Kalkulatora izmantošana matemātikas pamatmācībā
Šajā rakstā ir apspriests, vai matemātikas mācīšanai pamatklasēs ir jāizmanto kalkulators un kā to saprātīgi izmantot.
"Cīņa" par kalkulatora lietošanu
Daži cilvēki saka, ka kalkulators ļauj bērniem koncentrēties uz izpratni un matemātikas jēdzieniem, nevis tērēt laiku nogurdinošiem aprēķiniem. Viņi saka, ka kalkulators palīdz attīstīt skaitļu izjūtu un padara skolēnus pārliecinātākus par savām matemātikas spējām.
Citi iebilst pret kalkulatora izmantošanu zemāka līmeņa matemātikas mācībās, sakot, ka tas liek bērniem neapgūt pamatfaktus, neļauj skolēniem atklāt un izprast matemātikas pamatā esošos jēdzienus un tā vietā mudina viņus nejauši izmēģināt dažādas darbības, nesaprotot, ko viņi dara.
Viņi saka, ka kalkulatori neļauj studentiem gūt labumu no viena no vissvarīgākajiem iemesliem matemātikas apguvei: apmācīt un disciplinēt prātu un veicināt loģisko domāšanu.
IR līdzsvars
Manuprāt, kalkulatoru var izmantot mācībās gan labā, gan sliktā veidā – tas viss ir atkarīgs no skolotāja pieejas. Kalkulators pats par sevi nav ne slikts, ne labs – tas ir tikai instruments mūsdienu sabiedrībā, tāpēc skolēniem būtu jāiemācās to lietot līdz skolas beigšanai.
Tajā pašā laikā bērniem JĀMĀCĀS pamatfakti, jāprot veikt prāta aprēķinus un apgūt garo dalīšanu un citus pamata papīra-zīmuļa algoritmus. Matemātika ir studiju joma, kas balstās uz iepriekš konstatētiem faktiem. Bērnam, kurš nezina pamata reizināšanas (un dalīšanas) faktus, būs grūti apgūt faktoringu, pirmskaitļus, daļskaitļu vienkāršošanu un citas daļskaitļu darbības, sadales īpašību utt. utt. Aritmētikas pamatalgoritmi ir nepieciešams pamats, lai saprastu atbilstošās darbības ar polinomiem algebrā. Apgūstot garus pirms dalījumus, saprotot, kā daļskaitļi atbilst atkārtotām (beigām) decimāldaļām, kas pēc tam paver ceļu iracionālu skaitļu un reālu skaitļu izpratnei. Tas viss savienojas kopā!
Šī iemesla dēļ ir ieteicams ierobežot kalkulatora lietošanu zemākajās klasēs, līdz bērni zina savus pamatfaktus un var ar zīmuli un papīru saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt pat lielus skaitļus. TAS, manuprāt, veido skaitļu izjūtu, tāpat kā garīgie aprēķini.
Tas nenozīmē, ka jūs varētu laiku pa laikam izmantot kalkulatoru pamatklasēs īpašos projektos, mācot konkrētus jēdzienus vai izklaidei. To varētu izmantot, piemēram, dabaszinātņu vai ģeogrāfijas projektos, dažu jaunu jēdzienu izpētei skaitļu spēles vai mājasdarbu pārbaude. Dažas idejas skatiet tālāk.
Diskusija šeit neattiecas uz grafiskajiem kalkulatoriem vidusskolā. Es stingri atbalstu grafisko kalkulatoru vai grafiku programmatūras izmantošanu, studējot grafikus un aprēķinus. Pat tur, protams, ir jāapgūst pamatideja par to, kā grafiks tiek veikts uz papīra.
Lietas, kas jāpatur prātā, lietojot kalkulatoru
Izmantojot kalkulatoru brīvāk, jāpievērš uzmanība šādiem punktiem:
- Kalkulators ir a rīks veikt aprēķinus. Tāpat arī cilvēka prāts un papīrs un zīmulis. Bērni jāmāca kad lai izmantotu kalkulatoru un kad garīgā skaitļošana (vai pat papīrs un zīmulis) ir efektīvāka vai piemērotāka. Pareiza “rīka” izvēle ir daļa no efektīva problēmu risināšanas procesa.
- Ir ļoti svarīgi, lai studenti iemācīties novērtēt rezultātu pirms aprēķina. Ir TIK viegli kļūdīties, iespiežot skaitļus kalkulatorā. Students nedrīkst iemācīties paļauties uz kalkulatoru, nepārbaudot, vai atbilde ir pamatota.
- Nevajadzētu izmantot kalkulatoru, lai nejauši izmēģinātu visas iespējamās darbības un pārbaudītu, kura no tām sniedz pareizo atbildi. Ir ļoti svarīgi, lai skolēni apgūtu un saprastu dažādas matemātiskās darbības, lai viņi zinātu, KAD kuru izmantot — un tas ir taisnība neatkarīgi no tā, vai faktiskais aprēķins tiek veikts prātīgi, uz papīra vai ar kalkulatoru.
Idejas kalkulatora izmantošanai elementārajā matemātikā
Ja izmantojat šīs idejas, pārliecinieties, ka bērniem nav priekšstata, ka kalkulators atņem vajadzību mācīties garīgo matemātiku. Tas var kalpot kā rīks, kas ļauj bērniem izpētīt un novērot, bet pēc tam skolotājam ir jāpaskaidro jēdzieni, jāpamato matemātikas likumus un salieciet to kopā.
- Bērnudārznieki un pirmklasnieki var izpētīt skaitļus pēc atkārtoti pievienojot 1(ko var izdarīt, vispirms nospiežot 1 + 1 = un pēc tam atkārtoti nospiežot = pogu) vai atkārtoti atņemot 1. Novēro viņu sejas, kad tie sasniedz negatīvus skaitļus! Vai arī ļaujiet viņiem izpētīt, kas notiek ar skaitli, kad tam pievienojat nulli.
- Kalkulatora rakstu mīklas: Šis ir iepriekš minētās idejas paplašinājums, kur pirmās līdz trešās klases bērni, izmantojot kalkulatoru, atkārtoti saskaita vai atņem vienu un to pašu skaitli. Bērni ievēros modeļus, kas parādās, pievienojot, piemēram, 2, 5, 10 vai 100 atkārtoti. Piemēram, tie var sākt no 17 un atkārtoti pievienot 10 vai sākt no 149 un atkārtoti atņemt 10. Vēl viena ideja ir ļaut bērniem izveidot savas "rakstu puzles", kas ir skaitļu virknes ar zīmējumu, kurā daži skaitļi ir izlaisti, piemēram, 7, 14, __, __, 35, __, 49. Darbība var būt saistīta ar ideju. reizināšanu ļoti viegli.
- Vietas vērtības darbība ar kalkulatoru : skolēni veido skaitļus, izmantojot kalkulatoru, piemēram:
Izveidojiet trīsciparu skaitli ar 6 desmitnieku vietā; VAI izveidojiet četrciparu skaitli, kas ir lielāks par 3500, ar četriem vienā vietā; VAI izveidojiet četrciparu skaitli ar 3 desmitos un 9 simtos; utt.
