainīta arī trešās līnijas zīme un tā pārcelta uz otro vietu, lai otrajā “solī” būtu vajadzīgā vienība.

4. darbība . Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizināta ar 2.

5. darbība . Trešā rinda tika dalīta ar 3.

Pazīme, kas norāda uz kļūdu aprēķinos (retāk - drukas kļūda), ir “slikta” apakšējā līnija. Tas ir, ja mēs iegūstam kaut ko līdzīgu (0 0 11 |23) zemāk un attiecīgi 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tad ar lielu varbūtības pakāpi varam teikt, ka pamatstundu laikā tika pieļauta kļūda. pārvērtības.

Rīkosimies otrādi, veidojot piemērus, pati sistēma bieži netiek pārrakstīta, bet vienādojumi tiek “ņemti tieši no dotās matricas”. Atgādinu, ka apgrieztā kustība darbojas no apakšas uz augšu. Šajā piemērā rezultāts bija dāvana:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tātad x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Atbilde:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Atrisināsim to pašu sistēmu, izmantojot piedāvāto algoritmu. Mēs saņemam

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Sadaliet otro vienādojumu ar 5 un trešo ar 3. Iegūstam:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Reizinot otro un trešo vienādojumu ar 4, mēs iegūstam:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atņemot pirmo vienādojumu no otrā un trešā vienādojuma, mēs iegūstam:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Sadaliet trešo vienādojumu ar 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trešo vienādojumu reiziniet ar 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Atņemot otro no trešā vienādojuma, mēs iegūstam “pakāpju” paplašinātu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tādējādi, tā kā aprēķinu laikā uzkrātā kļūda, mēs iegūstam x 3 = 0,96 jeb aptuveni 1.

x 2 = 3 un x 1 = –1.

Risinot šādi, jūs nekad neapjuksiet aprēķinos un, neskatoties uz aprēķinu kļūdām, jūs iegūsit rezultātu.

Šī lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanas metode ir viegli programmējama un neņem vērā specifiskas funkcijas koeficientus nezināmajiem, jo ​​praksē (ekonomiskajos un tehniskajos aprēķinos) nākas saskarties ar neveseliem koeficientiem.

Es novēlu jums panākumus! Tiekamies klasē! Pasniedzējs.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Dota sistēma, ∆≠0. (1)
Gausa metode ir metode, kā secīgi novērst nezināmo.

Gausa metodes būtība ir pārveidot (1) uz sistēmu ar trīsstūrveida matricu, no kuras pēc tam secīgi (apgrieztā veidā) tiek iegūtas visu nezināmo vērtības. Apskatīsim vienu no skaitļošanas shēmām. Šo ķēdi sauc par viena dalījuma ķēdi. Tātad, aplūkosim šo diagrammu. Ļaujiet 11 ≠0 (vadošais elements) dalīt pirmo vienādojumu ar 11. Mēs saņemam
(2)
Izmantojot (2) vienādojumu, no atlikušajiem sistēmas vienādojumiem ir viegli noņemt nezināmos x 1 (lai to izdarītu, pietiek ar katra vienādojuma atņemšanu (2) vienādojumu, kas iepriekš reizināts ar atbilstošo koeficientu x 1) , tas ir, pirmajā solī mēs iegūstam
.
Citiem vārdiem sakot, 1. solī katrs nākamo rindu elements, sākot no otrās, ir vienāds ar starpību starp sākotnējo elementu un tā “projicēšanas” reizinājumu pirmajā kolonnā un pirmajā (pārveidotajā) rindā.
Pēc tam, atstājot pirmo vienādojumu, veicam līdzīgu pārveidošanu pār pārējiem pirmajā solī iegūtajiem sistēmas vienādojumiem: no tiem izvēlamies vienādojumu ar vadošo elementu un ar tā palīdzību izslēdzam x 2 no atlikušā. vienādojumi (2. darbība).
Pēc n soļiem (1) vietā iegūstam līdzvērtīgu sistēmu
(3)
Tādējādi pirmajā posmā mēs iegūstam trīsstūrveida sistēmu (3). Šo posmu sauc par virzienu uz priekšu.
Otrajā posmā (reversā) secīgi no (3) atrodam vērtības x n, x n -1, ..., x 1.
Iegūto risinājumu apzīmēsim ar x 0 . Tad starpība ε=b-A x 0 sauc par atlikušo.
Ja ε=0, tad atrastais risinājums x 0 ir pareizs.

Aprēķini, izmantojot Gausa metodi, tiek veikti divos posmos:

1. Pirmo posmu sauc par priekšu metodi. Pirmajā posmā sākotnējā sistēma tiek pārveidota trīsstūrveida formā.
2. Otro posmu sauc par apgriezto gājienu. Otrajā posmā tiek atrisināta trīsstūrveida sistēma, kas līdzvērtīga oriģinālajai.

Koeficientus a 11, a 22, ... sauc par vadošajiem elementiem.
Katrā solī tika pieņemts, ka vadošais elements nav nulle. Ja tas tā nav, tad jebkuru citu elementu var izmantot kā vadošo elementu, it kā pārkārtojot sistēmas vienādojumus.

Gausa metodes mērķis

Gausa metode ir paredzēta lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai. Attiecas uz tiešās risināšanas metodēm.

Gausa metodes veidi

1. Klasiskā Gausa metode;
2. Gausa metodes modifikācijas. Viena no Gausa metodes modifikācijām ir shēma ar galvenā elementa izvēli. Gausa metodes iezīme ar galvenā elementa izvēli ir tāda vienādojumu pārkārtošana, lai k-tajā solī vadošais elements izrādās k-tās kolonnas lielākais elements.
3. Jordano-Gausa metode;

Atšķirība starp Jordano-Gausa metodi un klasisko Gausa metode sastāv no taisnstūra noteikuma piemērošanas, kad risinājuma meklēšanas virziens notiek pa galveno diagonāli (transformācija uz identitātes matricu). Gausa metodē risinājuma meklēšanas virziens notiek pa kolonnām (transformācija sistēmā ar trīsstūrveida matricu).
Ilustrēsim atšķirību Jordano-Gausa metode no Gausa metodes ar piemēriem.

Risinājuma piemērs, izmantojot Gausa metodi
Atrisināsim sistēmu:

Aprēķinu atvieglošanai samainīsim rindas:

Reizināsim 2. rindiņu ar (2). Pievienojiet 3. rindiņu otrajai

Reiziniet 2. rindiņu ar (-1). Pievienojiet 2. rindiņu pirmajai

No 1. rindas izsakām x 3:
No 2. rindas izsakām x 2:
No 3. rindas izsakām x 1:

Risinājuma piemērs, izmantojot Jordano-Gausa metodi
Atrisināsim to pašu SLAE, izmantojot Jordano-Gauss metodi.

Mēs secīgi atlasīsim izšķirošo elementu RE, kas atrodas uz matricas galvenās diagonāles.
Izšķirtspējas elements ir vienāds ar (1).



