Apsvērsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAU) relatīvi n nezināms x 1 , x 2 , ..., x n :
Šo sistēmu “sakļautā” formā var uzrakstīt šādi:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Atbilstoši matricas reizināšanas likumam apskatāmo lineāro vienādojumu sistēmu var ierakstīt matricas forma Ax=b, Kur
,
,.
Matrica A, kuras kolonnas ir koeficienti attiecīgajiem nezināmajiem, bet rindas ir koeficienti nezināmajiem attiecīgajā vienādojumā tiek saukti sistēmas matrica. Kolonnu matrica b, kuras elementi ir sistēmas vienādojumu labās puses, sauc par labās puses matricu jeb vienkārši sistēmas labajā pusē. Kolonnu matrica x , kuras elementi ir nezināmie nezināmie, sauc sistēmas risinājums.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas uzrakstīta formā Ax=b, ir matricas vienādojums.
Ja sistēmas matrica nedeģenerēts, tad viņai ir apgrieztā matrica un pēc tam sistēmas risinājums Ax=b tiek dota pēc formulas:
x=A -1 b.
Piemērs Atrisiniet sistēmu 
matricas metode.
Risinājums atradīsim sistēmas koeficientu matricas apgriezto matricu
Aprēķināsim determinantu, izvēršot pa pirmo rindiņu:
Tāpēc ka Δ ≠ 0 , Tas A -1 pastāv.
Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi.
Meklēsim risinājumu sistēmai 
Tāpēc x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pārbaude: 
7. Kronecker-Capelli teorēma par lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamību.
Lineāro vienādojumu sistēma ir šāda forma:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1.)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Šeit ir doti a i j un b i (i = ; j = ), un x j ir nezināmi reāli skaitļi. Izmantojot matricu reizinājuma jēdzienu, sistēmu (5.1) varam pārrakstīt šādā formā:
kur A = (a i j) ir matrica, kas sastāv no koeficientiem sistēmas (5.1) nezināmajiem, ko sauc sistēmas matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ir kolonnu vektori, kas sastāv attiecīgi no nezināmajiem x j un brīvajiem terminiem b i .
Pasūtīta kolekcija n tiek izsaukti reālie skaitļi (c 1, c 2,..., c n). sistēmas risinājums(5.1), ja šo skaitļu aizvietošanas rezultātā atbilstošo mainīgo x 1, x 2,..., x n vietā katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par aritmētisko identitāti; citiem vārdiem sakot, ja ir vektors C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tāds, ka AC B.
Tiek izsaukta sistēma (5.1). locītava, vai atrisināms, ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai neatrisināms, ja tam nav risinājumu.
,
kas izveidota, piešķirot brīvo terminu kolonnu matricas A labajā pusē, tiek izsaukts sistēmas paplašinātā matrica.
Sistēmas (5.1) saderības jautājums tiek atrisināts ar sekojošu teorēmu.
Kronekera-Kapella teorēma . Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja matricu A unA rindas sakrīt, t.i. r(A) = r(A) = r.
Sistēmas (5.1) risinājumu kopai M ir trīs iespējas:
1) M = (šajā gadījumā sistēma ir nekonsekventa);
2) M sastāv no viena elementa, t.i. sistēmai ir unikāls risinājums (šajā gadījumā sistēmu sauc noteikti);
3) M sastāv no vairāk nekā viena elementa (tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts). Trešajā gadījumā sistēmai (5.1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Sistēmai ir unikāls risinājums tikai tad, ja r(A) = n. Šajā gadījumā vienādojumu skaits nav mazāks par nezināmo skaitu (mn); ja m>n, tad m-n vienādojumi ir citu sekas. Ja 0 Lai atrisinātu patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu, ir jāspēj atrisināt sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo - t.s. Cramer tipa sistēmas: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3.) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistēmas (5.3.) risina kādā no šādiem veidiem: 1) Gausa metode jeb nezināmo likvidēšanas metode; 2) pēc Krāmera formulām; 3) matricas metode. Piemērs 2.12. Izpētiet vienādojumu sistēmu un atrisiniet to, ja tā ir konsekventa: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Risinājums. Mēs izrakstām sistēmas paplašināto matricu:
Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas rangu. Ir skaidrs, ka, piemēram, otrās kārtas minors augšējā kreisajā stūrī = 7 0; trešās kārtas nepilngadīgie, kas to satur, ir vienādi ar nulli: Līdz ar to sistēmas galvenās matricas rangs ir 2, t.i. r(A) = 2. Lai aprēķinātu paplašinātās matricas A rangu, apsveriet robežojošo minoru tas nozīmē, ka paplašinātās matricas rangs r(A) = 3. Tā kā r(A) r(A), sistēma ir nekonsekventa. Pirmajā daļā apskatījām dažus teorētiskos materiālus, aizstāšanas metodi, kā arī sistēmu vienādojumu pa terminu saskaitīšanas metodi. Es iesaku visiem, kas apmeklēja vietni caur šo lapu, izlasīt pirmo daļu. Iespējams, dažiem apmeklētājiem materiāls šķitīs pārāk vienkāršs, taču lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas procesā es izteicu vairākus ļoti svarīgus komentārus un secinājumus par matemātisko problēmu risināšanu kopumā. Tagad mēs analizēsim Krāmera likumu, kā arī atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto matricu (matricas metodi). Visi materiāli ir parādīti vienkārši, detalizēti un skaidri, gandrīz visi lasītāji varēs uzzināt, kā atrisināt sistēmas, izmantojot iepriekš minētās metodes. Pirmkārt, mēs tuvāk aplūkosim Krāmera likumu divu lineāru vienādojumu sistēmai divos nezināmajos. Par ko? – Galu galā visvienkāršāko sistēmu var atrisināt, izmantojot skolas metodi, terminu saskaitīšanas metodi! Fakts ir tāds, ka, lai arī dažreiz, šāds uzdevums notiek - atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot Krāmera formulas. Otrkārt, vienkāršāks piemērs palīdzēs saprast, kā izmantot Krāmera likumu sarežģītākam gadījumam – trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem. Turklāt ir lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem, kurus ieteicams atrisināt, izmantojot Krāmera likumu! Apsveriet vienādojumu sistēmu Pirmajā solī mēs aprēķinām determinantu, to sauc galvenais sistēmas noteicējs. Gausa metode. Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, mums jāaprēķina vēl divi noteicošie faktori: Praksē iepriekš minētos apzīmētājus var apzīmēt arī ar latīņu burtu. Mēs atrodam vienādojuma saknes, izmantojot formulas: 7. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Risinājums: Mēs redzam, ka vienādojuma koeficienti ir diezgan lieli, labajā pusē ir decimāldaļas ar komatu. Praktiskajos matemātikas uzdevumos komats ir diezgan rets viesis, es šo sistēmu pārņēmu no ekonometriskās problēmas. Kā atrisināt šādu sistēmu? Jūs varat mēģināt izteikt vienu mainīgo ar citu, taču šajā gadījumā jūs, iespējams, nonāksit pie šausmīgām izdomātām daļām, ar kurām strādāt ir ārkārtīgi neērti, un risinājuma dizains izskatīsies vienkārši briesmīgs. Jūs varat reizināt otro vienādojumu ar 6 un atņemt vārdu no vārda, taču arī šeit radīsies tādas pašas daļas. Ko darīt? Šādos gadījumos palīgā nāk Kremera formulas. ; ; Atbilde: , Abām saknēm ir bezgalīgas astes, un tās tiek atrastas aptuveni, kas ir diezgan pieņemami (un pat ikdienišķi) ekonometrijas problēmām. Komentāri šeit nav nepieciešami, jo uzdevums tiek atrisināts, izmantojot gatavas formulas, tomēr ir viens brīdinājums. Lietojot šo metodi, obligāti Uzdevuma dizaina fragments ir šāds fragments: "Tas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums". Pretējā gadījumā recenzents var jūs sodīt par Krāmera teorēmas neievērošanu. Nebūtu lieki pārbaudīt, ko ērti var veikt ar kalkulatoru: katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē aizvietojam aptuvenās vērtības. Rezultātā ar nelielu kļūdu jums vajadzētu iegūt skaitļus, kas atrodas labajā pusē. 8. piemērs Sniedziet atbildi parastās nepareizās daļskaitļos. Veiciet pārbaudi. Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam (gala noformējuma un atbildes piemērs nodarbības beigās). Apskatīsim Krāmera likumu trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem: Mēs atrodam galveno sistēmas noteicēju: Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa (nav risinājumu). Šajā gadījumā Kremera noteikums nepalīdzēs, jums ir jāizmanto Gausa metode. Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums un, lai atrastu saknes, jāaprēķina vēl trīs determinanti: Visbeidzot, atbilde tiek aprēķināta, izmantojot formulas: Kā redzat, gadījums “trīs pa trīs” būtībā neatšķiras no gadījuma “divi pa divi”; brīvo terminu kolonna secīgi “iet” no kreisās uz labo pa galvenā noteicēja kolonnām. 9. piemērs Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. Risinājums: Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. Atbilde: Patiesībā šeit atkal nav ko īpaši komentēt, jo risinājums seko gatavām formulām. Bet ir pāris komentāri. Gadās, ka aprēķinu rezultātā tiek iegūtas “sliktās” nereducējamās daļas, piemēram: . 