Pēc tam skolotājs uz tāfeles uzskaita vairākus skaitļus un pārrunā skolēnu kopīgus skaitļus, piemēram: visi skaitļi ir sešdesmit kaut kas. - Uzrakstiet uz tāfeles skaitli viens miljons. Palūdziet studentiem izvēlēties skaitli, ko viņi atkārtoti pievienos, izmantojot kalkulatoru, lai saprātīgā stundas laikā sasniegtu vienu miljonu. Ja viņi izvēlas mazus skaitļus, piemēram, 68 vai 125, viņi to nesasniegs. Tas var iemācīt bērniem, cik liels ir skaitlis viens miljons.
- Ieviešot pi, lūdziet studentiem izmērīt vairāku apļveida objektu apkārtmēru un diametru un aprēķināt to attiecību ar kalkulatoru (kas ietaupa laiku un var palīdzēt koncentrēties uz koncepciju).
Kalkulatoru izmantošana ir labas mācīšanas pamatā — Sjūzenas Rejas raksts; vairs nav tiešsaistē
komentāri
Es mācu ļoti mazā skolā, un šobrīd es mācu 1. algebru, 8. klase dabaszinības un pēc tam fiziku senioriem, un man ir maza grupa, kas ir pabeigusi vidusskolas aprēķinus, un mēs nodarbojamies ar lineāro algebru. Man pašam ir maģistra grādu fizikā.Pirms izlasīju dažus no šiem ierakstiem, man šķita, ka esmu diezgan nikns pretkalkulators, bet tagad es domāju, ka esmu vairāk ceļā.
Komentāri par kvadrātsakņu veidošanu uz papīra ir labi. Nē, mums vairs nav jāzina, kā to izdarīt ar labu precizitāti. Tomēr es ļoti vēlētos, lai visi mani skolēni varētu jums pateikt, starp kādiem diviem skaitļiem tas ir. Piemērs: 8
Pagājušajā gadā es atklāju, kā ievadīt datus TI-83 un izspiest vidējo un standarta novirzi. Fizikas stundas kontekstā es nevēlos tērēt daudz laika lietām, kuras viņiem būtu jāapgūst statistikas stundā. Bet, ja kalkulators to dara viegli, tad varu maigi iepazīstināt ar šo jēdzienu un cerēt, ka ekspozīcija ir sagatavojusi viņus tam, kas viņiem jāapgūst statistikā.Tomēr 1. algebrā es vispār neļauju skolēniem izmantot kalkulatorus. Un, tā ir mana skola, es atklāju, ka lielākā daļa bērnu nāk uz manu kursu bez kalkulatora vai vēlmes to izmantot. 1. algebras matemātikai ir jābūt šādai: 80% skaitļu ir jāizmanto 12x12 reizināšanas tabulas pamatinformācija, kuru bērniem vajadzētu iegaumēt, pārsniedzot šīs robežas. Un pēdējiem 5% vajadzētu būt lietām, kurām viņiem ir nepieciešams kalkulators.
Manuprāt, lietas par skaitļiem uzzini tad, kad tas jādara galvā. Ja vēlaties noteikt galvenos faktorus 357, varat sākt ar domu, ka tas ir mazāks par 400, tāpēc jums ir jāpārbauda tikai līdz 20. Jūs arī zināt, ka tas ir nepāra, tāpēc jums tas nav jādara. pārbaudiet 2 vai kādu no notikumiem. Tad jūs varat saprast, ka jums nav jāpārbauda neviens no skaitļiem, kas nav pirmskaitļi no 1 līdz 20. Tātad, jums ir jāpārbauda tikai 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Tas palīdz studentiem sākt izstrādāt dažus pamatjēdzienus, kas saistīti ar kopām. Ir skaitļu grupas, kurām ir kopīgas īpašības, piemēram, pāra koeficienti, izredzes un pirmskaitļi. Šī ir dziļa koncepcija, kuru jūs, iespējams, nesaņemsit, ja jums nav jāvienkāršo process sev.
Bet arī procesa vienkāršošana sev ir ļoti svarīga. Pieņemsim, ka esat Sprint Cup NASCAR automašīnas galvenais mehāniķis. Viņi visu laiku plīst. Kas jums jādara, lai tos labotu? Kas ir ārpus problēmas? Kāds ir mazākais lietu skaits, kas jums jāpārbauda/jālabo, un kādā secībā tās jāizmēģina? Tas ir garš pagarinājums no algoritmiskās domas izstrādes vidusskolas matemātikas stundā. Taču es iebilstu, ka ir grūtāk tur nokļūt, ja visu mūžu ar atbildēm esat barojis mašīnu.
Es zinu, ka tas notiek ilgi. Vēl divi punkti... Es nekad neizmantotu grafisko kalkulatoru, lai faktiski izveidotu grafiku. Manā klēpjdatorā ir programmatūra 100 USD vērtībā, kas izpūš no ūdens jebkuru rokas grafikus kalkulatoru.
Beidzot manu uzmanību piesaistīja komentārs par veikalu pārdevējiem un kalkulatoriem. Pasaulei noteikti ir vajadzīgi cilvēki, kas darbinātu kases aparātus universālveikalos. Bet kaut kā man liekas, ka mērķis iegūt labu izglītību ir, lai vēlāk varētu izvēlēties karjeru, kas aizraujas. Kasieri, kuri aizraujas ar mazumtirdzniecību, ir maz. Es ceru, ka maniem skolēniem, beidzot skolu, būs plašākas izvēles iespējas.
Deivids Aiversons
Es domāju, ka jāizmanto abi. Piekrītu, ka pamatskolā ir jāapgūst pamati, saskaitīšana, atņemšana utt.) Tomēr, dodoties uz Macy's, Olive Garden vai Mc Donald's, kasiere neizmanto papīru un tiek izmantoti datori (kalkulatori ). Mēs dzīvojam datoru laikmetā. Mēs vairs neesam industriālajā revolūcijā, tāpēc iesim 21. gadsimtā.
Sveiki, es esmu Kellija. Es esmu pirmkursnieks koledžā St. Čārlza kopienas koledža Misūri štatā. Jūsu vietne ir brīnišķīga. Es to meklēju savai jaunākajai māsai. Kaut kas, ko es patiešām vēlētos pateikt ikvienam un ikvienam, kurš plāno doties uz koledžu, ir nekavējoties pārtraukt lietot kalkulatoru. Izmantojiet to tikai žurnālu un tamlīdzīgu nepieciešamo lietu attēlošanai. Es pabeidzu vidusskolu skaitļošanas klasē, izmantojot kalkulatoru pat visvienkāršākajām reizināšanas un dalīšanas problēmām, un, ierodoties koledžā, man bija jāsāk viss no sākuma ar SĀKUMA ALGEBRĀM, jo es nezināju, kā reizināt un dalīt bez kalkulatora. Tāpēc, lūdzu, izdariet visiem labu un palūdziet vai sakiet, lai viņi pārtrauc lietot kalkulatoru. Viņi man par to pateiks paldies.