NE = DA — (A*B)/RE
RE - izšķirošais elements (1), A un B - matricas elementi, kas veido taisnstūri ar elementiem STE un RE.
Iesniegsim katra elementa aprēķinu tabulas veidā:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Izšķirošais elements ir vienāds ar (3).
Izšķirošā elementa vietā mēs iegūstam 1, un pašā kolonnā ierakstām nulles.
Visus pārējos matricas elementus, ieskaitot B kolonnas elementus, nosaka taisnstūra noteikums.
Lai to izdarītu, mēs izvēlamies četrus skaitļus, kas atrodas taisnstūra virsotnēs un vienmēr ietver izšķirošo elementu RE.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Izšķirtspējas elements ir (-4).
Izšķirošā elementa vietā mēs iegūstam 1, un pašā kolonnā ierakstām nulles.
Visus pārējos matricas elementus, ieskaitot B kolonnas elementus, nosaka taisnstūra noteikums.
Lai to izdarītu, mēs izvēlamies četrus skaitļus, kas atrodas taisnstūra virsotnēs un vienmēr ietver izšķirošo elementu RE.
Iesniegsim katra elementa aprēķinu tabulas veidā:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Atbilde: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gausa metodes ieviešana

Gausa metode tiek ieviesta daudzās programmēšanas valodās, jo īpaši: Pascal, C++, php, Delphi, un ir arī Gausa metodes tiešsaistes ieviešana.

Izmantojot Gausa metodi

Gausa metodes pielietojums spēļu teorijā

Spēles teorijā, atrodot spēlētāja maksimāli optimālo stratēģiju, tiek sastādīta vienādojumu sistēma, kas tiek atrisināta ar Gausa metodi.

Gausa metodes pielietojums diferenciālvienādojumu risināšanā

Lai atrastu konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, vispirms jāatrod atbilstošas ​​pakāpes atvasinājumi uzrakstītajam daļējam risinājumam (y=f(A,B,C,D)), kurus aizstāj ar sākotnējais vienādojums. Tālāk, lai atrastu mainīgie A,B,C,D vienādojumu sistēma tiek sastādīta un atrisināta pēc Gausa metodes.

Jordano-Gausa metodes pielietojums lineārajā programmēšanā

IN lineārā programmēšana, jo īpaši simpleksa metodē taisnstūra noteikums, kas izmanto Jordano-Gauss metodi, tiek izmantots, lai pārveidotu simpleksa tabulu katrā iterācijā.

Kārlis Frīdrihs Gauss, lielākais matemātiķis ilgu laiku vilcinājās, izvēloties starp filozofiju un matemātiku. Varbūt tieši šī domāšana ļāva viņam iegūt tik ievērojamu “mantojumu” pasaules zinātnē. Jo īpaši, izveidojot "Gausa metodi" ...

Gandrīz 4 gadus raksti šajā vietnē runāja par skolas izglītību, galvenokārt no filozofijas viedokļa, bērnu prātos ieviestajiem (ne)pratības principiem. Pienāk laiks sīkākai specifikai, piemēriem un metodēm... Uzskatu, ka tieši tā ir pieeja pazīstamajam, mulsinošajam un svarīgs dzīves jomas sniedz labākus rezultātus.

Mēs, cilvēki, esam veidoti tā, lai par cik daudz runātu abstraktā domāšana, Bet saprašana Vienmēr notiek caur piemēriem. Ja nav piemēru, tad nav iespējams aptvert principus... Tāpat kā kalna virsotnē nav iespējams nokļūt, izņemot, ejot visu nogāzi no pakājes.

Tas pats ar skolu: pagaidām dzīvi stāsti Nepietiek ar to, ka mēs instinktīvi turpinām to uzskatīt par vietu, kur bērniem māca saprast.

Piemēram, mācot Gausa metodi...

Gausa metode 5. klašu skolā

Ļaujiet man nekavējoties izdarīt atrunu: Gausa metodei ir daudz vairāk plašs pielietojums, piemēram, risinot lineāro vienādojumu sistēmas. Tas, par ko runāsim, notiek 5. klasē. Šis sākās, saprotot, kuru, ir daudz vieglāk saprast “uzlabotākās opcijas”. Šajā rakstā mēs runājam par Gausa metode (metode) rindas summas atrašanai

Šeit ir piemērs, ko atvedu no skolas jaunākais dēls, apmeklējot 5. klasi Maskavas ģimnāzijā.

Gausa metodes demonstrācija skolā

Matemātikas skolotājs izmanto interaktīvā tāfele (modernas metodes apmācība) rādīja bērniem mazā Gausa prezentāciju par “metodes radīšanas” vēsturi.

Skolas skolotājs pātagu mazo Kārli (novecojusi metode, mūsdienās skolās neizmanto), jo viņš

tā vietā, lai secīgi pievienotu skaitļus no 1 līdz 100, atrodiet to summu pamanīja ka skaitļu pāri, kas vienādi izvietoti no aritmētiskās progresijas malām, summējas vienā un tajā pašā skaitā. piemēram, 100 un 1, 99 un 2. Saskaitījis šādu pāru skaitu, mazais Gauss gandrīz acumirklī atrisināja skolotāja piedāvāto uzdevumu. Par ko viņam tika izpildīts nāvessods pārsteigtas publikas priekšā. Lai citi atturētu no domāšanas.

Ko mazais Gauss izdarīja? izstrādāta skaitļu izjūta? Pamanīts kādu funkciju skaitļu rindas ar nemainīgu soli (aritmētiskā progresija). UN tieši šis vēlāk padarīja viņu par izcilu zinātnieku, spēj pamanīt, kam sajūta, izpratnes instinkts.

Tāpēc matemātika ir vērtīga, attīstoša spēja redzēt vispārīgi jo īpaši - abstraktā domāšana . Tāpēc lielākā daļa vecāku un darba devēju instinktīvi uzskata matemātiku par svarīgu disciplīnu ...

“Tad jāmāca matemātika, jo tā sakārto prātu.
M.V.Lomonosovs".

Tomēr to sekotāji, kuri ar stieņiem pērti topošos ģēnijus, pārvērta metodi par kaut ko pretēju. Kā mans draugs teica pirms 35 gadiem zinātniskais padomnieks: "Viņi ir iegaumējuši jautājumu." Vai kā mans jaunākais dēls vakar teica par Gausa metodi: "Varbūt nav vērts no tā taisīt lielu zinātni, vai ne?"

“Zinātnieku” radošuma sekas ir redzamas pašreizējās skolas matemātikas līmenī, tās mācīšanas līmenī un vairākuma izpratnē par “Zinātņu karalieni”.

Tomēr turpināsim...

Gausa metodes skaidrošanas metodes 5. klašu skolā

Matemātikas skolotājs Maskavas ģimnāzijā, skaidrojot Gausa metodi pēc Viļenkina, sarežģīja uzdevumu.