1) Aprēķinos var būt kļūda. Tiklīdz jūs saskaraties ar "slikto" daļu, jums nekavējoties jāpārbauda Vai nosacījums ir pārrakstīts pareizi?. Ja nosacījums tiek pārrakstīts bez kļūdām, tad determinanti ir jāpārrēķina, izmantojot izvēršanu citā rindā (kolonnā). 2) Ja pārbaudes rezultātā netiek konstatētas kļūdas, tad visticamāk, ka uzdevuma nosacījumos bija drukas kļūda. Šajā gadījumā mierīgi un UZMANĪGI strādājiet ar uzdevumu līdz galam, un tad noteikti pārbaudiet un mēs to noformējam uz tīras lapas pēc lēmuma pieņemšanas. Protams, daļējas atbildes pārbaude ir nepatīkams uzdevums, taču tas būs atbruņojošs arguments skolotājam, kuram ļoti patīk ielikt mīnusu par jebkuru muļķību, piemēram, . Kā rīkoties ar daļskaitļiem, tas ir detalizēti aprakstīts atbildē uz 8. piemēru. Ja pie rokas ir dators, tad pārbaudei izmantojiet automatizētu programmu, kuru var bez maksas lejupielādēt jau pašā nodarbības sākumā. Starp citu, programmu visizdevīgāk ir izmantot uzreiz (pat pirms risinājuma palaišanas), uzreiz redzēsit starpposmu, kurā pieļāvāt kļūdu! Tas pats kalkulators automātiski aprēķina sistēmas risinājumu, izmantojot matricas metodi. Otrā piezīme. Ik pa laikam ir sistēmas, kuru vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: 10. piemērs Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas. Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam (gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās). 4 vienādojumu sistēmai ar 4 nezināmajiem Krāmera formulas tiek rakstītas pēc līdzīgiem principiem. Dzīvu piemēru varat redzēt nodarbībā Noteicošo faktoru īpašības. Samazinot determinanta secību - pieci 4.kārtas determinanti ir diezgan atrisināmi. Lai gan uzdevums jau ļoti atgādina profesora kurpi uz laimīgā studenta krūtīm. Apgrieztās matricas metode būtībā ir īpašs gadījums matricas vienādojums(Skatīt norādītās nodarbības piemēru Nr. 3). Lai izpētītu šo sadaļu, jums jāspēj izvērst determinantus, atrast matricas apgriezto vērtību un veikt matricas reizināšanu. Attiecīgās saites tiks nodrošinātas, skaidrojumu pilnveidošanai. 11. piemērs Atrisiniet sistēmu, izmantojot matricas metodi Risinājums: Rakstīsim sistēmu matricas formā: Lūdzu, apskatiet vienādojumu un matricu sistēmu. Es domāju, ka visi saprot principu, pēc kura mēs ierakstām elementus matricās. Vienīgais komentārs: ja vienādojumos trūktu daži mainīgie, tad matricā attiecīgajās vietās būtu jāliek nulles. Mēs atrodam apgriezto matricu, izmantojot formulu: Vispirms apskatīsim determinantu: Šeit determinants ir izvērsts pirmajā rindā. Uzmanību! Ja , tad apgrieztā matrica neeksistē, un ar matricas metodi sistēmu nav iespējams atrisināt. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar nezināmo novēršanas metodi (Gausa metode). Tagad mums ir jāaprēķina 9 nepilngadīgie un jāieraksta tie nepilngadīgo matricā Atsauce: Lineārajā algebrā ir noderīgi zināt dubulto indeksu nozīmi. Pirmais cipars ir rindas numurs, kurā atrodas elements. Otrais cipars ir kolonnas numurs, kurā atrodas elements: Lai ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica Tiek izsaukta matrica A -1 apgrieztā matrica attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica. Identitātes matrica- tāda kvadrātveida matrica, kurā visi elementi gar galveno diagonāli, kas iet no augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri, ir vieni, bet pārējie ir nulles, piemēram: apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām tie. tām matricām, kurās rindu un kolonnu skaits sakrīt. Lai matricai būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā nebūtu vienskaitlī. Tiek izsaukta matrica A = (A1, A2,...A n). nedeģenerēts, ja kolonnu vektori ir lineāri neatkarīgi. Matricas lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru skaitu sauc par matricas rangu. Tāpēc mēs varam teikt, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai matricas rangs būtu vienāds ar tās dimensiju, t.i. r = n. Matricai A atrodiet apgriezto matricu A -1 Risinājums: Rakstām matricu A un pa labi piešķiram identitātes matricu E. Izmantojot Jordan transformācijas, reducējam matricu A līdz identitātes matricai E. Aprēķini doti 31.1. tabulā. Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu A un apgriezto matricu A -1. Matricas reizināšanas rezultātā tika iegūta identitātes matrica. Tāpēc aprēķini tika veikti pareizi. Atbilde: Matricas vienādojumi var izskatīties šādi: AX = B, HA = B, AXB = C, kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica. Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.
Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē. Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē. Citi vienādojumi tiek atrisināti līdzīgi. Atrisiniet vienādojumu AX = B, ja Risinājums: Tā kā apgrieztā matrica ir vienāda ar (skat. 1. piemēru) Kopā ar citiem tiek izmantoti arī tie matricas metodes. Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru. Šādas metodes tiek izmantotas, lai analizētu sarežģītas un daudzdimensionālas ekonomikas parādības. Visbiežāk šīs metodes tiek izmantotas, ja nepieciešams veikt organizāciju un to struktūrvienību darbības salīdzinošo novērtējumu. Matricas analīzes metožu pielietošanas procesā var izdalīt vairākus posmus. Pirmajā posmā tiek veidota ekonomisko rādītāju sistēma un uz tās pamata sastādīta sākotnējo datu matrica, kas ir tabula, kuras atsevišķās rindās ir parādīti sistēmas numuri (i = 1,2,....,n), un vertikālajās kolonnās - rādītāju numuri (j = 1,2,....,m). Otrajā posmā Katrai vertikālajai kolonnai tiek identificēta lielākā no pieejamajām indikatora vērtībām, kas tiek uzskatīta par vienu. Pēc tam visas šajā ailē atspoguļotās summas tiek dalītas ar lielāko vērtību un tiek izveidota standartizētu koeficientu matrica. Trešajā posmā visas matricas sastāvdaļas ir kvadrātā. Ja tiem ir atšķirīga nozīme, tad katram matricas indikatoram tiek piešķirts noteikts svara koeficients k. Pēdējās vērtību nosaka ekspertu atzinums. Pēdējā, ceturtais posms atrastas vērtējuma vērtības Rj ir sagrupēti to pieauguma vai samazinājuma secībā. Izklāstītās matricu metodes būtu izmantojamas, piemēram, dažādu investīciju projektu salīdzinošā analīzē, kā arī citu organizāciju darbības ekonomisko rādītāju novērtēšanā. (dažreiz šo metodi sauc arī par matricas metodi vai apgrieztās matricas metodi) ir nepieciešama iepriekšēja iepazīšanās ar tādu jēdzienu kā SLAE apzīmējuma matricas forma. Apgrieztās matricas metode ir paredzēta tādu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās sistēmas matricas determinants atšķiras no nulles. Protams, tas pieņem, ka sistēmas matrica ir kvadrātveida (determinanta jēdziens pastāv tikai kvadrātveida matricām). Apgrieztās matricas metodes būtību var izteikt trīs punktos: Jebkuru SLAE var uzrakstīt matricas formā kā $A\cdot X=B$, kur $A$ ir sistēmas matrica, $B$ ir brīvo terminu matrica, $X$ ir nezināmo matrica. Ļaujiet pastāvēt matricai $A^(-1)$. Sareizināsim abas vienādības $A\cdot X=B$ malas ar matricu $A^(-1)$ kreisajā pusē: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Tā kā $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ir identitātes matrica), iepriekš minētā vienādība kļūst: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Tā kā $E\cdot X=X$, tad: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Piemērs Nr.1 Atrisiniet SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$, izmantojot apgriezto matricu. $$ A=\left(\begin(masīvs) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(masīvs)\right);\; B=\left(\begin(masīvs) (c) 29\\ -11 \end(masīvs)\right);\; X=\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(masīvs)\labais). $$ Atradīsim sistēmas matricai apgriezto matricu, t.i. Aprēķināsim $A^(-1)$. Piemērā Nr.2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(masīvs)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(masīvs)\labais) . $$ Tagad aizstāsim visas trīs matricas ($X$, $A^(-1)$, $B$) vienādībā $X=A^(-1)\cdot B$. Pēc tam veicam matricas reizināšanu $$ \left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(masīvs)\right)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 