Sveiki, mani sauc Rafīks, un es esmu pirmkursnieks Hobārtas un Viljama Smita koledžās Ženēvā, Ņujorkā. Es gatavoju darbu par tehnoloģiju un to ietekmi, tāpēc nolēmu izvēlēties kalkulatoru. Savā pētījumā es uzgāju šo vietni. Es gribu uzsvērt Kellijas teikto. Tas pats notika ar mani, es biju izcils vidusskolas matemātikā, praktiski nokārtoju visus matemātikas eksāmenus, pēc tam atnācu uz orientēšanos, un man teica, ka man jākārto matemātikas eksāmens bez aprēķina. Es neapzinājos, ka nevaru atrisināt daudzas vienkāršas problēmas, jo vienmēr pievienoju to savam aprēķinam un saņēmu atbildi. Tas kļūst par kaut ko nopietnu, es jau atņēmu jaunāko brāli un māsas kaļķi. un pateica viņiem, līdz viņi būs koledžā, ka viņi nelietos aprēķinus (vismaz ne manā priekšā). Tagad es veicu iepriekšēju aprēķinu. un mans mērķis ir neizmantot kalc. NEATKARBOJIETIES UZ SAVA KALULATORI!!!
Kad universitātē mācījos matemātikas kursos manā BMath, mums nebija atļauts kārtot kalkulatorus daudzos eksāmenos (lai novērstu cilvēku kontrabandu ar kabatas skaitļošanas ierīcēm). .Emīlija Bella
Man nekad nav bijis labi matemātikā, un tāpēc, kad es saņēmu savu kalkulatoru un cik uzmundrinoši tas ir vidusskolā, es tajā iemīlējos. Tas ir līdz brīdim, kad nokārtoju eksāmenu koledžā. Man gāja briesmīgi. Es nevarēju pat atcerieties, kā garīgi atrisināt vienkāršu dalīšanas problēmu. Mūsdienu skolu problēma ir tā, ka tās pārāk daudz uztraucas un mudina izmantot kalkulatorus. Studentiem ir jābūt labam garīgās matemātikas pamatam, pirms viņi mācās lietot kalkulatoru, un, ja jūs man jautāsiet, ar K-3 kategoriju nepietiek, to nedrīkst atļaut līdz koledžai.
Esmu nesen absolvējusi koledžu. Mans galvenais bija elektroinženieris. Tā kā mans studiju kurss ietvēra lielu daļu matemātikas, man ir pienākums runāt par šo svarīgo jautājumu. Manuprāt, kalkulatorus nekādā gadījumā nedrīkst izmantot nevienā matemātikas stundā, pat koledžas līmenī. Izmantojot kalkulatoru jebkuram priekšmetam, lietotājs kļūs garīgi slinks un nespēs apgūt matemātikas pamatprasmes. Nekad nevajadzētu izmantot kalkulatoru, mācoties reizināt, veikt garo dalīšanu vai pat grafēt funkciju."Daži cilvēki saka, ka kalkulators ļauj bērniem koncentrēties uz matemātisko jēdzienu izpratni un studēšanu, nevis tērēt laiku nogurdinošiem aprēķiniem. Viņi saka, ka kalkulators palīdz attīstīt skaitļu izjūtu un padara skolēnus pārliecinātākus par savām matemātikas spējām."
Iepriekš minētais apgalvojums ir pilnīgs cūcība. Vienīgais veids, kā attīstīt skaitļu izjūtu un izprast matemātiskos jēdzienus, ir pārpildīt stundas garlaicīgus aprēķinus. Vienīgais veids, kā attīstīt pārliecību par savām matemātikas spējām, ir izmantot zīmuli un papīru ikreiz, kad saskaraties ar matemātikas problēmu par to, ka iet kopā ar tādiem postošiem ideāliem.
Vienīgais laiks, kad kalkulatorus vajadzētu izmantot skolā, ir laboratorijas stundās, kad veicat aprēķinus ar skaitļiem, kas sastāv no vairāk nekā 4 zīmīgajiem cipariem. Pretējā gadījumā skolēnam jāpaļaujas uz papīru, zīmuli un savām smadzenēm.
Kalkulatoram nav vietas; NAV VIETAS; pamatskolas klasē. Periods. Es esmu vidusskolas matemātikas skolotājs, un lielākajai daļai manu skolēnu ir absolūti nulles skaitļu sajūta. Viņi izmanto kalkulatorus, lai veiktu viencipara reizināšanas uzdevumus, kas viņiem būtu pareizi jāiegaumē trešajā klasē. Viņi bez tiem ir bezpalīdzīgi. Es 100% vainu uz kalkulatora lietošanu pirmajās klasēs.
Maniem bērniem ir 4 un 2 gadi. Mana meita nākamgad ies bērnudārzā, un es katru gadu instruēšu viņas skolotājus, un periodiski visa gada garumā viņai ir AIZLIEGTS izmantot kalkulatoru JEBKĀDAM darbam, līdz viņa būs skolā. vidusskola NAV NEKAS pamatskolas vai vidusskolas mācību programmā, kas prasa kalkulatora lietošanu.
Atbilstoši šim apgalvojumam "Nacionālā matemātikas skolotāju padome (1989) ir ieteikusi skolās pievērst mazāku uzmanību garai dalīšanai un "nogurdinošai skaitļošanai ar zīmuli un papīru" un nodrošināt, lai kalkulatori vienmēr būtu pieejami visiem skolēniem." Es saprotu, ka tā bija reakcija uz aptauju par laiku, kas pavadīts matemātikas tēmām klasē, un gandrīz trešdaļa ceturtās un piektās klases tika pavadīta, mācoties dalīšanu ar decimālskaitļa un divciparu dalītājiem (ti, 340/.15 vai 500/15) Jā, skolotāji katrā no tiem pavadīja vairāk nekā divus mēnešus! Tas vienkārši neatspoguļoja matemātikas situāciju pašreizējā pasaulē.
Personīgi es esmu redzējis daudzus lieliskus kalkulatoru lietojumus. Tie ļauj bez kļūdām atkārtot, lai es varētu atklāt modeļus. Daudzas no pārvēršanām un ātrajiem trikiem, ko es varu izdarīt, bija tāpēc, ka man bija tikai pamata kalkulators, izmantojot visu priekšaprēķinu. BTW, NCMT ir arī atjauninājis savus standartus, iekļaujot matemātikas faktu brīvību otrajā un ceturtajā klasē. Kā matemātikas skolotājs es visu laiku dzirdēju no vecākiem, ka bērni nepavada laiku skolā, iegaumējot galveno faktu.
