Matricas metode SLAU risinājumi pielieto vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits atbilst nezināmo skaitam. Šo metodi vislabāk izmantot zemas kārtas sistēmu risināšanai. Matricas metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ir balstīta uz matricas reizināšanas īpašību pielietošanu.
Šī metode, citiem vārdiem sakot apgrieztās matricas metode, tā saukto, jo risinājums reducējas uz parastu matricas vienādojumu, kura risināšanai ir jāatrod apgrieztā matrica.
Matricas risinājuma metode SLAE ar determinantu, kas ir lielāks vai mazāks par nulli, ir šāds:
Pieņemsim, ka pastāv SLE (lineāro vienādojumu sistēma) ar n nezināms (virs patvaļīga lauka):
Tas nozīmē, ka to var viegli pārvērst matricas formā:
AX=B, Kur A— sistēmas galvenā matrica, B Un X— attiecīgi sistēmas brīvo terminu un risinājumu kolonnas:
Reizināsim šo matricas vienādojumu no kreisās puses ar A-1— apgrieztā matrica pret matricu A: A -1 (AX) = A -1 B.
Jo A −1 A=E, nozīmē, X=A–1 B. Labā daļa vienādojums dod risinājumu kolonnu sākotnējā sistēma. Matricas metodes pielietojamības nosacījums ir matricas nedeģenerācija A. Nepieciešams un pietiekamā stāvoklī tas nozīmē, ka matricas determinants nav vienāds ar nulli A:
detA≠0.
Priekš viendabīga lineāro vienādojumu sistēma, t.i. ja vektors B=0, darbojas pretējs noteikums: sistēma AX=0 ir netriviāls (t.i., kas nav vienāds ar nulli) risinājums tikai tad, kad detA=0. Šo saikni starp viendabīgu un nehomogēnu lineāro vienādojumu sistēmu risinājumiem sauc Fredholmas alternatīva.
Tādējādi SLAE risinājums matricas metode ražots pēc formulas 
. Vai arī SLAE risinājums tiek atrasts, izmantojot apgrieztā matrica A-1.
Ir zināms, ka kvadrātveida matricai A pasūtījums n ieslēgts n Tur ir apgrieztā matrica A-1 tikai tad, ja tā determinants nav nulle. Tādējādi sistēma n lineārs algebriskie vienādojumi Ar n Nezināmos risinām ar matricas metodi tikai tad, ja sistēmas galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli.
Neskatoties uz to, ka šīs metodes izmantošanas iespēja ir ierobežota, un pastāv aprēķinu grūtības lielām koeficientu un sistēmu vērtībām augsta kārtība, metodi var viegli ieviest datorā.
Neviendabīga SLAE risināšanas piemērs.
Vispirms pārbaudīsim, vai nezināmu SLAE koeficientu matricas determinants nav vienāds ar nulli.
Tagad mēs atrodam savienības matrica, transponē to un aizstāj to formulā, lai noteiktu apgriezto matricu.
Formulā aizstājiet mainīgos lielumus:
Tagad mēs atrodam nezināmos, reizinot apgriezto matricu un brīvo terminu kolonnu.
Tātad, x=2; y=1; z=4.
Pārejot no parastās SLAE formas uz matricas formu, esiet uzmanīgi ar nezināmo mainīgo secību sistēmas vienādojumos. Piemēram:
To NEVAR rakstīt šādi:
Vispirms ir nepieciešams sakārtot nezināmos mainīgos katrā sistēmas vienādojumā un tikai pēc tam pāriet uz matricas apzīmējumu:
Turklāt jums jābūt uzmanīgiem ar nezināmu mainīgo apzīmēšanu x 1, x 2, …, x n var būt arī citi burti. Piem:
matricas formā mēs to rakstām šādi:
Sistēmas labāk atrisināt, izmantojot matricas metodi lineārie vienādojumi, kurā vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 vienādojumi, apgrieztās matricas atrašana prasīs lielāku skaitļošanas piepūli, tāpēc šajā gadījumā risināšanai ieteicams izmantot Gausa metodi.
Pakalpojuma mērķis. Izmantojot šo tiešsaistes kalkulatoru, vienādojumu sistēmā tiek aprēķināti nezināmie (x 1, x 2, ..., x n). Lēmums tiek izpildīts apgrieztās matricas metode. Kurā:- aprēķina matricas A determinantu;
- cauri algebriskie papildinājumi tiek atrasta apgrieztā matrica A -1;
- tiek izveidota risinājuma veidne programmā Excel;
Instrukcijas. Lai iegūtu risinājumu, izmantojot apgrieztās matricas metodi, jānorāda matricas dimensija. Pēc tam jaunā dialoglodziņā aizpildiet matricu A un rezultātu vektoru B.
Skatiet arī Matricas vienādojumu atrisināšana.Risinājuma algoritms
- Tiek aprēķināts matricas A determinants. Ja determinants ir nulle, tad risinājums ir beidzies. Sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.
- Ja determinants atšķiras no nulles, apgrieztā matrica A -1 tiek atrasta, izmantojot algebriskas saskaitīšanas.