29\\ -11 \end(masīvs)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(masīvs)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(masīvs) (c) -3\\ 2\end(masīvs)\pa labi). $$ Tātad, mēs saņēmām vienādību $\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(masīvs) (c) -3\\ 2\end( masīvs )\right)$. No šīs vienādības mums ir: $x_1=-3$, $x_2=2$. Atbilde: $x_1=-3$, $x_2=2$. Piemērs Nr.2 Atrisiniet SLAE $ \left\(\begin(līdzināts) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(līdzināts)\right .$ izmantojot apgrieztās matricas metodi. Pierakstīsim sistēmas $A$ matricu, brīvo terminu matricu $B$ un nezināmo matricu $X$. $$ A=\left(\begin(masīvs) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(masīvs)\right);\; B=\left(\begin(masīvs) (c) -1\\0\\6\end(masīvs)\right);\; X=\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\labais). $$ Tagad ir kārta atrast sistēmas matricai apgriezto matricu, t.i. atrast $A^(-1)$. Piemērā Nr.3 lapā, kas veltīta apgriezto matricu atrašanai, apgrieztā matrica jau ir atrasta. Izmantosim gatavo rezultātu un ierakstīsim $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(masīvs)\pa labi). $$ Tagad aizstāsim visas trīs matricas ($X$, $A^(-1)$, $B$) vienādībā $X=A^(-1)\cdot B$ un pēc tam veiksim matricas reizināšanu labajā pusē. no šīs vienlīdzības. $$ \left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masīvs) \right)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) -1\\0\ \6\end(masīvs)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(masīvs)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (c) 0\\-104\\234\end(masīvs)\right)=\left( \begin(masīvs) (c) 0\\-4\\9\end(masīvs)\labais) $$ Tātad, mēs saņēmām vienādību $\left(\begin(masīvs) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(masīvs)\right)=\left(\begin(masīvs) (c) 0\\-4 \ \9\end(masīvs)\right)$. No šīs vienādības mums ir: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Šis ir jēdziens, kas vispārina visas iespējamās ar matricām veiktās darbības. Matemātiskā matrica - elementu tabula. Par galdu, kur m līnijas un n kolonnās, šai matricai ir norādīts izmērs m ieslēgts n. Vispārīgs matricas skats: Priekš matricu risinājumi ir jāsaprot, kas ir matrica, un jāzina tās galvenie parametri. Matricas galvenie elementi: Galvenie matricu veidi: Matrica var būt simetriska attiecībā pret galveno un sekundāro diagonāli. Tas ir, ja a 12 = a 21, a 13 =a 31,…a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tad matrica ir simetriska attiecībā pret galveno diagonāli. Simetriskas var būt tikai kvadrātveida matricas. Gandrīz visi matricu risināšanas metodes sastāv no tā noteicēja atrašanas n-th order un lielākā daļa no tiem ir diezgan apgrūtinoši. Lai atrastu 2. un 3. kārtas determinantu, ir citas, racionālākas metodes. Lai aprēķinātu matricas determinantu A Otrajā kārtā ir jāatņem sekundārās diagonāles elementu reizinājums no galvenās diagonāles elementu reizinājuma: Zemāk ir noteikumi par 3. kārtas noteicēja atrašanu. Vienkāršots trijstūra noteikums kā viens no matricu risināšanas metodes, var attēlot šādi: Citiem vārdiem sakot, to elementu reizinājums pirmajā determinantā, kurus savieno taisnas līnijas, tiek ņemts ar “+” zīmi; Arī otrajam noteicējam atbilstošos produktus ņem ar zīmi “-”, tas ir, saskaņā ar šādu shēmu: Plkst matricu risināšana, izmantojot Sarrusa likumu, pa labi no determinanta, pievieno pirmās 2 kolonnas un atbilstošo elementu reizinājumus