Man droši vien būtu paticis ilgtermiņā, ja man nebūtu ļauts izmantot kalkulatoru vismaz līdz vidusskolai (Geometry for me) Nu viņi man lika saprast, cik šausmīgs es esmu ar vienkāršu matemātika es to varu, tikai man ir nepieciešams daudz ilgāks laiks.
Kā matemātikas, pirmsalgebras un I algebras jaunākā vidusskolas un vidusskolas skolotājs es katru gadu cīnos šajā cīņā. Lai gan jā, kalkulatori piedāvā ātru veidu, kā atrast atbildes, es nezinu nevienu problēmu nevienā no trim mācību grāmatām, kuras es pašlaik izmantoju, lai skolēnam būtu jāatrisina garās dalīšanas uzdevumi līdz divpadsmitajai vietai aiz komata (kas ir kopīgs arguments).
Tomēr es ceru, ka mani skolēni spēs veikt matemātikas pamatfunkcijas, neizmantojot kalkulatoru. Iekļaujoties Algebrā, viņi pavada pārāk daudz laika, mēģinot izdomāt, kā ar kalkulatora palīdzību izdarīt lietas, kas nav iespējamas, izmantojot viņu rīcībā esošos kalkulatorus (tāpat arī jaunais daļēju punktu pārbaudes, lai es ZINĀTU, ka viņi zina procesu, neliecina par to, ka viņi zina procesu un noteikumus vai "kāpēc" tas darbojas. un matemātikas "ah-ha".
Es bieži atgādinu studentiem, ka kalkulatori tika izgudroti ilgi pēc matemātisko noteikumu sākšanas; tāpēc visu matemātiku var veikt, neizmantojot kalkulatoru. Lieliski prāti, nekļūstiet lieliski, izvēloties vieglāko ceļu.
Runājot par mazumtirdzniecības darbiniekiem, daudzi rindā stāvošie klienti kļūst nepacietīgi, ja pārdevējs visu izdomā ar roku, kā skolotājs, kad es dodos uz pārtikas iestādi, un mans neveiksmīgais students ir viesmīlis/viesmīle/utt. Es ceru, ka viņi man atskaitīs izmaiņas. Es apzinos, kad veicu šīs "pārbaudes", un lielākā daļa vadītāju (jūs zināt tos, kuri var veikt matemātiku bez kalkulatora) parasti ir pateicīgi, ka viņu darbinieki zina, kā skaitīt atpakaļ izmaiņas.
Man nācās mazliet pasmieties par komentāru par "kasieri Macy's, Olive Garden, McDonalds... izmantojiet kalkulatorus, datorus." Tiesa, bet tas nav arguments to lietošanai. Vai esat kādreiz bijis kādā no šiem veikalos, kad "datori nedarbojas?" mūsu jaunieši izturētu patiesu katastrofu/ārkārtas situāciju, kad varētu nebūt elektrības, mobilo tālruņu, datoru, interneta iespēju utt. Kā mājmācības vecākam viens no maniem mērķiem ir nodrošināt, lai manam bērnam būtu labas pamatprasmes, lai viņi būtu stingri savā vietā. var labi darboties jebkurā priekšmetā bez elektroniskās palīdzības.
Man zēns iet trešajā klasē, un es viņam nopirku ārkārtīgi vienkāršu kalkulatoru (tikai +,-,*,/). Viņam diezgan labi padodas problēmu risināšana, viņš zina savas reizināšanas tabulas, prot saskaitīt un atņemt ar 12 cipariem uz papīra, mācās reizināt uz papīra utt... un es patiesībā meklēju dažas jēgpilnas problēmas, ko atrisināt. ar kalkulatoru, kad atradu šīs emocionālās debates.
Tagad es pilnībā piekrītu, ka kalkulators nedrīkst aizstāt mācīšanos veikt prāta operācijas un iemācīties to izdarīt uz papīra. Jums vajadzētu būt iespējai šīs lietas izdarīt pats, pat ja tas ir neveikli.Bet būtība ir tāda, ka sabiedrība attīstās. Ja bija lietderīgi izdarīt pareizi un ātri 20 skaitļu summas uz mazas zīmītes, un cilvēki par šo prasmi jums pat maksāja pirms 40 gadiem, lielākā daļa no mums vairs nemācās nogalināt trušus ar loku un bultām – kamēr tā bija būtiska prasme mūsu senčiem, kas dzīvoja alās.
Skatoties šeit komentārus, šķiet, ka vienīgās problēmas, ar kurām cilvēki saskārās, nespējot aprēķināt bez kalkulatora, bija mākslīgā vidē, kur tā bija nepārprotami pārbaudīta kompetence. Zaķu medības ar bultu un loku arī radītu problēmas, ja to nemācītu un nepārbaudītu vienam vai otram eksāmenam. Es domāju, ka "reālajā dzīvē" tagad ir svarīgi būt parocīgiem ar kalkulatoru - lai gan, protams, vajadzētu iztikt bez tā, bet varbūt ne *izurbināties*, lai bez tā iztiktu efektīvi, pareizi un ātri.
BTW, kurš joprojām zina, kā ņemt kvadrātsaknes uz papīra? Vai tā nav svarīga prasme. Un kurš zina, kā efektīvi izmantot slaidu kārtulu, vai arī tās visas bija ļoti noderīgas metodes, kuras tagad ir jāapgūst? vairāk pieder pie folkloras. Es nesaku, ka zināt, kā izdarīt papildinājumu uz papīra, ir folklora, ir jāzina, kā to izdarīt, bet nez kāds ir iemesls, lai to varētu izdarīt ātri un efektīvi (tātad. pavadīt stundas, lai to apmācītu). Vai tagad nevar izmantot šo laiku, lai darītu noderīgākas lietas?
Es teiktu, ka vēl praktiska iemaņa ir *prātīgs* aprēķins, precīzs prāta aprēķins un aptuvens aprēķins, lai gūtu priekšstatu par lieluma secību. Tas, vai veikt divu skaitļu reizināšanu ar 6 vai 7 cipariem, joprojām ir ļoti svarīgi. Noderīga prasme trenēties, man ir šaubas - lai gan atkal vajadzētu zināt, kā tas tiek darīts.
Lietas, kas kļūst interesantas ar kalkulatoriem, ir tādas konstrukcijas kā Paskāla trīsstūris vai Fibonači sērija, vai faktoriāli, kombinācijas un tamlīdzīgas lietas, kuras ir pārāk nogurdinošas, lai to izdarītu ar rokām.
Patriks Van Ešs
Jautājums: Kādi ir galvenie iemesli, kāpēc vidusskolas pirmajā līdz trešajā klasē neizmanto kalkulatorus?Es neesmu īsti pārliecināts, kas ir formas no viens līdz trīs, bet es domāju, ka jūs runājat par vidusskolu.