Ko darīt, ja aritmētiskās progresijas starpība (solis) ir nevis viens, bet cits skaitlis? Piemēram, 20.

Problēma, ko viņš uzdeva piektklasniekiem:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Pirms iepazīšanās ar ģimnāzijas metodi, ielūkosimies internetā: kā to dara skolas skolotāji un matemātikas pasniedzēji?...

Gausa metode: skaidrojums Nr.1

Pazīstams pasniedzējs savā YOUTUBE kanālā sniedz šādu argumentāciju:

"Rakstīsim skaitļus no 1 līdz 100 šādi:

vispirms skaitļu virkne no 1 līdz 50 un stingri zem tās vēl viena skaitļu sērija no 50 līdz 100, bet apgrieztā secībā"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Lūdzu, ņemiet vērā: katra skaitļu pāra summa no augšējās un apakšējās rindas ir vienāda un ir vienāda ar 101! Saskaitīsim pāru skaitu, tas ir 50, un reizinim viena pāra summu ar pāru skaitu! Voila: The atbilde ir gatava!"

"Ja nevarējāt saprast, nebēdājiet!" skolotājs paskaidrojuma laikā atkārtoja trīs reizes. "Šo metodi tu izmantosi 9. klasē!"

Gausa metode: skaidrojums Nr.2

Cits, mazāk pazīstams pasniedzējs (spriežot pēc skatījumu skaita), izmanto zinātniskāku pieeju, piedāvājot risinājuma algoritmu ar 5 punktiem, kas jāizpilda secīgi.

Nezinātājiem 5 ir viens no Fibonači skaitļiem, ko tradicionāli uzskata par maģiskiem. 5 pakāpju metode vienmēr ir zinātniskāka par, piemēram, 6 pakāpju metodi. ...Un diez vai tā ir nejaušība, visticamāk, Autors ir slēpts Fibonači teorijas atbalstītājs

Dana aritmētiskā progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritms skaitļu summas noteikšanai sērijā, izmantojot Gausa metodi:

1. darbība: pārrakstiet doto skaitļu secību apgrieztā secībā, tieši tā zem pirmā.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

2. darbība: aprēķiniet skaitļu pāru summu, kas atrodas vertikālās rindās: 260.

3. darbība: saskaitiet, cik šādu pāru ir skaitļu sērijā. Lai to izdarītu, no skaitļu sērijas maksimālā skaita atņemiet minimumu un izdaliet ar soļa lielumu: (256 - 4) / 6 = 42.

Tajā pašā laikā jums ir jāatceras plus viens noteikums : iegūtajam koeficientam jāpievieno viens: pretējā gadījumā mēs iegūsim rezultātu, kas ir par vienu mazāks par patieso pāru skaitu: 42 + 1 = 43.

4. darbība: reiziniet viena skaitļu pāra summu ar pāru skaitu: 260 x 43 = 11 180

5. solis: tā kā mēs esam aprēķinājuši summu skaitļu pāri, tad iegūtā summa jādala ar diviem: 11 180 / 2 = 5590.

Tā ir vajadzīgā aritmētiskās progresijas summa no 4 līdz 256 ar starpību 6!

Gausa metode: skaidrojums 5. klasē Maskavas ģimnāzijā

Lūk, kā atrisināt virknes summas atrašanas problēmu:

20+40+60+ ... +460+480+500

Maskavas ģimnāzijas 5. klasē Viļenkina mācību grāmata (pēc mana dēla teiktā).

Pēc prezentācijas parādīšanas matemātikas skolotājs parādīja pāris piemērus, izmantojot Gausa metodi, un deva klasei uzdevumu atrast skaitļu summu virknē ar soli pa 20.

Tas prasīja sekojošo:

1. darbība: noteikti pierakstiet piezīmju grāmatiņā visus sērijas numurus no 20 līdz 500 (ar soli 20).

2. darbība: pierakstiet secīgus terminus - skaitļu pārus: pirmais ar pēdējo, otrais ar priekšpēdējo utt. un aprēķināt to summas.

3. darbība: aprēķiniet “summu summu” un atrodiet visas sērijas summu.

Kā redzat, tas ir kompaktāks un efektīva tehnika: numurs 3 ir arī Fibonači secības dalībnieks

Mani komentāri par Gausa metodes skolas versiju

Lielais matemātiķis noteikti būtu izvēlējies filozofiju, ja būtu paredzējis, par kādu viņa “metodi” pārvērtīs viņa sekotāji vācu valodas skolotāja, kurš Kārli pērti ar stieņiem. Viņš būtu redzējis “skolotāju” simboliku, dialektisko spirāli un nemirstīgo stulbumu, mēģinot izmērīt dzīvās matemātiskās domas harmoniju ar pārpratumu algebru ....

Starp citu: vai tu zināji. ka mūsu izglītības sistēma sakņojas 18. un 19. gadsimta vācu skolā?

Bet Gauss izvēlējās matemātiku.

Kāda ir viņa metodes būtība?

IN vienkāršošana. IN vērojot un satverot vienkārši skaitļu modeļi. IN pārvēršot sauso skolas aritmētiku interesanta un aizraujoša darbība , aktivizējot smadzenēs vēlmi turpināt, nevis bloķējot augstas izmaksas garīgo darbību.

Vai ir iespējams izmantot kādu no dotajām “Gausa metodes modifikācijām”, lai aprēķinātu gandrīz aritmētiskās progresijas skaitļu summu uzreiz? Saskaņā ar “algoritmiem” mazais Kārlis noteikti izvairīsies no pēriena, attīstīs nepatiku pret matemātiku un nomāc savus radošos impulsus jau pašā sākumā.

Kāpēc audzinātāja tik neatlaidīgi ieteica piektklasniekiem metodes “nebaidīties no pārpratuma”, pārliecinot, ka “šādas” problēmas risinās jau 9. klasē? Psiholoģiski analfabēta rīcība. Tas bija labs solis, ko atzīmēt: "Uz redzēšanos jau 5. klasē var atrisiniet problēmas, kuras pabeigsiet tikai 4 gadu laikā! Kāds tu esi lielisks puisis!”

Lai izmantotu Gausa metodi, pietiek ar 3. līmeni, kad normāli bērni jau prot saskaitīt, reizināt un dalīt 2-3 ciparu skaitļus. Problēmas rodas pieaugušo skolotāju nespējas, “neiesaistīšanās” dēļ, parastā cilvēku valodā izskaidrot visvienkāršākās lietas, nemaz nerunājot par matemātiku... Viņi nespēj ieinteresēt cilvēkus par matemātiku un pilnībā atturēt pat “spējīgos”.

Vai arī, kā komentēja mans dēls: "izveidot no tā lielu zinātni."

Kā iekšā vispārējs gadījums) noskaidrot, kurš skaitlis jāizmanto, lai “paplašinātu” skaitļu ierakstu metodē Nr.1?