- Risinājuma vektoru X =(x 1, x 2, ..., x n) iegūst, apgriezto matricu reizinot ar rezultāta vektoru B.
Algebriskie papildinājumi.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Pārbaude:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks izmantoja vienādojumus senos laikos, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Matricas metode ļauj atrast risinājumus jebkuras sarežģītības SLAE (lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām). Viss SLAE risināšanas process sastāv no divām galvenajām darbībām:
Apgrieztās matricas noteikšana, pamatojoties uz galveno matricu:
Reizinot iegūto apgriezto matricu ar risinājumu kolonnu vektoru.
Pieņemsim, ka mums tiek piešķirts šādas formas SLAE:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Sāksim atrisināt šo vienādojumu, izrakstot sistēmas matricu:
Labās puses matrica:
Definēsim apgriezto matricu. 2. kārtas matricu var atrast šādi: 1 - pašai matricai jābūt nevienskaitlīgai; 2 - tā elementi, kas atrodas uz galvenās diagonāles, tiek apmainīti, un sekundārās diagonāles elementiem mēs mainām zīmi uz pretējo, pēc tam sadalām iegūtos elementus ar matricas determinantu. Mēs iegūstam:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ sākums(pmatrica) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matricas tiek uzskatītas par vienādām, ja tām atbilstošie elementi ir vienādi. Rezultātā mums ir šāda atbilde uz SLAE risinājumu:
Kur tiešsaistē var atrisināt vienādojumu sistēmu, izmantojot matricas metodi?
Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu mūsu vietnē. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumus. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Mūsu vietnē varat arī uzzināt, kā atrisināt vienādojumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā.
Apsvērsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAU) relatīvi n nezināms x 1 , x 2 , ..., x n :
Šo sistēmu “sakļautā” formā var uzrakstīt šādi:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Atbilstoši matricas reizināšanas likumam apskatāmo lineāro vienādojumu sistēmu var ierakstīt matricas forma Ax=b, Kur
,
,.
Matrica A, kuras kolonnas ir koeficienti attiecīgajiem nezināmajiem, bet rindas ir koeficienti nezināmajiem attiecīgajā vienādojumā tiek saukti sistēmas matrica. Kolonnu matrica b, kuras elementi ir sistēmas vienādojumu labās puses, sauc par labās puses matricu jeb vienkārši sistēmas labajā pusē. Kolonnu matrica x , kuras elementi ir nezināmie nezināmie, sauc sistēmas risinājums.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas uzrakstīta formā Ax=b, ir matricas vienādojums.
Ja sistēmas matrica nav deģenerēts, tad tai ir apgrieztā matrica un tad sistēmas risinājums ir Ax=b tiek dota pēc formulas:
x=A -1 b.
Piemērs Atrisiniet sistēmu 
matricas metode.
Risinājums atradīsim sistēmas koeficientu matricas apgriezto matricu
Aprēķināsim determinantu, izvēršot pa pirmo rindiņu:
Tāpēc ka Δ ≠ 0 , Tas A -1 pastāv.
Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi.
Meklēsim risinājumu sistēmai 
Tāpēc x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pārbaude: 
7. Kronecker-Capelli teorēma par lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamību.
Lineāro vienādojumu sistēma ir šāda forma:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1.)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Šeit ir doti a i j un b i (i = ; j = ), un x j ir nezināmi reāli skaitļi. Izmantojot matricu reizinājuma jēdzienu, sistēmu (5.1) varam pārrakstīt šādā formā:
kur A = (a i j) ir matrica, kas sastāv no koeficientiem sistēmas (5.1) nezināmajiem, ko sauc sistēmas matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ir kolonnu vektori, kas sastāv attiecīgi no nezināmajiem x j un brīvajiem terminiem b i .
Pasūtīta kolekcija n tiek izsaukti reālie skaitļi (c 1, c 2,..., c n). sistēmas risinājums(5.1), ja šo skaitļu aizvietošanas rezultātā atbilstošo mainīgo x 1, x 2,..., x n vietā katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par aritmētisko identitāti; citiem vārdiem sakot, ja ir vektors C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tāds, ka AC B.
Tiek izsaukta sistēma (5.1). locītava, vai atrisināms, ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai neatrisināms, ja tam nav risinājumu.
,
kas izveidots, piešķirot brīvo terminu kolonnu pa labi no matricas A sauc sistēmas paplašinātā matrica.
Sistēmas (5.1) saderības jautājums tiek atrisināts ar sekojošu teorēmu.
Kronekera-Kapella teorēma . Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja matricu A unA rindas sakrīt, t.i. r(A) = r(A) = r.