Es personīgi nenoliegšu vidusskolēnu izmantošanu kalkulatorā. Bērniem ir jāiemācās lietot kalkulatoru un lietot to saprātīgi – tas nozīmē, ka viņiem ir jāiemācās, KAD to ir labi lietot un kad nē. Varbūt kāds varētu liegt kalkulatoru lietot vidusskolā, ja skolēns to pastāvīgi lieto nepareizi, citos gadījumos vārdi, izmantojot to 6 x 7 utt., tādā gadījumā šādam skolēnam var būt nepieciešams pārskatīt zemāko klašu matemātiku.
Šobrīd esmu sestās klases skolnieks, zinu, ka vairums mana vecuma bērnu izvēlas izmantot kalkulatoru, nevis lai pārbaudītu darbu, bet lielu daļu matemātikas veiktu ar kalkulatoriem. Kalkulators ir jāizmanto tikai darba pārbaudei, nesen mana matemātikas mācība praktiski liek mums izmantot TI30 xa kalkulatorus, kā jūs zināt, skola nodrošina kalkulatoru, kas var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, un pēdējā laikā es esmu pieķērusi sevi, paļaujoties uz kalkulatoriem, lai veiktu visu manu , bet šodien matemātikas stundā es nolēmu vairs neizmantot kalkulatoru, viena problēma, kas man bija jāatrisina, bija 3,8892, kas dalīta ar 3, un es nevarēju atcerēties, kā to izdarīt. Un citu dienu mana mamma man uzdeva vienkāršu matemātikas uzdevumu, kamēr tika iegūta gāze, un man vajadzēja 5 minūtes, lai izpildītu šo pamata saskaitīšanas uzdevumu. Mani vecāki nelietoja kalkulatorus, kad viņi mācījās skolā, un, ja viņiem tie nebija vajadzīgi, tad mums arī nē. Taču, kad visi mūsu pašreizējie vidusskolēni būs pilngadīgi, mūsu skolu sistēma redzēs, ka pieaugušie būs atpaliekot matemātikā, paļaujoties uz datoriem un kalkulatoriem, lai veiktu visas darbības, es esmu oficiāli pret kalkulatoru.
Man paveicās apgūt matemātikas pamatfaktus (reizināšanu, dalīšanu, daļskaitļus, aplēses utt.), pirms 8. klasē ieguvu kalkulatoru, taču es ļoti atkarīgi no manas TI 83 grafiku veidošanas utilītas vidusskolas algebras/priekškalcināšanas stundās. Es attēlotu funkciju diagrammā, lai atrastu nulles, nevis izmantotu kvadrātformulu un tamlīdzīgas lietas.Manā pirmkursnieka skaitļošanas stundā nebija atļauts izmantot kalkulatorus, un man tas neizdevās pēc tam, kad man guvu diezgan labus rezultātus vidusskolas priekšaprēķinos, un es iegāju vieglākā dzīves/sociālo zinātņu sērijā (joprojām bija jācīnās par B's/C). kad vidusskolā man bija viegli A) un galu galā es atkārtoju grūtāko aprēķinu nodarbību, kas bija daudz sagatavotāka. lai iegūtu jebkādu atzinību, pat ja atbilde bija pareiza, manuprāt, viena problēma ir tā, ka es pārāk aizrāvos ar atbilžu meklēšanu, nevis apgūstu procesu.
No otras puses, manai māsai ir kalkulators kopš 3. klases, un viņa burtiski nevar reizināt 6*7 bez kalkulatora vai veikt teksta uzdevumu, lai gan vidusskolas matemātikā viņa iegūst B s.
Kā vecākais agrās bērnības/pamatizglītības specialitātē es saprotu, cik svarīgi ir zināt, kā lietot kalkulatoru, jo jā, mēs dzīvojam laikmetā, kurā tehnoloģijas tiek plaši izmantotas. Tomēr, tāpat kā daudzi no jums, kad es pirmo reizi iestājos koledžā un man bija jākārto eksāmeni, neizmantojot kalkulatoru, man bija lielas problēmas! Man joprojām veicās ļoti labi, taču pagāja ilgs laiks, lai no jauna apgūtu visas matemātikas pamatfunkcijas. No savas personīgās pieredzes šajā jomā un no saviem kursiem es iesaku konsekventu līdzsvaru starp abām metodēm!
Es mācu matemātiku koledžā, kur kalkulators ir aizliegts. Diemžēl daudzi skolēni ir izpostīti, izmantojot kalkulatoru. Viņiem ir grūtības veikt pat visvienkāršāko algebru. Tas ir izraisījis ārstnieciskās matemātikas pieaugumu koledžās visur par līdz pat 95%. Ir izdota grāmata ar nosaukumu "The Deliberate Dumbing Down Of America", ko sarakstījis bijušais trauksmes cēlējs no Izglītības departamenta (pazīstams arī kā DOE, kas apzīmē Dopes Of Education).
Matemātikas stundu izvēlne
|
|
|
Kataloga informācija
Nosaukums
Elementāra lineārā algebra.
(Kredītu stundas: lekciju stundas: laboratorijas stundas)
Piedāvāja
Priekšnoteikums
Minimālie mācību rezultāti
Pabeidzot šo kursu, sekmīgais students varēs:
- Izmantojiet Gausa elimināciju, lai veiktu visas šīs darbības: atrisinātu lineāru sistēmu ar samazinātu rindas ešelonu formu, atrisinātu lineāru sistēmu ar rindas ešelona formu un atpakaļejošu aizstāšanu, atrastu dotās matricas apgriezto vērtību un atrastu dotās matricas determinantu.
- Parādiet matricas algebras prasmi. Matricas reizināšanai parādiet izpratni par asociatīvo likumu, apgrieztās secības likumu apgrieztām un transponētām versijām, kā arī komutatīvā likuma un atcelšanas likuma neveiksmi.
- Izmantojiet Krāmera likumu, lai atrisinātu lineāro sistēmu.
- Izmantojiet kofaktorus, lai atrastu dotās matricas apgriezto vērtību un dotās matricas determinantu.
- Nosakiet, vai kopa ar doto saskaitīšanas un skalārās reizināšanas jēdzienu ir vektora telpa. Šeit un tālāk norādītajos skaitļos iepazīstieties gan ar ierobežotu, gan bezgalīgu dimensiju piemēriem.
- Nosakiet, vai vektoru telpas noteiktā apakškopa ir apakštelpa.
- Nosakiet, vai dotā vektoru kopa ir lineāri neatkarīga, aptver vai ir bāze.
- Nosakiet dotās vektortelpas vai dotās apakštelpas dimensiju.
- Atrodiet pamatus dotās matricas nulles telpai, rindu telpai un kolonnu telpai un nosakiet tās rangu.
- Parādiet izpratni par ranga-nullitātes teorēmu un tās pielietojumu.
- Dots lineāras transformācijas apraksts, atrodiet tās matricas attēlojumu attiecībā pret dotajām bāzēm.
- Parādiet izpratni par saistību starp līdzību un pamata maiņu.
- Atrodiet vektora normu un leņķi starp diviem vektoriem iekšējā produkta telpā.
- Izmantojiet iekšējo reizinājumu, lai izteiktu vektoru iekšējā produkta telpā kā lineāru kombināciju no ortogonālas vektoru kopas.