Ko darīt, ja sērijas dalībnieku skaits izrādās nepāra?

Kāpēc pārvērst par “Noteikumu Plus 1” kaut ko tādu, ko bērns varētu vienkārši mācīties pat pirmajā klasē, ja man būtu izveidojusies “skaitļu izjūta”, un neatcerējās"skaitīt līdz desmit"?

Un visbeidzot: kur ir pazudusi ZERO, izcils izgudrojums, kas ir vairāk nekā 2000 gadus vecs un kuru mūsdienu matemātikas skolotāji izvairās izmantot?!

Gausa metode, mani skaidrojumi

Mēs ar sievu šo “metodi” savam bērnam skaidrojām, šķiet, vēl pirms skolas...

Vienkāršība sarežģītības vietā vai jautājumu un atbilžu spēle

"Redzi, šeit ir skaitļi no 1 līdz 100. Ko jūs redzat?"

Lieta nav tajā, ko tieši bērns redz. Triks ir likt viņam paskatīties.

"Kā jūs varat tos salikt kopā?" Dēls saprata, ka šādus jautājumus neuzdod “tāpat” un uz jautājumu jāskatās “kaut kā savādāk, savādāk, nekā viņš parasti dara”

Nav svarīgi, vai bērns uzreiz redz risinājumu, tas ir maz ticams. Ir svarīgi, lai viņš pārstāja baidīties skatīties vai, kā es saku: “pārvietoja uzdevumu”. Tas ir izpratnes ceļa sākums

"Kas ir vieglāk: pievienot, piemēram, 5 un 6 vai 5 un 95?" Vadošais jautājums... Bet jebkura apmācība ir saistīta ar cilvēka “vadīšanu” līdz “atbildei” – jebkurā viņam pieņemamā veidā.

Šajā posmā jau var rasties minējumi par to, kā “taupīt” aprēķinos.

Viss, ko mēs darījām, bija mājiens: “frontālā, lineārā” skaitīšanas metode nav vienīgā iespējamā. Ja bērns to saprot, tad vēlāk viņš nāks klajā ar daudz vairāk šādu metožu, jo tas ir interesanti!!! Un viņš noteikti izvairīsies no matemātikas “pārpratumiem” un nejutīsies pret to riebīgi. Viņš ieguva uzvaru!

Ja bērns atklāts ka skaitļu pāru pievienošana, kas kopā veido simtu, ir vienkārša lieta "aritmētiskā progresija ar starpību 1"- diezgan drūma un bērnam neinteresanta lieta - pēkšņi atrada viņam dzīvību . Kārtība radās no haosa, un tas vienmēr izraisa entuziasmu: tā mēs esam radīti!

Jautājums, uz kuru jāatbild: kāpēc pēc bērna saņemtā ieskata viņš atkal jāiedzen sauso algoritmu rāmjos, kas arī šajā gadījumā ir funkcionāli bezjēdzīgi?!

Kāpēc piespiest stulbus pārrakstīt? kārtas numuri piezīmju grāmatiņā: lai pat spējīgajiem nebūtu ne mazākās iespējas saprast? Statistiski, protams, bet masu izglītība ir vērsta uz “statistiku”...

Kur pazuda nulle?

Un tomēr skaitļu saskaitīšana, kas saskaita 100, prātam ir daudz pieņemamāka nekā skaitļu pievienošana 101...

"Gausa skolas metode" prasa tieši šo: neprātīgi salocīt skaitļu pāri, kas atrodas vienādā attālumā no progresijas centra, Par spīti visam.

Ja paskatās?

Tomēr nulle ir lielākais cilvēces izgudrojums, kas ir vairāk nekā 2000 gadus vecs. Un matemātikas skolotāji turpina viņu ignorēt.

Daudz vienkāršāk ir pārveidot skaitļu virkni, kas sākas ar 1, par sēriju, kas sākas ar 0. Summa nemainīsies, vai ne? Jābeidz “domāt mācību grāmatās” un jāsāk meklēt... Un redziet, ka pārus ar summu 101 var pilnībā aizstāt ar pāriem ar summu 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kā atcelt "plus 1 noteikumu"?

Godīgi sakot, pirmo reizi par šādu noteikumu dzirdēju no tā YouTube pasniedzēja...

Kas man joprojām jādara, ja man ir jānosaka sērijas dalībnieku skaits?

Es skatos secību:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

un, kad esat pilnīgi noguris, pārejiet uz vienkāršāku rindu:

1, 2, 3, 4, 5

un es domāju: ja jūs atņemat vienu no 5, jūs saņemat 4, bet man ir pilnīgi skaidrs ES redzu 5 cipari! Tāpēc jums ir jāpievieno viens! gadā attīstījās skaitļu izjūta pamatskola, iesaka: pat ja sērijas dalībnieku ir vesels Google (10 līdz simtajai pakāpei), modelis paliks nemainīgs.

Kādi pie velna noteikumi?..

Lai pēc pāris gadiem aizpildītu visu vietu starp pieri un pakausi un beigtu domāt? Kā nopelnīt savu maizi un sviestu? Galu galā, mēs vienmērīgi virzāmies uz digitālās ekonomikas laikmetu!

Vairāk par Gausa skolas metodi: "kāpēc no tā veidot zinātni?..."

Ne velti es ievietoju ekrānuzņēmumu no sava dēla piezīmju grāmatiņas...

"Kas notika klasē?"

“Nu, es uzreiz skaitīju, pacēlu roku, bet viņa nejautāja, tāpēc, kamēr pārējie skaitīja, es sāku pildīt mājas darbus krieviski, lai netērētu laiku (? ??), viņa aicināja mani uz dēli, es teicu atbildi.

"Tieši tā, parādiet man, kā jūs to atrisinājāt," sacīja skolotājs. Es to parādīju. Viņa teica: "Nepareizi, jums ir jāskaita, kā es parādīju!"

"Tas ir labi, ka viņa man nelika sliktu atzīmi, un viņa lika man savā veidā ierakstīt "risinājuma gaitu". Kāpēc no tā veidot lielu zinātni.

Matemātikas skolotāja galvenais noziegums

Diez vai pēc tas incidents Karls Gauss piedzīvoja augstu cieņas sajūtu pret savu skolas matemātikas skolotāju. Bet ja viņš zinātu, kā šī skolotāja sekotāji izkropļo pati metodes būtību...viņš rēktu aiz sašutuma un caur Pasaules organizāciju intelektuālais īpašums WIPO ir panākusi aizliegumu skolas mācību grāmatās izmantot savu godīgo nosaukumu!...

Kādā galvenā kļūda skolas pieeja? Vai, kā es izteicos, skolas matemātikas skolotāju noziegums pret bērniem?

Pārpratuma algoritms

Ko dara skolu metodiķi, no kuriem lielākā daļa neprot domāt?