Sistēmas (5.1) risinājumu kopai M ir trīs iespējas:
1) M = (šajā gadījumā sistēma ir nekonsekventa);
2) M sastāv no viena elementa, t.i. sistēmai ir unikāls risinājums (šajā gadījumā sistēmu sauc noteikti);
3) M sastāv no vairāk nekā viena elementa (tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts). Trešajā gadījumā sistēmai (5.1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Sistēmai ir unikāls risinājums tikai tad, ja r(A) = n. Šajā gadījumā vienādojumu skaits nav mazāks par nezināmo skaitu (mn); ja m>n, tad m-n vienādojumi ir citu sekas. Ja 0 Lai atrisinātu patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu, ir jāspēj atrisināt sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo - t.s. Cramer tipa sistēmas: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3.) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistēmas (5.3.) risina kādā no šādiem veidiem: 1) Gausa metode jeb nezināmo likvidēšanas metode; 2) pēc Krāmera formulām; 3) matricas metode. Piemērs 2.12. Izpētiet vienādojumu sistēmu un atrisiniet to, ja tā ir konsekventa: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Risinājums. Mēs izrakstām sistēmas paplašināto matricu:
Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas rangu. Ir skaidrs, ka, piemēram, otrās kārtas minors augšējā kreisajā stūrī = 7 0; trešās kārtas nepilngadīgie, kas to satur, ir vienādi ar nulli: Līdz ar to sistēmas galvenās matricas rangs ir 2, t.i. r(A) = 2. Lai aprēķinātu paplašinātās matricas A rangu, apsveriet robežojošo minoru tas nozīmē, ka paplašinātās matricas rangs r(A) = 3. Tā kā r(A) r(A), sistēma ir nekonsekventa. Vienādojumi kopumā, lineārie algebriskie vienādojumi un to sistēmas, kā arī to risināšanas metodes ieņem īpašu vietu gan teorētiskajā, gan lietišķajā matemātikā. Tas ir saistīts ar faktu, ka lielāko daļu fizisko, ekonomisko, tehnisko un pat pedagoģisko problēmu var aprakstīt un atrisināt, izmantojot dažādus vienādojumus un to sistēmas. Pēdējā laikā matemātiskā modelēšana ir ieguvusi īpašu popularitāti pētnieku, zinātnieku un praktiķu vidū gandrīz visās mācību jomās, kas izskaidrojams ar tās acīmredzamajām priekšrocībām salīdzinājumā ar citām labi zināmām un pārbaudītām dažāda rakstura objektu izpētes metodēm, jo īpaši, tā saukto komplekso. sistēmas. Zinātnieki dažādos laikos ir devuši ļoti dažādas matemātiskā modeļa definīcijas, taču, mūsuprāt, visveiksmīgākais ir šāds apgalvojums. Matemātiskais modelis ir ideja, kas izteikta ar vienādojumu. Tādējādi prasme sastādīt un risināt vienādojumus un to sistēmas ir mūsdienu speciālista neatņemama īpašība. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai visbiežāk izmantotās metodes ir Kramera, Džordana-Gausa un matricas metode. Matricas risinājuma metode ir metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai ar determinantu, kas nav nulle, izmantojot apgriezto matricu. Ja izrakstīt koeficientus nezināmajiem lielumiem xi matricā A, nezināmos lielumus apkopot vektora kolonnā X un brīvos vārdus vektora kolonnā B, tad lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu var uzrakstīt formā pēc matricas vienādojuma A · X = B, kuram ir unikāls risinājums tikai tad, ja matricas A determinants nav vienāds ar nulli. Šajā gadījumā vienādojumu sistēmas risinājumu var atrast šādi X = A-1 · B, Kur A-1 - apgrieztā matrica. Matricas risinājuma metode ir šāda. Dosim mums lineāro vienādojumu sistēmu ar n nezināms: To var pārrakstīt matricas formā: AX =
B, Kur A- sistēmas galvenā matrica, B Un X- attiecīgi sistēmas brīvo dalībnieku un risinājumu kolonnas: Reizināsim šo matricas vienādojumu no kreisās puses ar A-1 - matricas apgrieztā matrica A: A -1 (AX) = A -1 B Jo A -1 A = E, saņemam X= A -1 B. Šī vienādojuma labajā pusē tiks parādīta sākotnējās sistēmas risinājuma kolonna. Nosacījums šīs metodes pielietojumam (kā arī risinājuma esamībai kopumā) nav viendabīga sistēma lineāri vienādojumi ar vienādojumu skaitu, kas vienāds ar nezināmo skaitu) ir matricas nedeģenerācija A. Nepieciešams un pietiekams nosacījums tam ir tas, ka matricas determinants nav vienāds ar nulli A:det A≠ 0. Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai, tas ir, kad vektors B = 0
, patiešām pretējs noteikums: sistēma AX =
0 ir netriviāls (tas ir, nulles atrisinājums) tikai tad, ja det A= 0. Šādu saikni starp viendabīgu un nehomogēnu lineāro vienādojumu sistēmu atrisinājumiem sauc par Fredholma alternatīvu. Piemērs nehomogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumi. Pārliecināsimies, ka matricas determinants, kas sastāv no lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas nezināmo koeficientiem, nav vienāds ar nulli. Nākamais solis ir aprēķināt algebriskos papildinājumus matricas elementiem, kas sastāv no nezināmo koeficientiem. Tie būs nepieciešami, lai atrastu apgriezto matricu.
.