- Atrodiet dotās apakštelpas ortogonālo papildinājumu.
- Parādiet izpratni par matricas rindas telpas, kolonnu telpas un nulles (un tās transponēšanas) attiecībām, izmantojot ortogonālos papildinājumus.
- Parādiet izpratni par Košī-Švarca nevienlīdzību un tās pielietojumu.
- Nosakiet, vai vektortelpa ar (seskvilīnu) formu ir iekšējā produkta telpa.
- Izmantojiet Grama-Šmita procesu, lai atrastu ortonormālu iekšējās produkta telpas pamatu. Esiet spējīgs to izdarīt abos gadījumos R n un funkciju telpās, kas ir iekšējās produktu telpas.
- Izmantojiet mazākos kvadrātus, lai ietilptu rindā ( y = cirvis + b) uz datu tabulu, uzzīmējiet līniju un datu punktus un izskaidrojiet mazāko kvadrātu nozīmi ortogonālās projekcijas izteiksmē.
- Izmantojiet mazāko kvadrātu ideju, lai atrastu ortogonālas projekcijas uz apakštelpām un polinoma līknes pielāgošanai.
- Atrodiet (reālās un kompleksās) 2 × 2 vai 3 × 3 matricu īpašvērtības un īpašvektorus.
- Nosakiet, vai dotā matrica ir diagonalizējama. Ja tā, atrodiet matricu, kas to diagonalizē, izmantojot līdzību.
- Demonstrējiet izpratni par saikni starp kvadrātveida matricas īpatnējām vērtībām un tās determinantu, tās izsekojamību un invertējamību/singularitāti.
- Identificējiet simetriskas matricas un ortogonālās matricas.
- Atrodiet matricu, kas ortogonāli diagonalizē doto simetrisko matricu.
- Zināt un prast pielietot spektrālo teorēmu simetriskām matricām.
- Zināt un prast pielietot Singular Value Decomposition.
- Pareizi definējiet terminus un sniedziet piemērus saistībā ar iepriekšminētajiem jēdzieniem.
- Pierādiet pamatteorēmas par iepriekšminētajiem jēdzieniem.
- Pierādīt vai atspēkot apgalvojumus, kas attiecas uz iepriekš minētajiem jēdzieniem.
- Esiet prasmīgi aprēķinot rindu samazināšanu, matricas inversiju un līdzīgas problēmas; arī izmantojiet MATLAB vai līdzīgu programmu lineārās algebras problēmām.
Ceļojošā pārdevēja uzdevumā, lai izveidotu optimālu maršrutu ap n pilsētām, jāizvēlas labākais no (n-1)! iespējas, pamatojoties uz laiku, izmaksām vai maršruta garumu. Šī problēma ietver minimālā garuma Hamiltona cikla noteikšanu. Šādos gadījumos visu iespējamo risinājumu kopa ir jāattēlo koka veidā - savienots grafiks, kas nesatur ciklus vai cilpas. Koka sakne apvieno visu opciju kopu, un koka galotnes ir daļēji sakārtotu risinājumu opciju apakškopas.
Pakalpojuma mērķis. Izmantojot pakalpojumu, jūs varat pārbaudīt savu risinājumu vai iegūt jaunu risinājumu ceļojošā pārdevēja problēmai, izmantojot divas metodes: filiāles un saistīšanas metodi un ungāru metodi.
Ceļojošā pārdevēja problēmas matemātiskais modelis
Formulētā problēma ir vesela skaitļa problēma. Lai x ij =1, ja ceļotājs pārvietojas no i-tās pilsētas uz j-to un x ij =0, ja tas tā nav.Formāli mēs ieviešam (n+1) pilsētu, kas atrodas tajā pašā vietā, kur pirmā pilsēta, t.i. attālumi no (n+1) pilsētām līdz jebkurai citai pilsētai, izņemot pirmo, ir vienādi ar attālumiem no pirmās pilsētas. Turklāt, ja jūs varat atstāt tikai pirmo pilsētu, jūs varat ierasties tikai (n+1) pilsētā.
Ieviesīsim papildu veselus mainīgos, kas vienādi ar šīs pilsētas apmeklējumu skaitu ceļā. u 1 =0, u n +1 =n. Lai izvairītos no slēgtiem ceļiem, atstājiet pirmo pilsētu un atgriezieties pie (n+1), mēs ieviešam papildu ierobežojumus, kas savieno mainīgos x ij un mainīgos u i (u i ir nenegatīvi veseli skaitļi).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, ar i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Ceļojošā pārdevēja problēmas risināšanas metodes
- zaru un saistīšanas metode (Lila algoritms vai apakšcikla eliminācija). Atzarojuma un iesieta risinājuma piemērs;
- Ungāru metode. Risinājuma piemērs, izmantojot ungāru metodi.
Litāla algoritms vai apakšcikla likvidēšana
- Redukcijas darbība pa rindām: katrā matricas rindā tiek atrasts minimālais elements d min un atņemts no visiem atbilstošās rindas elementiem. Apakšējā robeža: H=∑d min.
- Samazināšanas darbība pa kolonnām: katrā matricas kolonnā atlasiet minimālo elementu d min un atņemiet to no visiem atbilstošās kolonnas elementiem. Apakšējā robeža: H=H+∑d min .
- Samazinājuma konstante H ir visu pieļaujamo Hamiltona kontūru kopas apakšējā robeža.
- Nuļļu pakāpju atrašana matricai, kas norādīta ar rindām un kolonnām. Lai to izdarītu, uz laiku nomainiet nulles matricā ar zīmi “∞” un atrodiet šai nullei atbilstošo rindas un kolonnas minimālo elementu summu.
- Izvēlieties loku (i,j), kuram nulles elementa pakāpe sasniedz maksimālo vērtību.
- Visu Hamiltona kontūru kopa ir sadalīta divās apakškopās: Hamiltona kontūru apakškopā, kas satur loku (i,j) un tajās, kas to nesatur (i*,j*). Lai iegūtu kontūru matricu, kas ietver loku (i, j), izsvītrojiet rindu i un kolonnu j matricā. Lai novērstu ne-Hamiltona kontūras veidošanos, simetrisko elementu (j,i) aizstāj ar zīmi “∞”. Loka likvidēšana tiek panākta, aizvietojot elementu matricā ar ∞.
- Hamiltona kontūru matrica tiek reducēta, meklējot reducēšanas konstantes H(i,j) un H(i*,j*) .
- Salīdzinātas Hamiltona kontūru apakškopas H(i,j) un H(i*,j*) apakšējās robežas. Ja H(i,j)
- Ja sazarošanas rezultātā tiek iegūta (2x2) matrica, tad tiek noteikta sazarojuma rezultātā iegūtā Hamiltona kontūra un tās garums.