galvenajā diagonālē un diagonālēs, kas ir tai paralēlas, ņem ar “+” zīmi; un sekundārās diagonāles un tai paralēlo diagonāļu atbilstošo elementu reizinājumus ar zīmi “-”: Determinanta sadalīšana rindā vai kolonnā, risinot matricas. Determinants ir vienāds ar determinanta rindas elementu un to algebrisko komplementu reizinājumu summu. Parasti tiek atlasīta rinda/kolonna, kurā ir nulles. Rinda vai kolonna, pa kuru tiek veikta sadalīšana, tiks norādīta ar bultiņu. Determinanta samazināšana līdz trīsstūra formai, risinot matricas. Plkst risinot matricas metode determinanta reducēšanai līdz trīsstūrveida formai, tie darbojas šādi: izmantojot vienkāršākos pārveidojumus rindās vai kolonnās, determinants kļūst trīsstūrveida formā un tad tā vērtība atbilstoši determinanta īpašībām būs vienāda ar reizinājumu. no elementiem, kas atrodas galvenajā diagonālē. Laplasa teorēma matricu atrisināšanai. Risinot matricas, izmantojot Laplasa teorēmu, ir jāzina pati teorēma. Laplasa teorēma: Ļaut Δ
- tas ir noteicošais faktors n-tais pasūtījums. Mēs izvēlamies jebkuru k rindas (vai kolonnas), nodrošinātas k≤
n-1. Šajā gadījumā visu nepilngadīgo produktu summa k-tais pasūtījums, kas ietverts atlasītajā k rindas (kolonnas), pēc to algebriskajiem papildinājumiem būs vienādi ar determinantu. Darbību secība priekš apgrieztās matricas risinājumi: Priekš matricu sistēmu risinājumi Visbiežāk tiek izmantota Gausa metode. Gausa metode ir standarta metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai, un tā sastāv no tā, ka mainīgie tiek secīgi likvidēti, t.i., ar elementāru izmaiņu palīdzību vienādojumu sistēma tiek novadīta līdz ekvivalentai trīsstūrveida sistēmai. formu un no tās secīgi, sākot no pēdējās (pēc skaita), atrodiet katru sistēmas elementu. Gausa metode ir daudzpusīgākais un labākais rīks matricu risinājumu atrašanai. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai sistēma nav savietojama, tad to nevar atrisināt, izmantojot Krāmera likumu un matricas metodi. Gausa metode ietver arī tiešas (paplašinātās matricas samazināšana līdz pakāpeniskajai formai, t.i., nulles iegūšana zem galvenās diagonāles) un apgrieztā (nulles iegūšana virs paplašinātās matricas galvenās diagonāles) kustības. Kustība uz priekšu ir Gausa metode, apgrieztā kustība ir Gausa-Jordāna metode. Gausa-Jordāna metode no Gausa metodes atšķiras tikai ar mainīgo lielumu likvidēšanas secību.
.
Un
, 
, 
, 
, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.
.
Es iesaku šādu “ārstēšanas” algoritmu. Ja pie rokas nav datora, rīkojieties šādi:
Šeit pirmajā vienādojumā nav mainīgā, otrajā nav mainīgā. Šādos gadījumos ir ļoti svarīgi pareizi un UZMANĪGI pierakstīt galveno noteicošo: 
– trūkstošo mainīgo vietā tiek liktas nulles.
Starp citu, ir racionāli atvērt determinantus ar nullēm atbilstoši rindai (kolonnai), kurā atrodas nulle, jo ir ievērojami mazāk aprēķinu.
Sistēmas atrisināšana, izmantojot apgriezto matricu
, Kur 
, kur ir matricas atbilstošo elementu algebrisko komplementu transponētā matrica.
Tas ir, dubultais indekss norāda, ka elements atrodas pirmajā rindā, trešajā kolonnā un, piemēram, elements atrodas 3 rindā, 2 kolonnā.
Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam
Algoritms apgrieztās matricas atrašanai
1. piemērs 
Matricu vienādojumu risināšana
Matricas metode ekonomiskajā analīzē
Matricu risināšanas metodes.
2. kārtas determinantu atrašana.
3. kārtas determinantu atrašanas metodes.
Apgrieztās matricas atrisināšana.
Matricu sistēmu risināšana.