Viņi veido metodes un algoritmus (sk.). Šis aizsardzības reakcija, kas pasargā skolotājus no kritikas (“Viss tiek darīts pēc...”) un bērnus no sapratnes. Un līdz ar to - no vēlmes kritizēt skolotājus!(Otrs birokrātiskās “gudrības” atvasinājums, zinātniska pieeja problēmai). Cilvēks, kurš nesaprot jēgu, drīzāk vainos savu neizpratni, nevis skolas sistēmas stulbumu.

Tā notiek: vecāki vaino savus bērnus, bet skolotāji... dara to pašu bērniem, kuri "nesaprot matemātiku!"

Vai tu esi gudrs?

Ko mazais Kārlis darīja?

Pilnīgi netradicionāla pieeja formulas uzdevumam. Tā ir Viņa pieejas būtība. Šis galvenais, kas jāmāca skolā, ir domāt nevis ar mācību grāmatām, bet ar galvu. Protams, ir arī instrumentālā sastāvdaļa, ko var izmantot... meklējumos vienkāršāk un efektīvas metodes konti.

Gausa metode pēc Viļenkina

Skolā viņi māca, ka Gausa metode ir

pāros atrast skaitļu summu vienādā attālumā no skaitļu sērijas malām, noteikti sākot no malām!

atrast šādu pāru skaitu utt.

Kas, ja sērijas elementu skaits ir nepāra, kā problēmā, kas tika uzdota manam dēlam?..

"Nozveja" ir tā šajā gadījumā nepieciešams noteikt sērijas “papildu” numuru un pievienojiet to pāru summai. Mūsu piemērā šis skaitlis ir 260.

Kā noteikt? Visu skaitļu pāru kopēšana piezīmju grāmatiņā!(Tāpēc skolotājs lika bērniem darīt šo muļķīgo darbu, mēģinot mācīt "radošumu", izmantojot Gausa metodi... Un tāpēc šāda "metode" praktiski nav piemērojama lielām datu sērijām, UN tāpēc tā ir nevis Gausa metode.)

Mazliet radošuma skolas gaitās...

Dēls rīkojās savādāk.

Vispirms viņš atzīmēja, ka ir vieglāk reizināt skaitli 500, nevis 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Tad viņš aprēķināja: soļu skaits izrādījās nepāra: 500 / 20 = 25.

Tad viņš sērijas sākumam pievienoja NULLI (lai gan bija iespēja atmest sērijas pēdējo termiņu, kas arī nodrošinātu paritāti) un pievienoja skaitļus, kas kopā dod 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 soļi ir 13 pāri "pieci simti": 13 x 500 = 6500...

Ja atmetām sērijas pēdējo termiņu, tad pāri būs 12, taču nevajadzētu aizmirst aprēķinu rezultātam pievienot “izmestos” pieci simti. Pēc tam: (12 x 500) + 500 = 6500!

Nav grūti, vai ne?

Bet praksē tas ir padarīts vēl vienkāršāks, kas ļauj attālinātajai izpētei krievu valodā atvēlēt 2-3 minūtes, bet pārējās "skaita". Turklāt tas saglabā metodes soļu skaitu: 5, kas neļauj kritizēt pieeju par nezinātnisku.

Acīmredzot šī pieeja ir vienkāršāka, ātrāka un universālāka Metodes stilā. Bet... skolotāja ne tikai neslavēja, bet arī piespieda pārrakstīt “pareizi” (skat. screenshot). Tas ir, viņa izmisīgi mēģināja apslāpēt radošo impulsu un spēju saprast matemātiku pašā saknē! Acīmredzot, lai vēlāk viņu varētu pieņemt darbā par pasniedzēju... Viņa uzbruka nepareizajam...

Visu, ko es tik ilgi un garlaicīgi aprakstīju, var izskaidrot normālam bērnam maksimāli pusstundas laikā. Kopā ar piemēriem.

Un tā, lai viņš to nekad neaizmirstu.

Un tā arī būs solis uz izpratni...ne tikai matemātiķi.

Atzīstiet: cik reizes savā dzīvē esat pievienojis, izmantojot Gausa metodi? Un es nekad to nedarīju!

Bet izpratnes instinkts, kas attīstās (vai tiek dzēsts) mācību procesā matemātiskās metodes skolā... Ak!.. Tā tiešām ir neaizvietojama lieta!

Īpaši universālās digitalizācijas laikmetā, kurā esam klusi iegājuši stingrā partijas un valdības vadībā.

Daži vārdi skolotāju aizstāvībai...

Ir negodīgi un nepareizi visu atbildību par šo mācīšanas stilu uzlikt tikai skolu skolotājiem. Sistēma ir spēkā.

Dažas skolotāji saprot notiekošā absurdu, bet ko darīt? Izglītības likums, federālie valsts izglītības standarti, metodes, tehnoloģiskās kartes nodarbības... Viss jādara “saskaņā un uz tā pamata” un viss ir jādokumentē. Paej malā - stāvēja rindā, lai tiktu atlaists. Nebūsim liekuļi: Maskavas skolotāju algas ir ļoti labas... Ja viņi tevi atlaiž, kur iet?

Tāpēc šī vietne ne par izglītību. Viņš ir apmēram individuālā izglītība, tikai iespējamais veids izkļūt no pūļa Z paaudze ...

Šajā rakstā šī metode ir aplūkota kā metode lineāro vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai. Metode ir analītiska, tas ir, ļauj ierakstīt risinājuma algoritmu vispārējs skats, un pēc tam aizstājiet vērtības no konkrētiem tur esošajiem piemēriem. Atšķirībā no matricas metodes vai Krāmera formulām, risinot lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, var strādāt arī ar tiem, kuriem ir bezgalīgs atrisinājumu skaits. Vai arī viņiem tā vispār nav.

Ko nozīmē atrisināt, izmantojot Gausa metodi?

Pirmkārt, mums ir jāuzraksta mūsu vienādojumu sistēma sadaļā Tas izskatās šādi. Paņemiet sistēmu:

Koeficientus raksta tabulas veidā, bet brīvos terminus raksta atsevišķā kolonnā labajā pusē. Ērtības labad kolonna ar brīviem elementiem ir atdalīta. Matrica, kas ietver šo kolonnu, tiek saukta par paplašināto.

Tālāk galvenā matrica ar koeficientiem jāsamazina līdz augšējai trīsstūra formai. Tas ir galvenais punkts sistēmas risināšanā, izmantojot Gausa metodi. Vienkārši sakot, pēc noteiktām manipulācijām matricai vajadzētu izskatīties tā, lai tās apakšējā kreisajā daļā būtu tikai nulles:

Pēc tam, ja jauno matricu uzrakstīsit vēlreiz kā vienādojumu sistēmu, pamanīsit, ka pēdējā rindā jau ir vienas saknes vērtība, kas pēc tam tiek aizstāta ar augstāk esošo vienādojumu, tiek atrasta cita sakne utt.