- Hamiltona kontūras garums tiek salīdzināts ar nokareno zaru apakšējām robežām. Ja kontūras garums nepārsniedz to apakšējās robežas, tad problēma ir atrisināta. Pretējā gadījumā apakškopu zari, kuru apakšējā robeža ir mazāka par iegūto kontūru, tiek izstrādātas, līdz tiek iegūts maršruts ar īsāku garumu.
Piemērs. Atrisiniet ceļojošā pārdevēja problēmu ar matricu, izmantojot Litla algoritmu
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Risinājums. Ņemsim par patvaļīgu maršrutu: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Tad F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Lai noteiktu kopas apakšējo robežu, mēs izmantojam samazināšanas darbība vai matricas reducēšana pēc rindas, kurai jāatrod minimālais elements katrā matricas D rindā: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Matricas d ij elementi atbilst attālumam no punkta i līdz punktam j.
Tā kā matricā ir n pilsētas, tad D ir nxn matrica ar nenegatīviem elementiem d ij ≥ 0
Katrs derīgs maršruts ir cikls, kurā ceļojošais pārdevējs apmeklē pilsētu tikai vienu reizi un atgriežas sākotnējā pilsētā.
Maršruta garumu nosaka izteiksme: F(M k) = ∑d ij
Turklāt katra rinda un kolonna tiek iekļauta maršrutā tikai vienu reizi ar elementu d ij .
1. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Malai (5,2) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 6) = 6, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (5,2) un (5*,2*).
Malu izslēgšana(5.2) tiek veikta, aizvietojot elementu d 52 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (5*,2*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Malas iespējošana(5.2) tiek veikta, likvidējot visus 5. rindas un 2. kolonnas elementus, kuros elements d 25 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (5,2) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Tā kā šīs apakškopas (5,2) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (5*,2*), mēs iekļaujam malu (5,2) maršrutā ar jaunu robežu H = 35
2. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Malai (4,3) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 9) = 9, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (4,3) un (4*,3*).
Malu izslēgšana(4.3) tiek veikta, aizvietojot elementu d 43 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (4*,3*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Malas iespējošana(4.3) tiek veikta, likvidējot visus 4. rindas un 3. kolonnas elementus, kuros elements d 34 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Apakškopas (4,3) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Tā kā 42 > 41, mēs izslēdzam apakškopu (5,2) turpmākai sazarošanai.
Atgriežamies pie iepriekšējā plāna X 1.
Plāns X 1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Malai (4,2) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 6) = 6, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (4,2) un (4*,2*).
Malu izslēgšana(4.2) tiek veikta, aizvietojot elementu d 42 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (4*,2*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Malas iespējošana(4.2) tiek veikta, likvidējot visus 4. rindas un 2. kolonnas elementus, kuros elements d 24 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultāts ir vēl viena samazināta matrica (4 x 4), kas tiek pakļauta samazināšanas darbībai.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (4,2) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Tā kā šīs apakškopas (4,2) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (4*,2*), mēs iekļaujam malu (4,2) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
2. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Malai (1,5) lielākā redukcijas konstantu summa ir (4 + 5) = 9, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (1,5) un (1*,5*).
Malu izslēgšana(1.5) tiek veikta, aizvietojot elementu d 15 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (1*,5*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Malas iespējošana(1.5) tiek veikta, likvidējot visus 1. rindas un 5. kolonnas elementus, kuros elements d 51 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultātā mēs iegūstam vēl vienu reducētu matricu (3 x 3), kas ir pakļauta samazināšanas darbībai.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (1,5) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Tā kā šīs apakškopas (1,5) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (1*,5*), mēs iekļaujam malu (1,5) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
3. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Malai (2,1) lielākā redukcijas konstantu summa ir (9 + 6) = 15, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (2,1) un (2*,1*).
Malu izslēgšana(2.1) tiek veikta, aizvietojot elementu d 21 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (2*,1*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Malas iespējošana(2.1) tiek veikta, likvidējot visus 2. rindas un 1. kolonnas elementus, kuros elements d 12 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultātā iegūstam vēl vienu reducētu matricu (2 x 2), uz kuru attiecas samazināšanas darbība.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Apakškopas (2,1) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Tā kā šīs apakškopas (2,1) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (2*,1*), mēs iekļaujam malu (2,1) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
Saskaņā ar šo matricu mēs Hamiltona maršrutā iekļaujam malas (3,4) un (5,3).
Rezultātā gar Hamiltona cikla zarojošo koku veidojas malas:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Maršruta garums ir F(Mk) = 41
Lēmumu koks.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ar šo kalkulatoru tiek izmantoti arī šādi elementi:
Grafiskā metode ZLP risināšanai
Vienkāršā metode ZLP risināšanai
Matricas spēles atrisināšana
Izmantojot tiešsaistes pakalpojumu, varat noteikt matricas spēles cenu (apakšējo un augšējo robežu), pārbaudīt seglu punkta klātbūtni, atrast risinājumu jauktajai stratēģijai, izmantojot šādas metodes: minimax, simpleksa metode, grafiskā (ģeometriskā) ) metode, Brauna metode.
Divu mainīgo funkcijas ekstrēmums
Dinamiskās programmēšanas problēmas
Transporta problēmas risināšanas pirmais posms ir noteikt tā veidu (atvērts vai slēgts, vai citādi līdzsvarots vai nelīdzsvarots). Aptuvenās metodes ( metodes atsauces plāna atrašanai) ļauj risinājuma otrais posms ar nelielu skaitu soļu iegūt pieņemamu, bet ne vienmēr optimālu problēmas risinājumu. Šajā metožu grupā ietilpst šādas metodes:
- dzēšana (dubultās izvēles metode);
- ziemeļrietumu stūris;
- minimālais elements;
- Vogela tuvinājumi.
Transporta problēmas atsauces risinājums
Transporta problēmas atsauces risinājums ir jebkurš iespējamais risinājums, kuram nosacījumu vektori, kas atbilst pozitīvajām koordinātām, ir lineāri neatkarīgi. Lai pārbaudītu nosacījumu vektoru lineāro neatkarību, kas atbilst pieļaujamā risinājuma koordinātām, tiek izmantoti cikli.Cikls Transporta uzdevumu tabulā tiek izsaukta šūnu secība, kurā divas un tikai blakus esošās šūnas atrodas vienā rindā vai kolonnā, un arī pirmā un pēdējā atrodas tajā pašā rindā vai kolonnā. Transporta problēmu nosacījumu vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja no atbilstošajām tabulas šūnām nevar izveidot ciklu. Līdz ar to pieļaujams transporta problēmas risinājums, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n ir atsauce tikai tad, ja no tā aizņemtajām tabulas šūnām nevar izveidot ciklu.
Aptuvenās metodes transporta problēmas risināšanai.