Šis ir risinājuma apraksts ar Gausa metodi vispārīgs izklāsts. Kas notiek, ja pēkšņi sistēmai nav risinājuma? Vai arī to ir bezgala daudz? Lai atbildētu uz šiem un daudziem citiem jautājumiem, ir atsevišķi jāapsver visi Gausa metodes risināšanā izmantotie elementi.

Matricas, to īpašības

Nav slēpta nozīme nav matricā. Tas ir vienkārši ērts veids, kā ierakstīt datus turpmākajām darbībām ar to. Pat skolniekiem no viņiem nav jābaidās.

Matrica vienmēr ir taisnstūrveida, jo tā ir ērtāka. Pat Gausa metodē, kur viss ir atkarīgs no matricas konstruēšanas pēc izskata trīsstūrveida, ierakstā ir taisnstūris, tikai ar nullēm vietā, kur nav skaitļu. Nulles var nerakstīt, bet tās ir netiešas.

Matricai ir izmērs. Tā “platums” ir rindu skaits (m), “garums” ir kolonnu skaits (n). Tad matricas A izmērs (to apzīmēšanai parasti izmanto lielos burtus) vēstules) tiks apzīmēts kā A m × n. Ja m = n, tad šī matrica ir kvadrātveida, un m = n ir tās secība. Attiecīgi jebkuru matricas A elementu var apzīmēt ar tā rindu un kolonnu numuriem: a xy ; x - rindas numurs, izmaiņas, y - kolonnas numurs, izmaiņas.

B nav lēmuma galvenais punkts. Principā visas darbības var veikt tieši ar pašiem vienādojumiem, taču apzīmējums būs daudz apgrūtinošāks, un tajā būs daudz vieglāk apjukt.

Noteicējs

Matricai ir arī determinants. Tas ir ļoti svarīga īpašība. Tagad nav nepieciešams noskaidrot tā nozīmi, jūs varat vienkārši parādīt, kā tas tiek aprēķināts, un pēc tam pastāstīt, kādas matricas īpašības tā nosaka. Vienkāršākais veids, kā atrast noteicēju, ir caur diagonālēm. Matricā tiek ievilktas iedomātas diagonāles; elementi, kas atrodas uz katra no tiem, tiek reizināti, un pēc tam tiek pievienoti iegūtie produkti: diagonāles ar slīpumu pa labi - ar plus zīmi, ar slīpumu pa kreisi - ar mīnusa zīmi.

Ir ārkārtīgi svarīgi atzīmēt, ka determinantu var aprēķināt tikai kvadrātveida matricai. Taisnstūra matricai var rīkoties šādi: izvēlēties mazāko no rindu skaita un kolonnu skaita (lai tas būtu k) un pēc tam nejauši atzīmēt matricā k kolonnas un k rindas. Elementi, kas atrodas atlasīto kolonnu un rindu krustpunktā, veidos jaunu kvadrātveida matricu. Ja šādas matricas determinants ir skaitlis, kas nav nulle, to sauc par sākotnējās taisnstūra matricas pamata minoru.

Pirms vienādojumu sistēmas risināšanas, izmantojot Gausa metodi, nav slikti aprēķināt determinantu. Ja izrādās, ka tā ir nulle, tad uzreiz varam teikt, ka matricai ir vai nu bezgalīgi daudz atrisinājumu, vai arī tādu nav vispār. Šādā skumjā gadījumā jums jāiet tālāk un jānoskaidro matricas rangs.

Sistēmas klasifikācija

Ir tāda lieta kā matricas rangs. Šis maksimālais pasūtījums tā noteicošais faktors, kas atšķiras no nulles (ja atceramies par pamata minoru, mēs varam teikt, ka matricas rangs ir pamata minora secība).

Pamatojoties uz situāciju ar rangu, SLAE var iedalīt:

• Locītava. U Apvienotajās sistēmās galvenās matricas rangs (sastāv tikai no koeficientiem) sakrīt ar paplašinātās matricas rangu (ar brīvo terminu kolonnu). Šādām sistēmām ir risinājums, bet ne vienmēr viens, tāpēc savienojumu sistēmas papildus iedala:
• - noteikti- ar vienu risinājumu. Noteiktās sistēmās matricas rangs un nezināmo skaits (vai kolonnu skaits, kas ir viens un tas pats) ir vienādi;
• - nenoteikts - ar bezgalīgu skaitu risinājumu. Matricu rangs šādās sistēmās ir mazāks par nezināmo skaitu.
• Nesaderīgs. UŠādās sistēmās galvenās un paplašinātās matricas rindas nesakrīt. Nesaderīgām sistēmām nav risinājuma.

Gausa metode ir laba, jo risinājuma laikā tā ļauj iegūt vai nu nepārprotamu sistēmas nekonsekvences pierādījumu (neaprēķinot lielu matricu determinantus), vai arī risinājumu vispārīgā formā sistēmai ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu.

Elementāras pārvērtības

Pirms turpināt tieši sistēmas risināšanu, varat padarīt to mazāk apgrūtinošu un ērtāku aprēķiniem. Tas tiek panākts ar elementārām transformācijām – tādām, lai to īstenošana galīgo atbildi nekādā veidā nemaina. Jāatzīmē, ka dažas no dotajām elementārpārveidojumiem ir derīgas tikai matricām, kuru avots bija SLAE. Šeit ir šo transformāciju saraksts:

1. Līniju pārkārtošana. Acīmredzot, ja mainīsit vienādojumu secību sistēmas ierakstā, tas nekādā veidā neietekmēs risinājumu. Līdz ar to šīs sistēmas matricas rindas var arī samainīt, protams, neaizmirstot arī brīvo terminu kolonnu.
2. Visu virknes elementu reizināšana ar noteiktu koeficientu. Ļoti izpalīdzīgs! To var izmantot, lai saīsinātu lieli cipari matricā vai noņemiet nulles. Daudzi lēmumi, kā parasti, nemainīsies, bet turpmākās operācijas tas kļūs ērtāks. Galvenais, lai koeficients nebūtu vienāds ar nulli.
3. Rindas ar proporcionāliem koeficientiem noņemšana. Tas daļēji izriet no iepriekšējās rindkopas. Ja matricā divām vai vairākām rindām ir proporcionālie koeficienti, tad vienu no rindām reizinot/dalot ar proporcionalitātes koeficientu, iegūst divas (vai atkal vairāk) absolūti identiskas rindas, un liekās var noņemt, atstājot tikai viens.
4. Nulles rindas noņemšana. Ja transformācijas laikā kaut kur tiek iegūta rinda, kurā visi elementi, ieskaitot brīvo terminu, ir nulle, tad šādu rindu var nosaukt par nulli un izmest no matricas.
5. Vienas rindas elementiem pievienojot citas rindas elementus (attiecīgajās kolonnās), reizinot ar noteiktu koeficientu. Visneredzamākā un vissvarīgākā transformācija. Ir vērts pie tā pakavēties sīkāk.

Virknes pievienošana, kas reizināta ar koeficientu

Lai atvieglotu izpratni, ir vērts soli pa solim sadalīt šo procesu. No matricas tiek ņemtas divas rindas:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pieņemsim, ka jums ir jāpievieno pirmais otrajam, reizināts ar koeficientu "-2".

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2 × a 1n

Tad otrā rinda matricā tiek aizstāta ar jaunu, un pirmā paliek nemainīga.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Jāņem vērā, ka reizināšanas koeficientu var izvēlēties tā, lai divu rindu saskaitīšanas rezultātā viens no jaunās rindas elementiem būtu vienāds ar nulli. Līdz ar to ir iespējams iegūt vienādojumu sistēmā, kurā būs par vienu nezināmo mazāk. Un, ja jūs iegūstat divus šādus vienādojumus, tad darbību var veikt vēlreiz un iegūt vienādojumu, kurā būs par diviem nezināmajiem mazāk. Un, ja katru reizi, kad jūs pārvēršat vienu koeficientu par nulli visām rindām, kas atrodas zem sākotnējās, varat, tāpat kā kāpnes, nokāpt līdz matricas apakšai un iegūt vienādojumu ar vienu nezināmo. To sauc par sistēmas atrisināšanu, izmantojot Gausa metodi.

Vispār

Lai ir sistēma. Tam ir m vienādojumi un n nezināmas saknes. Varat to uzrakstīt šādi:

Galvenā matrica tiek sastādīta no sistēmas koeficientiem. Paplašinātajai matricai tiek pievienota brīvo terminu kolonna un ērtības labad atdalīta ar līniju.

• pirmo matricas rindu reizina ar koeficientu k = (-a 21 /a 11);
• tiek pievienota matricas pirmā modificētā rinda un otrā rinda;
• otrās rindas vietā matricā tiek ievietots iepriekšējās rindkopas papildinājuma rezultāts;
• tagad pirmais koeficients iekšā jauna otrā līnija ir a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Tagad tiek veikta tā pati transformāciju sērija, ir iesaistīta tikai pirmā un trešā rinda. Attiecīgi katrā algoritma solī elements a 21 tiek aizstāts ar 31. Tad viss atkārtojas 41, ... a m1. Rezultāts ir matrica, kurā pirmais elements rindās ir nulle. Tagad jums ir jāaizmirst par pirmo rindu un jāveic tas pats algoritms, sākot no otrās rindas:

• koeficients k = (-a 32 /a 22);
• otrā modificētā rinda tiek pievienota “pašreizējai” rindai;
• pievienošanas rezultāts tiek aizstāts ar trešo, ceturto un tā tālāk, bet pirmā un otrā rinda paliek nemainīga;
• matricas rindās pirmie divi elementi jau ir vienādi ar nulli.

Algoritms jāatkārto, līdz parādās koeficients k = (-a m,m-1 /a mm). Tas nozīmē, ka iekš pēdējo reizi algoritms tika veikts tikai zemākajam vienādojumam. Tagad matrica izskatās kā trīsstūris vai tai ir pakāpeniska forma. Apakšējā rindā ir vienādība a mn × x n = b m. Ir zināms koeficients un brīvais termins, un caur tiem tiek izteikta sakne: x n = b m /a mn. Iegūtā sakne tiek aizstāta ar augšējo līniju, lai atrastu x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Un tā tālāk pēc analoģijas: katrā nākamajā rindā ir jauna sakne, un, sasniedzot sistēmas “augšupusi”, jūs varat atrast daudz risinājumu. Tā būs vienīgā.

Kad nav risinājumu

Ja vienā no matricas rindām visi elementi, izņemot brīvo terminu, ir vienādi ar nulli, tad šai rindai atbilstošais vienādojums izskatās kā 0 = b. Tam nav risinājuma. Un tā kā šāds vienādojums ir iekļauts sistēmā, tad visas sistēmas risinājumu kopa ir tukša, tas ir, tā ir deģenerēta.

Kad risinājumu ir bezgalīgi daudz

Var gadīties, ka dotajā trīsstūrveida matricā nav rindu ar vienu vienādojuma koeficienta elementu un vienu brīvu terminu. Ir tikai rindas, kuras, pārrakstot, izskatītos kā vienādojums ar diviem vai vairākiem mainīgajiem. Tas nozīmē, ka sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Šajā gadījumā atbildi var sniegt vispārīga risinājuma veidā. Kā to izdarīt?

Visi matricas mainīgie ir sadalīti pamata un brīvajos. Pamata ir tie, kas stāv "uz malas" rindu soļu matricā. Pārējie ir bez maksas. Vispārējā risinājumā pamata mainīgie tiek rakstīti caur brīvajiem.

Ērtības labad matrica vispirms tiek pārrakstīta atpakaļ vienādojumu sistēmā. Tad pēdējā no tām, kur tieši ir palicis tikai viens pamata mainīgais, tas paliek vienā pusē, un viss pārējais tiek pārnests uz otru. Tas tiek darīts katram vienādojumam ar vienu pamata mainīgo. Tad atlikušajos vienādojumos, kur iespējams, pamata mainīgā vietā tiek aizstāta ar to iegūtā izteiksme. Ja rezultāts atkal ir izteiksme, kas satur tikai vienu pamata mainīgo, tas tiek izteikts no turienes un tā tālāk, līdz katrs pamata mainīgais tiek uzrakstīts kā izteiksme ar brīviem mainīgajiem. Tā tas ir kopīgs lēmums SLAU.

Varat arī atrast sistēmas pamatrisinājumu - dot brīvajiem mainīgajiem jebkuras vērtības un pēc tam konkrētajam gadījumam aprēķināt pamata mainīgo vērtības. Var sniegt bezgalīgi daudz konkrētu risinājumu.

Risinājums ar konkrētiem piemēriem

Šeit ir vienādojumu sistēma.

Ērtības labad labāk ir nekavējoties izveidot tā matricu

Ir zināms, ka, risinot ar Gausa metodi, pirmajai rindai atbilstošais vienādojums transformāciju beigās paliks nemainīgs. Tāpēc būs izdevīgāk, ja matricas augšējais kreisais elements ir mazākais - tad atlikušo rindu pirmie elementi pēc operācijām kļūs par nulli. Tas nozīmē, ka sastādītajā matricā pirmās rindas vietā būs izdevīgi likt otro rindu.

otrā rinda: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trešā rinda: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Tagad, lai neapjuktu, jāpieraksta matrica ar pārveidojumu starprezultātiem.

Acīmredzot šādu matricu var padarīt ērtāku uztverei, izmantojot noteiktas darbības. Piemēram, jūs varat noņemt visus "mīnusus" no otrās rindas, reizinot katru elementu ar "-1".

Ir arī vērts atzīmēt, ka trešajā rindā visi elementi ir trīs reizes. Pēc tam jūs varat saīsināt virkni ar šo skaitli, reizinot katru elementu ar "-1/3" (mīnus - tajā pašā laikā, lai noņemtu negatīvās vērtības).