Izsvītrošanas metode (dubultās izvēles metode). Ja tabulas rindā vai kolonnā ir viena aizņemta šūna, tad to nevar iekļaut nevienā ciklā, jo ciklam katrā kolonnā ir divas un tikai divas šūnas. Tāpēc varat izsvītrot visas tabulas rindas, kurās ir viena aizņemta šūna, pēc tam izsvītrot visas kolonnas, kurās ir viena aizņemta šūna, pēc tam atgriezties pie rindām un turpināt rindu un kolonnu izsvītrošanu. Ja dzēšanas rezultātā tiek izsvītrotas visas rindas un kolonnas, tas nozīmē, ka no tabulas aizņemtajām šūnām nav iespējams atlasīt daļu, kas veido ciklu, un atbilstošo nosacījumu vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, un risinājums ir atsauces risinājums. Ja pēc dzēšanas dažas šūnas paliek, tad šīs šūnas veido ciklu, atbilstošo nosacījumu vektoru sistēma ir lineāri atkarīga un risinājums nav atsauces.
Ziemeļrietumu leņķa metode sastāv no secīgas transportēšanas tabulas rindu un kolonnu iziešanas, sākot no kreisās kolonnas un augšējās rindas, un tabulas atbilstošajās šūnās ierakstot maksimāli iespējamos sūtījumus tā, lai piegādātāja iespējas vai patērētāja vajadzības tiktu norādītas uzdevums netiek pārsniegts. Izmantojot šo metodi, piegādes cenām netiek pievērsta uzmanība, jo tiek pieņemta turpmāka sūtījumu optimizācija.
Minimālā elementa metode. Ar vienkāršību šī metode joprojām efektīvāka nekā, piemēram, Northwest Angle metode. Turklāt minimālā elementa metode ir skaidra un loģiska. Tās būtība ir tāda, ka transporta tabulā vispirms tiek aizpildītas šūnas ar zemākajiem tarifiem un pēc tam šūnas ar augstiem tarifiem. Tas ir, mēs izvēlamies transportu ar minimālām kravas piegādes izmaksām. Tas ir acīmredzams un loģisks solis. Tiesa, tas ne vienmēr noved pie optimālā plāna.
Vogela aproksimācijas metode. Izmantojot Vogel aproksimācijas metodi, katrā iterācijā tiek atrasta starpība starp diviem tajos rakstītajiem minimālajiem tarifiem visām kolonnām un rindām. Šīs atšķirības tiek ierakstītas problēmu apstākļu tabulas īpaši norādītā rindā un kolonnā. No norādītajām atšķirībām tiek izvēlēts minimums. Rindā (vai kolonnā), kurai atbilst šī starpība, tiek noteikts minimālais tarifs. Šūna, kurā tas ir rakstīts, tiek aizpildīta šajā iterācijā.
Piemērs Nr.1. Tarifu matrica (šeit piegādātāju skaits ir 4, veikalu skaits ir 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerves | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Vajadzības | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Līdzsvara nosacījums ir izpildīts. Nodrošina vienādas vajadzības. Tātad transporta problēmas modelis ir slēgts. Ja modelis būtu atvērts, būtu nepieciešams ieviest papildu piegādātājus vai patērētājus.
Ieslēgts otrais posms Atsauces plāns tiek meklēts, izmantojot iepriekš norādītās metodes (visizplatītākā ir viszemāko izmaksu metode).
Lai parādītu algoritmu, mēs piedāvājam tikai dažas iterācijas.
Iterācija Nr. 1. Minimālais matricas elements ir nulle. Šim elementam krājumi ir 60 un prasības ir 30. No tiem izvēlamies minimālo skaitli 30 un atņemam (skat. tabulu). Tajā pašā laikā mēs izsvītrojam tabulas sesto kolonnu (tās vajadzības ir vienādas ar 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iterācija Nr.2. Atkal mēs meklējam minimumu (0). No pāra (60;50) izvēlamies minimālo skaitli 50. Piekto kolonnu izsvītro.
| 3 | 20 | 8 | x | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | x | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | x | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iterācija Nr.3. Mēs turpinām procesu, līdz esam izvēlējušies visas vajadzības un materiālus.
Iterācijas Nr. N. Elements, kuru meklējat, ir 8. Šim elementam piegādes ir vienādas ar prasībām (40).
| 3 | x | 8 | x | 4 | x | 40 - 40 = 0 |
| x | x | x | x | 3 | 0 | 0 |
| x | 4 | x | x | x | x | 0 |
| x | x | x | 0 | 1 | x | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerves | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Vajadzības | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Saskaitīsim tabulas aizņemto šūnu skaitu, tās ir 8, bet jābūt m + n - 1 = 9. Līdz ar to atbalsta plāns ir deģenerēts. Mēs veidojam jaunu plānu. Dažreiz jums ir jāizveido vairāki atsauces plāni, pirms atrodat nedeģenerētu plānu.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerves | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Vajadzības | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Rezultātā tiek iegūts pirmais atbalsta plāns, kas ir spēkā, jo tabulas aizņemto šūnu skaits ir 9 un atbilst formulai m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, t.i. atsauces plāns ir nav deģenerēts.
Trešais posms ir atrastā atsauces plāna uzlabošana. Šeit viņi izmanto potenciālo metodi vai izplatīšanas metodi. Šajā posmā risinājuma pareizību var uzraudzīt, izmantojot izmaksu funkciju F(x) . Ja tas samazinās (saskaņā ar izmaksu samazināšanu), tad risinājums ir pareizs.
Piemērs Nr.2. Izmantojot minimālā tarifa metodi, iesniedziet sākotnējo plānu transporta problēmas risināšanai. Pārbaudiet optimālumu, izmantojot potenciālo metodi.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Piemērs Nr.3. Četras konditorejas izstrādājumu rūpnīcas var ražot trīs veidu konditorejas izstrādājumus. Tabulā ir norādītas viena centneru (centneru) konditorejas izstrādājumu ražošanas izmaksas katrā rūpnīcā, rūpnīcu ražošanas jauda (centerni mēnesī) un ikdienas vajadzības konditorejas izstrādājumiem (centerni mēnesī). Sastādiet konditorejas izstrādājumu ražošanas plānu, kas samazina kopējās ražošanas izmaksas.
Piezīme. Šeit vispirms varat transponēt izmaksu tabulu, jo klasiskajā transporta problēmas formulējumā vispirms ir jaudas (ražošana) un pēc tam patērētāji.
Piemērs Nr.4. Objektu celtniecībai ķieģeļi tiek piegādāti no trim (I, II, III) rūpnīcām. Rūpnīcās noliktavās ir attiecīgi 50, 100 un 50 tūkstoši vienību. ķieģeļi Objektiem ir nepieciešami attiecīgi 50, 70, 40 un 40 tūkstoši gabalu. ķieģeļi Tarifi (den. vienības/tūkst. vienību) ir norādīti tabulā. Izveidojiet transportēšanas plānu, kas samazina kopējās transportēšanas izmaksas.
tiks slēgts, ja:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Slēgtās transporta problēmas nosacījums: ∑a = ∑b
Mēs atrodam, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Mēs iegūstam: 55+b = 60+a
Vienlīdzība tiks ievērota tikai tad, ja a=40, b=45