Izskatās daudz jaukāk. Tagad mums ir jāatstāj pirmā rinda atsevišķi un jāstrādā ar otro un trešo. Uzdevums ir pievienot otro rindu trešajai rindai, reizinot ar tādu koeficientu, ka elements a 32 kļūst vienāds ar nulli.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ja dažu transformāciju laikā atbilde neizrādās vesels skaitlis, ieteicams saglabāt aprēķinu precizitāti, lai atstātu tas “kā ir”, formā kopējā frakcija, un tikai pēc tam, kad būs saņemtas atbildes, izlemiet, vai noapaļot un konvertēt uz citu ierakstīšanas veidu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica atkal tiek uzrakstīta ar jaunām vērtībām.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kā redzat, iegūtajai matricai jau ir pakāpju forma. Tāpēc turpmākas sistēmas transformācijas, izmantojot Gausa metodi, nav nepieciešamas. Ko šeit var izdarīt, ir noņemt no trešās rindas kopējais koeficients "-1/7".

Tagad viss ir skaisti. Atliek tikai vēlreiz uzrakstīt matricu vienādojumu sistēmas veidā un aprēķināt saknes

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 g + 11z = 24 (2)

Algoritmu, ar kuru tagad tiks atrastas saknes, Gausa metodē sauc par apgriezto kustību. Vienādojums (3) satur z vērtību:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

Un pirmais vienādojums ļauj mums atrast x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Mums ir tiesības saukt šādu sistēmu par kopīgu un pat noteiktu, tas ir, ar unikālu risinājumu. Atbilde ir uzrakstīta šādā formā:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Nenoteiktas sistēmas piemērs

Izanalizēts variants noteiktas sistēmas risināšanai ar Gausa metodi, tagad ir jāizskata gadījums, kad sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai var atrast bezgalīgi daudz risinājumu.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Pats sistēmas izskats jau ir satraucošs, jo nezināmo skaits ir n = 5, un sistēmas matricas rangs jau ir tieši mazāks par šo skaitli, jo rindu skaits ir m = 4, tas ir, determinanta kvadrāta augstākā secība ir 4. Tas nozīmē, ka ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, un jums ir jāmeklē tā vispārējais izskats. Lineāro vienādojumu Gausa metode ļauj to izdarīt.

Vispirms, kā parasti, tiek apkopota paplašināta matrica.

Otrā rinda: koeficients k = (-a 21 /a 11) = -3. Trešajā rindā pirmais elements ir pirms transformācijām, tāpēc jums nav jāpieskaras nekam, jums tas ir jāatstāj tāds, kāds ir. Ceturtā rinda: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Reizinot pirmās rindas elementus pēc kārtas ar katru to koeficientu un saskaitot tos vajadzīgajām rindām, iegūstam šādas formas matricu:

Kā redzat, otrā, trešā un ceturtā rinda sastāv no elementiem, kas ir proporcionāli viens otram. Otrais un ceturtais parasti ir identisks, tāpēc vienu no tiem var nekavējoties noņemt, bet atlikušo var reizināt ar koeficientu “-1” un iegūt rindas numuru 3. Un atkal no divām identiskām rindām atstājiet vienu.

Rezultāts ir šāda matrica. Kamēr sistēma vēl nav pierakstīta, šeit ir jānosaka pamata mainīgie - tie, kas ir pie koeficientiem a 11 = 1 un a 22 = 1, un brīvie - visi pārējie.

Otrajā vienādojumā ir tikai viens pamata mainīgais - x 2. Tas nozīmē, ka to var izteikt no turienes, ierakstot to caur mainīgajiem x 3 , x 4 , x 5 , kas ir brīvi.

Mēs aizstājam iegūto izteiksmi ar pirmo vienādojumu.

Rezultātā tiek iegūts vienādojums, kurā vienīgais pamata mainīgais ir x 1 . Darīsim ar to tāpat kā ar x 2.

Visi pamata mainīgie, no kuriem ir divi, ir izteikti trīs brīvos, tagad mēs varam rakstīt atbildi vispārīgā formā.

Varat arī norādīt kādu no konkrētajiem sistēmas risinājumiem. Šādos gadījumos kā brīvo mainīgo vērtības parasti tiek izvēlētas nulles. Tad atbilde būs:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesadarbīgas sistēmas piemērs

Visātrāk ir atrisināt nesaderīgas vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi. Tas beidzas uzreiz, tiklīdz kādā no posmiem tiek iegūts vienādojums, kuram nav risinājuma. Tas ir, sakņu aprēķināšanas posms, kas ir diezgan garš un nogurdinošs, tiek novērsts. Tiek apsvērta šāda sistēma:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kā parasti, matrica tiek apkopota:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Un tas tiek samazināts līdz pakāpeniskajai formai:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pēc pirmās transformācijas trešajā rindā ir formas vienādojums

bez risinājuma. Līdz ar to sistēma ir nekonsekventa, un atbilde būs tukša kopa.

Metodes priekšrocības un trūkumi

Ja izvēlaties, kuru metodi atrisināt SLAE uz papīra ar pildspalvu, šajā rakstā apskatītā metode izskatās vispievilcīgākā. Ir daudz grūtāk apjukt elementārās transformācijās nekā tad, ja ir manuāli jāmeklē determinants vai kāda viltīga apgrieztā matrica. Tomēr, ja izmantojat programmas, lai strādātu ar šāda veida datiem, piemēram, izklājlapas, tad izrādās, ka šādās programmās jau ir algoritmi matricu galveno parametru aprēķināšanai - determinants, minors, inversie utt. Un, ja esat pārliecināts, ka iekārta pati aprēķinās šīs vērtības un nepieļaus kļūdas, ieteicams izmantot matricas metodi vai Krāmera formulas, jo to izmantošana sākas un beidzas ar determinantu aprēķinu un apgrieztās matricas.

Pieteikums

Tā kā Gausa risinājums ir algoritms un matrica faktiski ir divdimensiju masīvs, to var izmantot programmēšanā. Bet, tā kā raksts sevi pozicionē kā ceļvedi “manekeniem”, jāsaka, ka visvieglāk metodi ievietot ir izklājlapās, piemēram, Excel. Atkal, jebkurš SLAE, kas ievadīts tabulā matricas veidā, programmā Excel tiks uzskatīts par divdimensiju masīvu. Un operācijām ar tām ir daudz jauku komandu: saskaitīšana (var pievienot tikai vienāda izmēra matricas!), reizināšana ar skaitli, matricu reizināšana (arī ar noteiktiem ierobežojumiem), apgriezto un transponēto matricu atrašana un, pats galvenais, , aprēķinot determinantu. Ja šo laikietilpīgo uzdevumu aizstāj ar vienu komandu, ir iespējams daudz ātrāk noteikt matricas rangu un līdz ar to noteikt tās saderību vai nesaderību.